Аэродинамическое проектирование и оптимизация крыловых профилей методами обратных краевых задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Список принятых аббревиатур и сокращений Введение

1. Основные краевые задачи аэрогидродинамики для крылового профиля

1.1. Постановка основных задач

1.2. Итерационный метод решения задачи

1.3. Условия разрешимости задачи

1.4. Примеры тестовых расчетов

1.5. Различные виды квазирешений и метод их построения

1.6. Примеры расчетов профилей

2. Некоторые специальные смешанные обратные краевые задачи аэрогидродинамики

2.1. Постановка и решение задачи достраивания контура профиля

2.2. Числовые расчеты

2.3. Численно-аналитический метод достраивания крылового профиля учетом вязкости несжимаемого потока

3. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для диапазона углов атаки

3.1. Постановка и вывод интегрального уравнения обобщенной задачи

3.2. Частные случаи задачи

3.3. Примеры расчетов профилей

4. Обратная краевая задача аэрогидродинамики для крыловых профилей с частично проницаемым контуром

4.1. Постановка задачи и итерационный метод решения

4.2. Тестовые расчеты проницаемых профилей

4.3. Примеры построения крыловых профилей с проницаемым контуром

4.4. Пересчет распределения скорости на проницаемом профиле для нерасчетных углов атаки

5. Метод проектирования и оптимизации профиля крыла экраноплана

5.1. Постановка и численно-аналитический метод решения обратной задачи

5.2. Обобщенная постановка и метод решения краевых задач аэрогидродинамики для профиля над экраном

5.3. Условия разрешимости, квазирешение

5.4. Численная оптимизация профиля крыла экраноплана

6. Максимизация аэродинамических характеристик крыловых профилей

6.1. Математическая модель

6.2. Постановка и решение вариационной задачи

6.3. Максимизация критического числа Маха для несущих крыловых профилей

Список принятых аббревиатур и обозначений

ОКЗ - обратная краевая задача

ОКЗА - обратная краевая задача аэрогидродинамики СОКЗА - смешанная обратная краевая задача аэрогидродинамики ВОКЗА - вариационная обратная краевая задача аэрогидродинамики

ИНЖ - идеальная несжимаемая жидкость г = х + гу - комплексная координата в физической плоскости С = геп - комплексная координата во вспомогательной плоскости (р - потенциал скорости ф - функция тока и) = (р +

Сг - область течения в физической плоскости

- область изменения ии

- каноническая область > 1 во вспомогательной плоскости ( Ьг - контур профиля

Ь^ - единичная окружность во вспомогательной плоскости v - скорость потока (в случае сжимаемого - скоростной коэффициент) а, а у - угол атаки

Усс^со - скорость набегающего потока

Г - циркуляция скорости по контуру профиля

С} - расход жидкости через проницаемую часть контура профиля

Су - коэффициент подъемной силы

Сх - коэффициент сопротивления

К = Су/Сх - аэродинамическое качество й - дуговая координата контура профиля й* - дуговая координата передней критической точки зс - дуговая координата точки контура С

Ь - периметр профиля

Ъ - длина хорды профиля - относительная толщина профиля (в долях единицы) £ - величина, определяющая угол в задней кромке профиля ^оо^'оо - скорость набегающего потока во вспомогательной плос кости

3,/% - угол атаки во вспомогательной плоскости V(() - комплексная скорость потока М, Моо - число Маха

11е - действительная часть аналитической функции 1т - мнимая часть аналитической функции

Современные методы аэродинамического проектирования крыловых профилей базируются на решении двух классов задач. Это прямые методы, позволяющие по заданной геометрии профиля рассчитывать аэрогидродинамические свойства профилей, определять их характеристики при различных режимах обтекания (см., например, [68], [63], [8], [89]). Процедура проектирования в этом случае состоит в многократном решении прямой задачи с последовательной целенаправленной модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств профиля с желаемыми. Такой подход, как правило, трудоемок и требует наличия эффективного алгоритма, решающего прямую задачу. Однако он часто является единственно возможным способом проектирования профилей в рамках сложных моделей течения, описываемых, например, уравнениями Навье-Стокса.

Второй подход основывается на теории обратных краевых задач (ОКЗ) (см., напр., [58]), [54], [88], [22]) и представляет собой процедуру непосредственного восстановления формы крылового профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости). Набор математических моделей, в рамках которых применим такой подход, несколько уже, посколь

- 8 ку интегральные представления решения этих задач базируются на классических решениях краевых задач для комплексных аналитических или квазианалитических функций. Однако преимуществом его является возможность получения явных представлений решения обратных задач. Это позволяет исследовать принципиальные вопросы корректности постановок обратных задач, получать с большой точностью обоснованные численные результаты, а также использовать эти представления для постановки и решения более сложных задач (прямых задач, задач достраивания контура профиля, задач оптимизации). Кроме того, крыловые профили, получаемые при решении обратных задач в рамках относительно простых моделей течения, являются хорошим начальным приближением для решения задачи проектирования в рамках более сложных моделей механики жидкостей и газов. Это обусловило развитие обратных методов с середины 30-х годов, начало которому было положено независимо друг от друга учеными разных стран. Особенно интенсивно это направление развивается в последние два десятилетия, что связано с совершенствованием возможностей вычислительной техники.

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей, развитию которых посвящена настоящая работа, составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА), являющиеся частью общей теории ОКЗ. В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, а на границе области - заданному условию, в ОКЗ граница области (или отдельные ее участки) и функция в этой области отыскиваются по дополнительному краевому условию на искомой границе. Исследования теоретического и прикладного характера по ОКЗ и ОКЗА и история развития этой

- 9 теории, охватывающая более пятидесяти лет, достаточно полно отражены в ряде монографий и обзорных статей (см. [58], [54], [7], [21], [88], [22]). Поэтому в представленном ниже обзоре автор ограничился работами из разделов теории, относящихся непосредственно к предмету диссертации.

Классическая постановка ОКЗА заключается в определении формы крылового профиля по заданному на его поверхности распределению величины скорости v или давления потока в функции параметра, связанного с геометрией профиля. Это может быть дуговая координата контура профиля з, декартова координата ж, угол во вспомогательной плоскости 7 или угол наклона касательной к контуру в. Одно из первых полных исследований обратной задачи по г>(з) дано в [100], где использован так называемый принцип сопоставления плоскостей, согласно которому комплексный потенциал потока, обтекающего искомый профиль, после конформного преобразования перейдет в комплексный потенциал потока, обтекающего тело преобразованной формы. В этой работе были также получены условия разрешимости задачи и предложен способ их удовлетворения. В [56], [57] при решении ОКЗА использован несколько иной подход, основанный на введении функции Жуковского, что позволило в дальнейшем решить ряд новых задач, в частности, учесть сжимаемость потока [55]. Среди более поздних методов, использующих те же идеи при решении ОКЗА, можно отметить работы [103], [104]. В [94] метод решения ОКЗА по ■у(з), называемой основной, с успехом применен для проектирования высоконесущих профилей.

Метод решения ОКЗА существенным образом зависит от выбора параметра, в функции которого задается распределение скорости. Основополагающие результаты по решению ОКЗА в случае, когда распределение скорости задается не в функции дуговой координаты,

- 10 получены в [95] Мт)), [64] (и(а:)), [54] (у(6)).

В указанных выше работах результаты были получены в предположении несжимаемости потока. Учет сжимаемости потока, как правило, требует привлечения численных способов для решения уравнений газовой динамики, особенно если следует учитывать трансзвуковые эффекты [99], [42], [6], [73]. Это значительно увеличивает машинное время решения задач. Поэтому при дозвуковых скоростях потока в теории ОКЗА получили развитие также относительно простые способы учета сжимаемости, основанные на использовании модели газа Чаплыгина [55], [104]. В [54] эта модель была применена при решении задачи проектирования решеток профилей. Эти способы характерны своим быстродействием и дают приемлемые результаты в дозвуковом диапазоне обтекания профилей.

Помимо вопросов усложнения моделей течения, существенным направлением развития теории ОКЗА является исследование корректности постановок обратных задач. Характерным для ОКЗ является то, что на искомых участках границы заданы два краевых условия, а на известных (если таковые имеются) - одно. Некоторые из ОКЗ некорректны по Адамару. Однако иногда условия разрешимости этих задач удается выразить в явном виде и при их выполнении обосновать существование единственного и устойчивого решения [18].

Гораздо чаще возникает ситуация, когда условия разрешимости не выражаются в явном виде через исходные данные задачи, т.е. через распределение скорости Это определило развитие специальных подходов к получению физически реализуемых решений ОКЗА. Один из простых способов заключается во введении в исходное распределение свободных параметров, которые подбираются так, чтобы добиться замкнутой формы контура профиля (см., напр., [88]).

Другой эффективный подход к разрешению этой проблемы связан с теорией квазирешений ОКЗА, развитый в работах [18], [19], [22]. Суть его заключается в целенаправленной коррекции исходных данных задачи для удовлетворения условий разрешимости. Строгое изложение теории квазирешений применительно к ОКЗА можно найти в [22].

Обратные задачи в упомянутых выше классических постановках, позволяют восстанавливать форму контура профиля, обладающего заданными свойствами при одном расчетном угле атаки. Однако при изменении угла атаки характеристики профиля могут серьезно ухудшаться. Поэтому с практической точки зрения важной представляется задача проектирования профилей, обладающих заданными свойствами в некотором диапазоне изменения углов атаки. Это приводит к необходимости изучения специального класса ОКЗА - задач для диапазона углов атаки.

В рамках теории плоского безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) такой подход к решению ОКЗА для диапазона углов атаки впервые применен в [95] при построении симметричных профилей по распределению скорости г? (7) как функции полярного угла 7 единичной окружности во вспомогательной плоскости. Идея обобщить описанный метод проектирования на случай несимметричных профилей содержится в [71], однако наиболее полно она была реализована в [82] (см. также [88]). В этой работе дана общая постановка такой ОКЗА по ь(у): интервал [0, 2тг] разделен точками О = 71 < 72 <. < 7П = 2-7Г на отрезки [7^,7^+1]; на каждом из них заданы распределение скорости V& (7) и соответствующее значение угла атаки во вспомогательной плоскости /3&, к = 1 , п. Функции ^(7) не могут быть произвольными, поэтому в [82] использованы распределения, содержащие свободные параметры. Значения параметров выбраны из условий сопряжения функции Vk.il) в точках 7к = 1 , п. При практическом проектировании профилей этот метод был использован

- 12 в [86], [87]. Дальнейшее развитие эти результаты получили в работе [97].

Задание скорости в виде функции от 7 упрощает решение задачи. Однако более естественно, как и в основной ОКЗА, задать распределение скорости как функцию дуговой координаты й. Один из вариантов постановки задачи при п = 2, обобщающий постановку [82] на этот случай, предложен в [29]. Там же описан алгоритм численного решения задачи для малых величин (3\ и /З2.

Эффективный способ улучшения аэродинамических характеристик профиля крыла заключается в применении устройства активного управления потоком, к которым относятся и устройства распределенного отбора и вдува потока (см., напр., [62]). Одна из первых ОКЗА для профиля с распределенным отбором рассмотрена в [71]. В [109] решена задача для проницаемого профиля с использованием в качестве канонической области полосы. ОКЗА для полностью проницаемого профиля рассмотрена в [41].

Другое направление усложнения постановок ОКЗА связано с тем, что в практических приложениях возникает необходимость рассмотрения задач проектирования профилей, в которых область течения многосвязна. К ним относится задача проектирования профиля крыла экраноплана. Область течения в данном случае двухсвязная и ограничена контуром профиля и прямолинейным экраном. Многосвязность области течения значительно усложняет получение интегрального представления и условий разрешимости задачи.

Метод проектирования профиля над экраном, когда скорость задается в функции угловой координаты во вспомогательной плоскости, разработан в [88]. Условия замкнутости выполнялись за счет подбора свободных параметров в исходном распределении скорости. Другой метод проектирования описан в [32]. В этой работе проектирование

- 13 крыла экраноплана является частным случаем более общей задачи проектирования профиля в двухслойном потоке жидкости. Решалась нетривиальная краевая задача отыскания кусочно-аналитической комп лексной функции. Линия разделения слоев (в частном случае - экран) являлась неизвестной и отыскивалась в ходе решения. Условия замкнутости контура профиля выражались в явном виде, аналогичном случаю изолированного профиля. Для удовлетворения этим условиям был использован метод квазирешений ОКЗА (см., напр., [22]). Метод проектирования профиля экраноплана при задании скорости в функции дуговой координаты контура профиля предложен в [13]. Здесь в качестве канонической области использовано кольцо и получено интегральное представление решения задачи, выраженное в достаточно сложном виде через комплексные эллиптические интегралы.

Сложность решения краевых задач аэрогидродинамики возрастает, если часть контура крылового профиля является заранее известной, а другую часть надо найти по заданному распределению скорости или давления. Такие задачи, практически важные задачи, получили название смешанных обратных краевых задач аэрогидродинамики (СОКЗА). В них сочетаются трудности решения прямых и обратных задач, и, кроме того методы их решения зависят от положения точки разветвления потока.

Первыми работами в этом направлении были, по-видимому, [101], [108],[47]. В [101] рассмотрен случай построения профиля, образованного двумя прямолинейными отрезками, образующими заднюю кромку, и неизвестным контуром постоянной скорости. Результаты экспериментального изучения этого класса профилей содержатся в [90]. В [108] предложен метод построения неизвестных участков симметричного профиля, обтекаемого под нулевым углом атаки. В [47] решена задача достраивания известной прямолинейной части контура про

- 14 филя с нулевой циркуляцией.

В описанных выше ОКЗА форма границы неизвестной области отыскивается по двум краевым условиям на границе. Наряду с ними в последнее время получили развитие вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ВОКЗА), в которых вместо второго краевого условия задается некоторое вариационное условие. К таким задачам относятся, например, задачи оптимизации формы профиля для достижения максимальной подъемной силы, минимального сопротивления, максимального качества и т.д. (см., напр., [25], [22]). Существенным моментом в решении этих задач является использование явных интегральных представлений решения ОКЗА. Это решение, как правило, выписывается через некоторую промежуточную функцию, которую выбирают в качестве управляющей, потому что условия разрешимости задачи выражаются через нее линейно. В простых случаях это позволяет в явном виде получить либо решение задачи в нужном классе контуров профилей, либо оценку оптимизируемой величины, если полученное решение не принадлежит требуемому классу. В более сложных случаях, при появлении дополнительных нелинейных условий, получение точного решения затруднено, однако оно может быть найдено численно посредством стандартных процедур определения экстремума функционала. К таким задачам относится, например, задача максимизации критического числа Маха.

Как известно, одной из важных задач теории движения газа около тел заданной формы является определение диапазона изменения числа Маха М^ набегающего потока, при котором течение остается всюду дозвуковым. Верхняя граница М* этого диапазона называется критическим числом Маха и служит параметром, по которому оценивают аэродинамические характеристики околозвуковых крыловых профилей. При Мое < М* для них по самому определению числа М*

- 15 коэффициент волнового сопротивления Схав = 0. Критическое число Маха определяется формой обтекаемого профиля. Поэтому представляет интерес оценка М* для различных профилей и нахождение конфигураций, которые обтекаются дозвуковым потоком с максимально возможным Мое.

Форма плоских и пространственных тел, удовлетворяющих ряду геометрических ограничений и обтекаемых с максимальным М* идеальным газом, изучена в симметричном случае. В [70] рассмотрены конфигурации, имеющие фиксированную длину и плоскость или ось симметрии, параллельную скорости набегающего потока. В качестве геометрических ограничений задавались минимально допустимое значение толщины и объем тела (в плоском случае - площадь). В [10], [11] с использованием вариационного принципа численно построен класс оптимальных по М* симметричных профилей, имеющих заданную площадь и фиксированные носовой и кормовой участки контура. В [43] построено осесимметричное (в плоском случае симметричное) тело фиксированной длины, реализующее максимум М* при заданной максимальной толщине и ограничениях снизу на объем или площадь. В [4], [5] с использованием проекционно-оптимизационного метода численно построены контуры симметричного ненесущего и несущего крыловых профилей, имеющих при заданных геометрических ограничениях повышенное критическое число Маха. Оценка М* в зависимости от геометрических характеристик выбранного класса профилей получена лишь в работе [96]. В ней рассмотрено множество симметричных профилей с острой передней кромкой, у которых угол наклона касательной к контуру ограничен числом 7г/(2а?), ш > 1. Указанная оценка имеет вид М* « где постоянная С £(0,1) и однозначно определяется уравнением контура.

Подводя итог приведенному краткому обзору, отметим, что с го

-16 дами интерес к ОКЗА не только не уменьшается, а, наоборот, значительно растет. Новые фундаментальные результаты теории ОКЗ, возросшие возможности ЭВМ и запросы практики стимулируют развитие новых работ по ОКЗА, особенно по таким направлениям, как проектирование профилей с заданными характеристиками в целом диапазоне углов атаки, профилей с отбором потока, со сложной топологией обтекания (экранопланы), профилей с частично заданной геометрией, аэродинамической оптимизации профилей. Существенным преимуществом методов ОКЗА при проектировании профилей является их высокое быстродействие и эффективность, причем используемые модели позволяют достаточно полно учесть основные свойства обтекающей профиль жидкости или газа. Именно поэтому интерес к разработке таких методов сохраняется до настоящего времени

Целью настоящей работы является:

Единая формулировка и разработка общего численно-аналитического метода решения основных краевых задач аэрогидродинамики для изолированного крылового профиля и профиля над экраном с применением интегральных представлений теории ОКЗА и квазирешения ОКЗА для удовлетворения условиям разрешимости задачи.

Постановка и разработка методов решения задач достраивания контура профиля, в том числе и с учетом вязкости потока.

Обобщенная постановка и решение ОКЗА для двух углов атаки, выяснение математических закономерностей, не зависящих от способа параметризации исходных распределений скорости.

Расширение области применимости обратных задач за счет учета эффектов проницаемости профиля, постановка и решение соответствующей ОКЗА.

Решение ряда вариационных ОКЗА для получения оценок аэродинамических характеристик крыловых профилей и построения опти

- 17 мальных аэродинамических форм.

В первой главе дана единая постановка основных краевых задач аэрогидродинамики крылового профиля - прямой, смешанной и обратной. Предложен общий итерационный метод решения этой задачи, основанный на интегральных представлениях ОКЗА и на разработанном в диссертации численном методе решения задачи Шварца и смешанной задачи для комплекснозначной аналитической функции, определенной во внешности единичного круга. Предложен численный метод удовлетворения разрешимости задачи, базирующийся на методе квазирешений ОКЗА.

Во второй главе предложена постановка и разработан метод решения смешанной обратной краевой задачи. Отличительной особенностью этой постановки является наличие свободного параметра, используемого для задания или минимизации скорости набегающего потока. Получены условия разрешимости задачи и разработаны численные методы получения квазирешения. Представлены числовые расчеты построения и оптимизации профилей с частично заданным контуром. Дана постановка и предложен метод решения задачи достраивания контура профиля с учетом вязкости потока в рамках модели безотрывного пограничного слоя при больших числах Рейнольд-са. Приведены результаты тестовых расчетов и примеры проектирования новых профилей.

В третьей главе дана постановка и построено решение ОКЗА для изолированного крылового профиля с проницаемым контуром, получены условия разрешимости задачи и описаны способы их удовлетворения. Приведены формулы, необходимые для тестовых расчетов теоретических профилей Жуковского с проницаемой поверхностью. Представлены примеры проектирования профилей с различными комбинациями отбора и вдува потока, получены формулы для расчета

- 18 характеристики проницаемого профиля при разных углах атаки.

В четвертой главе дана новая постановка обобщенной ОКЗА для двух углов атаки, получено интегральное уравнение задачи. Рассмотрены частные случаи задачи, когда в качестве параметра, в функции которого заданы распределения скорости, используется вспомогательная угловая координата, дуговая координата, абсцисса. Представлен пример точного решения задачи, приведены примеры построения профилей для двух углов атаки.

В пятой главе предложен численно-аналитический метод решения ОКЗА для крылового профиля над экраном. Разработан способ решения задачи Шварца и смешанной задачи для комплекснозначной аналитической функции, определенной во внешности двух единичных кругов с симметрично заданными граничными условиями. На этой основе дана единая постановка основных краевых задач аэрогидродинамики крылового профиля над экраном, разработан общий итерационный метод решения этой задачи, основанный на интегральных представлениях ОКЗА для профиля над экраном. Предложен численный метод удовлетворения условиям разрешимости задачи. Разработан метод оптимизации формы профиля крыла экраноплана.

В шестой главе рассмотрены задачи оптимизации аэродинамических характеристик крыловых профилей. На основе модели обтекания профиля с турбулентным пограничным слоем предложена постановка и построено решение вариационной задачи о верхней оценке аэродинамического качества крыловых профилей. Проведено сопоставление полученных результатов с известными. Дана физическая постановка задачи о максимизации критического числа Маха. Описаны формулировка и метод решения соответствующей вариационной задачи. Получена зависимость критического числа Маха от теоретического угла атаки, в том числе и при различных ограничениях на

- 19 аргумент вектора скорости потока. Предложен класс теоретических профилей с повышенным критическим числом.

В приложении 1 разработан численный метод решения задачи Шварца и смешанной задачи для комплекснозначной аналитической функции, определенной во внешности единичного круга.

В приложении 2 предложен численный метод решения задачи Шварца и смешанной задачи для комплекснозначной аналитической функции, определенной во внешности двух единичных кругов с симметрично заданными граничными условиями.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы:

1. Единая постановка основных краевых задач аэрогидродинамики для изолированного крылового профиля - прямой, смешанной, обратной - и итерационный метод их решения, основанный на интегральных представлениях ОКЗА и методе квазирешений ОКЗА.

2. Постановка и метод решения задачи достраивания формы крылового профиля по заданному на неизвестной части распределению скорости, в которой наличие свободного параметра позволяет задавать или оптимизировать величину скорости набегающего потока.

3. Постановка и метод решения задачи достраивания неизвестной части крылового профиля по заданному на ней распределению коэффициента давления с учетом вязкости набегающего потока в приближении пограничного слоя.

4. Постановка обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двух углов атаки, включающей в себя известные подобные постановки в качестве частных случаев. Интегральное уравнение решения задачи и выявление общих математических закономерностей, присущих этому классу задач, в частности наличие дополнительного условия совместности начальных данных, удовлетворение которого необходи

- 20 мо наряду с обычными условиями разрешимости ОКЗА.

5. Численно-аналитический метод построения крыловых профилей с замкнутым проницаемым контуром. Формулы, связывающие распределения скоростей на проницаемом профиле при различных режимах обтекания.

6. Постановка и решение вариационной задачи получения верхней оценки аэродинамического качества крыловых профилей, обтекаемых безотрывно с образованием турбулентного пограничного слоя.

7. Теоретические зависимости величины критического числа Маха крыловых профилей от величины теоретического угла атаки, в том числе с учетом ограничений на величину аргумента скорости потока. Класс профилей с повышенным значением критического числа Маха.

Результаты работы по мере их получения были доложены: на II Республиканской конференции "Механика машиностроения" (Брежнев, 1987), на Всесоюзном семинаре "Струйные и отрывные течения" (Новосибирск, 1988), на Научно-технической конференции "Крылов-ские чтения" (Ленинград, 1988, 1993, 1997), Всесоюзных школах-конференциях "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1989,

1992, 1996), на 13-ой научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦИАМ (1989), на Всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (Иркутск, 1990), на I Всесоюзной школе-конференции "Математическое моделирование в машиностроении" (Тольятти, 1990), на Всесоюзных школах "Модели механики сплошной среды" (Владивосток, 1991; Казань, 1993) на Всероссийской научно-технической конференции "Техническое обеспечение создания и развития воздушно-транспортных средств (экра-нопланов и сверхлегких летательных аппаратов) Экраноплан-94" (Казань, 1994), на международных конференциях ЕССОМА8 (Барселона

1993, Венеция 1995, Париж 1996), на российско-немецком симпозиуме

- 21

Проектирование крыловых профилей с устройствами отсоса и вду-ва потока" (Штуттгарт, 1998), на семинаре профессора Г.А.Павловца (Москва, ЦАГИ, 1989), на семинаре профессора В.Г.Шахова (Самара, 1998), на Итоговых научных конференциях Казанского университета (Казань,1984-1998), на заседании Казанского математического общества (Казань, 1999) на семинаре отдела краевых задач НИИММ им. Н. Г. Чеботарева, руководимом профессором Н.Б.Ильинским (Казань, 1984-1999).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1], [2], [3], [23], [24], [27], [26], [28], [30], [36], [37], [38], [39], [50], [60], [65], [66], [76], [77], [78], [79], [80], [91], [38].

В работах [1], [2], [65], выполненных в соавторстве с Ф.Г.Авхади-евым и А.М.Елизаровым, автору принадлежит разработка численных алгоритмов получения решения, проведение и анализ числовых расчетов. Соавторами дана постановка и получено аналитическое решение вариационной задачи.

В работах [3], [66], выполненных в соавторстве с Е.Ю.Аристовой и Н.Б.Ильинским, автором разработан численный метод решения задачи. Соавторами проведены методические числовые расчеты проницаемых профилей, анализ результатов.

В работах [27], [28], [77], выполненных в соавторстве с А.М.Елизаровым, автором разработан численный алгоритм решения, проведены числовые расчеты. Соавтору принадлежит постановка задачи и идея метода решения.

В работе [26], выполненной в соавторстве с А.М.Елизаровым и Е.В.Федоровым, автор принимал участие в получении аналитического решения вариационной задачи, разработал и реализовал численный метод построения оптимальных аэродинамических форм, дающих максимальную подъемную силу, получил зависимость макси

-.22 мального коэффициента подъемной силы от числа Маха набегающего потока. Соавторами получено аналитическое решение вариационной задачи , численно решена задача максимизации подъемной силы в дозвуковом потоке газа с учетом ограничений на скорость и с учетом вязкости потока.

В работах [28], [78], выполненных в соавторстве с А.М.Елизаровым, автором дана постановка и получено решение вариационной задачи максимизации аэродинамического качества, проведены числовые расчеты. Соавтором решена задача о максимизации подъемной силы крылового профиля с заданным периметром.

В работе [23], выполненной в соавторстве с А.М.Елизаровым, А.Н.Ильинским, Н.Б.Ильинским и А.В.Поташевым, автору принадлежит метод задания аэрогидродинамически целесообразных распределений скорости в ОКЗА для двух углов атаки. Соавторами разработаны способы задания аэрогидродинамически целесообразных распределений скорости в ОКЗА для одного угла атаки.

В работах [37], [38], [39], [91], выполненных в соавторстве с Н.Б.Ильинским, автор исследовал постановки задач, разработал и реализовал метод решения СОКЗА. Соавтор предложил некоторые постановки задач и принимал участие в анализе числовых расчетов.

В работе [36], выполненной в соавторстве, с Н.Б.Ильинским и А.В.По ташевым, автором реализован метод построения крыловых профилей в дозвуковом потоке газа. Соавторам принадлежит метод решения и разработка способов удовлетворения условиям разрешимости задачи.

В работе [24], выполненной в соавторстве с А.М.Елизаровым, Н.Б.Ил инским и А.В.Поташевым, автором реализован подход, к построению крыловых профилей на основе метода квазирешений ОКЗА. Соавторами даны постановки и разработаны методы решения ОКЗА в рамках различных моделей течения жидкости, развит метод квази

- 23 решений ОКЗА для удовлетворения условий разрешимости задачи.

Результаты, полученные автором диссертации, использовались так же при выполнении хоздоговорных работ по темам:

Разработкаметода аэродинамического проектирования крыловых профилей экранопланов в плоском потоке идеальной несжимаемой жидкости по заданному распределению скорости или давления" (КАИ, г. Казань, 1992, рук. Н. Б. Ильинский),

Разработка метода аэродинамического проектирования крыловых профилей экранопланов по заданному распределению скорости или давления" (КГТУ, г. Казань, 1993, рук. Н. Б. Ильинский),

Разработка диалогового комплекса программ по аэродинамическому проектированию крыловых профилей экранопланов" (КГТУ, г. Казань, 1994, рук. Н. Б. Ильинский), работ по грантовским темам:

Аэродинамическое проектирование крыловых профилей на основе теории обратных краевых задач" (Отдельный проект Гособразования СССР, 1991-1992, рук. Н. Б. Ильинский),

Разработка комплекса диалоговых программных средств для проектирования и оптимизации аэрогидродинамических элементов" (Программа "Университеты России", научно-техническая программа "Математическое моделирование в научных и технических системах", 1992-1996, рук. Н. Б. Ильинский),

Теория и методы проектирования несущих аэрогидродинамических элементов" (Программа "Университеты России", научное направление "Фундаментальные проблемы математики и механики", 1993 -1994, рук. Н. Б. Ильинский),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N93-01-17552 (1993 -1995, рук. А. М. Елизаров),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N94

- 24

01-00992 (1994 - 1996, рук. Н. Б. Ильинский),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N96-01-00123 (1996-1998, рук. А. М. Елизаров),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N96-01-00112 (1996-1998, рук. Н. Б. Ильинский),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества, N96-01-00070 (1996-1998 рук. Н. Б. Ильинский),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N99-01-00173 (1999-2001, рук. А. М. Елизаров),

Грант Российского фонда фундаментальных исследований, N99-01-00134 (1999-2001, рук. Н. Б. Ильинский),

Диссертационная работа выполнена в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

Остановимся на некоторых моментах, которые важны при чтении текста. Каждая глава предваряется вводной частью, в которой кратко описывается суть задач главы и указаны работы, на основе которых эта глава написана. Диссертация разбита на шесть глав и сорок четыре параграфа, нумеруемых по главам. Нумерация формул, рисунков и таблиц также дана по главам.

Прежде чем перейти к изложению материала, автор хотел бы отметить роль его учителей и коллег. Постоянное влияние на формирование научных интересов и стиля работы оказал Н. Б. Ильинский, на семинарах которого докладывались результаты исследований автора, начиная со студенческих лет, и который является соавтором ряда работ автора диссертации. Существенную роль в исследованиях автора, а в ряде случаев и в выборе направлений самих исследований, сыграли обсуждения результатов с Г. Ю. Степановым, его замечания

- 25 и предложения. Плодотворное сотрудничество с А. М. Елизаровым и А.В.Поташевым во многом определило направление настоящей работы и способствовало более глубокому пониманию математических проблем. Обсуждения результатов диссертации с Ф. Г. Авхадиевым, Д. В. Маклаковым, А. Н. Ильинским и другими сотрудниками института стимулировали исследования, способствовали постановке новых задач и успешному их решению. Всем им автор выражает благодарность.

Заключение

В диссертации дана единая постановка краевых задач аэрогидродинамики крыловых профилей, разработан общий итерационный метод решения, основанный на интегральных представлениях решения ОК-ЗА. Предложен численный метод удовлетворения условиям разрешимости задачи, базирующийся на методе квазирешений ОКЗА. Рассмотрены специальные постановки смешанных задач аэрогидродинамики, позволяющие решать задачи достраивания и оптимизации формы крыловых профилей, а также учитывать вязкость потока в приближении пограничного слоя. Разработан метод решения ОКЗА для профилей с проницаемой поверхностью, получены соотношения, позволяющие рассчитывать характеристики проницаемых профилей при нерасчетных углах атаки. Предложена обобщенная формулировка ОКЗА для двух углов атаки, и получено общее интегральное уравнение для решения обратной задачи. Описаны частные практически интересные случаи решения. Разработан численно-аналитический метод проектирования и оптимизации крыловых профилей над экраном. Предложена единая постановка краевых задач аэрогидродинамики крыловых профилей над экраном, разработан общий итерационный метод решения, основанный на интегральных представлениях решения ОКЗА. Предложен численный метод удовлетворения усло

- 178 виям разрешимости задачи, базирующийся на методе квазирешений ОКЗА.

Дано решение задачи о получении верхней оценки аэродинамического качества крыловых профилей с турбулентным пограничным слоем. Исследована задача максимизации критического числа Маха для несущих крыловых профилей в сжимаемом потоке. Предложен теоретический класс профилей, обладающих повышенным критическим числом Маха.

Все рассмотренные методы снабжены числовыми расчетами, представленными в виде графиков, таблиц и рисунков. Показана эффективность использования разработанных методов для проектирования крыловых профилей в рамках различных моделей и топологий течения.

1. Авхадиев Ф.Г., Елизаров A.M., Фокин Д.А. Максимизация критического числа Маха для несущих профилей// Изв. РАН. Механика жидкости и газа.- 1992.- N3.- С.155-162.

2. Авхадиев Ф.Г., Елизаров A.M., Фокин Д.А. Максимизация критического числа Маха для несущих профилей: npenp.N 94-1/НИИММ им. Н.Г.Чеботарева.- Казань, 1994.- 53 с.

3. Аристова Е.Ю., Ильинский Н.Б., Фокин Д.А. Математическое моделирование распределенного отсоса потока в обратной краевой задаче аэрогидродинамики// Мат. моделирование.- 1994. -Т.6. N1.

4. Аульченко С. М. Вариационный метод построения дозвуковых крыловых профилей//Журнал прикл. механики и технич. физики. 1992. - N4. - С.90-93.

5. Аульченко С. М., Латыпов А. Ф., Яненко Н. Н. Применение проекционного метода для построения контура тела минимального сопротивления//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1985. N2. - С.108-113.

6. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке методами численной оптимизации// Изв. РАН, Механика жидкости и газа.- 1997.- N.- С.174-182.- 180

7. Аксентьев JT.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения //Итоги науки и техники. Матем. анализ.- М.: ВИНИТИ.- 1980.- Т.18.- С.67-124.

8. Боллхауз У.Ф. Некоторые новейшие достижения в численном исследовании трансзвуковых течений// В кн. Численные методы в динамике жидкости.- М.: Мир, 1981, С.152-242.

9. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982.

10. Брутян М. А., Ляпунов С. В. Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока//Учен. зап. ЦАГИ. 1981. -Т.12. - N1. - С.11-18.

11. Брутян М. А., Ляпунов С. В. Оптимизация формы симметричных плоских тел с целью увеличения критического числа Ма-ха//Учен. зап. ЦАГИ. 1981. - Т.12. - N5. - С.10-22.

12. Брутян М. А., Ляпунов С. В. О второй вариации функционала Рябушинского//Докл. АН СССР. 1981. - Т.258. - N4. - С.812-814.

13. Галяутдинов М.И., Маклаков Д.В. Проектирование крыловых профилей, обтекаемых вблизи твердого экрана// Изв. вузов "Авиационная техника". N3, 1994. С.3-7.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

15. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения. М: Наука, 1990. 384с.

16. Домбровский Г.А. Метод аппроксимации адиабаты.- М.: Наука, 1964.- 159с.- 181

17. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Релаксационный метод решения задач нелинейного программирования// Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1977.- Т.17.- N4.-С.890-904.

18. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи// Изв. вузов Математика.- 1984.- N10.- С.42-50.

19. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики// Изв. вузов Математика.- 1984.- N10.- С.50-59.

20. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Квазирешения обратной краевой задачи гидроаэродинамики// Докл. АН СССР.- 1985.- Т.284.- N2.- С.319-322.

21. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики //Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа.- М.: ВИНИТИ.- 1989.- Т.23.- С.3-115.

22. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994. 436с.

23. Елизаров A.M., Федоров E.B. Оптимизация аэродинамических форм методом обратных краевых задач// Прикладная математика и механика.- 1990.- Т54.- N4.- С. 571-580.

24. Елизаров A.M., Федоров Е.В., Фокин Д.А. Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для дозвукового потока газа//Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1993.- Т.ЗЗ.- N6.- С.958-968.

25. Елизаров A.M., Фокин Д.А. Построение крыловых профилей, обтекаемых безотрывно в заданном диапазоне углов атаки// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. N3. С.157-164.

26. Завадовский Н.Ю., Мелешко C.B., Русецкий A.A. Задачи оптимизации формы крыловых профилей// Тр. 10-го научн.- мето-дол. семинара по гидродинамике судна. Варна. 1983. Т.2. С.1-16.

27. Загидуллин И.Р., Фокин Д.А. Регуляризация одного метода конформного отображения, применяемого для гидроаэродинамических расчетов крыловых профилей// Тр. семинара по краевым задачам: КГУ, 1991, вып., 26.- С.148-153.

28. Ильинский А.Н., Ильинский Н.Б., Маклаков Д.В., Поташев A.B. Методы аэродинамического проектирования крыловых профилей экранопланов// Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции "Экраноплан-94", 30-31 августа 1994, Казань. С.16-17.

29. Ильинский А.Н., Ильинский Н.Б., Маклаков Д.В., Поташев A.B. Метод аэродинамического проектирования крылового профиля экраноплана// Изв. вузов Авиац. техника. 1995.- N2.- С.54-63.

30. Ильинский Н.Б., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В., Поташев A.B. Численно-аналитический метод построения профиля экраноплана/ / Тезисы докладов 1 Международной Конференции по экранопланам. Иркутск. 1993. С.47-48.

31. Ильинский А.Н., Поташев A.B. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики с учетом пограничного слоя// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.- 1989.- N4.- С.28-32.

32. Ильинский Н.Б., Поташев A.B., Фокин Д.А. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методом квазирешений обратных краевых задач//Уч.записки ЦАГИ.-1989.-Т.30.-N4.-С.98-101.

33. Ильинский Н.Б., Фокин Д.А. Проектирование бескавитацион-ных гидропрофилей на основе решения смешнной обратной краевой задачи// Прикл. мат. и мех. 1994.- Т.58. - N.1 .- С.55-62.

34. Ильинский Н.Б., Фокин Д.А. Итерационный метод решения краевых задач аэрогидродинамики// ЖВМиМФ. 1995.- Т.35. -С.1731-1740.- 184

35. Ильинский Н.Б., Фокин Д.А. Численно-аналитический метод достраивания крылового профиля с учетом вязкости несжимаемого потока// Изв. вузов Авиационная техн. 1999.

36. Келдыш М.В., Франкль Ф.И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллеллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе. Известия АН СССРБ 19346 N4, с.561-604.

37. Киселев О.М. Построение проницаемого контура по заданному распределению скорости// Сб. докладов Итог, научной конференции Казан, ун-та за i960.- Казань. 1961.- С.88-89.

38. Котелкин В.Д. Обратная задача аэрогидродинамики при выборе декартовых координат в качестве зависимых переменных Изв. РАН, Механика жидкости и газа.- 1994.- N1.- С.147-157.

39. Крайко А. Н. Плоские и осесимметричные конфигурации, обтекаемые с максимальным критическим числом Маха//Прикл. матем. и мех. 1987. - Т.51. - N6. - С.941-950.

40. Лифшиц Ю.Б., Шагаев A.A. Проекционно сеточная схема для расчета обтекания профиля трансзвуковым потоком// Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1988.-Т.28.- N8.- С.1163-1176.

41. Лавр ентьев М.А. Ободной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана//Тр. ЦАГИ.- 1934.- Вып.- 155.- 41с.

42. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

43. Лебедев Л. Л. Одна обратная смешанная задача//Уч. зап. Казан. ун-т. 1957. - Кн.117. - N9. - С.100-103.- 185

44. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840с.

45. Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В., Поташев A.B. Численно-аналитический метод построения профиля экраноплана// Тезисы докладов 1 Международной Конференции по экранопланам. Иркутск. 1993. С.47-48.

46. Насыров С.Р., Фокин Д.А. Обоснование сходимости одного приближенного метода конформного отображения внешности крылового профиля на внешность круга.- 1993.- Т.33.- N11.- С.1651-1662.

47. Нужин С.Г. Построение потенциального потока несжимаемой жидкости около крыловых профилей произвольной формы// Прикл. матем. и механика.- 1947.- Т.Н.- Вып.1.- С.55-64.

48. Седов Л.И.Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука. 1966. 448с.

49. Серебрийский Л.М. Обтекание крыловых профилей произвольной формы// Инж.сб. 1946.- Т.З.- Вып.1- С.105-136.

50. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-МатГиз, 1962. 512 с.

51. Тумашев Г. Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости//Изв. Казан, физ.- мат. об-ва. 1945. - Т.13. - Сер.2. - С.127-132.

52. Тумашев Г.Г. Построение профилей по заданному распределению скоростей// Уч. зап. Казан, ун-та. 1949. Т.109. N1. С.73-87.

53. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления//Уч. зап. Казан, ун-т. 1952. - Т.112. - N3. - С.3-41.

54. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения,- Казань: Казанский ун-т, 1965.- 1965.- 333с.

55. Ушаков Б.А., Красильщиков П.П., Волков А.К., Грегоржев-ский A.M. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев. Изд. БИТ НКАП при ЦАГИ, 1940. 340с.

56. Фокин Д.А. Максимизация аэродинамического качества крыловых профилей с турбулентным пограничным слоем// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1998. N3. С. 177-184.

57. Чаплыгин С.А. О газовых струях. Ученые записки Московского университета. Отд. физ. мат. наук, 1904, вып.21. М: Наука, 1990. 384с.

58. Чжен П. Управление отрывом потока. Экономичность, эффективность, безопасность. М.: Мир, 1979. - 552с.

59. Шагаев A.A. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме чисел Маха в трансзвуковом потоке// Уч. зап. ЦАГИ.- 1984.- 15.- N4.- С.15-23.

60. Шурыгин В.М. Определение контура профиля по заданному распределению давления// Тр. ЦАГИ.- 1948.- N660.- 20с.

61. Avhadiev F.G., Elizarov A.M., Fokin D.A. Estimates for critical Mach number under isoperimetric constraints// European J. of Appl. Math.- 1995. N.- 6(5).- P.385-398.- 187

62. Aristova E.Yu., Il'inskiy N.B., Fokin D.A. A fast method for the design of airfoils with distributed suction// ZAMM.- 1994.- V.74.-N8.- R349-351,

63. Arlinger B. An exact method of two-dimentional airfoil design//Techn. Note SAAB, Linkoping, Sweden, Oct. 1970. TN-67. - 36p.

64. Carlson L.A., Weed R.A. A direct-inverse transonic wing design analysis method with viscous interaction// J.Aircraft.-1987.- 24.-N2.- p.88-106.

65. Costello G. R. Method of designing cascade blades with prescribed velocity distributions in compressible potential flows//NACA Rept.- 1950. No.978. - lip.

66. Gilbarg D., Shiffman M. On bodies achieving extreme values of the critical Mach number//J. Ration. Mech. and Analysis. 1954. - V.3.- No.2. P.209-230.

67. Glauert M.B. The application of the exact method of airfoil design/'/ Aeronaut. Res. Counc. Repts. and Mem. 1947. N 2683. 45p.

68. Garabedian P.R., Korn D.G. Numerical design of transonic airfoils// In Numerical Solution of Partial Differential Equation. II. New York, Acad. Press, 1971.- P.253-271.

69. Daripa P. K., Sirovich L. An inverse method for subcritical flows//J. Comput. Phys. 1986. - V.63. - No.2. - P.311-328.

70. Egglston B., Jones D.J. The design of lifting supercritical airfoils using numerical optimization method// Can. Aeronaut, and Space J.- 1977.- V.23.- N3.- P.172-181.- 188

71. Elizarov A.M., Il'inskiy N.B., Potashev A.V. Aerodynamic airfoils shape design by quasi-solution method of inverse boundary-value problems// Advances in Mechanics. 1991. Y.14. N2. P.49-91.

72. Elizarov A.M., Fokin D.A. Design and optimization of airfoils in non-stalling incopmressible flow with a prescribed range of angle of attack//Int. J. Numer. Meth. in Eng.- 1992.- V.35.- P.121-132.

73. Elizarov A.M., Fokin Upper estimates of airfoil aerodynamic characteristics in a viscous incimpressible flow// ZAMM.- V.79.-1999.

74. Elizarov A.M., Fokin D.A., Il'inskiy N.B., Potashev A.V. Airfoil design method based on quasisolutions of inverse boundary-value problem// Proc. Indian Natn. Sei. Acad., 1997.- V.63.- Ser.A.- N.3.-P.205-223.

75. Elizarov A., Fokin D., Galyavieva M. Problems of Hydrofoil design for given range of angles of attack// ZAMM, V.76, N6, 1996, p.337-340.

76. Eppler R. Beiträge zu Theorie und Anwendung der unstetigen Strömungen// J. Rat. Mech. Anal. V.3. 1954. P. 591-644.

77. Eppler R. Die Berechnung von Tragflügelprofilen aus der Druckverteinlung// Ing. Arch. 1955. Bd.23. N6. S.436-452.- 189

78. Eppler R. Laminarprofile für Segelflugzeuge// Z. Fluwiss. 1955. Bd.3. N10. S.345 353.

79. Eppler R. Directe Berechnung von Tragflügelprofilen aus der Druckverteinlung// Ing. Arch. 1957. Bd.25. N1. S.32-57.

80. Eppler R. Ergebniss gemein samer Aunwendung von Grenschicht und Profiletheorie// Z. Fluwiss. 1960. Bd.8. N9. S.247-260.

81. Eppler R. , Shen Y.T. Wing Section for Hydrofoils. Part.l Symmetrical Profiles// J. of Ship Research. 1979. V.23. P.209-217.

82. Eppler R., Shen Y.T. Wing Section for Hydrofoils. Part.2 Nonsymmetrical Profiles// J. of Ship Research. 1981. V.25. P.191-200.

83. Eppler R. Airfoil Design and Data. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 1990. 561p.

84. Hirose N., Tkanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design based on Navie-Stockes equations// Techn. Report Nat. Aerospace Lab.-1986.- N901.- P.l-16.

85. Hurley D. G. The use of boundary layer control to establish free strealine flows. In: Boundary layer and flow control (ed. G. V. Lachmann). New York: Pergamon Press, 1961.

86. Il'inskiy N.B., Fokin D.A. Method for the design of airfoils with partially given geometry at high Reynolds numbers//Proc. of ECCOMAS'96. Desideri J.-A. etc. (Eds.).- 1996.- P.958-965.

87. Ives C.D. A modern look at conformal mappings including multiply connected regions//AIAA Journal.- 1976.- V.14.- N8.- P.8-21.

88. James R.M. A new look at incompressible airfoil theory// McDouglas Rept. J0918, 1971.- 190

89. Liebeck R. A class of airfoils designed for high lift in incompressible flow// Journal of Aircraft.- 1973.- V.10.- N10- P. 610.

90. Lighthill M.J. A New Method of Two-Dimensional aerodynamic design// Aeronautical Research Council. Report and Memorandum. 1945. V.2112 P.3.

91. Loewner C. Some bounds for the critical free stream Mach number of a compressible flow around an obstacle//Studies in Math, and Mech. presented to R. von Mises. New York: Academic Press. -1954.

92. Selig M. S., Maughmer M. D. Multipoint inverse airfoil design method based on conformal mapping//AIAA J. 1992. - V.30. -No.5. - P.1162-1170.

93. Mangier W. Die Bereshnung eines Tragflügelprofiles mit vorgesh-riebener Drucverteilung// Jahrb. Dtsch. Luftfarhrtforchung. 1938. Bd.l. S.46-53.

94. Schmiden C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile//Z. Angew. Math, und Mech. 1932. - Bd.12. -No.5. - S.288-310.

95. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria delle funzioni di variable complessa//Annali de Matematica, ser.3.-1916.- V25.- 191

96. Strand T. Exact method of designing airfoil with given velocity distribution in incompressible flow //J. Aircraft. 1973. -V.10. -No. 11. - P.651-659.

97. Strand T. Design method for high lift airfoils with given velocity distribution in compressible subcritical inviscid flow//Kgl. Norske Vid. Selsk. Proc. Theodorsen Collog. 1976. Trandheim e .a.^ s«ci. ~ P. 114-133.

98. Theodorsen T. General potential theory of arbitrary wing applications// NACA Rep.- 1933.- N452.

99. Timman R. The direct and inverse problem of airfoil theory: a method to obtain numerical solution// Nat/ Luchtv.Lab. Amsterdam Reports. F16.- 1957.

100. Volterra V. Sopra alcune condizioni caratteristiche per le funzioni di una variabla complessa. Annali di Matematica pure ed applicata, 1883. Serie 2, 11.

101. Woods L. C. The design of two-dimensional aerofoils with mixed boundary conditions//Quart. Appl. Math. 1955. - V.13. - No.2. -P.139-146.

102. Woods L.C. The theory of subsonic plane flow.- Cambrige. Univ. Press, 1961.- 594c.