Внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи по параметру x тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УДК 517.54

На правах рукописи

Низамиева Лилия Юнисовна

Внутренние и внешние смешанные обратные

краевые задачи по параметру x 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Казань - 2011

4845946

Работа выполнена на кафедре математического анализа ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Насыров Семен Рафаилович

доктор физико-математических наук, профессор Расулов Кахриман Мирземагомедович

доктор физико-математических наук, доцент Шабалин Павел Леонидович

ГОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет»

Защита состоится «26» мая 2011 г. в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: г. Казань, ул. Профессора Нужина, д. 1/37, Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н. Г. Чеботарева, ауд. 337 (324).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан «26» апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию внутренних и внешних смешанных обратных краевых задач по параметру х.

Под обратными краевыми задачами понимаются задачи отыскания контура по заданным на нем значениям функции и функции, аналитической внутри этого контура. Обратные краевые задачи - научное направление, получившее широкое применение в задачах механики сплошных сред и физики. К настоящему времени оно довольно хорошо разработано и находит приложение в таких областях как аэродинамика, гидродинамика, теория фильтрации, теория взрыва, электрохимическая размерная обработка металлов.

Развитие теории обратных краевых задач началось с работы Г. Г. Тумаше-ва1, где дано точное и эффективное решение некоторых задач гидромеханики. М.Т. Нужин2 дал общую постановку обратной краевой задачи и сформулировал ее впервые как математическую задачу для аналитических функций. С тех пор теория обратных краевых задач стала активно развиваться. Обратным краевым задачам посвящено большое количество работ казанских математиков и механиков.

Одной из основных обратных краевых задач для аналитических функций является внешняя обратная краевая задача по параметру в в постановке Ф. Д. Га-хова. Решение задачи осуществляется следующим образом: сначала восстанавливается аналитическая функция х(ш) = в области ограниченной кривой Ьш с уравнением ш — ^(а), а затем определяется функция г(ш), обратная к искомой. Ф. Д. Гахов вывел уравнение для определения полюса функции г(и>) и доказал его разрешимость. В дальнейшем оно изучалось многими авторами (Л. А. Аксентьев, М. И. Киндер, А. В. Киселев, С. Н. Кудряшов, С. Р. Насыров, В. С. Рогожин, С. Б. Сагитова, П. Л. Шабалин и др.), которые изучали вопросы единственности решения этого уравнения, структуру множества его корней и пр.

Обобщением обратных краевых задач являются смешанные обратные краевые задачи, которые состоят в определении области £>2 с частично известной границей и аналитической в ней функции ад = и>(г), которая конформно отображает

1 Тумашев, Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному закону распределения скорости или давления / Г. Г. Тумашев // Уч. зап. КГУ им. В.И. Ульянова-Ленина. - Казань. - 1952. - т. 112. - кн. 3. - С. 3-24.

2Нужин, М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении: к определению формы сечения скручиваемых стержней / М. Т. Нужин // Уч. зап. Казан.-ун-т. - Казань. - ДО 109. - кн. 1. - 1949.

£>2 на жорданову область 0„, по некоторым краевым условиям. Исследованием смешанных обратных краевых задач по различным параметрам занимались занимались Б. Демченко, Г. Г. Тумашев, М. Т. Нужин, В. Н. Монахов, М. И. Хай-кин, Н. Б. Салимов, А. М. Елизаров и др.

Впервые смешанную обратную краевую задачу по параметру х поставил и исследовал В. Н. Монахов3. Смешанная обратная краевая задача по параметру х исследовалась также в работах Р. Б. Салимова, Е. В. Стрежневой, С. Р. Тлюстен, Е. В. Губкиной, И. Б. Давыдкина, С.Р. Насыровым и др.

Целью данной работы является вывод дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца, разработка приближенного метода решения внутренних смешанных обратных краевых задач по параметру х методом движущегося разреза, а также получение аналога уравнения Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности, содержащей точку ветвления произвольного порядка, расположенную над бесконечно удаленной точкой, и доказательство его разрешимости.

Научная новизна работы состоит в следующем.

Получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

Получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интегральном представлении решения для смешанной обратной краевой задачи по параметру х с полигональной известной частью границы.

Построен аналог уравнения Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности, содержащей точку ветвления произвольного порядка, расположенную над бесконечно удаленной точкой, и доказана его разрешимость.

Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при исследовании обратных краевых задач со свободной границей механики сплошных сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Уфимской международной математической конференция, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (2007); на XIV Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функции и их приложения», посвященной памяти академика П.Л. Ульянова

3Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов. - Новосибирск, 1977. - 424 с.

(2008); на IV Петрозаводской конференции по комплексному анализу (2008); на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор Л. А. Аксентьев); на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского университета (руководитель

— профессор Ф. Г. Авхадиев); Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопро-сы»(2009); на итоговой научной конференции Казанского университета (2010, 2011), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, из них одна - из списка, рекомендованного ВАК РФ. В совместных публикациях [1], [3], [4], [5], [6], [10] научному руководителю принадлежат постановка задач и предложенные методы исследований, доказательства - автору.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи параграфов, объединенных в три главы, и списка литературы, содержащего 111 названий. Работа изложена на 102 страницах машинописного текста и содержит 23 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследуемой теме, изложено содержание работы, приведен список результатов, выносимых на защиту.

В первой главе получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца. Проблема определения констант (акцессорных параметров) в интеграле Кристоффеля

- Шварца была поставлена работах Э. Кристоффеля и Г. Шварца. Существуют различные методы определения этих констант, предложенные М. А. Лаврентьевым, А. Вайнштейном, С. Бергманом, Н. П. Стениным, Л. В. Канторичем, И. С. Хара, В. Коппенфельсом, Ф. Штальманом, П. Ф. Фильчаковым, П. П. Ку-фаревым, Т. А. Дрисколом и другими.

В § 1.1. приводятся необходимые для последующего изложения материала определения конца и простого конца односвязной области, семейства областей, а также некоторые сведения из теории простых концов для последовательности областей.

В § 1.2. выводится система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

Для нахождения этих параметров мы предлагаем подход, идейно близкий к методу П.П. Куфарева4. В основе нашего подхода лежит использование краевых задач Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами и вариаций их решений.

Функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на п-угольник, внутренние углы которого равны о^тт, «27г, ..., апж, представляется в виде интеграла Кристоффеля - Шварца

Вещественные числа si, S2, ..., sn, являются координатами точек вещественной оси, соответствующих вершинам Р\, Р-2, —, Рп тс-угольника.

Рассматривается вспомогательная задача нахождения семейства конформных отображений верхней полуплоскости на плоскость с разрезом по ломаной, состоящей из луча и части границы заданного многоугольника Р1Р2 ■ ■ ■ Рп- Применяя в случае необходимости преобразование поворота, можем считать, что луч идет по вещественной оси. Конец разреза движется по контуру многоугольника от первой вершины Р\ до последней Рп, луч имеет вершиной точку Pi и направлен в сторону вершины Рп. Предполагается, что сторона Р\Рп выбрана таким образом, что луч пересекает границу многоугольника только по этой стороне (рис. 1).

Сначала отобразим верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по лучу от оо до Р\. Затем рассмотрим конформные отображения верхней полуплоскости на плоскость с разрезом вдоль луча от оо до Р\ и части отрезка [Рх, Р>]. Конец разреза движется от Р\ к р>. Зададим соответствие трех точек: = — 1 переходит в Рь <2 = 1 в Р'1, оо в оо. Далее из точки Рг выпускаем разрез в направлении

4См., например, Александров, И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций / И, А. Александров. - М.: Наука, 1976. - 344 с.

©

-1 1

Рп Pl

Рис. 1

точки Р3 и удлиняем его, пока не дойдем до точки Рз и т. д. до тех пор, пока ломаная не обойдет границу многоугольника, за исключением стороны Pn.Pi.

Функция г(£), отображающая верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по ломаной в случае, когда конец разреза лежит на к-ом звене ломаной (к = 1, п), представима в виде интеграла Кристоффеля - Шварца:

где <х,-тг — внутренние углы многоугольника, 21 - аффикс точки Р\. Можно считать, что значения параметров ¿1 и ¿2 фиксированы и равны (—1) и 1 соответственно.

Вариация <5х отображающей функции (1) в случае, когда конец разреза лежит на к-й стороне ломаной, может быть найдена как решение вполне определенной краевой задачи Гильберта. Используя (1) и равенство = получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения параметров и С.

Теорема 1. Акцессорные параметры в интеграле Кристоффеля - Шварца (1) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

= 3<3<2к + 1,зфк + 1,

ат г3 - гк+1

Л1м = афк+1 - 1) + а2{Ь+1 + 1) + - 1)х

Лт

к

1 ¿С 2а\ 1 1 — ау

С ¿г ~ + + (1 + 4+1) ¿т ~ ^ Т+17

2—4

1 - а^- &2к+2~

* а,- — 1 . ,9 _. а,- — 1

,=1 - + ¿2А+2-.? ¿Г

Когда конец разреза доходит до вершины Рк+1, осуществляется переход к новой системе, соответствующей случаю, когда конец разреза движется по (& + 1)-й стороне. При этом в качестве начальных условий для новых параметров используются значения, которые соответствуют финальному значению параметров, полученных на к-м этапе. Их количество увеличивается на 2. Когда на

(n — 1)-м этапе конец разреза стремится к вершине Р„, значения параметров tj, 3 < j < тг стремятся к искомым акцессорным параметрам Sj.

В § 1.3 рассмотрены примеры определения акцессорных параметров для следующих случаев:

1) конформного отображения верхней полуплоскости на шестиугольник с вершинами в точках: 1, 2, 3 + г, 2 + 2г, 1 + 2г, г и углами ах7Г = с*з7г = 047т — а^п = 37г/4, ск2К = = 7г/2;

2) конформного отображения верхней полуплоскости на шестиугольник с вершинами в точках: 0, 1, 3 + г, 2 + 2г, 1 + 2i, i и углами а\тг — 7г/4 + arceos 1/V5, а>2К — тг/2 + arccos2/\/5, аз71" — = — 37г/4, аб7г = тг/2.

В главе 2 рассмотрен приближенный метод решения внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х. Дадим постановку задачи.

Пусть D- — жорданова область на плоскости, ограниченная кривой Lz, которая состоит из двух дуг L\ и причем L\ известна, a L^ является искомой. Обозначим через z* = х* + iy* и z** = х** + iy** точки стыка дуг L\ и L2Z. Смешанная обратная краевая задача по параметру х состоит в определении области Dz и аналитической в ней функции w — w(z), которая конформно отображает Dz на жорданову область Dw по следующим краевым условиям.

1) Граница Dw состоит из двух ляпуновских дуг, пересекающихся под ненулевыми углами, причем при отображении w = w(z) дуге L\ соответствует дуга

a L\ - дуга L2W.

2) Дуга L\ является графиком непрерывной функции у = д(х), х* < х < х**, при этом точкам вида x+ig(x) € L\ соответствуют точки ip(x)+iip(x) £ L2W, х* < х < х**, где tp(x) и ф(х) — непрерывно дифференцируемые функции (рис. 2).

У

®

L\

Li

®

\

'w

/

/

X

Ч>

Рис. 2

Впервые эху задачу поставил и исследовал В. Н. Монахов. Основная его идея заключалась в замене кривой Ь\ близкой ломаной с вершинами в точках г\, ¿2,..., 2П (¿1 = г**, гп = г*). Он предложил конформно отобразить область на верхнюю полуплоскость Д; функцией £ = £(ги) и искать функцию л = обратную к функции £ = Поскольку по функции г = г(£) область Ог

и функция го = ги(г) сразу определяются, то в дальнейшем для удобства будем называть функцию 2 = г (С) решением задачи.

Интегральное представление для функции г(£) в случае, когда Ь\ - ломаная, имеет вид:

С

т ]

«1

где

|и|>1

Оно зависит от параметров я*, причем вх = —1, й„ = 1, в*, 2 < к < п — 1, неизвестны, Ь(и) - определяемая из краевых условий функция. Здесь а^ж, 2 < ] <к — 1, углы ломаной Ь\ в точках гу, агтг — угол между звеном г^ и лучом Ь**\ а„7г — угол между звеном г2п — 1г„ и лучом Ь**.

Отметим, что ситуация здесь похожа на ту, которая имеет место для интегралов Кристоффеля - Шварца: при фиксации параметров — 1 < вг < вз < ... < в„_1 < 1 произвольным образом получается решение задачи, но не для ломаной Ь\, а для некоторой другой ломаной Ь\, стороны которой параллельны сторонам Ь\, а длины сторон, вообще говоря, другие. Назовем параметры З)-, 2 < к < п— 1, по аналогии с интегралами Кристоффеля-Шварца, акцессорными параметрами.

В данной работе мы предлагаем приближенный метод нахождения акцессорных параметров — так называемый метод движущегося разреза. Наш метод основан на рассмотрении однопараметрических семейств решений задачи по параметру х в случае, когда известная часть границы состоит из двух лучей Ь* = [х = х*, у > у*}, Ь** = {х — х**, у > у**} и удлиняющегося разреза, конец которого пробегает ломаную Ь\ от точки г\ до точки гп. В случае, когда конец разреза располагается на (к — 1)-м звене, получаем разрез вдоль ломаной с вершинами в точках 21 = ж" + гу**, 22..., и точке 2*., которая является подвижным концом ломаной (рис. 3).

Интегральное представление решения в этом случае имеет вид

С

*г 1

7П

к

где

7гг J

М>1

к-1

= ' ,

-1 = ¿1 < ¿2 <...<% < = 1, вектор Г = (<2,..., Точки 2 < ] < 2к, назовем акцессорными параметрами. Отметим, что точка соответствует концу разреза, точкам tj и <2соответствуют простые концы области Пг с носителем в точке г^, 1 < У < к — 1, а точке ¿2Л — простой конец с носителем в оо.

-1 ¿2

tк Ьк 1

Рис. 3

Теорема 2. Акцессорные параметры в интегральном представлении для внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х с полигональной известной частью границы удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

=-^г, 2<з<2 к,зфк,

¿т О

<Ик _ 1 I с*1 _«1

<1т Ф(4, г) 1^ + 1 Ц - ¿2А-1 ^ - Ьк к-1

+

к-1 / Л , а, — 1 а,- — 1

+-+ \ -

В § 2.2 рассмотрен пример определения акцессорных параметров в случае, когда известная часть границы области £>— это заданная четырехзвенная ломаная с вершинами в точках >1(1; 0), В(|;|), С(-|;|), £>(—1,0), #(£) = Иег = —

1*1 > 1В главе 3 рассматривается внешняя смешанная обратная краевая задача по параметру х на полигональной римановой поверхности в случае, когда эта поверхность имеет точку ветвления, расположенную над бесконечностью. Построен аналог уравнения Ф.Д. Гахова и доказана его разрешимость для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х. Отметим, что случай простого полюса соответствующей задачи рассматривался в статье5.

В § 3.1 рассматривается случай с простой точкой ветвления на бесконечности. Дается постановка внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности, содержащей простую точку ветвления, расположенную над бесконечно удаленной точкой:

Пусть В2 — односвязная многолистная область (риманова поверхность) над сферой Римана, содержащая ровно одну точку Р, лежащую над оо (точка Р — простая точка ветвления, других точек ветвления в £>г нет), с границей Ьг, которая состоит из известной дуги Ь\ и искомой дуги В дальнейшем будем считать, что:

1) Ь\ — полигон с вершинами гь = а;* + гук, 1,..., п, причем положительное направление обхода Ь\ соответствует движению от г\ к гп и х\ = а < Ь — хп;

2) Ь\ такова, что любая прямая, параллельная мнимой оси, пересекает ее не более, чем в одной точке;

3) в своих граничных точках локально однолистна (рис. 4).

Требуется найти Ь\ и аналитическую в области функцию ш(-г), конформно

отображающую £>г на жорданову область и удовлетворяющую следующим краевым условиям:

а) В плоскости ш = <р 4- # дуге Ь\ соответствует дуга Ь2 с уравнением \р = /1 (аг), ф = /2(2), где /1(1) + г/г(х), х 6 [а, 6], — граничные значения искомой аналитической функции ш(г) на Ь2г и х — Яег;. Будем предполагать, что функция ш{х) непрерывно дифференцируема и ш'{х) ^ 0, а < х <Ь.

б) Уравнение дуги Ь^, дополняющей Ь„ до замкнутого контура = дОи,

Ф{<р,ф) = 0

5Насыров С. Р., Галиуллина Г. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру // Известия вузов Математика. Л"5 10. - Казань, 2002. - С. 25-30.

считается заданным. Предполагается, что функция Ф(<р, ф) дважды непрерывно дифференцируема и гладкие дуги Ь^ и Ь^ образуют в точках стыка шг и ненулевые углы 7Г71 и 7Г72.

Для нахождения интегрального представления решения используется метод, предложенный В. Н. Монаховым6. Полуплоскость = {1т £ > 0} конформно отображается на £>и функцией ш = А(£) так, чтобы точки оо, ^ = 1, ¿„ = —1, лежащие на вещественной оси, переходили соответственно в фиксированные точки и>0 £ ы 1 и ш2- Пусть — точки на границе /?(, соответствующие вершинам ломанной Ь\, к = 1,...,п. Через Со обозначена точка в £><;, соответствующая точке оо в плоскости г.

Построено интегральное представление решения, которое имеет вид

г = С) = +

/

-Л,

(2)

где П(С) — П(С~ 1, ¿л — точки на границе Д;, соответствующие вер-к=1

'Монахов, В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов. - Новосибирск: Наука, 1977. - 424 с.

шинам ломанной Ь\, к = 1,..., п.

Условием однозначности функции будет служить равенство с_х = 0, где с_ 1 — вычет функции ¿Р(£)/с1( в точке С = Со-

Показано, что для разрешимости внешней обратной краевой задачи необходимо выполнение условия

12 6 У # I /у % V V &

(С-С)2

м(С) +

\ 1

гДе /3; = — 1, j = l,...,n,

+ (2 Ё ^т - ^] ^(0 + 2<Ж) - о- (з)

шл /'ШСл шл Г

1 ..

Щф-Сг

Это условие (3) есть аналог уравнения Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой ветвления на бесконечности. Также доказана его разрешимость. Обозначим

А А

Тогда (3) эквивалентно уравнению

с(о := [12 - б(с - 0-5(0+(с - о2(52(о+т)] м{ о+

+2 [(С - 02£(0 - 3(С - 0] Щ) + 2(С - 02<3(С) - о-

Функция 0(0 определяет некоторое векторное поле в верхней полуплоскости, которое непрерывно продолжается в замыкание верхней полуплоскости за исключением точек ¿у, 1 < у < п. Доказано, что это векторное поле обращается в нуль по крайней мере в одной точке ( верхней полуплоскости.

В § 3.2 рассматривается случай, когда над бесконечностью располагается точка ветвления произвольного порядка и.

Дается постановка внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х , когда над бесконечностью располагается точка ветвления произвольного порядка и, аналогичная постановке задачи с единственной точкой ветвления, приведенной в § 3.1.

Получено интегральное представление решения

< П(СМС Г1 Чф-Со]2^

+ 1 Г Г

(И,

™ и (с - со)"+1(с - Со)^11-1 щт - Со)

где V — порядок точки ветвления, £о — точка в соответствующая точке оо плоскости 2.

Показано, что для разрешимости этой задачи необходимо выполнение условия

V и-т "

т=0 £=0 40 ' ■£Ъ=и-1-т}=1 31

где 2 к, = Ш], Ш1 + т2 + т3 = г^,

т(Со) " У ЩГЧоГ^ ' 0' ~ Ч '

Это условие есть аналог уравнения Гахова на римаповой поверхности с точкой ветвления на бесконечности произвольного порядка, разрешимость которого доказана методами теории векторных полей.

Теорема 3. Уравнение Гахова в £>(• имеет по крайней мере одно решение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования

[1] Насыров, С. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи на римановой поверхности с точкой ветвления на бесконечности произвольного порядка / С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия.- Самара, 2009. - № 4. - С. 30-43.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно - практических конференциях

[2] Низамиева, JI. Ю. Уравнение Гахова для смешанной обратной краевой задачи по параметру х /Л. Ю. Низамиева // Итоговая научно-образовательная конференция студентов. - КГУ. - Тезисы докладов. - Казань, 2006 - С. 34.

[3] Насыров, С. Р. Смешанные обратные краевые задачи на римановых поверхностях с точками ветвления / С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти Леонтьева А. Ф. - Сборник материалов. - Уфа, 2007 - Т. 2. - С. 54-55.

[4] Насыров, С. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи на полигональной римановой поверхности с простой точкой ветвления на бесконечности /С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // XIV Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функции и их приложения», посвященная памяти академика П.Л. Ульянова (1928-2006). - Сборник тезисов. - Саратов, 2008 - С. 91

[5] Насыров, С. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на римановой поверхности с точкой ветвления на бесконечности произвольного порядка / С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // Материалы IV Петрозаводской конференции по комплексному анализу(29 июня - 5 июля 2008).- Петрозаводск, 2008. - С. 32-33.

[6] Насыров, С. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой ветвления на бесконечности / С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // Уч. зап. Казанск. гос. ун-та. - Сер. физ.-мат. - Казань, 2008. - Т. 150. - Кн. 1. -С. 91-101.

[7] Низамиева, Л. Ю. Нахождение акцессорных параметров в интеграле Кри-стоффеля - Шварца методом движущегося разреза / Л. Ю. Низамиева // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского/ Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы - конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во КГУ, 2009. - Т. 38. - С. 192-194.

[8] Низамиева Л. Ю. О нахождении акцессорных параметров в интеграле Кри-стоффеля - Шварца / Л. Ю. Низамиева // Потребительская кооперация: теория, методология, практика: Материалы международной научно - практической конференции. - М.: Российский университет кооперации, 2010. - С. 313-319.

[9] Низамиева, Л. Ю. Использование краевых задач при нахождении акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца / Л. Ю. Низамиева. -

Казанск. (Приволж.) фед. ун- т. - Казань, 2010. - 42 с. - Библиогр.: 30 назв. -Рус. - Деп. ВИНИТИ 06.07.10, № 421-В2010.

[10] Насыров, С. Р. Приближенный метод решения одной смешанной обратной краевой задачи / С. Р. Насыров, Л. Ю. Низамиева // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. - С. 234-235.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

- Разработан приближенный метод и выведена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

- Разработан приближенный метод и выведена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интегральном представлении для внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х с полигональной известной частью границы.

- Выведен аналог уравнения Гаховадля внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности, содержащей точку ветвления произвольного порядка, расположенную над бесконечно удаленной точкой, и доказана его разрешимость.

В заключение автор выражает глубокую признательность и благодарность за постановку задач, поддержку, критические замечания и постоянное внимание к работе своему научному руководителю Семену Рафаиловичу Насырову.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета Тираж 120 экз. Заказ 83/4

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843)233-73-59, 292-65-60

Введение.

ГЛАВА 1. Использование краевых задач для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца.

§ 1.1. О сходимости последовательностей и семейств аналитических функций.

§ 1.2. Вывод дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

§ 1.3. Примеры.

ГЛАВА 2. Приближенный метод решения внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х.

§ 2.1. Вывод дифференциальных уравнений для внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х.

§ 2.2. Пример.

ГЛАВА 3. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х.

§ 3.1. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой ветвления на бесконечности.

§ 3.2. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на римановой поверхности с точкой ветвления на бесконечности произвольного порядка.

Диссертация посвящена исследованию смешанных обратных краевых задач для аналитических функций по параметру х.

Под обратными краевыми задачами понимаются задачи отыскания контура по некоторым величинам, заданным на нем. Обычная постановка таких задач заключается в том, что в искомой области ищется функция, принадлежащая заданному классу (аналитическая или являющаяся решением какого-либо заданного уравнения), причем на контуре независимых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной (при заданной области) для данного класса функций краевой задачи. Обратные краевые задачи - научное направление, получившее широкое применение в задачах механики, сплошных сред и физики. К настоящему времени оно довольно хорошо разработано, особенно для аналитических функций и находит приложение в таких областях, как аэродинамика, гидродинамика, теория фильтрации, теория взрыва, электрохимическая размерная обработка металлов.

Развитие теории обратных краевых задач началось с работы Г. Г. Тума-шева [89], где дано точное и эффективное решение некоторых задач гидромеханики. М. Т. Нужин [70] дал общую постановку обратной краевой задачи и сформулировал ее впервые как математическую задачу для аналитических функций. С тех пор теория обратных краевых задач стала активно развиваться. Исследования теоретического и прикладного характера проводились в тесном взаимодействии. Некоторые из них описаны в монографиях [91], [90], [71], [79], обзорных статьях [1], [5] и др. Обратным краевым задачам посвящено большое количество работ казанских математиков и механиков.

Интересным классом являются внешние обратные краевые задачи, когда искомая область содержит бесконечно удаленную точку. Одной из основных обратных краевых задач для аналитических функций является внешняя обратная краевая задача по параметру 5 в постановке Ф. Д. Гахова [14]. Ф. Д. Гахов нашел уравнение для определения полюса искомой функции и доказал его разрешимость. Это уравнение стало называться его именем; В дальнейшем оно исследовалось многими, авторами; (Л. А. Аксентьев; М.И. Киндер, А. В". Киселев; С. Н1Кудряшов,. €. Р;. Нась1ров^ В; С. .Рогожин,- С. Б. Сагитова,. П. Л. Шабалин и др;), которые изучали:вопросы; единственности' решения этого уравнения, структуру множества, его корней и пр. В [75], [76] построены примеры функций, для которых уравнение1 Гахова имеет* несколько решений. Работы, [40], [41], [42]; посвящены вопросу условий: единственностивнешней обратной краевой задачи. В [98] было получено интегральное представление решения внешней обратной краевой задачи, и на его основе выведен: аналог уравнения Гахова. В [3] выделены классы мероморфных функций, обеспечивающие единственность решения внешней; обратной краевой задачи. При построении этих классов использован метод подчинения. для; функционалов. Дано сравнение с теоремами единственности в. обратных задачах теории логарифмического потенциала., В [6]> построен пример; показывающий, что множество корней уравнения Гахова в двусвязной области может содержать континуум. В; работе [37] показано, что уравнение Гахова во внешней обратной краевой задачи. по параметру в имеет конечное число решений. В'[7] доказано, что точка; с^о тогда и: только тогда удовлетворяет уравнению Гахова^ когда; она является стационарной точкой некоторой поверхности в .й3. На основании этого в работе [36] не только доказана разрешимость уравнения Рахова при наиболее слабых требованиях на начальные данные; но и установлено, что число его корней не меньше; чем порядок связности области

Обобщением обратных краевых задач- [91], [14] являются смешанные обратные краевые задачи, которые являются важным классом краевых задач ' с неизвестной (свободной) границей. Как правило,, в этих задачах ищутся область с частично неизвестной границей и аналитическая в этой области функция по заданным краевым-условиям. На неизвестной части краевые значения неизвестной функции задаются через некоторый параметр, в качестве которого выбирается дуговая абсцисса б, декартова координата х, полярный радиус или полярный угол.

Опишем некоторые работы, в которых исследовались смешанные обратные краевые задачи.

В своей работе [105] Б; Демченко решал смешанную краевую задачу для гармонической функции, задавая граничные значения в зависимости от полярного угла единичного круга плоскости при конформном отображении его на искомую область. Смешанная обратная задача с граничными условиями в форме Демченко исследована в работе [23].

В [89]» рассматривается смешанная задача определения формы профиля по заданному распределению скорости. Профиль обтекается плоскопараллельным потоком жидкости в бесконечном канале с параллельными стенками.

М. И. Хайкин [94], [95] рассмотрел смешанную обратную краевую задачу в случае, когда задается область Д^,, причем на неизвестном участке 1Л заданной длины имеется граничное условие \(ко/йг\ = /(в), в € [0,1] а известная дуга Ь\ задается одним из следующих способов: а) Ь\ задана полностью, концы ее фиксированы; Ь) Ь\ задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концы; с) Ь\ лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, конец ее не фиксирован. Частными случаями описанной задачи являются задачи обтекания безграничным потоком невесомой жидкости профиля, часть границы которого задается, и фильтрационные задачи построения подземного контура, когда часть его известна. М. И. Хайкин [94] получил теорему существования решения внутренней смешанной обратной краевой задачи и применил эти результаты при исследовании разрешимости задач симметричного обтекания гладких препятствий в случае, когда на струях задается скорость в зависимости от дуговой абсциссы, а колебание функции на симметричной-половине препятствия меньше -к. При том же ограничении колебания на известном участке границы Н. Б. Салимов [77], [78] доказал разрешимость ряда смешанных обратных краевых задач теории фильтрации.

Обратные и смешанные обратные краевые задачи могут быть поставлены для систем эллиптических уравнений. Для широкого класса задач такого типа, имеющих приложения в механике жидкости, В. Н. Монаховым [47] методами функционального анализа доказаны теоремы существования и единственности в предположении, что скорость нигде в нуль не обращается. Ряд результатов, относящихся к обратным и смешанным обратным задачам, содержится в книге [48].

В работе [72] полученыфешения смешанных обратных краевых задач для некоторых частных случаев, относящихся к гидроаэромеханике и теории фильтрации.

В. Н. Монахов [49] поставил смешанную обратную краевую задачу по параметру э с полигональным известным участком границы и сформулировал теорему существования и единственности при единственном ограничении на полигон - стороны его не пересекаются, углы при вершинах отличны от 0 и 27Г, тем самым расширяя класс кривых, которому принадлежит задаваемый участок границы. Этот результат применяется в задачах струйного обтекания криволинейных препятствий: заданное препятствие заменяется вписанным в него полигоном; так видоизмененная задача сводится к упомянутой выше смешанной краевой задаче, откуда делаются выводы о разрешимости исходной задачи (решение ее получается как предел решений в случае полигонов при неограниченном увеличении числа их сторон). Использовав полученные для этого случая результаты при помощи аппроксимации, В. Н. Монахов исследовал разрешимость обратной смешанной краевой задачи с заданным произвольным спрямляемым участком границы.

А. М. Елизаровым [24] рассматриваются внешние смешанные обратные краевые задачи нахождения односвязной области, содержащей бесконечно удаленную точку, и регулярной или мероморфной функции, В работе [25] получен ряд теорем существования и единственности решений смешанных обратных краевых задач с использованием методов функционального анализа. В статье [26] рассматривается смешанная обратная краевая задача нахождения формы неизвестного замкнутого профиля, расположенного над криволинейным дном и обтекаемого установившимся потоком несжимаемой невесомой жидкости. В статье [28] рассматриваются внутренние смешанные обратные краевые задачи, в граничных условиях которых фигурируют только действительная и мнимая части искомой регулярной функции, причем часть условий задается в форме Демченко. В [30] рассматриваются внутренняя и внешняя смешанные обратные краевые задачи с граничными условиями из [94], когда в качестве параметра вместо дуговой абсциссы й используется г = \х\. В работе [31] рассматриваются внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи теории аналитических функций для двусвязной области

Дадим постановку смешанной обратной краевой задачи по параметру х, которая является основным объектом исследования нашей диссертации.

Пусть Иг — жорданова область на плоскости, ограниченная кривой которая состоит из двух дуг Ь\ и Ь% причем Ь\ известна, а Ь2 является искомой. Обозначим через г* = х* + гу* и г** = х** -I- iy** точки стыка ДУГ Ь\ и Ь2. Смешанная обратная краевая задача по параметру х состоит в определении области и аналитической в ней функции IV = гу(г), которая конформно отображает I). на жорданову область по следующим краевым условиям (рис. 1).

Рис. 1

1) Граница состоит из двух ляпуновских дуг, пересекающихся под ненулевыми углами, причем при отображении и> = ии(г) дуге Ь\ соответствует дуга Ь1„ а Ь\ — дуга Ь2иг

2) Дуга Ь\ является графиком непрерывной функции у = д(х), х* < х < х**, при этом точкам вида х-\-гд{х) е Ь2 соответствуют точки (р(х)+{ф(х) Е ¿ш, х* < х < х**, где 1р{х) и ф(х) — непрерывно дифференцируемые функции.

Впервые смешанную обратную краевую задачу по параметру х поставил и исследовал В. Н. Монахов [49]. Основная его идея заключалась в замене кривой Ь\ близкой ломаной с вершинами в точках г\, ,гп = г**, гп = г*). В. Н. Монахов установил, что разрешимость задачи в случае, когда известная часть границы является ломаной, существенно зависит от величины углов 0,17г, оептг, которые образует эта ломаная с лучами, исходящими вниз из ее концов. В.[49] детально исследован случай, когда величины этих углов меньше 7Г.

С.' Р. Насыровым [55], [56]'было замечено, что с использованием результатов В. Н. Монахова [49] можно доказать разрешимость задачи на полигональных римановых поверхностях, а также'для. достаточно произвольных границ. В отличие от однолистного случая, где ищется область с частично неизвестной границей, при формулировке задачи был предложен принципиально новый подход: искать кривую на известной римановой поверхности Я, разбивающую Я на две части, одна из которых является искомой рима- -новой поверхностью. Кроме того, в [55], [56] были исправлены некоторые неточности в исследовании задачи В. Н. Монаховым, отмеченные в [4].

Исследование смешанной обратной краевой задачи по параметру х можно встретить в работах Р. Б. Салимова и Е. В. Стрежневой [81], [80], [82], С. Р. Тлюстен [84], [85], [86], [87] и др.

В [58] была дана постановка задачи для расположенных над С полигональных римановых поверхностей с простыми точками ветвления, получено интегральное представление решения, зависящее от нескольких акцессорных параметров, доказана локальная единственность решения в зависимости от этих параметров.

Актуальной является задача разработки приближенных методов решения смешанных обратных краевых задач. Одной из целей нашего исследования является разработка приближенного метода решения внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х методом движущегося разреза. Метод движущегося разреза применялся ранее П. П. Куфаревым [88] при нахождении акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля -Шварца.

Проблема определения констант (акцессорных параметров) и, ¿2, ¿п в интеграле Кристоффеля - Шварца была поставлена работах Э. Кристоффеля [102] и Г. Шварца [109]. Существуют различные методы определения этих констант. Наиболее просто вопрос решается в тех случаях, когда формулу Кристоффеля - Шварца можно проинтегрировать в явном виде. Ряд примеров подобных решений приведен М. А. Лаврентьевым [44], [46].

Известна, конструктивная-* схема, созданная А. Вайнштейном [110] для решения задачи; отыскания параметров? конформного отображения« многоугольников; она названа методом непрерывности.

01. Бергман предложил два способа определения констант в интеграле Кристоффеля - Шварца для многоугольников, имеющих углы; |тг и |тг, и в качестве конкретных примеров?рассмотрел четырехугольник и; симметричный шестиугольник [99], [100]:. Наиболее обстоятельно вопрос определения констант Кристоффеля - Шварца рассмотрел Н. П. Стенин: [16], применивший для этого метод Ньютона - Фурье в сочетании с методом вычисления несобственных интегралов Л. В- Канторовича [33]. Приближенный метод,, дающий в отдельных частных случаях хорошие результаты,, был предложен5 И. С. Хара [96]. Случай произвольного четырехугольника рассмотрен' В. Копенфельсом и Ф. Штальманом [38]. Авторы для этой цели использовали гипергеометрические ряды. П. Ф. Фильчаковым [92]:для определения констант в интеграле Кристоффеля - Шварца были применены степенные-рядьь [93].

П. П. Куфарсв [11], [88], используя уравнение Левнера, показал, что определение параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца может быть сведено к численному интегрированию соответствующей системы, дифференциальных уравнений. П. П. Куфаревым был предложен метод численного определения параметров в-интеграле Кристоффеля - Шварца, осуществляющем конформное отображение круга |ги| < 1 на полигональную область. Разработка этого метода и: первые доведенные до конца численные расчеты-были выполнены Ю. В1 Чистяковым [97].

В работе [20] к проблеме отыскания параметров конформного отображения многоугольников применяется разработанный В. Н. Монаховым [50] сходящийся метод циклической итерации для решения задач гидродинамики со свободными границами и осуществляется численная реализация метода на.ЭВМ.

В работе [103] получена обобщенная формула Кристоффеля - Шварца отображения многосвязной круговой области на область, ограниченную многосвязным полигоном.

В работе [104] приводится вывод явной формулы отображения концентрического кругового кольца на двусвязную область, граница которой состоит из дуг окружностей. <

Т. А. Дрискол [106]! создал «Комплект инструментов Кристоффеля -Шварца»- в пакете MATLAB, основанный на программе, разработанной ранее Трефевоном (Schwarz - Christoffel Toolbox [111]). Этот пакет позволяет строить отображение Кристоффеля - Шварца даже для очень, сложных областей.

Приближенные методы решения смешанных обратных задач со свободной границей рассматривались В.Н. Монаховым и его учениками.

В статье [50] разработан конструктивный вариационный метод решения функциональных уравнений относительно параметров конформных отображений. С помощью этого метода доказана разрешимость струйных задач гидродинамики и задач фильтрации жидкости со свободными границами в неограниченных областях.

В [51] разработан алгоритм циклической итерации (метод непрерывности) численного решения одного класса задач гидродинамики со свободными границами и установлена его сходимость.

В работе [17] вариационным методом решаются задачи фильтрации жидкости в неограниченных областях. Изучаются плоские стационарные потоки несжимаемой жидкости в пористой среде (пласте) со свободными (неизвестными) границами, которым соответствуют различные гидродинамические схемы фильтрации жидкости в пласте: приток жидкости к дрене или скважине из пористого слоя; фильтрация жидкости из открытого бассейна, через пористый слой (например, земляную плотину или пористую вставку химического реактора); фильтрация жидкости под гидротехническим сооружением, подземная часть которого отыскивается по заданным эпюрам напоров или скоростей

В [18] изучается задача о мажорантной оценке геометрического положения депрессионной кривой (свободной границы) в плоских стационарных задачах безнапорной фильтрации жидкости в пористых средах

В статье [21] доказывается разрешимость задачи о квазиконформном отображении верхней полуплоскости на область, ограниченную свободной (неизвестной) границей и заданным неоднолистным полигоном, возникающей в теории фильтрации жидкости в неоднородной пористой среде.

Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые доказаны В.Н. Монаховым [47] методами теории квазиконформных отображений. В работе [22] аналогичные результаты установлены для областей фильтрации со сложной геометрией заданных частей ее границы.

В [19] предложен численный алгоритм решения систем линейных уравнений, обобщающих уравнения для искомых параметров в формуле Кри-стоффеля - Шварца отображения многоугольников при отыскании числовых'параметров плоских стационарных задач фильтрации жидкости в областях, граница которых состоит из заданных отрезков прямых (полигона) и неизвестной кривой (свободной границы). Доказана сходимость этого алгоритма, и установлена оценка скорости сходимости.

Перейдем к детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из трех глав. Нумерация теорем, лемм, формул и примеров сквозная.

В первой главе получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца. В § 1.1. приводятся необходимые для последующего изложения материала определения конца и простого конца односвязной области, семейства областей, а также некоторые предложения теории простых концов для последовательности областей. В § 1.2. выводится система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

Для нахождения этих параметров, мы предлагаем подход, идейно близкий к методу П.П. Куфарева. В основе нашего подхода лежит использование краевых задач Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами и вариаций их решений.

Функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на п-угольник, внутренние углы которого равны а^тг, а27г, ., аптг, представляется в виде интеграла Кристоффеля - Шварца

Вещественные числа «1, ^ < .$2 < . < являются координатами точек вещественной оси, соответствующих вершинам Р\, Р2, Рп п-угольника.

Рассматривается вспомогательная задача нахождения семейства конформных отображений верхней полуплоскости на плоскость с разрезом по ломаной, состоящей из луча и части границы заданного многоугольника Р1Р2 • • • Рп-Конец разреза движется по контуру многоугольника от первой вершины Р\ до последней Рп, луч имеет вершиной точку Р\ и направлен в сторону вершины Рп. Предполагается, что сторона Р\Рп выбрана таким образом, что луч пересекает границу многоугольника только по этой стороне (рис. 2).

Сначала отобразим верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по лучу от оо до Р\. Применяя в случае необходимости преобразование поворота, можем считать, что луч идет по вещественной оси. Затем рассмотрим конформные отображения верхней полуплоскости на плоскость с разрезом вдоль луча от оо до Р\ и части отрезка [Р1, Р2]. Конец разреза движется от Р\ к Р2. Зададим соответствие трех точек: = — 1 переходит в ¿2 = 1 в Р2, оо в оо.

Далее из точки Р2 выпускаем разрез в направлении точки Рз и удлиняем его пока не дойдем до точки Рз и т. д. до тех пор, пока ломаная не обойдет границу многоугольника, за исключением стороны РпР\

Функция <г(С), отображающая верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по ломаной в случае, когда конец разреза лежит на к-ои звене

-1 1

Р\

Рис. 2 ломаной (к = 1, ?г), представима в виде интеграла Кристоффеля - Шварца.

40 = с Iи+1) Ц " уз + (1) где а3тг — внутренние углы многоугольника, г\ ~ аффикс точки Можно считать, что значения параметров ¿1 и ¿2 фиксированы и равны (—1) и 1 соответственно.

Вариация 6г отображающей функции (1) может быть найдена как решение вполне определенной краевой задачи Гильберта. Используя (1) и равенство 6щ = получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения параметров и С:

Теорема 5. Акцессорные параметры в интеграле Кристоффеля - Шварца (2) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений: ат — гь+1 1 т 0:1(^+1 - 1) + а2{гк+1 + 1) + (Ц+1 ~ 1)х Ц+1 - ^ - Ъ2к+2-у к

1 с1С 2а\ 1 (И{с+1 1 — а^ йЬ^

С1гг ~ + + (1 + Ьк+1) й-т ~ ^ 1 + ^ з—о к у^ 1 — а^ (И2к+2-з 1 + ¿2^9.-1 с1т 1 + Ь2к+2-з

Когда конец разреза доходит до вершины Рк+1 > осуществляется переход к новой системе, соответствующей случаю, когда конец разреза движется по (к + 1)-й стороне. При этом в качестве начальных условий для новых параметров tj используются значения, которые соответствуют финальному значению параметров, полученных на к-м этапе, их количество увеличивается на 2. Когда на (п — 1)-м этапе конец разреза стремится к вершине Рп, значения параметров ¿^ стремятся к искомым акцессорным параметрам.

В § 1.3. рассмотрены примеры вычисления акцессорных параметров для следующих случаев:

1) конформного отображения, верхней!полуплоскости на шестиугольник с вершинами в. точках: 1, 2, 3.+ г, 2 + 2г, 1 + 2г, i и углами агтг = а^ж = Щ7Г = ав7Г = 37Г/4, а>27Г — OÍ57T = 7Г/2;

2) конформного отображения верхней полуплоскости на шестиугольник с вершинами в точках: 0, 1, 3 + г, 2 + 2г, 1 + 2i, г и углами а\7г = 7г/4 + arccosl/\/5, а27г = 7г/2 +arceos 2/\/5, о:з7г = щтг = а^и = 37г/4, скб7г = 7г/2.

В главе 2 рассмотрен приближенный метод решения внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру ж. В § 2.1 выводится система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров. Предлагается приближенный метод нахождения акцессорных параметров — так называемый метод движущегося разреза. Для простоты считаем, что заданная ломаная L\ располагается в вертикальной полосе, ограниченной прямыми, проходящими через ее концы (это условие не является очень ограничительным, результаты работы могут быть легко распространены на общий случай). Наш метод основан на рассмотрении однопараметри-ческих семейств решений задачи для ломанных, которые состоят из двух вертикальных лучей и удлиняющегося разреза, конец которого движется по заданной ломаной L\.

Рассматривается семейство решений смешанной обратной краевой задачи по параметру х в случае, когда известная часть границы состоит из двух лучей L* = {х = х*, у > у*}, L** = {х — х**, у > у**} и удлиняющегося разреза, конец которого пробегает ломаную Ll от точки z\ до точки zn. В случае, когда конец разреза располагается на (к — 1)-м звене, получаем разрез вдоль ломаной с вершинами в точках z\ = х** + iy**, z^ ., Zk-\ и точке Zk: которая является подвижным концом ломаной (рис. 3). Обозначим через a.jтг, 2 < j < к — 1, углы ломаной Ll в точках zy, пусть а\тт — угол между звеном Z\Z2 и лучом L**.

Интегральное представление решения в этом случае имеет вид С

0 = л [ ш J h где

М>1

Ь,(и))(1и) к-1 п«, Г) = « - ¿о«»-1« - Ш - - t2kr1 п 73 о,— 1

1=2 ^ - 11к-з. 1 = ¿1 < ¿2 <•••<%< = 1, вектор г = (¿2, • • • , ¿2а;)- точки

2 < з < 2А;, назовем акцессорными параметрами.

1 ¿2 ^ Ък 1

Рис. 3

Отметим, что точка tk соответствует концу разреза, точкам ^ и ¿2к-з соответствуют простые концы области И2 с носителем в точке 1 < з < к — 1, а точке t2к — простой конец с носителем в оо.

Теорема 6. Акцессорные параметры в интегральном представлении для внутренней смешанной обратной краевой задачи по параметру х с полигональной известной частью границы удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: =-1 ~ ^ , 2 < з < 2*, зФ К

Лт сИк 1 — I си\ а1

Лт $ ) I + 1 ¿/с ~ t2k-l 4 - ¿2* к-1 / , т

СЦ — 1 ОЦ — 1

1 V—■V I и] 1 и! тт + Е'

Ь — 1 ^ \ijfc — ^ — t2k-jJ

В § 2.2. рассматривается пример, когда известная часть границы области И - это заданная четырехзвенная ломаная с вершинами в точках Л(1; 0),

В{\-\), £>(-1,0), ЯК) = Не* = > 1.

В главе 3 рассматривается внешняя смешанная обратная краевая задача по параметру х на полигональной римановой поверхности в случае, когда эта поверхность имеет точку ветвления, расположенную над бесконечностью. Дается постановка внешней смешанной обратной'краевой задачи по параметру х. Построен аналог уравнения Ф.Д. Гахова и доказана его разрешимость для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру ж. В § 3.1 рассматривается случай с простой точкой ветвления на бесконеч-ности.В § 3.2 результаты обобщаются для точки ветвления произвольного порядка.

Отметим, что случай простого полюса соответствующей задачи рассматривался в статье [57], был получен аналог уравнения Ф. Д. Гахова для отыскания положения неизвестного полюса в верхней полуплоскости в случае, когда известная часть границы полигональна, предложен метод доказательства разрешимости этого уравнения с использованием техники вращения векторных полей.

Дадим постановку внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х:

Пусть Я — риманова поверхность над С, удовлетворяющая следующим условиям.

1) Поверхность Я ограничена одной кривой — ломаной с последовательными вершинами в точках го,., гп и гп+\ = оо (рис. 4), при этом звенья ломаной гп+\г\ и гп2п+\ являются вертикальными лучами 1\ и 1п, идущими вверх из точек = х\ + г у\ и гп = хп + г уп соответственно.

2) Я не имеет граничных точек ветвления.

3) Существует одна и только одна точка из Я, проектирующаяся в оо, причем эта точка — точка ветвления Я кратности и — 1, у. > 2.

Обозначим через тта;с внутренние углы Я в точках края Z¡г, соответствующие вершинам ломаной 0 < од < 2-7г, к = 1,. ,п. Используя аналог соотношения Римана-Гурвица для разветвленных накрытий с краем (см., напр.,, [107]), получим, что выполняется соотношение п

1) = 21/ + 1.

Пусть Ь\ — кривая, которая обходит часть края Ж в положительном направлении от точки Z\ до точки Хп и, следовательно, проектируется в ломаную 2:1,22,., гп. ь\ и со?

1 ¿2

-1 1 г

Рис. 4

Требуется разбить Я на две части кривой Ь\ таким образом, чтобы выполнялись условия.

1) Кривая Ь2г имеет начало в точке и оканчивается в точке причем все точки ее лежат в Я за исключением концов; проекция Ь2 на С является простой кривой, которую можно представить как график некоторой непрерывной функции у = у(х): х\ < х < хп.

2) Пусть — та часть Я, которая лежит «справа» от Ь2. Тогда существует аналитическая в Бг функция оо{г): конформно отображающая на жорданову область и удовлетворяющая следующим краевым условиям: а) в плоскости ш — </? + уф дуге Ь2 соответствует дуга Ь2 с уравнением Ч> = Л(ж)> Ф = где /г(х) + 1/2{х) = и(х) := ш{х + 1у(х)), х € [а, Ь], граничные значения искомой аналитической функции ш(г) на Ь2 и х — Ые г; будем предполагать, что функция ш(х) непрерывно дифференцируема и ш'(х) т^ 0, а<х<Ь\ б) уравнение дуги дополняющей!/^, до замкнутого контура считается заданным ф) = 0. Предполагается, что функция Ф(<р,ф) дважды непрерывно дифференцируема и гладкие дуги Ь^ и Ц^ образуют в'точках стыка и> 1 и и)2 ненулевые углы 7Г71 и 7Г72.

Для нахождения интегрального представления решения используется метод, предложенный В. Н. Монаховым [49]. Полуплоскость = {1т С > 0} конформно отображается на функцией ш = Л(С) так, чтобы точки оо, ¿1 = 1, = — 1, лежащие на вещественной оси, переходили соответственно в фиксированную точку о;о £ и 002- Пусть ^ — точки на границе Д^, соответствующие вершинам ломанной Ь\, /г = 1,., те. Через обозначена точка в соответствующая точке оо в плоскости г, через 7Гвнутренние углы области Ог в точках к = 2,., п — 1.

Построено интегральное представление решения, которое для случая V = 2 имеет вид (2):

2 = т = + 1 /с г (2) " ./-1 (ы - Со)> - Со)3 •/-! 1ВД((-ш) ' 1 > П где П(С) = ег{1 П (С — Ь)ак~11 ^к — точки на границе Д;, соответствующие к=1 вершинам ломаной Ьк = 1,. ,п.

Интегральное представление решения для произвольного V имеет вид:

1 + ™ и (С-СоУ+1(С-<оУ+1 11 П(()(4-0.) ' где и — порядок точки ветвления, ("о — точка в Д^, соответствующая точке со плоскости г.

Условием однозначности функции будет служить равенство с-\ = 0, где с-1 — вычет функции в точке С — Со

Отметим, что в интегральное представление решения входят акцессорные параметры 2 < к < п — 1. Проблема определения этих параметров является отдельной сложной задачей и в данной работе не исследуется. Основное внимание уделяется вопросу однозначности аналитической функции, определяемой этим интегральным представлением.

В § 3.1 показано, что для разрешимости задачи в случае V = 2 необходимо выполнение условия:

12

С-С)2 C-C^C-íi \рс-ь) -tjf 6

М(С) + N{0 + 2Q(C) = о, (3) с-с м(о = Г мг) = Г Ш^-dt

Q Lnm-a ' У-in(¿)(¿-o2 '

Q(C) = Г1 Ш-SLdt

Q[Q Lnm-a*

Это условие (3) есть аналог уравнения Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой ветвления на бесконечности. Также доказана его разрешимость.

Обозначим j=i J

Тогда (3) эквивалентно уравнению

7(0 := [12 - 6(С - (Ж) + (С - С)2(^2(С) + ¿"(с))] М(0+ +2 [(с - c)2s(0 - з(с - о] n(o + 2(с - о2<ж) = о.

Функция (7(C) определяет некоторое векторное поле в верхней полуплоскости. Это векторное поле непрерывно продолжается в замыкание верхней полуплоскости за исключением точек tj, 1 < j < п. Доказано, что это векторное поле обращается в нуль по крайней мере в одной точке £ верхней полуплоскости.

В § 3.2 условие (3) обобщено для произвольного v. Оно имеет вид:

V и—т ( лу™ П

771=0 1=0 Ко Со) + EfcJ=I/zmj=i Ко Ь)

ГДе X] ¿у = 7721 + 7712+7713 = У,

М (Г) - }-(о\2{"+1)ж г*л + м-(Со) - у щмор"^' ^ ~-^-•

Это условие есть аналог уравнения Гахова на римановой поверхности с точкой ветвления на бесконечности произвольного порядка. Методами теории векторных полей доказана разрешимость этого уравнения.

Теорема 7. Уравнение Гахова в имеет по крайней мере одно решение.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [63], [64], [67], [68] и тезисах [65], [60], [61], [62], [66], [69].

Результаты диссертации докладывались на Уфимской международной математической конференция, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (2007); на XIV Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функции и их приложения», посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (2008); на IV Петрозаводской конференции по комплексному анализу (2008); на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор Л. А. Аксентьев); на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского университета (руководитель — профессор Ф. Г. Авхадиев); на Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы»(2009); на итоговой научной конференции Казанского университета (2010, 2011), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2011).

1. Авхадиев, Ф. Г. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций / Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев // Успехи мат. наук, 1975. - 30. - № 4. - С. 3-60 (РЖМат,1975,12Б140).

2. Авхадиев, Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи / Ф.Г. Авхадиев. Казань: Казанский фонд «Математика», 1996. - 216 с.

3. Аксентьев, J1. А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи / JI. А. Аксентьев,Ю. Е. Хохлов, Е. А. Широкова // Матем. заметки, 1978. 24. - 3. - С. 319-330.

4. Аксентьев, JL А. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения / JL А. Аксентьев, Н. Б. Ильинский, М. Т. Нужин, Р. Б. Салимов, Г. Г. Тумашев // Итоги науки и техн. -Сер. Мат. анал. том 18. - Казань, 1980. - С. 67-124.

5. Аксентьев, Л. А. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области / JL А. Аксентьев, М. И. Киндер, С. Б. Сагитова // Тр. семинара по краевым задачам. вып. 20. -Казань, 1983. - С. 22-34.

6. Аксентьев, Л. А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области / Л. А. Аксентьев // Изв. вузов. Математика, 1984. 2-С. 3-11.

7. Аксентьев, J1.A. Доказательство разрешимости обратных краевых задач методом векторных полей / JL- А. Аксентьев, А. М. Елизаров, М: И. Киндер // Изв. вузов. Математика, 1986. № 8. - С. 82-84.

8. Аксентьев, J1. А. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций / JL А. Аксентьев, А. В. Казанцев, Н. И. Попов // Изв. вузов. Математика, 1998. № 8. - С. 3-13.

9. Александров, И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций / И. А. Александров. М.: Наука, 1976. - 344 с.

10. Безродных, С. И. Сингулярная задача Римана-Гильберта и ее приложение: Дисс. . к. ф.-м. н.'/ С. И. Безродных. М., 2006. - 164 с.

11. Богавеев, Р. К. Стационарное электрохимическое формообразование двумя катодами / Р. К. Богавеев, В. В. Клоков // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1983. - № 19. - С.29-33.

12. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

13. Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин М.: Наука, 1966. - 628 с.

14. Голузин, Г. М. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей / Г. М. Голузин, JI. В. Канторович, В. И. Крылов, П. В. Мелентьев, М. И. Муратов, Н. П. Стенин. M.-JL: Гостехиздат, 1937. - 105 с.

15. Губкина, Е. В., Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченных областях / Е. В. Губкина, В. Н. Монахов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск, 2000. - № 5. -т. 41.-С. 188-197.

16. Губкина, Е. В. Построение барьерной кривой в контактных задачах фильтрации жидкости / Е. В. Губкина, В. Н. Монахов // Динам, сплош. среды. Новосибирск, 2002. - № 120. - С. 16-21.

17. Губкина, Е. В. Численная аппроксимация контактных задач фильтрации жидкости / Е. В. Губкина, В. Н. Монахов // Вычислительная математика и математическая физика; 2004. т.44. - № 5. - С. 944-952.

18. Губкина, Е. В. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения / Е. В. Губкина, И. Б. Давыдкин, В. Н. Монахов // Сиб. журн. индустриальной математики, 2005. Т. VIII. - № 3(23). - С. 3239.

19. Давыдкин, И. Б. Неоднолистные квазиконформные отображения со свободной границей / И. Б. Давыдкин, В. Н. Монахов // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2002. - Вып. 120. - С. 26-32.

20. Елизаров, А. М. О смешанной обратной краевой задаче Демченко / А. М. Елизаров. ВИНИТИ, - 1978. - № 164-78.

21. Елизаров, А. М. Исследование вопросов корректности внешних обратных краевых задач / А. М. Елизаров// Казанский ордена трудового красного знамени государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина. Казань, 1980. - Вып. 17. - С. 44-55.

22. Елизаров, А. М. Вопросы разрешимости смешанных обратных краевых задач для аналитических функций. Автореферат канд. дисс. / А. М. Елизаров. Казань, 1980.

23. Елизаров, А. М. О смешанной обратной краевой задаче обтекания произвольного профиля / А. М. Елизаров // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980 - 17. - С. 56-62.

24. Елизаров, А. М. Об одном классе смешанных обратных краевых задач / А. М. Елизаров // Изв. вузов. Математика. Казань, 1981. - № 3. -С. 28-34.

25. Елизаров, А. М. Об интегральных уравнениях смешанных обратных краевых задач / А. М. Елизаров // Констр. теор. функц. и функц. анал. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1981. - Вып. 3. - С. 16-25.

26. Елизаров, А. М. Об одной внутренней смешанной обратной краевой задаче / А. М. Елизаров // Изв. Вузов. Математика. № 4. Казань, 1981. - С. 77-79.

27. Елизаров, А. М. Об одной смешанной обратной краевой задачи по параметру г = \г\. / А. М. Елизаров // Изв. вузов. Математика. № 12.- Казань, 1981. С. 26-32.

28. Елизаров, А. М. О смешанных обратных краевых задачах в двусвяз-ных областях / А. М. Елизаров // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1982. - № 18. - С. 53-61.

29. Елизаров, А. М. Об ограничении Лере в применении к смешанным обратным краевым задачам / А. М. Елизаров // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1983. - № 20. - С. 74-92.

30. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / и В. И. Крылов, Л. В. Канторович. М.-Л.: Изд. 5-е. - Физматгиз, 1962.- 697 с.

31. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

32. Каратеодори, К. Конформное отображение / К. Каратеодори. МЛ., 1934. 129 с.

33. Киндер, М. И. Исследование уравнения Ф. Д. Гахова в случае много-• связных областей / М. И. Киндер // Тр. семинара по краевым задачам. Казань, 1985. - вып. 22. - С. 104-116.

34. Киселев, А. В. О структуре множества корней уравнения Ф. Д. Гахова для односвязной и многосвязной областей / А. В.Киселев, С. Р. Насы-ров // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1990. - № 24. - С. 105-115.

35. Коппенфельс, В., Практика конформных отображений / Ф. Шталь-ман, В. Коппенфельс. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. -405 с.

36. Красносельский, М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.

37. Кудряшов, С. Н. К единственности решений внешних обратных краевых задач / С. Н. Кудряшов // Материалы 4-й конф. аспирантов. -Изд. РГУ, 1962.

38. Кудряшов, С. Н. О числе решений внешних обратных краевых задач / С. Н. Кудряшов // Известия вузов, Математика, 1969. № 8(87). -С. 30-32.

39. Кудряшов, С. Н. О числе решений внешней обратной краевой задачи / С. Н. Кудряшов // Тр. сем. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1971. - №8. - С. 136-143.

40. Лаврентьев, Г. В. Численные расчеты задач гидродинамики со свободными границами на основе аналитического представления решений / Г. В. Лаврентьев // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1970.- вып. VI. С. 208-212.

41. Лаврентьев, М. А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики / М. А. Лаврентьев. М-Л.: Гостехиздат, 1946. - 160 с.

42. Лаврентьев, М. А. Теория функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М: Наука, 1987. - 688 с.

43. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Изд. 2-е, Физматгиз, 1958.- 749 с.

44. Монахов, В. Н. О теоремах существования решений в задачах гидродинамики со свободными границами / В. Н. Монахов // Тр. сем.по обрати, краев, задачам, Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1964. -вып. 2. С. 142-152.

45. Монахов, В. Н. О краевых задачах со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов // Тр. сем. по обрати, краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1964. - вып. 1. -С. 93-95.

46. Монахов, В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов. Новосибирск: Наука, 1977. - 424 с.

47. Монахов, В. Н. Об одном методе решения задач гидродинамики со свободными границами / В. Н. Монахов // Сиб. мат. журн, 2000. -Т. 41. № 5. - С. 1106 - 1121.

48. Монахов, В. Н. О сходимости численного метода непрерывности задач гидродинамики со свободными границами / В. Н. Монахов // Динамика сплошной среды, 2000. № 116. - С. 55-61.

49. Монахов, В. Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободной границей / В. Н. Монахов // Сиб. матем. журнал., 2000. Т. 41. - № 5. - С. 1106-1121.

50. Муратов, М. Н. Устойчивое решение обратной задачи термографии как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на приближенно заданной поверхности: Дис. . канд. ф.-м. наук. / М. Н. Муратов. Москва, 2006. - 157 с.

51. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

52. Насыров, С. Р. О методе полигональной аппроксимации в смешанных обратных краевых задачах по параметру х / С. Р. Насыров // Ка-занск. ун-т. -Казань, 1982. 48 с. - Библ.: 19 назв. - Деп. в ВИНИТИ 17.05.82, № 2459- 82.

53. Насыров, С. Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях / С. Р. Насыров // Изв. вузов. Математика. Казань, 1990.- № 10. - С. 25-36.

54. Насыров, С. Р. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х / С. Р. Насыров, Г. Р. Галиуллина // Известия вузов Математика. Казань, 2002. - № 10. - С. 25-30.

55. Насыров, С. Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхностей / С. Р. Насыров. Казань: Магариф, 2008. - 279 с.

56. Низамиева, Л. Ю. Уравнение Гахова для смешанной обратной краевой'задачи по параметру х /Л. Ю. Низамиева // Итоговая научно-образовательная конференция студентов; КГУ. - Тезисы докладов. - Казань, 2006 - С. 34.

57. Нужин, М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении: к определению формы сечения скручиваемых стержней / М. Т. Нужин // Уч. зап. Казан.-ун-т. Казань. - № 109. - кн. 1, 1949.

58. Нужин, М. Г. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации / М. Т. Нужин, И. Б. Ильинский. Казан, ун-т. - Казань, 1963. - 139 с. (РЖМех, 1965, 1Б888К).

59. Нужин, М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения в гидромеханике / М. Т. Нужин, Г. Г. Тумашев // Казанский ордена трудового красного знамени государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина. Казань, 1970. - Вып. 7. - С. 18-27.

60. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Cere. М.: ГИТТЛ, 1956. - Т.1. - 396с.

61. Решетников, Ю. А. Одна обратная смешанная задача электростатики / Ю. А. Решетников // Изв. вузов. Матем. Казань, 1977. - № 3. -С. 78-85.

62. Рогожин В. С. К вопросу о единственности решения внешней обратной краевой задачи / В. С. Рогожин // Учен. зап. Казан, ун-та. Казань, 1957. - т. 117. - кн. 2. - С.38-41.

63. Рогожин, В. С. О числе решений внешней обратной краевой задачи / В. С. Рогожин // Уч. зап. РГУ, 1959. вып. 7. - т. 66. - С. 155 - 158.

64. Салимов, Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости / Р. Б. Салимов. Изд. Казан.высшего командно-инженерного училища. - Казань, 1970. - 364 с.

65. Салимов, Р. Б., Стрежнева Е. В. Решение обратной смешанной обратной краевой задачи для двусвязной области в видоизмененной постановке / Р. Б. Салимов, Е. В. Стрежнева / КИСИ, 1990. Деп. в ВИНИТИ. - 29.12.90. - № 0487 - В 90.

66. Салимов, Р. Б. К решению обратной смешанной краевой задачи / Р. Б. Салимов, Е. В. Стрежнева // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та - Вып. 27, 1992. - С. 95-117.

67. Стрежнева, Е. В. Решение обратной краевой задачи для двусвязной области в одном случае / Е. В. Стрежнева / КИСИ, 1990. Деп. в ВИНИТИ. - 29.12.90. - № 2736 - В 91.

68. Суворов, Г. Д. Простые концы последовательности областей, сходящейся к ядру / Г. Д. Суворов // Матем. сб., 1953. Т. 33. 1,-С. 73-100.

69. Тлюстен, С. Р. Смешанная краевая задача со свободной границей в неоднолистных областях / С. Р. Тлюстен // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. - № 76. - С. 148-156.

70. Тлюстен, С. Р. Неоднолистные отображения со свободной границей / С. Р. Тлюстен // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1988. -№ 86. - С. 141-148.

71. Тлюстен, С. Р. Априорные оценки решений смешанной краевой задачи со свободной границей для аналитических функций / С. Р. Тлюстен // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989. - № 92. - С. 108-121.

72. Тлюстен, С. Р. Геометрические свойства решений смешанной обратной краевой задачи со свободной границей / С. Р. Тлюстен // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1990. - №97. - С. 114-123.

73. Труды П. П. Куфарева. К 100-летию со дня рождения / Под общ. ред. И. А. Александрова. Томск: Изд-во HTJI, 20091 - С. 86-88.

74. Тумашев, Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному закону распределению скорости или давления / Г. Г. Тумашев // Уч. зап. КГУ им. В.И. Ульянова-Ленина. Казань, 1952. - Т. 112.- кн. 3. С. 3-41.

75. Тумашев, Г. Г. Обратные краевые задачи / Г. Г. Тумашев, М. Г. Нужин // Уч. зап. Казан, ун-т. Казань, 1955. - 115. - № 6. - 167 с.

76. Тумашев, Г. Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г. Г. Тумашев, М. Г. Нужин. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

77. Фильчаков, П. Ф. Приближенные методы конформных отображений. Справочное руководсто / П. Ф. Фильчаков. Изд-во: Наукова Думка, 1964. - 536 с.

78. Хайкин, М. И. Теоремы существования и единственности для обратных смешанных задач теории аналитических функций / М. И. Хайкин // Тр. Казанск. авиац. ин-та. Казань, 1961. - вып. 64. - С. 3-24.

79. Хайкин, М. И. О разрешимости обратной смешанной краевой задачи. / М. И. Хайкин // Тр. Казан, авиац. ин-та. Казань, 1962. - вып. 68.- С. 11-20.

80. Хара, И. С. Об одном методе приближенного конформного отображения многоугольных областей на единичный круг / И. С. Хара. ДАН УССР, 1953. - № 4. - С. 289-293.

81. Чистяков, Ю. В. Об одном^пособе приближенного определения функции конформно, отображающей круг на области, ограниченные дугами окружностей и отрезками прямых / Ю. В. Чистяков // Учен. зап. Томского уни верситета, 1960. № 14. - С. 143-151.

82. Шабалин, П. JI. Исследование общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций. Автореф. дис. . к. физ-м. н. / П. JI. Шабалин. Казань, 1977. - 12 с.

83. Bergmann, St. Ueber die Bestimmung der Verzweigungspunkte eines hyperelliptischen Integrals aus seinen Periodizitatsmoduln mit Anwendungen auf die Theorie des Transformators / St. Bergmann // Mathem. Zeitschrift. Bd. 19. - H. 1-2, 1923. - S. 8-25.

84. Bergmann, St. Ueber die Berechnung des magnetischen Feldes in einem Einphasen-Transformator. Z. angew. / St. Bergmann // Math, and Mech.- Bd. 5. H. 4, 1925. - S. 319-331.

85. Caratheodory, C. Uber die Begrenzung einfachzusammenhangender Gebiete / C. Caratheodory. Math. Ann. - 73. - Nr. 3 (1913). - S. 323370.

86. Christoffel, I. E. Sul problema delle temperature stazionarie e la rap presentazione di una data superficie / I. E. Christoffel // Annali di Matematica. Il-a serie. - tomo Ie. - Milano, 1867.

87. Crowdy, D. G. Schwarz-Christoffel mappings to bounded multiply connected polygonal domains / D. G. Crowdy // Proc. R. Soc. А 461, 2005. - Р. 2653-2678. (doi: 10. 1098/rspa.2005. 1480).

88. Crowdy, D. G. Conformal mappings to a doubly connected polycircular arc domain / D. G. Crowdy, A. S. Fokas // Proc. R. Soc. А 463, 2007- Р. 1885-1907. (doi:10.109S/rspa. 2007. 1847).

89. Demtchenko, B. Problèmes mixtes harmoniques en hydrodynamique de fluides parfaits / B. Demtchenko. Paris, 1933.

90. Driscoll, T. A. Schwarz-Christoffel mapping / T. A. Driscoll, L. N. Trefethen // Cambridge mathematical monographs. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. - 132 p.

91. Nasyrov S.R. Generalized Riemann-Hurwitz formula // Rev. Romain Acad. Sei. 1995. V. 40. № 2. P. 177-194.

92. Riabouchinsky, D. Sur quelques problèmes relatifs au potentiel / D. Riabouchinsky. Bull, sei. math. - 2 s'erie, 1929. - 53 p.

93. Schwarz, H. A. Ueber einige Abbildungsaufgaben / H. A. Schwarz // Journal Kir Reine und angewandte Math. Bd. 70, 1869. - S. 105-120. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. - Bd. II.- Berlin, 1890. -S. 65-83.

94. Weinstein, A. Der Kotinuitatsbewies des Abbildungssatzes fur Polygone / A. Weinstein // Math. Z. Bd. 19, 1924. S. 72-84.111. www.math.udel.edu/-driscoll/SC.