Структурная идентифицируемость линейных параметрических моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

«з од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 519.71 * 661.5.015

ЛОМОВ Андрей Александрович

СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ ЛИНЕИНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

01.01.0Э - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 1993

Работа выполнена в Институте математики СО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Аниконов Ю.Е.

доктор технических наук профессор Анисимов A.C.

Ведущая организация: Томский государственный университет, факультет прикладной математики и кибернетики

Защита состоится " ^ ^ " И-<-'*М.рЛ 1ддз г> в /9" часов на заседании Специализированного совета

Д 002.23.03 в Институте математики СО РАН по адресу:

Новосибирск, 630090, Университетский проспект, 4, Институт математики.

С диссертацией можно ознакомиться ■ в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "¿3 ■■ Ьил. 1993 г>

Учёный секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук

A.B. Косточка

Актуальность темы. Задачи идентификации и анализа идентифицируемости линейных параметрических моделей являются типичными для прикладных задач оптимального управления, при обработке измерительной информации в технике, геофизике, медицине, экологии и многих других областях, где требуется точное знание математической модели исследуемого объекта.

В настоящей работе исследуется возможность получения конструктивных (т. е. допускающих реализацию в виде алгоритма) критериев структурной идентифицируемости линейных параметрических моделей. Класс структурно идентифицируемых моделей характеризуется тем, что при условии полноты исходных данных ати модели имеют единственное оптимальное значение идентифицируемых параметров, что значительно, упрощает построение устойчивых алгоритмов идентификации. Основное внимание в диссертации уделено случаю стационарных дискретных моделей, и в частности, случаю разностных аналогов стационарных непрерывных (дифференциальных) моделей.

Проблема структурной идентифицируемости линейных моделей к настоящему времени была конструктивно решена лишь для систем из ряда конкретных классов, в предположении устойчивости и управляемости, что существенно сужало область применимости теории. В диссертации получены новые конструктивные условия структурной идентифицируемости для широких классов линейных параметрических моделей, без ограничений на устойчивость и управляемость.

Работа также касается одного из центральных вопросов теории стационарных линейных систем - связи между тремя типами эквивалентных описаний: калмановскими, многочленными (операторными) и описаниями без переменных состояния ("авторегрессия - скользящее среднее"). Известные алгоритмы перехода к многочленному описанию предполагают либо кусочную непрерывность траекторий системы, либо (в дискретном случае) актуальную бесконечность интервала наблюдения. В работе построены алгоритмы перехода от одного типа описания к другому без преобразования Лапласа, путём установления соответствия между специальными классами клеточно-тёлицевых и многочленных матриц, для дискретных систем с произвольным

конечным интервалом наблюдения.

Особенностью работы является предположение об отсутствии возмущений в исходных данных. Это предположение сделано с целью сосредоточиться на чисто алгебраической стороне проблемы, отделив её от вероятностно-статистических аспектов.

Цель работы. 1) Получение конструктивных достаточных условий структурной идентифицируемости линейных

параметрических моделей. 2) Поиск классов моделей, для которых возможно получение конструктивных необходимых и достаточных условий структурной идентифицируемости. 3) Описание множества идентифицируемых структур с минимальным числом фиксированных параметров. 4) Изучение классов эквивалентных описаний дискретных стационарных линейных систем на конечном интервале наблюдения. 5) Исследование возможности применения аналитического аппарата' теории непрерывных стационарных линейных систем (алгебры многочленных и рациональных матриц) к описанию дискретных систем с конечным интервалом наблюдения.

Методы исследования. Методы линейной алгебры и алгебры многочленных и рациональных матриц.

Научная новизна. Получены конструктивные достаточные условия структурной идентифицируемости линейных

параметрических моделей, более близкие к необходимым, чем известные, и при более слабых ограничениях на параметризацию. Для широких классов моделей получены конструктивные необходимые и достаточные условия структурной идентифицируемости. Описано множество идентифицируемых структур с минимальным числом фиксированных параметров (при свободной параметризации). Построены минимальные описания без переменных состояния (в пространстве траекторий) для дискретных стационарных линейных систем с конечным интервалом наблюдения; изучен класс эквивалентных минимальных описаний и установлена его связь с алгеброй многочленных и рациональных матриц.

Практическая ценность. Результаты диссертации находят применение при построении систем автоматического управления движущимися объектами. В частности, результаты главы 4 об условиях идентифицируемости разностных аналогов линейных дифференциальных моделей позволили качественно объяснить явление неустойчивости работы алгоритмов идентификации при оценке параметров конкретного объекта в замкнутом контуре управления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1Х-й и Х-й Всесоюзной (Международной) конференциях по теоретической кибернетике (Волгоград, 1990, Саратов, 1993), на научных семинарах ИМ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Объём работы - 129 машинописных страниц. Список литературы содержит 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность работы и кратко излагается содержание диссертации по главам и параграфам.

Первая глава носит в основном справочный характер. В §1.1 даны основные определения и обозначения, сформулирована исследуемая задача, даётся обзор современного состояния проблемы. В § 1.2 изложены результаты исследования.

Пусть измеренные характеристики объекта являются точками в конечномерном евклидовом пространстве й'. Описание/я (уравнением) линейной модели назовем систему условий

вдг-0 , 2£йг, (1.1.1.1)

где бе - матрица тг*? с элементами, непрерывно зависящими от векторного параметра в в некоторой области в е Множество решений системы (1.1.1.1) (правое

нуль-пространство л(Рв) матрицы Ge) назовём модельным многообразием характеристик {моделью):

г £Re: Cez =-0} . (1.1.1.2)

Модели хв (1.1.1.2) при различных в е п образуют параметрическое семейство

тя = {яв: вей) ,

которое будем называть параметрической моделью. Отображение

у.:

назовём параметризацией модели т. Аналогично определим семейство описаний

с параметризацией

т: Пош ,

которую по определению полагаем непрерывной и взаимно-однозначной.

Пусть ge^Rc - вектор, составленный из всех зависящих

от е с fi s Rv элементов матрицы Gg. Если якобиевая матрица dgg/de является квадратной и неособенной (в точке в), то параметризация т называется локально-независимой / (в в). Если параметризация г локально-независима, ii = Rv, и якобиан dge/de не зависит от в, то параметризацию т называем свободной (будем писать Ge е СП).

Модель го называем невырождаемой, если размерность элементов мд параметрического семейства m не зависит от параметра в: V e,£ £ Q dim. хе =dim Описание ®

называем минимальным, если для всех в е Q матрица GB системы (1.1.1.1) содержит наименьшее возможное количество строк п: V в ей n-codim.

Везде далее рассматриваются только невырождаемые модели с минимальными описаниями. Это условие записывается в виде равенства

• V в с a tank Gg-const-п. (1.1.1.6)

Элемент матрицы описания (1.1.1.1) называем фиксированным, если он не зависит от в.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.4.1, Параметрическая модель m

называется структурно идентифицируемой (просто

идентифицируемой), если соответствие fi'1: т ->fi

однозначно. А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.4.2, Параметрическая модель m называется идентифицируемой в точке в, если для всех £ еfi\{0} имеет место И^ФЛд. А.

В главе 2 изучается идентифицируемость моделей с

описаниями (1.1.1.1), (1.1.1.5), без специальных ограничений на структуру матрицы системы Gg. Этот случай самый простой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1.1, Модели Ng, (1.1.1.2) с

описаниями Ggr G? (1.1.1.1) совпадают тогда (и только),

когда существует неособенная матрица Р, такая что

PGe=G?. А.

Пусть Gig, i е [1,7i], - подматрица из столбцов Ggf в которых i-й элемент не зависит от в (фиксирован).

ТЕОРЕМА 2.1.1 (достаточное условие идентифицируемости). Если для всех ie[l,n] имеет место tank Gt д =mai =п, то система (1.1.1.1) идентифицируема в точке в. ' А.

Обозначим S(Ge), вей, множество "допустимых приращений" матрицы Gg: В(Gg)~{G(-Gg: £ eilj. И пусть T(G) cR71** - множество всех матриц п><1 с нулями на местах Фиксированных элементов Gg. Очевидно, r(G) есть линейное пространство с нулём Опхг , и для всех 0 е Q множество S(Gs) вложено в V(G).

ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть выполнено (1.1.1.5) и

параметризация т такова, что любой луч в пространстве матриц *V(G) с началом в нуле 0^xf пересекает множество S(Ge)\{On><i}, то есть V X с V(G)\{On><e} 3 Л е R1 АХ е S(Ge)\{Onxi>. Тогда условия идентифицируемости в точке в (Теорема 2.1.1) являются необходимыми и достаточными. А.

ТЕОРЕМА 2.1.3. Для локально-независимых параметризаций условия Теоремы 1 являются необходимыми и достаточными. А.

ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть элементы матрицы Се некоторого

линейного описания (1.1.1.1) зависят от е непрерывным

образом. Тогда свойство идентифицируемости модели (1.1.1.2)

в точке в является "грубым" (устойчивым) по

отношению к малым изменениям параметра в. Д.

Остальную часть главы 2 (§§ 2.2, 2.3) занимает доказательство двух теорем о структуре описаний идентифицируемых и невырождаемых моделей со свободной параметризацией. Условимся обозначать символом х элементы матрицы Сд со свойством "фиксирован и не равен нулю" (независимо от значения). Символом у - элементы со свойством "зависит от в".

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если выполнено (1.1.1.5) и

число фиксированных элементов в п(п+1)/2, и равенство достигается все столбцы ве, в которых есть образуют подматрицу, 'X

столбцов к виду

1о

Фиксированных нулей, ненулевых элементов, элементов.

'в

вд с СП, то больше либо равно тогда (и только), когда Фиксированные элементы, перестановкой строк и

есСП,

приводимую ^ , где "0"

X,

"Х...Х" - фиксированная "у" - треугольник

- треугольник из

диагональ из из свободных

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть с СП, выполнено (1.1.1.5), и параметрическая модель го идентифицируема. Тогда число Фиксированных элементов в вд больше либо равно пг, и равенство достигается тогда (и только), когда все

другим, А.

фиксированные элементы в йд расположены один под

образуя неособенную подматрицу п*п.

В главах 3, 4 изучается частный случай параметрических моделей - стационарные модели.

Систему (1.1.1.1) с матрицей йд клеточно-твплицевого вида:

ад... ад

О 1

о

линейных

специального

( 1.1.2.1)

назовём стационарной. Эквивалентная форма записи системы

в

(1.1.1.1), (1.1.2.1) среднего (ЛРСС):

«оУ* + •

система абторвгресаии и скользящего

- + - I3оин + - + Рриъ+р >

к е [1,Я-р] , (1.1.2.5)

, ] £ [0,р] ,

Множество решений стационарной системы (1.1.1.1), (1.1.2.1), (1.1.2.5) состоит из стационарных траекторий и нестационарных добавок (§ 3.4).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2.1. Стационарной моделью называем подмножество решений системы (1.1.2.5), которые продолжаемы вперед на ДN £ р(г-1) тактов, то есть удовлетворяют системе (1.1.2.5) с Ке[1,ЛГ'-р], Л/' -Ы+АЫ.

А.

В § 3.2 установлено, что данное определение стационарной модели эквивалентно "традиционному" определению через стационарное калмановское описание.

Основной результат главы 3 состоит в том, что стационарная калмановская система с точки зрения многообразия решений эквивалентна некоторой системе (1.1.1.1), (1.1.2.1), (1.1.2.5) с матрицей ё9:

Го Гх ••• Гр ?о •••

(3.2.2а)

При этом подматрица 9 "(/сцУ^-чУр) такова,

соответствующая многочленная матрица ^(з) = имеет структуру:

?(я) - (г(з),Ау(э)),

строчно-минимальна,

1«[1,г- 1]

Здесь *... ¡5 дг, щТ~р - степени строк

что р

7Р*

(3.2.26)

(§ 3.2).

Обратно, для всякой матрицы ёд (3.2,2) можно указать стационарную калмановскую систему, множество решений которой совпадает с правым нуль-пространством Gg.

Матрицы вида (3.2.2) названы ■ в диссертации расширенными клеточно-тёплицебъиш (РКТ-) матрицами. Смысл "расширения" A/(s) состоит, нестрого говоря, в удалении нестационарных добавок из правого нуль-пространства Сд.

Описание (1.1.1,1) с матрицей Gg (3.2.2) не является минимальным, поскольку Gg содержит повторяющиеся строки (для формального сохранения клеточно-тёплицевой структуры). Минимальное описание Gg получается из Gg простым удалением всех повторяющихся и нулевых строк.

Б §§ 3.3-3.5 путём анализа структуры расширенных клеточно-тёплицевых матриц установлено соответствие между классом эквивалентных описаний дискретной стационарной системы на конечном интервале наблюдения и алгеброй многочленных и рациональных матриц. Это позволило распространить аналитический аппарат теории непрерывных систем на дискретные системы с конечным интервалом наблюдения, и, в частности, 1) описать все нестационарные добавки в множестве решений системы "авторегрессия скользящее среднее" (§ 3.4), 2) указать алгоритм исключения переменных состояния в калмановской системе общего вида (§ 3.5), 3) дать выражение для предельного значения передаточной функции системы (п. 3.3.2), 4) просто доказать теорему о структурной идентифицируемости разностных аналогов дифференциальных моделей (§ 4.3).

Согласно Определению 1.1.2.1, все траектории стационарной модели продолжаемы "вперёд". В § 3.6 установлено, что если ограничиться рассмотрением моделей, траектории которых продолжаемы не только вперёд, но и назад, то соответствующее минимальное описание получается из Gg, Gв (3.2.2) сокращением в матрице f(s) всех левых сомножителей с определителем вида s , kzi. То есть jr(s) заменяется на матрицу f (s) ^ n(s)"V(s), где л (s) наибольший левый делитель y(s) такой, что что все корни уравнения det J7(s)=0 нулевые. Нестрого говоря, это имеет смысл выравнивания строк числовой матрицы Jr&Qro»lri»-»l/>) по левой границе.

В главе 4 исследуется идентифицируемость стационарных моделей с описаниями (1.1.1.1), (1.1.2.1), (1.1.2.5). Приняты следующие ограничения на параметризацию:

Vflcß Yg(s) строчно-минитальна (R1)

Vecfi tank Ye(.S)=max=r (R2)

V £ П deq yg(s)-deq Y((.S ) , (R3)

где deq - сумма степеней строк. Ограничения (R1)-(R3) имеют смысл условий минимальности и невырождаемости (1.1.1.5), и являются более слабыми, чем ограничения, накладываемые другими авторами. В частности, условиям (R1)-(R3) могут удовлетворять системы без "традиционных" свойств устойчивости и управляемости (§• 4.1).

В § 4.2 выводятся конструктивные ранговые условия идентифицируемости стационарных моделей.

ТЕОРЕМА 4.2.1. Стационарная модель с описанием (1.1.1.1), Ge-Gg (3.2.2) идентифицируема в .точке е еQ тогда (и только), когда

NM N . - - _ _ _

Pfe~Yf. > влечёт р-1, 5-е ,

или (эквивалентно)

p(s)re(s) = 7?(s) , е,£еп влечёт p(s)=l, £=е .

Л.

Обозначим Yt д подматрицу из столбцов ув, в которых i-й элемент не зависит от в с £2 (фиксирован).

ТЕОРЕМА 4.2.2 (достаточное условие идентифицируемости). Если V ie[l,r] tank Yi9-r, где г - число строк Ye> то стационарная модель с описанием (1.1.1.1), Gg-Se (3.2.2) идентифицируема в точке sc П.

ТЕОРЕМА 4.2.3. Если параметризация т матрицы ув в

точке в локально-независима, то достаточное условие

идентифицируемости из Теоремы 4.2.2 является в то

же время и необходимым. ▲.

Отмечается, что основные результаты главы 1 (теоремы 2.1.1? 2.1.3) - можно вывести как следствия теорем 4.2,2, 4.2.3 (Замечание 4.2.1).

Б § 4.1 вводится понятие разностного аналога

дифференциальной модели. Пусть система (1.1.2.5) получене из дифференциального уравнения

а0у(«+ ... + ... + Ърч& ,

t 6 [0,71, gj - (CLj, -bj), J e [0,p],

заменой производных конечными разностями. Тогда r(s) = g(ip(s)), где g(s) Ag0s°+...+ g^ , и <p(s) разностный аналог оператора дифференцирования (многочлен от оператора сдвига s). Параметризацию матрицы ye(s) = ge(ip(s)) называем кдазидифференциальной, а соответствующую модель -разностным аналогом дифференциальной модели с матрицей ge(3/ôt).

На параметризацию матрицы ge(s) налагаются ограничения;

V в с £2 ge(s) строчно-минимальна (D1)

V ее £2 tan ge{s)-max -Г (D2)

V deç ge{s)-deq gç(s) . fD3J

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1.2. Если ye(s) = ge(ip(s)), то (Dl) •*■»■ (RI), (D2) <=► (R2) и (D3)^(R3). A.

ТЕОРЕМА 4.3.1. Пусть существует многочлен p(s) такой, что re(s)-ge(<P(s)), и выполнены условия (M)-(D3). Тогда разностная модель с описанием fe(s) идентифицируема, если только идентифицируема разностная модель с описанием ge(s).

А.

Другими словами, для исследования идентифицируемости разностного аналога следует использовать теоремы 4.2.1-3 с формальной заменой на ge (<p(s) на s).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены конструктивные достаточные условия структурной идентифицируемости линейных параметрических моделей, более близкие к необходимым, чем известные, и при более слабых ограничениях на параметризацию.

2. Для широких классов моделей получены конструктивные необходимые и достаточные условия структурной идентифицируемости.

3. Описано множество идентифицируемых структур с минимальным числом фиксированных параметров (при свободной параметризации).

4. Построены минимальные описания без переменных состояния (в пространстве траекторий) для дискретных стационарных линейных систем с конечным интервалом наблюдения. Изучен класс эквивалентных минимальных описаний и установлена его связь с алгеброй многочленных и рациональных матриц.

По теме диссертации опубликованы следующие работы;

1. Ломов A.A. Конструктивные условия идентифицируемости линейных параметрических моделей // Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики", Волгоград, сентябрь 1990. Часть I (1). - С. 6S.

2. Ломов A.A. Условия корректности линейных параметрических моделей. - Новосибирск, 1992. - 30 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 21).

3. Ломов A.A. Условия корректности линейных параметрических моделей (стационарный динамический случай). - Новосибирск, 1992, - 50 с. - (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 27).

4. Ломов A.A. Управляемость векторных систем "авторегрессия - скользящее среднее". - Новосибирск, 1993. -22 е.- (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 1).

5. Ломов A.A. Конструктивные условия идентифицируемости линейных динамических систем // Методы и системы технической диагностики. - Саратов: Изд.-во Саратовского ун-та, 1993. - Вып. 16 (Тезисы докладов X Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики", Саратов, июнь 1993). - С. 114-115.

Подписано к печати 6.10.1993

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 0,8 п.л., 0,7 уч.-изд.л. Заказ 80 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте ИМ СО РАН 630090, Новосибирск, 90