Численно-аналитические решения вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Ихсанова Аниса Наримовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ

01 02 05 — механика жидкости гача и тазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ- 2 0 0 4

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно исследовательского института математики и механики им НГ Чеб01арева Казанскою государственного университета им. В И. Ульянова-Ленина

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор, заслуженный деятель науки Республики Татарстан Елизаров Александр Михайлович

Научный консультант доктор физико-математических наук

Фокин Дмитрий Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор

Маклаков Дмитрий Владимирович

кандидат физико-математических наук доцент

Галявиева Миляуша Салахутдиновна

Ведущая организация Казанский государственный

технический университет (КАИ) им А Н Туполева г Казань

Зашита состоится 23 декабря 2004 г в 14 часов 30 мину! на заседании диссертационного совета Д212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу 420008, Казань, ул Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан "_" ноября 2004 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ -мат наук, доцент I А А Саченков

Sf/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При решении задач аэродинамической оптимизации в ряде случаев эффективными оказываются методы базирующиеся на. теории вариационных обратных краеяых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) Э:и задачи составляют новый раздел гидродинамики точений жидкосхи и газа с неизвестными границами и имеют практическое применение при проектировании элементов летательных аппаратов и судов на подводных крыльях Идея решения вариационных ОКЗА состоит в использовании специального оператора, действующего на функции заданного множества так, что каждой функции соответствуе! профиль с кусочно-iладким контуром Соответствующий оператор строится на основе интехралыюго представления решения основной ОКЗА а множество управляющих функций задается с учетом требований, предъявляемых к проектируемому профилю После представления оптимизируемой характерно¿ики в виде функционала, определенного на допустимом множестве управляющих функций, решение вариационной ОКЗА. сводится к нахождению экстремума этого функционала при дополнительных ограничениях, сущесхвенно влияющих на картину разрешимости исходной ¡адачи В число таких ограничений естественно входят условия разрешимости основной ОКЗА (два условия, обеспечивающих замкнутость контура искомого профиля, и одно условие задания величины скорости потока ня бесконечности) Другим ограничением, имеющим физический смысл является условие фиксации значения величины максимальной скорости потока на контуре искомо! о профиля

Целями настоящей диссертации являются развитие численно-аналигических методов проектирования непроницаемого профиля как в неограниченном потоке, так и вблизи прямолинейного экрана, обладающего максимальным коэффициентом подъемной силы с учетом ограничения на максимум скорости на контуре, составление па основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация, анализ влияния величин максимальной скороои и теоретического угла атаки на форму, аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных крыловых профилей

Научная новизна. В диссертации исследован новый класс вариационных ОКЗА, учитывающих ограничение на максимум скорости на контуре профиля разработан численно-аналитический метод решения этих задач, базирующийся на уравнениях Куна - Таккера и протестированный на известных точных решениях, описаны геометрические и аэродинамические характеристики точных решений вариационных ОКЗА в случае гладкого контура, численно

построены формы оптимальных профилей с острой задней кромкой с учетом условия безотрывности обтекания

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых математических моделей механики жидкости и газа и строгостью используемого математического аппарата, а также верификацией полученных результатов путем решения прямой задачи в пакете Fluent 6 О Показано хорошее совпадение результатов расчетов с известными точными решениями

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численно-аналитические методы, алгоритмы их численной реализации и построенные оптимизированные профили могут быть использованы для проектирования крыльев самолетов дозвуковой авиации и крыльев летательных аппаратов, пепо шзующих влияние земли (зкранопланов)

Наиболее существенные научные и практические результаты, полученные лично соискателем:

• алгоритм численной оптимизации формы крыловых профилей обтекаемых потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ)

• исследование однозначной разрешимости системы уравнений для нахождения множителей Лагранжа при нос гроении оптимальных профилей численная процедура ее решения,

• оптимальные безотрывные профили в потоке ИНЖ, полученные с учетом ограничения на максимум скорости;

• обобщение точного и численного решений основной вариационной ОКЗА на случай дозвукового течения газа, алгоритмы численной реализации; формы оптимальных безотрывных профилей,

• метод численной оптимизации профиля крыла экраноплана' оптимальные формы безотрывных крыловых профилей, обтекаемых над прямолинейным экраном

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинаре Отдела краевых задач НИИММ им Н Г Чеботарева (руководитель - профессор Н Б Ильинский) на Итоговых научных конференциях Казанского i осударственного университета (г Казань 2000 -2003 гг), Международной конференции «Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках» (г Чебоксары, 2001 г), 5-й Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г Казань, 2001 г), 10-й Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г Пермь. 2001 г), 8-й Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г Казань, 2002 г), 2-й, 3-й и 4-й Междуна-

родных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики» (г Евпатория, 2002 - 2004 гг), Всесоюзных научных школах «Гидродинамика больших скоростей» (г Чебоксары 2002 и 2004 гг) Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» (г Жуковский, 2002 г), 12-й Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным «-истомам (г Владимир 2003 г), 4-м Всемирном конгрессе по вычислительной механике, объединенном со 2-м Азиатско-Тихоокеанским конгрессом по вычислительной механике (г Пекин, 2004 г)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 9 тезисах докладов, 7 статьях в центральных и региональных изданиях и в 3 публикациях в трудах конференций Список основных публикаций приведен в конце автореферата

Содержание, структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержащих двенадца]ь параграфов, заключения, трех приложений и списка литературы Обший объем диссертации 105 страницы 15 таблиц. 57 рисунков Библиографический список состоит из 57 наименований источников отечественных и зарубежных авторов

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко описано развитие методов проектирования крыловых профилей, основанных на теории ОКЗА, и сформулированы цели исследования

Задачи нахождения формы тел, имеющих экстремальные гидродинамические или аэродинамические характеристики при обтекании жидкостью или газом, возникли с самого начала развития аэрогидродинамики и как чисто теоретические проблемы, и как проблемы важные для приложений Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характеристиками (максимальными коэффициентом подъемной силы или аэродинамическим качеством минимальным коэффициентом сопротивления и др ). обычно при наличии некоторых ограничений (на максимальное значение скорости на контуре на геометрию профиля и др) В случае течения идеальной несжимаемой жидкости или дозвукового течения газа в математическом плане они сводятся к вариационным обратным краевым задачам (ОКЗ) для аналитических функций Решение таких задач позволяет не только предъявить наилучшие формы, но и дагь точные оценки оптимизируемых характеристик и тем самым указать инженеру-проектировщику границы допустимого при оптимизации в рамках

применяемых моделей механики жидкости и газа

По своей постановке вариационные ОКЗА восходят к работе М \ Лав-реньтева 1934 г и могут быть отнесены к задачам оптимальною проектирования (см , например монографию1) или к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см , например книгу2)

Термин 'вариационные краевые задачи", прежде всего применительно к задачам теории аналитических функций был предложен Л А Акгеньтевым в 1971 г . он же описан схему перехода от классических ОКЗ к вариационным краевым задачам Термин "вариационные обратные краевые задачи'' применительно к ОКЗА введен А М Елизаровым в 1990 г

Ряд ярких результатов по решению вариационных ОКЗА получен в теории струйных и кавитационных течений, при решении оптимизационных задач теории фильтрации с депрессионными кривыми, при построении оптимальных аэродинамических форм при сверх- и гиперзвуковых скоростях (обзор результатов и библиография изложены в работах АЛ Гонора и Г Г Черного3, AM Елизарова, Н Б Ильинсксл о и А В Поташева 4, А.Н Крайко5, ДВ Маклакова6)

В изученных к настоящему времени вариационных ОКЗ для аналитических функций корректность задач удается исследовать если множество искомых областей можно задать в виде множества образов канонической области (в частости, внешности единичного круга Е~ — ■ > 1} (рис 1)) для специального класса конформных или квазиконформных отображений описываемого управлением Р Перейдя к канонической области, можно представить функционал задачи в виде J = J(P), записать на 'языке" управления Р все дополнительные ограничения и решать в результате задачу классическою вариационною исчесления Изложенная схема была реализована при решении вариационных ОКЗА А М. Елизаровым, Е В Федоровым Д А Фокиным, а затем Д Ф Абзалиловым. Н Б. Ильинским, Р Ф Мардановым Результаты, связанные с основной вариационной ОКЗА (задачей построения профиля максимальной подъемной силы при ограничении на максимум скорости на его контуре) и некоторыми ее обобщениями (в частности, на пучай обтекания профиля вблизи прямолинейного экрана), получены в последние

lIIashngei J, Neittaanmab Р Finite element approximation for optimal shape design theory and application - New York John Wiley and sons Ltd , 1988 335 p

2 Сиразетдинов T К Оптимизация систем с распределенными параметрами -М Наука 1977 -480 с

3 Гонор А Л Черный Г Г В кн Теория оптимальных аэродинамических форы (под ред А Мисле) -М Мир 19Ь9 С 292-305, С 379-395

1 Елизаров А М , Ильинский И Б Поташев А В Обратные краевые задачи аэрогидродинамики тео-

рия и методы нроек гироьания и ошимизаиии формы крыловых профилей -М Физматлит 1994 436г

3Крайко А Н Вариационные задачи газовой динамики - М Наука, 1979 - 447с

сМах-лаков Д В Нелинейные задачи i идродинамики потенциальных течений со свободными 1раница-

ми-М Яиус-К, 1997 -281с

а

6

Е- I (О

В

и

Уоо

Рис. 1

годы и включены в настоящую диссертацию

В первой главе численно решена вариационная ОКЗА, в которой находится профиль с максимальным коэффициентом подъемной силы в потоке ИНЖ при наличии ограничения на максимум скорости Построено точное решение для случая полностью гладкого контура. Изложены некоторые положения теории пограничного слоя (ПС) Эти сведения, а также предложенные методы решения используются в последующих главах

В п 1.1 приведена физическая постановка основной вариационной ОКЗА в которой отыскивается крыловой профиль, об гадающий максимальным значением коэффициента подъемной силы, при ограничении на максимальное значение скорости на его контуре Профиль в физической плоскости г = х гу (рис 1, а) является гладким (за исключением, возможно задней кромки, внешний угол ея € [1,2] в которой фиксируется), непроницаемым, имеет фиксированный периметр I и обтекается потоком ИНЖ с заданной скоростью г^ = 1 на бесконечности Точки А и В - точки разветвления и схода потока соответственно, з в [0,1\ - дуговая координата.

В п 1.2 описаны математическая модель исходной физической задачи и класс оптимизируемых контуров, т е кратко изложены основные положения теории вариационных ОКЗА Для построения решения в качестве канонической области используется внешность Е~ единичного круга (рис 1, б), где Р € '0, г/2] - так называемый теоретический угол атаки, характеризующий отклонение профиля от направления безциркуляционного обтекания Основные формулы записываются на "языке" управляющей функции Р и управляющего параметра в Так коэффициент подъемной силы Сч может быть записан в виде

Су= 16тг ап/?/^(Р),

где

J0{P)= Гсхр[-Р(т)] Jo

2sm

r + /3

dr,

(1)

а форма контура может быть восстановлена из следующего соотношения

•oil) + = *Р(ехр(г7)) = ШР)}'1

х ехр | Р(т) + г

<Э(т) + (е-1)

'7

/3

т + 0

2 sin

■ 7Г

т + Р

dr.

где аргумент вектора скорости выражается сингулярным интегралом

p(T)rta- ^

Q( 7)

If2" т - у

-2-J0 ™

Требование ограниченности максимальной скорости на контуре заданной величиной мшгх и условия разрешимости также могут быть выражены через Р и /?

7 + 01

^М < 4W 12(ып 7 + sin /?)|] + (£ - l)ln

2sm -

л2х r-2n

/ P(t)cLt = 0, / P(r) exp(ir)dr = -тг(е - 1) ехр(-г/3) Jo Jo

(2)

/о Jo

Сфор\'улированы теоремы и замечание в которых показано, при каких значениях параметров vmix и /3 задача имеет решение, когда экстремалью является окружность и когда она отлична от окружности

В п 1.3 изложено построение численною решения Обычный подход к нахождению решения оптимизационных задач состоит в замене исходной задачи с ограничениями задачей без ограничений (безусловной оптимизации), например с помощью метода штрафных функций В настоящее время более эффективным считается применение так называемых уравнений Куна -Таккера, которые были использованы и в настоящей диссертации Для решения этих уравнений использовался алгоритм SQP так называемого последовательного квадратичного npoi раммирования (в оригинале Sequential Quadratic Programming) представляющий собой разновидность квазиньютоновского метода оптимизации При численной оптимизации в рассматриваемых задачах управляющая функция Р задавалась в виде отрезка тригонометрического ряда

ЛГ+1

Pb) = Pn{I) = cos kl + Ьк sin/c7)> к=2

(3=8°

-0 5

(3=20°

Рис. 2

Р° 1 ^шах Су а0

8 0 6752 1 0874 6.6

10 0 6231 1 3507 6 4475

15 ! 0.4501 1.9728 4.905

20 I 0 2817 2 4882 1 7537

-0 5 X

/5 ! ¿гпах Су Q°

8 ; 07 11 67

10 0 6633 Y3715 65

15 0 4884 2 0029 5 13

20 0 302 2 535 2.02

Таблица 1

Таблица 2

где параметры а0, ai и b¡ отсутствуют (обращаются в нуль) в силу условий разрешимости (2). Оптимизация формы контура осуществляется за счет варьирования неизвестных коэффициентов a¿, bt, к = 2, N 4- 1 Величина N фиксируется (как правило, в расчетах бралось N = 8) Представлены примеры оптимизированных контуров, полученных численно, а также некоторые их аэродинамические и геометрические характеристики На рис 2 (где линии 1 - хордовые диаграммы скорости, а линии 2 - оптимальные контуры) приведены примеры оптимальных контуров, построенные численно для е = 2 и Щлх = 1-8 без учета условия бсзотрывности обтекания, а в табл 1 приведены характеристики этих профилей (ímax - максимальная толщина профилей, a - расчетный угол атаки).

В п 1.4 описано построение точного решения задачи для случая гладкого контура7, основанное на теореме Куна - Таккера Экстремальная функция

7Елизаров А М, Фокии Д Л О itjhhom решении задачи построения профили максимальной подъем нор сичы при ограничении на максимум скорости на pi о контуре1' Па рубеже веков Научно-исследовательский институт математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского юсударсАвенною

Р=8°

Р=10°

(3=15°

13=20°

Y, IV!

-0 5

Р'{"<) имеет вид Р*(7) = (е-1)1п

0 • 7 + /3 2sm—-—

Рис 3

- 1п [цо + Mi eos7 4- fi¿ sin7 + M*(7)j, (3)

где fio, fí\. fi2 - множители Лагранжа, а множитель Куна - Таккера

fi'{f) = шах {0, v~lxM(7,13)-fi0- fii cos7 - ц2 bin"/} ,

М(7,/3) = |2 (sin7 + sin(3)| Для нахождения fio, Ц\ и построена система нелинейных уравнений, которая решалась численно Показаны примеры оптимизированных контуров для случая полностью гладкого контура Например, на рис 3 приведены примеры оптимальных контуров для ?;тях = 18 и разных (3, а в табл 2 - соответствующие характеристики

В п 1.5 исследована система уравнений служащая для нахождения множителей Лагранжа fio, fi\, Д2 (см (3)) Эту систему удалось свести к одному уравнению ттт = Фо(t,m), в котором t - искомый параметр, т - параметр, связанный с исходными данными, а

Ф0(t,m) = (тг/2 + í)-1 соь t [Fi (t, тп) + 7rlntw¡ + F2{t,m),

где Fdt.m) = h | | и F2(t,rn) = J^ ln | | sm 7<*> До-

казана единственность решения этой системы и реализована численная процедура ее решения

•0 76 0 5 0.25 0

Г 1 f ^y i bmúx т

точное решение

1.278 1 0.2793 6 95

численное решение

1 2776 I 0 2795 149

* 1.2 1А 1Л 1Л 2 22

Рис 4

ß t bnidX г Оу а° j

8 0 3225 0.9833 3 339

10 0 2961 12172 2.8319

15 0 2562 1 787 2 3077

Таблица 3 Таблица 4

В п 1.6 приведены результаты вычислительных экспериментов и проведены сравнения результатов Одно из сравнений точного и численного решений (соответственно сптошная и пунктирная линии) представлено на рис 4, а на которой изображены оптимальный контур, построенный при ß = 10" и 'Лгых = 1 5. и соответсвующая хордовая диаграмма скорости Характеристики профиля представлены в табл 3, где Т - время в секундах, затраченное на расчет на компьютере с процессором Intel Pentium 4 с тактовой частотой 2 ГГц и оперативной памятью 512 Мб Сравнения показали хорошую работоспособность численного алгоритма, и поэтому он был применен для построения оптимальных безотрывных профилей Максимальные коэффициенты подъемной силы Сутах, полученные при точном решении, были сопоставлены с коэффициентами Су известных профилей NACA 6% и профиля Е61я Так на рис 4, б сплошными линиями изображены зависимости С„ шах — Су mux ( ^max) максимального значения Сутах коэффициента подьемной силы от ветчины г;тах при разных ß По построению при любом фиксированном в точка с координатами (i>maХ,СУ) не может оказаться выше соответствующей линии на этой фигуре Здесь же квадратами отмечены значения Су для фиксиро-

университе га 1998 - 2002гг Казань Изд во Казан матем об-ва 2003 - С 200 212

bEppler R Airfoil Design and Data Berlin Springer-Verlag 1990 512p

ь \ Су I ¿тах _

тах

Р

^ У ^тах | ^ ,

! 03" О 7793 О 3683 0 ,

ос | 1 3846 , 0 8386 ; 9 233'

численное решение

0 5 0 7784 0 3278 -1 4

0 6,0 7643 0.2512 -2 62

точное решение

со 1 1 3854 0 853 I 8 9552 |

Таблица 5

Таблица 6

ванных итах и ¡3, полученные в результате обдува в аэродинамической трубе профиля Е61 (этот профиль изображен в верхней части рисунка), а кружками экстремальные значения СуП111Х, полученные при тех же значениях В и г'тач на основе точного решения Как видно при малых г;тох и 0 результаты близки, а при увеличении ?;та1Х и (3 - Суггах отличается значительно Для обеспечения безотрывного характера обтекания искомого профиля в качестве дополнительного ограничения при оптимизации было использовано условие9

ие а, Ь. /о - эмпирические постоянные а - распределение скорости по контуру профиля, однозначно связанное с управляющей функцией Р('() и теоретическим углом атаки /3 На рис. 5 приведены примеры безотрывных оптимальных профилей для = 18 при разных ¡3, расчи1анные для полностью турбулентного ПС по методу Кочина - Лойцянского Некоторые аэродинамические характеристики показаны в табл 4

Вторая глава посвящена решению задачи проектирования профиля, об-талаюшего максимальным коэффициентом подъемной силы при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа Вязкость потока учитывается в приближении пограничного слоя при задании условия безотрывного обтекании, а г жпмаемость - в рамках модели газа Чаплыгина

В п 2.1 дана постановка соответствующей вариационной ОКЗА Заданы плотность р потока, скорость А^ на бесконечности (которая однозначно связана с числом Маха М^), угол етг в задней кромке и периметр I контура профиля Требуется определить форму крылового профиля, обладающего максимальным коэффициентом подъемной силы, и его аэродинамические и геометрические характеристики при обтекании дозвуковым потоком вязкого го.за

В п 2.2 изложена схема решения соответствующей вариационной ОКЗА

^Ильинский А И , Ильинский Я Б , Поляков Д В , Поташев А В Степанов Г Ю Уточнение критерия офыва 1урбуленхно1 о пограничного стоя с использованием эмпирических данных// Препринт НИИ ММ им НГ Чеботарева № 98-2 Казань-1998 -62с

(3=8°

(3=10°

(3=15°

-0.5

-1

-0.5

Рис 5

-1

-0.5 X

Учет сжимаемости базируется на использовании линейных уравнений газовой динамики записанных в плоскости годогрофа скорости - уравнений Чаплыгина Записывается минимизируемый функционал

ЦР)

л2тг

Л

2чт

т + 0

£-1

Р-Р(т)

1-с2е2РММ2(г,/3) 2 ЯП

т + (3

2-2е

(¿Т,

(где с" постоянная интегрирования выбираемая из условия наилучшей аппроксимации адиабатических зависимостей, в частности, с2 = О 296) через управляющую функцию и параметр ¡3, а также условия разрешимости Отметим, чю при с2 = 0 (что соответствует переходу к модели ИНЖ) функционал 1С(Р) совпадает с (1) Аналогично первой главе в случае падкого конIура построено точное решение, а экстремальная управляющая функция принимает вид

Р*(7) = -1п

д(щ>,Ии№,Р-1/) + уУ^о.МьМг.МЛ) -4с2М2(7,/?)

где

о, Ци М; 7) = Мо + соэ 7 + ц2 8Ш7 + /л(7),

Хоо=0.3 >^0.4 А.о^О.5 6

х

Рис 6

а) б)

Рис 7

а

/(7) = тах {0, В) - - ^ соб7 - вт7}

Численная оптимизация также проведена на основе уравнений Куна - Так-кера

В п 2.3 проиллюстрированы вычислительные эксперименты Проведены сравнения точною и численного решений для случая полностью гладкого контура На рис. 6 ноказано сравнение точного (сплошная линия) и численного (пунктирная линия) решений для ¡3 = 10° Характеристики этих решений практически совпали, что дало основание применить численный алгоритм для оптимизации формы безотрывных профилей с заостренной задней кромкой В качестве примера на рис 7. а показаны оптимальные безотрывные профили для различных числел Маха на бесконечности (сплошная линия со-

а) б)

ответствует - М= 0 3, пунктирная М00 — 0 5, штриховая - М^ = 06), а на рис 7 б изображены соответствующие распределения скорости В табл 5 представлены некоторые характеристики этих профилей. Для верификации полученных результатов был взят профиль с Мх = 05 (пунктирный контур на рис 7, а) с хордой, равной 1 м, и рассчитан в пакете Fluent 6 0 Скорость набегающего потока была задана равной vx = 165 м/с2 Область течения была покрыта сеткой, состоящей из трех частей пограничный слой, ближняя неструктурированная сетка и дальняя сетка Такое построение сеток позволяет уменьшить расчетное время Расчет* обтекания проводился в предположении турбулентности ПС На рис 8, а изображены линии тока которые показывают наличие безотрывного течения а на рис 8, б показаны изобары Коэффициент подъемной силы, полученный при расчете в пакете Fluent 6 0, равен Су = 0 625328

В третьей главе дана постановка задачи оптимизации формы профиля вблизи экряна для достижения наибольшей подъемной силы при условии что введено ограничение на максимум скорости. Подробно изложен метод построения интегрального представления решения В качестве канонической области используется внешность двух единичных кругов, симметричных относительно оси абсцисс В этом случае способ построения оптимизируемого функционала является естественным обобщением задачи оптимизации формы изолированного профиля Численно построены формы оптимизируемых профилей, проведены исследования влияния экрана на их аэродинамические характеристики.

В п 3.1 описана физическая постановка задачи в которой требуется найти форму контура (рис 9 а), обтекаемого вблизи прямолинейного экра-

Рис 9

Я) б)

Рис 10

на потоком идеальной несжимаемой жидкости, максимизирующую коэффициент Су подъемной силы профиля, ограниченного этим контуром, при условии, что задано максимальное значение скорости на контуре Фиксируются скорость набегающего потока, внешний угол етг, периметр контура и отстояние И задней кромки В профиля от экрана

В п 3.2 изложен метод решения Отыскивается аналитическая функция, реализующая конформное отображение верхней полуплоскости с вырезом в виде единичного круга, у которого центр расположен в точке аг (где а > 1), (рис 9, б) на внешность искомого контура (рис 9, а) Построение комплексного потенциала ги (рис 9, с) этого течения в форме удобной для решения задачи осуществлено по схеме предложенной Д А Фокиным10 Записаны оптимизируемый функционал и условия разрешимости соответствующей ОК-ЗА

В п 3.3 описан алгоритм численной оптимизации и представлены сравнения численного решения для Л = оо с точным решением полученным в

10Фокин Д А Аэродинамическое проектирование и оптимизация Крыловых профи трй мето 1аып обрат ных краевых задач/' Диг , докт физ - мат наук - Казань, 2000 -203с

первой главе Приведены примеры оптимальных профилей для разных отстояний от экрана На рис 10 показано сравнение оптимальных контуров (рис 10 а) и соохветствующих распределений скоростей (рис 10 б) для к = оо 0 = 10° и г)тах = 20 (пунктирная линия - численное решение, сплошная линия - точное решение) Соответствующие характеристики представлены в табл 6 На рис 11 а приведен пример оптимального безотрывного профиля отстоящего от экрана на 0 1 вепичины хорды, построенною при в = 10°,V гаах = 1 84 Соответствующее распределение скорости представлено на рис 11.6 Полученный при этом коэффициент Сь = 0 0301

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Развиты и численно реализованы методы поароения безо1рывиых крыловых профилей обладающих максимальным коэффициентом подъемной силы при ограничении на максимум скорости на их контуре, обтекаемых ИНЖ или дозвуковым потоком газа

2 Разработаны алгоритмы численной оптимизации формы крыловых профи 1ей в безграничном потоке и над прямолинейным экраном

3 Исследована однозначная разрешимость системы уравнений для нахождения множителей Лагранжа в случае построения оптимального профиля, обтекаемого потоком ИНЖ, и разработана численная процедура ее решения

4 На основе анализа результатов построения крыловых профилей обладающих максимальным коэффициентом подъемной силы при ограничении на максимальное значение скорости на их контуре сделаны выводы о влиянии исходных физических параметров на аэродинамические и геометрические характеристики оптимальных форм

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №03-01-00015), программы "Университе-1Ы России" (проект УР 04 01.009), Фонда НИОКР РТ и Федеральной целе-

вой программы "'Интеграция науки и высшею образования России па 2002 -2006 гг' (юс контракт № Д4126/1014 от 20 мая 2004 г )

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Ихсанова А Н Численная максимизация коэффициента подъемной силы крылового профиля с ограничением на максимум скорости// Труды Математического центра Н И Лобачевского Т 7 Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения// Материалы международной научной конференции посвященной 90-летию со дня рождения Г Г Тумашева - Казань Изд-во ДАС", 2000, С 358

2 Ихсанова А.Н Численная оптимизация формы крыла экраноплана методами вариационных обратных краевых задач/ А М Елизаров, А Н Ихсанова, ДА Фокин// Обозрение прикладной и промышленной математики -I 8 - М Науч. изд-во "ТВГГ 2001 С 165-167

3 Ихсанова А Н Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для двусвязных областей/ А М Елизаров, А Н Ихсанова Д. А. Фокин '/Труды Математического центра им Н.И Лобачевского Т 8 Теория функций ее приложения и смежные вопросы/ / Материалы V Казанской международной летней школы-конференции - Казань Изд-во "ДАС", 2001 С 99-102

4 Ихсанова А Н Сравнительный анализ результатов вычислительных экспериментов в задачах оптимизации формы крыловых профилей с ограничением на максимум скорости// Первая научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности" - М 2002 С 75-79

5 Ихсанова А Н Вычислительные эксперименты в задачах оптимизации формы крыловых профилей с ограничением на максимум скорости в беско печном потоке и над экраном// Модели и методы аэродинамики Материалы I и II Международных школ-семинаров - М Изд-во Московского Центра непрерывного математического образования 2002 - С 93-94

6 Ихсанова А Н Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для двусвязных областей// Лобачевские чтения - 2003 Труды Математического центра им Н И Лобачевского Т 21 / Материалы Третьей всероссийской молодежной научной школы-коцфсрснции - Казань Изд-во Казанского математического общества, 2003 - С 124-129

7 Ихсанова А Н Численная оптимизация формы крыловых профилей в безграничном потоке и над экраном при ограничении на максимум скорости/А М Елизаров, А Н. Ихсанова, Д. А Фокин // Модели и методы аэро-

динамики Материалы Третьей Международной школы-семинара - М Изд-во Mockobckoi о центра непрерывного математического образования 2003 С 42-43

8 Ихсанова А Н Вариационная обратная краевая задача для дозвукового течения газа/А М Елизаров, А Н Ихсанова, ДА Фох«м//Вторая научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разраб01ки в авиационной промышленности" - М 2004 С 52-57

9 Ихсанова А Н Точные и численно-аналитические решения основной вариационной обратной краевыой задачи аэрогидродинамики/А М Елизаров, А Н Ихсанова, ДА Фокин// Модели и методы аэродинамики Материалы Третьей Международной школы-семинара - М Изд-во Московского центра непрерывного математического образования 2004 - С 43-44

10 Ihsanova А N Variational inverse boundary-value problems of aerodynamics for subsonic gas flow,M M Ehzarov D A Fokm, A N Ihsanova//Computational Mechanics WCCM VI m conjunction with APCOM'04. - 2004 - P. 436-443

11 Ихсанова A II Оптимальное аэродинамическое проектирование крыловых профилей при ограничении на максимум гкорости/Л М Елизаров, А Н Ихсанова, ДА Фокин1 /Изв вузов Авиационная техника 2004 Xе 3 С 32-36

12 Ихсанова А II Основная вариационная обратная краевая задача аэрогидродинамики модели обтекания, точные оценки, численно-аналитические решения/А М Елизаров, АН Ихсанова, ДА Фокин// Препринт НИИ математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского государственного университета X« 04/1 - Казань Изд-во Казанского математического общества, 2004. - 112 с

13 Ихсанова А Н Численная оптимизация формы профиля крыла экра-ноплана/ / Модели механики сплошной среды Тр\ды Математического центра им Н И. Лобачевского. Т. 27 /Материалы XVII сессии Международной школы по модели механики сплошной среды - Казань Изд-во Казанского математического общества, 2004

РНБ Русский фонд

2006-4 851

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 11/53

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 31-53-59, 92-65-60

Проектирование крыловых профилей, обладающих улучшенными аэродинамическими характеристиками, до сих пор является предметом особого интереса, поскольку от этих профилей зависят аэродинамические свойства самого крыла, а значит, всего летательного аппарата. Построить профиль, у которого были бы оптимальными все аэродинамические параметры (подъемная сила, аэродинамическое качество и др.), невозможно. Под термином «оптимальное аэродинамическое проектирование» (см., например, [16]) обычно понимают улучшение одной из аэродинамических характеристик при наложении ограничений на другие.

При решении плоских задач аэродинамической оптимизации используются различные подходы, обзоры методов и результатов которых изложены, например, в работах [9], [20].

Один из подходов к аэродинамической оптимизации базируется на решении прямых краевых задачах аэрогидродинамики и позволяет по заданной геометрии профиля рассчитывать его аэродинамические характеристики при различных режимах обтекания (см., например, [48], [50], [51], [55]). Процедура проектирования в этом случае состоит в многократном решении прямой задачи с последовательной целенаправленной модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств профиля с желаемыми. Такой подход, как правило, трудоемок и требует наличия эффективного алгоритма, решающего прямую задачу. Однако он часто является единственно возможным способом проектирования профилей в рамках сложных моделей течения, описываемых, например, уравнениями Навье - Стокса. Сам процесс оптимизации состоит в отыскании экстремума некоторого аэродинамического параметра при наборе переменных проектирования, описывающих геометрию профиля, и при удовлетворении некоторого числа заданных ограничений. Эти ограничения могут быть аэродинамическими (например, на коэффициент подъемной силы или сопротивления), геометрическими (например, на максимальную толщину или площадь сечения) или ограничениями на свойства поля течения (например, на максималь ную скорость на профиле или на максимальный градиент давления). В качестве оптимизируемой величины может выступать как определенная аэродинамическая характеристика (например, подъемная сила), так и невязка между заданным распределением скорости (оптимальным в некотором смысле) и распределением, получаемым на каждой итерации с помощью решения прямой задачи.

При применении методов, базирующихся на последовательном решении прямых задач, не получаются разомкнутые или самопересекающиеся контуры, так как оптимальное решение отыскивается в строго определенном классе.

К настоящему времени опубликовано большое число работ, в которых используется «прямой» подход к аэродинамической оптимизации описанный выше (см., например, [52], [53], [54]). Они отличаются друг от друга оптимизационными алгоритмами, методами расчета аэродинамических характеристик, а также способами представления геометрии профиля.

Как указывают многие авторы, описанный подход наиболее эффективен как аппарат усовершенствования известных аэродинамических форм и применяется в основном для решения задач модификации.

Отметим, что при использовании данного подхода функционалы экстремальных задач не зависят явным образом от искомой геометрии профиля. Это затрудняет исследование задач и приводит к значительным вычислительным трудностям при их численной реализации. Кроме того, двойной итерационный процесс, включающий итерационную процедуру (внешнюю) исправления геометрии в ходе численной оптимизации и итерационную процедуру (внутреннюю) решения прямой задачи, сопровождается большими затратами времени расчета, что является одним из главных недостатков этого подхода.

Другой подход к оптимизации аэродинамических форм, называемый «обратным», базируется на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [49]), позволяющей решать задачи построения крыловых профилей в несжимаемой жидкости и в дозвуковом потоке газа по заданному на контуре профиля распределению скорости потока. Отличительной особенностью ОКЗА является их конструктивный характер, так как речь идет не об изучении свойств готового объекта (прямая задача), а о создании профиля с заранее заданными свойствами. Эти свойства (в том числе и оптимальность аэродинамических характеристик) обеспечиваются за счет специального выбора исходного распределения скорости.

В зависимости от модели течения и способа параметризации исходных данных методы ОКЗА существенно отличаются друг от друга. Наиболее характерная ОКЗА заключается в нахождении формы непроницаемого крылового профиля по распределению скорости v потока как функции дуговой абсциссы s контура при заданной величине уж скорости невозмущенного течения.

Алгоритм решения обратной задачи достаточно прост для численной реализации и не требует больших затрат машинного времени, возможности его применения к решению задач аэродинамической оптимизации ограничены определенными рамками. Дело в том, что не для каждой аэродинамической характеристики ясно, как следует задавать оптимизирующее ее распределение скорости. Кроме того, не разработан вопрос о включении в этот алгоритм дополнительных ограничений как на геометрию, так и на аэродинамические параметры.

Отметим также, что произвольному распределению скорости может соответствовать незамкнутый и самопересекающийся контур профиля, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с определенной в ходе решения. Таким образом, физически реализуемый профиль может быть получен только после определенной корректировки исходного распределения скорости, что существенно затрудняет практическое использование и ограничивает рамки применимости данного подхода.

Вместе с тем идея использования интегральных представлений решений ОКЗА при постановке задач аэродинамической оптимизации оказалась весьма плодотворной и привела к формированию нового раздела как теории ОКЗА, так и оптимального проектирования - теории вариационных ОКЗА. Развитию этой теории посвящены работы профессоров казанской школы Ф.Г. Авхадиева, J1.A. Аксентьева, A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, Д.В. Маклакова, A.B. Поташева, Д.А. Фокина; кандидатов физ. - мат. наук Д.Ф. Абзалилова, Р.Ф. Марданова и других. К этому же научному направлению относится данная диссертация.

Настоящая работа посвящена поиску ответа на один из общих вопросов аэрогидродинамики, который в случае плоских течений можно сформулировать следующим образом: какую максимальную подъемную силу можно получить на профиле крыла и какова форма такого профиля. Исследованию этого вопроса посвящено значительное количество работ. Так, например, в [10] получено точное решение задачи максимизации подъемной силы дуги заданной длины и ограниченной кривизны при безотрывном ее обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) - доказано, что экстремалью будет дуга окружности. Обзор методов и результатов по построению крыловых профилей с высоким значением подъемной силы содержится в. [8] (отметим, что в этой работе не отражены достижения российских ученых). В [11] рассмотрена задача об определении среди профилей с одной острой кромкой и заданной длиной периметра контура такого, который обладает наибольшей подъемной силой в равномерном на бесконечности потоке ИНЖ. Предложен численный метод решения, учитывающий приближенные условия без-отрывности обтекания. Без доказательства утверждается также, что в случае гладкого контура экстремалью будет круг и что этот результат следует из формул М. А. Лаврентьева (например, [12]) для вариации конформных отображений областей, близких к кругу. Доказательство этого факта как частный случай получено в [26] на основе решения соответствующей вариационной обратной краевой задачи (ОКЗ). При дополнительных ограничениях, имеющих физический смысл (условии безотрыв-ности обтекания с учетом вязкости потока в приближении пограничного слоя, учете сжимаемости среды и других), оптимизированные решения существенно отличаются от круга, а получить их удается только численно (см., например, [21], [27], [28], [13]). Вместе с тем решение в виде круга получается аналитически, при минимальных ограничениях, диктуемых математической моделью течения, и, следовательно, дает точную оценку сверху для подъемной силы, достижимую в случае течения ИНЖ.

Задачи, рассматриваемые в настоящей работе, как и в работах [26],

28], [21], [27], [13], относятся к классу вариационных ОКЗА. Следуя работам [20], [24], [26], термин «вариационные обратные краевые задачи» будем использовать для обозначения такого класса двумерных краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область £) его определения, причем последняя обладает некоторым экстремальным свойством, а на границе дИ задается одно краевое условие. Экстремальное свойство И выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала «7 (обычно при дополнительных ограничениях). По самой своей постановке названные задачи относятся, с одной стороны, к задачам оптимального проектирования (например, [14]), с другой стороны - к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см. [15]), а применение методов теории ОКЗ позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие или отсутствие дополнительных ограничений может существенно изменять картину разрешимости задач. Поэтому нужно определить, какие функционалы целесообразно рассматривать и какие дополнительные ограничения нужно привлекать. Из общих соображений ответы на эти вопросы найти затруднительно. Вместе с тем, естественным источником вариационных ОКЗ являются теории, связанные с моделированием природных явлений (например, течений жидкости или газа). Одной из них является классическая аэрогидродинамика.

Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характеристиками (максимальными коэффициентом подъемной силой или аэродинамическим качеством, минимальным коэффициентом сопротивлением и др.). В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа в математическом плане они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.

Ряд ярких результатов по решению вариационных ОКЗА получен в теории струйных и кавитационных течений, при решении оптимизационных задач теории фильтрации с депрессионными кривыми, при построении оптимальных аэродинамических форм при сверх- и гиперзвуковых скоростях (обзор результатов и библиографию см. в [21], [17], [18], [19]).

В изученных к настоящему времени вариационных ОКЗ для аналитических функций корректность задач удается исследовать, если множество искомых областей можно задать в виде множества образов канонической области (в частности, внешности единичного круга Е~ = {С : |<|> 1}) для специального класса конформных или квазиконформных отображений, описываемого управлением Р. Перейдя к канонической области, можно представить функционал задачи в виде 3 = «/(Р) и записать на «языке» управления Р все дополнительные ограничения. Один из примеров реализации описанной схемы решения вариационных ОКЗА содержится в [27]. Другие примеры использования этой схемы можно найти в работах [31], [32], [33], [1], [39]. Результаты, связанные с основной вариационной ОКЗА (задачей построения профиля максимальной подъемной силы при ограничении на максимум скорости на его контуре) и некоторыми ее обобщениями (в частности, на случай обтекания профиля вблизи прямолинейного экрана), полученные в последние годы, представлены в работах [20], [46], [24], [22], [25], [40], [23].

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих двенадцать параграфов, трех приложений, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации реализован один из подходов к аэродинамической оптимизации крыловых профилей, основанный на использовании интегрального представления решения ОКЗА.

Решены вариационные ОКЗА о нахождении оптимальных непроницаемых крыловых профилей, обладающих максимальной подъемной силой, обтекаемых ИНЖ или потоком вязкого газа. Вязкость учитывалась в приближении ПС при задании условий безотрывного обтекания. Учет сжимаемости проводился по модели газа Чаплыгина.

При исследовании задач были найдены точные решения (для случая полностью гладких контуров) и реализован численный метод, основанный на уравнениях Куна - Таккера (как для случая профиля с гладким контуром, так и для профилей с острой задней кромкой).

Разработаны алгоритмы численной оптимизации формы крыловых профилей в безграничном потоке и над экраном. Показана эффективность численного метода оптимизации, ц Доказана однозначная разрешимость системы уравнений для нахождения множителей Лагранжа в случае построения оптимального профиля, обтекаемого потоком ИНЖ.

Все рассмотренные задачи и использованные при этом методы снабжены числовыми расчетами, представленными в виде графиков, таблиц и рисунков.

41

1. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками//Журнал вычисл. матем. и матем. физ.- 2000. Т. 40. - № 1. - С. 82-98.

2. Аврамов С., Недялков И., Петрова П. Въерху една изоперимет-рична задача за крило с минимално съпротивление// Годиш. ВУЗ. Техн. физ. 1979 (1980). - Т.16. - № 2. - С.149-160.

3. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. -344 с.

4. Аульченко С.М. Метод оптимизации профилей в дозвуковом по-« токе идеального газа// Препринт № 30-87. ИТПМ СО АН СССР.- 1987. 45с.

5. Банчев В., Варсамов К., Николова JL, Петрова П. Едно решение на ектремална задача в хидродинамичната теория на крилото// Годишн. ВУЗ. Техн. физ. 1983 (1984). - Т.20. - № 1. - С. 135-145.

6. Брутян М.А., Ляпунов C.B. Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока// Уч. зап. ЦАГИ. 1981. - Т.12. -№ 1. - С.11-18.

7. Брутян М.А., Ляпунов C.B. Оптимизация формы симметричных плоских тел с целью увеличения критического числа Маха//Уч. зап. ЦАГИ. 1981. - Т.12 - № 5. - С.10-22.

8. Liebeck R.H. design of subsonic airfoils for hight lift. J. of Aircraft. 1978. V. 15. № 9. P. 547-561.

9. Федоров E.B. Оптимизация формы крыловых профилей, обтекаемых дозвуковым потоком, методом обратных краевых задач// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 2000. - 158с.

10. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана// Труды ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского. 1934. -Вып. 155. - 41 с.

11. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости//Журнал вычисл. мат. и ма-тем. физ. 1980. - Т. 20. - № 1. - С. 241-245.

12. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 680 с.

13. Елизаров А. М., Федоров Е. В. Решение вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики методами численной оптимизации/ /Журнал прикл. мат.

14. Haslinger J., Neittaanmaki P. Finite element approximation for optimal shape design: theory and application. New York: John Wiley and sons Ltd., 1988. - 335 p.

15. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

16. Misegades К. P. Airfoil optimization// AIAA Pap. 1984. - №0053. -5p.

17. Гонор А. Л., Черный Г. Г. В кн. Теория оптимальных аэродинамических форм (под ред. А. Миеле). М.: Мир, 1969. - С. 292-305,t 379-395.с «

18. Крайко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наг ука, 1979. - 447 с.

19. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений со свободными границами. М.: Янус-К, 1997. - 281 с.

20. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Физматлит, 1994.- 436 с.

21. Елизаров A.M., Фокин Д.А. Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики//Докл. АН России. 2001. - Т. 377. -№ 6. - С. 758-763.

22. Елизаров A.M. Некоторые экстремальные задачи теории крыла //Изв. вузов. Матем. 1988. - № 10. - С. 71-74.

23. Елизаров A.M., Федоров Е.В. Оптимизация аэродинамических форм методом обратных краевых задач// Прикл. мат. и мех. -1990. Т. 54. - № 4. - С. 571-580.

24. Елизаров A.M., Федоров Е.В., Фокин Д.А. Вариационные обратные краевые задачи аэрогидродинамики для дозвукового течения газа//Журнал вычисл. мат. и матем. физ. 1993. - Т. 33. - № 6.- С. 958-968.

25. Иоффе Ф.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

26. Peresini A.L. The mathematics of nonlinear programming. SpringerVerlag, 1988. - 273 p.

27. Avhadiev F.G., Elizarov A.M., Fokin D.A. Estimates for critical Mach number under isoperimetric constraints// European J. of Appl. Math.- 1995. No. 6(5). - P. 385-398.

28. Elizarov A. M. Optimal control of unknown boundary shape in inverse boundary-value problems// Revue Roumaine de Mathematiques Pures et Appliquees (Romanian Journal of Pure and Applied Mathematics). 1995. - V. 40. - No 2. - P. 157-168.

29. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Об одной экстремальной задаче обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости гладкого контура со стоком//Докл. АН России. 1997. - Т. 354. - № 1. -С. 43-46.

30. Eppler R. Airfoil design and data. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg.- 1990. 562 p.

31. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

32. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. - 534 с.

33. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. - 512 с.

34. Фокин Д.А. Аэродинамическое проектирование и оптимизация крыловых профилей методами обратных краевых задач// Дис. . докт. физ.-мат. наук. Казань, 2000. - 203 с.

35. Фокин Д. А. Максимизация аэродинамического качества крыловых профилей в вязком потоке жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1998. - № 3. - С. 177-184.

36. Елизаров A.M., Ихсанова А.Н., Фокин Д.А. Численная оптимизация формы крыла экраноплана методами теории вариационных обратных краевых задач// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. - № 1. - С. 165-167.

37. Ильинский А.Н., Ильинский Н.Б., Поляков Д.В., Поташев A.B., Степанов Г.Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмпирических данных// Препринт № 98-2. Казань 1998. - 62 с.

38. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука. 1966. 448 с.

39. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

40. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. 4.1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла: Учебник для студентов вузов 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1980. - 495г.

41. Elizarov A. M., Fokin D. A. Upper estimates of airfoil aerodynamic characteristics for a viscous incompressible flow //ZAMM. 1999. -V. 79. - No 11. - P. 757-762.

42. Елизаров A.M., Ихсанова A.H., Фокин Д.А. Оптимальное аэродинамическое проектирование крыловых профилей при ограничении на максимум скорости// Изв. вузов. Авиационная техника. 2004. № 3. С. 32-36.

43. Боллхауз У.Ф. Некоторые новейшие достижения в частном исследовании трансзвуковых течений// В кн. Численные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1981, С. 152-242.

44. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения// Казань: Казан, ун-т. 1965. - 333с.

45. Шагаев А.А. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме чисел Маха в трансзвуковом потоке// Уч. зап. ЦАГИ.- 1984. 15. - т. - С. 15-23.

46. Carlson L.A., Weed R.A. A direct-inverse transonic wing design analysis method with viscous interaction// J.Aircraft. 1987. - 24. -№. - p.88-106.

47. Hicks R.M., Vanderplaats G.N. Design of low-speed airfoils by numerical optimization// SAE Paper. 1975. - № 750524. - 15p.

48. Hicks R.M., Vanderplaats G.N. Application of numerical optimization to the design of supercritical airfoils without drag-creep// SAE Paper.- 1977. № 770440. - lip.

49. Hicks R.M., Vanderplaats G.N., Murman E.M., King R.R. Airfoil section drag reduction at transonic speed by numerical optimization// NASA TM. 1976. - № X73097.

50. Hirose N., Tkanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design based on Navie-Stockes equations// Techn. Report Nat. Aerospace Lab. -1986.- №901. P.l-16.

51. Rizk M.H. Application of the single cyrcle optimization approach to aerodynamic design// AIAA Pap. 1984. - № 2165. - 9p.

52. Schittkowski K. NLQPL: A Fortran-subroutine solving constrained nonlinear programming problems. Annals of operations research. -1985. Vol. 5. p. 485-500.