Новый интегрируемый случай дифференциальных уравнений аналитической динамики и его приложения в небесной механике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГБ ОД

? ~ Г -Г! ,7 На правах рукописи

КОЧИЕВ АЛЕКСЕЯ АРХИПОВИЧ

новый интегрируемый случай дифференциальных уравнений аналитической динамики и его приложения в небесюй механике

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1996 г.

Работа выполнена в Государственном Университете по Землеустройству

Официальные оппоненты: чг>н-корр. РАН, профессор Журавлев В. Ф.; доктор технических наук, профессор Урмаев Ы. С.; доктор фиэико-матем. наук, доцент Фурта С. Д.

Ведущая организация: МГУ им. М. Е Ломоносова

Защита состоится " " а^^ьТ^.^ 199 £ г. в /.-Г^час. на васедании "диссертационного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526. Москва, пр. Вернадского, 101, ауд. _

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАЕ

Автореферат разослан " 189 € г.

Ученый секретарь диссертационного совета.

канд. фиэ. -мат. наук А. И. Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Актуальность данного исследования »бусловлена необходимостью изучения движения как искусственных •ак и естественных небесных тел. Проблема эта, особенно в свя-¡и с последними достижениями космонавтики, на современном зта-ie интересует широкий круг ученых, и прежде всего астрономов, •еофизиков и геодезистов. Так, определение параметров гравита-цюнного поля планеты и распределение масс внутри нее успешно «шаются с помощью наблюдений за движением их спутников. Не юключено появление в будущем и других не менее важных задач, >ешение которых тесно связано с использованием наблюдений за [вижением спутников планет (Земли).

Целью работы является, во-первых выявления наиболее обще-•о случая интегрируемости в квадратурах дифференциальных урав-[ений движений точки в гравитационном поле абсолютно твердого гела и качественного и количественного исследования соот-(етствующего движения: во-вторых нахождение возможно более об-щх промежуточных потенциалов, допускающих интегрируемость в свадратурах дифференциальных уравнений движения спутника и бо-iee точно описывающих потенциалы гравитационных полей реальных гел и качественного и количественного исследования соот-етствующего движения, а также на их основе разработка алгорит-ia расчета промежуточных орбит; в-третьих получение всевозможна интегрируемых в квадратурах канонических систем дифферен-иальных уравнений, путем решения соответствующего нелинейного 'равнения в частных производных Гамильтона-Якоби.

Научная новизна результатов работы. В результате исследо-1аний удалось:

.') найти новый интегрируемый случай дифференциальных уравнений (вижения материальной точки в нулевой меридиональной носкости •ела, имеющего три взаимно-перпендикулярные плоскости геомет->ической и динамической симметрии, если произвольно взять зо-[альнуп часть, вторую секториальную гармонику и специально по-юбрать секториальные и тессерал*ные гармоники четвертого и кэлее высоких порядков;

и в найденном интегрируемом случае провести качественный ана-[из движений и эллиптические координаты точки представить в

еще усягаж^юдаж*^

3) построить промежуточный потенциал нормального гравитационного поля планеты, удовлетворяющего условиям: 3.1) совпадает с точным потенциалом с точностью до второй зональной гагмоники и в точках экваториальной плоскости; 3.2) дифференциальные уравнения движения интегрируемы в квадратурах; 3.3) возмущающий потенциал пропорционален (т^) и квадрату синуса наклона орбиты;

4) на осног > построенного промежуточного потенциала провести качественный анализ движения спутника и разработать общий алго ритм построения промежуточной орбиты для ограниченных движений;

5) сформулировать и доказать теорему, аналогичную теореме Лиу-вилля в теории канонических систем, имеющих П, первых интегралов в инволюции;

6) получить новое доказательство теоремы Якоби о канонических преобразованиях;

7) разработать способ нахождения интегрируемых уравнений Га-миль тона- Якоби аналитической механики, путем решения выведенной в работе системы уравнений в частных производных;

8) обобщить теорему Штеккеля в теории интегрирования канонических уравнений методом разделения переменных на случай нестационарной канонической системы.

Практическая ценность результатов работы. Доказанные в диссертации теоремы могут быть применены для решения конкретных задач, где используются канонические системы дифференциальных уравнений. С помощью общего разработанного алгоритма можно строить теорию движения спутников больших планет (Юпитер, Сатурн и т.д.), так как они близки к симметричным планетам и наклон движения почти всех их спутников близок к нулю. Эти спутники также не подвержены действию атмосферы и можно пренебречь в .ервом приближении влиянием других небесных тел.

Апробация работы. Отдельные части и вся работа в целом были доложены автором на научных семинарах кафедры теоретической механики МГУ им. Ломоносова (руковод. профессора В.А.Егоров, В.В.Белецкий, М.Л.Лидов), на совете по пбесной механике и астрономии ГАИш при МГУ им. Ломоносова, на кафедре космической геодезии и навигации МИИГАиК. в институте прикладной математики АН СССР, в институте проблем механики РАН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введе-

ния, шести глав основного текста, заключения и списка литературы, насчитывающего 29 наименований, содержит машинописных страниц и два рисунка в основном тексте.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Прежде всего диссертация представляет собой развитие идей и методов, предложенных в кандидатской диссертации автора "Новая модельная задача небесной механики и ее приложения", 1978г.

Во введении сформулирована цель работы, показана актуальность темы диссертации и практическая ценность полученных результатов, дано место диссертации среди других в этой области исследований.

Как известно, разложение в ряд по сферическим функциям потенциала притяжения на внешнюю точку неподвижного абсолютно твердого тела, имеющего три взаимно-перпендикулярные плоскости геометрической и динамической симметрии имеет вид

*в! КЧ1 4 " '

где - постоянная протяжения,,//- масса тела; 1>* -средний экваториальный радиус тела; ЗаЯ/ -безразмерные

постоянные, характеризующие отличие тела от тела сферической структуры; к ^ ц) 1 Р^^цу) " полиномы и присоединенные . функции Лежандра; ■г, у , Л -соответственно радиус-иктор, широта и долгота движущейся точки, связанные с прямоугольными координатами Э, г? направленными по главным осям

центрального эллипсоида инерции тела, формулами

\

? = г 1м я {

Если тело вдобавок обладает геометрической и динамической осью симметрии (осесимметричное тело) потенциал (1) примет вид

<3)

В случае же когда точка Р постоянно движется в плоскости Х2 . т.е. У = У=0| д _ © ^ потенциал (1) будет

Ряды (1), (3), (4) абсолютно сходятся при ^ > Ъ , где •г - расстояние наиболее удаленной точки поверхности тела от его центра масс и любых У и Л у. ;

оо < Л < + оо для любого тела.

Одной из основнь.ч задач теоретической и прикладной небесной механики является интегрирование в квадратурах дифференциальных уравнений движения материальной точки с потенциалами (1), (3) и (4). Однако, в общем случае, при любых У3.И/ эта задача до сих пор не решена. В связи с этим условием поставим следующую задачу: найти наиболее общий набор постоянных Сйм.Ыс ПРИ которых дифференциальные уравнения движения Материальной точки допускают интегрирование в квадратурах и по возможности исследовать это движение.

Первый результат в этом направлении это задача Кеплера, которая получается если в качестве параметров й^ь, С&и,гк взять С7дм = 0/ с _ 2 ц я О. Соответствующий потенциал имееи вид

Задача Кеплера наиболее полно разработанная задача теоретической и классической небесной механики.

Следующий результат обобщенная задача двух неподвижных центров, потенциал \л/

которой получается, если взять

С^ГЙ)

С - как действительный так и чисто мнимый комплексный параметр.

В тех случаях (Земля) когда , У с > • • • малы по сравне-"ию с гравитационное поле, создаваемое потенциалом V/

близко к полю, создаваемое потенциалом (3).

Обобщенная задача двух неподвижных центров также подробно исследована.

Для потенциала (4) наиболее общий случай интегрируемости в квадратурах найден в 1975 г. И.С.Козловым. Исходя из интегрируемой задачи четырех неподвижных центров, потенциал которой имеет вид.

где:

(5)

¿/Л

ему удалось, путем подбора постоянных & совпадения

потенциала К-ч разложенный в ряд по сферическим функциям, с потенциалом (4) с точностью до второй зональной СГа и второй секториальной саа гармоник. В настоящей работе получе.. следующий результат: если произвольно взять ^зг, У г, г3<4/... то возможно подобрать постоянные при и>^2,, 1 ^ Х-* ^

так, что дифференциальные уравнения движения материальной точку с потенциалом (4) будут интегрируемы в квадратурах, т.е. найдено четырехпараметрическое семейство точг« решений бесконечно-параметрического гравитационного поля.

Этот результат пол>чен сравнением интегрируемого потенциала

. , + Ъа)

W= -^РС ' (6)

где 'Zj находятся из (5), -произвольная функция,

с потенциалом (4), и доказано их совпадение при определенных условиях.

Глава 1, состоящая из пяти параграфов, посвящена интегрируемым каноническим системам дифференциальных уравнений аналитической механики. В §1.1 доказаны теоремы 1, 2, являющиеся аналогом теоремы Лиувилла в теории канонических систем, имеющих п. первых интегралов в инволюции. Теорема 1. Пусть 1) система

-ТГ-Tpí » Oíi - Э <ti

* »г - áüi álk - (

7T-'04i ' cft ~ мг

где K', 1¿ iki/^) ' Функция Гамильтона, имеет 2 H-

независимых первых интегралов вида:

Fi________

(8)

где вbijfil - произвольные постоянные интегрирования;

2) найдено какое-либо частное решение V(jt, 5t' f¿) уравнения Гамильтона-Якоби

1У

О)

такое, что

+ и (а. Ж ^¿Х i) =0, , что

(10)

Тогда система остальных 2 И независимых первых интегралов уравнений (7) ищется по формулам

р ЛХ, v _ ."У.

r^ - э?; ' 1 (11)

произвольными постоянными j>¿ которые возникают при flCTaHOBKe}.(t,¿';j>('^ J.[ полученные из (8) и

замене «¿ч , на , I .

Если теперь в качестве взять функцию

где И и К произвольные функции своих переменных, то система (7) распадается и теорему 1 мокно сформулировать в виде теоремы 2.

Пусть 1) для некоторой произвольно заданной функции КО1, ИЗВ0С-1Ю об^е решение

аз)

динамических уравнений

0(5, (14)

' со-

где 4 - 'произвольные постоянные интегрирования;

2) найдено какое-либо решение 9; тр уравнения в

частных производных '

3

такое, что

) у V | ,

(16)

Тогда система первых интеграле канонических уравнений

~ 3 Р; ' Л ~ ЭП ' ■ ;

где ¡.«^- обобщенные координаты - импульсы, ЖЯ^Рс,^) ~ Функция Гамильтона, Ь - время, ищется по формулам |

с 2Ц произвольными постоянными

Теорема 2 является обощением теоремы Якоби в теории ин тегрирования к яонических систем (следствие 1). С помощью тео ремы 2 приведено новое доказательство теоремы Якоби г» канони ческих преобразованиях (следствие 2). Здесь же доказаны дв новые теоремы 2, 3 (следствие 3, 4), касающиеся интегрируемы канонических систем дифференциальных уравнений анадитическо механики. .

Теорема 2. Если известно частное решение V 3 L, уравнения (15), удовлетворяющее условию (16) и общее решен системы (14) или (17), то полный интеграл уравнения з частни производных (15) находится посредством квадратур. Или воспользовавшись теоремой Якоби об интегрировании канонически] системы, теорему 2 можно сформулировать и так.

Теорема 2'. Полный интеграл уравнении в частных производных (15) находится в квадратурах, если известно частное решение его, удовлетворяющее условию <: \6) и общий интеграл при к = о или И = о .

Теорема 3. Есал две канонические системы интегрируемы i они могут быть переведены одна в другую путем каноническогс преобразования, то указанное каноническое преобразование может быть найдено методом вариации произвольных постоянных Лагран-жа.

В §1.2 на основе результатов §1.1 построено преобразование где введены обозначения:

Vf

a--Î№lLJ. /ici п.) /

1 W . Ыи)

- Il -

ереводящее интегрируемую систему дифференциальных уравнений

oi-L

(21)

Де £ (<?<) >О, Д 4 j (Т; ) > О и функции & t) , ^ fo)

ериодические с периодом 2ÎT в систем

oit ) (22)

аписаннуы в переменных "действие-угол".

Как частный случай подробно рассмотрены системы Лиувилля, ;ля которых обобщенные координаты представлены в виде рядов словно-периодических функций времени "Ь с доказательством IX сходимости при всех Ь. .

§1.3 посвяще.1 уравнению Гамильтона-Якоби вида

(23)

■де, в общем случае, все коэффициенты и потенциальная

Сергия £) зависят от обобщенных координат Щ и времени £ » Получены необходимые и достаточные условия для того, что-•ы заданная функция олным интегралом уравнения

'амильтона-Якоби (23) аналитической механики (теорема 4).

Если ввести обозначения:

Л »

э

(24)

и

*

-1к -

5„,

эк

■к; ••• ^

;

здесь определитель с^ получается из определителя замены его К-го столбца столбцом

34

5"

путем

Ь

Ч \

Э* V* /

-

(26)

(27)

то справедливо.

Теорема 4. Для того, чтобы функция ^«¿Удовлетворяющая условию (24), быта юлным интегралом какого-либо уравнения вида (23), необходимо и достаточно, чтобы функции В; „¿«) из (27) не зависели от произвольных постоянных ,

На основе теоремы 4 доказана теорема 5, позволяющая находить новые интегрируемые случаи канонических уравнений. Теорема 5. Пусть 1) даны иг + и. произвольных функций

с-. «¿^и которых удовлетворяют условию

(28)

2) функции

Зк

Ь|С= ' (29)

где

■14

1К

«и

в определителе ¡Ь ¡<. на месте К-го столбца стоит столбец •к

не зависят от постоянных

3) система уравнений в частных производных

К ¿к ,*.,), 1

ЯЛ

I

(31)

имеет решение V •

Тогда функция является полным интегралом

уравнения (23) если ^ ■£) = Г--; (¥¿,1) 11

(32)

для каких-либо конкретных значений сА ^ . входящих в область определения функции ?<:, «и)

В частности, с помощью теорем** 5, удалось ("еорема 6) обобщить теорему Итеккеля об интегрировании методом разделения переменных канонически:: уравнений на нестационарные сметет. Соответствующий результат имеет вид» введя.обозначения

Л -

(33)

где

>

-14 " 1СЫ К)...

И=1

(35)

справедлива.

Теорема б. Для интегрируемости уравнения (23) методом разделения переменных необходимо и достаточно существование 2 п функдиИ I » через которые коэффициенты

/ выражаются формулами (33) и (35).

В §1.4 с помощьг метода Якоби, являющимся, как отмечено, частным случаем, приведенного в §1.1 метода, произведено интегрирование уравнений движения материальной точки в консервативном силовом поле достаточно общего вида, с потенциалом

и - *

--* ^уС,

где 2 сс '/ ~ любые комплексные функции,

такие, что "К У, 2) действительна, а

(37)

квадраты радиусов векторов от двух неподвижных центров до точки Р, с - как действительный так и комплексный параметр, ■X, У, ? - прямоугольные координаты движущейся точки.

Полученные здесь как частные случаи потенциалы могут с высокой степенью точности аппроксимировать потенциал произвольного равномерно вращающегося вокруг перманентной оси абсолютно твердого тела с учетом не только зональных гармоник, но

и части долготных членов.

1. Пусть Ф($) = 0, фг =0, Ф^ ~ Тогда силовая функция (36) приобретает вид

гс ^

- Ш

■М

2 ^ ' V'

что совпадает с симметричным вариантом силовой функции обобщенной задачи двух неподвижных центров.

2. Пусть теперь о, фг — 0) «• ^х)

-произвольная функция переменной «г, + . Тогда

26 =.

(39)

Систему дифференциальных уравнений движения материальной точки с силовой функцией (39), если ввести обозначения

+ (1- I1) + 2сгАЧг] , ' ( (40)

можно привести к ^иду

оО. ~зг+сЧг ' о/и/ _

¿■и

сН

(41)

В дальнейшем подробно вместе с - тактическими приложениями изучена система (41) для любой функции в (40).

Следует отметить, что возможности для небесной ме. аники и космической геодезии, полученного здесь потенциала (36), в настоящей работе далеко не исчерпаны и необходимо раскрывать все новые его связи с потенциалом гравитационного поля абсолютно твердого тела, равномерно вращающегося вокруг перманентной оси.

В §1.5 получены три первых интеграла уравнений д-.ижения материальной точки с сиговой функцией (39), которые необходимы для вывода связи произвольных постоянных интегрирования с пря-

моугольныш координатами и скоростью точки. Они имеют вид:

Обозначив орбитальную скорость точки через V- Нг

и. воспользовавшись тем, что поле сил стационарно, г.олучим интеграл энергии

2 гф&'+ъ) , V = -2 К '

который в сжатых эллипсоидных координатах имеет вид

Далее, так как поле сил симметрично относительно оси £ , то проекция вектора кинетического момента на ось Ъ постоянна, т.е. существует интеграл площадей

который в сфероидальных координатах V, ^, М будет иметь' вид

{45)

Введя обозначения

За!1*^1, (46)-

можно найти недостающи? третий первый интеграл

, . Ъ Г (47)

или в прямоугольных координатах

Интеграл (40 вместе с интегралами энергии и площадей дает возможность проинтегрировать уравнения движения в квадратурах до конца.

В главе 2, состоящей из шести параграфов, рассмотрено движение спутника в одной из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии тела и построен потенциал гравитационного поля, допускающий интегрирование « квадратурах уравнений движения.

В §2.1 дана постановка основной задгчи исследования: найти наиболее общий потенциал гравитационного поля тела, допускающей интегрирование в квадратурах дифференциальных урав-. нений движения материальной точки

V гг _ а и-

' а ' Эг ' (49)

с потенциалом, определяемым одной из формул (1), (3) и (4).

В §2.2, §2.3 получено разложение погег-диала

г 1 -'I +

2<r La* ( 2t

z С

- , "г, +

•Z. • 2

2

(50)

где .¿6 - масса тела, ^ - даются формулами (37), по степеням с в виде

к=о

«

©О

(Ч рЛМ], <51>

где ¿^ (hi i-K-î) - постоянные, независящие от ; подлежат определению, a »Jf /¡Х)... - зависящие от также необходимо определить.

В §2.4 получены формулы для многочленов

являющихся коэффициентами разложения потенциала (50) в ряд (51).

В §2,. 5 лайденные многочлены (52) представлены посредством удобных формул ч^рез многочлены и присоединенные функции Ле-жандра

где коэффициенты оЦ [у.,

(53)

" ^ 1 > (4>

не зависят от X ¿¿^¿с 0 £ X 4 Ь""1 , I

4)/.' -О//= 4.

В частности для ь ^ к} = ^, из (54) можно получить

' } (55) и т.д. Здесь же получена оценка

(56)

В §2.6 дано окончательное построение потенциала (50), (51). При эгом

сг» р

'»^¿¡¡¿[А^и*'1-*-*) >

где постоянные «¿^ вычисляютс: по формулам (54).

Доказано, что в общем пространственном случае найденный потенциал не может.совпасть с потенциалом гравитационного поля реального тела кроме как в случае задачи двух неподвижных центров.

Таким образом, пслу.ен следующий результат: пусть 1) материальная точка постоянно двигается в одной из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии тела; 2) произвольно взяты постоянные ^аг, 3Уу..... • Тогда существуют (и они могут быть вычислены) значения коэффициентов при тессеральных и секториальных гармониках, позволяющих проинтегрировать дифференциальные уравнения движения.

В главе 3, состоящей из четырех параграфов, дано обращение квадратур в найденном интегрируемом случае.

В §3.1 приведена общая постановка задачи, как нахождения эллиптических координат "У и ^ в зависимости от времени в виде рядов условно-периодических функций. При этом переменные ) } ^ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

* с ■ (58)

где

и задача сводится к нахождению из (58) функции )

В §3.2 рассмотрены вопросы качественного анализа и доказано существование движения точки ь эллиптическом кольце, охватывающем планету. При этом постоянная интеграла энергии к. < О и функции (59) имеют корни 5 г и соответственно такие, что 1 ^ г] > 1, 3 0 •

В §3.3 дано непосредственное построение эллиптических координат и в виде условно-периодических функций времени "£. и элементов орбиты и £ . Соответствующие формулы М1" не приводим, так как они ¿лалогичны формулам (19), (20), (22).

§3.4 посвящен определению элементов орбиты Л V & по начальным условиям прямоугольных координат ¿(в, 2« и вектора скорости Х0 / . на основе первых интегралов (42). (48).

■ В главах 4, 5 рассмотрены практические приложения в теории движения спутников больших планет, имеющих нормальные гравитационные поля, найденного потенциала (39), (37).

В главе 4, содержащей девять параграфов, потенциал нормального гравитационного поля планеты разломан на невозмущенную и возмущающую части так, что потенциал дифференциальных ' уравнений невозмущенного движения удовлетворяет условиям: •

1) совпадает с точным потенциалом до второй зональной гармоники и в точках экваториальной плоскости планеты;

2) дифференицальные уравнения движения точки допускают интегрирование в квадратурах;

3) разложение возмущающего потенциала по степеням величины начинается с и оно пропорционально квадрату синуса наклона траектории спутника.

3 §4.1 приведена постановка задачи к диффзрэнциальныэ уравнения невозмущенного движения с потаыщалом

-

г

г* / *с У**п

■*_ ^ _к ■СО * * /

и ЪуХч (60)

не "2-% и

г

а I (61)

редставляют собой расстояния от точки |р до точек' пересече-ля плоскости, проходящей через точку р и сь 02 с окруж-эстью радиуса С , с центром в начале координат и лежа-эй в плоскости X У (экватора тела), сведены к квадратурам, ак как из (61) и (37) следует

. (гу + Ъ^яСЪ+Ъгр+Чй*, ^ (62)

цесь же приведена общая структура возмущающего потенциала

об

п.

(2})/ ^ (63)

/

гкуда видно, что он пропорционален и квадрату синуса

аклона траектории.

В §С.2, §4.3 получено разложение невозмущенного потенциа-а (60) по степеням С/ГЬ в виде

^

В §4.4 по точному потенциалу (при заданных С/г, Зу ... ) найдены коэффициенты промежуточного потенциала (60)

=г С1 * СГгЧ],

4 о')// с^г^г1 --'ч (65)

и для этих значений доказана сходимость ряда (60), если сходится ряд (3).

В §4.5 как чг:тный случай найденного промежуточного потенциала (60) при

я»'53"?*Г?5>ГГ ' (66)

получен потенциал пространственной обобщенной задачи двух неподвижных центров.

В §4.6 как многочлены

ьао

(67)

степени 2)г вычислены коэффициенты разложения невозмущенного потенциала (60) по степени;: .

В §4.7 найденные в §4.6 многочлены (67) представлены по многочленам и присоединенным функциям Лекандра вида (53), (54).

В §4 8 на основе изложенного указан способ вычисления возмущающего потенциала (63) при этом

H- ' W+tyl! at

L(a¿-aи;.»/ +

^г^тг^^и'.^ О--«-1'»)'

и приведены некоторые оценки его коэффициентов в зависимости от параметров Э„ 'у.

*/ ~ Г ' *

(69)

если !.<].< i и

• §4.9 посвящен потенциалу сжатого планетарного эллипсоида вращения и для Него построен точный (без рядов) невозмущенный потенциал

-С* Uj4 ¿cl ,

¡■•гV d «<* *>'f 7

где Л - постоянная

г

удовлетворяющий всем приведенным условиям.

В главе 5, содержащей пять параграфов, проведен расчет промежуточной орбиты.

В §5.1 дифференциальные уравнения промежуточного движения преобразованы к более удобному виду и дана постановка основной задачи как получение в виде условно-периодических функций времени é эллиптических координат (-¿) f ¿^¿j и w(-i),

В §5.2 выявлен качественный характер промежуточного движения. При этом установлено, что промежуточное движение происходит внутри тороидального тела, ограниченного двумя эллипсоидами и однополчетным гиперболоидом вращения. На практике движение всех реальных спутников происходит именно в таких возможно чуть деформированных тороидальных областях.

В §5.3 получены элли. тические координаты ) / < С в виде условно-периодических функций времени -Ь . для класса близэкваториальных и близкруговых орбит, если известны элементы орбиты а, е, Г, и)в/Уи», Ло «

В §5.4 элементы орбиты а,^ Л0 получены через на-

чальные условия движения ^прямоугольных координат У о, У о, Во и вектора скорости Ха/ У,, .

В §5.5 разработан общий алгоритм построения промежуточной орбиты спутника, пригодной для всех ограниченных движений.

В главе 6. содержащей четыре параграфа, путем использования линеаризованных уравнений движения искусственного спутнике Земли производится сравнение изменения сидерического периоде обращения спутника за один виток, двигающегося по невозмущенной кеплеровой круговой орбите, при использовании аппроксимирующего потенциала и потенциала обобщенной задачи двух неподвижных центров.

В $6.1 приведена постановка задачи и соответствующие общие формулы для расчета изменения сидерического периода Лр обращения спутника в виде

+ ■ (71)

где СС -радиус невозмущенной круговой орбиты спутника.

-гравитационная постоянная, >М- -масса Земли, Ш

о

а безразмерные ускорения е> ?г(А.) и (л) через возмущающую силовую функцию V?) , зависящую от радиуса в.ктора и широты ^ спутника, имеют вид

ос

•и» {¿А

•г =«.

ЭК

а*

* г- ииб • Д; С 1« = о^А'^ч«».]*

(73)

(74)

Эг

8 формулах (73) положено

где 1 -наклонение орбиты, У -широта, об -угол между меридианом и орбитой. Задача заключается в последовательном расчете по формуле (71) Д р для случая обобщенной задачи цвух неподвижных центров и обобщенной задачи &Л/ неподвижных центров, предложенного автором, а также точного значения Л I сравнения первых двух с последним.

В 86.2 получены ураьления для расчета изменения периода обращения спутника при использовании потенциала точной 5 обобщенной задс-ш двух неподвижных центров, в виде

•де введено обозначение

—^оГГ "

(76)

. » # - \ п.

десь - - для точной орбита, а ^„^ (Г^*) Для

адачи двух неподвижных центров.

В 56.3 аналогичные расчеты произведены при использовании редлсженного автором аппроксимирующего потенциала и получено оляое изменение периода при использовании потенциала (50)

**> л

где положено

« о

"гн, г» '

• а

и?8)

Из (78) видно, что для экваториальных траекторий 1 ~ О и

В $6.4 подробно рассмотрено влияние четвертой зон&лыюй гармоники на движение спутника Земли. На рис. 1 для искусственного спутника Земли, двигающегося по невозмущенной круговой кеплеровой орбите радиусом, равным л =? ? У ? 2 показано поведение изменений периодов^Р4-Арт-АР,, где Дрт -точное изменение периода в зависимости от наклонения орбиты в пределах от 0* до 90*

Рис. 1

При этом

91 *-с*гъ*

Из рис. 1 видно, что в пределах наклонений 4 ¿4, М*

и I & 90* • использование потенциала обобщенной задачи 2. V неподвижных центров для расчета орбит ИСЗ (и других планет) предпочтительнее использование потенциала обобщенной задачи двух неподвижных центров.

Расчеты, проведенные с учетом зональных гармоник до 20-'го порядка включительно, также показали, что в пределах наклонений • 0^1 ^ 10 " и 2 0°4 ¿49 О 9 использование предложенного аппроксимирующего потенциала для расчета орбит ИСЗ выгоднее чем использование потенциала обобщенной задачи двух неподвижных центров.

Таким образом, применение предложенного потенциала (50) для расчетов орбит спутников Земли и других планет можно считать' обоснованным.

В заключении дано краткое содержание и основные выводы, полученные в диссертации. В конце приведен список литературы.

Тагам образом, в диссертации получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1) найден човый потенциал гравитационного поля абсолютно твердого тела, допускающий интегрируемость в квадратурах дифференциальных уравнений движения материальной точки;

2) разработан алгоритм, с помощью которого можно строить новые промежуточные орбиты как естественных, так и искусственных небесных тел с более высокой степенью точности, чем существующие;

3) доказаны теоремы 1-5, с помощью которых можно получать новые интегрируемые в квадратурах случаи гамильтоновых систем;

4) обобщена теорема Штеккеля об интегрировании канонирских уравнений методом разделения переменных на нестационар-*ые системы.

Диссертация представляет развернутое изложение методов t результатов, опубликованных в статьях автора:

1. Крчиев A.A. Об одном видоизменении теории Якоби. MB i ССО СССР, Сб. нау,но-методических статей "Теоретическая механика", М.: 1977.

2. Кочиев A.A. Решение задачи о движении точки в одно» силовом поле консервативных сил и ее приложение в небесной механике. "Астр, журнал", Т.1, М.: 1977.

3. Кочиев A.A. К решению задачи движения точки в поле тяготения твердого тела. - Астр, журнал., т.64, в.5, 1987.

4. Кочизв A.A. Построение нормального гравитационного поля сил, допускающего интегрируемость уравнений движения спутника. -Изв. ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 5, 1988.

5. Кочиев A.A. Расчет орбиты спутника в нормальном гравитационном поле Земли.-Изв.ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 6,

1988.

6. Кочиев A.A. Определение разложения потенциала нормального гравитационного поля Земли.-Изв.ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 2, 1989.

. , 7. Кочиев A.A.. Сравнение потенциала нормального гравитационного поля Земли с потенциалом обобщенной задачи двух неподвижных центров.-Изв.ВУЗОв, Геодезия и аэрофотосъемка, 3,

1989.

8. Кочиев A.A. Интегрируемые канонические системы в космической геодезии.-Изв.ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 3,

1990.

9. Кочиев A.A. Движение спутника в поле тяготения вращающегося трехосного тела (Земли).-Изв.ВУЗов, Геодезия и аэрофотосъемка, 4, 1990.