Аэродинамическое проектирование и оптимизация формы крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Леонтьев Валерий Геннадьевич

АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ И ПРОФИЛЕЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕШЕТОК

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЭАНЬ-2003

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Поташев Андрей Валерьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. АНТ, заслуженный деятель науки РФ и РТ, профессор Кузнецов Аркадий Васильевич

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Михайловского военного артиллерийского университета Галяутдинов Марат Ильдарханович

Ведущая организация: Казанский государственный технический

университет им. А.Н.Туполева, г. Казань.

Защита состоится 30 октября 2003г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 29 сентября 2003г.

Ученый секретарь диссертационного совета л

кандидат физ.-мат. наук, доцент /ßf A.A. Саченков

¿ООЗ-^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При разработке и проектировании летательных аппаратов, различного рода турбомашин, экранопланов очень важной проблемой является обеспечение оптимальных аэрогидродинамических свойств несущих элементов, гидродинамических решеток и лопаток рабочих колес. В данной работе рассмотрены методы аэродинамической оптимизации, применяемые для нахождения формы профиля с наилучшими аэродинамическими характеристиками. Основное внимание уделено постановке и решению "модельных" задач. При их формулировке, как правило, используются простые модели и топологии течения. Это позволяет построить аналитические решения и сделать выводы об их оптимальных аэродинамических характеристиках. Другой способ решения задач аэродинамической оптимизации основан на разработке численных методов их решения. Основная проблема при реализации такого подхода состоит в наиболее удобном математическом описании оптимизируемых величин и накладываемых на искомое решение ограничений. Применение методов аэродинамической оптимизации позволяют получать оптимальные крыловые профили, при этом удается преодолеть трудности, связанные с использованием прямых и обратных методов аэродинамического проектирования.

Целью настоящей диссертации является разработка методов оптимизации форм крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток; построение профилей с кусочно-постоянным распределением скорости, аналитическое исследование максимальности коэффициента подъемной силы в данном классе профилей; постановка и решение оптимизационных задач для бесконечно-тонких профилей крыльев и гидродинамических решеток, телесных профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками.

Научная новизна. В диссертации поставлена и решена задача построения крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Доказано, что для рассмотренного класса имеется максимум подъемной силы Су — 2е. Построено численное решение задачи нахождения формы бесконечно-тонких профилей, обладающих максимальной подъемной силой, в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана. Поставлена и решена задача построения прямой гидродинамической решетки бесконечно-тонких профилей с заданными параметрами на входе

¡тербург л> А;

обтекаемой безотрывно. На основе разработанных алгоритмов построено решение задачи нахождения телесного профиля с оптимальными аэродинамическими характеристиками в неограниченном потоке и при наличии экрана. Основное преимущество разработанных методов оптимизации является то, что выбранная математическая модель и метод решения позволяют записать оптимизируемый функционал и накладываемые ограничения через одну функцию, которая выбиралась в качестве управляющей. При этом решение задачи отыскивается сразу в физической области без использования вспомогательных областей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованным применением математических моделей, строгостью применяемого математического аппарата. В численных решениях сравнение с известными решениями дало удовлетворительное совпадение.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы, полученные решения задач, вычислительные алгоритмы и расчитанные профили могут использоваться для проектирования крыловых профилей, гидродинамических решеток и экранопланов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на научных семинарах отдела краевых задач (руководитель - Н.Б. Ильинский), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханика) за 1997— 2002гг., Всероссийской молодежной научной Школе-конферениии по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1997), Всероссийской молодежной научной Школе-конференции по теории функций (Казань, 1998), Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2000), Международной научно-технической конференции "Технико-экономические проблемы промышленного производства" (Набережные Челны, 2000), Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 2000), Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (Жуковский, 2000, 2002), Международной научной конференции и молодежной школе "Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения" (посвященной 90-летию Г.Г.Тумашева) (Казань, 2000), V Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2001), VIII Всероссийском съезде механиков по теоре-

тической и прикладной механике (Пермь, 2001), Итоговой конференции Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского (Казань, 2002), VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002), Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2002), Международной молодежной научной школе-конфернции "Лобачевские чтения - 2002" (Казань, 2002), XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции "Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий" (Казань, 2003), совместных российско-немецких научных семинарах (Штутгарт, 2002; Казань, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы. Содержит 108 страниц, 12 таблиц, 37 рисунков. Библиографический список состоит из 63 наименования источников отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор литературы по существующим методам проектирования крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток, кратко изложено содержание диссертации, сформулированы выносимые на защиту положения.

В настоящее время наибольшее развитие и применение в инженерной практике находят прямые методы проектирования. Суть таких методов состоит в последовательном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств с желаемыми. Однако, обладающие высокой эффективностью, они позволяют находить характеристики уже готового объекта.

Множество трудностей, связанных с применением прямых методов удается преодолеть с помощью обратных методов аэродинамического проектирования (построение профиля по заданному распределению скорости или давления). Теоретическую основу обратных методов со-

ставляют ОКЗА (обратные краевые задачи аэрогидродинамики). Первые постановки и решения таких задач описаны в работах F. Weinig'a, A. Betz'a, W. Mangler'a, JI.A. Симонова, Г.Г. Тумашева, М.Т. Нужина, M.J. Lighthill'a.

Существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи, то есть контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся.

В работе A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева разработан метод построения квазирешения ОКЗА, состоящий в минимальной коррекции исходного распределения скорости v(s) с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. Однако, применение квазирешения для замкнутости контура может очень сильно изменить исходное распределение скорости.

Таким образом, прямые и обратные методы не дают полной возможности нахождения оптимальных аэродинамических форм, удовлетворяющих различным ограничениям. Решение таких задач возможно при использовании подхода, основанного на использовании методов аэродинамической оптимизации.

Первый подход к нахождению оптимальных форм состоит в постановке и решении "модельных" задач. При их формулировке, как правило, используются простейшие модели. Это позволяет построить аналитические решения и сделать выводы об оптимальных аэродинамических характеристиках.

Именно такой подход использовался в работе М.А. Лаврентьева, который доказал, что решением вариационной задачи о дуге максимальной подъемной силы заданной длины и ограниченной кривизны в потоке идеальной несжимаемой жидкости, является дуга окружности.

Второй подход к задачам аэродинамической оптимизации основан на разработке численных методов их решения. В том случае, когда описание оптимизируемых величин и ограничений дается через форму профиля, приходят к методам проектирования, которые заключаются в разработке итерационных процессов, в которых на каждом очередном шаге после решения прямой задачи осуществляется модификация геометрии контура профиля. Такие методы, объединяющие решение прямой задачи аэродинамики и нелинейные методы оптимизации, обеспечивающие достижение экстремальных значений аэродинамических характеристик, использовались в работах С.М.чАульченко.

а) G, D, В ,2/ (*) б) Gw А D < В (w)

Vl И2 ---* С гл <р

(А D л\ D

а), 1п»1 ir И т) (С)

1 ' 4 D С А В D

lntl2 D Gx к в ■ А -1 а 1 €

С

Фиг. 1.

Более быстродействующие методы базируются на описании оптимизируемых величин и ограничений через решение ОКЗА. Именно такой способ решения содержится в работах A.M. Елизарова и Е.В. Федорова, Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского, А.Н. Ихсановой и Д.А. Фокина.

В первой главе рассмотрен ряд задач о построении формы крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Такой способ задания обеспечивает отсутствие на контуре профиля участков падения скорости и, тем самым, отсутствие отрыва потока.

В §1 поставлена и решена задача о нахождении профиля с двумя участками постоянной скорости. Искомый профиль обтекается установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости с заданной на бесконечности скоростью параллельной оси абсцисс. Требуется найти форму крылового профиля и коэффициент подъемной силы, если модули скорости на верхней и нижней поверхностях постоянны и равны v\ и V2, соответственно (vi > а длина верхней части контура равна L. Кромки профиля А и А' (фиг. 1) являются особыми точками - точками разветвления и схода потока, в которых скорости терпят разрыв. В этих точках границы контура образуют логарифмические завитки конечной длины.

При решении задачи, в силу симметрии исходных данных, достаточно рассмотреть только левую половину Gz. Далее строятся области Gw (фиг. 1,6) и Gx (фиг. 1,в), соответствующие области течения Gz в плос-

костях комплексного потенциала w = ц> + iip и функции Жуковского-Мичелла

= в + г In г>

(1)

где V - модуль скорости, в - ее аргумент.

В качестве канонической области выбрана верхняя полуплоскость в плоскости вспомогательного переменного С = £ + Щ с соответствием точек, показанным на фиг. 1,г. Конформные отображения области (3<; на области Сш и Сх записываются с помощью формул Кристоффеля-Шварца.

Условие замкнутости записано в следующем виде

где к = \n{vi/v2), с учетом которого получим, что для построения профиля с замкнутым контуром заданной можно считать лишь безразмерную величину к, а сами скорости следует находить из условия (2) и равенства иг = v^e~K. Таким образом, решение задачи зависит от одного безразмерного параметра к.

Координаты искомого контура профиля, с учетом (1), определяются по формуле

Результаты расчетов формы профилей показали, что при любых числах к ф 0 области течения получаются неоднолистными (фиг. 2 и табл. 1): нижние поверхности профилей, изображенные штриховыми линиями, располагаются выше верхних - сплошные линии.

С ростом к нижняя поверхность все сильнее "выпирает" вверх и при к -» оо уходит в бесконечность. Верхняя поверхность при этом стремится к предельной, описываемой формулой

'Этот любопытный факт отметил Г. Ю Степанов в частном письме Н Б Ильинскому 6 04.1997.

(2)

С

При этом найден максимум коэффициента подъемной силы Сушах = 2е « 5,44.'

-0,4 -0,2 х/Ь -0,75 -0,50 -0,25 х/Ь

Фиг. 2.

Таблица 1.

N Фиг. к VI Уг Су

1 З.а 0,5 1,25 0,76 0,98

2 3,6 1,0 1,49 0,55 1,87

3 3,8 2,0 1,89 0,26 3,21

4 3,г 5,0 2,44 0,02 4,78

5 3,г оо е 0 2е

о

Эта предельная граница показана на фиг. 2,г тонкой сплошной линией.

Для построения однолистных профилей предложено поместить точку разрыва скорости на верхнюю поверхность профиля - решение этой задачи содержится в §2. При этом кромки профиля стали точками возврата, а завитки логарифмических спиралей переместились на верхнюю поверхность профиля. Исследование свойств решения задачи и числовые расчеты проведены в полуобратной постановке. С учетом условий однолистности контура профиля построена область допустимых значений параметров. Исследования наличия глобального максимума Су в

Фиг. 3.

этой задаче проведено численно.

В §3 предложено заменить логарифмическую особенность в точке скачка скорости на плоский кольцевой полубесконечный канал. Несмотря на то, что введенный канал является бесконечным, он удовлетворительно моделирует реальные однолистные каналы конечной длины. Построены области допустимых значений параметров, обеспечивающие однолистность течения.

Наряду с построением крыловых профилей в неограниченном потоке представляет также интерес получение форм профилей и при наличии плоского горизонтального экрана (профиль крыла экраноплана). Вычисления в этой области были проведены в §4. В нём также исследовано влияние отстояния профиля от экрана на коэффициент подъемной силы.

Вторая глава содержит постановки и решение ряда задач по оптимизации формы бесконечно-тонких профилей в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана, обладающих максимальной подъемной силой. Разработанный метод распространен и на случай проектирования прямой однорядной гидродинамической решетки бесконечно-тонких профилей.

В §5 дана постановка и численно-аналитическое решение задачи определения формы бесконечно-тонкого профиля в безграничном потоке, обладающего максимальной подъемной силой. Искомый крыловой профиль, моделируемый в физической плоскости г = х + гу криволинейным непроницаемым отрезком Ьг длины Ь, обтекается плоско-параллельным потоком ИНЖ со скоростью ух на бесконечности (фиг. 3,а). Требуется найти форму профиля из условия максимизации величины коэффициента подъемной силы Су.

Сначала рассмотрена вспомо¥ательная задача, состоящая в отыска-

нии формы профиля при заданных параметрах г;«,, Ь и функции А (я), описывающей скачок величины скорости на разных сторонах профиля.

Для решения этой задачи введена аналитическая в физической плоскости г за исключением контура Ьг функция

х = 1п^ = 1п„-г0, (3)

где го = <р + - комплексный потенциал течения, </з - потенциал скорости, ф - функция тока, V - величина скорости, 0 - ее аргумент.

Эта функция должна удовлетворять следующим условиям: условию заданности скорости на оо; условию непротекания контура Ьг\ условию заданности величины скачка действительной части функции х(2) на Ьг, описываемого функцией А(й) дуги в контура Ь2.

Если предположить, что форма Ьг и функция А(й), описывающая скачок скорости, известны, то решение краевой задачи запишется в виде:

А (а (¿))<Й

*(,) = *(,). Ф(4)

Ьс

Для определения контура Ьг по заданному распределению А(й) используется итерационный процесс. В качестве начального приближения формы Ьг задается значение угла наклона касательной 0® в каждой расчетной точке вт 6 [0,1], т = 1, М контура Ьг (можно положить

= о, что соответствует горизонтальному прямолинейному отрезку).

1

Затем, по формуле .г^"4"1' (в) = / ехр (¿©^(в))^ находится форма Ьг.

8

Далее отыскивается функция {¿) в виде (4), определяются новые значения 0т+1) = вт+Х) и сравниваются с предыдущими значениями 6т\ Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

м

1 М I

— V Й("+1) _ ям

М | т т

т=1

где г - заданное малое число, М - количество расчетных точек на Ьг.

Таким образом, задание функции А (з) полностью определяет форму контура и её можно использовать в качестве управляющей функции при решении оптимизационных задач.

При численной реализации решения задачи управляющая функция A (s) бралась в виде

_N-1

л (в) - \А(1 -«) X, aksk> к=0

где ак - параметры оптимизации, N - их количество.

Первые два сомножителя обеспечивают равенство скоростей на верхней и нижней сторонах кромок профиля, что необходимо для выполнения условия плавного натекания и схода потока.

Для определения формы контура Lz. обладающего максимальной подъемной силой, в качестве минимизируемого функционала выбирался коэффициент подъемной силы с обратным знаком:

J = ~^b = I (£(*)-<?(*))**. (5)

°° L,

где ср = 1 - {v/vao)2 - коэффициент давления.

В случае решения задачи М. А. Лаврентьева на искомое решение также накладывалось ограничение, что в каждой точке контура Ьг максимальное значение кривизны (K(s) = dQ/ds) не превышает своего критического значения Ко. Данное ограничение учитывалось в виде штрафной функции в оптимизируемом функционале в следующем виде

Ji = J + Ai max (0, Ктзх - KQ). (6)

где Ai - коэффициент штрафа.

Еще одно из возможных ограничений на функцию A (s) и форму Lz - это условие безотрывности обтекания. В частности, если воспользоваться условием отсутствия отрыва полностью турбулентного пограничного слоя из метода Кочина-Лойцянского, то его можно записать в виде

/± (*) > /о, (7)

где

S

f±{s)=t^J[v±{s)]b~lds' ^w^iMx^mu..

а =1.17, Ь = 5.35, , /о = -2.

В этом случае минимизируемый функционал с учетом ограничения (7) записывается в виде

Зг = 7 +А3тах (0, / — 1), (8)

где / = ///о - приведенный формпараметр, \2 - коэффициент штрафа.

Наряду с отысканием профилей, обладающих максимальным значением Су, представляет интерес построение профилей минимального сопротивления. В этом случае оптимизируемый функционал будет иметь вид

^ = С*, (9)

где коэффициент сопротивления Сх рассчитывался по формуле Сквайра-Юнга: Сх = 2(-и,/и00)3'2 Здесь V* - величина скорости

в задней кромке, 5д* - суммарная толщина потери импульса в задней кромке.

На функционал (9) также можно наложить дополнительные ограничения в виде (6) или (8).

Еще одна из возможных задач оптимизации - определение контура Ьг с максимальным аэродинамическим качеством К = Су/Сх■ В данном случае переходим к следующему оптимизируемому функционалу

] —А = —Су/Сх.

Одна из серий расчета была посвящена нахождению формы контура обладающего максимальной подъемной силой с ограничением на кривизну контура, то есть проводилось сравнение с результатами, полученным М. А. Лаврентьевым. В качестве оптимизируемого брался функционал (6).

На фиг. 4 представлены результаты вычислений при Ко = 1/21 (результат М. А. Лаврентьева). Сплошной линией на фиг. 4,а показана форма кривой, полученная численно в результате оптимизации, штриховой линией изображено точное решение, то есть дуга окружности с радиусом г = 1/Ко = 21. Для наглядности масштаб по оси Ох взят значительно большим, чем по оси Оу. Из приведенных результатов, видно, что формы кривых совпадают с хорошей степенью точностью. Соответствующее распределение скорости показано на фиг. 4,6; график распределения кривизны - на фиг. 4,в. Кривизна при этом близка предельному значению Ко = 1/21. Следовательно, в результате максимизации

Фиг. 4.

Су получилась дужка Lz с постоянной кривизной Ко = 1/21. Значение коэффициента подъемной силы получилось равным Су = 0.0676.

Для сравнения полученных расчетов с результатами работы Н.Б.Ильинского и А.В.Поташева2 проводились вычисления по нахождению формы Lz с максимальной подъемной силой с выполнением условия безотрывности обтекания. Найденный контур Ьг по форме близок к контуру из вышеназванной работы, однако, значение коэффициента подъемной силы получилось Су = 0,684, что несколько больше, чем в работе Н.Б.Ильинского и А.В.Поташева (Су = 0.670). Увеличение Су произошло за счет улучшения алгоритма расчета.

В §6 дана постановка и построено решение задачи определения формы бесконечно-тонкого профиля, обладающего максимальной подъемной силой при наличии экрана. Искомый крыловой профиль, моделируемый в физической плоскости г криволинейным непроницаемым отрезком Lz длины L, обтекается вблизи прямолинейного экрана lz со скоростью и,». Задается отстояние h задней кромки В от экрана. Также для обобщения задачи М.А.Лаврентьева также можно предположить, что наибольшее значение кривизны в любой точке дуги АВ не превышает заданной величины Ко (max K(s) < Ко). Требуется найти форму

О <«<£

2Ильинский Н. Б., Поташее А. В. Аэродинамическая оптимизация бесконечно-тонких крыловых профилей вблизи экрана. // Труды ! Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматическое проектирование в авиа- и машиностроении», Т.1 Казань, 1997. С 53-57.

профиля из условия максимизации величины коэффициента подъемной силы.

В отличии от задачи §5 для функции х(^) добавится дополнительное граничное условие - условие непротекания экрана. В этом случае решение вспомогательной краевой задачи запишется в виде:

Задачи оптимизации ставились и решались подобным образом, как и в §5. В частности, при обобщении задачи М. А. Лаврентьева на случай наличия экрана получено хорошее совпадение найденных форм с дужками окружности г = 1/Ко или с контурами в неограниченном потоке.

В §7 поставлена и решена оптимизационная задача построения прямой гидродинамической решетки бесконечно-тонких профилей, обладающей минимальным коэффициентом сопротивления, при заданных параметрах на входе в решетку и выходе из неё.

Необходимо определить форму бесконечно-тонких профилей, составляющих прямую однорядную решетку шага £ (фиг. 3,6) так, чтобы при заданных величине г>1 и аргументе в\ скорости на бесконечности перед решеткой обеспечить необходимое значение аргумента скорости 02 за решеткой при минимальности сопротивления.

Фукнкция х(^) в этом случае должна удовлетворять следующим граничным условиям: условиям на бесконечности до и после решетки; условиям непротекания контуров Ьгц.; условию, заданности скачка величины скоростей на нижних и верхних сторонах Ьгк, описываемый функцией А(з).

Если предположить, что форма Ь^ известна, то функция х(г) запишется в виде

X (*) = Ф (*) + ф (5).

х(г) = Ф(г) + С0,

где

¿20

С0 = 1пг?1 + 1п1/оо - г (01 + воо)

Фиг. 5.

1пг>оо = йе ^ IЛ (в (С)) ¿С , Ооо = 1т

г

/ А(в«)К

- ¿гО

Форма 1г0 определяется с помощью итерационной процедуры, аналогичной примененной ранее в §5, §6. Так как в оптимизационной задаче параметры потока за решеткой заданы, то появляется дополнительное условие

которое приводит к ограничению на контур профиля Ьго и функцию

На фиг. бив табл. 2 приведены результаты расчетов по исследованию влияния величины в2 на форму профилей при «1 = 1, #1 = 0, £ = 1 с выполнением условия безотрывности обтекания. Значение бралось равным: 0, тг/8, тг/4. В результате при в2 = 0 получилась пластинка (линия 1), с увеличением 62 получились контуры с заданными значениями аргумента скорости на выходе (линии 2, 3). Значения коэффициента сопротивления Сх приведены в табл. 2. Видно, что с увеличением угла 62 контур изгибается сильнее, а величина коэффициента сопротивления увеличивается. 4

Со = 1п и2 - 1п «оо - г (в2 - вас) ,

Л (в)

i^'A(s(0)dC = ¡[ln^-i(в2-в1)

Таблица 2.

02 0 тг/8 ж/А

сх 0.0126 0.0192 0.0326

В третьей главе разработанный метод второй главы распространен на случай оптимизации профиля, обладающего конечной (ненулевой) толщиной.

В §8 дана постановка и построено численно-аналитическое решение задачи определения формы телесного профиля в безграничном потоке, обладающего максимальной подъемной силой. Искомый непроницаемый крыловой профиль с контуром и Ь~ обтекается установившимся потоком ИНЖ (фиг. 6). Величина скорости а направление оси х совпадает с направлением скорости набегающего потока. Требуется определить форму контура крылового профиля, обладающего оптимальными аэродинамическими характеристиками.

Использованный во второй главе способ моделирования крылового профиля позволял описывать течение около бесконечно-тонких профилей. Это достигалось тем, что величина скорости при переходе через линию Ьг терпела скачок, а аргумент скорости изменялся непрерывно. Для того, чтобы распространить этот способ и для моделирования телесных профилей следует потребовать наличие разрыва на Ьг и у аргумента скорости в. В этом случае контур Ьг не будет непроницаемым. На некоторой его части жидкость будет вытекать, а на оставшейся -втекать. Поэтому при соответствующем задании скачка аргумента скорости возможно появление линии тока, разветвляющейся в некоторой критической точке С и замыкающийся в задней кромке В. Именно эту линию тока и можно принять за контур крылового профиля.

Для обеспечения указанного выше скачка функция А(в) в выражении (3) должна быть комплексной

Л («) = А!(в) - гА2(в) = 1п (и+/у~) - г (в+ - Г),

где в+ и в~ - значения в на верхней и нижней сторонах контура Ьг, я е [0,1] - дуговая абсцисса контура Ьг, отсчитываемая от точки В.

При моделировании контура профиля в точку А{г = 21) контура Ь2 помещается также источник интенсивности q. При этом в потоке появляется критическая точка С (г = 20), которую и примем за переднюю

кромку профиля. Линии тока, выходящие из точки С и замыкающиеся в точке В, будут моделировать контур искомого крылового профиля.

Для решения задачи рассмотрим, как и ранее, функцию х(^) в виде (3). Эта функция должна удовлетворять следующим граничным условиям: условию заданности скорости на оо и условиям скачка величины и аргумента скорости при переходе через Ьг.

Аналогично методике решения задач Главы II при предположении, что форма Ь2 и функция А (й) известны, решение краевой задачи с учетом расположения источника (21) и критической точки (го), запишется в виде:

! \ ж / \ А / ч 1 [ А 0» (*))<** , , (-г-го) /1ПЧ

ь,

Для решения задачи в исходной постановке необходимо определить форму линии Ьг (скелетную линию) и распределение А (а) на ней. В данном случае Ьг не является линией тока. Для её поиска предлагается использовать равенство

+ = О1)

Введенное предположение (11) означает равенство расходов жидкости с верхней и нижней сторон скелетной линии профиля и позволяет записать условие на Ь2 в следующем виде

ехр (А1/2) зт0+ + ехр (~У2) вш0-8 ехр (Ах/2) сое в+ + ехр (—А1/2) сое в~' * '

где А1 = ИеА(й), Аг = 1т А^), & - угол наклона касательной к

Представленная запись условия (12) позволгет организовать итерационный процесс поиска скелетной линии Ьг, аналогично процессу из

§5-

Для получения крылового профиля с максимальной подъемной силой в качестве минимизируемого функционала можно взять выражение в виде (5). При этом также как и в §5, можно поставить разнообразные задачи оптимизации.

На фиг. 7 представлены результаты нахождения профиля, обладающего максимальным коэффициентом подъемной силы. Форма профиля показана сплошной линией на фиг. 7,а; соответствующее ему распределение скорости по верхней и нижней поверхности - на фиг. 7,6. В качестве тестовой проверки методом ОКЗА по полученному распределению скорости построен профиль, показанный штриховой линией на фиг. 7,а. В табл. 3 приведены полученные значения коэффициента подъемной силы Су и угла атаки а, в первой строке - результаты решения данной задачи, во второй строке - результаты решения ОКЗА по полученному распределению скорости. Из представленных результатов видно, что совпадение результатов удовлетворительное.

Таблица 3.

N Су а

1 1.579 8.53

2 1.587 8.82

В §9 дано распространение задачи из параграфа §8 на случай наличия плоского экрана. Искомый непроницаемый крыловой профиль с контуром и Ь~ обтекается установившимся потоком ИНЖ вблизи экрана 12 на расстоянии к. Величина скорости Уоо задана, а направление оси х совпадает с направлением скорости набегающего потока. Требуется определить форму контура профиля, обладающего оптимальными аэродинамическими характеристиками.

Для моделирования экрана применим способ зеркального отражения профиля, относительно экрана. Для функции х(г) добавляется еще одно граничное условие - условие непротекания экрана в силу чего функция х(-г) запишется в виде

где функция Ф(г) определена формулой (10).

Фиг. 7.

Определение скелетной линии 1г (скелетную линию) и распределение Л(й) на ней происходит с использованием итерационной процедуры, описанной в §8. Аналогично предыдущему параграфу, поставлены и решены различные задачи оптимизации.

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Постановки и методы решения задач отыскания формы высоконесущих профилей с кусочно-постоянным распределением скорости.

2. Постановки и методы решения задач определения форм с оптимальными аэродинамическими характеристиками (бесконечно-тонкие крыловые профили в неограниченном потоке, над экраном и профили гидродинамических решеток).

3. Методика оптимизации профилей конечной толщины.

4. Методики численной реализации построенных решений, результаты расчетов и сделанные на и* основе выводы.

Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№99-01-00365, 99-01-04029, 0101-04004, 02-01-06141, 02-01-00061), позволившую ускорить написание диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Леонтьев В. Г. О крыловых профилях постоянной скорости / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Казань: Изд-во Казанск. мат. общ-ва. Мат. Всеросс. мол. научн. шк.-конф. по мат. модел., геом. и алгебре. Казань, 4-11 дек. 1997. С. 95-100.

2. Леонтьев В. Г. Аэродинамическое проектирование крыловых профилей с кусочно-постоянным распределением скорости / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т.З. Краевые задачи и их приложения. Казань: УНИПРЕСС 1999, с.335-339.

3. Леонтьев В. Г. Проектирование крылового профиля с кусочно-постоянным распределением скорости над плоским экраном / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Сборник трудов XXI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, 17-22 апреля 2000 года: Изд-во МГУ, 2000. С.333-334.

4. Леонтьев В. Г. Проектирование крыловых профилей с кусочно-постоянным распределением скорости в неограниченном потоке и над плоским экраном / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Современные проблемы аэрокосмической науки и техники // Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов. Жуковский-Москва, 23-26 мая 2000 г. Тезисы докладов. ЦАГИ Авиационный печатный двор. С. 141-142.

5. Леонтьев В. Г. Построение модельных высоконесущих крыловых профилей с кусочно-постоянной скоростью на контуре вблизи экрана / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Нелинейное моделирование и управление. Материалы международного семинара. Самара, 26-30 июня 2000 года. С.76-77.

6. Леонтьев В. Г. Оптимизация формы дужки, обтекаемой вблизи гори-зонтального экрана / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы V Казанской международной летней школы-конференции. - Казань: Издательство "ДАС", 2001. - С.150-151.

7. Леонтьев В. Г. Высоконесущие модельные крыловые профили с двумя участками постоянной скорости на контуре / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Известия РАН. МЖГ. 2001, № 6. С. 15- 20.

8. Леонтьев В. Г. Оптимизация бесконечно-тонких крыловых профилей вблизи экрана / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Тезисы докладов 10-й Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках. "(26-29 сентября 2001 г.) - Пермь. Издательство Пермского государственного университета, 2001. - С.64-65.

9. Леонтьев В. Г. К проблеме построения высоконесущих модельных аэродинамических профилей / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Известия Вузов. Авиационная техника. 2002. № 2. С. 24- 28.

10. Леонтьев В. Г. Численное решение задачи Лаврентьева для дужки вблизи горизонтального экрана // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. - Казань: Изд-во Ка-зан. гос. техн. ун-та, 2002 - С.267.

11. Леонтьев В. Г. Численное решение об оптимизации дужки вблизи горизонтального экрана // Гидродинамика больших скоростей. Тезисы докладов Международной летней научной школы. - Казань: Издательство казанского математического общества, 2002 - С.99-100.

12. Леонтьев В. Г. Численное решение задачи об оптимизации дужки вблизи горизонтального экрана // Современные проблемы аэрокосмической науки и техники. II Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов. Жуковский, 8-12 октября 2002 г. Тезисы докладов. - Жуковский: ЦАГИ: Авиационный печатный двор, 2002. С. 126.

13. Леонтьев В. Г. Оптимизация формы бесконечно-тонких профилей прямой однорядной гидродинамической решетки / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Сборник материалов XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, 20-22 мая 2003 г., С.48-50.

Отпечатано с готового оригинал-макета в Центре оперативной полиграфии «УНИПРЕСС» ЦВИД КГУ Тираж 100 экз. Заказ 09/01 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18 Тел. 31-55-34

IM 582g

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Высоконесущие профили постоянной скорости

§1. Профили с постоянными скоростями на верхней и нижней поверхностях.

§2. Профили со скачком скорости на верхней поверхности

§3. Профили с обдувом верхней поверхности.

§4. Профили при наличии плоского экрана.

II. Оптимизация бесконечно-тонких профилей

§5. Профиль в неограниченном потоке.

§6. Профиль над экраном.

§7. Оптимизация формы бесконечно-тонких профилей прямой однорядной гидродинамической решетки.

III. Профили конечной толщины

§8. Профиль конечной толщины в неограниченном потоке

§9. Профиль конечной толщины при наличии экрана.

При разработке и проектировании летательных аппаратов, судов на подводных крыльях, различного рода турбомашин, экранопланов и т.п. наиболее важной проблемой является рациональное построение несущих элементов, гидродинамических решеток и лопаток рабочих колес. Развитие методов проектирование профилей таких элементов вызывает особый интерес ученых и специалистов, занимающихся теоретической и прикладной аэродинамикой.

Современные методы аэродинамического проектирования можно подразделить на следующие основные группы: - прямые методы, позволяющие по заданной форме профиля определять его аэродинамические характеристики при различных режимах обтекания; - обратные методы, используемые для нахождения формы профиля по желаемым аэродинамическим характеристикам; - методы аэродинамической оптимизации, применяемые для нахождения формы профиля с наилучшими аэродинамическими характеристиками.

В настоящее время наибольшее развитие и применение в инженерной практике находят методы первой группы (см., например, [41], [42], [6], [56]). Суть таких методов состоит в последовательном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств с желаемыми.

Обладающие высокой эффективностью прямые методы имеют определенные недостатки. Несмотря на большие возможности, они позволяют находить характеристики уже готового объекта. Сам же выбор формы, его корректировка при проектировании во многом зависят опыта проектировщика, его способности повлиять на аэродинамические характеристики последовательным изменением геометрии объекта. Кроме того, прямые методы достаточно трудоемки и длительны по времени, поскольку совершается множество итераций для успешной коррекции формы контура или поверхности крыла.

Множество трудностей, связанных с применением прямых методов удается преодолеть с помощью методов второй группы. Их суть заключается в следующем, проектировщик выбрав исходное распределение скорости или давления на профиле с учетом желаемых характеристик, получает возможность найти профиль с заранее заданными свойствами, так как они, в основном, определяются указанным распределением.

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования профилей крыльев и гидродинамических решеток, составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [49], [47], [12], [13], [14]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, а на границе - заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области отыскиваются по дополнительному краевому условию на искомой границе.

Суть ОКЗА заключается в определении формы крылового профиля по заданному на его контуре распределению давления (или скорости), обеспечивающему требуемые аэродинамические характеристики. Отличительной особенностью ОКЗА является их конструктивный характер. В этих задачах требуется найти такую форму границы, при которой обтекание обладало бы нужными свойствами. Поэтому в ОКЗА краевые условия определяются не только моделью изучаемого процесса, но и предписываемыми свойствами.

Одно из первых полных исследований обратной задачи по f(s) дано в работе W.Mangler'a [60], где использован так называемый прицнип сопоставления плоскостей. W.Mangler установил зависимость между дуговыми абсциссами контура профиля и окружности в канонической области и свел ОКЗА к решению прямой задачи (задачи Шварца) в канонической области. В этой работе были также получены условия разрешимости задачи и предложен способ их удовлетворения. Г. Г. Тумашев при исследовании ОКЗА в постановке W.Mangler'a ввел в рассмотрение вспомогательную область в плоскости комплексного потенциала течения, что позволило не только дать другой способ построения аналитического решения краевой задачи, но и рассмотреть в дальнешем ряд других ОКЗА (см., например, [48], [49]).

Метод решения ОКЗА существенным образом зависит от выбора параметра, в функции которого задается распределение скорости. Результаты по решению ОКЗА в случае, когда распределение скорости задается не в виде функции дуговой координаты, получены В. М. Шурыгиным [53] (i> = v(x)), Г. Ю. Степановым [47] (v = ^(7), v = v(6)). Л.А.Симонов (см., например, [45], [46]) дал постановку и построил решение ОКЗА по годографу скорости.

Другой существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи, то есть контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Кроме того, заданная скорость Voo набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи. Таким образом, эти задачи являются некорректными. Условия, обеспечивающие замкнутость контура (условия замкнутости) и согласование указанных величин скорости, называются условиями разрешимости. По существу условия разрешимости содержатся в работах А.Бетца [54] и подробно выведены в статьях В. Манглера [60], М. Лайтхилла [57] и Г. Г. Тумашева [51].

Основываясь на общей идее В.К.Иванова (см., например, [17]) построения квазирешения некорректных задач, А.М.Елизаровым [9] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗА. Далее в работах А.М.Елизарова, Н.Б.Ильинского, А.В.Поташева (см., например, [13]) разработан метод построения квазирешения ОКЗА. Суть его состоит в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. Однако, применение квазирешения для замкнутости искомого контура иногда может очень сильно изменить исходное распределение скорости или давления.

Из сказанного выше видно, что как прямые, так и обратные методы не дают полной возможности нахождения оптимальных аэродинамических форм, удовлетворяющих различным ограничениям. Решение таких задач возможно при использовании третьего подхода - использования методов аэродинамической оптимизации. На этом пути также имеются разные возможности.

Первый подход к нахождению оптимальных форм состоит в постановке и решении "модельных" задач. При их формулировке, как правило, используются простейшие модели. Это позволяет построить аналитические решения и сделать выводы об их оптимальных аэродинамических характеристиках. Именно такой подход использовался в работе М.А.Лаврентьева [22], который доказал, что решением вариационной задачи о дуге максимальной подъемной силы заданной длины и ограни-ченнной кривизны в потоке идеальной несжимаемой жидкости является дуга окружности.

Аналогичные результаты были получены и другими авторами. В. И. Зубов [16] предложил численный метод оптимизации формы профиля, обладающего максимальной подъемной силой, при дополнительных ограничениях, выражающих приближенно условие безотрывности обтекания. Этот метод основывается на интегральном представлении функции, конформно отображающей единичный круг на внешность профиля. Через коэффициенты Фурье этой функции выражена величина подъемной силы, максимум которой достигается за счет варьирования этих коэффициентов при указанных дополнительных ограничениях. А. М. Елизаровым [10], Д. Ф. Абзалиловым, Н. Б. Ильинским, Р. Ф. Мардановым [3] даны постановки и решения задачи об отыскании среди профилей с заданной длиной контура такого профиля, который обладает максимальной подъемной силой при некоторых ограничениях на форму профиля и распределение скорости на его поверхности.

При анализе и использовании результатов решения таких "модельных" задач, естественно, следует учитывать, что они показывают пути совершенствования аэродинамических форм. Получаемые при этом объекты бывают физически нереализуемы.

Следующий подход к задачам аэродинамической оптимизации основан на разработке численных методов их решения. Основная проблема при реализации такого подхода состоит в наиболее удобном математическом описании оптимизируемых величин и накладываемых на искомое решение ограничений. Оптимизируемый функционал и ограничения должны быть выражены через некоторую управляющую функцию. При этом программа расчета указанных величин должна, по-возможности, требовать малых затрат машинного времени. В противном случае процесс оптимизации становится громоздким и непроизводительным.

В том случае, когда описание оптимизируемых величин и ограничений дается через форму профиля приходят к методам проектирования, суть которых заключается в разработке итерационных процессов, в которых, начиная с первоначально взятого профиля или крыла, на каждом очередном шаге итерации после решения прямой задачи осуществляется модификация геометрии контура профиля или поверхности крыла для оптимизации определенных аэродинамических характеристик. Такие методы (см., например, [4]) объединяют решение прямой задачи аэродинамики и нелинейные методы оптимизации, обеспечивающие достижение экстремальных значений аэродинамических характеристик или заданных функционалов. Совершенствование расчетных процедур таких методов возможно за счет замены вычислительных программ решения прямых задач более универсальными. При этом возникает проблема соединения разработанных программ с программами модификации геометрии, поскольку не каждая оптимизационная задача удовлетворяет условиям разрешимости при фиксации определенного класса контуров.

При применении методов, базирующихся на последовательном решении прямых задач, не получаются разомкнутые или неоднолистные контуры или поверхности, поскольку оптимальное решение ищется в строго определенном классе. Такие методы наиболее эффективно подходят для усовершенствования аэродинамических форм, и, как правило, применяются для решения задач модификации.

Еще одно из достоинств прямых методов, это то, что проектирование крыловых профилей не зависит от задания исходных данных как функций того или иного параметра (дуговая абсцисса, годограф скорости и т.д.), так как при решении прямой задачи пересчет этих данных для различных параметров осуществляется просто.

Более быстродействующие методы базируются на описании оптимизируемых величин и ограничений через решение ОКЗА. В качестве управляющей в данном подходе выбирается некоторая вспомогательная функция, позволяющая с малыми вычислительными затратами отыскивать требуемые величины (см., например, [11], [2], [15]).

Целью настоящей работы является разработка методов оптимизации форм крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток. Сначала внимание уделено решению "модельных" задач. К ним относятся задачи построения профилей с кусочно-постоянным распределением скорости. В данном классе задач удалось аналитически определить максимум коэффициента подъемной силы. Далее были поставлены и решены оптимизационные задачи (бесконечно-тонких профилей, гидродинамической решетки, телесных профилей), решение которых осуществлялось с помощью итерационных процедур с модификацией геометрии контура для оптимизации аэродинамических характеристик на каждом шаге итерации. Основное преимущество разработанных методов оптимизации данной диссертации является то что, выбор математической модели и метода решения, позволили записать оптимизируемый функционал и накладываемые ограничения записываются через одну функцию, которая выбиралась в качестве управляющей. При этом решение задачи отыскивается сразу в физической области, что является существенным отличием от работ [2], [3], [10], [15], где для построения решения использовалась вспомогательная область комплексного потенциала.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В данной работе разработаны методы оптимизации форм крыловых профилей и профилей гидродинамических решеток. Рассмотрен некоторый класс "модельных" задач, позволяющих получить оптимальное решение в относительно простом виде.

Поставлен и решен ряд задач о построении формы крылового профиля, вдоль контура которого задано распределение скорости в виде кусочно-постоянной функции. Решение задач записано в аналитическом виде и проведены исследования оптимальных аэродинамических характеристик. В случае, когда кромки профиля являются точками разветвления потока и точками разрыва скорости, определен максимум коэффициента подъемной силы в данном классе крыловых профилей, являющихся при этом неоднолистными. Для построения однолистных профилей точка разрыва скорости была перенесена на верхнюю поверхность профиля. Далее логарифмическая особенность в точке скачка скорости была заменена на плоский кольцевой полубесконечный канал. Построенное в этом случае решение распространено на случай движения профиля вблизи экрана.

Поставлен и решен ряд задач оптимизации формы бесконечно-тонких профилей в неограниченном потоке и при наличии плоского экрана, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. На искомую форму контура накладывалось ограничение на максимальное значение кривизны и условие безотрывности обтекания. Проведено сравнение с точным решением. Приведены результаты числовых расчетов.

Поставлена и решена оптимизационная задача построения прямой гидродинамической решетки бесконечно-тонких профилей, обтекаемой безотрывно при заданных параметрах на входе и выходе и обладающей минимальным коэффициентом сопротивления.

По разработанному методу оптимизации бесконечно-тонких профилей, поставлена и решена задач нахождения оптимального профиля с конечной (ненулевой) толщиной в неограниченном потоке и при наличии экра на. Проведено сравнение с решением по методу ОКЗА. Приведены ре зультаты числовых расчетов. О

1. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Степанов Г. Ю. Построение крылового профиля с отбором внешнего потока // Известия РАН МЖГ. 1996. № 6. С. 23-28.

2. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б. Построение и оптимизация крыловых профилей с отбором внешнего потока // Ученые записки ЦАГИ. 1998, Т. 29, - № 3-4, - С. 52-61.

3. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. Б., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2000, том 40, № 1, С. 82-90.

4. Аульченко С. М. Метод оптимизации профилей в дозвуковом потоке идеального газа. Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР (Новосибирск) Препр. 1987. № 30-87, 45 с.

5. Боллхауз У. Ф. Некоторые новейшие достижения в численном исследовании трансзвуковых течений // В кн. Численные методы в динамике жидкости. М.:Мир, 1981, С. 152-242.

6. Викторов Г. В. Гидродинамическая теория решеток. - М.: Высшая школа, 1969, 368 с.

7. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. - 536 с.

8. Дорфман JI. А. Расчет безвихревого обтекания решеток профилей и построение решеток по заданному распределению скоростей на профилях // Прикладная математика и механика, 1952, 16, № 5, С. 599-612.

9. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи // Известия вузов. Математика. 1984. - № 10. - С. 42-50.

10. Елизаров А. М. Некоторые экстремальные задачи теории крыла // Известия вузов. Математика. 1988. - № 10. - С. 71-74.

11. Елизаров А. М., Фёдоров Е. В. Оптимизация формы крыловых профилей методом обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Казанский университет, 1989, № 25, С. 20-25.

12. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. - 1989. - Т.23 - С. 3-115.

13. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994. 440 с.

14. Елизаров А. М., Ихсанова А. Н., Фокин Д. А. Численная оптимизация формы крыла экраноплана методами вариационных обратных краевых задач // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том.8. Москва: Научное издательство "ТВП", 2001., С. 165167.

15. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости // Журнал вычислительная математика и математическая физика, 1980, № 1, С. 241-245

16. Иванов В. К., Васин В. В., Таната В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

17. Ильинский А. Н., Ильинский И. Б., Поляков Д. В., Поташев А. В Степанов Г. Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмпирических данных // Казань. Препринт НИИММ КГУ, № 98-2, 1998.

18. Киселев О. М. Построение прямой однорядной решетки по заданной хордовой диаграмме // Известия вузов. Авиационная техника, I960, №4, С. 31-39.

19. Кочин Н. Е. Гидродинамическая теория решеток. M.-J1.: Госте-хиздат, 1949. - 103 с.

20. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана. // М.; Л.: Гостехтеориздат, 1934. 40 с.

21. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

22. Леонтьев В. Г. Высоконесущие модельные крыловые профили с двумя участками постоянной скорости на контуре / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев // Известия РАН. МЖГ. 2001, № 6. С. 15-20.

23. Леонтьев В. Г. К проблеме построения высоконесущих модельных аэродинамических профилей / В. Г. Леонтьев, А. В. Поташев Ц Известия Вузов. Авиационная техника. 2002. № 2. С. 24-28.

24. Леонтьев В. Г. Численное решение задачи Лаврентьева для дужки вблизи горизонтального экрана // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление

25. Ф движением": Тезисы докладов. Казань: Издательство Казанскогогосударственного технического университета, 2002 С. 267.

26. Леонтьев В. Г. Численное решение об оптимизации дужки вблизи горизонтального экрана // Гидродинамика больших скоростей. Тезисы докладов Международной летней научной школы. Казань:

27. Издательство казанского математического общества, 2002 С. 99100.

28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

29. Маклаков Д. В. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела сред // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: казан, ун-т. - 1984. - Вып. 21. - С. 126133.

30. Маклаков Д. В. О существовании решения задачи о движении-профиля произвольной формы в потоке двухслойной жидкости // Известия вузов. Математика. 1985 - № 6, С 30-36.

31. Нугманов 3. X., Овчинников В. А., Павлов В. Г. Аэродинамическое проектирование с учетом условия безотрывности. Известия вузов. Авиационная техника, 1985, № 3, С. 47-50.

32. Нугманов 3. X., Овчинников В. А., Павлов В. Г., Романов В. М. Численные методы расчета обтекания профиля идеальным несжимаемым потоком. Казань: Казанский авиационный институт, 1986, 64 с.

33. Поташев А. В. Построение крылового профиля с закрылком конечных размеров // Известия РАН. МЖГ, 1995, № 1. С. 173-180.

34. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 3-е, перераб. M.-J1.: Гостехиздат, 1951. -464 с.

35. Симонов JI. А. Построение профилей по годографу скоростей. -Прикладная математика и механика, 1940, 4, № 4, С. 97-116.

36. Симонов JI. А. Построение профилей по годографу скоростей. -Прикладная математика и механика, 1941, 5, № 2, С. 193-222.

37. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физ-матгиз, 1962. 512 с.

38. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи. Уч. зап. Казан, ун-т. 1955, 115, № 6 167 с. - РЖМат, 1956, 7298.

39. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Казанский университет. - 1965. - 333 с.

40. Тумашев Г. Г. Построение профилей по заданному распределению скоростей // Уч. зап. казан, ун-та. 1949. Т.109. № 1. С. 73-87.

41. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления // Уч. зап. казан, ун-та. 1952. Т.112. № 3. С. 3-41.

42. Черноусько Ф. ji. О движении идеальной жидкости с разрывом давления вдоль границы // ПММ. 1962. Т.XXVI. Вып.2. С. 373375.

43. Шурыгин В. М. Определение контура профиля по заданному распределению давления // Тр. ЦАГИ. 1948. - № 660. - 20 с.

44. Betz A. Anderung der Profilform zur erzielung einer vorgebenen Anderrung der Druckverteilung // Luftfahrtforschung. 1934. - 11. -№ 6. - S.158-164. №978, 11 p.

45. Costello G. R. Method of designing cascade blades with prescribed velocity distributions in compressible potential flows. NACA Rept., 1950, №978, 11 p.

46. Hirose N., Tkanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design based on Navie-Stocks equations // Techn. Report Nat. Aerospace Lab. 1986 №901. - P.l-16 №978, 11 p.

47. Lighthill M. J. A new method of two-dimensional aerodynamic design // Aeronaut, res. Counc. Repts. and Mem. 1945. - № 2112 - 53 p.

48. Lighthill M. J. A mathematical method of cascade design Aeronaut res. Counc. Repts. and Mem. - 1945. - № 2104 - 18 p.

49. McBride E. J. Blade profiles. Proc. First U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Publ. Amer. Soc. Mech. Engrs, N. Y., 1952, 699-704 - РЖМех, 1954, 4061.

50. Mangier W. Die Bereshung eines Tragflugelprofiles mit vorgeshriebener Drucverteilung // Jahrb. Dtsch. Luftfarhrtforchung. 1938. Bd.l. S.46-53

51. Nasyrov S. Robin capacity and lift of infinitely thin airfoils. // Complex Variables, 2002, Vol. 47, № 2, pp. 93-107.

52. Nelder /. A., Mead R. A simplex method for function minimization // Computer Journal. 1965. № 7, pp. 308-313.

53. H. B. Squire, A. D. Young. The calculation of the profile drag of airfoils; ARC Rep. and Mem. 1838 (1938).