Исследование интегрируемого приближения задачи о движении точки в гравитационном поле твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

□ОЗОБО111

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531 3+521 1

В аскез Бесерра Хуан Антонио

Исследование интегрируемого приближения задачи о движении точки в гравитационном поле твёрдого тела

Специальность 01 02 01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/Л X

I 4 КЦЙ Ш1

/

Москва, 2007 г

003060111

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор А А Кочиев, доктор физико-математических наук, профессор Я В Татаринов

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор С Г Журавлев, кандидат физико-математических наук Р М Бебенин

Ведущая организация

Вычислительный центр РАН им А А Дородницына

Защита состоится «30» мая 2007 года в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 501 001 22 по механике при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу

119992, г Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан « Z г7 » Д2007 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 22 кандидат физико-математических наук, доцент,

Актуальность темы. Среди многочисленных проблем теоретической и небесной механики, а также звездной динамики особое место занимает задача отыскания решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движение исследуемых объектов при использований различных моделей гравитационных полей

Как правило, аналитические решения таких систем не удается найти, и поэтому на повестку дня встает вопрос выбора таких моделей, которые при сохранении основных свойств рассматриваемой динамической системы, допускали бы, тем не менее, существование некоторых первых интегралов или даже интегрирование в квадратурах соответствующих дифференциальных уравнений Поиск и исследование таких, так называемых интегрируемых приближений, будет вестись всегда и всегда будут актуальны

Сказанное относится и к задаче о движении материальной точки в гравитационном поле неподвижного абсолютно твердого тела Это одна из основных задач небесной механики, она стала особенно востребованной после запуска первого советского искусственного спутника Земли в 1957 г. Интегрируемые небесной, механики описаны в монографиях В Г Демина, В В Белецкого, а также недавно изданной монографии А М Переломова Отметим, однако, что рассматриваемого в диссертации нового потенциала (предложен ААКочиевым) нет среди них. Это определяет актуальность диссертации

Цель работы. Сравнение рассматриваемого потенциала с другими, выявление стационарных движений и установление их устойчивости по Ляпунову, качественный анализ областей возможности движения в зависимости от констант первых интегралов

Научная новизна. Результаты являются новыми Изучен новый приближенный потенциал для гравитационного поля твердого тела, являющийся некоторым аналогом потенциала задачи двух неподвижных центров Установлена его связь с потенциалом поля тяготения твердого тела и однородного кольца Гаусса Уравнения движения сведены к квадратурам задачи методом Якоби Выявлен класс стационарных (круговых) движений и установлена их устойчивость или неустойчивость по Ляпунову Проведен качественный анализ областей возможности движения

Теоретическая и практическая ценность результатов работы. Дана методика интегрирования «в квадратурах» уравнений движения материальной точки в гравитационном поле твердого тела, потенциал которого аппроксимируется потенциалом некоторого аналога задачи двух неподвижных центров. В полученных промежуточных орбитах учтена главная часть возмущающей функции

Апробация работы. Результаты диссертации частично и целиком докладывались на научно-исследовательских семинарах следующих организаций

1 Кафедра теоретической механики и мехатроники механико-математаческого факультета МГУ им М В. Ломоносова

1 1. "Гамильтоновы системы и статистическая механика" Руководители академик В В Козлов, член-корреспондент РАН Д В Трещев, проф С В Болотин

1 2 "Аналитическая механика и устойчивость движения". Руководители академик В В.Румянцев, член-корреспондент РАН В В Белецкий, проф А В Карапетян

1 3 "Механика космического полета" (им В А Егорова) Руководители член-корреспондент РАН В В Белецкий, проф В В Сазонов

1 4. "Динамика относительного движения" Руководители член-корреспондент РАН В В Белецкий, проф Ю Ф Голубев, доц К ЕЛкимова, доц Е В Мелкумова

2 Отдел механики ВЦ РАН им А А Дородницына Руководители проф С Л Степанов, проф А В Карапетян

3 Совет по небесной механике и астрометрии Государственного астрономического института им П К Штернберга при МГУ им М В. Ломоносова Руководитель доц Л Г Лукьянов

4 Кафедра астрономии и космической геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии Руководитель проф С Н.Яшкин

5 Кафедра геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству Руководитель проф В.Н Баранов

6 Кафедра высшей математики Московского автомобильно-дорожного института (государственного технического университета) "Дифференциальные уравнения и их приложения в теории не линейных колебаний и небесной механики" Руководители проф Ю А Рябов, проф С Г Журавлев

Публикации по теме диссертации

Основные научные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-4]

Личный вклад автора. В статье, написанной в соавторстве с А А Кочиевым, последнему принадлежит постановка задачи

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав (первая — введение) и заключения В работе 87 страниц, 50 наименований использованной литературы, 90 рисунков

Содержание работы.

В главе 1 сформулирована общая постановка задачи и приведен краткий обзор результатов, касающихся известных моделей гравитационных полей, допускающих интегрирование в квадратурах, среди которых представлена и рассматриваемая модель Описаны известные интегрируемые варианты приближенных потенциалов Р Баррара, Дж Винти и М Д Кислика, Е П Аксенова, В Г Демина и Е А Гребенникова, а также предложенный А А Кочиевым и рассматриваемый автором некоторый новый вариант.

/М

г, г:

где

-.(4^7-с}

х2 + у2 + + г2

(1)

(2)

Глава 2 посвящена постановке задачи и интегрированию уравнений движения

В параграфе 2 1 ставится задача с потенциалом (1) проинтегрировать в квадратурах уравнения движения материальной точки в поле с указанным . В параграфе 2 3 рассматриваются сжатые сфероидальные координаты

х = Я/у со з<р,

■ у = Я/у эш <р, (9)

2 = ^{Я2-с2)(1-М2) с помощью которых, используя метод Якоби, уравнения движения с потенциалом (4) сведены к квадратурам и приведены к виду

М _ 4Щ) ф = У^Ы

с1т Я с1х ¿х

<1т

Их

1

Я2

К

(10)

где

Ф) =

= (я2-с2 \х2 (2а, Я2 + 2 АЛХ + аг)+ а\с2} 4 -р21-а32 -/¿2 (2а,сУ + а2)]

(П)

В параграфе 2 2 рассмотрена связь нового потенциала с потенциалом поля тяготения твердого тела и гауссова кольца

На основе системы уравнений (10) и многочленов (11) разработан алгоритм построения промежуточной орбиты, которая для ограниченных движений (А < 0) в общем случае является условно-периодической с тремя периодами

В параграфе 2 3 получены три первых интеграла в инволюции, т е такая система первых интегралов, скобки Пуассона от которых для любых двух интегралов тождественно равны нулю

Соответствующие интегралы в сжатых сфероидальных координатах (8) имеют вид

Ра, = «3.

, А

Д2-А2С2 лу

сгц\£ -с2)р\+Л\ 1-

2с2/МХ/!2 я-¿г аг

_2¡МЛ Л2-

и2

-¿г

4

:2Л

(12)

В параграфе 2 4 получена полная система первых интегралов, через которые установлена связь между произвольными постоянными, возникшими при интегрировании методом Гамильтона-Якоби, прямоугольными координатами и скоростью точки

В параграфе 2 5 произведен переход уравнений движений задачи к безразмерным переменным

В главе 3, состоящей из четырех параграфов, найдены стационарные решения (движения) и исследована их устойчивость по Ляпунову, а также рассмотрены вопросы бифуркации

В параграфе 3 1 найдены стационарные движения, которые соответствуют круговым орбитам, лежащим в экваториальной плоскости планеты, с центром в начале координат В заключение параграфа приведен общий алгоритм построения стационарных (круговых) движений

В параграфе 3 2, посвященном устойчивости по Ляпунову стационарных движений, показано, что круговые орбиты задачи устойчивы по отношению к цилиндрическим координатам г,г,г и г, только для орбит, радиусы г0 которых удовлетворяют неравенству

г„ > сл/з+2-Уз , и неустойчивы в противном случае Здесь же получено, что степень неустойчивости Пуанкаре стационарных движений равна 1

В параграфе 3 3 получена бифуркационная диаграмма Пуанкаре-Четаева, с помощью которой удобно характеризовать геометрически распределение устойчивых и неустойчивых стационарных движе ний

В параграфе 3 4 в виде зависимости постоянной интеграла энергии от постоянной площадей построена бифуркационная диаграмма Смейла

А

Здесь указаны также области возможности движения

2 г1

1,1 1ч , (_+_)< й, 2 к г,

г> 1

причем смысл обозначений следующий Ц - ограниченная область, охватывающая притягивающий центр г=/, 2=0 (в ней возможны движения с неограниченной скоростью), Ц' - неограниченная область, охватывающая притягивающий центр (при пересечении прямой И-0 часть границы «уходит в бесконечность» - изменение границ показано на компьютерном изображении рис

Д — ограниченная область, не охватывающая не притягивающий центр, а устойчивое стационарное движение (вид области наглядно свидетельствует об устойчивости) в ней возможны только движения с неограниченной скоростью), Д' - неограниченная область, охватывающая устойчивое стационарное движение (при пересечении прямой /¡=0 ее часть границы «уходит в бесконечность»)

При пересечении верхней бифуркационной кривой две области сливаются в одну в точке, в которой возможно неустойчивое стационарное движение Это седловая точка функции Иг

В главе 4, состоящей из трех параграфов, путем исключения циклической координаты получены уравнения движения задачи в форме Рауса Здесь же произведен подробный качественный анализ возможных типов движения приведенной задачи, в который переменные разделяются по Лиувиллю

В параграфе 4 1 даны необходимые сведения и выведены уравнения движения рассматриваемой задачи в форме Рауса

В параграфе 4 2 в эллиптических координатах уравнения движения Рауса сведены к квадратурам и выписаны их полная система первых интегралов Используются сжатые сфероидальные координаты

Г = сЬ^51П7 г = БЬ^со Б 7

Кинетическая энергия приведенной системы получает вид

Приведенная потенциальная энергия будет

Y - с" ь sin 77

* ~ 2(ch2£ - sin2 77)

Получается система Лиувилля

В параграфе 4 3 произведен подробный качественный анализ методом Алексеева В М, путем построения бифуркационных диаграмм (состоящих в основном из кривых кратных корней) в плоскости g,h, причем эти диаграммы зависят от постоянной интеграла площадей как от параметра Эта методика уже применялась в работах Е Г Смирновой, Р М Бебенина

Диаграммы в нашей задаче таковы

бифуркационных диаграмм, построенный при помощи вычислительного пакета Maple, неудобен для изображения типов и здесь не приводится)

Типы пространственного движения, которые здесь возникают, таковы

А - движение невозможно,

В - траектории лежат внутри однополостного гиперболоида вращения и между двумя софокусными эллипсоидами вращения (движение условно-периодическое),

С - ограниченные траектории, расположенные снаружи одно-полостного гиперболоида и внутри эллипсоида, [) - типы В и С существуют одновременно,

В' - неограниченные траектории, которые находятся вне эл> линсоида и внутри гиперболоида,

О' - типы В* и С существуют одновременно:

С' - неограниченные траектории, расположенные снаружи гиперболоида,

Е' - неограниченные траектории, расположенные между двумя гиперболоидами.

В главе 5, состоящей из четырех параграфов, проведен качественный анализ траекторий, при котором рассматривается кривые кратных корней на плоскости к1 в зависимости от значения постоянной интеграча энергии И Заметим, что аналогичный метод применялся в работах КШарлье и ЕП Аксенова, Е А Гребеникова и В Г Демина,

В параграфе 5 1 рассмотрен общий вид многочленов I иР, входящих в квадратуры

Параграф 5 2 посвящен эллиптическому типу движения (А < 0) и найдено, что все траектории ограничены и делятся на два типа А, В В параграфе 5 3 рассмотрен параболический случай движения (А = 0) и показано, что можно выделить три типа движений С, В', С' В параграфе 5 4 рассмотрен гиперболический случай движения (А > 0) и показано, что можно выделить следующие качественно типы движений С, В', С', Е'

Обращает на себя внимание существование класса ограниченн-ных движений при И>0

Основные положения, выносимые на защиту.

1 Рассмотрена постановка новой задачи о движении материальной точки в поле, аналогичном полю притяжения двух центров Показано, что потенциал этой задачи учитывает вторую зональную гармонику потенциала осесимметричного твердого тела

2 Доказано, что построенный потенциал мало отличается от потенциала гауссова кольца

3 Методом разделения переменных двумя способами найден полный интеграл уравнений движений

- применением теоремы Штекеля в пространственном случае,

- путем исключения циклической координаты Рауса и выявления лувиллева вида приведенной системы

Написаны общие решения соответствующей системы уравнений в квадратурах

4 Выявлен класс стационарных (круговых) движений и установлена их устойчивость или неустойчивость по Ляпунову Найдены бифуркационные значения параметров и построены диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла

5 На плоскостях констант первых интегралов построены бифуркационные диаграммы возможных типов движений

- по Алексееву для приведенных систем в зависимости от постоянной интеграла площадей,

- в зависимости от постоянной интеграла энергии

Выявлены следующие классы траекторий (А) движение между

гиперболоидом и эллипсоидом, (Б) движение между двумя эллипсоидами и внутри гиперболоидом (В) неограниченное движение внутри гиперболоида, (Г) неограниченное движение внутри гиперболоида и вне эллипсоида, (Д) неограниченное движение вне эллипсоида и между двумя гиперболоидами

Список публикаций

1 Васкез Б X А, Кочиев А А Промежуточная орбита точки в поле тяготения твердого тела Космические исследования, 2005, том 43, №5, с 395-398

2 Васкез Б X А Потенциал поля сил в одной модельной задаче небесной механики и космической геодезии Известия вузов Геодезия и аэрофотосъемка 2006, № 5- с 107-112

3 Васкез Б X А Устойчивость круговых орбит в модельной задаче небесной механики Известия вузов Геодезия и аэрофотосъемка 2006, № 6-с 115-121

4 Васкез Б X А Качественный анализ модельной задачи небесной механики Эллиптический тип движения Известия вузов Геодезия и аэрофотосъемка 2007, № 1-е 94-116

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,75 Тираж /00 экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Глава 1. Введение.

Глава 2. Постановка задачи, интегрирование уравнений движения

2.1. Рассматриваемое приближение потенциала

2.2. Геометрические замечания

2.3. Сведение уравнений движения к квадратурам

2.4. Связь с потенциалом гауссова кольца

2.5. Первые интегралы в инволюции рассматриваемой задачи

2.6. Различные системы произвольных постоянных и их связь

2.7. Переход к безразмерным переменным

Глава 3. Устойчивость и бифуркации стационарных движений

3.1. Стационарные (круговые) орбиты модельной задачи

3.2. Устойчивость по Ляпунову круговых орбит

3.3. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева

3.4. Бифуркационные диаграммы Смейла

Глава 4. Качественный анализ движения в приведенной системе

4.1 .Необходимые сведения

4.2.Переход к рассматриваемой задаче

4.3. Построение диаграмм Алексеева

Глава 5. Качественный анализ в зависимости от энергии

5.1. Вид многочленов, входящих в квадратуры

5.2. Движения эллиптического типа

5.3. Движения параболического типа

5.4. Движения гиперболического типа 75 Заключение 85 Список использованных источников

Глава 1. Введение

Среди многочисленных проблем теоретической и небесной механики, а также звездной динамики особое место занимает задача отыскания решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движение исследуемых объектов при использований различных моделей гравитационных полей.

Как правило, аналитические решения таких систем не удается найти, и поэтому на повестку дня встает вопрос выбора таких моделей, которые при сохранении основных свойств рассматриваемой динамической системы, допускали бы, тем не менее, существование некоторых первых интегралов или даже интегрирование в квадратурах соответствующих дифференциальных уравнений. Поиск и исследование таких, так называемых интегрируемых приближений, будет вестись всегда и всегда будут актуальны.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав и заключения. В работе 87 страниц, 50 наименований использованной литературы, 78 рисунков.

В главе 1 (введении) сформулирована общая постановка задачи и приведен краткий обзор результатов, касающихся известных моделей гравитационных полей, допускающих интегрирование в квадратурах, среди которых представлена и рассматриваемая модель. Описаны известные интегрируемые варианты задачи двух неподвижных центров: Кеплера, Р. Баррара, Дж. Винти и М.Д. Кислика, Е. П. Аксенова, В. Г. Демина и Е. А. Гребенникова, а также предложенный А. А. Кочиевым и рассматриваемый автором некоторый новый вариант:

0) где

X +у -с) +Z ,

2)

Глава 2 посвящена постановке задачи и интегрированию уравнений движения.

К В параграфе 2.1. ставится задача с потенциалом (1): проинтегриро-I] вать в квадратурах уравнения движения материальной точки в поле с Sуказанным. В параграфе 2.3 рассматриваются сжатые сфероидальные коор-' дината-" ч , ,,, . /

--------------------------------.sa^lt^^ VLa x = Ajucos<p, у y = A{ism<p, (3) z = №-c2)( 1-м2) с помощью которых, используя метод Якоби, уравнения движения с потенциалом (1) сведены к квадратурам и приведены к виду dA VZg). dfi = dr ц dr Л 1

• d(0 f 1 с2

U2 Л2 где аdt = (л2 -су

4)

5)

L{A) = (л2-с21Л2 (2а, Л2 + 2/МЛ + а2)+а2с2\ = (\-М2\-сс23 -M2(2alc2ju1 +а2)\

В параграфе 2.2 рассмотрена связь потенциала модельной задачи с потенциалом поля тяготения твердого тела и гауссова кольца.

На основе системы уравнений (4) и многочленов (5) разработан алгоритм построения промежуточной орбиты, которая для ограниченных движений (А <0) в общем случае является условно-периодической с тремя периодами.

В параграфе 2.3 получены три первых интеграла в инволюции, т.е. такая система первых интегралов, скобки Пуассона от которых для любых двух интегралов тождественно равны нулю.

Соответствующие интегралы в сжатых сфероидальных координатах (8) имеют вид:

Рт = «3.

Л2-С2)Р2ЛН\-М2)Р1 , pi 2/МЛ

2 .2

Al-fic Л1ц

2,,2/<]2 „2\„2 . ч2/1 ,,2\„2

Л1-цгсг У

Л2-м2с2 2C2JMAju2 Л2-ц2с2 ~ ^ 2 h

Pl

6)

В параграфе 2.4 получена полная система первых интегралов, через которые установлена связь между произвольными постоянными, возникшими при интегрировании методом Гамильтона-Якоби, прямоугольными координатами и скоростью точки.

В параграфе 2.5. произведен переход уравнений движений модельной задачи к безразмерным переменным.

В главе 3, состоящей из четырех параграфов, найдены стационарные решения (движения) и исследована их устойчивость по Ляпунову, а также рассмотрены вопросы бифуркации.

В параграфе 3.1 найдены стационарные движения, которые соответствуют круговым орбитам, лежащим в экваториальной плоскости планеты, с центром в начале координат. В заключение параграфа приведён общий алгоритм построения стационарных (круговых) движений.

В параграфе 3.2, посвященном устойчивости по Ляпунову стационарных движений, показано, что круговые орбиты модельной задачи устойчивы по отношению к цилиндрическим координатам r,r,z и i, только для орбит, радиусы г0 которых удовлетворяют неравенству r0 >cV3 + 2л/з , и неустойчивы в противном случае. Здесь же получено, что степень неустойчивости Пуанкаре стационарных движений равна 1.

В параграфе 3.3 получена бифуркационная диаграмма Пуанкаре-Четаева, с помощью которой удобно характеризовать геометрически распределение устойчивых и неустойчивых стационарных движений.

В параграфе 3.4 в виде зависимости постоянной интеграла энергии от постоянной площадей построена бифуркационная диаграмма Смейла.

В главе 4, состоящей из трех параграфов путем исключения циклической координаты получены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса. Здесь же произведен подробный качественный анализ возможных типов движения приведенной задачи, в который переменные разделяются по Лиу-виллю.

В параграфе 4.1. даны необходимые сведения и выведены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса.

В параграфе 4.2. в эллиптических координатах уравнения движения Рауса сведены к квадратурам и выписаны их полная система первых интегралов.

В параграфе 4.3. произведен подробный качественный анализ методам Алексеева В.М.[32], путем построения бифуркационных диаграмм (состоящих в основном из кривых кратных корней) в плоскости g,h в зависимости от постоянной интеграла площадей к2.

Эта методика уже применялась в работах Е.Г.Смирновой [46], Р.М.Бебенина [48].

Типы движения, которые здесь возникают, получают несколько иное освещение в следующей главе.

В главе 5, состоящей из четырех параграфов, проведен качественный анализ траекторий, при котором рассматривается кривые кратных корней на плоскости g,k2 в зависимости от значения постоянной интеграла энергии Л. Заметим, что аналогичный метод применялся в работах [1,11,15,16,45 и ДР-1

В параграфе 5.1. рассмотрен общий вид многочленов, входящих в квадратуры.

Параграф 5.2 посвящен эллиптическому типу движения (/г<0) и найдено, что все траектории ограничены и делятся на два типа:

1. Траектории,которые лежат внутри эллипсоида вращения и внутри од-нополостного гиперболоида вращения.

2. Траектории, которые лежат внутри однополостного гиперболоида вращения и между двумя софокусными эллипсоидами вращения.

В параграфе 5.3. рассмотрен параболический случай движения (h = 0) и показано, что можно выделить три типа движений:

1. Траектории,которые расположены внутри гиперболоида и не ограничены.

2. Неограниченные траектории, которые находятся вне эллипсоида и внутри гиперболоида.

3. Ограниченные траектории, расположенные внутри гиперболоида и внутри эллипсоида.

В параграфе 5.4. рассмотрен гиперболический случай движения (ft > 0) и показано, что можно выделить следующие качественно типы движений:

1. Неограниченные траектории, которые находятся между двумя одно-полостными гиперболоидами вращения.

2. Неограниченные траектории, расположенные внутри однополосного гиперболоида вращения.

3. Неограниченные траектории внутри однополосного гиперболоида и вне эллипсоида вращения.

4. Ограниченные траектории внутри эллипсоида и внутри гиперболоида навивающиеся на окружность особых точек.

Движение во всех случаях условно-периодическое в общем случае с тремя несоизмеримыми периодами.

Апробация работы. Результаты диссертации частично и целиком докладывались на научно-исследовательских семинарах следующих организаций:

1. Кафедра теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова:

1.1. "Гамильтоновы системы и статистическая механика". Руководители академик В.В.Козлов, член-корреспондент РАН Д.В.Трещёв, проф. С.В.Болотин

1.2. "Аналитическая механика и устойчивость движения". Руководители академик В.В.Румянцев, член-корреспондент РАН В.В. Белецкий; проф. А.В. Карапетян

1.3."Механика космического полета" (им. В.А. Егорова). Руководители член-корреспондент РАН В.В.Белецкий, проф. В.В.Сазонов

1.4. "Динамика относительного движения". Руководители член-корреспондент РАН В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, доц. К.Е.Якимова, доц. Е.В. Мелкумова

2. Отдел механики ВЦ РАН им. А.А. Дородницына. Руководители проф. С.Я.Степанов, проф. А.В.Карапетян.

3. Совет по небесной механике и астрометрии Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга при МГУ им. М.В. Ломоносова. Руководитель доц. Л.Г. Лукьянов.

4. Кафедра астрономии и космической геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии. Руководитель проф. С.Н.Яшкин.

5. Кафедра геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству. Руководитель проф. В.Н. Баранов.

6. Кафедра высшей математики Московского автомобильно-дорожного института (государственного технического университета). "Дифференциальные уравнения и их приложения в теории не линейных колебаний и небесной механики" Руководители проф. Ю.А.Рябов, проф. С.Г. Журавлев.

Публикации по теме диссертации

Основные научные результаты диссертации опубликованы в статьях.

1. Васкез Б. X. А., Кочиев А. А. Промежуточная орбита точки в поле тяготения твердого тела. Космические исследования, 2005, том 43, № 5, с. 395398.

2. Васкез Б. X. А. Потенциал поля сил в одной модельной задаче небесной механики и космической геодезии. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка 2006,.№5- с. 107-112.

3 Васкез Б. X. А. Устойчивость круговых орбит в модельной задаче небесной механики. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2006, № б-с.115-121.

4 Васкез Б. X. А. Качественный анализ модельной задачи небесной механики. Эллиптический тип движения. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2007, № l-c.94-116.

Личный вклад автора. В статьях, написанных в соавторстве с А.А. Кочиевым, последнему принадлежит постановка задачи.

Результаты, выносимые на защиту, указаны в «Заключении».

2. Общая постановка задачи.

Математическая формулировка задачи состоит в следующем: проинтегрировать в квадратурах уравнения движения материальной точки в гравитационном поле абсолютно твердого тела, записанные в неподвижной прямоугольной системе координат Oxyz: дх' ду' dz ' где U - силовая функция towwfl у А

Здесь и ниже обозначены: p{x',y',z') - плотность тела в текущей точке M(x',y',z'), V-объем, занимаемый телом, f - постоянная тяготения, а

А = -ylix-x'Y+ix-x'f+iz-z')2 (7) есть расстояние между точкой M(x',y',z') и внешней по отношению к телу точкой P(x,y,z), движение которой, собственно, и исследуется.

Разложение в ряд по сферическим функциям силовой функции дается известной формулой [1]

U{x,y,z) = ^[\-Yj{rA v „? V Г)

8)

00 „ Л. V tz - ^(sin^XQ.cosM+^sinH)] и=2 k=IV J где М - масса притягивающего тела, а г0 его средний экваториальный радиус; Jn,Cnk,Snk безразмерные постоянные, характеризующие отличие тела от тела сферической структуры; Рп(sin <р\ pj^(sin ср) - полиномы и присоединенные функции Лежандра;Л - соответственно длина радиус-вектора, широта и долгота движущейся точки Р, связанные с прямоугольными координатами x,y,z, (соответствующие оси Ox, Оу, Oz направлены по главным осям центрального эллипсоида инерции тела), формулами: x = rcosq>cosX, у = 7* COS sin Д, (9) z = rsin^.

В случае, если тело имеет три взаимно-перпендикулярные плоскости геометрической и динамической симметрии, то J2(+,=

C2/+i,2y+i = = = 1,.,n,j = 1.,;и = 1,.,;* = 1и; и потенциал (14) примет вид [2,3]

2л

U(x,y,z) = ^-[\-f,J2n Р2п{sm<p) + г тА.

V /

10) ZI - P2™(sm<p)(C2„t2kcos2kA]

00 и п п=2к=I

V' / а если тело вдобавок обладает геометрической и динамической осью симметрии (осесимметричное тело), то С2пЛк = 0 и потенциал (16) будет иметь вид

U{r,<p,X) = W-{Pta(sin0] (П)

Г ~г

Ряды (8), (10) и (11) абсолютно сходятся при г>?, где г - расстояние наиболее удаленной точки поверхности тела от его центра масс и любых

7t 7t р и А (~—<<рй—, -со<А< +оо) для любого тела [2,3].

Поставим вопрос: найти наиболее общий набор постоянных Jn, СпЛ, Sn k, при которых какая-нибудь из приведенных задач может быть решена либо полностью в квадратурах, либо приближенно. Задача Кеплера.

Естественно, что здесь первой должна быть упомянута задача Кеплера [4], которая получается, если в качестве параметров взять

В результате имеем потенциал задачи Кеплера U-&-.

Задача Кеплера - наиболее полно разработанная задача теоретической и прикладной небесной механики [4,5,6]

Промежуточные потенциалы, которые имеют вид

Ф(<р)

V = F{r) + г2 как известно, допускают интегрируемость в квадратурах уравнении движения. Кроме этого, все потенциалы обладают тем важным свойством, что дают возможность построить промежуточные орбиты, учитывающие вековые возмущения первого порядка относительно сжатия Земли. Отметим задачи Т. Штерна [7],[8], Б. Гарфинкеля [9] и К. Акснеса, [10], в которых рассмотрены потенциалы, содержащие, однако, еще и параметры первоначальной орбиты. Поэтому мы их подробно обсуждать не будем.

Потенциалы, указанные ниже, обладают важнейшими свойствами. Во-первых, они отличаются от потенциала Земли членами порядка выше первого относительного сжатия. Во-вторых, соответствующие дифференциальные уравнения движения строго интегрируются в квадратурах. В-третьих, потенциалы зависят только от постоянных гравитационного поля Земли и не зависят от элементов орбиты спутника. В-четвертых, соответствующая возмущающая функция не содержит второй зональной гармоники.

Рассмотрим эти задачи поподробнее.

Задача Р. Баррара.

Потенциал задачи Баррара [13], записанный в прямоугольных координатах, имеет вид

Как показано в [13], если в качестве 8 взять r0 JT2 (8 = то возмущающая функция R имеет вид т.е. V отличается от (1.4) членами порядка JJ^ и следовательно, хорошо аппроксимирует потенциал Земли.

Задача Винти и Кислика. Эти две задачи, по существу совпадающие друг с другом, можно задать с помощью потенциала [14,15]

Р Р где 8 подлежит определению, а p = ^x2+y2+(z-8)2 . r = U~V = -^[1 - JP„{s\n<p)-0{8% г n-3 \ f J fM м I r Y

V = — [1 + S(-1)V2 -i P2n(siM] f n=2 yr l

12) при этом возмущающая функция R имеет вид

Ли+1 = ~Лл+1> Ля = Uln + (~0 J2 ] и как показано в работах [14,15], они удовлетворяют всем приведенным четырем условиям.

Задача Аксенова, Гребеникова, Демина.

В 1961 г. Е.П. Аксенов, Е.А. Гребеников, и В.Г. Демин предложили [15,16,50] для построения теории движения искусственных спутников Земли использовать обобщенную задачу двух неподвижных центров с потенциалом

W =

JM

1 + ia 1 -ia -+

V 1

14)

2 У где / = а г2 = x2+y2+[z-c(a + i)f [г2 =х2 + у2 +[z-c{a-i)]2 причем с и а вещественные постоянные. Разложение потенциала (20) в ряд по многочленам Лежандра в системе сферических координат будет [1] г п=0 гг У"

- A„(siM] г J

15)

Выбрав теперь с и о- из условий с = г.

J2

1 £

2Л1

J3 / а = —*-/. aY можно добиться совпадения потенциала обобщенной задачи с потенциалом (8) с точностью до третьей зональной гармоники, при условии, что c„,k=snk=o.

Тем самым возмущающая функция R я-^Ы г п=4 \

Ч' У

Р„( sinp),

16)

Jn = -{Jn~Jn), a J„ - коэффициенты разложения в формуле (21). В заключение этого небольшого обзора отметим, что в работе [11] также доказано, что потенциал обобщенной задачи двух неподвижных центров содержит в себе, как частные случаи, потенциалы Винти и Кислика и , как предельный случай, потенциал Р. Баррара.

Таким образом, все предложенные промежуточные потенциалы аппроксимировали только осесимметричное тело Спк = S„л = 0, и никак не учитывали долготные члены.

Однако, если этот факт можно интерпретировать как большой недостаток, имея ввиду аппроксимацию с помощью такого потенциала потенциалов тел, имеющих трехосную и более сложную форму, в небесной механике, то в звездной динамике имеется огромное количество астрофизических объектов, для которых осесимметричный потенциал вполне адекватно отражает поле действующих сил, причем как в стационарных [36, 37],так и нестационарных [38] задачах

Итак, как уже отмечалось во введении в нашей работе рассматривается потенциал, предложенный А. А. Кочиевым (1),

Потенциал описывает некоторый новый вариант задачи двух неподвижных центров и его механический и физический смысл будет описан позже. где (2)

Глава 2. Постановка задачи, интегрирование уравнений движения

В настоящей главе, установлен механический смысл нового интегрируемого приближения потенциала.

Построена система сжатых сфероидальных координат, которые применены к интегрированию методом Гамильтона-Якоби уравнений движения задачи.

Доказано, что потенциал задачи может с высокой степенью точности, лучше, чем существующие, аппроксимировать потенциал реального тела. Особенно он близок к потенциалу однородного кольца гауссова, для которого приведены две качественно разные аппроксимации потенциалом задачи.

Заключение.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрена постановка новой модельной задачи о движении материальной точки в поле притяжения двух центров, определенном образом расположенных в плоскости. Показано, что потенциал этой модельной задачи учитывает вторую зональную гармонику потенциала поля тяготения осесиммеирич-ного твердого тела.

2. Доказано, что построенный потенциал мало отличается от потенциала гауссова кольца.

3. Методом разделения переменных двумя способами найден полный интеграл уравнений движений:

- применением теоремы Штекеля в пространственном случае,

- путем исключения циклической координаты Рауса и выявления лувилле-ва вида приведенной системы.

Написаны общие решения соответствующей системы уравнений в квадратурах.

4. Выявлен класс стационарных (круговых) движений и установлена их устойчивость или неустойчивость по Ляпунову. Найдены бифуркационные значения параметров и построены диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла

5. На плоскостях констант первых интегралов построены бифуркационные диаграммы возможных типов движений

- по Алексееву для приведенных систем в зависимости от постоянной интеграла площадей,

- в зависимости от постоянной интеграла энергии.

Выявлены следующие классы траекторий: (А) движение между гиперболоидом и эллипсоидом., (Б) движение между двумя эллипсоидами и внутри гиперболоидом. (В) неограниченное движение внутри гиперболоида, (Г) неограниченное движение внутри гиперболоида и вне эллипсоида, (Д) неограниченное движение вне эллипсоида и между двумя гиперболоидами.

1. Аксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли. -М.: Наука, 1977.

2. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.- М.: Физматгиз, 1963.- 586 с.

3. Дубошин Г. Н. Теория притяжения. М.: Физматгиз, 1961.-120 с.

4. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Акад. А. И. Крылов. Собрание трудов, т. 7,1936.

5. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики.-М.: Наука, 1965.-150 с.

6. Субботин М. С. Курс небесной механики, т.1,2,3, Гостехиздат, М.1949.

7. Sterne Т. E. Astron.J.1958.V.63.

8. Штерн Т. Введение в небесную механику. М.: Мир. 1964.-213 с.

9. Garfinkel B.,Astron.J.1958.V.63.

10. Aksnes К. Astrophys J,1965.V. 69.

11. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука. 1968.352 с

12. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.,1965. Изд-во Наука.

13. Barrar R. В. Astron.J.1966.V.71. №1.р.-321.

14. Vinti I. P. Journ. Res. Nat. Bur. Standards., 1959. 63ВД05.

15. Аксенов M. Д., Гребенников Е. А., Демин В. Г. Применение обобщенной задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников Земли.Сб. Проблемы движения искусственных тел, Изд-во АН СССР, 1963.

16. Аксенов Е. П., Гребенников Е. А., Демин В. Г. Обобщенная задача двух неподвижных центров и её применение в теории движения искусственных спутников Земли.- Астрон. ж., 1963. Т. 40, № 2 . - с 363 - 372.

17. Кочиев А. А. К решению задачи движения точки в поле тяготения твердого тела.М.: Астрон. ж. 1987.Т.64, вып. 5, -321с.

18. Стоке Г. Г. О силе тяжести на земной поверхности. -В сб.: Статьи о силе тяжести и фигуре Земли.-М.:Геодезиздат,1961.с 9-44.

19. Остроградский М. В. Фихтенгольц.Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III.M.: Наука. 1969.

20. Green G. An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Ostwalds Klassiker 1828.№ 61.

21. Дирихле П. Г. Jl. Лекции по теории потенциала. 1876.

22. Gauss С. F. Allgemeine Lehrsatze.Werke. 1840.Bd V.3.,p 197.

23. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.:Физматгиз, 1958,-258 с.

24. Аксенов Е. П. Специальные функции в небесной механи-ке.М.:Наука, 1986.-231 с.

25. МаркеевА. П. Теоретическая Механика.: Ижевск:2001.-243 с.

26. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- М.: Наука, 1969.-Т.2.- 321 с.

27. Голубев Ю.Ф. Лекции по теоретической механике. М. Изд-во МГУ,2003 г.

28. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.М-Л.1950.175 с.

29. Четаев Н. Г. Устойчивость движения.М., АН СССР, 1962.

30. Смейл С. Топология и механика., УМН.,т.27, вып.2 (164),1972.

31. Шарлье К. Небесная механика.М.:.Наука.перев. с нем.1966. 627с.

32. Алексеев В. М. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюлл. ин та теор. Астрон. АН СССР. 1965. №4(117)-с 241-271.

33. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М-Л. 1950.

34. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1968.

35. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990, -240 с.

36. Agekian, Т.А., Orlov, В.В. Theory of motion in the field of rotationally symmetrical potential// Proc. of Intern.Conf "Stellar Dynamics:From Classic to. Modern". S.-Petersburg, August 21-27, 2000.-S.-Petersb.: S.- Petersb. State Univ. 2001. P.183-190.

37. Agekjan, T.A.Third integral of the motion in stellar systems and in an axisymmetric potential field. Sov. Phys., Dokl. 16, 793-795 (1971); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR200, 1310-1312 (1971).

38. Минглибаев М.Дж. К движению точки в гравитационном поле нестационарного осесимметричного тела. Известия МОН РК, сер. физ.-матем. -Алматы: Былым, 2004.-№4.- С. 15-20.

39. Журавлев С.Г. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики.Т.1.Орбитальное движение. Архангельск: РФФИ, Арханг. Гос. Тех. Ун-т. 2002, -307 с.

40. Журавлев С.Г. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики.Т.2.Поступательно-вращательное движение. Архангельск: РФФИ, Арханг. гос. тех. ун-т. 2002, -368 с.

41. Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1984,- 296.С.

42. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М. :1998.Эдиториал УРСС. 165.С.

43. Карапетян А. В., Румянцев В. В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Итоги науки и техники. Общая механика.Том.6.1. М: ВИНИТИ. 1983.

44. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.,1977. Изд-во Наука.432 с.

45. Смирнова Е.Г. Качественное исследование движений и частот в задаче Лагранжа. Космические исследования, 1992, т. 30, вып. 6, с. 746-758.

46. Татаринов Я. В. Разделяющиеся переменные и новые топологические явления в голономных и неголономных системах. М.1988.Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. XXIII.c. 160-174.

47. Р.М.Бебенин, Я.В.Татаринов. Частотная невырожденность в задачах небесной механики. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., 2000, N5, с. 30-35.

48. Герасимов И. А., Жуйко С. В. Классификация ограниченных траекторий в задаче двух неподвижных центров Эйлера. Труды ГАИШ, Т. 76, с.83-92, М.: Изд. МГУ, 2006.

49. Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Гребенников Е. А. и др. (ред. Дубошин Г. Н.). Справочное руководство по небесной механике и астродинамике . М.-.Наука, 1972. - 862 с.