Стабилизация билинейных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

РГВ од

ШЕПИТЬКО Аптон Сергеевич 2 3 ОКТ 2003

УДК 517.925.54

СТАБИЛИЗАЦИЯ БИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре "Нелинейные динамические системы и процессы управления" факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель

доктор технических наук академик РАН профессор С.К.Коровин

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор А.П.Крищенко

доктор физико-математических наук профессор В.В. Дикусар

Ведущая организация Институт проблем управления РАН

Защита состоится

2000 г. в /4*

часов

нут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. С'п

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета

ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "/V !000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доцент

В.М.Говоров

В <61, бЛЯ-^ОЗ

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Билинейные динамические системы -важный подкласс нелинейных управляемых систем, он хорошо описывает глобальное поведение многих реальных процессов от технических до социально-экономических. Поэтому методам анализа и управления такими системами уделялось значительное внимание. Одна из существенных особенностей проблемы управления билинейными системами состоит в вырождении векторного поля перед управлением, характер возмущения в значительной степени предопределяет специфику соответствующих, в частности, стабилизирующих законов управления. Поэтому какого-либо общего закона обратной связи, решающего задачу стабилизации при всех видах вырождения, естественно, пе существует. В этом - главное отличие этой проблемы от стабилизации линейных систем. Качественному анализу и методам синтеза стабилизирующей обратной связи для билинейных систем посвящены работы R. Möhler (1973 - 1991), A. I.sidori (1974, 1979), A. Ruberti (1974), О. Grasselli (1977, 1979), I. Quinu (1980), Е. Ryan (1983), S. Singh (1982), Min-Shin Chen (1998) и С. Емельянова и С. Коровина (1988) и других авторов.

Если вопросы управляемости и наблюдаемости для билинейных систем общего положепия изучены полностью и получены проверяемые необходимые и достаточные условия, то методы асимптотической, и, в особенности, экспоненциальной робастной стабилизации билинейных систем развиты недостаточно ввиду указанной выше специфики. Именно, известные методы обеспечивают асимптотическую стабилизируемость билинейных систем при сильных ограничениях: устойчивости разомкнутой системы и отсутствие значительных внешних возмущений. Поэтому главной задачей настоящей диссертационной работы является разработка робастных методов экспоненциальной стабилизации билинейных систем. Основная идея развиваемого подхода заимствована из теории систем переменной структуры и предполагает наложение на фазовые переменные системы связи, выбранной из соображения устойчивости движения системы при выполнении связи. Как и в теории систем переменной структуры, связь поддерживается в скользящем режиме с помощью разрывных управляющих воздействий, зависящих от фазового

вектора или преобразованного динамическим компенсатором выхода системы. Специфика вырождения векторных полей перед управлением определяет особенность стабилизации билинейных систем с помощью разрывных управлений. Значительное внимание в работе уделено исследованию робастности замкнутых систем и зависимости их свойств от вариации параметров объекта и характеристик внешних сил.

Цель работы. Разработка алгоритмов стабилизации билинейных динамических систем в целом обратной связью по состоянию и по выходу. Исследование робастности замкнутых билинейных систем, анализ их динамических и статических свойств.

Методы исследования. В работе используются методы теории управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости.

Научная новизна работы. В диссертации предложены новые методы робастной экспоненциальной стабилизации билинейных систем общего положения с помощью кусочно-постоянной обратной связи и наложения искусственных связей па фазовые переменные системы.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенные в работе методы синтеза управлений и наблюдателей имеют теоретическую и практическую значимость и могут быть использованы для решения задач робастного управления билинейными динамическими объектами, используемыми для описания глобального поведения широкого круга реальных динамических процессов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Всероссийском семинаре "Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина.

Публикации. Содержание работы изложено в работах [1 - 4]

Объем и структура работы. Диссертация содержит 84 страницы текста, состоит из введения, трех глав, библиографии, списка литературы.

Содержание работы.

В диссертации рассматривается следующая основная постановка задачи стабилизации билинейной динамической системы. Для систе-

мы

х — Ах + I 2_. 1l^Bi

У = СХ,

(1)

где х(Ь) £ Е" - фазовый вектор, Л. Вг £ Нп х п - вещественные матрицы, ст £ й" - постоянный вектор-строка, у £ И - выход, t £ [0,+оо), требуется построить управления при которых

нулевое решение системы (1) было бы асимптотически (экспоненциально) устойчивым.

Значительная часть работы посвящена пленарному случаю, когда п = 2, а управление скалярное (к = 1), т.е

х = Ах + иВх У = сх,

(2)

где £ X 2 - фазовый вектор, А, В 6 В.2*2 - вещественные матрицы, ст £ й2 - постоянный вектор-строка, ¡/ £ й - выход, I £ [0, +оо), и - скалярное управление. Даются обобщения для произвольных п, к > 1 и при наличии неопределенности в параметрах системы и внешних силах.

Для синтеза управления может быть использована информация о: -параметрах системы (1) А, -В,-, либо об их поминальных значениях Ао, В{0, в последнем случае, отклонения ДЛ — .4 — А0, АВ{ = — Вга характеризуют параметрическую неопределенность; -состоянии х, либо о скалярном выходе системы у. Глава 1 является вспомогательной и в ней рассмотрена задача существования постоянных управлений, обеспечивающих экспоненциальную устойчивость в т.ч. с заданной степенью устойчивости. Основной результат Главы 1 определяет Теорема 1. Двумерная билинейная система

х = Ах + иВх,

где. А, В £ к 2x2 - постоянные матрицы, и £ К скалярное управление, 1£К2 - фазовый вектор, стабилизируема, в классе постоянных управлений тогда и только тогда, когда выполнена одна из альтернатив:

1°. -ЬтА > 0, с!е1 А > 0;

2°. с1е1.В > 0 и выполнено хотя бы одно из условий

1*В ф 0, 1гА < 0;

3°. ае!В < О, Л! > 0 и

Иг < 0 при ЬтВ > О, /х2 > 0 при ЬтВ < О,

где ¡11, Ц2 - нули уравнения 72 + = 0, причем < (12;

4°. ¿егВ < 0, 1тВ = 0, - НА > 0 и Д2 > 0; 5°. detB = 0, 1гВ ф 0 и выполнено хотя бы одно из условий

[^АиВ - 1т(АВ)]здп(-иВ) > О 72 ("О > О

6°. ¿еЬВ — О, ЬтВ — Ой- ЫА > О, Ъ(АВ) ф О, где

72(и) = и2 с^ В + и( trAtr.fi - И(АВ)) + А , Д1 = [2 det Вщ + цАиВ - ЦАВ)]2 - 4 (кг 672(1x1) , Д2 = И2{АВ) -4Ле^АВ) , где иг =

Рассмотрен случай двумерных систем (2) с вырожденной матрицей билинейности - В (т.е. при условии = 1). В этом случае условия Теоремы 1 удается существенно упростить, т.к. вырожденная билинейная система (2) может быть записана в виде линейной управляемой системы

х — Ах + иЬу

(3)

у — сх

Если тройка (А, Ь, с) находится в общем положении, и система (3) имеет первый относительный порядок, то в работе показано, что линейной заменой координат и управления анализ стабилизируемое™ системы (3) сводится к исследованию системы

( х = —¿х + у, ,

I ТУ, (3*)

^ у — ах + иу, а ф 0

Для нее верна следующая

Теорема 2. Вырожденная билинейная система (3*), стабилизируема постоянным управлением и = const тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий

1. d > О

2. d <0, но

Г а < О

\ а +■ d2 < О

В последнем случае интервал стабилизирующих констант да-етп.ся неравенствами

1 1 d - < - < —

d и а

Для систем (3) со вторым относительным порядком, доказапа Теорема 3. Пусть для системы (3) выполнены условия:

- Тройка (А, Ъ, с) находится в общем положении,

- cb = 0, сАЪ ф О

Тогда эта сист,ем,а ст,а,билизирует,ся постоянным управлением и — const тогда и т,олько тогда, когда

trA < О

Для билинейпой системы (1) па плоскости в случае векторного (к = 2) управления, т.е. для системы

х = Ах + иуВ\Х + U2 В%х (-1)

доказаны следующие утверждения:

Лемма 1. Система (4) стабилизируема в классе постоянных управлений тогда и только тогда, когда совместна следуюущя система неравенств

Г - < 1,и > - trA > 0 . ,

< (5)

I < Qu, и > + < /i, и > + det А > О,

где <,> - скалярное произведение и:

Q =

det Вг Ktrß^rßz -trB^Bi)

KtrBj trB2 - irBiB2)'

det Во

h =

tr^trßi - tvABy, trA trB2 - trAB2

, l

tr Bx t iB2

и =

и 1

Лемма 2. Если для системы (4) выполнено одно из предположений: det-Bi > 0 или det $2 > О, а кроме того |trjBj| + |tr.Z?2| Ф О, то найдется пара констант (щ,и2), стабилизирующая систему в нуле

Лемма 3. Если для системы (4) выполнены следующие предположения

1. detßj < О, det В2 < О,

2. [tri?! trB2 - tr(ß!ß2)]2 > 4 det (Б] B2),

3. | trßj | + | trB21 ф О,

то найдется пара констант (ux,u2) экспоненциально стабилизирующая систему в нуле.

Замечание. Если detQ ф О, то существует замена и = Ни + и, (матрица И - ортогональная) такая, что второе неравенство (5) преобразуется к виду

Aiüi + A2Ü2 + а0 > О,

где символами А[ и А2 обозначены собственные значения матрицы Q и имеет место

Лемма 4. Если detQ > 0 и для системы (4) выполнено одно из следующих предположений:

1. < /, H~xv > -trA > 0, а0 > 0, | trßj + | trB21 ф О

2. Система уравнений

( - < I, и > - tiA — Ü \ < Qu, и > + < h, и > + det А = О,

имеет 2 решения,

то найдется пара констант (ui, u2), стабилизирующая систему е нуле

Рассмотрены п-мерные систем (1) с вырожденной матрицей билинейности В и скалярным управлением, т.е. системы вида

х = Ах + иВх (6)

где А, В £ К пхп - матрицы с постоянными коэффициентами, 161", и - управление, т$В — 1.

Так как В = Ьс, где Ь и с - некоторые п-мерные столбец и строка соответственно, то система (1) может быть записана в виде

х = Ах + Ьь

(7)

У = сх,

где V = иу - новое управление. В частности доказана

Теорема 4. Пусть для системы (7) выполнены предположения:

- тройка (А,?;,с) находится в общем положении,

-сЬф О

- пулевая динамика системы (7) - устойчива (т.е. числитель передаточной функции 'ш(а') — — А)~[Ь = - гурвицев).

Тогда существует такое число К, что для любого к > К управление и = —квдп^сЬ) экспоненциально стабилизирует систему (6).

В работе указан явный вид коэффициента. К.

В Главе 2 изучается вопрос о стабилизации двумерпой скалярной системы (2) в классе кусочно-постоянных обратных связей по состоянню.

Пусть В = Ьс, тогда система прсдставима в виде (7). Пусть она имеет второй относительный порядок, т.е. сЬ — 0, сАЬ ф 0 (не ограничивая общности считаем, что сАЬ = 1). Тогда система (2) неособым преобразованием координат приводится к каноническому виду

.¿1 = х2

х\ = -а,.Х) - а2х2 + иу (8)

У ~ Х1 ■

Для стабилизации системы (8) в нуле используются методы теории систем переменной структуры (СПС), а именно: выбираем линию скольжения а = <1х\ + хо = 0. <1 > 0, обратную связь - релейной

и = —К.чдп(уа). (9)

Имеет место

Теорема 5. Пусть для билинейной системы (2) имеет место факторизация В — Ьс; тройка (А, Ь, с) находится в общем положении; сЬ — 0, сАЪ ф 0. Тогда при достаточно большом К > К* > О обратная связь (9) экспоненциально стабилизирует систему (2) о нуле.

В работе указап явный вид коэффициента К*. Предложенный алгоритм стабилизации является робастным, т.е. устойчив к конечным возмущениям параметров и правой части. Рассмотрены возмущенные системы вида

ск = Ах + иВх + Г (2*)

с неизвестной функцией Р(1,х), для которой выполнено стандартное для теории управления условие согласованности (так называемое МС-условие): х) = 6/(<, х), f(t, х) £1, причем /(*, х) - функция не выше линейного роста по х, т.е.

/(г,х) = —(г, - а2(г,х)х2, |йК*>х)1 < <А. (ю)

Тогда справедливо

Следствие 1. Пусть для возмущенной системы (2*) выполнены предположения Теоремы 1, МС-условие и ограничение (10). Тогда обратная связь (9) стабилизирует систему (2*) в нуле при достаточно большом К.

Рассмотрен случай системы (2) с первым относительным порядком, т.е. сЬ ф 0 (не ограничивая общности считаем, что сЬ = 1). В этом случае неособым преобразованием система (2) приводится к виду:

XI = х2

х2 = -а^! - а2х2 + иу (11)

у = сЛх1 +х2 .

Вновь берется линия а = с.2х\ + х2 = 0, с2 > 0, с2 ф С), на, которой организуется скользящий режим. Стабилизирующая обратная связь решающая эту проблему выбирается в виде (9). Тогда имеют место следующие утверждения:

Теорема 6. Пусть для системы (2) имеет место факторизация В = be; тройка {А, Ь, с} находится в общем положении; cb ф О, с\ > 0 (пулевая динамика системы устойчива). Тогда при достаточно большом К > 0 и некотором с2 > О обратная связь (9) стабилизирует систему (2) в нуле.

Следствие 2. Пусть для возмущенной системы (2*) выполнены условия Теоремы 2, а возмущение F(t,x) удовлетворяет МС-условию и ограничению (10). Пусть также

|с2 — С\(t, х) + йх(f, х)\ > ту > О

при всех (t,x), где a,i(t,x) = щ + a,i(t,x). Тогда обратная связь (9) экспоненциально стабилизирует систему (2*) в нуле при достаточно большом К > О и достаточно малом е (где е — с2 — С\).

Теорема 7. Пусть для системы (2) имеет место факторизация В = Ьс; тройка {А, Ь,с} находится в общем положении; cb ф О, нулевая динамика системы неустойчива. Тогда при дост,аточно большом К > 0 и любом с2 > 0 управление (9) стабилизирует систему (2) в нуле экспоненциально, если выполнено условие

c2 + cia2+a, >0. (12)

Следствие 3. Пусть для системы (2*) выполнены условия Теоремы 7, а возмущение F(t,x) удовлетворяет МС-условию и условию (10). Пусть также с\ +a2(i,x)r;i + cn(t,x) > Т] > 0 при всех (t,x). Тогда обратная связь (9) стабилизирует систему (2*) в пуле при достаточно большом К > 0 v, любом л2 > 0.

Для невырожденной системы (2) доказано следующее достаточное условие экспоненциальной стабилизируемости посредством управлений вида

и = —Ksgn (о(х)р(х)) + и* , и* = const, (13)

где а(х) — 1х и р(х) = hx (вектор-строки l,h £ Rlx2 не коллинеар-пы). Тогда верно следующее утверждение

Теорема 8. Пусть для системы (2) существуют, и^ = const и U2 = const такие, что матрица (А + и\В) имеет действительные. собственные значения разных знаков (седловая), а матрица,

(А + U2.B) имеет комплексно-сопряженные собственные значения (фокус). Тогда найдутся К, и*, вектора I и h такие, что управление (13) стабилизирует систему (2) в нуле асимптотически.

Кроме того, в работе предложен алгоритм синтеза стабилизирующего управления (13), т.е. алгоритм выбора параметров К, и*,1 и h.

В работе получены необходимые и достаточные условия существования U2 из условия Теоремы 8. Обозначим для произвольных 2x2 матриц А и В:

Da = (trA)2 — 4 det А, ТАВ = 2tr(АВ) - trAtrB. Имеет место

Лемма 5. Для пары матриц А,В £ R2x2 тогда и только тогда существует и = const такое, что матрица (А + иВ) имеет комплексно-сопряженные собственные значения, когда выполнено одно из условий:

1) DB < 0;

2) DB = 0 , ТАв ф 0;

3) DB = 0 , ТАВ = 0 , DA < 0;

4) DB > 0 , Т\в - DaDb > 0.

Замечание. Если матрица В седловая, то для стабилизации системы (2) достаточно выполненения условия Леммы 5.

В диссертации предложен подход к синтезу алгоритмов экспоненциальной стабилизации системы (2), основанный на использовании так называемых вращающих функций Ляпунова. Рассмотрим общую задачу стабилизации билинейной системы (2) на плоскости в классе разрывных управлений. Не ограничивая общности считаем, что матрица А имеет действительные собственные значения Аи/i, причем /1 < 0, ¡1 < А. Стабилизирующее управление берем в виде разрывной обратной связи

и(х) = u0sgn(p(x)o(x)), (14)

где прямые разрыва управления определяются соотношениями о(х) — hx = 0, р — hBx = 0. Здесь h - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению А, т.е. НА = Ah.

В этом случае невырожденпое преобразование приводит систему к виду

( а = Л<7 — щ\р\здп(т,

\ р = асг + рр — и о ядп (ар) [р 1тВ — а с1е1 В]

С помощью функций

/_(0) = ^2[uo+a + г/odetБ-Л + /^-гíotrB]+0[Л-/^+1iotrB-2?^o]-f и0 и

-и0+а—и0 ¿е1 В+Х—р—щ гг2?]+0[А —р.—щ ЬтВ — 2ио}—и0 ,

Вводится отображение

г /-т.»ею, 11, п1 I /+(«), в €[-1,0]. 1 '

Имеет место следующий признак стабилизации:

Теорема 9.Пусть в системе (2) матрица А имеет, действительные собственные значения р < 0 и А > р. Пусть, кроме того, /г - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий А; пара {Н,В} наблюдаема. Пусть управление (14) таково, что отображение /(в) удовлетворяет следующим условиям:

1) отображение (15) имеет не более одного нуля на множестве

И,1]\о,-

2) М 0)<0;

3) МО) > 0.

Тогда в системе (2) при управлении (Ц) для всех т.очек плоскости, за исключением, быть может, одной асимптоты, за конечное время возникает скользящий ре.жим на прямой а = 0 с экспоненциально устойчивым уравнением скольжения х = рх.

Основные результаты работы:

1. Установлены необходимые и достаточные условия экспоненциальной стабилизируемое™ двумерных билинейных систем в классе постоянных скалярных управлений.

2. Указаны достаточные условия стабилизации вырожденных билинейных систем на плоскости в классе кусочно-постоянных управлений. Доказана робастпость предложенных алгоритмов по отношению к возмущениям линейного роста.

3. Предложен подход к экспоненциальной робастной стабилизации двумерных билинейных систем, основанный на разрывных управлениях, обеспечивающий скользящий режим на уравнении связи.

4. Построены наблюдатели состояний для некоторых классов билинейных динамических систем, они использованы для синтеза алгоритмов стабилизации билинейных систем по выходу.

Список публикаций по теме диссертации

1. Емельянов C.B., Коровин С.К., Шепитько A.C. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных и релейных управлений. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 8, с. 1021-1028

2. Фомичев В.В., Шепитько A.C. Метод вращающих функций Ляпунова в задаче стабилизации двумерных билинейных систем. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 8, с. 1136-1138

3. Коровин С.К., Фомичев В.В., Шепитько A.C. Позиционная стабилизация двумерных билинейных систем с вырожденной матрицей билинейности. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 9, с. 1285-1288

4. Шепитько A.C. Стабилизация одного класса билинейных систем на плоскости. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 8, с. 1147

Введение

Глава 1. Стабилизация билинейных систем в классе постоянных управлений.

§1.1. Постановка задачи. Критерий Найквиста в задачах стабилизации.

§ 1.2. Стабилизация двумерных билинейных систем.

§ 1.3. Стабилизация двумерных билинейных систем при векторном управлении.

§ 1.4. Стабилизация п-мерных билинейных систем методом глубокой обратной связи.

§ 1.5. Примеры.

Глава 2. Стабилизация билинейных систем в классе кусочно-постоянных управлений.

§ 2.1. Робастная стабилизация вырожденных систем со вторым относительным порядком.

§ 2.2. Робастная стабилизация вырожденных систем с первым относительным порядком.

§ 2.3. Достаточные условия релейной стабилизации билинейных систем.

§ 2.4. Метод вращающих функций Ляпунова.

§ 2.5. Примеры.

Глава 3. Наблюдатели билинейных систем.

§ 3.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

§ 3.2. Условия наблюдаемости.

§ 3.3. Наблюдатели состояния для вырожденных билинейных систем.

Билинейные динамические управляемые системы выделились в самостоятельный подкласс нелинейных динамических систем в 1973 году после выхода в свет монографии К.И.МоЫег [45]. В этой работе впервые достаточно убедительно и на многочисленных примерах было показано, что билинейные системы вида т х = Ах + ^ и№1х + + / (О-1) 1 где А, В1 € К 71X71 - вещественные матрицы, х Е М п - фазовый вектор, Ьг Е 1" - постоянные вектор-столбцы, щ - скалярные управления, / - некоторая функция, с достаточно высокой точностью описывают детальное поведение широкого класса реальных процессов: от технических или физических до социально-экономических. Аналогичной точности описания поведения в целом от линейных моделей добиться, конечно, невозможно, поэтому изучение уравнений типа (0.1) привлекло значительное внимание специалистов по теории систем и управлению. Быстро выяснилось, что, во-первых, билинейные управления довольно естественно возникают локально при линеаризации гладких нелинейных динамических систем по фазовой переменой [55], в задачах параметрического [25], [36], [37], в том числе адаптивного, управления [20], [56], а также в задачах идентификации и многоуровневого управления.

Теоретическим обоснованием "хороших" аппроксимативных возможностей билинейных систем явилась теорема М-РЫвв, согласно которой поведение достаточно общего вида нелинейных динамических систем может сколь угодно точно аппроксимироваться билинейными динамическими системами, вообще говоря, более высокого порядка. С выхода этой работы началось серьезное исследование билинейных систем.

В работах Ыс1оп А., (ГАЬвзапсЬю 11иЬег1л А., СгавзеШо и №со1о [25], [36], [37] рассматривались вопросы об областях достижимости и наблюдаемости билинейных систем общего положения, т.е. вида (0.1) при Ьг ф 0 и / ф 0, в работах [11], [16], [43] основное внимание было уделено вопросам управляемости. Исследовались возможности стабилизации таких систем программным управлением. Позже в работах [8], [9] [47], [49] - [51], [27], [31], [40] при различных предположениях рассматривалась асимптотическая или экспоненциальная стабилизация с помощью обратной связи по состоянию или линейному выходу [14] у = сх. (0.2)

Значительное внимание было уделено квадратичным законам стабилизации [46] и = —хтСдх, (0-3) где ф - некоторая подходящая пх п - матрица. Было, однако, выяснено, что обратная связь вида (0.3) не гарантирует экспоненциальной устойчивости замкнутой системы, а только асимптотическую устойчивость с убыванием порядка ^ [47]. Поэтому в дальнейшем рассматривались различные ограничения на функцию управления с тем, чтобы добиться экспоненциальной стабилизации, и, конечно, в целом.

Типичным законом обратной связи, решающим поставленную задачу, является закон типа о, 1М| = о, т.е. равномерно ограниченные обратные связи [41], [44] Основное ограничение при таком подходе состоит в требовании устойчивости (не обязательно асимптотической) билинейной системы при нулевом управлении. То есть, фактически, систему, находящуюся на границе устойчивости, научились делать асимптотически, а иногда, и экспоненциально, устойчивой за счет ограниченного управления [48]. При этом, конечно, задачи об обеспечении заданной степени устойчивости или робастности (т.е. стабилизации при конечных возмущениях параметров и внешних сил) даже не рассматривались. Стоит отметить, что для решения проблем синтеза таких обратных связей применялись весьма нетрадиционные для теории обратной связи методы, в частности теория показателей Ляпунова [33], [34], [41], теория дискретно-импульсных систем [38].

Естественно, что параллельно добавились различные обобщения, как связанные с размерностью вектора управления [39], [41], так и с различными подходами к построению наблюдателей состояния [27], [31], [32], [40], [52] - [54].

Основной результат в теории наблюдения билинейных систем состоит в том, что для невырожденных систем принцип разделения не имеет места [29], [30] и синтез динамического компенсатора необходимо проводить вместе с синтезом стабилизирующей обратной связи, что, конечно, сильно усложняет дело. Наконец, отметим, что предпринимались усилия по применению методов оптимального управления для синтеза стабилизирующей обратной связи, см. например [26], [41].

Из данного кратного обзора литературы следует, что проблема робастной экспоненциальной стабилизации билинейных систем общего положения не имеет решения и является актуальной. Методом решения этой задачи для планарных систем общего положения и вырожденных систем произвольного порядка посвящена данная работа.

Центральной идеей работы, лежащей в основе синтеза большинства предлагаемых законов стабилизации, является идея наложения искусственной связи на переменные состояния системы. При движении по ограничению, накладываемому такой связью, порядок системы понижается и, кроме этого, появляется возможность обеспечения независимости движения от факторов неопределенности, обнуляющихся при проекции движения систем на многообразие, задающее указанную связь. Использованы различные способы наложения связи, среди них ведущая роль отводится скользящему режиму [7], [21], [22].

В диссертации рассматривается следующая основная постановка задачи стабилизации билинейной динамической системы. Для системы = Ах + (Е * (0.4)

У = сх, где хЕ К 71 - фазовый вектор, А, 6 К. пХтг - вещественные матрицы, ст Е К" - постоянный вектор-строка, у £ Ж - выход, t Е [0, +оо), требуется построить такие управления {щ}что поеле подстановки их в исходную систему ее нулевое решение было бы асимптотически устойчивым.

Основная часть работы посвящена случаю, когда задача рассматривается на плоскости (т.е. п = 2), а управление скалярное (т.е. к = 1). В этом случае исходная система может быть записана в виде: х = Ах + иВх У = сх,

0.5) где х(¿) 6 К 2 - фазовый вектор, А, В 6 В,2*2 - вещественные матрицы, ст Е Л2 - постоянный вектор-строка, у £ Я - выход, t 6 [0, +оо), и - скалярное управление.

Для синтеза управления может быть использована информация о: -параметрах системы (0.4) А, В{, либо об их номинальных значениях Ао, Во) в последнем случае, отклонения ДА = А — Ао, АВ = В — Во характеризуют параметрическую неопределенность; -состоянии х либо о скалярном выходе системы у. В работе использованы термины линейной теории управления. Для линейной управляемой системы тгХп

0.6)

Ь,ст 6 х = Ах + иЬ,, У = сх, где ж(г) 6 1", «(<) е к, б м, I е [0,+оо), А е К пх1 - известные матрицы с постоянными коэффициентами, введем следующие основные понятия.

Определение 1. Система (0.6) управляема (пара (А, Ь) управляема) тогда и только тогда, когда щ[Ь;АЬ;. ;А7г~1Ь] = п.

Определение 2. Система (0.6) наблюдаема (пара (А, с) наблюдаема) тогда и только тогда, когда с \ сА сА71"1) п

Определение 3. Относительным порядком системы (0.6) называется целое число г такое, что сА{Ь = 0 , % = 0,. , г - 2 , сАг~1Ь ф 0.

Передаточной функцией системы (0.6) будем называть

W(s) = фЕ - А)~1Ь = , (0.7) где an(s), ¡3m(s) - полиномы от s порядка пит соответственно. При этом [1] относительный порядок системы (0.6) г = п — т.

Будем говорить, что система (0.6) (тройка (А,Ь,с)) находится в общем положении если пара (А, Ь) - управляема, пара (А, с) - наблюдаема и полиномы a>n(s) и (3m(s) не имеют общих корней.

Определение 4. Скалярная система (0.6) называется минимально-фазовой, если числитель передаточной функции (0.7) этой системы полином fim(s) - гурвицев.

В Главе 1 управление ищется в классе постоянных управлений, т.е. предполагается, что щ = const. Получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости в этом классе управлений билинейных систем на плоскости, а так же достаточные условия стабилизируемости n-мерных систем и систем с векторным управлением.

Основной результат Главы 1 определяет

Теорема I. Двумерная билинейная система х = Ах + иВх, где А,В G R2*2 - постоянные матрицы, uGR - скалярное управление, х £ И2 - фазовый вектор, стабилизируема в классе постоянных управлений тогда и только тогда, когда выполнена одна из альтернатив:

1°. -trА > 0, det А > 0;

2°. det Б > 0 и выполнено хотя бы одно из условий tr В ф 0, trA < 0;

3°. йеЬВ < О, Д1 > 0 и

1 < О при ЬтВ > О, ¿¿2 > О при ЬтВ < О, где Цх, /л2 - мт/ли уравнения 72 (— + /¿) = О, причем ^ < /¿2/ 4°. сЫБ < О, 1;гБ = О, - 1тА > О и Д2 > О; 5°. = О, £гБ / О и выполнено хотя бы одно из условий

ЬтА^В - Ьт(АВ)]здп(-1тВ) > О 72 («О > О

6°. сЫ; В = О, = 0 и - 1тА > О, Ьт(АВ) ф О, где

72(и) = и2 Б + и( ЬтАЬтВ - 1;г(АВ)) + ае! А , Аг = [2йеЬВи1 + ЬтАЬтВ - Ьт(АВ)]2 - 4aet572(1*1) ,

Д2 = 1;г2(АВ) — 4ае1;(АБ) , где =

Для билинейной системы (0.4) на плоскости в случае векторного (к = 2) управления, т.е. для системы х = Ах + и\В\х + 112В2Х (0.8) доказаны следующие утверждения:

Лемма. Система (0.8) стабилизируема в классе постоянных управлений тогда и только тогда, когда совместна следующая система неравенств — <1, и > — ЬгА > О

I < (¿и, и > + < Л, и > + ае! А > О, где <,> - скалярное произведение и: я = ае! Б1

1гБ2 - ¿гБхБг) ¿еЬВ2 л =

ЬтАЬтВг - ЬтАВг 1тА1тВ2 - 1тАВ2

I =

1тВ\ ЬтВ2 и = щ

Лемма. Если для системы (0.8) выполнено одно из предположений: с1е1 В\ > 0 или с1е! В2 > О, а кроме того 11тВ\1 + | ЬтВ21 ф 0; то найдется пара констант (и1,и2), экспоненциально стабилизирующая систему в нуле.

Лемма. Если для системы (0.8) выполнены следующие предположения

1. (1еЬВ1 < 0; сЫБ2 < О,

2. [ЬгВг ЬтВ2 - ^(ВгВч)}2 > А&е^В^),

3. \ЬтВг\ + \1тВ2\ фО, то найдется пара констант (щ^щ) экспоненциально стабилизирующая систему в нуле.

Рассмотрены п-мерные систем (0.4) с вырожденной матрицей билинейности В и скалярным управлением, т.е. системы вида х = Ах + иВх

0.10) где А, В Е ЖпХп - матрицы с постоянными коэффициентами, х € К 71, и - управление, ^В = 1.

Так как В = Ъс, где Ь и с - некоторые п-мерные столбец и строка соответственно, то система (0.10) может быть записана в виде х = Ах + Ью у = сх,

0.11) где V = иу - новое управление. В частности доказана

Теорема II. Пусть для системы (0.11) выполнены предположения:

- тройка (А, 6, с) находится в общем положении,

- сЬф 0

- нулевая динамика системы (0.11) - устойчива (т.е. числитель передаточной функции (0.7) - гурвицев).

Тогда существует такое число К, что для любого к > К управление и = —квдп^сЬ) экспоненциально стабилизирует систему (0.10).

В работе указан явный вид коэффициента К.

В Главе 2 изучается вопрос о стабилизации двумерной скалярной системы (0.5) в классе кусочно-постоянных обратных связей по состоянию. Показано, что этот тип управлений существенно расширяет класс стабилизируемых систем, а так же наделяет системы свойством робастности.

В начале рассмотрен случай вырожденной системы, т.е. В = Ьс, тогда система представима в виде (0.11). Пусть она имеет второй относительный порядок, т.е. cb = 0, сАЪ ф 0 (не ограничивая общности считаем, что сАЪ = 1). Тогда система (0.5) неособым преобразованием координат приводится к каноническому виду

1 = х2

1 = -axxi - а2х2 + иу (0.12) у = х 1 .

Для стабилизации системы (0.12) в нуле используются методы теории систем переменной структуры (СПС), а именно: выбираем линию скольжения а = dxi + х2 = 0, d > 0, обратную связь - релейной и = -Ksgn(ya). (0.13)

Имеет место

Теорема III. Пусть для билинейной системы (0.5) имеет место факторизация В = Ьс; тройка (А, Ь, с) находится в общем положении; cb = 0, сАЪ ф 0. Тогда при достаточно большом К > К* > 0 обратная связь (0.13) экспоненциально стабилизирует систему (0.5) в нуле.

В работе указан явный вид коэффициента К*.

Предложенный алгоритм стабилизации является робастным, т.е. устойчив к конечным возмущениям параметров и правой части. Рассмотрены возмущенные системы вида х = Ах + иВх + F (0.5*) с неизвестной функцией F(t,x), для которой выполнено стандартное для теории управления условие согласованности (так называемое

МС-условие): х) = Ьf(t, х), /(£, х) Е Е , причем f{t, х) - функция не выше линейного роста по х, т.е. х) = -а1(1;,х)х1 - а2^,х)х2 , \а^,х)\ < а°{ . (0.14)

Тогда справедливо

Следствие. Пусть для возмущенной системы (0.5*) выполнены предположения Теоремы 1, МС-условие и ограничение (0.14). Тогда обратная связь (0.13) стабилизирует систему (0.5*) в нуле при достаточно большом К.

Рассмотрен случай вырожденной системы (0.5) с первым относительным порядком, т.е. сЬ ф 0 (не ограничивая общности считаем, что сЪ = 1). В этом случае неособым преобразованием система (0.5) приводится к виду:

1 = х2

2 = -ахХ1 - а2х2 + иу (0.15)

У = СХХ1 + х2 .

Вновь берется линия о = с2х\ + х2 = 0, с2 > 0, с2 Ф на которой организуется скользящий режим. Стабилизирующая обратная связь, решающая эту проблему, выбирается в виде (0.13). Тогда имеют место следующие утверждения:

Теорема IV. Пусть для системы (0.5) имеет место факторизация В = Ьс; тройка (А, Ь, с) находится в общем положении; сЬ ф 0, с\ > 0 (нулевая динамика системы устойчива). Тогда при достаточно большом К > 0 и некотором с2 > 0 обратная связь (0.13) стабилизирует систему (0.5) в нуле.

Следствие. Пусть для возмущенной системы (0.5*) выполнены условия Теоремы 2, а возмущение Е(1:,х) удовлетворяет МС-условию и ограничению (0.14). Пусть также с? - С1 а2(£, ж) + а1(£,я)| > г) > 0 при всех х и I > ¿о, где а¿(¿, х) = а; + ах). Тогда обратная связь (0.13) экспоненциально стабилизирует систему (0.5*) в нуле при достаточно большом К > 0 и достаточно малом е = с2 — с\.

Теорема V. Пусть для системы (0.5) имеет место факторизация В = be; тройка (А, Ь, с) находится в общем положении; cb ф О, нулевая динамика системы неустойчива. Тогда при достаточно большом К > 0 и любом С2 > 0 управление (0.13) стабилизирует систему (0.5) в нуле экспоненциально, если выполнено условие c? + cia2 + ai >0. (0.16)

Следствие. Пусть для системы (0.5*) выполнены условия Теоремы 7, а возмущение F(t,x) удовлетворяет МС-условию и условию (0.14). Пусть также с\ + а2(£, z)ci + х) > rj > 0 при всех х и t>to. Тогда обратная связь (0.13) стабилизирует систему (0.5*) в нуле при достаточно большом К > 0 и любом с2 > 0.

Для невырожденной системы (0.5) доказано следующее достаточное условие экспоненциальной стабилизируемости посредством управлений вида и = —Ksgn(a(x)p(x)) + и* ,и* = const, (0-17) где а(х) = 1х и р(х) = hx (вектор-строки I ,h € R1*2 не коллинеар-ны). Верно следующее утверждение

Теорема VI. Пусть для системы (0.5) существуют щ = const и «2 = const такие, что матрица (А + щВ) имеет действительные собственные значения разных знаков (седловая), а матрица (А + щВ) имеет комплексно-сопряженные собственные значения (фокус). Тогда найдутся К, и*, вектора I и h такие, что управление (0.17) стабилизирует систему (0.5) в нуле экспоненциально.

Кроме того, в работе предложен алгоритм синтеза стабилизирующего управления (0.17), т.е. алгоритм выбора параметров К, и*, / и h.

В работе получены необходимые и достаточные условия существования «2 из условия Теоремы VI. Обозначим для произвольных 2x2 матриц А ж В:

Da = (trA)2 - 4 det А, ТАВ = 2tr{AB) - trAtrB .

Имеет место

Лемма. Для пары матриц А,ВЕ R2x2 тогда и только тогда существует и = const такое, что матрица (А + иВ) имеет комплексно-сопряженные собственные значения, когда выполнено одно из условий:

1) DB < 0;

2) DB = 0 , ТАВ ф 0;

3) DB = 0 , Tab = 0 , DA < 0;

4) Db > 0 , Т\в - DaDb > 0.

Замечание. Если матрица В седловая, то для стабилизации системы (0.5) достаточно выполненения условия Леммы.

В диссертации предложен подход к синтезу алгоритмов экспоненциальной стабилизации системы (0.5), основанный на использовании так называемых вращающих функций Ляпунова. Рассмотрим общую задачу стабилизации билинейной системы (0.5) на плоскости в классе разрывных управлений. Не ограничивая общности считаем, что матрица А имеет действительные собственные значения Ли//, причем ¡л < 0, // < Л. Стабилизирующее управление берем в виде разрывной обратной связи и(х) = uosgn(p(x)a(x)), (0.18) где прямые разрыва управления определяются соотношениями а(х) = hx = 0, р = hBx = 0. Здесь h - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению Л, т.е. hA = Xh. В этом случае невырожденное преобразование приводит систему к виду а = \а — uo\p\sgna, р = аа + fip — щ sgn {op) [р trВ — о det В]

С помощью функций (в) = в2 [u0 + а+м0 det В - X + /х - и0 tr В] + в [X - р, + щ tr В -2 и0]+ щ и в) = 02[—uo+oi—щ det 5+Л—fx—щ trI?]-|-0[A—и0 ЬтВ—2ио]~щ , вводится отображение л //-(«). ее [0,1], , .

Имеет место следующий признак стабилизации: Теорема VII.Пусть в системе (0.5) матрица А имеет действительные собственные значения /х < 0 и А > [л. Пусть, кроме того, к - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий А; пара (1г,В) наблюдаема. Пусть управление (0.18) таково, что отображение f(9) удовлетворяет следующим условиям:

1) отображение (0.19) имеет не более одного нуля на множестве

ЬМ]\0;

2) /(0) < 0; 3)М 0)>0.

Тогда в системе (0.5) при управлении (0.18) для всех точек плоскости, за исключением, быть может, одной асимптоты, за конечное время возникает скользящий режим на прямой <т = 0 с экспоненциально устойчивым уравнением скольжения х = цх.

Глава 3 посвящена построению наблюдателей для билинейных систем. Показано, что задача построения наблюдателей для двумерных билинейных систем общего вида сводится к задаче синтеза наблюдателей для вырожденных билинейных систем. Для таких систем синтезирован ряд наблюдателей

Предложение 1. Пусть в двумерной билинейной системе х =

Ах + иЬсх, г = Ь,х выполнены условия: с1е1 ^ = 0, (т.е. с = аН) пара (1г, А)- наблюдаема, тогда выполнен принцип разделения и наблюдатель х = Ах + аиЪг — 1{Нх — г), асимптотически точно решает задачу наблюдения с любыми наперед заданными характеристическими показателями при любой функции и(1:)

Кроме того, доказано следующее

Предложение 2. Пусть в билинейной системе х = Ах + иЬсх, г — кх выполнены следующие условия: 1. Пара (Н,А) - наблюдаема,

2. НЬ = О, НАЬ ф О тогда выполнен принцип разделения и задачу экспоненциального оценивания фазового вектора с любым наперед заданным показателем и при любой функции решает наблюдатель л ' И ' -1 г

X = М. о — ¿X а = (Зхг + /32а

В работе указан конкретный вид вектора коэффициентов и (32. Предложение 3. Пусть для билинейной системы х = Ах-\-иЬсх с выходом г = Их и произвольной ограниченной функцией < щ выполнены следующие условия

1. Пара (/г, А) - наблюдаема

2. Пара (А, Ь) - управляема

3. НЬф О

4. ¿еЬ к ф О

5. и0 <

Г Н 1 det

ЬА\ К с

6. Передаточная функция = Ы^бЕ — А)~1Ъ - минимальнофа-зовая, тогда при достаточно большом к имеет место принцип разделения и наблюдатель х = Ах + иЬсх — кЪ(1гх — г) экспоненциально точно решает задачу оценивания.

Основные результаты работы:

1. Установлены необходимые и достаточные условия экспоненциальной стабилизируемости двумерных билинейных систем в классе постоянных скалярных управлений.

2. Указаны достаточные условия стабилизации вырожденных билинейных систем на плоскости в классе кусочно-постоянных управлений. Доказана робастность предложенных алгоритмов по отношению к возмущениям линейного роста.

3. Предложен подход к экспоненциальной робастной стабилизации двумерных билинейных систем, основанный на разрывных управлениях, обеспечивающий скользящий режим на уравнении связи.

4. Построены наблюдатели состояний для некоторых классов билинейных динамических систем, они использованы для синтеза алгоритмов стабилизации билинейных систем по выходу.

Основные результаты диссертации изложены в работах [13], [15], [23], [24].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю академику РАН, профессору С.К. Коровину за большую помощь, оказанную при работе над диссертацией. Так же автор благодарит старшего научного сотрудника кафедры НДСиПУ факультета ВМиК МГУ Фомичева В.В. за ценные комментарии, критику и содействие в написании работы.

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., Наука, Физмат лит, 1976.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., Наука, 1967.

3. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического управления. М.: Мир, 1987. - 296 стр. (на англ.языке)

4. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

5. Теория систем с переменной структурой /Под ред. C.B. Емельянова. М. Наука, 1970.

6. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М., Наука, Физмат лит, 1997.

7. Емельянов C.B., Коровин С.К., Левантовский Л.В. Скользящие режимы высших порядков в бинарных системах управления // ДАН СССР.-1986.-Т. 287, N 6.-С. 1338-1342.

8. Емельянов C.B., Коровин С.К., Нерсисян А.Л., Нисензон Ю.Е. Стабилизация многомерных неопределенных объектов по выходу // ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N 5.-С. 1062-1067.

9. Емельянов C.B., Коровин С.К., Нерсисян А.Л. Об асимптотических свойствах наблюдателей состояния для неопределенных систем с выделенной стационарной линейной частью // ДАН СССР.-1990.-Т. 311, N 4.-С. 807-811.

10. Емельянов C.B., Коровин С.К., Нерисян А.Л. Стабилизация неопределенных нейтральных объектов регулятором переменной структуры. // ДАН СССР Т. 312. 1990 N4 С. 801-806

11. Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Двумерные билинейные системы: классификация особенностей и критерии управляемости. Информатика, управление, вычислительная техника 1. Москва "Машиностроение", 1987.

12. Емельянов C.B., Коровин С.К., Уланов Б.В. Управление линейными стационарными объектами при внешних воздействиях с применением обратных связей различных типов // Известия АН СССР, Техническая кибернетика.-1984.-N 1,-С. 174-182.

13. Емельянов C.B., Коровин С.К., Шепитько A.C. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных и релейных управлений. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 8,с. 1021-1028

14. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., Наука, МИР, 1971.

15. Коровин С.К., Фомичев В.В., Шепитько А.С. Позиционная стабилизация двумерных билинейных систем с вырожденной матрицей билинейности. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 9, с. 1285-1288

16. JleneH.JI. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка. Автоматика и телемеханика. 1984. 11.

17. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 472 с.

18. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, Физмат лит, 1992.

19. Уткин В.Н. Скользящие режимы в задачах стабилизации и управления. М., Наука, Физмат лит, 1981.

20. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами М. Наука, 1981 448 стр.

21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Математический сборник Т.5 1960 N1 с. 99-128

22. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью М. Наука 1985. 224 стр.

23. Фомичев В.В., Шепитько А.С. Метод вращающих функций Ляпунова в задаче стабилизации двумерных билинейных систем. // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 8, с. 1136-1138

24. Aqanovic Z and Gajic Z (1995) Linear Optimal Control of Bilinear Systems. Springer-Verlaq, Berlin - New York

25. Bornard G., Couenne N., Celle F. (1988). Regularly persistent observers for bilinear systems. In Now trends in nonlinears control theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Berlin, Springer. Vol. 122, pp 130 140.

26. Brockett R.W. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. Ed. R. Brockett, R. Millman, H. Sussmann. In "Differential Geometric Theory", 1983, pp.181-191, Birkhouser, Boston.

27. Byrnes C.I., Isidori A., Steady State Response, Separation Principle and the Output Regulation of Nonlinear Systems // Proceedings of the 28-th Conference on Decision and Control, 1989, Tampa, Florida, pp. 2247-2251.

28. Byrnes C.I., Delli Priscoli F., Isidori A. and Kang W. Structurally Stable Output Regulation of Nonlinear Systems // Automatica, 1997, vol. 13, N 3, pp.369-385.

29. Funahashi F. (1979) Stable state estimator for bilinear system. -International Journal of Control 29(2), pp. 181 188.

30. J.P.Gauthier and I.Kupka (December 1992) A separation Principle for bilinear systems with dissipative drift - IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 37, NO. 12,

31. Colonius F. and Kliemann W. (1993). Minimal and Maximal Lyapunov Exponents of Bilinear Control Systems. J. Diff. Eq. 5, pp. 469 - 494.

32. Colonius F. and Kliemann W. (1995). Asymptotic and Null Controllability Of Bilinear Systems. Banach Center Publications. Vol. 32, Inst of Math. Polish Acad of Sci., Warszawa, pp. 139 - 148.

33. Gil M.I and Ailon A On Global Feedback Stabilsation of Nonlinear Non-autonomus Systems // International Journal of Control, 1997, vol. 68, N 4, pp.935-941.

34. Graselli O.M. and Isidori A. (1977) Deterministic state reconstruction and reachbility of bilinear control processes. 18th Joint Automatic Control Conference. San Francisco, pp 1423 1427.

35. Graselli O.M., Isidori A., Nicolo F. (1979) Output regulation of a Class of Bilinear System Under Constant Disturbances. Automatica IFAC, vol 15, pp 189 - 195.

36. Gruene L. (1976) Discrete feedback stabilization of semilinear control systems. ESAIM: Control and Calculus of Variations 1, pp. 207 - 224.

37. Guoping Lu and Yafan Zleng (1998). Globally Asymptotic Stabilization of MIMO Bilinear Systems with Undampered Natural Response. CDC - 98.

38. Hara S., Furieta K. (1976). Minimal order state observers for bilinear systems. International Journal of Control 24(5), pp. 705 718.

39. Hualin Wang (1998) Feedback stabilization of Bilinear control systems SIAM J. Control Optim. Vol 36, N 5, pp 1669 - 1684

40. Johong Wang. Feedback Stabilisation of a Class of Uncertain Nonlinear Dynamical systems // Dynamical Systems and Applications, 1998, N 7, pp. 117-140.

41. Khapalov A.Y., Mohler R.R. (1996). Reachable sets and controllability of bilinear time invariant systems A qualitative approach. -IEEE TRANS. Autom. Control. AC - 141, pp. 1342 - 1346.

42. Min-Shin Chen (1998). Exponential Stabilization of a Constrained Bilinear System. Automatica. Vol. 34, pp. 989 - 992.

43. Mohler R.R. (1973). Bilinear Control Process. New York and London. Academic Press.

44. Mohler R.R. (1991). Nonlinear Systems. Vol. 2. Application to Bilinear Control. Englewood Cliffs. NY. Prentice - Hall.

45. Quinn J.P. (1980)/ Stabilization of Bilinear Systems by Quadratic Feedback Controls. J. Math. Anal. Appl. 75, pp. 60 - 80.

46. Rahn C.D. (1996). Stabilizability conditions for strictly bilinear systems with purely imaginary spectra. IEEE Trans. Auto. Control. AC - 41, pp. 1346 - 1347.

47. Rydn E.P. and Buckingham N.J. (1983). On asymptotically stabilizing feedback control of bilinear systems. IEEE Trans. Autom. Control, AC - 28, pp. 863 - 864.

48. Singh S.N. (1982). Stabilizing feedback controls for nonlinear Hamiltonian systems And nonconservative bilinear systems in elasticity. J. Dyn. Systems Meas. Control 104, pp. 27 - 32.

49. Slemrod M. (1978). Stabilization of bilinear control systems with applications to nonconservative problems in elasticity. SIAM J. Control Optim. 16, pp. 131 - 141.

50. Williamson D. (1977). Observation of bilinear systems with application to biological Control. Automatica 13, pp. 243 - 255.

51. Yang H., Saif M. (1995). State observation; failure detection and isolation in bilinear systems. Proceedings of the 34th IEEE CDC. Pp 2391 - 2396.

52. Zak S.H. On the Stabilization and Observation of NonlinearUncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, N 5, pp. 604-607.

53. Zhao Y.D. and Huang L. Local Stabilization of Nonlinear Systems // Control Theory and Advanced Technology, 1990, vol. 6, N 4, pp. 543-557, MITA PRESS.

54. Zhihua Qu and John Dorsey Comments on the Stabilization and Observation of Nonlinear Uncertain Dynamic Control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, vol. 36, N 6, pp. 1342-1343.