Задачи модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ДУНАЕВА Ольга Сергеевна

□ОЗ169143

ЗАДАЧИ МОДИФИКАЦИИ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ С ЦЕЛЬЮ УЛУЧШЕНИЯ ИХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 МАЙ 2GG3

КАЗАНЬ-2008

003169143

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки России и Татарстана Ильинский Николай Борисович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Татарстана Салимое Расих Бахтигареевич

доктор физико-математических наук, профессор

Поташев Андрей Валерьевич

Ведущая организация Казанский государственный технический

университет им А Н Туполева, г Казань

Защита состоится 29 мая 2008 г в 14 часов 30 минут в аудитории мех 2 на заседании диссертационного совета Д 212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан "_" апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ -мат наук, доцент /Фал/ А ^ Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы При решении задач проектирования крыловых профилей в ряде случаев эффективными оказываются методы

»V 1тооп1 IV погги! и-лмлгкппАптги^итл» »лота.

. . „ * »..р..

ние строится по заданному распределению скорости или давления по контуру профиля и основные аэродинамические характеристики профиля можно вычислить до решения задачи В настоящее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых ОКЗА проектирование многокомпонентных крыловых профилей, профилей при наличии в потоке особенностей и вблизи экрана, а также задач модификации крыловых профилей Последние задачи представляют особый интерес, так как позволяют улучшить аэродинамические характеристики исходного профиля увеличить диапазон безотрывных углов обтекания, увеличить подъемную силу, уменьшить профильное сопротивление Важным также является исследование влияния методов модификации на изменение характеристик исходных крыловых профилей

Целью настоящей диссертации является развитие численно-аналитических методов модификации крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа, для достижения безотрывного обтекания в большем диапазоне углов атаки, составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация, анализ и сравнение аэродинамических характеристик исходных и модифицированных профилей

Научная новизна. В диссертации в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) решена задача модификации крыловых профилей с целью обеспечения их безотрывного обтекания при расчетном угле атаки и в заданном диапазоне углов атаки Поставлена и решена задача построения безмоментных крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки Построены квазирешения ОКЗА, учитывающие скачок скорости в задней кромке и удовлетворяющие условию безмоментности профиля при нулевой подъемной силе Дано обобщение на случай учета вязкости потока, сжимаемости и совместного учета вязкости и сжимаемости Разработаны алгоритмы численной реализации решений задач

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых моделей и строгостью используемого математического аппарата Оценка достоверности осуществлена прямым

расчетом модифицированных профилей с помощью численных методов пакета FLUENT

Практическая ценность Разработанные в диссертации методы, решения задач, алгоритмы численной реализации и построенные профили могут быть использованы при проектировании крыльев самолетов дозвуковой авиации Результаты диссертации могут войти в учебную программу спецкурса для студентов механико-математического факультета Казанского университета

Апробация работы Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель -Н Б Ильинский), на итоговых научных конференция Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2003-2007 гг, Молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001-2006), VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002), Совместном российско-немецком семинаре НИИММ КГУ и IAG (Казань, 2003), Международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), Международной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004), Двенадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003), Международной конференции «Авиация и кос\юнавтика-2006» (Москва, 2006), Седьмой международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2007), научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности» («ОКБ Сухого», Москва, 2007)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 3 статьях и 10 тезисах Список публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения и списка литературы Содержит 97 страниц, 11 таблиц, 28 рисунков Библиографический список состоит из 58 наименований источников отечественных и зарубежных авторов

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор литературы по развитию методов проектирования крыловых профилей, основанных на теории ОКЗА, кратко

изложено содержание диссертации, сформулированы выносимые на защиту положения

Современные методы аэродинамического проектирования и модификации крыловых профилей можно разделить на два типа прямые и

огхпятихт р rrr\<jvfгъг^п м^тг* гго СОСТОЧТ В ГТОС-МСДО^С^ТСЛЬИО* I МНОГО

кратном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения свойств, близких к требуемым Однако эти методы часто трудоемки и позволяют находить характеристики уже готового объекта Множество трудностей, связанных с применением прямых методов удается преодолеть с помощью обратных методов проектирования, которые базируются на теории обратных краевых задач и представляют собой процесс непосредственного восстановления формы профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости или давления на профиле)

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей составляют ОКЗА, являющиеся частью общей теории обратных краевых задач История развития ОКЗА насчитывает около 80 лет Первые постановки и решения таких задач для модели идеальной несжимаемой жидкости были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F Weimng'a, С Schmiden'a, A Betz'a, W Mangier'а, Л А Симонова, Г Г Тумашева, М J Lightill'a

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по модели газа Чаплыгина, из которых следует отметить работы Г Г Тумашева, L С Woods'а, Г Ю Степанова Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (работы Г Ю Степанова, Л Л Лебедева и J L Van Ingen а)

Для удовлетворения условий разрешимости ОКЗА предлагались различные подходы Введение в исходное распределение свободных параметров рассмотрено в работах J L Van Ingen'a, М J Lightill'a, R Eppler'a и Г Ю Степанова Целенаправленную модификацию скорости предлагали W Manglei и В Arhnger Ответ на вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные, разрешил метод квазирешений (работы А М Елизарова, Н Б Ильинского, А В Поташева)

В первой главе диссертации в рамках модели ИНЖ с учетом критерия безотрывное™ рассмотрены задачи модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик путем изменения распределения скорости по их контурам Рассмотрены методы построения крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки, в диапазоне углов атаки, а также метод по-

строения безмоментных крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки

В § 1 изложена математическая постановка и аналитическое решение классических прямой и обратной краевых задач аэрогидродинамики Под прямой задачей понимается нахождение аэродинамических характеристик заданного крылового профиля Приведены формулы для определения координат классического профиля Жуковского

ОКЗА заключается в определении формы профиля по заданному распределению скорости я €[0,1] на его контуре, где £ - дуговая абсцисса контура профиля

Функция, осуществляющая конформное отображение внешности единичного круга С/- с границей Ь^ на внешность искомого профиля

(рис 1), имеет вид 1

1

где действительная часть функции %(£) на Ь^ известна

У(*(г))/ 28ш

у-у.

б)

О- (О

£ /Г

("С ^ V .

\Х

дЧ^ у

___

Рис 1

Для разрешимости ОКЗА должны выполняться условия замкнутости искомого контура Ь. и условие совпадения заданного значения

Елизаров А М, Ильинский Н Б , Поташев А В Обратные краевые задачи аэрогидродинамики теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей -М Физматлит, - 1994 -436 с

скорости на бесконечности со значением, определяемым в процессе решения В выражении через функцию Б(у) эти условия имеют вид

1к 2л 1л

Го/.\__г, . Л — _ --- — А Г О/ \-/ -» ТГ /*1 Л

j "V/ ">/ — "> -и, j и V/ у-ч — ¿./I 111 г „ К1/

О 0 0

Соотношения (1) означают фиксацию трех первых коэффициентов в разложении функции Ё(у) в ряд Фурье

с ^ 2тг

5(7) = -г + С0$кГ + йк5111 кг) > ск+1с1к=- \Б(у)ехр(1ку)с1у, 1 к=\ я о

к = 0, оо, т е должны выполнятся равенства с0 = 0, с, = -1, ^ = О

Для их выполнения применялся метод квазирешений ОКЗА, состоящий в переходе от исходной функции х(С) к модифицированной по формуле

= + ((! + <})+ '4 )Г')

В § 2 поставлена и решена задача модификации крыловых профилей с целью обеспечения их безотрывного обтекания при расчетном угле атаки Непроницаемый крыловой профиль (рис 1,а) в плоскости г обтекается установившимся безвихревым потоком ИНЖ Контур I. считается замкнутым и гладким за исключением задней кромки В, где внутренний к области течения угол равен 2л Дуговая абсцисса 5 контура профиля отсчитывается от л = О в точке В до 5 = Ь в ней же так, что при возрастании 5 вдоль область течения остается слева Известен диапазон углов атаки [«* ,аг], в котором профиль обтекается без отрыва потока

Требуется модифицировать этот профиль так, чтобы обеспечить его безотрывное обтекание при расчетном угле атаки а2>а*2, вычислить распределение скорости V(.у) и аэродинамические характеристики модифицированного профиля при расчетном угле атаки и сравнить их с характеристиками исходного профиля

Решение сводится к следующему итерационному процессу 1 Находится распределение скорости К(5), 5 е[0,£] по контуру исходного профиля при расчетном угле атаки путем решения прямой задачи

2 Проверяется выполнение критерия безотрывности2 турбулентного пограничного слоя (ПС)

)Нт f'rfr,

s*

где /0 =-2, a=l 17, Ь=4 75

Если наблюдается отрыв, то распределение скорости заменяется на безотрывное, начиная с точки ss отрыва потока по формуле

V&) = Гп„ expja-1 JЛг)[е(г)Г1л|, ст е[<х„1] •

Здесь а = (s - î*) /(£ - s*), /(сг) = -2 - заданный закон изменения форм-

с

параметра, g(a-) = |[1-(6-1)/(ст)/а]Лг

3 Решается ОКЗА по измененному распределению скорости и находится форма профиля

В результате замены распределения скорости на безотрывное, у нового профиля в окрестности задней кромки В, как правило, появляется скачок скорости, т е при подходе к ней по верхней и нижней поверхностям |К(0)| Это приводит к тому, что контур в окрестности задней кромки имеет вид логарифмической спирали Для устранения этого в способе квазирешения ОКЗА к функции z,(Ç) добавляется m

функция = '—1п(1 — I/Ç), где m = Re/(0) - Re2(2к) В резуль-

я

тате нового квазирешения

= (2) строится контур крылового профиля, для которого не только выполняются условия разрешимости ОКЗА (1), но и значения скорости в задней кромке В совпадают |Pj(0)| = |F,(Z,)|

4 На модифицированном профиле рассчитывается распределение скорости V^s) и, если критерий безотрывности выполняется при рас-

2 Ильинский А Н, Ильинский Н Б, Поляков Д В , Поташев А В , Степанов Г Ю Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмперических данных - ПрепринтЛг!! 98-2 -Казань-1998 - 61 с

f{s)>/0, f(s) =

aV'(s)

ШЬ

четном угле атаки а2, то модификация окончена и поставленная задача решена В противном случае итерационный процесс повторяется

В § 3 дано обобщение решения предыдущей задачи на случай заданного диапазона углов атаки, те исходный профиль требовалось модифицировать так, чтобы он обтекался безотрывно во всем заданном

диапазоне углов атаки [а,,а2], где а, <«,*, а2 >а2

В §4 приведена постановка и численно-аналитическое решение задачи построения безмоментных крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки Под безмоментным профилем понимается крыловой профиль с нулевым моментом при нулевой подъемной силе3 Задан контур профиля Ь. и диапазон углов атаки

[а^,а2], в котором профиль обтекается без отрыва потока Требуется модифицировать этот профиль так, чтобы при нулевой подъемной силе профиль стал безмоментным, а при расчетном угле атаки а2 > а2 обтекался без отрыва потока

Из формулы Чаплыгина для вычисления момента относительно задней кромки

после преобразований была получена формула М. = 2при\йг, из которой следовало, что коэффициент с12 для безмоментного профиля должен быть равен нулю Тогда было построено квазирешение ОКЗА

ио=ж) - +(а+с,)+ц )г'+цг2+лж) ], (2)

которое учитывает условия разрешимости, скачок скорости в задней кромке и обеспечивает безмоментность профиля

Для построения безмоментного крылового профиля был организован итерационный процесс, в котором распределение скорости заменялось на безотрывное при расчетном угле атаки и решалась ОКЗА с квазирешением (2)

В §5 приведены примеры, иллюстрирующие разработанные методы В качестве исходных профилей для модификации были выбраны

3 Тумашев Г Г Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления - Ученые записки Казанского университета - 1952 - Т 112 -С 3-41

классические профиль Жуковского и профиль Clark-YH-5%4, которые обтекаются безотрывно в диапазоне углов атаки [-2°,2°] и [-5°,7°] соответственно На рис 2,а изображен профиль Clark-YH-5% (штриховая линия) и модифицированный профиль (сплошная линия), а на рис 2,6 - распределения скорости по их контурам при расчетном угле атаки а - 8°

На рис 3 приведено сравнение профилей, полученных двумя методами На рис 3,а изображен профиль Жуковского, модифицированный при расчетном угле атаки а = 3° (сплошная линия) и в диапазоне углов атаки [-6°, 6°J (штриховая линия) На рис 3,6 показан профиль Clark-YH-5%, модифицированный при расчетном угле атаки а = 8° и в диапазоне углов атаки [-6°,8°] Аэродинамические характеристики профилей, модифицированных в диапазонах углов, приведены в таблице 1

у/Ь

аоо 020 (140 йбо С.80 s/L

Рис 2 Рис 3

Ушаков Б А, Красильщиков П П, Волков А К, Грегоржевский А Н Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев - Изд БНТ НКАП при ЦАГИ, 1940 -340 с

Таблица 1

Профиль et С„ Профиль á fv С„

Жуковского 6 0 68 1 162 Clark-YH-5% 8 0 52 0 997

Модиф Жуков 6 1 1 184 Модиф Clark-YH-5% 8 1 1 047

Жуковского -б 0 35 -0 479 Clark-YH-5% -6 04 -0 605

Модиф Жуков -6 0 -0 527 Модиф Clark-YH-5% -6 0 -0 577

а)

>/ь

ООО:

020

ООО 0 20 0 40 ООО 0 80 s/L

Рис 4

На рис 4 приведен пример построения безмоментного профиля Жуковского, обтекаемого безотрывно при расчетном угле атаки а = 3° Профиль Жуковского (штриховая линия) имеет коэффициент подъемной силы С = 0 812, момент относительно задней кромки М2 = 0 226

при а = 3° Безмоментный профиль (сплошная линия) имеет Су= О 826

при расчетном угле атаки

Во второй главе проведено обобщение задачи построения крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки, на случай учета сжимаемости, вязкости и совместного учета вязкости и сжимаемости потока Учет вязкости проводился по модели безотрывного пограничного слоя Для учета сжимаемости была использована формула Кармана-Цзяна

В §6 решена задача построения крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки при дозвуковом обтекании Заданы контур профиля L. и число Маха Л/х набегающего потока Известен диапазон углов атаки [а\, аг ], в котором профиль обтекается без отрыва потока Требуется модифицировать профиль с целью

его безотрывного обтекания в большем диапазоне углов атаки [а,,а2] и найти его аэродинамические характеристики

Учет сжимаемости проводился с использованием формулы Кар-мана-Цзяна Зависимость между скоростями К и Я по контуру крылового профиля в несжимаемом и сжимаемом потоках выражается формулой

11/2

1-0-мугс

рг

рГ'

|Я|>Яа

где под срГ понимают коэффициент давления для адиабатического течения

срг=-

кМ1

Уя2//^

-1

к + \ к-\

При ¡Я| < Яда используется соотношение

2Я

ПЛ):

с2 = 0 296

1 + 7(1 + 4с2Л2) '

Для нахождения контура профиля был организован итерационный процесс, в котором распределение приведенной скорости пересчиты-валось на ИНЖ, заменялось на безотрывное при углах атаки а,, а2 и решалась ОКЗА для ИНЖ с использованием квазирешения (1) Коэффициент подъемной силы рассчитывался по формуле

С„

срГск

В §7 изложено решение задачи построения крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов в потоке вязкой несжимаемой жидкости Заданы контур профиля ¿. и число Рей-

нольдса Явда Известен диапазон углов атаки [а\,а'2], в котором профиль обтекается без отрыва потока Требуется модифицировать профиль с целью его безотрывного обтекания в большем диапазоне углов атаки [апа2] и найти его аэродинамические характеристики

Способ учета вязкости потока по модели ПС позволил свести поставленную задачу к задаче нахождения контура полутела вытеснения в потоке ИНЖ по заданному вдоль границы полутела безотрывному распределению скорости Форму искомого профиля получим, отступив

от границы полутела вытеснения внутрь на толщину вытеснения о

Последняя найдена из расчета ПС однопараметрическим методом Ко-ч ина-Л о йцянско го

Для того, чтобы искомый контур был замкнутым, полутело вытеснения должно быть разомкнуто на величину Дг = -((50*ехр(г#0), где в0 - аргумент вектора скорости в задней кромке профиля, б'0=5\0) + 3\2тс)

Неизвестные величины коэффициентов сопротивления Сх и подъемной силы Су находились по формулам

\ Г

с=ь~1

[jcpdy + \jcfdx\,

В §8 дано обобщение построенных решений на случай одновременного учета вязкости и сжимаемости потока

В §9 приведены примеры модифицированных профилей, полученных методами §§ 6-8 Профиль Жуковского требовалось модифицировать в диапазоне [-6°,6°], профиль Clark-YH-5% в диапазоне [-6°,8°] На рис 5,а изображен профиль Clark-YH-5%, модифицированный с учетом сжимаемости потока, на рис 5,6 - с учетом вязкости потока (штриховая линия - исходный профиль, сплошная - модифицированный)

Рис 5

На рис 6 представлены контуры модифицированных профилей Clark-YH-5%, построенных по моделям ИНЖ (сплошная линия 1), вязкой жидкости (штриховая линия 2), идеального газа (штрих-пунктирная линия 3) и совместного влияния сжимаемости и вязкости (пунктирная линия 4) Соответствующие аэродинамические характеристики приведены в табл 2, где значения коэффициентов подъемной силы Су соответствуют исходному профилю, Cyj — модифицированному

Рис 6

Таблица 2

№ R-eoo «=8° а =-6°

СУ

I 00 оо 0 997 1 047 -0 605 -0 577

2 00 107 1 013 1 052 -0 601 -0 568

3 05 00 0 845 0 987 -0 638 -0 631

4 05 ю7 0 953 0 996 -0615 -0 603

Анализ аэродинамических характеристик показал, что учет вязкости по модели ПС привел к увеличению толщины модифицированного профиля по сравнению со случаем ИНЖ, коэффициент подъемной силы Cv увеличился на 1% по сравнению с Су модифицированного

профиля по модели ИНЖ Учет сжимаемости оказал большее влияние на форму и характеристики модифицированного профиля, чем учет вязкости Толщина профиля уменьшилась, коэффициент подъемной силы модифицированного с учетом сжимаемости профиля снизился на 6 % по сравнению с Су модифицированного профиля для ИНЖ При

одновременном учете вязкости и сжимаемости наблюдалась похожая картина, а именно, толщина модифицированного профиля уменьшилась и Cv понизился по сравнению со случаем ИНЖ на 4%

В третьей главе с целью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов проведен прямой расчет модифицированных профилей, полученных методами первой и второй глав, и исследование их аэродинамических характеристик Прямой расчет двухмерного дозвукового турбулентного обтекания профилей вязким газом осуществлялся с использованием лицензионного пакета FLUENT

В §10 приведены основные формулы для прямого расчета дозвукового турбулентного обтекания заданного крылового профиля вязким газом Описана модель турбулентности Спаларта-Аллмараса

В §11 были проведены прямые расчеты обтекания модифицирование vm.iTTrmi.TY ппогЬиттрй п ттятсртр Р1 ТТРЫТ ТТискпетичапия области течения (см рис 7, где размеры указаны в хордах) осуществлена структурированной мультиблочной сеткой с прямоугольными ячейками, дискретизация области на бесконечности выполнена в виде С-сетки, вложенной в О-сетку Генерация сетки проходила в автоматическом режиме В целом расчетная сетка содержала 34500 элементов Расчет проводился с помощью однопараметрической модели Спаларта-Аллмараса Характеристики потока на бесконечности следующие число Маха Ма = 05, число Рейнольдса 11егю = 107, температура Гю =273° К, плотность воздуха р = 1 29 кг!м1, динамический коэффициент вязкости V = 1 78 10'5м2 / с, давление рх -101325 Па

Рис 7

Для крыловых профилей, построенных в §5 и §9, был проведен прямой расчет На рис 8 изображены картины линий тока при обтекании профиля Жуковского (рис 8,а,б) и его модификации (рис 8,в,г), построенной с учетом сжимаемости в заданном диапазоне углов атаки оге[-6°,6°] На рис 9 дано сравнение графиков коэффициентов давления ср для модифицированного профиля Жуковского при углах атаки 6° и -6° (численный расчет - сплошная линия, расчет в пакете FLUENT - штриховая линия) Небольшое несоответствие графиков объясняется влиянием пограничного слоя, который учитывается в модели Спаларта-Аллмараса

Аэродинамические характеристики, полученные численно и в пакете FLUENT для крыловых профилей, модифицированных с учетом сжимаемости и вязкости потока, представлены в таблице 3 Под Lz понимаются исходные профили, под Ьл - модифицированные

Таблица 3

Профиль Численный эасчет FLUENT

<<'v К К

о и L. 6 0 993 — 0 953 0218 4 37

* о 1 008 0 089 11 33 0 967 0 087 11 11

О * L„ -6 -0,525 — — -0,512 0 187 -2 74

й -0,574 0 084 -6 83 -0,564 0 083 -6 80

sS ifi L.. О 0 983 — — 1.089 0 181 6 02

4, 0 996 0081 12 30 0 869 0 068 12 78

.i 3 О L. -6 -0,615 — — -0,584 0 071 -8 23

кг -0,603 0 067 -9 00 -0,568 0 053 -10,72

Коэффициент сопротивления Сх у модифицированных профилей уменьшился У модифицированного профиля Жуковского аэродинамическое качество К увеличилось в 2 5 раза по сравнению с исходным

профилем при а = ±6° У модифицированного профиля Clark-YH-5% качество К увеличилось в 2 12 раза при а =8° ив 13 раз при а =-6° Отличие коэффициента подъемной силы Су модифицированных профилей, полученных численно и с помощью FLUENT для профиля Жуковского составило 4% при а =6° и 2% при а =-6°, для

профиля Clark-YH-5% - 11% при а =8° и 5% при а =-6°.

Применение методов пакета FLUENT дало возможность вычислить коэффициент сопротивления и сравнить аэродинамическое качество исходных классических и модифицированных крыловых профилей Расчеты показали, что у последних качество увеличилось за счет уменьшения коэффициента сопротивления Также было показано, что модифицированные профили обтекаются без отрыва потока в заданном диапазоне углов атаки

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Разработка метода модификации крыловых профилей с целью увеличения диапазона безотрывного обтекания в потоке идеальной несжимаемой жидкости

2 Аналитическое представление и численная реализация квазирешения ОКЗА с учетом условия отсутствия скачка скорости в задней кромке профиля и условия безмоментности профиля при нулевой подъемной силе

3 Постановка и решение задачи построения безмоментных крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки

4 Обобщение решений задач модификации крыловых профилей на случай дозвукового потока вязкого газа

5 Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы

6 Оценки достоверности полученных аэродинамических характеристик модифицированных профилей прямым расчетом в пакете FLUENT

Следует отметить поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (проекты М» 99-01-00365, 02-01-00061-а, 05-08-01153-а), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Дунаева О С Построение крылового профиля, обтекаемого ^рчлтпигриг» р гт-аииг\л* пг*о поолиА урттгчо ИТ01Г1! ^ О О Ду"2.^22. ^ ТруД1Л Математического центра имени Н И Лобачевского «Лобачевские чтения - 2006» Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции - Казань Издательство Казанского математического общества, 2006 - Т 34 - С 82-83

2 Дунаева О С Построение крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки, с учетом вязкости потока / О С Дунаева // Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности Материалы IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Москва, 2007 - С 23-26.

3 Дунаева О С , Ильинский Н Б Построение крылового профиля, обтекаемого безотрывно сжимаемым потоком в заданном диапазоне углов атаки /ОС Дунаева, Н Б Ильинский // Модели и методы аэродинамики Материалы Шестой и Седьмой Международных школ-семинаров -М МЦНМО, 2007 - С 159

4 Дунаева О С , Ильинский Н Б Построение крылового профиля, обтекаемого безотрывно сжимаемым потоком в заданном диапазоне углов атаки /ОС Дунаева, Н Б Ильинский // Прикладная механика и техническая физика - 2008 - №6 (принята в печать)

5 Ильинский Н Б , Неберова О С Построение безмоментного крылового профиля путем модификации распределения скорости / Н Б Ильинский, О С Неберова // Тезисы докладов XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г - Т 1 - М Изд-во МАИ, 2003 - С 303

6 Ильинский Н Б , Неберова О С Модификация классических крыловых профилей с цетыо улучшения их характеристик / Н Б Ильинский, О С Неберова // Гидродинамика больших скоростей Тезисы докладов Второй международной летней научной школы, 27 июня - 3 июля 2004 г, Чебоксары, 2004 - С 76

7 Ильинский Н Б , Неберова О С Построение безмоментного крылового профиля путем модификации распределения скорости / Н Б Ильинский, О С Неберова // Известия Вузов Авиационная техника -2004 -№1 -С 21-24

8 Ильинский Н Б , Неберова ОС Об одном подходе к модификации крыловых профилей / Н Б Ильинский, О С Неберова // Известия Вузов Авиационная техника - 2006 -№3 -С 30-33

9 Неверова О С Модификация крыловых профилей Жуковского с целью улучшения аэродинамических характеристик /ОС Неверова // Труды математического центра имени H И Лобачевского «Лобачевские чтения 2001» Материалы международной научной школы-конференции-Казань Издательство «ДАС», 2001 -Т 12 -С 105

10 Неверова О С Исследование особенности в хвостовой кромке при модификации профилей Жуковского /ОС Неберова // VIII Чета-евская международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Тезисы докладов 28-31 мая 2002 г - Казань Изд-во Казан гос техн ун-та, 2002 - С 275

11 Неберова О С Построение безмоментных крыловых профилей путем модификации распределения скорости /ОС Неберова // Труды Математического центра имени H И Лобачевского Лобачевские чтения — 2002 Материалы международной молодежной научной школы-конференции Т 18 — Казань Издательство Казанского математического общества, 2002 -С 66

12 Неберова О С Построение безотрывных крыловых профилей путем модификации распределения скорости /ОС Неберова // Труды математического центра имени H И Лобачевского «Лобачевские чтения — 2005» Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции Т 31 - Казань Издательство Казанского математического общества, 2005 -С 108-109

13 Неберова О С Об одном подходе к улучшению аэродинамических характеристик крыловых профилей /ОС Неберова // 5-я международная конференция «Авиация и космонавтика-2006» 23-26 октября 2006 года Москва Тезисы докладов -М Изд-во МАИ, 2006 - С 38

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз Заказ 87/4

420008, ул Профессора Нужина, 1/37 тел 231-53-59,292-65-60

Используемые аббревиатуры и обозначения. J ; ' ' Введение.

I. Методы улучшения аэродинамических характеристик крыловых профилей в потоке идеальной несжимаемой жидкости.

§ 1. Решение классических прямых и обратных краевых задач аэрогидродинамики

§2. Построение крыловых профилей, обтекаемых безотрывно при расчетном угле атаки.

§3. Обобщение на случай заданного диапазона углов атаки.

§4. Построение безмоментных крыловых профилей, обтекаемых безотрывно.

§5. Числовые расчеты, анализ, выводы.

II. Обобщение методов улучшения аэродинамических характеристик крыловых профилей на случай учета сжимаемости и вязкости потока.

§6. Построение крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки с учетом сжимаемости потока.

§7. Учет вязкости по модели пограничного слоя.

§8. Совместный учет вязкости и сжимаемости.

§9. Числовые расчеты, анализ, выводы.

III. Исследование и анализ построенных крыловых профилей с использованием лицензионного пакета Fluent.

§10. Математическое моделирование дозвукового обтекания крылового профиля.

§11. Анализ аэродинамических характеристик исходных и модифицированных профилей.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов модификации крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью или дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

В настоящее время, несмотря на наличие программных средств, которые позволяют выполнять расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования крыловых профилей широко используется модель идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ), которая дает хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей таких, как воздух и вода. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости (р{х,у) и функция тока ц/(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными и позволяют ввести в рассмотрение в физической плоскости z = x + iy аналитическую функцию комплексного потенциала потока w(z) = (p(x,y) + ii//(x,y) (см., например, [18]). Это дало в свое время мощный толчок теоретическим исследованиям в гидромеханике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного был уже хорошо развит к тому времени.

Современные методы аэродинамического проектирования и модификации крыловых профилей можно разделить на два типа: прямые и обратные. Суть прямого метода состоит в последовательном многократном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения свойств, близких к требуемым. Однако эти методы часто трудоемки и позволяют находить характеристики уже готового объекта. Множество трудностей, связанных с применением прямых методов удается преодолеть с помощью обратных методов проектирования, которые базируются на теории обратных краевых задач и представляют собой процесс непосредственного восстановления формы профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости или давления на профиле).

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [51], [29], [30], [48], [26], [36], [7]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению, а на границе области - заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области определяется по дополнительному краевому условию на границе.

В классической постановке ОКЗА неизвестная форма крылового профиля определяется по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s, декартовой координаты х или параметра у в канонической области и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает около 80 лет. Первые постановки и решения таких задач для модели идеальной несжимаемой жидкости были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weining'a [55,56], С. Schmiden'a [52], A. Betz'a [43], W. Mangler'a [51], Л.А. Симонова [29, 30], Г.Г. Тумашева [34], M.J. Lightill'a [48,49]. Существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует только при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A. Betz'a [43] и подробно выведены в статьях W. Mangler'a [51], M.J. Lightill'a [49], [50] и Г.Г. Тумашева [35].

Один из простых способов удовлетворения условий разрешимости заключается во введении в исходное распределение свободных параметров, которые подбираются так, чтобы добиться замкнутой формы контура профиля. Так, например, J.L. Van Ingen [54] в основной ОКЗА задавал распределение скорости с тремя свободными параметрами. Аналогичный подход применили M.J. Lightill [50], R. Eppler [45, 46] и Г.Ю. Степанов [32].

Другой эффективный подход к разрешению этой проблемы состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [51] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(y) = In V{f), уе[0,2ж], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [42], допускавший изменения исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обеих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [5] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [6] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешений был применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [7] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

Учет сжимаемости потока, как правило, требует привлечения численных способов для решения уравнений газовой динамики. Поэтому при дозвуковых скоростях потока в теории ОКЗА получили развитие также относительно простые способы учета сжимаемости, основанные на использовании модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [33], L.C. Woods'a [57, 58], Г.Ю. Степанова [31]. Еще один из способов решения учета сжимаемости основан на использовании формулы Кармана-Цзяна [47], [53]. Она позволяет приближенно пересчитать распределение коэффициента давления на контуре профиля в несжимаемой жидкости на дозвуковое течение газа при неизменном угле атаки.

Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [32], JI.JI. Лебедева [17] и J.L. Van Ingen'a [54]). Наиболее полный учет вязкости* дает применение уравнений Навье-Стокса (см., напр., [44]). Построение профиля с нужным распределением давления осуществлено в указанной' работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.

В некоторых случаях существенное влияние приобретает учет влияния-вязкости набегающего потока, который позволяет более точно определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ недостаточно для учета такого влияния. Значительно упростить процесс проектирования крыловых профилей можно, учитывая, что обычно обтекание крыльев происходит при больших (порядка 105-107) числах Рейнольдса. При таком режиме обтекания вязкость будет сказываться лишь в достаточно тонком слое воздуха. Поэтому ее учет можно провести в рамках модели ПС. Согласно этой модели (см., напр., [18], [41]) распределение давления по контуру крылового профиля при обтекании его вязкой жидкостью совпадает с распределением давления при обтекании идеальной жидкостью так называемого полутела вытеснения, получаемого наращиванием на профиль толщины вытеснения. Использование этого факта позволило существенно упростить решение как прямых, так и обратных задач.

Впервые способ учета влияния вязкости по модели ПС при решении ОКЗА предложил Г.Ю. Степанов [32]. Им решена ОКЗА по годографу скорости, причем найденное в потоке ИНЖ полутело вытеснения утоньшено на величину толщины вытеснения, полученную из расчета ПС по заданному распределению скорости и числу Рейнольдса на бесконечности.

В настоящее время интерес к ОКЗА не только не уменьшается, а, наоборот, значительно растет. Новые фундаментальные результаты теории ОКЗ, запросы практики и увеличение мощности ЭВМ стимулируют развитие новых работ по ОКЗА и расширение класса решаемых задач: проектирование многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, профилей при наличии в потоке особенностей и вблизи экрана, а также задач модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик. Последние задачи представляют особый интерес, так как позволяют улучшить аэродинамические характеристики исходного профиля: увеличить диапазон безотрывных углов обтекания, увеличить подъемную силу, уменьшить профильное сопротивление. Важным также является исследование влияния методов модификации на изменение характеристик исходных крыловых профилей.

Целью настоящей диссертации является развитие численно-аналитических методов модификации крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа такой, чтобы достигнуть безотрывного обтекания в большем диапазоне углов атаки; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ и сравнение аэродинамических характеристик исходных и модифицированных профилей.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В диссертации разработаны численно-аналитические методы модификации крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа, чтобы достигнуть безотрывного обтекания в большем диапазоне углов атаки.

Решена задача модификации крыловых профилей с целью обеспечения их безотрывного обтекания при расчетном угле атаки и в диапазоне углов атаки. Суть модификации заключалась в увеличении диапазона безотрывного обтекания классического крылового профиля путем изменения распределения скорости по его контуру. При этом возникали трудности, именно, значения скорости в задней кромке профиля при подходе к ней по верхней и нижней поверхностям контура стало различным и после решения обратной задачи контур в окрестности этой кромки приобрел вид логарифмической спирали. Эти трудности удалось преодолеть применением квазирешения! ОКЗА с учетом условия, которое устранило этот скачок скорости. В результате модификации были построены профили, обтекаемые безотрывно в большем диапазоне углов атаки в отличие от исходных профилей.

Поставлена и решена задача построения безмоментных крыловых профилей, которые обтекаются безотрывно при расчетном угле атаки. В процессе модификации распределение скорости при расчетном угле атаки заменялось на безотрывное, возникал скачок скорости в задней кромке. Кроме того, требовалось удовлетворить условие безмоментности профиля при нулевой подъемной силе. Эти условия также были учтены при квазирешении ОКЗА. Таким образом у модифицированных профилей увеличился диапазон безотрывных углов обтекания, момент при нулевой подъемной силе стал равным нулю, а коэффициент подъемной силы при расчетных углах атаки увеличился по сравнению с исходными профилями.

Задача построения крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки, обобщена на случай учета вязкости потока, сжимаемости и совместного учета вязкости и сжимаемости. Приведен ряд расчетов, демонстрирующих влияние вязкости и сжимаемости на изменение геометрических и аэродинамических характеристик модифицированных профилей. Выполнено сравнение с результатами, полученными по модели ИНЖ. Показано, что учет вязкости при решении задач модификации привел к увеличению толщины модифицированных профилей, аэродинамические характеристики же изменились слабо. Учет сжимаемости и совместный учет сжимаемости и вязкости оказал большее влияние, толщина профилей уменьшилась, коэффициенты подъемной силы снизились.

С целью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов проведен прямой расчет полученных модифицированных профилей в пакете FLUENT. Показано, что наилучшее приближение теоретических результатов к численному эксперименту дает совместный учет вязкости и сжимаемости потока. В этом случае отличие коэффициентов подъемной силы модифицированных профилей, полученных численно и с помощью FLUENT, для профиля Жуковского составило 4% при а = 6° и 2% при а - -6°, для профиля Clark-YH-5% составило 11% при а = 8° и 5% при а = -6°. Также прямым расчетом показано, что у модифицированных профилей коэффициент сопротивления уменьшился, а аэродинамическое качество увеличилось в среднем в 2.3 раза при положительных углах атаки. Прямой расчет подтвердил, что модифицированные профили обтекаются без отрыва потока в заданном диапазоне углов атаки.

1. Дунаева О.С. Построение крылового профиля, обтекаемого безотрывно сжимаемым потоком в заданном диапазоне углов атаки / О.С. Дунаева, Н.Б. Ильинский // Прикладная механика и техническая физика. — 2008. — №5. -С.

2. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи / A.M. Елизаров // Известия вузов. Математика. 1984. - №10. - С. 42-50.

3. Елизаров A.M. Метод квазирешений в обратной краевой задаче аэрогидродинамики / A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский // Известия вузов. Математика. 1984. -№10. - С. 50-59.

4. Елизаров A.M. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей / A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский, А.В. Поташев. М: Физматлит, 1994. 436 с.

5. Ильинский А.Н. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмперических данных / А.Н. Ильинский, Н.Б. Ильинский, Д.В. Поляков, А.В. Поташев // Препринт № 98-2. Казань. -1998.-61 с.

6. Ильинский Н.Б. Построение безмоментного крылового профиля путем модификации распределения скорости / Н.Б. Ильинский, О.С. Неберова // Известия Вузов. Авиационная техника. -2004. — №1. — С. 21-24.

7. Ильинский Н.Б. Об одном подходе к модификации крыловых профилей / Н.Б. Ильинский, О.С. Неберова // Известия Вузов. Авиационная техника.- 2006. №3. - С. 30-33.

8. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика. 4.1/ Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе // М.: Изд-во технико-теор. литературы, 1955. 560 с.

9. Кузнецов А.В. Гумер Галеевич Тумашев, 1910-1984. / А.В. Кузнецов. Казань: Изд-во Казанского университета, 2002. — 32 с.

10. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М: Наука, 1987. - 688 с.

11. Лебедев Л.Л. Обратная задача теории ламинарного пограничного слоя / Л.Л. Лебедев // Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, 1983.-Вып. 19.-С. 103-106.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. — М.: Наука, 1987.-840 с.

13. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

14. Неберова О.С. Построение безотрывных крыловых профилей путем модификации распределения скорости / О.С. Неберова // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. «Лобачевские чтения 2005».

15. Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции. Т. 31. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2005. — С. 108109.

16. Неберова О.С. Об одном подходе к улучшению аэродинамических характеристик крыловых профилей / О.С. Неберова // 5-я международная конференция «Авиация и космонавтика-2006». 23-26 октября 2006 года. Москва. Тезисы докладов. М.: Изд-во МАИ, 2006. - С. 38.

17. Никущенко Д.В. применение расчетного комплекса FLUENT® для моделиования течений в вязкой несжимаемой жидкости: Учебное пособие. / Д.В. Никущенко // СПб.: Изд-во СПбГМТУ, 2005. 97 с.

18. Салимов Р.Б. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме, близкой к диаграмме известного профиля / Р.Б. Салимов // Ученые записки Казанского университета. 1957. - №9. - С. 55-59.

19. Салимов Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости / Р.Б. Салимов. Казань: Изд-во Казанск. высш. командно-инж. училища, 1970.-364 с.

20. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. М.: Наука, 1980. - 448 с.

21. Симонов JI.A. Построение профилей по годографу скоростей / JI.A. Симонов // Прикладная математика и механика. — 1940. — Т. 4. — № 4. -С. 97-116.

22. Симонов JI.A. Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности / JI.A. Симонов // Прикладная математика и механика. 1947. - Т. 11. — № 1. - С. 69-84.

23. Степанов Г.Ю. Построение решетки с распределением скорости, заданным на окружности решетки кругов / Г.Ю. Степанов // Прикладная математика и механика. 1953. - № 6. — С. 727-734.

24. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин / Г.Ю. Степанов. М.: Физматгиз, 1962. - 512 с.

25. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости / Г.Г. Тумашев // Известия Казанского физико-математического общества. — 1945. — Т. 13. — Сер. 2. — С. 127-132.

26. Тумашев Г.Г. Построение профилей по заданному распределению скорости / Г.Г. Тумашев // Труды Казанского авиационного института. — 1946.-Вып. 17.-С. 19-22.

27. Тумашев Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления / Г.Г. Тумашев // Ученые записки Казанского университета. 1952. - Т. 112. - № 3. - С. 3-41.

28. Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

29. Ушаков Б.А. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев / Б.А. Ушаков, П.П. Красильщиков, А.К. Волков, А.Н. Грегоржев-ский. Изд. БНТ НКАП при ЦАГИ, 1940. - 340 с.

30. Чаплыгин С.А. Собрание сочинений / С.А. Чаплыгин. — М.: — 1948.-Т. II.-431 с.

31. Чаплыгин С.А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости / С.А. Чаплыгин // Труды отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. -1899.-Т. 10. -№ 1.-С. 35-40.

32. Чжен П. Отрывные течения / П. Чжен. М.: Мир, 1972-1973. - Т.1.3.

33. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М.: Наука, 1974.-712 с.

34. Arlinger В. An exact method of two-dimensional airfoil design / B. Arlinger // Techn. Note SAAB, Linkoping, Sweden. Oct. 1970. - TN-67. -36 p.

35. Betz A. Anderung der Profilform zur Erzielung einer vorgegebenen Anderrung der Druckverteilung / A. Betz // Z. Luftfahrtforschung. 1934. - Bd. 11. -№ 6. - S. 158-164.

36. Hirose N. Transonic airfoil design procedure utilizing a Navier-Stokes analysis code / N. Hirose, S. Takanashi, N. Kawai // AIAA J. 1987. - V. 25. - № 3.-P. 353-359.

37. Eppler R. Die Berechnung von Tragflugelprofilen aus der Druckverteilung / R. Eppler // Ing. Arch. 1955. - Bd. 23. - No. 6. - S. 436-452.

38. Eppler R. Direkte Berechnung von Tragflugelprofilen aus der Druckverteilung / R. Eppler // Ing. Arch. 1957. - Bd. 25. - No. 1. - S. 32-57.

39. Karman Th.Y. Compressibility effects in aerodynamics / Th.Y. Karman // J. Aeron. Sci. 1941. - V.8. - No. 7.

40. Lighthill M.J. A new method of two-dimensional aerodynamic design / Lighthill M.J. Aeronautical Research Council, London. R&M 2112, 1945. -53 p.

41. Lighthill M.J. A mathematical method of cascade design / Lighthill M. J. Aeronautical Research Council, London. R&M 2104, 1945. -18 p.

42. Lighthill M.J. A theoretical discussion of wings with leading edge suction / Lighthill M.J. Aeronautical Research Council, London. R&M 2162, 1945. -9p.

43. Mangier W. Die Berechnuhg eines Tragflugelprofiles mit vorgeschrie-bener Druckverteilung / W. Mangier // Jahrb. Deutsch. Luftfahrtforschung. 1938. -Bd. l.-S. 46-53.

44. Schmiden C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile / C. Schmiden // Z. Angew. Math, und Mech. 1932. - Bd. 12. - № 5. - S. 288310.

45. Tsien H.S. Two-dimensional subsonic flow of compressible fluid / H.S. Tsien// J. Aeron. Sci. 1939. - V.6. - No. 8.

46. Van Ingen J.L. On the design of airfoil section utilizing computer graphics / J.L. Van Ingen // Ingenieur (Nederl.). 1969. - V. 81. - № 43. - P. L 110-L 118.

47. Weining F. Widerstands und Tragflugelprofile mit vorgeschriebener Geschwindgkeitsverteilung an der Oberflache / F. Weining // Z. Angew Math, und Mech. 1929. - Bd. 9. - № 6. - S. 507-509.

48. Weining F. Die stromung un die Schaufeln von Turbomachinen. / F. Weining // Leipzig, 1935.-141 s.

49. Woods L.C. Airfoil design in two-dimentional subsonic compressible flow / L.C. Woods // Aeronaut. Red. Counc. Repts and Mem. 1952. - № 2845. -54 p.

50. Woods L.C. The design of two-dimentional firfoil with mixed boundary conditions / L.C. Woods // Quart. Appl. Math. 1955. -V. 13. - № 2. - P. 139-146.