Локальная параметрическая идентифицируемость систем, аппроксимирующих сложные объекты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Шляго Павел Юрьевич

Локальная параметрическая идентифицируемость систем, аппроксимирующих сложные объекты

Специальность 01 01 09 «Дискретная математика и математическая

кибернетика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОО31507'7'2

Санкт-Петербург 2007 г

003158772

Работа выполнена на кафедре высшей математики №1 факультета электроники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Гелш Аркадий Хаимович

доктор физико-математических наук, профессор Фле1 онтов Александр Владимирович

Ведущая организация

Санкт-Петербургский университет телекоммуникаций имени проф М А Бонч-Бруевича

Защита состоится «2/» 'РЯ 2007 года в 48 час О О мин

на заседании диссертационного совета Д 212 232 29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр , 28

Защита будет проходить в помещении Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Стеклова Российской Академии Наук по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб Фонтанки, 27, ауд 311

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9

Автореферат разослан «Я?» С£НТР1аСй Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 232 29 доктор физ -май наук, профессор

2007 года

В М Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Основными моделями сложных динамических процессов в естествознании являются нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому как с теоретической, так и с практической точки зрения, актуально изучение различных свойств этих уравнений Одним из таких свойств является свойство параметрической идентифицируемости

При проведении различных практических экспериментов и при моделировании изучаемая система обычно зависит от некоторого количества параметров В большинстве случаев набор параметров можно представить в виде вектора некоторой размерности, поэтому при теоретических исследованиях удобнее рассматривать системы с одним параметром

Под параметрической индентифицируемостью модельной системы подразумевается возможность различить два разных значения параметра системы по поведению ее траекторий при этих значениях параметра, что делает решение данной задачи актуальным не только для теоретических исследований, но и для практических применений

Пусть Л — множество всех возможных параметров системы Предположим, что в Л введена некоторая метрика р

Для большинства классов модельных систем глобальная параметрическая идентифицируемость невозможна, т е невозможно различить два любых параметра Ах, А2 (А1 Ф А2)> лежащих в множестве Л, поэтому большую практическую ценность представляет локальная параметрическая идентифицируемость

Под локальной параметрической идентифицируемостью (локальной идентифицируемостью) модельной системы при значении параметра Лг е Л подразумевается существование такого числа £ > 0, что по наблюдению траекторий модельной системы возможно различить параметры Ах, А2 при А2 £ Л, ф А2 и р(АьА2) < £

Отметим, что для нелинейного дифференциального уравнения нахождение решения в явном виде возможно только в исключительных случаях, поэтому для исследования данных систем используются численные методы Намеченную выше задачу также целесообразнее рассматривать как для исходной модельной системы, так и для ее аппроксимации

В диссертационной работе исследованы задача локальной параметрической идентифицируемости для конечномерных динамических систем, порож-

денных дискретизациями параболических уравнений, некоторые свойства этих систем и связь свойств исходных уравнений со свойствами их дискретизаций, изучено свойство различимости (близкое к свойству идентифицируемости) по численному методу моделируемой пары «процесс — измерительное устройство» , исследована задача локальной параметрической идентифицируемости нелинейной системы дифференциальных уравнений по численному методу при условии периодичности исходной системы по времени и существования гиперболически устойчивого решения с тем же периодом при заданном в постановке задачи значении параметра

Цель работы

Основной целью работы является исследование задачи локальной параметрической идентифицируемости для динамических систем, порождаемых численными методами для систем дифференциальных уравнений

Методы исследования

Для получения результатов использовались методы теории динамических систем, дифференциальных уравнений, функционального анализа и др

Научная новизна

Все результаты диссертационной работы являются новыми Выделим основные из них

— Получены условия, при которых различимость фиксированной системы дифференциальных уравнений по фиксированному численному методу обеспечивается типичным измеряющим устройством

— Для уравнения Чэфи-Инфанте с нелинейностью, линейно зависящей от параметра, получены условия, при которых для открытого и плотного множества начальных данных динамическая система, порождаемая полунеявной схемой Эйлера, локально идентифицируема

— Для класса конечномерных отображений, порождаемых кусочно-линейными функциями фазовой переменной и параметра, который включает в себя отображения, порожденные полунеявной схемой Эйлера, доказано, что для типичной функции / из этого класса параметр А локально идентифицируем по наблюдению траекторий соответствующей динамической системы

— Доказано, что свойство гиперболичности неподвижных точек является типичным свойством для дискретизаций параболических уравнений с нелинейностью, линейно зависящей от параметра

— Для нелинейной системы дифференциальных уравнений х = ш, Л), ^-периодической по £ и имеющей при значении параметра Ад (¿-периодическое гиперболически устойчивое решение, получены условия, при которых система локально параметрически идентифицируема при Ао по наблюдению траекторий численного метода

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Полученные результаты важны как для теоретического исследования задачи о локальной параметрической идентифицируемости динамических систем, полученных с помощью численных методов для различных систем дифференциальных уравнений, так и для разработки методов практического решения задачи о локальной параметрической идентифицируемости

Апробация работы

Отдельные результаты по теме диссертационной работы были доложены на конференциях

— Международная конференция «Пятые Окуневские чтения», СПб, 2006,

— I Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза, 2006,

— Политехнический симпозиум «Молодые ученые — промышленности СевероЗападного региона», СПб, 2006

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-5] и тезисах докладов [6-8]

Структура и объем работы

Диссертация содержит 85 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 22 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор исследуемых математических объектов и сформулированы основные результаты диссертационной работы

В первой главе изучается свойство, близкое к индентифицируемости, — различимость

Рассмотрим гладкое п-мерное многообразие X класса гладкости С°° и систему дифференциальных уравнений

ж = Р(х), х £ X (1)

Пусть Р е %Г,Г > 1, где — пространство всех векторных полей класса Сг, определенных на X Пусть Н е Ч£Г(Х, где ^(Х,— пространство всех отображений класса Ст из X в Шк, к > 1

С практической точки зрения объекты, введенные выше, имеют следующий смысл система (1) моделирует некоторый сложный процесс, а отображение Н является моделью измеряющего устройства Введем в сильную Сг-топологию Уитни

Через <р(Ь,х) обозначим траекторию системы (1) с начальными данными ¿о = 0, £о — х Предположим для определенности, что все решения рассматриваемых систем продолжимы для всех Ь € К

Пусть — риманова метрика на многообразии X

Определение 1 3. Будем называть семейством численных методов класса Ст и степени р семейство отображений

Ф(Д, ) X X, к > 0,

класса Ст по х (т > 1, р > 0), аппроксимирующее решетя системы (1) в следующем смысле для любого ограниченного подмножества V С X существует такая константа С (У), что

<1иЛ < С{У)ЪР+1

для всех к > 0 и х € V

Представителя введенного выше семейства будем называть численным методом с шагом К Подчеркнем, что мы не предполагаем какой-либо (даже непрерывной) зависимости Ф(к,х) от шага Н

Определение 1.4 Назовем пару (.Р, Н) различимой на множестве У с X по численному методу Ф с шагом Ь, за N шагов, если для любой пары точек

{х,у), х ф у, х,у &Y, существует такое натуральное число г < N, что

Рассмотрим систему (1) в Пусть К0 — такое , что Kq — положительно инвариантное относительно системы (1) открытое ограниченное множество в 1"

Предположим, что

F(x) ф 0 при х е К = (2)

Основным результатом первой главы является следующее утверждение

Теорема 1 2 Для фиксированного векторного поля F класса гладкости С2, обладающего свойством (2), Сг-гладкого (г > 1) семейства численных методов Ф(Н, ) степени 1 и числа N = + 1, где [ ] — целая часть числа, существует такое число fro > 0, что множество таких функций Н € (Мп, Шк), для которых пара (F,H) различима по численному методу Ф с шагом h < ho за N шагов на компакте К, является множеством второй категории по Бэру в <ёг(Ш.п,Шк)

Теорема 1 2 является обобщением аналогичного утверждения, сформулированного Д Айелсом для точных решений, на многомерный случай

Во второй главе изучается задача о локальной параметрической идентифицируемости для конечномерных динамических систем, порожденных дискретизациями параболических уравнений

Рассмотрим параболическое уравнение вида

Я>II с) 11

^ = ^ + х £ (0,1), i > 0, As М, (3)

где G — достаточно гладкая скалярная функция, с краевыми условиями Дирихле и(0, t) = и( 1, t) = 0 и начальным условием и{х, 0) = щ(х)

Фиксируем натуральное число М, параметр А и число h > 0 я положим d ~ Будем аппроксимировать значения u(md,nh) решений уравнения (3) с п > 0, 771 е {0,1, ,М + 1} числами г/™, определяемыми следующим уравнением

,та+1 _ ,,тг

= Avn+l + G(vn, А), (4)

где

\ (ад, л) \

Упм/ А)/

= щ(м1) 1 = 1, ,М,

а матрица А соответствует стандартной аппроксимации второй производной на сетке с шагом ^

и краевым условием г>д = = 0 Если значение И столь мало, что матрица 3 — Ем — ЬА обратима, где Ем — единичная матрица размера Мх М, то схема (4) порождает такое отображение Жм -> Жм, что ьп+1 — а

рд(«) = Т-Ч^ + ЛеКА)) (5)

Определение 2.3. Будем говорить, что уравнение (3) локально идентифицируемо при параметре Ао по наблюдению траектории дискретизации гип с начальным данным если существует такое число 5 > 0, что для любого параметра А,0<|А — < 5 и для любого начального данного щ 6 Км, найдется такое натуральное число щ, что при п > щ

Ф (6)

В разделе 2 2 рассматривается дискретизация уравнения типа Чэфи-Инфанте с нелинейностью, линейно зависящей от параметра, т е рассматривается параболическое уравнение вида (3) с нелинейностью вида

<?(и,А) = А/(и),

где А > 0, а функция / К —> Ж класса С2 и удовлетворяет следующим условиям

1 /(0) = о, /'(0) = 1,

2 ЕЫ,«!-.«,^ < 0,

3 ^"{и) < 0 при и ф 0

Обозначим через В множество пар (Л,/), где Л > 0, а функция /6 С2 и удовлетворяет перечисленным выше условиям 1-3 Из условия 1 следует, что 0 — неподвижная точка диффеоморфизма <р\ при любом Л > О Основным результатом раздела 2 2 является следующая теорема

Теорема 2 2 Пусть пара (Ао, /) € В обладает следующими свойствами

1) все неподвижные точки диффеоморфизма гиперболические,

2) неподвижная точка V = 0 диффеоморфизма (р\0 неустойчива

Тогда для открытого и плотного в К^ множества начальных данных ю0 уравнение (3) локально идентифицируемо при Ао по наблюдению траектории дискретизации тп с начальным данным и>о

В разделе 2 3 изучается общий класс конечномерных отображений, порождаемых кусочно-линейными функциями фазовой переменной и параметра Класс таких отображений включает в себя отображения, порожденные полунеявной схемой Эйлера Предположение о кусочной линейности функции, порождающей изучаемое отображение, соответствует наиболее распространенному методу аппроксимаций нелинейных функций их значениями на сетках

Рассмотрим семейство положительно определенных, симметричных матриц В (К) размера М х М, МеМ, зависящих от параметра К > О Фиксируем непрерывную скалярную функцию д, зависящую от параметра А 6 К и рассмотрим отображение Км —> Км, задаваемое формулой

^,л(«)=В(Л)(г» + /1£(г;) А)), (7)

где

/ «1 \ / \

«= €Кми£(г;,А)= е Км

\ум / \ Фм, А) /

Отображение (5), полученное с помощью полунеявной схемы Эйлера, является частным случаем отображений (7)

Рассмотрим плоскость х, А (х € К, А 6 К) и введем на ней прямоугольную сетку, симметричную относительно начала координат, т е фиксируем натуральное число и числа кх, > 0, пусть Г = {—И, , Щ — множество индексов узлов, а 7г,3 = г,з € Г, — узлы сетки

Положим X — [—Nhx,Nhx], А = [—Nh\,Nhx] Фиксируем набор чисел 9г,з = д(Уг,з), г>.) € Л, и построим по этому набору кусочно-линейную функцию / таким образом, что /(7,^) = дгtJ

Положим в треугольниках 7fj,7»+i,j>7i+i>j+:b г> J € {—N, ,N — 1},

f(x, А) = дг+и + (gl+iJ+1 - g»+ij)A ,+

"A

х- (г + l)/^

hx

а в треугольниках 7.,7>7«+1л-ь7и+1. e {-N, , -^V — 1},

X-(j + l)hx

f(x, A) = + (gtJ+l - gtJ) ~ ftj+i)

hx x —

К

т е в каждом из треугольников разбиения функция / задается уравнением плоскости Эта функция определена и непрерывна в прямоугольнике X х Л Продолжим функцию / непрерывно на все пространство К2 так, чтобы при любом фиксированном А е Л функция / обладала глобальной константой Липшица £(/, А) по х на всей вещественной оси

Обозначим через £ множество всех кусочно-линейных функций, построенных по описанной схеме на фиксированной сетке Для множества С введем метрику

/2) = шах 1/1(71,3) - /2(7«)I

мег

Обозначим полученное пространство через Т

Пусть для любого А е А выполнено неравенство А) < 1 При этом

условии отображение ¡р^ является гомеоморфизмом М.м —* Мм (доказано в лемме 2 ])

Предположим, что для фиксированного параметра А 6 Л существует такое число Р\ > 0, что из неравенств [ < Р\, г = 1, ,М следует, что < Рд, где Уп+1 = (р/,а (уп), у°еЖм,пеП

Будем считать, что возможно выбрать такое значение что для всех А 6 Л выполнено неравенство Р\ < ЫНХ Будем, кроме того, предполагать, что неподвижные точки отображения <£>/,а принадлежат множеству Xм = X х х X

Основным результатом раздела 2 3 является следующая теорема

Теорема 2 3 Существует такое открытое и плотное подмножество Т' пространства Т, что если / € Я, й А € Л, то существует такое число £ > О (зависящее от / и X), что для любых точек Vгу° € Км и параметра Ао с0< | Л — Ао | < в существует такое натуральное число по, что ип ф и)п при п > по, где ?;г+1 = ^¡¿{у1) и и)1+1 =

В разделе 2 4 показывается, что свойство гиперболичности неподвижных точек является типичным свойством для дискретизаций параболических уравнений с параметром Этот результат говорит о том, что условие 1 теоремы 2 2 из раздела 2 2 не является существенным ограничением на множество идентифицируемых значений параметра А

Рассмотрим параболическое уравнение вида (3) с нелинейностью вида

Будем рассматривать полунеявную дискретизацию уравнения (3) по схеме

Рассмотрим пространство пар (А, /), где А > 0, / € СР(М) Обозначим его через РСР

Для пар £ = (а, /), î] = (b,g) € РСР, натурального числа р > 1 и множества Л с Ж определим

Пространство РСР с топологией равномерной РСр-сходимости обозначим через Фиксируем компактное множество К с Км

Основным результатом раздела 2 4 является следующая теорема

Теорема 2 4. Для р > 1 множество

ИР{К) — { (А, /) 6 | неподвижные точки

диффеоморфизма <р в К гиперболические}

является множеством второй категории по Бэру в 7Р

В третьей главе рассматривается задача идентифицируемости для 1-периодической по t системы дифференциальных уравнений

G(ti,A) = A/(u),

где А > О

(4)

х = f(t, х, А)

(9)

где Л е Жт — параметр Предполагается, что функция / достаточно гладкая по ж и Л

Обозначим через x(t,to,xo,X) решение задачи Коши x(to) — хо системы (9) Если решение x(t, 0, Хо, А) определено на отрезке [0,1], то отображение Пуанкаре 7д определено в точке xq следующим образом T\(xq) = х(1,0,х0,Х)

Пусть (рх0 — 1-периодическое решение системы (9) и пусть р(Ао) = Уло(0) — его начальное значение при t = 0

Определение 3 1 Будем называть периодическое решение f\0(t) гиперболически устойчивым, если собственные числа ß3 матрицы Якоби DTx0(p(Xq)) удовлетворяют неравенствам \ß3\ < 1, j = 1, ,N

Наше основное предположение заключается в следующем для Л = Ао, система (9) имеет 1-периодическое решение <рл0М> и эт0 решение гиперболически устойчиво

Тогда при А, близких к Ао, система (9) имеет такие гиперболически устойчивые 1-периодические решения <px(t), что их начальные значения р(А) — <Рл(0) удовлетворяют соотношению р(А) —» р(Ао), А —> Ао

Рассмотрим численный метод Фл,л для системы (9) с шагом по времени h = А, где v — натуральное число Предположим, что метод имеет порядок q, т е выполнена следующая оценка погрешности метода на одном шаге

|x(t0 + h,tQ,xо, А) - Флл(*о,®о)| < Chq+1, (10)

где С — единая константа для всех начальных значений х0 из компактного подмножества множества Ж^, для всех h > 0, и для всех А, принадлежащих ограниченному подмножеству множества Wa Фиксируем шаг по времени 0 < h < 1

Процедура идентификации основана на рассмотрении векторов

тх(п,:г0) = Ф£д(0,ж0), (И)

которые аппроксимируют значения а;(п,0,Хо,А) = Т£(хо) итераций отображения Пуакаре

Основной результат третьей главы

Теорема 3 1 Предположим, что существуют такие положительные числа oq, Aul, что |р(А) — р(Ао)| > А |А - Ло|г при |А - Ао| < ао Пусть

R — компактное подмножество области притяжения В\0 притягивающей неподвижной точки р(Ао) отображения Т\а Тогда существует такое число а\ > 0, что система (9) локально идентифицируема по наблюдению значений (11) в следующем смысле для любого числа X, 0 < |А — Ао| < ai, существуют такие числа ho и щ, что если h < ho и х,у е R, то т\(п, х) ф т\0 (П,У) пРи п>по

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Шляго, П Ю Локальная идентифицируемость параболических уравнений по их дискретизациям [Текст] / П Ю Шляго, H А Бодунов, С А Колбина, под ред Г А Леонова // Нелинейные динамические системы - Вып 5 - СПб Изд С -Петербург ун-та, 2005 - С 31-38

[2] Шляго, П Ю Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций параболических уравнений с параметром [Текст] / П Ю Шляго — M , 2004 - 14 с - Деп в ВИНИТИ 14 05 2004, №813-В2004

[3] Шляго, П Ю Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методов [Текст] / П Ю Шляго//Дифференциальные уравнения и процессы управления — СПб , 2006 - № 3 - С 14-27 - ISSN 1817-2172

[4] Шляго, П Ю Локальная параметрическая идентифицируемость дис-кретизованных параболических уравнений [Текст] / П Ю Шляго // Дифференциальные уравнения — M Наука/Интерпериодика, 2007 — Т 43, № 4 - С 570-571 - ISSN 0374-0641

[5] Shlyago, Р Yu Local îdentifiability of periodic systems by observation of their discretizations [Текст] / P Yu Shlyago, N A Bodunov // Differential Equations and Dynamical Systems An International Journal for Theory, Applications & Computer Simulations — [India], 2006 — Vol 14, N 3/4 — P 315-321 - ISSN 0971-3514

[6] Шляго, П Ю Наблюдаемость нелинейных дифференциальных уравнений при компьютерном моделировании [Текст] / П Ю Шляго // Международная конференция «Пятые Окуневские чтения» тезисы докладов / Балт гос техн ун-т - СПб , 2006 - С 170 - ISBN 5-85546-208-Х

[7] Шляго, П Ю Различимость по наблюдению при компьютерном моделировании сложных процессов [Текст] / П Ю Шляго // Аналитические

и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем сборник статей I Международной научно-технической конференции - Пенза, 2006 - С 172-174 - ISBN 5-8356-0529-3

[8] Шляго, П Ю. Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методов [Текст] / П Ю Шляго / / Молодые ученые — промышленности Северо-Западного региона материалы конференций политехнического симпозиума — СПб Изд-во Политехи ун-та, 2006 - С 101 - ISBN 5-7422-1365-4

В работах [1] и [5] включенные в диссертацию результаты доказаны П Ю Шляго, а постановка задачи принадлежит Н А Бодунову

Подписано в печать 20 09.2007 г. Формат 60 х 84 1/16. Объем 1,2 и л

Тираж 100 экз Заказ № 9/18

Отпечатано в издательстве «Геликон Плюс» 199053, Санкт-Петербург, В О 1-ая линия, д 28 Тел • (812) 327-46-13,328-20-40

Введение

1 Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методов

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи и основной результат.

1.3 Вспомогательные утверждения о трансверсальности гладких отображений.

1.4 Доказательство основной теоремы.

2 Локальная параметрическая идентифицируемость дискре-тизованных параболических уравнений

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Случай линейной зависимости нелинейности от параметра

2.3 Случай кусочно-линейной зависимости нелинейности от параметра и фазовой переменной.

2.4 Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций параболических уравнений с нелинейностью, линейно зависящей от параметра.

3 Локальная идентифицируемость периодических систем по наблюдению их дискретизаций

3.1 Введение.

3.2 Постановка задачи и основной результат.

3.3 Доказательство основного результата.

Основными моделями сложных динамических процессов в естествознании являются нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому, как с теоретической, так и с практической точки зрения важно изучение различных свойств этих уравнений. Одним из таких свойств является свойство параметрической идентифицируемости.

При проведении различных практических экспериментов и при моделировании изучаемая система обычно зависит от некоторого количества параметров. В большинстве случаев набор параметров можно представить в виде вектора некоторой размерности, поэтому далее будем вести речь об одном параметре.

Под параметрической индентифицируемостыо модельной системы подразумевается возможность различить два разных значения параметра системы по поведению ее траекторий при этих значениях параметра.

Пусть Л — множество всех возможных параметров системы. Предположим, что в Л введена некоторая метрика р.

Для большинства классов модельных систем глобальная параметрическая идентифицируемость невозможна, т. е. невозможно различить два любых параметра Ai, Л2 (Ai ф Л2), лежащих в множестве Л, поэтому большую практическую ценность представляет локальная параметрическая идентифицируемость.

Под локальной параметрической идентифицируемостью (локальной идентифицируемостью) модельной системы при значении параметра Ai 6 Л подразумевается существование такого числа е > 0, что по наблюдению траекторий модельной системы возможно различить параметры Ai, А2 при А2 е Л, Ai ф А2 и p(Ai, А2) < е.

Сразу заметим, что для нелинейного дифференциального уравнения нахождение решения в явном виде возможно только в исключительных случаях, поэтому для исследования данных систем используются численные методы. Намеченную выше задачу также целесообразнее рассматривать как для исходной модельной системы, так и для ее аппроксимации.

Выше намеренно не приводились строгие определения, так как четкая формулировка указанных свойств возможна только для каждой конкретной постановки задачи.

Основные условия локальной параметрической идентифицируемости для различных классов уравнений даны, например, в работе [3j.

В главе 1 изучается свойство, близкое к индентифицируемости, — различимость.

Рассмотрим гладкое n-мерное многообразие X класса гладкости С°° и систему дифференциальных уравнений х = F(x), хеХ. (1)

Пусть F € > 1, где — пространство всех векторных нолей класса Сг, определенных на X. Пусть Я € ^(ХД*), где r(X,Rk) — пространство всех отображений класса Сг из X в к > 1.

С практической точки зрения объекты, введенные выше, имеют следующий смысл: система (1) моделирует некоторый сложный процесс, а отображение Н является моделью некоего измеряющего устройства.

Введем в R*) сильную Сг-топологию Уитии.

Через <p(t,x) обозначим траекторию системы (1) с начальными данными to = 0, хо = х. Предположим для определенности, что все решения рассматриваемых систем продолжимы для всех t 6 R.

Пусть dist — риманова метрика на многообразии X.

Определение 1.3. Будем называть семейством численных методов класса Ст и степени р семейство отображений

Ф(Л, •): Х->Х, h > О, класса Ст по х (т > 1, р > 0), аппроксимирующее решения <р системы (1) в следующем смысле: для любого ограниченного подмножества Y С X существует такая константа C(Y), что dist (Ф(h,x),ip(h,x)) < C(Y)hp+l для всех h > О и х Е Y.

Представителя введенного выше семейства будем называть численным методом с шагом h.

Подчеркнем, что мы не предполагаем какой-либо (даже непрерывной) зависимости Ф(/г, х) от шага h. Как обычно, будем обозначать

Ф'(М = Ф(Л,Ф(Л,.Ф(М ■■•)), (2) где справа в формуле (2) функциональный знак Ф повторяется I раз. Будем полагать Ф°(/г, х) = х для всех h их. Фиксируем некоторое натуральное число N.

Определение 1.4. Назовем пару (F, Н) различимой на множестве Y с X по численному методу Ф с шагом h за N шагов, если для любой пары точек (х,у), х ^ у, х,у eY, существует такое натуральное число г < N, что

Н(Ф%х))^Н(Ф%у)).

Рассмотрим систему (1) в Мп. Пусть К0 — такое открытое ограниченное множество в R", что Kq положительно инвариантно относительно системы (1), т.е. p{t,x) £ Kq при х 6 Kq, t> 0.

Подобные множества часто рассматривают, например, при изучении аттракторов автономных систем [13].

Кроме того, предположим, что

F(x) ф 0 при хеК = К~0. (3)

Основной результат главы 1, опубликованный автором в работе [19], — следующее утверждение.

Теорема 1.2. Для фиксированного векторного поля F класса гладкости С2, обладающего свойством (3), Сг-гладкого (г > 1) семейства численных методов Ф(Д,•) степени 1 и числа N = [у] + 1, где [•] — целая часть числа, существует такое число ho > 0, что множество таких функций Н € f<fr(Rn, Шк), для которых пара (F,H) различима по численному методу Ф с шагом h < ho за N шагов на компакте К, является множеством второй категории по Бэру в

Иными словами, свойство функций Н быть различимыми в паре с F по численному методу Ф с шагом h < ho за N шагов на компакте К при описанных выше условиях является типичным в пространстве

Отметим, что теорема 1.2 является обобщением аналогичного утверждения для точных решений из работы [8[ на многомерный случай.

В главе 2 изучается задача о локальной параметрической идентифицируемости для конечномерных динамических систем, порожденных дискретизациями параболических уравнений.

Первые результаты по локальной параметрической идентифицируемости для параболического уравнения формулировались в терминах дискретизаций точных решений (см. теорему 2.1). Однако, как уже указывалось ранее, для нелинейных уравнений построение явных решений практически невозможно, поэтому, как при их компьютерном моделировании, так и при качественном исследовании, важную роль играют конечномерные динамические системы, порождаемые различными схемами дискретизаций. Изучение таких систем, в котором важную роль сыграла работа О. А. Ладыженской [5], превратилось в отдельную область динамических систем, в которой получено много важных результатов.

Рассмотрим общую постановку задачи.

Рассмотрим параболическое уравнение вида f)n В 11

- = — + G(u,X), х € (0,1), t > 0, А £ R,

4) где G — достаточно гладкая скалярная функция. Введем краевые условия Дирихле w(0, t) = u(\,t) = 0 и начальное условие и(х, 0) = где щ — достаточно гладкая скалярная функция, удовлетворяющая краевым условиям, т.е. щ(0) = щ{1) = 0. Рассмотрим аппроскимацию решений данной задачи с помощью иолунеявной схемы Эйлера.

Фиксируем натуральное число М, параметр Л и число h > 0 и положим d = 1

М + 1'

Будем аппроксимировать значения u(md, nh) решений уравнения (4) с п > 0,т € {0,1,., М + 1} числами v™, определяемыми следующим уравнением

П+1 .,71 Avn+[ + G(vn,\), (5) h где „п \ V V vm ьМ и G(vn,\) = ешм,

G(vnM, А) ) v? = uo(id) г = 1,., M, а матрица Л соответствует стандартной аппроксимации второй производной на сетке с шагом d:

ЛА^'-у*-1. t = 1,., м, и краевым условием = fju+i = 0. Ясно, что если значение h столь мало, что матрица J = Ем — hA обратима, где Ем — единичная матрица размера М х М, то схема (5) порождает такое отображение (р : RM —» Мм, что vn+1 = а ip(v) = J~1(v + hG(v,\)). (6)

Перейдем к формулировкам конкретных задач, изучаемых в главе 2. В разделе 2.2 рассматривается дискретизация уравнения типа Чэфи-Инфанте [9] с нелинейностью, линейно зависящей от параметра, т. е. рассматривается параболическое уравнение вида (4) с нелинейностью вида

G(u,A) = A/(u), где Л > 0, а функция / : R —► R класса С2 и удовлетворяет следующим условиям:

1. ДО) = 0, /'(0) = 1;

2. НпНоо^ < 0;

3. uf"(u) < 0 при и ф 0.

Уравнение (4) с нелинейностью f(u), удовлетворяющей условиям 1-3, было впервые изучено Чэфи и Инфанте [9]; соответствующую задачу часто называют задачей Чэфи-Инфанте. Отметим, что условиям 1-3 удовлетворяет, например, функция f(u) = и —и3.

Уравнение (4) с указанной выше нелинейностью G имеет вид

Пусть u\(x,t) G C2xj — решение уравнения (7) с указанной правой частью, удовлетворяющее начальному условию их(х, 0) = и0(х), где «о(я) € (8) и граничному условию

0,0 = «(1,0 = 0- (9)

Будем рассматривать полунеявную дискретизацию уравнения (7) но схеме (5). Отображения (6) иримут следующий вид: ipx(v) = J-l(v + h\l(v)), (10) где J = Ем -hAn h\\A\\ < 1.

Если / € С1 (это условие выполнено, так как изначально / € С2), u)| < L и h\L < 1, (11) то (р\ является диффеоморфизмом класса С1 (показано в работе [12]). Далее будем считать, что условия (И) выполнены.

Определение 2.2. Будем называть траекторией дискретизации уравнения (7) с начальным данным wq Е Мм последовательность wn = <p"(w0), п > 0.

Поставим следующую задачу локальной идентифицируемости. Фиксируем начальное данное Wq Е и рассмотрим соответствующую ему траекторию дискретизации wn.

Определение 2.3. Будем говорить, что уравнение (7) локально идентифицируемо при параметре Ао по наблюдению траектории дискретизации wn с начальным данным Wo, если существует такое число 5 > 0, что для любого параметра А,0<|А — Ао|<£и для любого начального данного щ € Шм, найдется такое натуральное число щ, что при п>щ аЫ Ф <Рх оМ- (12)

Обозначим через В множество пар (А, /), где А > 0, а функция / G С2 и удовлетворяет перечисленным выше условиям 1-3 и (11).

Из условия 1 и формулы (10) следует, что 0 — неподвижная точка диффеоморфизма (р\ при любом А > 0.

Основным результатом раздела 2.2 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [15].

Теорема 2.2. Пусть пара (Ао,/) Е В и обладает следующими свойствами:

1. все неподвижные точки диффеоморфизма ip\Q гиперболические;

2, неподвижная точка v = 0 диффеоморфизма ср\0 неустойчива.

Тогда для открытого и плотного в множества начальных данных wq уравнение (7) локально идентифицируемо при Ао по наблюдению траектории дискретизации wn с начальным данным ijuq.

В разделе 2.3 изучается некий общий класс конечномерных отображений, порождаемых кусочно-линейными функциями фазовой переменной и параметра. Класс таких отображений включает в себя отображения, порожденные полуиеявной схемой Эйлера, и поэтому такая постановка задачи естественно примыкает к задаче, изученной в разделе 2.2. и

Предположение о кусочной линейности функции, порождающей изучаемое отображение, соответствует наиболее распространенному методу аппроксимаций нелинейных функций их значениями на сетках.

Рассмотрим семейство положительно определенных, симметричных матриц В (К) размера М х М, М Е N, зависящих от параметра h > 0. Фиксируем непрерывную скалярную функцию д, зависящую от параметра Л £ R и рассмотрим отображение

Iм Мм, задаваемое формулой p9ix(v) = B(h)(v + hg{v, А)),

13) где г; = VM ьм и Л) =

0(*>1,А)

9м

Очевидно, что отображение (6), полученное с помощью полунеявной схемы Эйлера, является частным случаем отображений (13), поэтому результаты, полученные для отображения (13), справедливы и для дискретизации параболического уравнения.

Отметим, что при компьютерном моделировании и тому подобных расчетах все используемые функции вычисляются лишь на некотором дискретном множестве значений, поэтому вполне естественно можно заменить функцию g(v, А) некоторой ее аппроксимацией. В качестве такой аппроксимации мы будем брать кусочно-линейную функцию, совпадающую с исходной на некоторой прямоугольной сетке.

Рассмотрим плоскость х, А (х G R, А 6 R) и введем на ней прямоугольную сетку, симметричную относительно начала координат, т. е. фиксируем натуральное число N, и числа hx, h\ > 0, пусть Г = {—N,., N} — множество индексов узлов, а 7jj = (ihx,jh\), i,j Е Г, — узлы сетки.

Положим

X = l-Nhx, Nhx], Л = [-Nhx, Nhx].

Фиксируем набор чисел дц — g(%j), i,j 6 А, и построим по этому набору кусочно-линейную функцию / таким образом, что f(%j) = дц-Положим в треугольниках 7у, 7i+1j, 7i+i,j+b hj G {-N, • • N - 1}, ж, A) = + te+ij+i - ffi+i,j)A 1/'^ + x-(i + l)hx gi+i,j - gij)hx а в треугольниках 7fj, y+ij+h %j+h hJ € ■ ■ ■, N - 1}, ж, A) - &J+1 + tej+1 - -^-+ x - ihx

H9i+l,j+l ~ ffij+1)—д-, т. е. в каждом из треугольников разбиения функция / задается уравнением плоскости. Следовательно, эта функция определена и непрерывна в прямоугольнике X х Л.

Продолжим функцию / непрерывно на все пространство R2 так, чтобы при любом фиксированном А Е Л функция / обладала глобальной константой Липшица L(/, А) но х на всей вещественной оси.

Обозначим через £ множество всех кусочно-линейных функций, построенных по описанной схеме на фиксированной сетке. Для множества С введем метрику p(!uh) = max \fi{%j) ~ f2{%j)\.

Обозначим полученное пространство через Т. Пусть для любого А € А выполнено неравенство

2/iL(/,A)<l, (14)

Из (14) следует, что отображение является гомеоморфизмом Жм —► Жм (см. лемму 2.1).

Предположим, что для фиксированного параметра Л € Л существует такое число Р\ > 0, что из неравенств

РА, г = 1,., Л/ следует, что

WI < А, (15) где vn+1 = (pfl\(vn), v° € Mm, n € N.

Иными словами, предположим, что для фиксированного Л все положительные полутраектории отображения у^д, начинающиеся в М-мерном гиперкубе е=[-РХ1Рх]х.х[-Рх,Рх], остаются в этом гиперкубе.

Данным свойством обладают, например, диссипативные системы. Будем считать, что возможно выбрать такое значение hx, что для всех А £ Л выполнено неравенство

Р\ < Nhx.

Будем, кроме того, предполагать, что неподвижные точки отображения (р/д принадлежат множеству

Xм = X х . х X.

Основным результатом раздела 2.3, опубликованным в работе автора [21], является следующая теорема.

Теорема 2.3. Существует такое открытое и плотное подмножество Т' пространства Т, что если / € Т', а А е Л, то существует такое число е > 0 (зависящее от f и X), что для любых точек £ Мм и параметра Ло с 0 < |А — Ао| < £ существует такое натуральное число щ, что vn ф wn при п > щ, где vl+l = ipf,\(vl) и wl+1 = (pf,\x(wl).

Иными словами, при сформулированных условиях в типичном случае параметр А € Л локально идентифицируем по наблюдению траекторий отображений (р\ с любыми начальными данными.

В разделе 2.4 показывается, что свойство гиперболичности неподвижных точек является типичным свойством для дискретизаций параболических уравнений с параметром. Этот результат говорит о том, что условие 1 теоремы 2.2 из раздела 2.2 не является существенным ограничением на множество идентифицируемых значений параметра А.

Рассмотрим параболическое уравнение вида (4) с нелинейностью вида

G(u,X) = Xf(u), где А > 0, с начальными данными и(х, 0) = щ{х) и граничными условиями и( 0, t) = и(1, t) = 0.

Будем рассматривать полунеявную дискретизацию уравнения (4) но схеме (5). Отображения (6) примут следующий вид: tp(u) = J-1(u + h\l{u))i (16) где J = Ем- НА и h\\A\\ < 1. Как уже упоминалось ранее, если feC\ \f'(u)\<C, hXC< 1, (17) то if является диффеоморфизмом класса С1 (показано в работе [12]). Далее будем считать, что условия (17) выполнены.

За основу дальнейших рассуждений, взята методика из работы [10] (в которой рассматривается соответствующая задача для нелииейностей, не зависящих от параметра).

Рассмотрим пространство пар (Л, /), где Л > 0, / € СР(Ш). Обозначим его через РСР.

Для пар £ = (а,/), 7] = (b,g) G РСР, натурального числа р > 1 и множества Л Cl определим v г=0 2:671

Введем в PC1' топологию равномерной PC7-сходимости. Пространство РСР с введенной топологией обозначим через Тр. Фиксируем компактное множество К С Мм.

Основным результатом раздела 2.4 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [16].

Теорема 2.4. Для р> 1 множество

ТС1'(К) = { (Л, /) € J7? | неподвижные точки диффеоморфизма (р в К гиперболические} является множеством второй категории по Бэру в Tv.

В главе 3 постановка задачи идентифицируемости для системы дифференциальных уравнений i = f(t,x,\), (19) где Л — параметр, следует работе [11].

Как правило, точные решения нелинейной системы (19) неизвестны, поэтому в большинстве случаев применяют численные методы, чтобы построить приближенные решения. В этом случае особый интерес представляют условия на характеристики применяемого численного метода (например, на его порядок) и на шаг метода по времени, при которых возможно идентифицировать параметр системы с заданной точностью (в этом задача близка к Вопросу II во введении работы [14]). дг f дга щм-црм

18)

В главе 3 рассматривается описанная выше задача в случае, когда система (19) является ^-периодической по t и имеет гиперболически устойчивое ^-периодическое решение при Л = Ао

Рассмотрим систему (19), где х Е RN, A Е Жт, и f(t + ш, х, А) = f(t, х, А) для всех t, х: А и некоторого и > 0.

Предполагается, что функция / достаточно гладкая по х и А. Обозначим через x(t,to,xо, А) решение задачи Коши x(to) = хо системы (19). Если решение x(t,Q,xo, А) определено на отрезке [0,и>], то отображение Пуанкаре Т\ определено в точке xq следующим образом:

Т\(х0) = х(и,0,х0,Х).

Пусть ip\0 — ^-периодическое решение системы (19) и пусть р(Ао) = ^Ао(О) — ег0 начальное значение при t = 0.

Определение 3.1. Будем называть периодическое решение ip\0(t) гиперболически устойчивым, если собственные числа /ij матрицы Якоби DT\0{p{Ао)) удовлетворяют неравенствам м<1, j — 1,., iV. (20)

Наше основное предположение заключается в следующем: для А = Ао, система (19) имеет ы-периодическое решение (px0(t), и это решение гиперболически устойчиво.

Легко показывается, что при А близких к Ао, система (19) имеет такие ^-периодические решения tp\(t), что их начальные значения р(X) = <£>л(0) удовлетворяют соотношению р(А) —> р(Ло), А —> Ао

Сами решения <-p\{t) гиперболически устойчивы, так как DT\(p(X)) непрерывно зависит от Л, а, следовательно, собственные числа матриц Якоби DTx(p(\)) удовлетворяют неравенствам (20) при Л, близких к Ао

Не умаляя общности, предположим, что период системы (19) ш равен 1. Рассмотрим численный метод Фд^ для системы (19) с шагом по времени h — где v — натуральное число. Предположим, что метод имеет порядок q, т. е. оценка погрешности метода на одном шаге: x(t0 + h, to,x0l А) - Фд^о, х0)\ < Chq+l, (21) где С — единая константа для всех начальных значений xq из компактного подмножества множества RN, для всех h > 0, и для всех Л, принадлежащих ограниченному подмножеству множества Rm. Фиксируем шаг по времени 0 < h < 1.

Процедура идентификации основана на рассмотрении векторов тх(п,хо) = П^хо1 (22) которые аппроксимируют значения х(п, 0, хо, А) = Т£(хо) итераций отображения Пуакаре.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема, опубликованная автором в работе [22].

Теорема 3.1. Предположим, что существуют такие положительные числа ао, А и I, что

Ь(А)-р(Ао)|>Л|А-Ло|' (23) при |А — Aq| < ао. Ihjcmb R — компактное подмножество области притяжения В\0 притягивающей неподвижной точки р(Хо) отобраэ/сения ТАо. Тогда существует такое число > 0, что система (19) локально идентифицируема по наблюдению значений (22) в следующем смысле: для любого числа А, 0 < |А — Ао| < а\, существуют такие числа ho и щ, что earn h < ho и х,у £ R, то т\(%х) ф т\0(п,у) (24) при п > щ.

1. Бодунов, Н. А. Введение в теорию локальной параметрической идентифицируемости Текст] / Н. А. Бодунов— СПб.: Изд. С.Петербург. ун-та, 2006. — 144 с.

2. Бодунов, Н. А. Условия локальной идентифицируемости нелинейных систем при дискретных наблюдениях Текст] / Н. А. Бодунов, Е. В. Постников // Известия высших учебных заведений. Математика.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992.- № П. С. 8-11.- ISSN 0021-3443

3. Голубицкий, М. Устойчивые отображения и их особенности Текст]: [пер. с англ.] / М. Голубицкий, В. Гийемин— М.: Мир, 1997.-296 с.

4. Ладыженская, О. А. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы Текст] / О. А. Ладыженская— 1991.— Препринт ЛОМИ Р-5-91.

5. Малец, М. Н. Типичная динамика некоторых отображений, определяемых кусочно-линейными функциями Текст] / М. Н. Малец, С. Ю. Пилюгин // Дифференциальные уравнения.— М.: Наука/Интерпериодика, 2005.- Т. 41, № 2,- С. 1-8.- ISSN 0374-0641

6. Abraham, R. Transversal mappings and flows Текст] / R. Abraham, J. W. Robbin- New York: Benjamin W. A., 1967.- 161 p.

7. Aeyels, D. Generic observability of differentiable systems Текст] / D. Aeyels // SIAM J. Control and optimization.— 1981.— Vol. 19, N 5.- P. 595-603.- ISSN 0363-0129

8. Chafee, N. A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equation of parabolic type Текст] / N. Chafee, E. F. Infante // Applicable Anal. London: Taylor & Francis, 1974.- Vol. 4.- P. 17-37. — ISSN 0003-6811

9. Eirola, T. Pseudotrajectories generated by a discretization of a parabolic equation Текст] / Т. Eirola, S. Y. Pilyugin //J. Dynam. Diff. Equat. — Springer Netherlands, 1996.- Vol. 8, N 2- P. 281-297.-ISSN 1040-7294

10. Grewal, M. S. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems Текст] / M. S. Grewal, K. Glover // IEEE Trans, on Automat. Control.- IEEE Control Systems Society, 1976,- Vol. 21, N 6.- P. 833-837.-ISSN 0018-9286

11. Oliva, W. M. Diffeomorphisms of Rn with oscillatory Jacobians Текст] / W. M. Oliva, N. M. Kuhl, L. T. Magalhaes // Publ. Mat.-Barcelona, 1993.- Vol. 37, N 2 P. 255-269. - ISSN 0214-1493

12. Pilyugin, S. Yu. The space of dynamical systems with the C°-topology Текст] / S. Yu. Pilyugin // Lecture Notes in Math. — Springer Berlin / Heidelberg, 1994.- Vol. 1571.- 142 p. ISSN 0075-8434.- ISBN 978-3-540-57702-7

13. Stuart, A. M. Dynamical Systems and Numerical Analysis Текст] / A. M. Stuart, A. R. Humphries.— Cambridge Univ. Press, 1999. — 709 p. — ISBN 0-5216-4563-8Публикации автора по теме диссертации

14. Шляго, П. Ю. Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций параболических уравнений с параметром Текст] / П. 10. Шляго- М., 2004.- 14 е.- Деп. в ВИНИТИ 14.05.2004, №813-В2004.

15. Шляго, П. Ю. Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методовТекст. / П. Ю. Шляго // Дифференциальные уравнения и процессы управления. СПб., 2006. - № 3. - С. 14-27. - ISSN 1817-2172.

16. Шляго, П. Ю. Локальная параметрическая идентифицируемость дискретизованных параболических уравнений Текст] / П. Ю. Шляго// Дифференциальные уравнения, —М.: Наука/Интериериодика, 2007. Т. 43, № 4. - С. 570-571. - ISSN 0374-0641