Модель донного газопровода с учетом оледенения

Филиппов, Василий Борисович

Модель донного газопровода с учетом оледенения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Филиппов, Василий Борисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Модель донного газопровода с учетом оледенения»

Автореферат диссертации на тему "Модель донного газопровода с учетом оледенения"

Санкт-Петербургский государственный университет

на правах рукописи

ФИЛИППОВ Василий Борисович

МОДЕЛЬ ДОННОГО ГАЗОПРОВОДА С УЧЕТОМ ОЛЕДЕНЕНИЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН Морозов Никита Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Струев Вячеслав Петрович

доктор технических наук, профессор Усков Владимир Николаевич

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения

Российской академии наук

Защита диссертации состоится г? октября 2005 года в часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.30 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., дом 28.

С диссертацией можно ознакомиться в научной бибилиотеке им. А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " $ " . 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

С.А. Зегжда

/2.9/5

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Освоение месторождений нефти и газа в северных морях неразрывно связано с решением задачи транспортировки добываемого сырья по протяженным морским газопроводам. Расчет течения газа в таких задачах осложняется по следующим причинам.

Во-первых, чтобы избежать строительства в море промежуточных подстанций, необходимо транспортировать газ при очень высоких давлениях (более 20 МПа), это осложняет термодинамическое описание процессов.

Во-вторых, при большой плотности газа (боле 150 кг/м3) и при наличии вдоль трассы значительных уклонов может оказаться существенным влияние силы тяжести, это приводит к необходимости учета рельефа трассы.

В-третьих, температура воды в северных морях в отдельных районах близка к температуре замерзания. Поэтому даже небольшое понижение температуры газа по сравнению с температурой окружающей воды может привести к оледенению газопровода, что увеличит его плавучесть и повлечет за собой изменение экологической ситуации в акватории. Поэтому необходимо тщательное моделирование процессов теплообмена.

Это далеко не полный перечень проблем, решение которых требует создания математической модели, максимально учитывающей особенности транспортировки сырья по донным газопроводам в северных морях Существующий богатый опыт расчетов транспортировки газа по магистральным газопроводам (работы И.А. Чарного, О.Ф. Васильева, Э.А. Бондарева, А.Ф. Воеводина, М.А. Каниболотского, В.И. Зубова, В.Н. Коте-рова, В.М. Кривцова, A.B. Шипилина, В.В. Грачева, С.Г. Щербакова, Е.И. Яковлева, Г. Шлихтинга, А.Дж. Рейнольдса, Ф.Г. Темпеля, А.Д Альтшуля, Ю.В. Лапина, И.П. Гинзбурга, А.К. Лерцакяна, программно-математические комплексы "CorNet", "AMADEUS" и многие другие работы) оставляет открытым ряд вопросов моделирования донных газопроводов, поэтому тема диссертации актуальна.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Создание математической модели транспортировки природного газа по донным газопроводам, учитывающей неизотермичность ость и мно-

гокомпонентность газа, возможность оледенения газопровода, шероховатость его внутренней поверхности, особенности теплоизоляции и условия контакта с морским дном. Разработка эффективного алгоритма решения системы уравнений модели и создание комплекса программ, реализующих этот алгоритм.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использовались методы механики сплошных сред, термодинамики, аналитические методы решения краевых задач, численные методы и системы символьных вычислений в среде Maple.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси газов по цилиндрическим трубам с учетом шероховатости, с замыкающей моделью Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха-Квонга и уравнением связи внутренней энергии с температурой и плотностью газа.

2. Расчет профиля локального расхода газа в широком диапазоне изменений числа Рейнольдса для гидравлически гладких и шероховатых газопроводов с замыкающей моделью Новожилова-Павловского, обобщенной на сжимаемые среды при малых числах Маха.

3. Аналитическое решение стационарной задачи о зависимости толщины слоя льда на поверхности донного газопровода от температур газа и окружающей воды, от условий погружения газопровода в грунт и от внешних условий обтекания.

4. Итерационная процедура решения уравнений математической модели, позволяющая рассчитать оледенение газопровода и все характеристики потока, включая профиль скорости.

5. Комплекс программ в среде Maple, реализующих алгоритм расчета профиля скорости и распределений давления, плотности, температуры газа, а также толщины ледяного покрова донного газопровода.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации, перечисленные в положениях 1 — 5, выносимых на защиту, получены автором и являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ значимость.

Предложенная модель донного газопровода, учитывающая его оледенение, и компьютерная реализация алгоритма расчета

толщины слоя льда и основных характеристик потока газа могут быть использованы в проектных организациях газовой промышленности на стадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов в северных морях. Созданная математическая модель использовалась при выполнении хоздоговорных работ, заказчиком которых выступало ОАО "Гипроспецгаз". В рамках этих работ был выполнен расчет транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Тери-берки (губа Корабельная), а также были выполнены работы по теме: "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Европейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до "20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13 11.2003). Требования заказчика, в частности оценка возможного оледенения газопровода, привели к необходимости постановки и решения ряда новых задач, имеющих теоретическое значение.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, из которых 4 в соавторстве, и одна монография (в соавторстве). Список работ приведен на с.15.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты исследований по теме диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории упругости, кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета СПбГУ, на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ, на научном семинаре института проблем машиноведения РАН.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Лиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 105 страниц текста, 5 таблиц и список литературы, включающий 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор известных математических моделей транспортировки газа, формулируются цель работы, на-

учная новизна и практическое значение полученных результатов, приводятся общие для всей работы обозначения.

В первой главе дается физическая постановка задачи, перечисляются особенности транспортировки углеводородного сырья по донным газопроводам Общие балансные соотношения механики сплошных сред упрощаются в соответствии с особенностями задачи и обосновывается предлагаемая двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемой смеси химически инертных газов по цилиндрическим трубам, позволяющая учесть шероховатость стенок, характер теплообмена с окружающей средой и изменения скорости потока в поперечном направлении. Обсуждается выбор замыкающего реологического соотношения для касательной составляющей тензора турбулентных напряжений и вид граничных условий для скорости, позволяющих учесть шероховатость стенок. Рассматривается выбор термодинамических замыкающих уравнений: уравнения состояния несовершенного многокомпонентного газа и калорического уравнения связи внутренней энергии с температурой и плотностью потока. Решается стационарная осесимметричная задача о распределении температуры в многослойной стенке газопровода при граничном условии первого рода на внешней поверхности. В конце первой главы приводится вышеназванная математическая модель (модель I).

Модель I

д(ри) _

дг = °'

(1)

(2)

Л.Т ди

рис,— = т —

А.

(Т*{х)-Т) + рч

3 с Ар 2(1 + 6р)Т°'& ¿г

(3)

НрТ ср2

(4)

р =

1 -Ьр (1 + 6р)Т°<ь

И^Яд/М, М = ^тНт1, = (4')

Ь/М, с = а/М2, Ь = ПьЯдТс/Рс, а = Па(Нд)2Т?'5/рс.

г = (5)

I — I3

ти = -ЙЧа . »(Т'Р)> Ке = 2<№Др),

ди

= -00. (6)

Г-Н

ди дг

= а*+Ь„(к*ь*/1;)-1/3, (б')

г=Д

г = 0: Т = Т0, р = р0. (7)

Здесь р, р,Т,и — давление, плотность, температура и г-я составляющая скорости газа в цилиндрической системе координат (г, в, г), ось г которой направлена вдоль оси газопровода; г — касательная составляющая тензора напряжений; д — ускорение силы тяжести, а(г) — угол между направлением силы тяжести и осью газопровода в г-м сечении; су — коэффициент теплоемкости газа при постоянном объеме; Я — внутренний радиус газопровода; Т*(г) — температура окружающей среды; Ь,с,6 — параметры уравнения состояния (4) Редлиха-Квонга; Ид — газовая постоянная; т,,г), — молекулярный вес и доля г-й составляющей газовой смеси соответственно; к — количество компонент газовой смеси; — числа, определяемые по значениям критических температур Тс и давлений рс в соответствии с таблицами для заданного химического состава газовой смеси; ц, V — коэффициенты динамической и кинематической вязкости (г/ = ц/р)\ Аг,6г — коэффициент теплопроводности и толщина г-го слоя обшивки газопровода, тг* — число этих слоев; <3 — массовый расход газа; Ее — число Рейнольдса; п,кп — параметры модели (5) Новожилова-Павловского (далее сокращенно Н-П); ащ,6» — параметры граничного условия на производную скорости для шероховатой стенки; к* —■ характерный линейный размер шероховатости; V» — динамическая скорость, определяемая по трению т№ на стенке равенством и* = \/\\/р.

Во второй главе используется предложенная профессором Б.В.Филипповым процедура расщепление системы уравнений модели I и выделяется задача о расчете профиля локального расхода. Приводится аналитическое решение задачи в случае гидравлически гладкой поверхности и итерационная процедура расчета профиля локального расхода для шероховатой поверхности.

Уравнение неразрывности (1) имеет интеграл ри — <р(г), что позволяет преобразовать конвективное слагаемое ри ^ в уравнении движения (2) к виду (ри)2-^ Лалее оно заменяется

средним значением f <p2(r)rdrj ^ что не вносит большой погрешности ввиду малости сил инерции в рассматриваемых задачах. В результате переменные в уравнении движения разделяются и отделяется задача расчета профиля локального расхода <р(г). Операция осреднения по сечению газопровода с учетом предполагаемой симметрии по углу 9 задается равенством

{,f) = ~Jfrdr. (8)

Уравнение движения после такой замены преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение

(A/pa(rMr)£Q) =-£z+l-^r(rT) + P9cosa(z), (9)

допускающее разделение переменных. Запишем модель Н-П (5) для г в терминах <р(г)

г = ФШ), 1>{<р) = 4 WF/WT, (10)

штрихом обозначена производная по г Уравнение движения с разделенными переменными примет вид

С1 — положительная константа, к\ — константа, определяемая профилем <£>,

кх

= ^ ! 4>\г)тйт. (12)

Расчет профиля сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения

~ МР(Г))) = -С! (13)

с граничными условиями (6) для гидравлически гладкой внутренней поверхности газопровода и (б') для шероховатой поверхности, записанными в терминах функции (р. Константа с\ определяется из условия связи расхода <3 с функцией <р ((2 = я

2тг/ <р(г)гс1г), либо по коэффициенту гидравлического сопроти-

вления Л, который находится из экспериментального закона сопротивления А = А(11е, к).

С\ = Л

4&г,7Г2Д5 '

Закон сопротивления был выбран в виде соотношения Коулбрука-Уайта

1 „, / к 2.51 N ....

к — относительная шероховатость. Закон сопротивления (14) хорошо интерполирует экспериментальные данные в широком диапазоне течений: от режима гидравлически гладких труб (к —► 0) до режима развитой шероховатости (Ее —+ оо).

Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения (13) с граничными условиями (6) для гидравлически гладких поверхностей приводит к следующему выражению для (р.

r = r/R. Интеграл выражается через неполную бета-функцию Beta(x,y,z).

1 X

I (i-t^y^ dt = j =

t 0 (16)

2n ■ Beta(x,y,z),

2n- 1

( 3«-! N

X = 1 — ,

(1 - n) In

y =

(1 + n)' (2n — 1)

В задачах об установившихся течениях сжимаемого газа известной величиной является расход Q. Выражение расхода Q через функцию <р{г) совместно с зависимостью <р(г,п) (15) позволяют найти величину с\ как функцию эмпирической константы п, входящей в модель Н-П. Опуская громоздкие, но не сложные выкладки, выпишем решение этой задачи

, - Qn+1d(n) (п + 1)2"(2п — I)2

Д"+4 ' W~2njrn+1(2 n)2»+2J"+1 '

1 У

J = j(l- у)Ш ^J (18)

о о

При п = | и п — | интеграл (18) вычисляется в элементарных функциях. Этими значениями п исчерпывается возможность аналитического расчета интеграла J. В общем случае его можно выразить через полную бета-функцию следующим образом:

Beta ( 6П 1 ~ "

/ =-,2.-1' 1 + „

' 4п 4

2п — 1

Найденное представление для 7 упрощает расчет С1 как функции п во всем диапазоне изменения эмпирической константы п для гидравлически гладких газопроводов. Это позволяет решить яаднчу выбора параметров п.кп полуэмпирической модели Н-П.

Для шероховатых стенок профиль функции <р(г) найден в виде

(p(r)-aldln2Jt-nз(l-t)^dt. (20)

Величины ах, (¡1, П2, пз, е, у связаны между собой и являются функциями с\, п, а»,Ь»

Для шероховатых газопроводов нельзя найти явного аналитического выражения для с\. Однако, в ходе решения задачи получается система семи трансцендентных уравнений относительно семи неизвестных, решение которой позволяет определить как а, так и остальные величины, входящие в выражение для <р(г) (20) Решение системы этих уравнений строится методом итераций. В качестве нулевого приближения удобно выбрать значение для гидравлически гладких поверхностей.

В уравнение движения (11) входит константа к 1, выражающаяся через функцию ¡р(г) по формуле (12). Для ее расчета проинтегрируем по частям интеграл в (12) и учтем граничное условие прилипания, в результате получим равенство ( Я* = Я — к*)

Л.

к1 = —щ J Г2 <p<p'dr,

подставляя в которое выражения для <р(г) и для tp'(r), найденные в процессе интегрирования (13), находим

1 v

^ = d\a\n\ J( 1 - v)n'v~n3 ( j t~n3( 1 - d?j dv, (21)

С E

n5 = (4n+l)/(2n-l).

Расчет константы кь включающий расчет неполной и полной бета-функций, оформлен в виде программы.

Интегрирование уравнения (13) в пределах от 0 до г дает соотношение ф(г) = — ci|, которое совместно с выражением для т (10) приводит к линейной зависимости касательного напряжения т от г

Это позволяет записать выражение для касательного напряжения тш = г(г)|г_й на стенке газопровода

с\кпК

т 2

и преобразовать слагаемое (гг)

19 ко схк„

г дг р(г) 1

после чего уравнение движения (11) принимает вид

кх ¿р йр к2 , ч /п.. аг аг р

В треаьей главе математическая модель первой главы обобщается, включается учет оледенение донного газопровода и уточняются условия внешнего теплообмена. Приводится итерационная процедура решения системы уравнений обобщенной математической модели.

Уравнение баланса внутренней энергии (3), осредненное по сечению газопровода с использованием профиля функции <р(г), найденного во второй главе, записывается в виде

¿Т _ С^К2 1 Лр 1 _ 2 ( 2 ^ рф 3с ¿р

ШтФЪ-(25)

Полученное в первой главе решение задачи теплообмена с внешней средой для граничного условия первого рода обобщается на граничное условие третьего рода

" dr

-Rn

Rn — внешний радиус газопровода, (5 — коэффициент теплопередачи, зависящий от условий обтекания газопровода. Радиальная составляющая вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода qw для граничного условия третьего рода при отсутствии льда находится в виде

„ _ №п{Т*-Т)

qw~ R(l + PRnA)' {Z'>

величина А определена равенством (3') Толщина слоя льда 6Л находится из условия равенства в стационарных условиях тепловых потоков и на границе лед-вода. Тепловой поток )л определяется в результате интегрирования уравнения теплопроводности в многослойной стенке газопровода при наличии слоя льда с граничными условиями первого рода на внутренней поверхности газопровода и на внешней границе лед-вода.

(Т. - Т)

Н = " (Дп + «л)(Л + 1п(1 + Лл/Я„)/Ал) ' (28)

Ал коэффициент теплопроводности льда, Т» — температура фазового перехода вода-лед. Тепловой поток }в от окружающей воды к границе лед-вода находится в результате интегрирования уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода на границе лед-вода и на границе эффективного теплового погранслоя, толщины 6*. В этой постановке условия внешнего обтекания газопровода и его контакта с морским дном отражаются в величине эффективного параметра 5», для определения которого необходимо решение обратной задачи на базе экспериментальных данных, снятых в реальных условиях В диссертации получена качественная оценка величины <5* (5„ = 1 2 -Ю-2 м) на основе анализа характерных для рассматриваемых задач значений чисел Нуссельта, Рейнольдса, Пранд-тля, Грасгофа и Эккерта, рассчитанных для воды при нуле градусов Пельсия, при длине I = О.бм и при скорости обтекания

0 01 м/с. Тепловой поток найден в виде

=__т

Л (Яп + йл) 1п(1 + <!>*/(#„ 4- ¿л)) / Ав к ;

Ав — коэффициент теплопроводности воды. Трансцендентное уравнение, определяющее толщину слоя льда 8Л на внешней поверхности газопровода в установившемся режиме при осесим-метричной постановке задачи для неизменных температур газа

Т и окружающей воды Т*, имеет вид

_Т'~Т* = Т*~Т Ш

1п(1 + 5»/(Яп+5л))/Ав Л + 1п(1 + ¿л/Я„)/Ал '

Представлены расчеты зависимости 6Л от 6* и Т для характерных значений параметров задачи- Ал = 2.3 ;АВ = 0.6,Т* = 272 15 ;Т* = 271 15 ; Я„ = 0.5795 ; А = 0 0886631.

Величина qw при наличии слоя льда толщины дл найдена в виде

„ - (т*-т)„

(31)

Обобщенная система уравнений, учитывающая возможное наличие слоя льда, решается методом итераций. В нулевом приближении постулируется отсутствие льда на всех участках газопровода, величина задается равенством (27) и система (24), (25), (4), (27), (7) интегрируется численно в области [0,1,], Ь — длина газопровода. Найденные в нулевом приближении распределения температуры плотности и давления р(°'(г) газа во всем газопроводе и уравнение (30) позволяют определить координату г», начиная с которой на поверхности газопровода должен быть лед, и рассчитать толщину слоя льда ¿>л°^(г) в нулевом приближении для г € [г,,Ь]. В первом и последующих приближениях решение задачи уточняется в области [г*, /-/]. Лля в этой области используется равенство (31), в ьотором толщина слоя льда вл(г) берется из предыдущей итерации. Условием окончания итерационного процесса служит выполнение неравенств

шах

г.<г<1,

тах

< £

Т(*)(г) _ 1<к-1\г)

в которых к — номер итерации; е^. Сч — заданные малые величины.

В четвертой главе система уравнений обобщенной математической модели третьей главы приводится к безразмерному виду, выделяются безразмерные комплексы задачи и уравнения модели (после расщепления и с учетом найденного решения задачи о профиле локального расхода) преобразуются к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. При решении этой системы уравнений используется предложенная в главе 3 итерационная процедура, а в каждой итерации расчет распределений температуры и плотности газа осуществляется

методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. В конце четвертой главы представлены результаты численных расчетов ряда модельных вариантов транспортировки природного газа по донным газопроводам при наличии оледенения.

В заключении сформулированы выводы по результатам исследований диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Профиль скорости турбулентного течения сжимаемого газа в шероховатых трубах// В сб, "Нелинейные проблемы механики и физики" — СПб.: вып. 4, 2001, С.73-84.

2. Курбатова Г.И., Макаров М.В., Филиппов В.Б. Анализ тепловых режимов течения газа в донных трубопроводах// Вестник СПбГУ, Сер. 1, вып. 2, 2002, С.61-67.

3. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Неизотермическое турбулентное течение сжимаемого газа// Математическое моделирование, 2003, Т.15, N 3, С.92-108.

4. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Попова Е.А., Филиппов В. Б. О замыкающих уравнениях в моделях установившихся турбулентных течений в трубах// Вестник СПбГУ, Сер. 1, вып.4, 2003, С.76-88.

5. Филиппов В.Б. Модель морского газопровода с учетом оледенения// Вестник СПбГУ, Сер.1, N 1, 2004, С.103-111.

6 Филиппов В.Б. Расчет транспортировки газа по морскому газопроводу с учетом оледенения// Сб. Физическая механика. СПб, вып 8, 2004, С.45-62.

7. КурбатоваГ.И., Попова Е.А , Филиппов Б.В., Филиппов В.Б., Филиппов К.Б. Модели морских газопроводов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005, 156 с.

Р16625

РНБ Русский фонд

2006-4 12913

Подписано в печать 15 .09.2005. Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическаная. Усл. пен. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ 3663. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Филиппов, Василий Борисович

Введение

Обозначения.

Глава 1. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам в северных морях

1.1. Физическая постановка задачи.

1.2. Двумерная математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе.

1.3. Формы задания рельефа трассы.

1.4. Полуэмпирические модели турбулентности в трубах.

1.5. Выбор уравнения состояния многокомпонентной неидеальной смеси газа.

1.6. Связь внутренней энергии с температурой и плотностью газовой смеси.

1.7. Решение стационарной задачи о распределении температуры в многослойной стенке газопровода

1.8. Замкнутая система уравнений, моделирующая установившееся неизотермическое турбулентное течение многокомпонентного неидеального сжимаемого газа при малых числах Маха в цилиндрическом газопроводе с определяющим уравнением Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха-Квонга, дополненная граничными условиями на входе и на внешней поверхности газопровода (модель!).

Глава 2. Расчет профиля локального расхода сжимаемого газа в гидравлически гладких и шероховатых газопроводах

2.1. Процедура расщепления системы уравнений модели 1.

2.2. Аналитическое решение задачи расчета профиля локального расхода в гидравлически гладких газопроводах.

2.3. Итерационная процедура решения задачи расчета профиля локального расхода в шероховатых газопроводах.

Глава 3. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам с учетом оледенения

3.1. Осреднение по сечению уравнений модели I с учетом решения задачи о профиле локального расхода (модель II).

3.2. Расчет толщины слоя льда на поверхности газопровода при постоянных температурах газа и окружающей среды.

3.3. Расчет зависимости вектора плотности потока тепла на внутренней поверхности газопровода от ширины слоя льда.

3.4. Обобщенная математическая модель (модель III), учитывающая оледенение донного газопровода, и итерационная процедура решения системы уравнений модели III.

Глава 4. Численное решение задачи расчета характеристик транспортируемого газа по донным газопроводам с учетом оледенения

4.1. Приведение уравнений модели III к безразмерному виду, безразмерные комплексы задачи.

4.2. Преобразование безразмерных уравнений модели III к замкнутой системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных.

4.3. Численный расчет вариантов транспортировки природного газа по донным газопроводам при наличии оледенения.

Введение диссертация по механике, на тему "Модель донного газопровода с учетом оледенения"

АКТУАЛЬНОСТЬ.

Освоение месторождений нефти и газа в северных морях неразрывно связано с решением задачи транспортировки добываемого сырья по протяженным морским газопроводам. Расчет течения газа в таких задачах осложняется по следующим причинам.

В-третьих, температура воды в северных морях в отдельных районах близка к температуре замерзания. Поэтому даже небольшое понижение температуры газа в трубопроводе по сравнению с температурой окружающей среды может привести к его оледенению, что увеличит плавучесть газопровода и повлечет за собой изменение экологической ситуации. Поэтому необходимо тщательное моделирование процессов теплообмена.

К настоящему времени накоплен богатый опыт по расчетам магистральных газопроводов [2, 3, 4, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 44]. Используемые математические модели условно можно разделить на три группы.

I. Линейные одномерные изотермические стационарные и нестационарные модели.

Большое количество работ, обзор которых можно найти, например, в монографии [22], основано на раздельном описании гидравлических и тепловых процессов при транспортировке газа по трубопроводам. Гидравлический расчет при этом чаще всего проводится по одной из модификаций модели, предложенной И.А.Чарным в начале 60-х годов прошлого века [25]. Модель Чарного предполагает допустимость пренебрежения в уравнении движения всеми слагаемыми, кроме падения давления и трения, по сравнению с которыми предполагаются малыми конвективное слагаемое, и слагаемые, выражающие изменение импульса во времени и влияние силы тяжести. Модель в одномерном варианте сводится к следующим уравнениям неразрывности и движения: dt+ dz ~ ' Op * vM с соответствующими начальными и граничными условиями. Здесь р, р — давление и плотность в потоке газа; v — средняя по сечению трубопровода скорость газа; D — диаметр трубопровода; z — координата вдоль оси; t — время; с — скорость звука; Л — коэффициент гидравлического сопротивления, являющийся функцией числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости к.

Аналитическое решение этой системы возможно при различного рода линаризациях, например при замене квадратичного члена Ар ^ линейным Ар^- а к+v с некоторым эффективным коэффициентом fc*. Система уравнений в этом случае сводится к одномерному параболическому уравнению др с2 д2р dt к* dz2 относительно давления. Используются и другие варианты линеаризации. Подобные модели, допускающие аналитическое решение, сыграли в свое время большую роль в понимании основных закономерностей поведения давления и расхода (pv) для ряда нестационарных режимов транспортировки газа. Однако, столь упрощенное описание оказалось недостаточным для расчетов магистральных газопроводов высокого давления.

II. Нелинейные одномерные неизотермические нестационарные и стационарные модели.

Одной из наиболее содержательных является следующая одномерная нестационарная модель транспортировки неидеального сжимаемого газа по трубам, которая для постоянного поперечного сечения без притока и оттока газа через боковую поверхность имеет вид + | Ы = о, (1) d(pv) д , 2ч dy . г;М /лЧ 2

V . Р

Е = е + — г = е + -: 2 р р = z*pRgT, z* = 1 + 0,07 Q ( J) (l - 6 , (4) т i = Jск<ГГ + КГ('*-4) (г-^У (5)

То р 1 + 0,84VTV ^

Здесь использованы обозначения, принятые в диссертации (их список приведен в конце введения); ввиду важности модели (1)—(5), приведем смысл всех величин: t — время; T,v — плотность, давление, температура и средняя по сечению скорость газа; Е, е, г — полная энергия, внутренняя энергия и энтальпия газа; D — диаметр трубопровода; z — координата вдоль оси трубопровода; у = z sin (р — угол между осью трубы и горизонтальной плоскостью, координата у направлена в сторону, противоположную направлению вектора ускорения g силы тяжести; Л = A(Re, к) — коэффициент гидравлического сопротивления; а — суммарный коэффициент теплопередачи через боковую поверхность; Т* — температура внешней среды; z* — коэффициент сжимаемости газа; Rg — газовая постоянная; рс,Тс — критические давление и температура газа; сРо — массовая плотность теплоемкости при давлении

В модели (1)—(5) уравнения (1), (3) выражают законы сохранения массы и полной энергии, уравнение (2) — баланс импульса, (4) — уравнение состояния, (5) — калорическое уравнение.

Впервые полное исследование и алгоритм численного решения системы уравнений (1)—(5) было приведено в монографии О.Ф.Васильева, Э.А.Бондарева, А.Ф.Воеводина и М.А.Каниболотского [4], вышедшей в 1978 году. Эти исследования явились важным этапом в моделировании транспортировки газа. Достаточно сказать, что и в настоящее время модель (1)—(5) используется во многих работах, например, в работе В.И.Зубова, В.Н.Котерова, В.М.Кривцова и А.В.Шипилина [21], посвященной расчетам нестационарных газодинамических процессов в газопроводе на подводном переходе через Черное море. На модели (1)—(5) основаны программно-математические комплексы "CorNet" и "AMADEUS" [45, 46], упрощенные варианты этой модели используются в работах [20, 27, 28] и в работах многих других авторов. Математическая модель (1)—(5) оставляет открытыми два вопроса:

• оценка погрешности упрощения общей модели балансных соотношений, связанного с одномерным описанием течения;

• правомерность при моделировании нестационарных процессов в сжимаемых газах использования зависимости A(Re,A:), которая экспериментально найдена для установившихся течений несжимаемых жидкостей.

Несмотря на это, модель (1)—(5) одна из немногих, сочетающая в себе полноту описания процессов транспортировки газа с возможностью обозримого решения входящих в нее уравнений.

Представленная в диссертации математическая модель позволяет отчасти ответить на первый вопрос для стационарных задач (пункт 3.1. главы 3)

При сверхвысоких давлениях, характерных для транспортировки газа по морским газопроводам, отсутствует надежный экспериментальный материал, позволяющий пользоваться уравнением состояния типа (4). Необходимы дополнительные исследования ( глава 1, п.1.5.).

III. Двумерные неизотермические нестационарные и стационарные модели.

При построении нестационарных двумерных моделей течения газа в трубах главной и до сих пор нерешенной проблемой остается создание полуэмпирической модели турбулентности для нестационарного течения в трубах сжимаемого газа. Простой перенос классических полуэмпирических моделей Прандтля, Кармана, Тейлора, Ни-курадзе [7, 30], относящихся к установившимся течениям несжимаемых жидкостей, вызывает много вопросов. Другая проблема связана с решением системы нестационарных двумерных уравнений газовой динамики. Например, в цикле работ В.В.Грачева, С.Г.Щербакова,

Е.И.Яковлева [22], рассматривается нестационарная неизотермическая моделеь транспортировки газа с учетом изменения профиля скорости потока. В этих работах численное решение системы уравнений модели строится методом сеток. При таком подходе возникают очевидные трудности, обусловленные существенной разномас-штабностью процессов, а именно, максимальное изменение профиля скорости происходит в узкой пристеночной зоне, составляющей для развитого турбулентного течения при Re > 106 всего несколько сантиметров. В то же время изменения термодинамических характеристик (давления, плотности, температуры) в продольном направлении происходит на расстояниях порядка нескольких десятков километров. Авторы ограничиваются 5—10 точками расчетной сетки в поперечном направлении [22], что явно недостаточно для достоверного расчета профиля скорости даже при неравномерной по радиусу сетке. Это приводит к большим погрешностям в расчете всех характеристик течения, зависящих от профиля скорости. Названная трудность сохранятся и в стационарных двумерных задачах о течениях в трубах, которые исследуются в диссертации. В работах [2, 49] Б.В.Филипповым предложен эффективный метод решения, позво-ляющй обойти вышеназванную трудность для стационарных задач, учитывающих изменение скорости потока в поперечном направлении. Этот метод рассмотрен во второй главе диссертации.

Приведенный обзор математических моделей свидетельствует о том, что задача построения адекватной математической модели течения газов по донным газопроводам далека от завершения, поэтому исследования, представленные в диссертации, являются актуальными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Создание математической модели транспортировки природного газа по донным газопроводам, учитывающей неизотермичность процессов, неидеальность и многокомпонентность газа, возможность оледенения газопровода, шероховатость его внутренней поверхности, особенности теплоизоляции и условие контакта с морским дном. Разработка эффективного алгоритма решения системы уравнений модели и создание комплекса программ, реализующих этот алгоритм.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Предложенная математическая модель и комплекс программ, реализующих вышеназванную итерационную процедуру решения, могут быть использованы в проектных организациях нефтяной и газовой промышленности на стадиях технико-экономического обоснования и проектирования морских газопроводов в северных морях. Математическая модель транспортировки газа по донным газопроводам с учетом оледенения, представленная в диссертации, была использована при расчете транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки (губа Корабельная), а также при выполнении хоздоговорных работ по теме: "Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Европейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)", (договор N 209.03 от 13.11.2003).

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Новожилова-Павловского, уравнением состояния Редлиха-Квонга и i уравнением связи внутренней энергии с температурой и плотностью газа.

СТРУКТУРА РАБОТЫ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 105 страниц текста, 5 таблиц и список литературы, включающий 53 наименования.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрим результаты проведенных исследований по созданию математической модели транспортировки природного газа по донным газопроводам с учетом оледенения.

Представленный в главе 1 вывод системы уравнений (36.1)-(40.1) модели I из общих балансных соотношений механики сплошных сред (1.1)—(5.1) дает возможность оценить границы применимости модели I при описании реальных течений. Например, вывод о допустимости пренебрежения зависимостью т(г) основан на анализе лимитирующей стадии растространения тепла в радиальном направлении. Из этого анализа следует, что если значения коэффициентов теплопроводности многослойной стенки газопровода превышают значение коэффициента турбулентной теплопроводности газа, то пренебрежение зависимостью т(г) недопустимо.

Другим примером оценки границ использования модели I является исследование в пункте 1.4. обобщения алгебраических полуэмпирических моделей турбулентности в трубах на сжимаемые среды.

Уравнение состояния реальной многокомпонентной смеси газов выбрано в достаточно общей форме (пункт 1.5.), это усложняет вычисления, но расширяет границы использования модели I. Вывод калорического уравнения связи изменения внутренней энергии с изменениями температуры и плотности газа (28.1) отличается от традиционного, приведенного, например, в книге [4]. Вместо энтальпии i в главе 1 используется свободная энергия, являющаяся потенциалом в переменных Т, V. Это позволяет в простой форме выразить ^ через при уравнении состояния Редлиха-Квонга (18.1). В традиционном подходе вычисляется производная энтальпии при этом в уравнение баланса внутренней энергии входит производная которую надо выразить из уравнения состояния. Для обычно используемого упрощенного уравнения состояния Vp = z*RgT это легко сделать, а для уравнения состояния Редлиха-Квонга (18.1) выражение получается неудобным в вычислительном плане. Принятый подход позволяет обойти эту трудность.

В главе 2 для гидравлически гладких и шероховатых стенок газопровода решена задача расчета профиля локального расхода газа при замыкающей модели Новожилова-Павловского, обобщенной на сжимаемые среды. Решение получено в аналитической форме с использованием специальных функций. Оно параметрически зависит от эмпирической константы гг, входящей в модель Новожилова-Павловского, и выполняется в широком диапазоне изменений чисел Рейнольдса. Решение этой задачи позволяет оценить погрешность замены (и2) на (и)2, которая производится в традиционно используемых одномерных моделях, базирующихся на модели (1)-(5) книги [4], рассмотренной во введении диссертации.

В главе 3 переход к одномерной модели осуществляется на основе найденного решения задачи о профиле локального расхода. Это позволяет учесть влияние формы профиля скорости на основные характеристики течения. В главе 3 получена зависимость толщины слоя льда от температуры газа и температуры окружающей среды (31.3) в стационарной осесимметричной постановке. Рассмотрен выбор эффективного параметра <5*, отражающего условия контакта газопровода с грунтом. Получены выражения для величины qw (38.3) и (39.3), учитывающие возможное оледенение газопровода и внешнюю картину обтекания донного газопровода в рамках принятой стационарной осесимметричной модели процессов. Найденные соотношения позволяют ставить согласованную задачу расчета характеристик потока газа при наличии слоя льда и расчета толщины слоя льда при установившемся режиме течения ( модель III). Предложенная в главе 3 итерационная процедура решения системы уравнений модели III позволяет произвести этот расчет.

Численные исследования ( глава 4) показали, что при точности расчета температуры 103 градуса и при точности расчета толщины слоя льда Ю-4 метра итерационный процесс быстро сходится и достаточно нескольких итераций, число которых увеличивается при увеличении толщины слоя льда.

В главе 4 представлен алгоритм численного решения системы уравнений модели III. Задача приведена к безразмерному виду, найдены зависимости безразмерных комплексов от геометрических, газодинамических, теплофизических и внешних параметров задачи. Представлены расчеты ряда модельных вариантов транспортировки газа по донным газопроводам, в которых имеет место оледенение газопровода в конце трассы.

Созданные программы использовались при выполнении хоздоговорных работ с ОАО "ГИПРОСПЕЦГАЗ" для расчета транспортировки углеводородного сырья по проектируемым трассам в Баренцевом и Балтийском морях. В этих расчетах необходим был учет как рельефа трассы, так и изменений вдоль трассы внешних параметров Т*, <$*,/?, теплофизических параметров n,cv потока и параметров стенки газопровода <5г-, Аг-. Это привело к усложнению программы расчета, но не внесло принципиальных изменений в модель и алгоритм решения.

Математическая модель транспортировки газа по морским газопроводам создавалась па протяжении ряда лет группой ученых, возглавляемых профессором математико-механического факультета СПбГУ Б.В. Филипповым. На защиту выносятся результаты, полученные автором.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

2. Расчет профиля скорости сжимаемого газа при малых числах Маха в гидравлически гладких и шероховатых газопроводах для замыкающей модели Новожилова-Павловского в широком диапазоне изменений числа Рейнольдса.

3. Аналитическое решение стационарной осесимметричной задачи о зависимости толщины слоя льда на поверхности донного газопровода от температур газа и окружающей среды.

5. Комплекс программ, реализующих алгоритм расчета профиля скорости и распределений давления, плотности, тмпературы газа, а также толщины ледяного покрова донного газопровода.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Филиппов, Василий Борисович, Санкт-Петербург

1. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука. 1987, 409 с.

2. Дерцакян А.К., Курбатова Г.И., Неизвестное Я.В., Филиппов Б.В. Некоторые научно-технические проблемы освоения шельфа арк-тичских морей России// Труды XIII сессии междунар. школы по моделям механики сплошных сред. — СПб: 199G, С.99-109.

3. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука, 1989, 3G8 с.

4. Васильев О.Ф., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Неизотермическое течение газа в трубах. — Новосибирск С.О.: Наука, 1978, 128 с.

5. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1974, 304 с.

6. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В. Основы моделирования движущихся сплошных срд. Термодинамика. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997, 77 с.

7. Новожмлов В.В., Павловский В.А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. — СПб.: Изд-во СПб ГМ-ТУ, 1998, 484 с.

8. Глушко Г.С., Крюков И.А. Коэффициенты турбулентного переноса с учетом пульсаций плотности// М.Ж.Г. N 1, 2001, С.46-55.

9. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Кинематика сплошных сред. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999, 215 с.

10. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Элемнты тензорного исчисления.

11. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998, 233 с.

12. Турбулетность, принципы и применения. Под ред. У.Фроста, Т.Моулдена. — М.: Мир, 1980, 536 с.

13. У.Джонс. Модели турбулентных течений с переменной плотностью и горением// В кн. "Методы расчета турбулентных течений". — М.: Мир, 1984, С.349-371.

14. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей.1. Л.: Химия, 1982, 532 с.

15. Скробач А.В., Филиппов Б.В. Турбулентное стационарное движение газа в трубопроводе круглого сечения// Вестник СПбГУ, Сер.1, 1996, вып.З, N15. С.89-95.

16. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. — М.: Наука, 1989, 342 с.

17. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970, 904 с.

18. Павловский В.А. Расчет установившихся турбулентных течений вблизи шероховатых поверхностей в свете обобщенной теории101

19. Кармана// Вопросы судостроения: Сер. Проектирование судов, 1985, вып. 42. С.132-140.

20. Курбатова Г.И., Макаров М.В. Об одном интеграле системы уравнений, моделирующей турбулентное течение вязкого сжимаемого газа//Процессы управления и устойчивость. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998, С.157-163.

21. Агапкин В.М., Борисов С.Н., Кривошеий Б.Л. Справочное руководство по расчетам трубопроводов. М.: Недра, 1987, 191 с.

22. Зубов В.И., Котеров В.Н., Кривцов В.М., Шипилин А.В. Нестационарные газодинамические процессы в газопроводе на подводном переходе через Черное море// Математическое моделирование, 2001, Т.13, N4, С.58-70.

23. Грачев В.В., Щербаков С.Г., Яковлев Е.И. Динамика трубопроводных систем. — М.: Наука, 1987, 439 с.

24. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. — Л.: ЛГУ, 1970, 375 с.

25. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 Т. — М.: Наука, 1983, Т. 2.

26. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. — М.: Недра, 1975, 296 с.

27. Темпель Ф.Г. Механика газовых потоков в трубах. Л.: Недра, 1972, 213 с.

28. Кривошеий Б.Л. Теплофизические расчеты газопроводов. М.: Недра, 1983, 273 с.

29. Кривошеин Б. JI., Радченко В.П., Бобровский С.А. и др. Некоторые математические модели нестационарного течения газа в магистральных трубопроводах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974, N б, С.112-120.

30. Алътшулъ А.Д. Гидравлические сопротивления. М.: Недра, 1970, 21G с.

31. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Недра, 1974, 711 с.

32. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983, 512 с.

33. Способы, прокладки и эксплуатации трубопроводов в условиях вечной мерзлоты. М.: ВНИИОЭНГ, 1975, 111 с.

34. Рейнольде А.Дэю. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979, 408 с.

35. Telbany М., Reynolds A.D. Turbulence in a plane channel flows// Jour. Fluid. Mech., 1981. Vol.111. P.283-318.

36. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах// Проблемы турбулентности. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936. С.132-154.

37. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972, 708 с.

38. Справочник по проектированию магистральных трубопроводов// Под ред. А.К.Деркацяна. Л. 1977, 519 с.

39. Гиргидов А.Д. Техническая механика жидкости и газа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999, 395 с.

40. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Наука, 19С0, 4С4 с.

41. Ротта И.К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 19G7, 180 с.

42. Николаевский В.Н. Пространственное осреднение и теория турбулентности//Вихри и волны: Сб. статей. М.: Мир, 1984, С.266-335.

43. Слеттерн Дж,.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. М.: Энергия, 1978, 448 с.

44. Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А., Метляева Э.А. Обратные задачи стационарного неизотермического течения газа в трубах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1977, N 1, С.143-145.

45. Сухарев М.Г., Карасевич A.M. Технологический расчет и обеспечение надежности газо- и нефтепроводов. М.: Изд-во РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2000, 272 с.

46. Селезнев В.Е., Алешин В.В., Клишин Г.С. Методы и технологии численного моделирования газопроводных систем. М.: УРСС, 2002, 448 с.

47. Селезнев В.Е., Клишин Г.С., Алешин В.В., Нрялов С.Н., Киселев В.В., Бойченко А.Л., Могплохов В.В. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа. М.: УРСС, 2003, 223 с.

48. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

49. Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Профиль скорости турбулентного течения сжимаемого газа в шероховатых трубах// В сб. "Нелинейные проблемы механики и физики" — СПб.: вып. 4, 2001, С.73-84.

50. Курбатова Г.И., Макаров М.В., Филиппов В.Б. Анализ тепловых режимов течения газа в донных трубопроводах// Вестник СПб-ГУ, Сер. 1, вып. 2, 2002, С.61-67.

51. Курбатова Г.И., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б. Неизотермическое турбулентное течение сжимаемого газа// Математическое моделирование, 2003, Т.15, N 3, С.92-108.

52. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Попова Е.А., Филиппов В.Б. О замыкающих уравнениях в моделях установившихся турбулентных течений в трубах// Вестник СПбГУ, Сер. 1, вып.4, 2003, С.76-88.

53. Филиппов В.Б. Модель морского газопровода с учетом оледенения// Вестник СПбГУ, Cep.l, N 1, 2004, С.103-111.

54. Филиппов В.Б. Расчет транспортировки газа по морскому газопроводу с учетом оледенения// Сб. Физическая механика. СПб, вып. 8, 2004, С.45-62.

55. Курбатова Г.И., Попова Е.А., Филиппов Б.В., Филиппов В.Б., Филиппов КБ. Модели морских газопроводов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005, 156 с.