Прямые и обратные краевые задачи аэрогидродинамики с особенностями в потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Варсегова Евгения Владиславовна

003493325 Прямые и обратные краевые задачи аэрогидродинамики с особенностями в потоке

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2010

1 1 МАР 2910

003493325

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им.Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ и РТ Ильинский Николай Борисович;

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РТ Салимов Расих Бахтигареевич;

доктор физико-математических наук, профессор Якимов Николай Дмитриевич.

Ведущее предприятие - Самарский государственный аэрокосмический университет, г.Самара.

Защита состоится _25_ _марта__2010 г. в _14 час. ,30. мин.

в аудитории мех.2 на заседании диссертационного Совета Д212.081.11 Казанского государственного университета по адресу: 420008, Казань, Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан _ февраля 2010 г.

Ученый секретарь ху. /

диссертационного совета //)у/

к.ф-м.н., доцент ' А.А.Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Методы обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) наиболее эффективны для проектирования крыловых профилей обладающих желаемыми характеристиками, чем традиционные, заключающиеся в многократном решении прямых задач при подборе крылового профиля. В последнее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых ОКЗА: проектирование крыловых профилей с устройствами управления потоком, многокомпонентных Крыловы х профилей, проектирование профилей при наличии в потоке особенностей. Последние представляют особый интерес, так как закрылки и предкрылки, заменяемыми точечными вихрями, позволяют увеличить подъемную силу крылового профиля и улучшить другие аэродинамические характеристики.

В настоящей работе рассмотрены методы аэродинамического проектирования и оптимизации форм крыловых профилей с точечными особенностями в потоке. Основное внимание уделено «модельным» задачам. При их формулировке, как правило, используются простые модели, что позволяет находить аналитические решения. Исследованы задачи, когда в потоке находится особенность типа - вихреисточник (вихресток). Эти задачи можно трактовать как модельные, содержащие частные случаи физически возможных особенностей: сток, источник и вихрь.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования крыловых профилей с точечными особенностями в потоке; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам параметров профиля и особенности; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния особенностей на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Научная новизна. В диссертации решена задача обтекания непроницаемой пластинки при наличии в установившемся потенциальном потоке идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) особенностей типа источник, сток, вихрь, вихреисточник, вихресток. Исследована зависимость коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления пластинки от интенсивности и положения особенности. С использованием метода квазирешений ОКЗА решена задача построения крылового профиля по заданному распределению скорости вдоль искомого контура профиля при наличии в потоке особенности типа вихреисточника. Решение построено по

модифицированному распределению скорости, полученному по контуру пластинки с вихреисточником в потоке. Случаи источника (стока) и вихря получены как частные. Численно-аналитически построены профили. На числовых примерах показано, что наличие в потоке особенности влияет на форму и аэродинамические характеристики крыловых профилей. При определенном выборе интенсивности особенности удается увеличить коэффициент подъемной силы профиля, по сравнению с профилем без особенности в потоке. Дано обобщение на случай системы вихреисточников в потоке. Решена задача построения крылового профиля с предкрылком и закрылком, заменяемыми двумя точечными вихрями. В качестве начальных данных использовалось распределение скорости, полученное по контуру профиля 30Ю0Р. С целью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов проведен прямой расчет полученных профилей панельным методом. Сравнение результатов расчетов показало хорошую точность разработанного метода.

Решена задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании гладкого контура с особенностью в потоке. Показано, что оптимальным контуром является окружность, и максимальное значение коэффициента подъемной силы превосходит коэффициент подъемной силы контура без особенности в потоке.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых моделей и строгостью используемого математического аппарата. В частности, достоверность подтверждается совпадением полученных результатов с известными частными случаями. Оценка достоверности осуществлена прямым расчетом полученных профилей панельным методом.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы, полученные решения задач, алгоритмы численной реализации и построенные профили могут быть полезны для проектирования крыльев летательных аппаратов. Результаты диссертации могут войти в учебную программу спецкурса для студентов механико-математического факультета Казанского университета.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2005-2009 гг.; Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» за 2005,

2006, 2009 гг.; XVIII школе-семинаре ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (Жуковский, 2007); X Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» и международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова), Чебоксары, 2008; Девятой международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ; и еще одна принята к опубликованию. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Изложена на 100 страницах, содержит 34 рисунка, 14 таблиц. Список литературы содержит 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко проанализировано развитие методов проектирования крыловых профилей, основанных на теории ОКЗА. Особое внимание уделено задачам проектирования и оптимизации крыловых профилей с точечными особенностями в потоке.

Для улучшения аэродинамических характеристик, в частности увеличения подъемной силы, часто используется крыло с предкрылком или закрылком. Основы теории механизированных крыльев заложены трудами С.А. Чаплыгина и В.В. Голубева. Когда размеры предкрылка или закрылка малы по сравнению с размерами основного профиля, возможна замена его точечным вихрем. При этом интенсивность вихря принимают равной циркуляции скорости на предкрылке или закрылке.

Задача об обтекании круга с вихрем была решена А.И. Некрасовым. Так же он рассмотрел задачу обтекания бесконечно тонкого прямолинейного профиля при наличии в потоке вихря. Задача об обтекании круга с вихрем была более детально исследована М.Т. Нужиным. Им также была решена обратная задача о нахождении формы профиля по заданному на нем распределению скорости при наличии предкрылка или закрылка, заменяемых неподвижно связанным с профилем вихрем. Было построено аналитическое решение задачи и приведены условия разрешимости. С использованием метода квазирешений эта задача была решена Н.Б. Ильинским и A.B. Поташевым.

Развитие авиационной техники требует большего увеличения коэффициента подъемной силы. Прогресс в этом направлении связан с объединением систем, создающих тягу и подъемную силу. Для этого используется энергия силовой установки летательного аппарата. В качестве источника энергии могут служить сжатый воздух от компрессора, струя реактивного двигателя или струя воздушного винта. Одним из простейших способов математического моделирования струи являются точечные источники.

Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова. В работе Б.С. Баева и В.Н. Журавлева также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использования таких устройств.

Особый интерес вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА. В статье В.И. Зубова сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова. В статье Д.Ф. Абзалило-ва и Н.Б. Ильинского показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности.

В первой главе рассмотрена задача обтекания потоком ИНЖ тонкой пластинки с точечной особенностью в потоке.

В §1 изложены математическая постановка задачи и ее аналитическое решение. В качестве исходных данных задавались длина b = 2 пластинки, скорость утее'а набегающего потока, а также интенсивность fij = Q - /Г] и положение Zo = Xq + i)'Q особенности, в качестве которой был взят вихреисточник (рис.1а).

Требуется найти распределение скорости по контуру и аэродинамические характеристики пластинки АВ.

У* q (Z) ci (0

А 4 ..л,. {

-1 i с i i / / / / 4 i -А .. А- j м / J' i»' t

Рис.1

Решение строилось в зависимости от переменной во вспомогательной плоскости С, (рис. 16). Конформное отображение области 01 на С^

осуществлялось формулой

С = г + >/г2 — 1.

Получены соотношение для определения распределения скорости вдоль пластинки

, ) = _у 8Ш((У -Ус)/2)[2ак(у-уП1)- (Гт +1 /гм)]

00 со8(у/2)[2со8(у-уо)-(г0+1/г0)] и формулы для коэффициента силы сопротивления и подъемной силы

2RV

с

с„„ = ■

•уа

ха т. ' Уд 2 >

pv¿¿> рО

где /?та = i?!cosa-R2sina, Rya = fijsina+/?2cosa, a Ri и J?2 определяются из выражения

Со Со

+27rv00Q1e'a^Q + 2 KVoo(ílieia+ Im^n&l + |(Г\ -

2Ttvx¿añi t 2711^0,2cos(za) r2 г^е'^П^о н--=--н-=-C-n--=-

Со Со Со

*(Co2-i)|Co-¿

т-1

В §2 приведены примеры расчетов обтекания пластинки, показывающие влияние особенности в потоке на аэродинамические характеристики пластинки. Построен график распределения скорости по пластинке в зависимости от дуговой координаты .V для значения интенсивности = -0.05 - 0.05/ вихреи-сточника расположенного в точке го = 1-2-0.3/ (рис.2а). Показаны зависимости коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления от интенсивности вихреи-сточника (рис.2б,в). Были рассмотрены частные случаи источника (стока) и вихря. На основе полученных результатов сделаны выводы.

Рис.2а

£¿=1,1-0,1;; ------

Рис.2 б,( Г,= -1;.......... Г,= 1;

Во второй главе диссертации решена задача построения крылового профиля с точечной особенностью в потоке.

В §3 дана постановка и найдено решение задачи построения крылового профиля с вихреисточником в потоке (рис.3). В качестве исходных

У

со

си ДГ

__

~Щгт)---

Рис.3

данных задавались периметр профиля Ь, величина скорости набегающего потока , интенсивность и положение г\ вихреисточника (\. На искомом контуре задавалось распределение скорости от дуговой координаты .V профиля (рис.4). Исходное распределение скорости получено следующим образом: в найденном распределении скорости по пластинке бесконечные значения скорости в передней кромке ограничивались конечной величиной.

Требуется определить форму крылового профиля и его аэродинамические характеристики.

Задача решена с использованием методов ОКЗА1. Функция, осуществляющая конформное отображение внешности единичного круга С^ с границей

(рис. 16) на внешность искомого профиля 01 (рис.3), имеет вид

1(0 = Се С,,

1 ь

где действительная часть функции х(£) на ¿¡- известна

у(а(У))[г0 +1/г0 -2СО5(7-УО)]

, 25 2 1.5 1

0.5 О -0.5 -1

0.25

15

Рис.4

0.75

23-£sin[(Y-Tc)/2]sin2-£(Y/2)[rm+l/rm-2cos(7-Ym)]

2 sin[(Y-',c/, w»«'«! ""я ¡m

Для разрешимости ОКЗА должны выполняться условия замкнутости искомого контура Lz и условие совпадения заданного значения скорости V„ на бесконечности со значением, определяемым в процессе решения. В выражении через функцию S (y) эти условия имеют вид:

2% 2к 2ж

¡ 5(x)costúfx = я(1- е), f £(T)sin xdx = 0; \ S(x)dx = 0. о оо

Для их выполнения применялся метод квазирешений ОКЗА.

1 Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. - М.: Наука, 1994. 440 с.

В §4 приведены примеры проектирования профилей. Порядок расчетов был следующим. Вначале ради простоты понимания физики течения рассматривались частные случаи: источник, сток, вихрь, а затем вихреи-сточник и вихресток. Приведены примеры расчетов профилей, полученных при разных значения интенсивности и положения особенности, в том числе вихреисточника (вихрестока) (рис.5, табл. 1). Показаны зависимости коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления от интенсивности особенности.

Из полученных результатов сделан вывод, что наличие особенности в потоке даже незначительной интенсивности влияет на форму крылового про-филя и на его характеристики.

В третей главе диссертации метод проектирования крыловых профилей при наличии в потоке особенности обобщен на случай системы из п особенностей.

Таблица 1

0.2

-0.1 -0.2

:У —

1 . > 1 ■ * * : 1 < . I

1 -0.75 -0.5 -0.25 X

Рис.5

Кривая е г, С*,,-10"2 Суа

0,000 0,000 6,555 2,539

0,001 0,01 11,981 2,206

-0,001 0,01 5,835 2,256

---------- 0,001 -0,01 7,081 2,813

В §5 дана постановка задачи и построено аналитическое решение. В качестве исходных данных задавались периметр профиля, величина скорости набегающего потока, интенсивности и положения вихреисточников. На искомом контуре задавалось распределение скорости от дуговой координаты 5 профиля.

Требуется определить форму крылового профиля и его аэродинамические характеристики.

Задача решена с использованием методов ОКЗА. Для решения использовались условия разрешимости задачи: условия замкнутости искомого контура и условия совпадения заданной величины скорости со значением, определяемым в процессе решения.

В §6 приведены результаты расчетов. В качестве примера была выбрана задача построения крылового профиля с предкрылком и закрылком, которые моделируются двумя точечными вихрями. Исходное распределение скорости было взято из решения панельным методом прямой задачи обтекания крылового профиля ЗОРЗ(М с предкрылком и закрылком.

Были найдены распределения скоростей по основному профилю (рис.6а) и по предкрылку и закрылку. При решении обратной задачи предкрылок и закрылок заменялись точечными вихрями. Распределение скорости по основному профилю использовалось для нахождения его формы. Для замыкания контура основного профиля, который мог получиться разомкнутым, строилось квазирешение.

■ ■ 111_1_1_1_

-02 О 0.2 О А 0.6 0.8 1 '.2

Рис.6

Таблица 2

п г2 Сда Суд

0,007 0,0010 0,423 1,546

0,000 0,000 1,310' 0,959

В результате решения задачи был построен замкнутый контур крылового профиля и найдены его аэродинамические характеристики. На рис.б б представлены крыловые профиля: исходный (сплошная линия) и полученный путем решения обратной краевой задачи с двумя вихрями в потоке (штриховая линия).

Видно, что если заменить предкрылок и закрылок двумя точеными вихрями, то это приводит к утоньшению профиля.

Проведено сравнение характеристик с крыловым профилем без вихрей в потоке (табл. 2). Получено, что вихри, также как закрылки и предкрылки, позволяют увеличить коэффициент подъемной силы.

Для верификации полученных результатов было построено решение панельным методом прямой задачи при наличии в потоке двух точечных вихрей, подтвердившее достоверность решения обратной задачи.

Четвертая глава посвящена решению задач оптимизации.

В §7 в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости поставлена и решена задача максимизации подъемной силы окружности при наличии в потоке точечного вихря (рис.7).

Дана математическая формулировка соответствующей оптимизационной задачи. Численно показано, что максимум подъемной силы С, достигается при симметричном

обтекании и совпадении точек разветвления и схода потока. Задача нахождения максимума подъемной силы окружности при симметричном обтекании решена аналитически.

Получена формула для коэффициента подъемной силы

1. (0

У /

(\ , V'

X

ум

Рис.7

Суа= 4+-

(«0-D

из которой следует вывод о том, что при фиксированной величине интенсивности вихря Г] добиться увеличения коэффициента подъемной силы Суа можно за счет приближения вихря к окружности. При этом, если rQ —> 1, то Суа неограниченно возрастает. Это объясняется тем, что

при больших значениях циркуляции окружность и вихрь обтекаются как единое целое, а точка М стремиться к бесконечности (рис.8).

Сделан вывод о том, что при наличии вихря в потоке можно достичь больших коэффициентов подъемной силы, недостижимых при обтекании окружности без вихря.

В §8 поставлена и решена задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании гладкого контура с точечным вих-12

Рис.8

Рис.9

вихрем в потоке (рис.9). Заданы скорость v« набегающего потока, периметр L искомого контура. В точке О помещен вихрь заданной интенсивности r¡. Предполагается, что реализуется схема течения с тремя критическими точками, две из которых располагаются на контуре Lz (С - точка разветвления потока, В - точка схода потока), а третья (точка М) - в потоке. Также предполагается, что не реализуется схема течения, изображенная на рис.8 с чисто циркуляционным течением вокруг контура /„ и вихрем в точке О, так как для такой схемы возможно сколь угодно большое значение циркуляции.

Требуется определить такую форму контура L, и найти такое положение точки О расположения вихря, чтобы

коэффициент подъемной силы Суа - 2Т 1{у^Ь) был максимальным.

Задача решена с использованием методов вариационных ОКЗА. Вся сложность решения поставленной оптимизационной задачи состоит в наличии ограничения, связывающего управляющую функцию S (у) и параметры y¿ > Yo > r0 > Ym' rm • Для ее решения использовалась теорема. Теорема. Пусть функция fix,у) ((х,}') б £>) ограничена сверху. Тогда

sup / (х, у) = supfsup / (х, у)].

х,у X у

Доказательство. Пусть а = sup / (х, у). Тогда а > sup / (х, у), а это вле-

х,У У

чет а > supfsup/(х,у)]. Обратно, пусть е>0 произвольно. По опреде-

* У

лению sup существует точка [xQ,y0)eD такая, что /(х0,>'0) > a-e .

Тем более sup/(xQ,y) > a-e, а значит и supfsup /(х, y)]>a-£. Из

У * У

произвольности е: supfsup/(х, у)] > a. Теорема доказана. х у

Тогда задачу можно свести к двум более простым. Первая задача имеет аналитическое решение. Вторую задачу можно трактовать как задачу оптимизации расположения критических точек и вихря при обтекании окружности при фиксированной скорости набегающего потока «о и интенсивности вихря Ц.

Было проведено аналитическое исследование задачи в случае, когда точки С, В , О, М лежат на мнимой оси. Была получена формула для определения радиуса точки М :

гт = А+

у1А2 -4 ,

А = -

Г(г0+1) 1 -1---+-(г0+1/г0).

47Ш0(г0-1) 2 Графики зависимости коэффициента подъемной силы

Г (>0 + 1)

С\а(ио)

_ »0 vaoL

$к+2-

и0{г0-\)

построенные для Г] /(^ = 0,1; 0,4; 0,7 , изображены на рис.10. Эти функции являются монотонно возрастающими, поэтому Суа достигался при

м0 = \'ми2к. В результате решения оптимальным контуром оказалась окружность.

Линии тока обтекания окружности в случае обтекания с максимальным Суа приведены

на рис.11. На рис.12 изображена зависимость коэффициента Суа

в зависимости от безразмерной циркуляции вихря ^/(у^!).

Из анализа результатов были сделаны выводы. В §9 задача максимизации коэффициента подъемной силы гладкого контура обобщена на случай вихреисточника в потоке. Решение задачи проведено численными методами многомерной оптимизации.

Для определения положения особенности в потоке вначале исследовались частные случаи: контур с источником и стоком в потоке, а затем

Суа

6 =07// /

4

Г, =0-1

2

0.1

Рис.10

2-х

0.2

общий случай контура с вихреисточником (вихрестоком) в потоке. На основе полученных результатов проведен анализ и сделаны выводы.

/

0.2

0.6 г, /м

Рис.11

Рис.12

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Метод проектирования профиля крыла при наличии в потоке точечной особенности (вихреисточника, вихрестока, источника, стока, вихря).

2. Решение задачи обтекания пластинки с вихреисточником в потоке.

3. Обобщение решения задачи проектирования профиля крыла на случай системы вихреисточников в потоке.

4. Постановка и решение задачи максимизации подъемной силы путем выбора оптимальной формы контура и расположения вихреисточника.

5. Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы.

Следует отметить финансовую поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-08-01153), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009-13 годы» (гос. контракт Лг° П1124), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.

Список опубликованных работ по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК по специальности

1.Варсегова Е.В. Задача максимизации подъемной силы окружности с вихрем в потоке / Е.В. Варсегова // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Т. 10, вып.1.

В изданиях, рекомендованных ВАК

2.Варсегова Е.В. Влияние точечных особенностей на аэродинамические характеристики пластинки в потоке жидкости / Е.В. Варсегова, Н.Б. Ильинский // Известия вузов. Авиационная техника, - 2006. - №4. -С.26-29.

3.Варсегова Е.В. Построение крылового профиля при наличии в потоке особенности / Е.В. Варсегова, Н.Б. Ильинский // Известия вузов. Авиационная техника, - 2009. - №2. - С.3640.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисы докладов на научных конференциях

4.Варсегова, Е.В. Влияние точечных особенностей в потоке на аэродинамические характеристики обтекаемой пластинки / Е.В. Варсегова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. «Лобачевские чтения - 2005». Материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, - 2005. -Т.31. - С.31-32.

5. Варсегова Е.В. Задача построения профиля, обтекаемого потоком с особенностью / Е.В.Варсегова // Казанское математическое общество. «Лобачевские чтения - 2006» . Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, - 2006. - Т. 34. - С. 35-36.

6. Варсегова Е.В. Задача максимизации подъемной силы крылового профиля с точечными особенностями в потоке / Е.В. Варсегова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. «Лобачевские чтения - 2009».: Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, - 2009. - С. 150-151.

7.Варсегова Е.В. Задача построения крылового профиля с особенностью в потоке / Е.В.Варсегова // Материалы XVIII школы-семинара ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов». - Москва, - 2007. - С 37.

8.Варсегова Е.В. Задача проектирования крылового профиля с предкрылком и закрылком, заменяемыми точечными вихрями / Е.В. Варсегова, Н.Б. Ильинский // Модели и методы аэродинамики. Материалы девятой международной школы-семинара. - М.: МЦНМО, - 2009. - С. 31.

9.Варсегова Е.В. Обтекание пластинки при наличии в потоке особенностей / Е.В.Варсегова II Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2005 года: сборник статей. - Казань, изд-во КГУ, - 2005.

10. Варсегова Е.В. Определение формы контура крылового профиля при наличии в потоке точечных особенностей / Е.В.Варсегова // Сборник трудов X Международной научной школы гидродинамики больших скоростей и международной научной конференции гидродинамика. Механика. Энергетические установки (к 145-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова). - Чебоксары: ЧПИ МГОУ, - 2008. - С. 169170.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л.1,0. Усл.печл.0,93. Уч.-изд.л.1,0. Тираж 100

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Расчет аэродинамических характеристик обтекаемой пластинки с точечной особенностью в потоке (вихреисточник, источник, сток, вихрь)

§ 1. Постановка задачи и метод решения, формулы определения аэродинамических характеристик.

§ 2. Расчеты, анализ, выводы.

II. Построение крылового профиля с точечной особенностью в потоке

§ 3. Постановка задачи, аналитическое решение, квазирешение, формулы определения аэродинамических характеристик.

§ 4. Результаты числовых расчетов и их анализ.

III. Построение крылового профиля с несколькими особенностями в потоке

§ 5. Постановка и решение обратной задачи аэрогидродинамики с вихреисточниками в потоке.

§ 6. Результаты и анализ числовых расчетов.

IV. Оптимизация аэродинамических характеристик крыловых профилей с точечной особенностью в потоке

§ 7. Задача максимизации подъемной силы окружности с вихрем в потоке.

§8. Максимизация подъемной силы гладкого профиля с вихрем в потоке.

§9. Оптимизация формы профиля с целью увеличения подъемной силы путем оптимального выбора расположения вихреисточника.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей, обтекаемых потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) при наличии в потоке точечных особенностей (вихреисточников, источников (стоков), вихрей). При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

В настоящее время, несмотря на наличие программных средств, которые позволяют делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель ИНЖ, дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух и воду. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости ср(х,у) и функция тока \|/(х, у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, и можно ввести в рассмотрение в физической плоскости г-х + 1у аналитическую функцию комплексного потенциала потока = + (см., например, [28]). В свое время это дало мощный толчок дальнейшим теоретическим исследованиям в гидродинамике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.

Современные методы аэродинамического проектирования и модификации крыловых профилей можно разделить на два типа: прямые и обратные. Суть прямого метода состоит в последовательном многократном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения свойств, близких к требуемым. Однако эти методы часто трудоемки и позволяют находить характеристики уже готового объекта. Многие трудности, связанные с применением прямых методов, удается преодолеть, применяя обратные методы проектирования, которые базируются на теории обратных краевых задач и представляют собой процесс непосредственного восстановления формы профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости или давления на профиле).

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [18], [32], [34], [35], [39], [48], [51]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению, а на границе области - заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области определяется по дополнительному краевому условию на границе.

В классической постановке ОКЗА неизвестная форма крылового профиля определяется по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s (см., например, монографию А.М. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева [18]), декартовой координаты х (см., например, работы Р.Б. Салимова [32, 33]), параметра у в канонической области (см., например, работу M.J. Lighthill'а [48]) и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗ для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает около 80 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a [54, 55], С. Schmiden'a [52], А. Betz'a [44],

W. Mangier'a [51], JI.A, Симонова [34, 35], Г.Г. Тумашева [41], M.J. Lighthill'a [48, 49]. Существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует только при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A. Betz'a [44] и подробно выведены в статьях W. Mangier'а [51], M.J. Lightill'a [49, 50] и Г.Г. Тумашева [40].

Один из простых способов удовлетворения условий разрешимости заключается во введении в исходное распределение свободных параметров, которые подбираются так, чтобы добиться замкнутой формы контура профиля. Так, например, J.L. Van Ingen [53] в основной ОКЗА задавал распределение скорости с тремя свободными параметрами. Аналогичный подход применили M.J. Lightiii [50], R. Eppler [46, 47] и Г.Ю. Степанов [36].

Другой эффективный подход к разрешению этой проблемы состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [51] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции $(у) = In v(/), у е [0,2л-], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [43], допускавший изменения исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обеих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [21] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [19] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешений был применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Пота-шева [18] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [38], L.C. Woods'a [56, 57], Г.Ю. Степанова [37]. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [36], J1.JI. Лебедева [27] и J.L. Van Ingen'a [53]). Наиболее полный учет вязкости и сжимаемости дает применение уравнений Навье - Стокса (см., например, [45]). Построение профиля с желаемым распределением давления осуществлено в указанной работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.

В настоящее время интерес к ОКЗА сохраняется. Новые результаты теории ОКЗ, запросы практики и увеличение мощности ЭВМ стимулируют развитие работ по ОКЗА и расширение класса решаемых задач: проектирование многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, задач модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик, проектирование профилей вблизи экрана, профилей с устройствами активного управления потоком, профилей при наличии в потоке особенностей. Последние задачи представляют особый интерес.

Для улучшения аэродинамических характеристик, в частности, увеличения подъемной силы крыла самолета важно обеспечить безотрывное обтекание. Предельно достижимые значения коэффициента подъемной силы Су ограничены значениями подъемной силы при потенциальном обтекании. Среди различных приспособлений, применяемых для улучшения аэродинамических характеристик крыла, часто используется крыло с предкрылком или закрылком. Основы теории механизированных крыльев заложены трудами С.А. Чаплыгина и В.В. Голубева (см., напр., [42]). С.А. Чаплыгин проводил исследование в предположении плавного обтекания без образования срыва струй в условиях плоско - параллельного течения.

С иной точки зрения изучалась теория разрезного крыла в работе В.В. Голубева [16], где автор ставил себе задачей изучить влияние предкрылка (закрылка) на образование отрыва струй от поверхности крыла, причем предкрылок (закрылок) заменялся одним присоединенным вихрем и, следовательно, не учитывалось влияние его размера. В случае, когда размеры предкрылка или закрылка малы по сравнению с размерами основного профиля, такая замена возможна. При этом интенсивность вихря принимают равной циркуляции скорости на предкрылке или закрылке.

Задача об обтекании круга с вихрем была решена А.И. Некрасовым [30]. Так же он рассмотрел задачу обтекания бесконечно тонкого прямолинейного профиля под некоторым углом атаки и задачу обтекания бесконечно тонкого профиля, расположенного параллельно набегающему потоку при наличии в потоке вихря. В процессе решения он построил комплексный потенциал течения, нашел выражение скорости на профиле и определил силы давления, оказываемого потоком на прямолинейный профиль.

Задача об обтекании круга с вихрем была более детально исследована М.Т. Нужиным [39]. Им также была решена обратная задача о нахождении формы профиля по заданному на нем распределению скорости при наличии предкрылка или закрылка, заменяемых неподвижно связанным с профилем вихрем [39]. Было построено аналитическое решение задачи и приведены условия разрешимости. С использованием метода квазирешений задача построения профиля с закрылком, замененным одиночным неподвижно закрепленным вихрем, решена Н.Б. Ильинским и A.B. Поташе-вым [23].

Однако развитие авиационной техники требует значительно большего увеличения коэффициента Су. Прогресс в этом направлении связан с объединением систем, создающих тягу и подъемную силу. Для этого используется энергия силовой установки самолета (см., напр.,[4]). Такие установки называют энергетическими. В качестве источника энергии могут служить сжатый воздух от компрессора, струя реактивного двигателя или струя воздушного винта.

Принцип действия энергетических систем состоит не только в создании реактивных сил, но и в создании дополнительной циркуляции потока (суперциркуляции). Реактивная струя или струя воздушного винта образует своего рода жидкий закрылок, который дополнительно тормозит поток на нижней поверхности и увеличивает давление на нее. Под воздействием внешнего потока и турбулентного перемешивания траектория струи искривляется, постепенно приближаясь к направлению невозмущенного потока. В процессе искривления траектории струи давление по обе стороны от нее неодинаковы. Из-за разности давлений в поперечном сечении струи основной поток отклоняется от своего невозмущенного направления, а давление на верхней и нижней поверхностях профиля вблизи задней кромки не совпадают: на верхней поверхности давление меньше, чем на нижней. Дополнительная разность давлений на профиле, возникающая под влиянием выдуваемой струи, приводит к увеличению его подъемной силы. Приращение подъемной силы в этих условиях называют эффектом суперциркуляции.

Аналитическое исследование воздействия реактивной струи на аэродинамические характеристики обдуваемого профиля затруднительно. Одним из простейших способов математического моделирования струи являются точечные источники. Рассмотрев модельные задачи, можно получить расчетные формулы в явном виде.

Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова [31]. Б.С. Баевым и В.Н. Журавлевым [5] также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использование таких устройств.

Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимальным. Постановки таких задач восходят по-существу к работе М.А. Лаврентьева [25], который показал, что среди дуг известной длины и заданного максимума кривизны дужка окружности является наилучшей с смысле величины подъемной силы при ее безотрывном обтекании плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью. Улучшение константы (ограничения на кривизну) в этой задаче дано в работе С.Р. Насырова [29].

В статье В.И. Зубова [22] сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений (см., например, [26]) следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова [20]. В статье Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [2] показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. Отмечено, что наличие стока позволяет увеличить максимальную циркуляцию до значений, не достижимых на непроницаемом контуре. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова [24] решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности.

Настоящая диссертация посвящена построению крыловых профилей по заданному распределению скорости при наличии в потоке вихреисточ-ников, которые моделируют дополнительное воздействие на профиль. Случаи вихреисточника и вихрестока можно трактовать как модельные задачи, содержащие частные случаи физически возможных особенностей: сток, источник и вихрь.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с точечными особенностями в потоке; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам форм крыловых профилей и особенности; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния особенностей на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Диссертация состоит из введения четырех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В диссертации развиты численно-аналитические методы аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей в неограниченном потенциальном потоке ИНЖ с точечными особенностями в потоке.

Исследована задача обтекания непроницаемой пластинки при наличии в установившемся потоке ИНЖ особенностей типа источник, сток, вихрь, вихреисточник, вихресток. Получено аналитическое решение, приведены формулы аэродинамических характеристик, выполнены числовые расчеты. Показана зависимость коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления пластинки от интенсивности и положения особенности.

С использованием метода квазирешений ОКЗА решена задача^ построения крылового профиля по заданному распределению скорости вдоль искомого контура профиля при наличии в потоке особенности типа вих-реисточника. Решение построено по модифицированному распределению скорости, построенному при обтекании пластинки с вихреисточником в потоке. Случаи источника (стока) и вихря получены как частные. Численно-аналитически построены профили. На числовых примерах показано, что наличие в потоке особенности влияет на форму и аэродинамические характеристики крыловых профилей. При определенном выборе интенсивности особенности, удается увеличить коэффициент подъемной силы профиля по сравнению с профилем без особенности в потоке.

Выше изложенная задача была обобщена на случай системы вих-реисточников в потоке. Решена задача построения крылового профиля с предкралком и закрылком, заменяемыми двумя точечными- вихрями. В качестве начальных данных использовалось распределение скорости, полученное по контуру профиля ЗОЮОР. С целью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов был проведен прямой расчет полученных профилей панельным методом. Проведенное сравнение результатов расчетов показало хорошую точность разработанного метода.

Исследована задача максимизации подъемной силы окружности при наличии в потоке точечного вихря. Дана математическая формулировка соответствующей оптимизационной задачи. Численно показано, что максимум подъемной силы достигается при симметричном обтекании и совпадении точек разветвления и схода потока. Задача нахождения максимума подъемной силы окружности при симметричном обтекании решена аналитически. Получена формула для коэффициента подъемной силы, из которой сделан вывод о том, что при фиксированной величине интенсивности вихря добиться увеличения коэффициента подъемной силы можно за счет приближения вихря к окружности.

Решена задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании гладкого контура с точечным вихрем в потоке. Полученную задачу оптимизации удалось свести к двум более простым. Первая задача имеет аналитическое решение. Вторая задача есть задача оптимизации положения вихря в потоке. В результате решения оптимальным контуром оказалась окружность.

Выше изложенная задача максимизации коэффициента подъемной силы гладкого контура обобщена на случай вихреисточника в потоке. Решение задачи проведено численными методами многомерной оптимизации. На основе полученных результатов проведен анализ и сделаны выводы.

Все решенные задачи снабжены примерами расчетов, а результаты проиллюстрированы в виде графиков, рисунков и таблиц.