Турбулентное неизотермическое движение газа в трубопроводе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

о оа

ч е^З

° / САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Скробач Александр Владимирович

Турбулентное неизотермическое движение газа в трубопроводе

01. 02. 05. - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996 г.

Работа выполнена на кафедре физической механики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель -

доктор физико-математических Б. В. Филиппов

наук, профессор

Официальные оппоненты -

доктор технических наук, Г. Т. Алдошин

профессор

кандидат физико-математических А. Н. Рябинин

наук, старший научный сотрудник

Ведущая организация -

Санкт-Петербургский государственный Морской технический университет

Защита состоится 1997 г. в Ш ^часов на

заседании диссертационной совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл,, 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/ 9.

Автореферат разослан "Х.^ " ЖЬсфЛ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Нарбут М. А.

доктор физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы. Перспективы освоения арктического шельфа Евразии связана с задачей ввода в эксплуатацию морских нефтегазовых месторождений, разведанных во второй половины 20 века. Одной из наиболее сложных задач является вопрос о транспортировке углеводородного сырья по трубопроводам, проложенным по морскому дну. Дело заключается в том, что рельеф донной поверхности часто характеризуется значительными уклонами и перепадом абсолютных отметок, что приводит к необходимости учета влияния рельефа дна на газодинамические характеристики потока. Температура в придонной толще морских вод в летние месяцы является отрицательной и близкой к точке фазового перехода, что обуславливает возможность промерзания грунта, контактирующего с трубопроводом и самого трубопровода за счет возможного возникновения в потоке газа низких отрицательных температур. Трубопровод характеризуется большим диаметром и значительной протяженностью. Его стенки могут обладать шероховатостью -юго или иного вида. Условия данного региона делают невозможным создание промежуточных подстанций на морском участке трассы трубопровода. Поэтому, для обеспечения транспортировки необходимых объемов газа необходимо создавать большие (порядка 15 МПа) давления на входе в трубопровод. При таких давлениях газ является неидеальным. Движение происходит с большими значениями числа Рейнольдса (107-108), т.е. имеет место развитый турбулентный режим течения газа.

Исходя из вышеизложенного вопрос о разработке методики расчета развитого турбулентного стационарного неизотермического движения неидеального газа в трубопроводе круглого сечения большого диаметра с гладкими и шероховатыми стенками, с учетом приведенных выше особенностей данного трубопровода, представляется актуальным.

Цель диссертационной работы. Целью данной работы является следующие.

1) Разработать методику решения задачи о развитом стационарном турбулентном неизотермическом движении неидеального газа в трубопроводе круглого сечения большого диаметра с гладкими и шероховатыми стенками, с учетом следующих особенностей трубопровода.

Туреяе! Ьу 4м5-Те>С

а) Трубопровод имеет большую длину (порядка 500-000 км) и диаметр порядка одного метра. Давление на входе порядка 15 МПа.

б) Трубопровод проложен по морскому дну со сложным рельефом.

в) Между газом и окружающей трубопровод средой имеет место значительный теплообмен, причем температура окружающей среды является отрицательной и близкой к точке фазового перехода.

2) Реализовать разработанную методику для некоторых частных случаев и на основе полученных результатов обсудить вопрос о возможности транспортировки необходимых объемов газа на заданные расстояния при данных конкретных условиях.

Научная новизна и практическая ценность. Научной новизной данной работы является следующее:

Постановка задачи о развитом турбулентном стационарном неизотермическом движении неидеального газа в трубе круглого сечения большого диаметра с гидродинамически гладкими стенками с учетом вышеизложенных особенностей данной задачи. Учет зависимости осредненноИ скорости газа от поперечной, и продольной координат. Процедура сведения задачи к системе интегро-дифференциальных уравнений путем осреднения по за-рание неизвестному профилю скорости, вид которого определяется в ходе решения. Метод определения явной зависимости скорости газа от поперечной и продольной координаты ири движении газа в трубе с гладкими стенками. Метод сведения задачи о развитом турбулентном стационарном неизотермическом движении неидеального газа в трубе круглого сечения с гладкими стенками к задаче нахождения решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями относительно двух неизвестных функций. Численные процедуры решения этой задачи и их реализация для некоторых частных случаев. Метод определения соотношений для коэффициента сопротивления гидродинамически гладкой трубы, толщины ламинарного подслоя, динамической скорости, трения на стенке трубы и других параметров потока в гладкой трубе. Постановка задачи о развитом турбулентном стационарном неизотермическом движении неидеального газа в трубе круглого сечения большого диаметра с шероховатыми стенками. Метод определения явной

зависимости скорости газа от поперечной и продольной координаты при движении газа в трубе со стенками с песчано-зернистой шероховатостью для случаев движения в режимах развитой шероховатости и переходном, с учетом вышеизложенных особенностей данной задачи. Метод определения соотношений для коэффициента сопротивления шероховатой трубы, динамической скорости, трения на стенке трубы и других параметров потока в трубе со стенками с песчано-зернистой шероховатостью, при течении газа в режимах развитой шероховатости и переходном. Метод сведения задачи о развитом турбулентном стационарном неизотермическом движении неидеального газа в трубе круглого сечения со стенками с песчано-зернистой шероховатостью в случае течения газа в режиме развитой шероховатости к задаче нахождения решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями относительно двух неизвестных функций. Численные процедуры решения «той задачи и их реализация для некоторых частных случаев.

На основе разработанной в диссертационной работе методики был произведен расчет течения метана по конкретному трубопроводу при условиях, характерных для арктического шельфа Евразии. Стенки трубопровода рассматривались, как гладкими, так и шероховатыми. Полученные результаты позволили сделать вывод о возможности транспортировки по рассмотренной трассе необходимых объемов газа на заданное растояние, при данных условиях.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью применяемых для решения задачи математических методов и сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По материалу диссертации опубликовано две работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы, содержащего 14 наименований. Общий объем диссертации составляет 92 страницы. Работа содержит 33 рисунка.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована научная новизна работы.

Первая глава посвящена рассмотрению вопроса о выборе реологической модели, необходимой для замыкания системы уравнений, определяющих развитое турбулентное стационарное неизотермическое движение неидеального газа в трубе круглого сечения большого диаметра с гладкими или шероховатыми стенками (шероховатость песчано-зернистая). В этой главе сформулирована цель работы и определены задачи работы.

В качестве реологической модели для тензора турбулентных напряжений выбрана модель Прандтля-Никурадзе. В цилиндрической системе координат (г, у, г) эта модель имеет вид:

ди дг

ди , .

/ = Я' (0,14 -0,08т?2 -0, Об»?4), (2)

где р - осредненная плотность газа, Я' - радиус трубы,

Вторая глава посвящена разработке методики расчета развитого турбулентного стационарного неизотермического движения неидеального газа в трубе круглого сечения большого диаметра с гидродинамически гладкими стенками.

В параграфе 2.1 приводится постановка задачи. Ось OZ цилиндрической системы координат (г, <р, г) направлена вдоль оси трубы. В данном случае г)г = = 0, юх — и(г, г), где и2, , ьг - компоненты осредненной скорости V. Полагалось, что поток разбивается на две области: область вязкого ламинарного движения (ламинарный подслой) и область турбулентного движения (турбулентное ядро потока). Рассматривались течения в трубах, когда С 1, где И - толщина ламинарного подслоя. Тогда на масштабе Л кривизной можно пренебречь и считать, что скорость газа в ламинарном подслое является линейной функцией от 1 — -¡р.

В турбулентном ядре потока тензор напяжений а представлен в виде а = — р ■ + к, где - единичный тензор, к - симметричный тензор напряжений Рейнольдса, р - осредненное давление. В рассматриваемом случае в к определяющей является касательная компонента тГ2. Для определения тгг использовалась модель Прандтля-Никурадзе (1).

Величина касательного напряжения в ламинарном подслое остается постоянной и равной напряжению на границе с турбулентным ядром потока.

Учитывая высокую скорость турбулентного перемешивания полагалось, что осредненная температуа газа Т является функцией только от координаты 2 и лимитируется процессом теплообмена через многослойную стенку трубы. Этот теплообмен определялся функцией 04(2):

0-е (г) =

2(^1-Т(г)) Я'IV

-температура окружающей трубопровод среды,

IV = Л'

Н--;--г

Аа

А0

(3)

(4)

П[ = Л1 + 5а + 5Ь, = л' + 6а, 11'3 = II' + 8л + 5ь + <5„. Здесь 6а, ~ толщины, а А„, Л^, А^ - коэффициенты теплопроводности различных слоев стенок трубопровода.

Исходная система уравнений для развитого стационарного турбулентного неизотермического движения неидеального газа в цилиндрической системе координат имела следующий вид:

ри = Ф(г),

да <1р{г) 1 д(гтгг)

=--- +--«--Ь р^г,

аг dz г От

¿Т ди , ,ди рис»— = сг, + т,.г---Я-г)-г- +

Зс

(1р (5)

дг

дг 2(1 + 5р)Таь ¿г'

Р(~) =

ср"

¡чрТ__

1 -6р (1 + 5р)Т°>!

где Л, = * = с = в = Ь = Здесь

Па = 0,4274802327, = 0,08864035, р^ = рдсоз(/3(г)), 0{г) -угол между осью трубопровода и вертикалью, а д - ускорение свободного падения. Граничные условия:

ил(г,г)|г=л, = 0,

и(Г.2)1г=Я'-Ь = ил(г> г)|г=Л'-Л =«гр(*), "гг(Г1 -г)|Г=Д'-/1 ~ тгг(г> •г)1г=Л'-Л = Г">-

Здесь ил(г, г) - скорость газа в ламинарном подслое; гш - напряжение на стенке трубы (трение на стенке трубы); рРг - проекция силы тяжести на ось OZ (проекциями рРГ и рР^ пренебрегаем); су - теплоемкость газа при постоянном объеме; Л - универсальная газовая постоянная; М, Тс, Рс ~ молярная масса, критические температура и давление газа соответственно; Ф(г) - произвольная функция.

Исходя из уравнения состояния и учитывая, что Т является функцией только от г приходим к выводу, что р также является функцией только от г.

Система (5), граничные условия (6), соотношения (1), (2), (3), (4) заданные значения расхода газа ф и радиуса трубопровода /2', определяют движение газа в турбулентном ядре потока.

Параграф 2.2 посвящен определению явного вида зависимости осредненной скорости газа от поперечной и продольной координат и закона сопротивления гидродинамически гладкой трубы.

Характер зависимости и от г определяется первым уравнением системы (5).

Так как ^ мало на масштабе г ~ Я', то нелинейное слагаемое ри будет существенно сказываться на масштабах ^ 1. Поэтому второе уравнение системы (5) было заменено на следующее:

/ ди\ <1р(г) 1 д(гтгг) , -с,

\ри8Гг)г = ~5Г + г~д— + РР" (6Л)

Соотношение (6.1) - интегро-дифференциальное уравнение в левой части которого стоит осреднение по г. Вид этого осреднения неизвестен, так как неизвестна зависимость и(г, л) от г в турбулентном ядре потока. Эта зависимость, определяемая функцией Ф(г), была найдена в ходе решения. Далее, в качестве системы уравнений, определяющей движение газа в турбулентном ядре

потока, рассматривалась следующая система: ра = Ф(г),

/„,,ди\ _ М') , ,

\риЖ/г = —1Г + 7-дГ~ + рРг'

йТ ди . ,ди 3с ¿р (6.2)

рис„_ = „ + Ггг_ _+ _____

( ) - ,црТ - ср2

1 — <5/9 + Было введено обозначение:

= (6.3)

Тогда уравнение (6.1) примет вид

ЛМ-!^. (6.4)

После подстановки (1) и (6.4) и интегрирования по г и было получено соотношение:

2Д'(0,14 - 0,08,?2 - 0,Об,,4)2 ^ р(г)А(г) =---1-(6.5)

Справа в выражении (6.5) стоит функция только от г, слева -функция только от 2, следовательно, р(г)А(г) = —<?о, где q0 -константа. Далее Ф рассматривалась, как функцию от 1]. Из выражения (6.5) были получены следующие соотношения:

(МЩ2 = _^_

\ Лт} ) 2 (0,14-0,08т?2-О,Об??4)2'

и тГ2{1),г) =

ЧоЛ'ч 2р ш

■в-

Для функции Ф, рассматриваемой как функция от т], получено соотношение:

2тгЯ'2

2,51п ( —-— \ +0,154133

аг^ап I I +

/ 7 \ 0,5

(з) -Ч

I „ . _ . Л ОС А11

7 \ 0,5 ^

+

АпК- (I) 2,5х+<2 2пЯа

7 \ 0,25

1и

^ + 2 агсЬац у/ц

где

(Чо 2;г2Д'5\0'5

Vе2/

Этот параметр определяется из уравнения

1

1,251п(х+Де) где Ле - число Рейнольдса,

+

(7)

(8)

(9)

тт- I I Г + ^,,

— / г) (2,/г} — 2 ах&лп у/ц) (1г)+ Jo

/'

Уо

-Э-

6 = 2,5 [ МГ + ~Щ] ~ 1,34419.

Уравнение (9) имеет единственное решение, которое вычисляется для каждого конкретного случая течения газа.

Фл(,,) - функция, определяющая зависимость скорости газа от г в ламинарном подслое:

р(г)ил = ФЛ(Ч), (10)

Для Фл(;?) получено следующие соотношение:

•-м-тя?«1"'»- <"'

Для толщины ламинарного подслоя к были получены соотношения: к =

Для гш было получено соотношение:

г-= "¿^у (12)

Для коэффициента сопротивления трубы с/ = 2 , где ис =

, получено выражение:

с/ =---=■. (13)

2(1,251п(у^с7Ле)-г)

Параграф 2.3 посвящен выводу системы обыкновенных дифференциальных уравнений для осредненных температуры и плотности газа.

К левой и правой частям третьего уравнений системы (6.2) был применен следующий оператор:

</И>г= /Л Г/(г) йг =

7о ./0

После.преобразований была получена следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

¿Т 2тг _ 27Г^2 ¿Р 2тг „ . Л

1прТ ср2

р(г) =

с - ¿р (1 + 5р)Т0'5'

С граничными условиями

Р{г) 12=о = Р°> Т{г) |г=0 = Г0.

В системе (14):

л ( 74 т В!2р{г)и2{р,Т) М(й,Т) = Л------—-

р2лВ!2и2(р, Т)

. тгЛ"-и2(р,Т) / 2— , т \ ВЛР,Т) =--г-(р'а< + 72),

СуЦ/

г т\ Л1Г 2сР с<5р2

(1-<5р)2 (1 + <5р)Т°-5 (1 + ¿р)2Т0-5'

/ ™ /'1Р , 0, 5р2с

1 -5р (1 + адг1-5'

_ Л'2

Г %Я'2Ф2(г/)^ + [1 9Д'2Фл2(ч)С^Ч, Л Л-л

Л = 0,14-0,08,2-0,06,4)2 («)

<£Ф(т7)

+

¿Т]

¿п

п г тл 3сД" А(лГ)г=4(1 + *р)2™'

В параграфе 2.4 сформулирована процедура численного решения системы (14), приводятся результаты расчета конкретного

трубопровода, и на их основе делаются выводы о температурном режиме, устанавливающемся в потоке газа, о падении осреднен-ного давления газа, изменении плотности газа и, как следствие, о возможности транспортировки необходимых объемов газа по рассмотренной трассе при данных условиях. Отмечено сор^адение общей картины поведения всех параметров потока с результатами других авторов.

В главе 3 рассмотрено развитое турбулентное стационарное неизотермическое движение неидеального газа в трубопроводе круглого сечения с шероховатыми стенками.

В параграфе 3.1 приводится постановка задачи.

Полагалось, что внутренняя поверхность трубы покрыта бугорками, имеющими вид зерен примерно одинакового размера, т.е. труба обладет так называемой песчано-зернистой шероховатостью. Через к была обозначена высота бугорков шероховатости относительно средней линии выступов и впадин. Радиус трубы Я' определялся расстоянием между осью трубы и этой средней линией. Величина ^ называлась относительной шероховатостью.

Известно, что при турбулентном движении в шероховатой трубе с песчано-зернистой шероховатостью реализуются следующие три режима течения жидкости или газа: первый предельный режим - режим гидродинамически гладкой трубы; второй предельный режим - режим развитой шероховатости; промежуточный режим - переходный от первого предельного ко второму предельному режиму. Движение газа в режиме гидродинамически гладкой трубы уже рассмотренно. Движение газа при переходном режиме в цилиндрической системе координат определялось следующей системой уравнений, аналогичной системе (6.2):

ри = Фх(г),

(1Т

рису —- — <Т( + т,

р(2) =

ди ди Зс с1р (16)

Г( + Тгг~д~т + 2(1 + 6р)Т™И' к\рТ ср2

гг

1-5/7 (1 + 6р)Т°'5'

-1Л-

к

С граничными услоииями

ггг(г1 г)\г=Я'~к = т>V

Здесь Ф! (?•) - произвольная функция, определяющая зависимость осредненной скорости газа от координаты г при движении в шероховатой трубе, т'ш - напряжение на стенке трубы; [/¡(~-) ~ функция, характеризующая шероховатость и определяемая экспериментально.

Для определения т'ш имеет место следующие соотношение: т'ш = Движение газа в режиме развитой шероховато-

сти в цилиндрической системе координат определялось системой (16) с граничными условиями:

= В'и*> ^ тгг{г, ■г)|г=Я'-А; = Т «и

где В' - константа, характеризующая тин шероховатости.

Параграф 3.2 посвящен определению явного вида зависимости осредненной скорости газа от поперечной и продольной координат при движении в шероховатой трубе с песчано-зернистой шероховатостью.

Характер зависимости и от г определяется первым уравнением системы (16).

Для функции Фх, рассматриваемой как функция от т], при движении газа в режиме развитой шероховатости получено соотношение:

*1(ч) = --^ЧТу^агсип Щ^У+

АО^/С7 /1) + (|)°'25-/2>? + (|)0'5 \ + 2^Д'2(1)0.25 11 (7)0,5 ^ +

+

Для определения су при движении газа в режиме развитой шероховатости найдено соотношение:

2

С1

((1 - -к)2 (А 1п ) +В' + 0,304 • А) - 2А [М3 + М4 ])

2 >

(20)

где

I *

Л/4 = I у (2^/4 — 2 al•ctan (Ь]+ J о

+

¿о

■п

л/2 ,

¿Г] —

Jo

■ 1п

<11).

Ш0,25^

Вид формулы (20) показывает, что при движении газа в режиме развитой шероховатости коэффициент сопротивления са следовательно и напряжение на стенке трубы г'ш не зависят от числа Рейнольдса и определяются параметром

Для функции Фь рассматриваемой как функция от т), при движении газа в переходном режиме найдено соотношение:

лд^ {(1)°'2ЪУЩ\

+

+

+

+

2л-Д'2(|)°.25 " V; - (1)0.25^+ +

АЯу/с] ч/2тгД'2

7гЯ'2ч/2

2 arctan + 1п

Ч?)

+ 01 (

1 + ^иЛ " /

+

+ 0,304-А

(21)

Для определения с/ при движении газа в переходном режиме получено соотношение:

С/ = --1- (22)

((1 - £) (А1п (£) + л + 0,304 • А) - б1)

Ч

где =2А[Щ + Ж]-

Параграф 3.3 посвящен выводу системы обыкновенных дифференциальных уравннений для осредненных плотности и температуры газа для случая движения газа в шероховатой трубе с иесчано-зернистой шероховатостью в режиме развитой шероховатости. К левой и правой частям третьего уравнений системы (10) был применен следующий оператор:

(/(Г)>г= Г *г/(г)йг= %Л

Jo Jo

После преобразований была получена следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

йр - 1 [В2(р,1)-С2(р,Ь)},

¿Т _ 2тг , 2тг74 йр /р(г) 2тг Л / А; Л

( ^ = !'1 рТ _ ср2

с-бр (1 + 5р)Т°<5'

(23)

С граничными условиями (15). В системе (23)

р2Ц1(р,Г)Д'У Д'2р(.г)ц2(л?>2

Л2(р,Т)-3з--2---2^--

--^-°Лр>П

В2(Р,Т)="К'2и^Т)з2 (Р207Ч/4),

/ -п /1'Т 2ср с«5р2

"1 (А Т) = -——-- +

(1-М2 (1 + 5р)Т0'5 (1 + £р)2Г0-5'

,, ^ 7Л - л. ЪР2°

Я'2

7з=/ 7,Л'2

Jo

0,14 - 0,087,2 - 0,067,4 )2 2

В параграфе 3.4 сформулирована процедура численного решения системы (23). Приводятся результаты расчета конкретного трубопровода (его параметры идентичны параметрам трубопровода, рассчитанного во второй главе). Анализ этих результатов позволил сделать выводы о влиянии шероховатости на: температурный режим, устанавливающийся в потоке газа; па-дение-осредненного давления; изменение осредненной плотности газа. Отмечено, что падение осредненного давления и уменьшение осредненной плотности газа тем больше, чем больше значение параметра к. Кроме того, чем больше к, тем ниже температура, устанавливающаяся в потоке газа. На основании вышеизложенного было сделано заключение, что для осуществления транспортировки необходимого объема газа по рассматриваемым в диссертации трубопроводам, без промежуточных подстанций, с минимальным риском промерзания трубопровода и контактирующего с ним грунта и с наименьшими падениями давления и плотности, необходимо, чтобы стенки трубопровода имели как можно меньшую шероховатость.

Далее в диссертации сформулированны выводы из проделанной работы.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Модель решения задачи о развитом стационарном турбулентном движении неидеалыюго газа в донном трубопроводе круглого сечения с гидродинамически гладкими стенками с учетом условий, характерных для арктического шельфа Евразии.

2) Модель решения задачи о развитом стационарном турбулентном движении неидеалыюго газа в донном трубопроводе круглого сечения со стенками с песчано-зернистой шероховатостью при движении газа в режиме развитой шероховатости с учетом условий, характерных для арктического шельфа Евразии.

3) Связанные с разработанными моделями численные процедуры и их реализация для некоторых частных случаев.

Публикации по теме диссертации.

1(7,)

й11

Я'т] йт].

1. Скробач А. В., Филиппов Б. В. Турбулентное стационарное движение газа в трубопроводе круглого сечения. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 3 (N15), 1996, с. 88-94.

2. Скробач А. В. Модель Прандтля-Никурадзе для развитого турбулентного стационарного неизотермического движения газа в трубах круглого сечения с гладкими и шероховатыми стенками. Деп в ВИНИТИ, N 2848-В96 от 20 сентября 1996 г., 19 с.

Подписано к печати 5.01.97. Заказ 14 Тираж 100 Объем I п.. 199034, Санкт-Петербург, наб.Макарова,б.