Решение некоторых смешанных обратных краевых задач по параметру х для односвязных и двусвязных областей в случае полигона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОД

О П ^ ' I ' ■ ■ ■ 1

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМеНИ В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

СТРЕЖНЕВА Елена Васильевна

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СМЕШАННЫХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАЛАЧ ПО ПАРАМЕТРУ X ДЛЯ ОДНОСВЯЗНЫХ И ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ В СЛУЧАЕ ПОЛИГОНА

. 01. 01. 01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского Инженерно-Строительного института.

Научм&й руководитель -

доктор физико-математических наук,

профессор Р. Б. САЛИМОВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник НИИММ А. М. ЕЛИЗАРОВ, кандидат физико-математических наук,

доцент Марийского гос. университета Р. Г. АВХАДИЕВ.

(

Ведущее предприятие -Саратовский государственный университет.

Автореферат разослан * *_199 г.

Защита состоится " ^ " фгё/^а </Ы. 199^г.

в 14.00 на заседании специализированного Совета но математике К» К 053.29.05 в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.Й.Ульявова-Ленипа по адресу: 420008, г. Казань-8, ул. Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Ученый секретарь

специализированного Совета профессор

Б.Н.Шапуков.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми обусловлена тем, что решение многих прикладных задач механики сплошных сред связано с так называемыми смешанными обратными краевыми задачами (ОКЗ), т.е. задачами об отыскании области с частично неизвестной границей и аналитической в ней функции по краевым условиям для ©той функции на границе области. При исследовании этих задач сложными являются вопросы существования, единственности и однолистности решения. При анализе таких результатов для смешанной обратной краевой задачи, поставленной и исследованной В.Н.Монаховым ([7], глава III), нами была замечена возможность такой модификации постановки задачи, при которой можно описать зависимость решения от геометрии границы искомой области, исследовать его свойства п затем на базе полученных результатов рассмотреть новые типы внутренних и внешних смешанных ОКЗ.

Целью настоящей работы, является исследование некоторых смешанных ОКЗ для односвязных п двусвязных областей, выяснение вопросов разрешимости, получение интегрального представления решения, изучение его поведения вблизи особых точек границы и построение некоторых достаточных условий однолистности.

Основными методами исследования являются методы геометрической теории функций комплексного переменного, теории краевых задач и эллиптических функций.

Научная новизна. Впервые даны решения внешней смешанной ОКЗ теории аналитических функций по параметру с для односвязкой области в случае полигона, а также решения аналогичных внутренних и внешних смешанных ОКЗ для двусвязных областей; при этом индекс указанных задач может

принимать любые целые значения. Доказаны теоремы разрешимости, получены интегральные представления решений, исследована зависимость »тих решений от геометрии границы искомой области.

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы при исследовании смешанных ОКЗ для системы полигонов, для бесконечносвяз-ных областей (решеток) и других смешанных ОКЗ, а также в теории фильтрации и других разделах механики сплошных сред.

Аппробация работ». Результаты .диссертации докладывались на X Кубанской школе-конференции по теории функций (1991г.), на VI Саратовской зимней школе-конференции (1992г.), на ХЫ11, ХЫУ Республиканских конференциях (Казань, 1991, 1993гг.), на международной весенней Воронежской школе-конференции "Понтрягинские чтения - ГУ (1993г.), на городском семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (Казанский университет).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь статей.

Объем работы.. Диссертация изложена па 133 страницах машинописного текста, содержит 8 рисунков и состоит из введения, двух глав, подразделяющихся па 14 параграфов, списка литературы из 75 наименований.

П. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведены исторический обзор развития теории смешанных ОКЗ для аналитических функций и краткое содержание работы.

Как известно, смешанной обратной краевой задачей для аналитических ^ункцийназывается задача об отыскании обла-

ста с частично неизвестной границей и аналитической в ней функции по краевым условиям для этой функции на границе области.

Смешанные О КЗ являются естественным обобщением обычных обратных краевых задач, в которых граница искомой области полностью неизвестна.

Различными вариантами смешанпых ОКЗ является целый ряд задач математической физики, в которых необходимо определить форму некоторых линий, являющихся частями границы изучаемой области (задачи гидромеханики, теории фильтрации, электро - н магнитостатики, теории упругости, теории взрыва на выброс [3, 5, 7, 14]).

Одна из первых формулировок смешанной ОКЗ содержится в работе Б.Лемченко [15], где дана постановка смешанной ОКЗ для гармонической функции. М.Т.Нуясину [14] принадлежит следующая постановка смешанной ОКЗ: на известном участке границы области Ва заданы значения действительной или мнимой части искомой функции на неизвестном - зпаченпя всей функции. В.Н.Монахов [7] поставил я исследовал следующую смешанную ОКЗ: на известном участке границы Ьв — 1\-\-Ь\ области Д* задается соотношение Ф((р, ф) = 0 между <р, ф -действительной и мнимой частями аналитической функции те =9+На искомой границе задаются значения = Р(т)> где г - один из

параметров: г=|хг |, Не я, а - дуговая абсцисса.

Как уже отмечалось выше, основными вопросами при рассмотрении смешанных ОКЗ являются вопросы существования и единственности решения. Исследованием этих вопросов как для прикладных смешанных ОКЗ, так и для задач в чисто математической постановке занимались Л.А.Аксен-тьев, Р.Г.Авхадиев, Ф.Г.Авхадиев, И.Л.Гуревич, А.М.Ели-

заров, Н.Б.Йлыгаский, С.Р.Насыров, М.Т.Нужин, Ю.А.Решетников, В.С.Рогожин, Н.Б.Салимов, Р.Б.Салимов, Г.Г.Ту-машев, I. Ьегтау , А.^Уешв1еш, В.Н^Шшш>в, Т.О.ВеаИу и ¿СШаггатоге, а также другие исследователи. Описание этих результатов можно найти в монографиях [7, 14], а также обзорных статьях [1, 2, 3, 5].

Перейдем к изложению результатов диссертации.

В главе 1 исследованы внутренняя и внешняя смешанная ОКЗ по параметру т для одаосвязной области в случае полигона.

В параграфе 1.1 дана постановка внутренней задачи.

НАЙТИ

в конечную односвяэную область Ля (вообще говоря, мно-голистную) с кусочно гладкой ераницей, расположенную в плоскости комплексного переменного и

в аналитическую в 9той области функцию w(z)/ непрерывную вплоть до границы и конформно отображающую область Юг на заданную конечную о дно связную область Бк с кусочно ляпуновской границей в плоскости комплексного переменного

если известно, что граница X* области состоит из двух искомых жордановых линий: ломаной Ь\, содержащей п-1 прямолинейных звеньев, и гладкой кривой 1?2, соединяющей концы полигона

На кривой Ь1 задана значения функции ¥7(я) в виде однозначных ветвей, непрерывно переходящих друг в друга, представляющих собой функции параметра г - абсциссы точки которые определяют кривую Ляпунова . Кроме того, в неявном виде V1) = 0 задана кривая Ляпунова ¿4, которая вместе ,с кривой образует замкнутую жорданову кривую внутренность которой определяет область Ю*.

На кривой Ц, заданы образа вершин ломаной

В отличие от работ В. Н.Монахова [6, 7], где ломаная фиксирована (задается полностью), в приведенной постановке задаются углы при вершинах ломаной и образы этих вершин на кривой а длины звеньев линии Ь\ определяются в процессе решения.

Далее в параграфе 1.1 указан способ сведения данной внутренней задачи к задаче о нахождении производной функции г = л(С), конформно отображающей круг : ¡С| < 1, расположенный в плоскости комплексного переменного С = ре'7, 0 < 7 < 2т, на область Функция %'{£) является решением краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для круга Л( (по терминологии Ф.Д.Гахова [4] (с.264)), которая имеет вид

Ле [е-^йг'Ю] = с(*), < € -граница области (*)

где Ф(<), с(1) - известные функции.

Указанное сведение осуществляется лишь при выполнении условия вида

1т{е-'ф^Ь'(<)} <0, 1 = е'7, 71 < 7 < 7п, И

{Ь\ — дуга окружности, соответствующая ломаной),

которое обеспечивает жордановость ломаной Ь\.

Затем на основании некоторых известных заранее свойств функции г'(С) [8, 13] указан класс функций, в котором ищется решение.

В параграфе 1.2 проведено полное исследование краевой задачи Гильберта (*), при этом существенно использованы результаты статьи [11]. В итоге получены условия разрешимости и интегральное представление для функции я'(С)>

которые зависят от индекса ае указанной задачи Гильберта. Последний тесно связан с геометрией границы искомой области, а именно, вычисляется но формуле

а = Ф(е^)

7=2 л-

= N 4-1/2 ± 1/2,

•7=0

( верхние знаки берутся для случая -5 < < у, нижние -для случая 2 < 1/х < §, щт есть угол наклона первого звена ломаной к вещественной оси). Здесь N - целое число, опре-

п-1

деляемое из формулы для угла Цп-г*, Цп-\ =41+ У) (1—1аз)~

&

= ^ + < 1/п < образованного звеном1 Ап-\Ап ло-

маной Ь\ с действительной осью. Очевидно, что при достаточно больших N ломаная должна совершать несколько оборотов против часовой стрелки вокруг точек А\ и Ап (или одной из них).

Полученное интегральное представление имеет вид

*'(С) = %(0,С) + /(С,т...Ы, (***)

где 5(с(*), С) - построенный сингулярный оператор, /(С,ИХ ...Цт) - известная функция, цк, к = \,т - произвольные действительные постоянные, число которых зависит от ае и может быть равным нулю.

В параграфе 1.3 на основе [8, 9] дано представление сингулярных интегралов 5(с(1),С), входящих в решение задачи

1 Через Ац, А2,..., Ап обозначены вершины ломаной, которые при обходе Ь\ в положительном направлении, при котором область Бх остается слева, следуют друг за другом.

Гильберта (*), в окрестности особых точек границы области. На основе этого представления, условия (**) сведения смешанной ОКЗ к краевой задаче Гильберта и условия разрешимости последней доказаны теоремы 1 и 2 о существовании и интегральном представлении решения внутренней смешанной ОКЗ.

В параграфе 1.4 изучено поведение интегрального представления решения (***).

В параграфе 1.5 исследована внешняя смешанная ОКЗ, постановка которой отличается от постановки внутренней задачи только тем, что искомая область Иг теперь содержит бесконечно удаленную точку, в которой аналитическая в /?а функция принимает значение теообД». Доказана теорема 3 о существовании и интегральном представлении решения.

В параграфах 1.6 и 1.7 получены достаточные условия однолистности решения одной внутренней и одной внешней смешанной ОКЗ для односвязной области (теоремы 4 и 5). Показано, как за счет выбора произвольных постоянных, входящих в интегральное представление решения, можно добиться разрешимости задачи и получить однолистную область Ох.

Глава 2 посвящена исследованию внутренних и внешних смешанных ОКЗ но параметру х для двусвязной области в случае полигона.

В параграфе 2.1 дана постановка внутренней смешанной ОКЗ для двусвязной области с кусочно гладкой границей

которая состоит из даух замкнутых жордановых кривых - ломаной и гладкой кривой Х^, вложенной в ломаную. Заданы углы при вершинах ломаной и образы этих вершин в области значений аналитической в функции непре-

рывноё вплоть до границы и конформно отображающей искомую область на заданную конечную двусвязную область Бл,. Граница последней состоит из двух замкнутых жор дан о-вых кривых Ляпунова Ь\, и X«, отвечающих при отображении соответственно кривым Ь\ и X«, причем кривая X* вложена в кривую X* .

Далее данная внутренняя задача при выполнении условия вида (**) сведена к краевой задаче Гильберта вида (*) с разрывными коэффициентами для кольца : д<|С|<1.

В параграфе 2.2 дано решение полученной в 2.1 задачи Гильберта, при ©том использованы результаты статьи [12]. Построены условия разрешимости и интегральное представление решения последней, которое имеет вид (***), т.е. содержит определенное число произвольных постоянных, определяемое индексом ж.

В параграфе 2.3 доказана теорема 6 о существовании и интегральном представлении решения смешанной ОКЗ параграфа 2.1, которая получена на основе условия (**) сведения рассматриваемой задачи к соответствующей задаче Гильберта, а также на условиях разрешимости в на поведении сингулярных интегралов, входящих в представление решения последа ей.

В параграфе 2.4 поставлена внешняя смешанная ОКЗ теории аналитических функций для двусвязной области, ограниченной двумя замкнутыми кривыми: ломаной X* и гладкой кривой Ь\. В отличие от задачи параграфа 2.1 кривые X* и не являются вложенными друг в друга, а область Вя содержит точку г — оо, причем известно, что точка w00 = \у(оо) 6 -О*. Получено интегральное представление решения и условия разрешимости (теорема 7).

В параграфе 2.6 поставлена обобщенная смешанная ОКЗ

теории аналитических функций для двусвязной области, отличающаяся от задачи параграфа 2.1 тем, что кривая охватывающая гладкую кривую имеет в своем составе ломаную X" и гладкую дугу Последним в плоскости V/ отвечают кривые Ляпунова Ь]? и X", дающие замкнутую жорданову кривую . Получены - краевая задача Гильберта типа (*), в которой сводится данная обобщенная задача, и условие сведения вида (**). Указаны условия разрешимости задачи (*), построено интегральное представление ее решения.

Далее на основе условия (**) н условий разрешимости задачи Гильберта доказана теорема 8 о существовании и интегральном представлении решения рассматриваемой смешанной ОКЗ.

Основные результаты диссертации:

1. Получены условия разрешимости и интегральные представления решений внутренних п внешних смешанных обратных краевых задач теории аналитических функций по параметру х для одкосвязных п двусвязных областей в случае полигона, индекс которых может принимать любые целые значения.

2. Исследована зависимость этих решений от геометрии границы искомой области.

3. Изучено граничное поведение интегральных представлений решений для односвязной области.

4. Установлены некоторые достаточные условия однолистности решения задачи для односвязной области.

Ш. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К решению одной обратной смешанной краевой задачи / Казан, инж-строит. ин-т.- Казань, 1989.- 34 е.- Библвогр.: 10 назв.- Деп. в ВИНИТИ 29.06.89, №4312-В89.

2. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. Решение обратной смешанной краевой задачи для доусвязной области в видоизмененной постановке / Казан, инж.-строит. ин-т.-Казаль, 1990.- 26 е.- Библиогр.: 10 назв.- Деп. в ВИНИТИ 29.12.90, №6487-В90.

3. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К вопросу об обобщенном принципе аргумента в теории аналитических функций / Казан, инж.-строит, нн-т.- Казань, 199114 с - Баблиогр.: 9 назв.- Деп. в ВИНИТИ 27.06.91, №2736-В91.

4. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К решению обратной смешанной краевой задачи // Труды семинара по краевым задачам.- Казань: КГУ, 1992.- Вып. 27.-С. 9Б-117.

5. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. О некоторых вопросах разрешимости и однолистности обратных смешанных краевых задач теории аналитических функций для односвязной и двусвязвой областей в случае полигона // Сб. тез. докладов. Понтрягинские чтения-IV,-Воронеж: ВГУ, 1993.- С.166.

6. Стрежнева Е.В. Решение обратной смешанной краевой задачи для двусвязной области в одном случае / Казан. шш,-строит, ин-т.- Казань, 1990,- 32 е.- Библиогр.: 8 назв.- Деп. в ВИНИТИ 29.12.90, J02736-B91.

7. Стрежнева E.B. К вопросу однолистности одной обратной смешанной краевой задачи, / Казан, инж.-строит, ин-?.- Казань, 1992.- 21 е.- Библиогр.: 8 назв.- Деп. в ВИНИТИ 04.03.92, №706-В92.

Л нтеранура

1. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.A., Елизаров A.M. Достаточные условия конечлолистности и их приложения / / Итоги науки и тех инки. Сер. Математический анализ.-М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987.- Т. 25.- С. 3-122.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев J1.A. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи мат. наук.- М., 1975.- Т. 30.-Въга. 4 - С. 3-60.

3. Аксентьев JI.A., Ильинский Н.Б., Нужпп М.Т., Сали-мов Р.Б., Тумашеп Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1980,- Т. 18.- С. 67-124.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

5. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1989.- Т. 23.- С. 3-115.

6. Монахов В.Н. Об обратной смешанной краевой задаче // Исследования по совр. проблемам теории функций компл. переменного.- М.: Физматгиз, 1961.- С. 375-380.

7. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений.- Новосибирск: Наука, 1977.- 424 с.

8. Мусхелшпвили Н.Й. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике.- М,: Физмат-гиз, 1962 - 599 с.

9. Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интегралов с ядром Гильберта // Изв. вузов. Матем- Казань, 1970.— №12,- С. 93-96.

10. Салимов Р.Б.,Селезнев В.В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами // Тр. семинара по краевым задачам- Казань: КГУ, 1979-Вып. 16.- С. 149-162.

11. Салимов Р.Б., Селезнев В.В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца // Тр. сем. по краевым задачам.- Казань: КГУ, 1980.-Выл. 17.- С. 141-154.

12. Салимов Р.Б., Славутин M.JI. Поведение производной функции, реализующей конформное отображение, вблизи угловой точки границы области // Изв. вузов. Матем.- Казань, 1984.- № .- С. 71-76.

13. Тумашев Г.Г., Нужин М.Г. Обратные краевые задачи и их приложения. - Казань: КГУ, 1965,- 333 с.

14. Demtcheako В. Stir иве problemе inverse an problemе Bi-richlet // С.- R., 1929.- Т. 89.