Траектории гравитационного рассеяния и их астрономические приложения тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ АСТРОНОМИИ

На правах рукописи

СОКОЛОВ Леонид Леонидович

Траектории^ гравитационного рассеяния и их астрономические приложения

Специальность 01 03 01 — астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фи 5ико-мат<'матич<ч ких наук

11111111111111

003158В01

Санкт-Петербург — 2007

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном уни-вср< итоте

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор К В Холшевников

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Бабаджанянц Левон Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Батраков Юрий Bat и гьевич

доктор физико-математических наук, профессор, чл -корр РАН Белецкий Владимир Васильевич

Ведущая организация Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им В А Стеклова РАН

Защита состоится 2007 г в час на заседании

диссертационного совета Д 002 067 01 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора наук при Институте Прикладной Астрономии РАН, 191187 Санкт-Петербург, наб Кутузова,

С ди< с ергацией можно ознакомить« я в биб шотеке ИПА РАН

10

Автореферат разослан ^^

2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Медведев Ю Д

1 Общая характеристика работы

Настоящая работа посвящена исследованию траекторий рассеяния гравитационно взаимодействующих тел Они, как обычно н подавляющем большиштне случаев считаются материальными точками Рассеяния — изменения движения подсистем или отдельных тел в результате сближений, до и после которых эти подсистемы (тела) удаляются на большие расстояния и почти не взаи-модейс твую l Таким образом, ра( < матриваюкя ( иециаиьпые < лу-чаи классической небесномеханической задачи N тел Основное внимание уделяется гравитационному взаимодействию тел, движущихся с большими скоростями без тесных сближений, а также рассеяниям при сближениях с планетами В последнем случае многократные рассеяния ведут к стохастическим траекториям

Возможные приложения связаны с динамической эволюцией звездных систем малой кратности, которые нередко распадаются, эволюцией орбит экзопланет под действием близких звезд, гравитационными маневрами космических аппаратов у планет и их спутников, особенностями движения астероидов, сближающихся с Землей

Задача N тел, те описание возможных движений N материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона, является одной из основных фундаментальных проблем небесной механики и динамики Роль ее в развитии математики и естествознания невозможно переоценить За триста лет в этой проблеме получено немало результатов первостепсшюй важности, еще больше идей и результатов в смежных областях науки обязаны своим происхождением небесномеханической задаче N тел Увлекательная история развития и взаимообогащения небесной механики и других наук — тема отдельного исследования Во всяком случае ясно, что актуальность задачи N тел отнюдь не исчерпывается астрономией и механикой космического полета

Актуальность темы обусловлена как многочисленными приложениями траекторий рас< еяпия задачи N тел в астрономии, так

и ролью этой задачи в чистой и прикладной математике В течение1 трех столетий она была источником новых математичес ких идей и методой, продолжая игра Lb -j гу роль и < егодпя В настоящее время исследование свойств траекторий различных динамических систем выделение семейств хаотических и регулярных движений, доказательство интегрируемости либо неинтегрируемости динамической системы — популярная тема исследований Описание свойств и характеристик некоторых семейств траекторий одной из классических динамических систем — задачи N тел при произвольном N — является одним из направлений такого рода исследований

Актуальный объект исследования — астероиды, сближающиеся с Землей (АСЗ) [26] Многократные прохождения вблизи Земли характерны для опасных объектов Траектории с многократными рассеяниями описывают сложные движения таких астероидов в случаях, когда точное прогнозирование невозможно Примером, рассматриваемым в настоящей ди< (ертации, с лужит астероид Апофис — один из самых опасных на сегодня АСЗ [30] [33] Необходимо упомянуть и траектории космических аппаратов со многими гравитационными маневрами у планет — одним из основных на сегодня способов передвижения в дальнем космосе

Одна из важнейших тем исследований в астрономии сегодня — экзопланетные системы, в частности, их динамика и устойчивость С этой проблематикой непосредственно связан интригующий вопрос о возможности существования высокоорганизованной материи во Вс ел'тптой Большое и 1« е возрас тающее чис ло открытых экзопланетных систем ставит вопросы об условиях их устойчивости в разных смыслах, сценариях динамической эволюции и тд , в частности — о возможной роли рассеяния звезд на планетных системах в динамической эволюции этих систем

Цели работы Основные цели настоящей работы — развитие методов решения небесномеханической задачи N тел, получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий рассеяния представляющих интерес для

астрономии

Научная новизна работы Настоящая диссертация посвящена разработке новых методов решения небесномеханической задачи N тел и получению нл этой основе новы/ рс ¡уиыакш качественных свойств и количественных характеристик траекторий небесных тел Нам удалось получить результаты, справедливые для произвольного N а не только для обычно рассматриваемого случая N — 3

Новыми являются

1 Конструктивный итеративный алгоритм построения точного решения задачи N тел в конструктивно описанных областях больших энергий вне соударений для произвольного N Конструктивный алгоритм построения точного решения ограниченной задачи трех тел с обменом Доказательство сходимости итераций для всех значений времени

2 Полное качественное описание траекторий к вышеуказанных областях (продолжимость решения на всю ось времени, асимптотическое поведение, региональная интегрируемость и т д )

3 Оценка областей применимости итерационного метода построения точных решений и областей существования решений с полученными свойствами Оценка областей устойчивого движения планеты под дейс гвисм пролетающей шсчды в завис имос ти от параметров системы

4 Методы построения порождающих квазислучайных решений для траекторий с многократными рассеяниями вблизи планет, Получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых порождающих решений

5 Методы численного построения траекторий, соответствующих порождающим квазислучайным движениям Построение траекторий возможных опасных сближений АСЗ Апофис с Землей в ближайшем будущем

Научная и практическая ценность работы В настоящей работе представлен новый метод построения и исследования с иойс гв ючпых решпий небес помехапичсс кой ¡аддчи N тс х, нри-

менимый для произвольного N и всех значений времени Этот итеративный метод работает и конструктивно задаваемых областях прострапс тва начальных данных и параметров с большими энергиями вне соударений Показано, что в этих областях решение продолжимо на всю ось времени и не содержит соударений, задача N тел там же регионально интегрируема что не противоречит общеизвестным результатам о (глобальной) неинтегрируемости этой задачи

Показано, что разработанные методы позволяют проводить исчерпывающее качественное исследование и строить точные решения для всех значений времени в более сложных случаях обмена, захвата и распада в зада.че трех тел Возможны и дальнейшие обобщения на бо нее сложные случаи задачи N тел

Получены мажорантные оценки размеров областей сходимости итераций, региональной интегрируемости и т д , а также численные оценки этих областей, в частности условия устойчивости орбит (экзо) планет под действием пролетающих звезд

Показано, что сложные семейства траекторий с многократными рассеяниями удобно описывать с использованием аппарата символической динамики Разработаны методы построения порождающих квазислучайных движений и нахождения их характеристик

Разработаны численные методы построения траекторий, соответствующих полученным порождающим квазислучайным движениям Проведено вычисление возможных траекторий опасных сближений и соударений с Землей в ближайшем будущем для АСЗ А пофиг;, совместимых с сегодняшней точностью знания его орбиты

Результаты, выносимые на защиту

1 Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для вс ех значений времени в области больших энергий вне тесных сближений Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при всех значениях времени в той же области Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при

всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений

2 Условия применимости итеративного метода построения решений задачи N тел и области существования решений с найденными свойствами

3 Метод построения семейств порождающих решений для траекторий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики Экстремальные характеристики и другие свойства порождающих решений

4 Метод построения траекторий со многими рассеяниями по порождающим квазислучайным решениям Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем

Структура и объем диссертации

Диссертация объемом 233 страницы состоит из восьми глав, включая введение, заключение, приложение, и списка литературы, содержащего 192 наименования Число рисунков — 29, таблиц - 31

Апробация работы Результаты работ по теме диссертации многократно докладывались на Чтениях по космонавтике посвященных памяти пионеров исследования космического пространства на секции небесной механики (Москва), а также на семинарах кафедры небесной механики СПбГУ, на семинарах кафедры теоретической механики МГУ (рук проф В В Козлов), совещании в Центре Управления Полетами (Калининград-Королев Московской области, 1989 г), на городском семинаре по механике космического полета (рук В А Егоров В В Белецкий, МГУ), на семинаре обсерватории университета Турку (Финляндия, 2001 г) па конференциях в Институте Теоретической Астрономии РАН и Институте Прикладной Астрономии РАН (Санкт-Петербург), на конференции в Казани (1989 г), на конференции в Киеве (1990 г) на конференции в Архангельске (1995 г), на конференции в ГАИШ МГУ (1997 г) на конференции в ГАИШ МГУ (2003 г),

на совещании-семинаре "От спутников до галактик"(АИ СПбГУ, 2005) па Симпозиумах по теоретичен кой и небес ной механике- (Великие Луки), па международных конференциях в Петрозаводе ке (1993 г и 1995 г), на Симпозиуме МАС N 172 в Париже (1995 г), на международной конференции, посвященной памяти проф КФ Огородникова (Санкт-Петербург, 2000 г), на международной конференции "Задача N тел Теория и компьютерное моделирование" (Финляндия, университет г Турку, 2005), на Поляхов-ских Чтениях (СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции " Астро-2006" (АИ СПбГУ Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Нелинейный динамический анализ-2007", посвященной 150-летию со дня рождения А М Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007) Опубликованы резюме многих докладов

Основные идеи и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [13], [16], [17], [18], [19], [25] Кроме того, результаты изложены в [12], [14] [15] [20], [6] [42] [22], [23] [43], [44], [7], [24] [39], [10] [5]

В работах, выполненных 15 с оавторе тве ( К В Холтпештико-вым и посвященных точному решению задачи N тел для всех значений времени, автору принадлежит идея применения итераций пикаровскою типа для построения решения, и реализация -этой идеи для задачи N тел Автору также1 принадлежит идея использования сходящихся итераций для получения качественных свойств движений и доказательства интегрируемости, а также обоснование сходимости итераций в задаче N тел в случае больших -энергий К В Холшевпикову принадлежит обобщение метода построения точного решения с использованием итераций на общий случай систем с быстрыми и медленными переменными и математическое обоснование в этом случае Доказательство существования интегралов дифференциальных уравнений в случаях сходимости итераций к точному решению для всех значений времени получено совместно Л Л Соколовым и К В Холшевниковым В работах, выполненных в соавторстве с В Б Титовым и А В Елькиным и посвященных построению стохастических решений

задачи N тел автору принадлежат основные идеи и методы решения задач В Б Титов и А В Елькин составляли компьютерные программы по алгоритмам, разработанным автором Отладка программ и вычисления производились совместно В совместных с Г А Кутеевой работах Л Л Соколову принадлежат постановки 5адач и о< ионные методы их решения, иычи« лепия — ГА Кутеевой Оформление результатов производилось совместно В работах, выполненных совместно с А А Башаковым и Н П Питьевым Л Л Соколову принадлежит построение порождающих траекторий астероида Апофис после 2036 года и их г.ычис лепие, А А Ба-шакову и Н П Питьеву — создание и адаптация соответствующих программ а также выбор множества начальных данных

2 Содержание работы

Общая структура диссертации

Первая глава — введение — содержит постановку задачи и ее обоснование {актуальность, новизна, научное и практическое значение), краткое изложение содержания, выносимые на защиту рсчультаты, а также1 перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации

Вторая глава — О свойствах траекторий задачи N тет — содержит краткий исторический обзор и краткий обзор литературы по теме диссертации

Третья глава, — Итеративный метод построения точных решений задачи N тел — посвящена траекториям быстро разбегающихся тел или тесных пар, когда итерации сходятся к точному решению, имеет место региональная интегрируемость задачи N тел и другие доказываемые в этой главе свойства движений

Четвертая глава — Об условиях применимости итеративного метода — посвящена оценке условий сходимости итераций и областей, где имеет место региональная интегрируемость, а также сшю< тавлепию условий теорем с ре 5ультатами численного ипте-

грирования и нахождению границ устойчивого движения, которое гарантируете я доказанными в главе 3 теоремами

Пятая глава — Траектории с однократным рассеянием — содержит описание особенностей некоторых типов траекторий рас-сояпия при тесном сбгижепии в ограниченной тдаче трех теп Речь идет о траекториях обмена, которые могут быть получены с помощью обобщения итеративного метода главы 3, а также о методе точечных гравитационных сфер, позволяющем в ряде случаем? просто и с прием темой точностью описывать гравитационные маневры

Шестая глава — Многократные рассеяния в планетной системе — посвящена описанию многократных рас с еяпий при сближениях с планетами с использованием аппарата символической динамики Строятся порождающие квазислучайные решения и соответствующие им траектории Подробно исследуются допустимые (с опгас по с егодпяшпей точности орбиты) опасные траектории АСЗ Апофис в области, где движение астероида стохастично

Седьмая глава — заключение Обсуждаются результаты вынос имьге па защиту с формулированы перешеппые задачи и па-правления исследований, интересные по мнению автора

Сложность задачи N тс л при N > 2 общеизвестна Со времен Пуанкаре известны семейства траекторий, свойства которых не позволяют получить их полное описание простыми методами Кратко об этом говорят, что задача N тел неинтегрируема В то же время хорошо известно что в некоторых областях фазового пространства точные решения задачи N тел на всей оси времени устроены сравнительно просто Для таких движений нам удалось получить полное описание свойств траекторий на всей оси времени а также итеративный алгоритм построения точного решения, причем итерации сходятся для всех значений времени В частности, имеет место интегрируемость в классическом смысле слова Кратко об этом мы будем говорить, что задача N тел (регионально) интегрируема Эта интегрируемость означает существование

в соответствующих областях 6N — 1 гладких независимых функций от координат и скоростей не являющихся константами, но постоянных на траекториях Чтобы подчеркнуть что интегрируемость имеет место не во всем пространстве, а лишь в некоторой инвариантной области, мы говорим о региональной интегрируемости Соогвсчс хнующис области фаювсло пространства имеют большой объем и просто устроены (точнее, можно выделить просто устроенные части этих областей) Сочетание простых и сложных движений нередко встречается в различных динамических системах |4|

В классической работе [9], посвященной идейным основам теории KAM, А Н Колмогоров отмечал недостаточную исследован-ность "простых" случаев задачи N тел, когда эти тела разлетаг-ются ВМ А юкс сои |2|, |3| с формулирован гипотсчу об иптсчри-руемости задачи трех тел в гиперболических случаях Наши результаты, полученные в главе 3, касаются только части гиперболических движений, зато число тел произвольно

Разработанные в главе 3 методы исследования допускает обобщения на более сложные варианты задачи N тел Одно из таких обобщений представлено в главе 5 Оно позволяет получить исчерпывающее описание некоторых семейств траекторий обмена (а также1 ¡ахвата и рас нада) в ограниченной гипербо личес кой задаче трех тел (пп 5 1, 5 2)

В случаях когда общая энер1ия системы отрицательна и рассеяния происходят в "потенциальной яме", тела не разлетаются "на бесконечность" Это имеет место, например, при сближениях астероидов, комет, или космических аппаратов с планетами Находясь на эллиптической гелиоцентрической орбите, астероид движется обычно по гиперболической планетоцентрической орбите1 В рсчультате рассеяния при прохождении в окрес гное ти планеты эллиптическая гелиоцентрическая орбита трансформируется В механике космического полета эта трансформапдя траектории космического аппарата называется гравитационным маневром Многократные рассеяния в -»той ситуации ведут к сложным

траекториям, которые не только не являются интегрируемыми, по служа i примером стохас гичес кого движения, так скачать, динамичен кого хао< а

Перед столкновением с Землей АСЗ обычно должен иметь с ней ряд сближений Эта особенность подчеркивалась в нашей работе [21], где использовалась упрощенная модель движения То же можно получить, если считать сближения случайными Траектория Апофис подтверждает это важное свойство движенией опасных АСЗ и актуальность исследования многократных рассеяний

В настоящей работе широко используются порождающие решения, что характерно для классической небесной механики В главах 3 и 5 с их помощью строятся точные решения задачи N тон Ис < юдовапио индивидуальных стохастических траекторий и их чис ioiftoo построение (гланд Ь) оказывается невозможным бсч использования порождающих решений В отличие от классики, где порождающие решения интегрируемы (например, решения задачи двух неподвижных центров), в главах 5, 6 мы используем квазислучайные порождающие решения

Рассмотрим содержание более подробно

Глава 2 посвящена истории вопроса На примере задачи N той хорошо видно, что исс лодовапие фундаментальных проблем, даже не имеющих на первый взгляд каких—либо приложений, в конце концов приносит неожиданные результаты, актуальность и практическое значение которых невозможно переоценить Так, задача N тем со времен Ньютона играет заметную ро гь в развитии чистой и прикладной математики, которые в свою очередь в значительной мере определяют лицо современной технологической цивилизации

Глава 2 содержит четыре параграфа Параграф 2 1 содержит общие исторические замечания в параграфе 2 2 кратко обсуждаются некоторые работы, посвященные траекториям рассеяния в задаче N тел Параграф 2 3 посвящен проблеме интегрируемости

задачи N тел, а параграф 2 4 — некоторым случаям хаотического (квазислучайного) движения в той же задаче, связанным с траекториями рассеяния и имеющим важные приложения в астрономии и механике космического полета

"Простые" решения задачи трех и N тел с рассеяниями отчасти именно и з- за их прос тоты, ( равиителыю мало исс к-довалис ь в классической небесной механике Тем не менее еще Шази [32] выдвинул аргументы в пользу интегрируемости задачи N тел для таких движений В М Алексеев [2] [3] сформулировал гипотезу об интегрируемости всех движений с уходами по крайней мере одного из трех тел "на бесконечность" (гиперболическая, гиперболо-эллиптическая, гиперболопараболическая задачи) Все это случаи неглобальной интегрируемости Приводятся примеры других динамических систем (не задачи N тел) с качественно различным поведением в разных областях фазового пространства В работах В В Козлова |8| наряду с достаточными условиями глобальной неинтегрируемости (расщепление сепаратрис и тп ) приводятся некоторые общие требования к интегрируемым системам

Траектории с рассеяниями в задаче трех тел неоднократно исследовались (больше численно) в звездной динамике4 |34|, |ЗЬ|, |37|, [38], [45], [46], [35] Последняя работа называется "Gravitational Scattering"

Для описания движения астероида Апофис в области динамического хаоса в главе 6 использовался аппарат теории квазислучайных движений, разработанной В М Алексеевым [2], [3] Глава 2 содержит краткое описание основных идей и методов этой теории, применяемых далее Данные касающиеся самого астероида Апофис приводятся в гл 6, п 6 5 В главе 2 также кратко обсуждается проблематика гравитационных маневров космических аппаратов у планет

Глава 3 содержит методы и алгоритмы построения и исследования "простых" (в том числе регионально интегрируемых) траекторий некоторого класса динамических систем, среди которых пас интересует задача N тел К почевым моментом является во з-

можность построения точных решений на всей оси времени с использованием итеративных алгоритмов, аналогичных применяемым при доказательстве классической теоремы с ущее твовапия и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений (Пикара-Линделефа) Сходимость итераций обусловлена достаточно быстрым убыванием возмущающих сил в окрестности порождающего движения В качестве порождающих движений рассмотрены прямолинейные равномерные (возможно в комбинации с кеплеровыми) Рассуждения во многом аналогичны классическим (например, [11]) где сжатие в соответствующем функциональном пространстве и сходимость итераций обусловлены малостью интервала времени Мы используем другие малые величины, а интервал времени может быть и бесконечным при условии что соответствующие интегралы сходятся и достаточно малы

В параграфе 3 1 формулируется и доказывается основная теорема о построении точного решения на всей оси времени с помощью итераций пикаровского типа для динамической системы с быстрыми и медленными переменными Для удобства проведения дальнейших исследований система преобразуется к простому виду (возможно, за счет увеличения размерности) В параграфе 3 2 рассмотрен разлет одиночных тел без сближений Основная теорема параграфа 3 1 применяете я к задаче1 /V те\п Формулируете я теорема, при выполнении условий которой движения будут регулярными, т е итерации сходятся к точному решению для всех значений времени, движение асимптотически прямолинейное и равномерное, имеет меч то региональная интегрируемость В частности, справедливо утверждение пусть заданы массы, начальные координаты и начальные скорости тел и прямолинейные равномерные движения, определяемые этими начальными координатами и скоростями, не содержат соударений Умножим массы, координаты и скорости на масштабные скалярные множители соответственно Тогда, если величина СМ/ВУ2 достаточно мала, получим систему регионально интегрируемых траекторий задачи N тел (С — гравитационная постоянная) Дру-

гими словами, движения регулярны в вышеприведенном смысле гибо при дос таточпо малых мае ( ах теп, либо при дос таточпо больших с корос тях теп, либо при достаточно больших расстояниях между телами

Параграф 3 3 посвящен случаю, когда все (или некоторые) из разлетающихся одиночных тел заменяются тесными двойными подсистемами Основная теорема оказывается применимой и к -) юму с лучаго, позволяя с ьрого доказав продолжимость решений на всю ось времени, сходимость итераций к точному решению для всех значений времени интегрируемость задачи и другие свойства, а также конструктивно выделить области регулярных движений Однако с гожпос ть получающихся формул для мажорант делает весьма проблематичным получение близких к точным оценок для размеров этих областей В п 3 4 обсуждаются вопросы собственно интегрируемости систем рассматриваемого вида, то есть возможность построения полного набора не зависящих явно от времени интегралов При условии сходимости итераций на всей оси времени такая возможность устанавливается сравнительно простыми рассуждениями Дополнительно достаточно потребовать существования "быстрой переменной" то есть какой-нибудь координаты, монотонно меняющейся со временем, которой можно заменить время в соотношении функционально связывающем начальные и текущие векторы состояния В случае быстро разбегающихся тел такая координата очевидно существует Поэтому использование термина "интегрируемая" является корректным

В параграфе 3 5 итеративный метод применяется к ограниченной гиперболической задаче трех тел "Солнце-планета-звезда" Здесь нулевое приближение для траектории звезды — не прямолинейное равномерное движение а движение по кеплеровой гиперболе Однако общая теория (и теорема 1) может быть применена Все рассуждения и выводы повторяются для получения более конкретных условий сходимости итераций (интегрируемости и т п ) В результате можно существенно расширить область

"простых" (втч регионально интегрируемых) движений в задаче N тел, включив туда важные для астрономии случаи

Глава 4 Здесь обсуждается область применимости результатов, полученных в главе 3, конкретизируются условия доказанных там теорем Результаты полученные с использованием итераций сравниваются с некоторыми точными решениями (параграф 4 1) и результатами численного интегрирования уравнений движения (параграф 4 2) В параграфе 4 2 приведены примеры областей интегрируемого движения задачи трех тел, полученные из условий вышеуказанных теорем с использованием мажорант В ц 43 обсуждаются результаты п 3 5 применительно к Солнечной системе и ее соседям с использованием модели ограниченной гиперболо-эллиптической задачи трех тел "Солнце - планета - пролетающая звезда" Иногда для краткости эта модель называется в диссертации "планетная гиперболическая задача" Характеристики ближайших звечд взяты и s работы |41| Показано, что условия интегрируемости, полученные в теоремах главы 3, выполняются для планет Солнечной системы и ближайших звезд Можно сделать некоторые общие выводы о достаточных условиях устойчивости плапетпых систем относительно б шжайших звезд Кроме того, несложно получить аналитические оценки возмущений орбит планет ближайшими звездами Стоит отметить любопытный факт время устойчивости Солнечной системы по отношению к соседним звездам по порядку величины близко к времени се устойчивости, обусловленному "хаотичностью" в движениях планет [40], оно же близко ко времени существования Солнечной системы

Для сравнения напомним, что обоснование применимости фундаментальных результатов KAM-теории к конкретным астрономическим системам сталкивается с серьезными трудностями Аналогична ситуация и с ис полыешапием фундаментальных результатов Сундмана Полученные в диссертации оценки областей интегрируемости задачи N тел менее грубы и позволяют применять выводы об интегрируемости к астрономическим системам Требования теорем i лавы 3 оказываю гея завышенными лишь па 1—4

порядка

Параграф 4 4 посвящен эволюции эллиптической орбиты планеты под действием пролетающей звезды Здесь мы не ограничиваемся случаем малых возмущений Используя численное интегрирование уравнений движения,мы получаем условия устойчивости движения (экзо) планеты Под устойчивостью имеется в виду сохранение эллиптического движения вокруг той же звезды по-< по удаления пролетающей звезды при произвольном начальном положении планеты на невозмущенной орбите Области устойчивости в пространстве "скорость пролетающей звезды — прицельное расстояние" аппроксимируются простыми функциями Кроме того, об( уждают« я некоторые особенности эволюции элементов орбиты планеты Так, в ряде случаев наблюдается возвращение большой полуоси планеты к начальному невозмущенному значению после пролета звезды Такая "адиабатичность" имеет место для небольших возмущений при условии небольшой скорости звезды на бесконечности, граница скорости примерно соответствует невозмущенной скорости планеты Рассмотрены также условия различных сценариев неустойчивости, именно — перехода планеты на эллиптическую орбиту относительно звезды (обмена) и перехода планеты на гиперболическую орбиту относительно и звезды, и Солнца (распада) Вблизи границы неустойчивости при небольших скоростях звезды имеет место обмен, при больших — распад Граничное значение скорости звезды на бесконечности, разделяющее эти сценарии, примерно соответствует невозмущенной круговой скорости планеты

Пятая глава посвящена траекториям однократного рассеяния, при котором движение в результате сближения существенно изменяется В двух первых параграфах этой главы обсуждается обобщение инструментария главы 3 на более сложные варианты задачи N тел Рассматривается ограниченная задача трех тел с большими скоростями однако сближения тел допускаются В случае одного тройного сближения обобщение метода построения точных решений может быть получено, если разбить всю ось

времени на три отрезка На каждом из отрезков точное решение получается с помощью итераций "Сшивка" этих точных решений позволяет получить обмен (а также захват и распад, рассматриваемые в главе 5 менее подробно) в ограниченной задаче трех тел В результате мы получаем столь же полное описание траекторий, как и в интегрируемом случае дня существенно более с южных вариантов задачи трех тел В п 5 1 рассматриваются порождающие решения По-прежнему они составлены из кеплеровых орбит и прямолинейных равномерных движений

Вп 52 исследуется сходимость итераций к точному решению на всей оси времени, обосновывается утверждение о существовании траекторий обмена Доказательство сходимости на первом и последнем интервале времени повторяет рассуждения главы 3, доказательство сходимо< ти на < редпем ши ервале времени повторяет рассуждения классической теоремы существования и единственности дифференциальных уравнений

Любопытно вспомнить, что в середине XX века сама возможность существования траекторий обмена, захвата и распада в задаче трех тел была предметом жарких дискуссий, которые оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики и астрономии [31], [32], [29], [28], [1] В рассматриваемом случае положительной полной энергии существование их сегодня не может вызывать сомнений Интересно, что возможно исчерпывающее описание траекторий обмена с помощью сходящихся итераций рассматриваемого типа, как и в случае интегрируемой системы

Остальные параграфы главы 5 посвящены рассмотрению траекторий однократного рассеяния пробной точки (космического аппарата, астероида) при сближении с планетой Рассеяние сответ-ствует преобразованию гелиоцентрической орбиты астероида В ряде случаев .это преобраювапие хорошо аппроксимируется с помощью метода точечных гравитационных сфер (ТГС), описанного в параграфе 5 3 Планетоцентрические скорости должны быть большими, а сближения — тесными Мы ограничиваемся рассмотрением таких с лучаеи В параграфе 5 4 с помощью метода ТГС

получены условия захвата межзвездного тела (кометы) в Солнечную систему 75 результате, с б 1ижсчтия ( планетой Эти данные1 сравниваются с другими аналогичными результатами, имеющимися в литературе Можно отметить приемлемую точность используемой простой модели Параграф 5 5 посвящен обсуждению возможных результатов однократного рассеяния пробного тела у планеты в зависимости от параметров последней В параграфе 5 6 оценивается влияние несферичности планеты на траекторию пробной точки при рассеянии

Шестая глава посвящена рассмотрению проблем, связанных с многократными рассеяниями пробного тела (КА, астероида) в планетной системе Метод ТГС (в своей области применимости) позволяет построить обозримое множество порождающих решений, обсуждаемое в параграфе 6 1 Орбиты соударения, используемые для порождающих решений, строятся с использованием классического аппарата небесной механики, решений задачи двух тел [27] Некоторые свойства порождающих решений, в частно-с ти об лас ти дос тижимос ти, рае с мотрепы в н 6 2 Любопытно, что кеплеровы орбиты, пересекающие орбиты планет в большинстве случаев могут быть соединены порождающей (ТГС) траекторией То есть переход между ними возможен "без затраты топлива", только за ( чет гравитационных сил, однако возможно, за большое время Порождающие решения сложно устроены и являют собой пример стохастической динамики Для их описания можно использовать введенных! В М Алексеевым формализм квазислу-чайпых движений ("маршрутные с хемы", "дот¡ус тимые переходы" и т п ) Эти вопросы рассмотрены в параграфе 6 3 применительно к ограниченной круговой задаче трех тел Важный для приложений аспект квазислучайности — потеря точности ("забывание начальных данных") при рассеяниях Полученные результаты свидетельствуют о "забывании" 3—5 значащих цифр за одно рассеяние (сближение) в практически важных случаях Связанные с этим трудности при численном построении квазислучайных траекторий обсуждаются в параграфе 6 4, где приводится метод

последовательных приближений для численного построения стохастических траекторий, соответствующих порождающим квазислучайным движениям Приводятся численные примеры, иллюстрирующие обсуждаемые свойства траекторий

Параграф 6 5 посвящен астероиду Апофис — одному из самых опасных для землян АСЗ — истории его открытия параметрам орбиты и их точности достоверно установленному сближению с Землей в апреле 2029 года, а также возможному сближению или соударению в апреле 2036 года В параграфе 6 6с использованием методов символической динамики и точечных гравитационных сфер построены порождающие квазислучайные решения для траекторий во шожпого < оударепия Апофис с Землей В парарафе 6 7 с использованием интегратора Эверхарта и современных динамических моделей Солнечной системы (ОЕ 403, БЕ 405), а также квазислучайных порождающих решений получены возможные (в соответствии с современной точностью орбиты Апофис) траектории опасных сближений и соударений Апофис с Землей после 2036 года Движение астероида тогда может стать совершенно непрогнозируемым

В Заключении (глава 7) сформулированы и обсуждаются основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту Рассматриваются актуальные нерешенные задачи

В Приложение (глава 8) вынесены вспомогательные математические предложения используемые при доказательстве теорем главы 3 и некоторые иллюстрации

Работа по теме настоящей диссертации проходила при финансовой по,1держке грантов РФФИ, грантов Госкомвуза, а также Государственной Научно-Технической Программы "Астрономия" Федеральной Целевой Программы с тем же названием, Программы "Ведущие научные школы", Программы "Развитие научного потенциала высшей школы" Министерства образования и науки Российской Федерации

Автор благодарен научному консультанту проф К В Холшев-пикову, под руководством которого работал со студенческих лет,

коллегам из СПбГУ а также коллегам из НПО им Лавочкина и других организаций, с которыми ему иск частливилос ь сотрудничать

Список литературы

[1] Алексеев В М Обмен и захват в задаче трех тел 1956 Доклады Академии Наук СССР, т 108, N 4, с 599-602

[2] Алексеев В М Финальные движения взадаче трех тел и сим-воличес кля динамика 1981 Успехи математических паук, т 36, N 4, с 161-176

[3] Алексеев В М Лекции по небесной механике 2001 Ижевск 156 с

[4] Антонов В А Соотношение упорядоченности и беспорядка в движении тела в гравитирующей системе 1983 Докторская диссертация Ленинград, СПбГУ, 161 с

|5| Башаков А А ,Питьев Н П Соколов Л Л О движении ас тсро-ида 99942 АрорЫ.ч (2004 МЫ4) Астрономия 2006 традиции, настоящее и будущее К 125-летию Астрономической обсерватории Санкт-Петербургского государственного университета (1881—2006) Рабочие; материалы Санкт-Петербург 2006, с 9

[6] Елькин А В , Соколов Л Л Построение и характеристики траекторий с гравитационными маневрами 1995 Труды XIX Научных чтений по космонавтике Прикладная небесная механика и управление движением Москва, ИИЕТ РАН, с 10

[7] Елькин А В , Соколов Л Л Титов В Б , Шмыров А С Квазислучайные движения в гравитационном поле N планет 2003 Труды Астрономической обсерватории СПбГУ, Ленинградского университета, т 45 вып 436, с 73-114

[8] Козлов В В Симметрии, топология и резонансы в гамиль-тоновой механике 1995 Издательство Удмуртского государственного университета Ижевск 432 с

[9] Колмогоров А Н Общая теория динамических систем и классическая механика 1961 Серия "Современные проблемы математики" Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г (обзорные доклады) Гос изд-во физ -мат литературы, М , с 187-208

[10] Кутеева ГА , Соколов JI JI Области устойчивого движения экзонланет Труды VI Поляховских Чтений СПбГУ 2006 с 270-277

[11] Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1970 М , Наука, 280 с

[12] Соколов Л Л О некоторых решениях гиперболической ограниченной ¡адачи трех re i (предельный ( аучай больших эксцентриситетов) 1986 Труды Томского гоуниверситета Астрономия и геодезия, вып 14, с 93-102

[13] Соколов Л Л Холшевников К В Об интегрируемости задачи N тел 1986 Письма б "Астрономический журнал" т 12 N 7, ( 557-561

[14] Соколов Л Л , Холшевников К В О точном решении задачи N тел в области больших энергий 1987 Труды Астрономической обсерватории Ленинградского университета, т 41, вып 63 с 175-193

[15] Соколов Л Л О построении аналитических решений задачи N тел 1990 Аналитическая небесная механика, под ред К В Холшевникова Изд Казанского университета с 11-17

[16] Соколов Л Л , Титов В Б , Холшевников К В О свойствах некоторых движений космического аппарата вбшад Юии-

тера 1990 Вестник Ленинградского Университета, серия 1, выи 3, с 107-112

[17] Соколов Л Л , Титов В Б Траектории К А с гравитационными маневрами 1991 Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып 3, с 111-114

[18] Соколов Л Л Решения задачи трех тел и случайные процессы 1991 Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып 4, с 30-38

[19] Соколов Л Л , Холшевников К В Региональная интегрируемость задачи N тел 1992 Дифференциальные уравнения, т 28, N 3, с 437-441

f201 Соколов Л Л , Титов В Б Пос троепие неустойчивых траекторий в ограниченной jV-платтетной задаче 1994 Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии" Тезисы докладов Т 2 Санкт-Петербург, ИТА РАН с 71-72

|21| Л Л Соколов А В Енькии О пси ледовательных прохождениях АСЗ в окрестностях Земли Астероидная опасность—95 2325 мая 1995г С -Петербург Тезисы докладов Том 2 с 41

[22] Соколов Л Л О решении неинтегрируемых задач динамики 1997 Proceedmgs of the International Conférence "Structure and Evolution of S tell ai Systems" Pctiozavodsk, Kaielia, Russia, 1317 August 1995 St Petersburg, 1997, p 16-22

[23] Соколов Л Л Орбиты соударения и квазислучайные движения 2000 Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", Санкт-Петербург, ИПА РАН, с 225-226

[24] Соколов Л Л , Холшевников К В Аналитическое представление решения задачи N тел в некоторых областях фазового

пространства 2004 Труды Института прикладной астрономии РАН, вып 11, с 151-192

[25] Соколов JI J1 О решении задачи N тел в области больших энергий вне соударений 2005 Вестник Санкт-Петербургского университета, сер 1, вып 1, с 125-137

[26] Астероидно-кометная опасность Под ред А Г Сокольского ИТА РАН, МИПАО, Санкт-Петербург, 1996 244 с

[27] Субботин M Ф Введение в теоретическую астрономию 1968 M , Наука, 800 с

[28] Хильми Г Ф О возможности захвата в задаче трех тел 1948 Доклады Академии Наук СССР, т LXII, N1, с 39-42

[29] Шмидт О Ю О возможности захвата в небесной механике 1947 Доклады Академии Наук СССР, 582, с 213-216

|30| Ягудипа Э И , Шор В А Орбита АСЗ (99942) Apoplns 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность— 2005"(АКО-2005) Материалы конференции Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2005, с 355-358

[31] Bekker L On capture orbits 1920 Monthly Notices Royal Astron Soc , v 809, p 590-597

[32] Chazy J Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps 1932 Bull Astr , t 8, p 403-436

[33] Chesley S R Potential Impact Detection for Near-Earth Asteroids the Case of 99942 Apophis (2004 MN4) 2005 Asteroids, Comets, Meteors Proceedings IAU Symposium No 229 S Fmaz-Mello & D Lazzaio, eds Cainbndge University Press 2006 p 215-228

[34] Heggie D С Binary evolution m stellar dynamics 1975 Mon Nor R asri Soc 173 p 729-787

[35] Heggie D C Gravitational Scattering 2006 Few-Body Problem Thcoiy and Compute! Simulations C Flyim, cd Annales Umveisitatis Tuikuensis, Senes 1A Vol 358, 2006, p 20-28,

[36] Hills J G Close encounters between a star-planet system and a stellar intruder 1984 The Astronomical Journal, v 89, N 10 p 1559-1564

[37] Hills J G , Dissly R W Close encounters between star-planet systems and stellar intruders 1986 II Effect of the mass and impact velocity of the intruder The Astronomical Journal, v 98, N 3, p 1069-1082

|38| Hut P Hard bmaiy-smgle stai sc attenng cioss sections foi equal masses 1984 The Astrophysical Journal Supplement Series, 55 p 301-317

[39] Kuteeva G , Sokolov L Exoplanets orbital evolution under the influence of nearby stars 2006 Few-Body Problem Theory and Computei Simulations C Flynn, c,d A mi ales Univeisitatis Turkuensis Series 1A, v 358 2006 p 131-134

[40] Laskar J Large-scale chaos and marginal stability m the Solar system 1996 Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v 64, N 2, p 115- 162

[41] Mullary A A , Orlov V V Encounters of the Sun with nearby stais m the past and futuie 1996 Earth, Moon and Planets 72, p 19-23

[42] Sokolov L L Families of Integrable and Stochastic Trajectories m the iV-Body Problem 1995 Astronomy and Astrophysics Transactions, v 7, N 4, p 275-276

[43] Sokolov L L On Conditions of the iV-Body Problem Integrability 2001 Proceedings of the International Conference "Stellar Dynamics from Classic to Modern" held m Saint

Petersburg August 21-27, 2000, ed L P Ossipkov, 11 Nikiforov, p 243-247

[44] Sokolov L L On the Comet Capture Conditions 2001 Proceedings of the International Conference "Stellar Dynamics from Classic to Modern", held m Samt Petersburg, August 21-27, 2000, ed L P Ossipkov 11 Nikiforov, p 255-259

[45] Valtonen M J The General Three-Body Problem m Astrophysics 1988 Vistas m Astronomy, v 32, p 23-48

[46] Valtonen M , Karttunen H The Three-Body Problem 2006 Cambridge Umversity Press 345 p

Подписано к печати 14 09 2007 Формат бумаги 60x84 1 / 16 Бумага офсетная Печать ризографическая Объем 2 уел п л

Тираж 120 экз Заказ № 4040 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , 26

тел 428-40-43,428-69-19

1 ВВЕДЕНИЕ

2 О СВОЙСТВАХ ТРАЕКТОРИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

2.1 Исторические замечания.

2.2 Гравитационные рассеяния

2.3 Глобальная неинтегрируемость задачи N тел

2.4 Хаос, квазислучайность и гравитационные маневры

3 ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

3.1 Основная теорема

3.2 Разлет одиночных тел без сближений

3.3 Разлет двойных.

3.3.1 Области Д), Аз(г)

3.3.2 Мажорантные оценки некоторых величин

3.3.3 Теорема о разлете двойных.

3.3.4 Разлет двойных и одиночек.

3.4 Интегрируемость.

3.4.1 Основная теорема о существовании интегралов

3.4.2 Региональная интегрируемость задачи N тел

3.5 Планетная гиперболическая задача

4 ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ ИТЕРАТИВНОГО МЕТОДА

4.1 Простой вариант ограниченной задачи трех тел

4.2 Численное интегрирование и сходимость итераций

4.3 Характеристики ближайших звезд и условия сходимости итераций

4.4 Влияние звезд на планетные орбиты.

5 ТРАЕКТОРИИ С ОДНОКРАТНЫМ РАССЕЯНИЕМ

5.1 Порождающие решения с обменом, захватом и распадом в ограниченной плоской планетной задаче

5.2 Сходимость итераций для траекторий обмена.

5.3 Метод точечных гравитационных сфер.

5.4 Условия захвата кометы

5.5 О преобразовании эллиптической орбиты

5.6 Оценка влияния несферичности планеты.

6 МНОГОКРАТНЫЕ РАССЕЯНИЯ В ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЕ

6.1 Порождающие движения.

6.2 Области достижимости для порождающих движений

6.3 Маршрутные схемы в ограниченной круговой задаче

6.4 Построение траекторий с многократными рассеяниями

6.5 Астероид Апофис

6.6 Порождающие квазислучайные траектории Апофис

6.7 Возможные опасные сближения Апофис с Землей

механической задаче N тел. Увлекательная история развития и взаимообогащения небесной механики и других наук — тема отдельного исследования. Во всяком случае ясно, что актуальность задачи N тел отнюдь не исчерпывается астрономией и механикой космического полета. Актуальность темы обусловлена как многочисленными приложениями траекторий рассеяния задачи N тел в астрономии, так и ролью этой задачи в чистой и прикладной математике. В течение трех столетий она была источником новых математических идей и методов, продолжая играть эту роль и сегодня. В настоящее время исследование свойств траекторий различных динамических систем, выделение семейств хаотических и регулярных движений, доказательство интегрируемости либо неинтегрируемости динамической системы — популярная тема исследований. Описание свойств и характеристик некоторых семейств траекторий одной из классических динамических систем — задачи N тел при произвольном N — является одним из направлений такого рода исследований.

Актуальный объект исследования — астероиды, сближающиеся с Землей (АСЗ). Многократные прохождения вблизи Земли характерны для опасных объектов. Траектории с многократными рассеяниями описывают сложные движения таких астероидов в случаях, когда точное прогнозирование невозможно. Примером, рассматриваемым в настоящей диссертации, служит астероид Апофис — один из самых опасных на сегодня АСЗ.

Необходимо упомянуть и траектории космических аппаратов со многими гравитационными маневрами у планет — один из основных способов передвижения в дальнем космосе в настоящее время.

Одна из важнейших тем исследований в астрономии сегодня — экзопланетные системы, в частности, их динамика и устойчивость. С этой проблематикой непосредственно связан интригующий вопрос о возможности существования высокоорганизованной материи во Вселенной. Большое и все возрастающее число открытых экзо-планетных систем ставит вопросы об условиях их устойчивости в разных смыслах, сценариях динамической эволюции и т.д., в частности — о возможной роли рассеяния звезд на планетных системах в динамической эволюции этих систем.

Цели работы. Основные цели настоящей работы — развитие методов решения небесномеханической задачи N тел, получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий рассеяния, представляющих интерес для астрономии.

Научная новизна работы. Настоящая диссертация посвящена разработке новых методов решения небесномеханической задачи N тел и получению на этой основе новых результатов, качественных свойств и количественных характеристик траекторий небесных тел. Нам удалось получить результаты, справедливые для произвольного А/", а не только для обычно рассматриваемого случая N = 3.

Новыми являются:

1. Конструктивный итеративный алгоритм построения точного решения задачи N тел в конструктивно описанных областях больших энергий вне соударений для произвольного N. Конструктивный алгоритм построения точного решения ограниченной задачи трех тел с обменом. Доказательство сходимости итераций для всех значений времени.

2. Полное качественное описание траекторий в вышеуказанных областях (продолжимость решения на всю ось времени, асимптотическое поведение, региональная интегрируемость и т.д.).

3. Оценка областей применимости итерационного метода построения точных решений и областей существования решений с полученными свойствами. Оценка областей устойчивого движения планеты под действием пролетающей звезды в зависимости от параметров системы.

4. Методы построения порождающих квазислучайных решений для траекторий с многократными рассеяниями вблизи планет. Получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых порождающих решений.

5. Методы численного построения траекторий, соответствующих порождающим квазислучайным движениям. Построение траекторий возможных опасных сближений АСЗ Апофис с Землей в ближайшем будущем.

Научная и практическая ценность работы. В настоящей работе представлен новый метод построения и исследования свойств точных решний небесномеханической задачи N тел, применимый для произвольного N и всех значений времени. Этот итеративный метод работает в конструктивно задаваемых областях пространства начальных данных и параметров с большими энергиями вне соударений. Показано, что в этих областях решение продолжимо на всю ось времени и не содержит соударений; задача N тел там же регионально интегрируема, что не противоречит общеизвестным результатам о (глобальной) неинтегрируемости этой задачи.

Показано, что разработанные методы позволяют проводить исчерпывающее качественное исследование и строить точные решения для всех значений времени в более сложных случаях обмена, захвата и распада в задаче трех тел. Возможны и дальнейшие обобщения на более сложные случаи задачи N тел.

Получены мажорантные оценки размеров областей сходимости итераций, региональной интегрируемости и т.д., а также численные оценки этих областей, в частности условия устойчивости орбит (экзо)планет под действием пролетающих звезд.

Показано, что сложные семейства траекторий с многократными рассеяниями удобно описывать/С использованием аппарата символической динамики. Разработаны методы построения порождающих квазислучайных движений и нахождения их характеристик.

Разработаны численные методы построения траекторий, соответствующих полученным порождающим квазислучайным движениям. Проведено вычисление возможных траекторий опасных сближений и соударений с Землей в ближайшем будущем для АСЗ Апофис, совместимых с сегодняшней точностью знания его орбиты.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в области больших энергий вне тесных сближений. Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при всех значениях времени в той же области. Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом. Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений.

2. Условия применимости итеративного метода построения решений задачи N тел и области существования решений с найденными свойствами.

3. Метод построения семейств порождающих решений для траекторий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики. Экстремальные характеристики и другие свойства порождающих решений.

4. Метод построения траекторий со многими рассеяниями по порождающим квазислучайным решениям. Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем.

Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 233 страницы состоит из восьми глав, включая введение, заключение, приложение, и списка литературы, содержащего 192 наименования. Число рисунков — 29, таблиц — 31.

Апробация работы. Результаты работ по теме диссертации многократно докладывались на Чтениях по космонавтике, посвященных памяти пионеров исследования космического пространства на секции небесной механики (Москва), а также на семинарах кафедры небесной механики СПбГУ, на семинарах кафедры теоретической механики МГУ (рук. проф. В.В. Козлов), совещании в Центре Управления Полетами (Калининград-Королев Московской области, 1989 г.), на городском семинаре по механике космического полета (рук. В.А. Егоров, В.В. Белецкий, МГУ), на семинаре обсерватории университета Турку (Финляндия, 2001 г.). на конференциях в Институте Теоретической Астрономии РАН и Институте Прикладной Астрономии РАН (Санкт-Петербург), на конференции в Казани (1989 г.), на конференции в Киеве (1990 г.), на(конференции в Архангельске (1995 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (1997 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (2003 г.), на совещании-семинаре "От спутников до галактик" (АИ СПбГУ, 2005), на Симпозиумах по теоретической и небесной механике (Великие Луки), на международных конференциях в Петрозаводске (1993 г. и 1995 г.), на Симпозиуме MAC N 172 в Париже (1995 г.), на международной конференции, посвященной памяти проф. К.Ф. Огородникова (Санкт-Петербург, 2000 г.), на международной конференции "Задача N тел. Теория и компьютерное моделирование" (Финляндия, университет г. Турку, 2005), на Поляховских Чтениях (СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Астро-2006" (АИ СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Нелинейный динамический анализ-2007", посвященной 150-летию со дня рождения A.M. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007). Опубликованы резюме многих докладов.

Основные идеи и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [99], [102], [103], [104], [105], [111]. Кроме того, результаты изложены в [98], [100], [101], [177], [108], [109], [178], [179], [45], [110], [160], [73].

В работах, выполненных в соавторстве с К.В. Холшевниковым и посвященных точному решению задачи ÍV тел для всех значений времени, автору принадлежит идея применения итераций пикаров-ского типа для построения решения, и реализация этой идеи для задачи N тел. Автору также принадлежит идея использования сходящихся итераций для получения качественных свойств движений и доказательства интегрируемости, а также обоснование сходимости итераций в задаче N тел в случае больших энергий. К.В. Хол-шевникову принадлежит обобщение метода построения точного решения с использованием итераций на общий случай систем с быстрыми и медленными переменными и математическое обоснование в этом случае. Доказательство существования интегралов дифференциальных уравнений в случаях сходимости итераций к точному решению для всех значений времени получено совместно JI.JI. Соколовым и К.В. Холшевниковым. В работах, выполненных в соавторстве с В.Б. Титовым и A.B. Елькиным и посвященных построению стохастических решений задачи N тел, автору принадлежат основные идеи и методы решения задач. В.Б. Титов и A.B. Ель-кин составляли компьютерные программы по алгоритмам, разработанным автором. Отладка программ и вычисления производились совместно. В совместных с Г.А. Кутеевой работах JLJI. Соколову принадлежат постановки задач и основные методы их решения, вычисления — Г.А. Кутеевой. Оформление результатов производилось совместно. В работах, выполненных совместно с A.A. Башаковым и Н.П. Питьевым JI.JI. Соколову принадлежит построение порождающих траекторий астероида Апофис после 2036 года и их вычисление. A.A. Башакову и Н.П. Питьеву — создание и адаптация соответствующих программ, а также выбор множества начальных данных.

Общая структура диссертации

Первая глава — введение — содержит постановку задачи и ее обоснование (актуальность, новизна, научное и практическое значение), краткое изложение содержания, выносимые на защиту результаты, а также перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации.

ГЛАВА 7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными целями настоящей работы было развитие методов решения небесномеханической задачи N тел, а также получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий рассеяния, в том числе представляющих интерес для астрономии.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в области больших энергий вне тесных сближений. Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при; всех значениях времени в той же области. Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом. Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений:

2. Условия применимости итеративного метода построения решений; задачи N тел и области существования решений с найденными свойствами.

3. Метод построения семейств порождающих решений для траекторий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики. Экстремальные характеристики и другие свойства порождающих решений.

4. Метод построения траекторий со многими рассеяниями по порождающим квазислучайным решениям. Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем.

В диссертации представлен конструктивный метод, позволяющая получать как "простые" траектории рассеяния задачи N тел (без многократных тесных сближений) с произвольной точностью для всех значений времени, так и оценки различных характеристик этих движений, их качественные свойства. Представлены оценки области применимости, конкретизированные в ряде примеров. В частности, дано описание областей, где задача N тел интегрируема в классическом смысле слова. Эти области устроены сравнительно просто, занимают большой объем в пространстве начальных данных и параметров. Параметры, соответствующие интегрируемым случаям, могут встречаться в астрономических задачах. В частности, интегрируема задача о движении Солнца, планеты и пролетающей звезды при значениях параметров того же порядка, что и в реальности. Подробнее основные результаты, касающиеся интегрируемых траекторий рассеяния, можно сформулировать так: для задачи N тел при произвольном N и произвольных значениях масс тп в фазовом пространстве построены области бесконечной лебеговой меры, в которых движение определено для всех £ € (—оо, оо). Качественно эти области можно описать следующим образом. Система Аг тел разбивается на тесные двойные и одиночные подсистемы. Пусть начальные координаты и скорости заданы так, что в порождающем прямолинейном равномерном движении центров масс подсистем нет тесных сближений (на расстояния порядка, размеров тесных двойных). Истинное движение слабо отличается от порождающего для достаточно малых масс тел, либо для достаточно больших скоростей центров масс подсистем, либо для достаточно больших расстояний между этими центрами масс в начальный момент. Оскулиру-ющие векторы площадей и Лапласа двойных вечно близки к своим начальным значениям; движение центров масс двойных близко к прямолинейному равномерному. Тесные сближения центров масс подсистем отсутствуют. Асимптотически "на бесконечности" движение центров масс стремится к прямолинейному равномерному, движение тесных двойных — к эллиптическому. Решения в этой области построены конструктивно с помощью разработанной нами итеративной процедуры, являющейся существенной модификацией итераций пикаровского типа. Быстрая сходимость итераций гарантирована для всех значений времени. В вышеуказанных областях фазового пространства существует полный набор автономных однозначных аналитических интегралов. Уже в приведенном здесь виде наши результаты доказывают ослабленную гипотезу Алексеева: задача трех тел интегрируема в некоторой части областей, указанных автором гипотезы. Представляется перспективной задача максимального расширения области интегрируемости, хотя бы при некоторых конкретных значениях масс.

Полученные результаты допускают дальнейшее развитие во многих направлениях. Речь идет об уточнении областей применимости разработанных методов и применении этих методов в различных конкретных задачах. Представляется перспективной задача максимального расширения области интегрируемости задачи N тел. На базе рассмотренной модификации метода Пикара возможно построение эффективных численных алгоритмов и программ, по крайней мере такая попытка представляется целесообразной. Расширение области применимости метода на другие варианты задачи N тел, а не только на рассмотренные в главе 5 случаи с одним сближением, также представляется перспективным. Как известно, во многих случаях динамическая эволюция в задаче трех и большего числа тел приводит к распаду. Это позволяет надеяться на получение полного описания движений в таких случаях.

Исчерпывающее описание движений разбегающихся гравитиру-ющих материальных точек, полученное в главе 3, вероятно, может быть обобщено на случаи разбегающихся твердых тел. При этом не исключено, что встретятся новые интегрируемые динамические системы.

Полученные в главе 4 результаты свидетельствуют о применимости доказанных в главе 3 теорем к реальным астрономическим системам. Мажорантные оценки, использованные в этих теоремах, как правило завышают условия интегрируемости на 2—4 порядка. Это видно из сравнения с результатами численного интегрирования.

Движение планеты, возмущенное пролетающей звездой, является простым (интегрируемым) лишь в случае малых возмущений. Поэтому границы устойчивости эллиптического движения планеты, а также некоторые свойства возмущенного движения (условия различных сценариев распада, условия сохранения большой полуоси планеты) были получены в гл. 5 численно. Учитывая актуальность исследования динамической эволюции и орбитальной устойчивости все большего числа экзопланетных систем, интересно оценить роль и влияние их ближайших окрестностей. Особенно интересно рассмотреть влияние возмущений от ближайших звезд на взаимные возмущения экзопланет. Эта задача еще не обсуждалась в литературе.

В главе 5 рассмотрен имеющий важные астрономические приложения случай рассеяния траекторий малого тела у планет Солнечной системы. Обсуждается известный метод точечных гравитационных сфер, который во многих случаях дает простое и достаточно точное описание результатов однократного рассеяния. В частности, в параграфе 5.4 рассмотрены условия, при которых возможен захват межзвездной частицы в Солнечную систему. Обычно рассматриваются результаты рассеяния малых тел на массивном теле, которое считается точкой. В параграфе 5.6 получены оценки влияния несферичности планеты на траектории рассеяния. Результаты применяются к сближению астероида Апофис с Землей в апреле 2029 года. Показано, что в настоящее время при современной точности знания траектории этого астероида влиянием несферичности Земли еще можно пренебречь.

Сложный случай многократных рассеяний (глава 6) имеет важные приложения — гравитационные маневры космических аппаратов, а также движение астероидов, сближающихся с Землей. Потеря детерминированности, связанная с многократными сближениями, требует использования наряду с численным интегрированием специфических методов описания квазислучайных движений, ведущих к соударениям. В диссертации представлен метод построения порождающих квазислучайных решений, использующий приемы символической динамики и метод точечных гравитационных сфер. Разработан также метод вычисления траекторий, соответствующих этим порождающим решениям. Для недавно открытого астероида Апо- ■ фис, одного из самых опасных на сегодня АСЗ, с использованием этих методов удалось получить множество возможных (исходя из современной точности знания орбиты Апофис) тесных сближений и соударений с Землей после 2036 года. Подробное изучение окрестностей этих (и других подобных) траекторий — задача исключительной важности.

ГЛАВА 8

1. Алексеев В.М. Обмен и захват в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. 108, N 4, 1956, с. 599-602.

2. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. I. Квазислучайные диффеоморфизмы. Математический сборник, т. 76, N 1, 1968, с. 72-134.

3. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. II. Одномерные нелинейные колебания в периодически возмущаемом поле. Математический сборник, т. 77, N 4, 1968, с. 545-601.

4. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов. Математический сборник, т. 78, N 1, 1969, с. 3-50.

5. Алексеев В.М. Финальные движения взадаче трех тел и символическая динамика. Успехи математических наук, т. 36, N 4, 1981, с. 161-176.

6. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск, РХД, 2001, 156 с.

7. Антонов В.А. Соотношение упорядоченности и беспорядка в движении тела в гравитирующей системе. Докторская диссертация. Ленинград, 1983, 161 с. .

8. В.А. Антонов, Е.И. Тимошкова, К.В. Холшевников. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М., Наука, 1988, 272 с.

9. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя. Известия АН СССР, т. 25, N 1, 1961, с. 21-86.

10. Арнольд В.И. Малые знаменатели. II. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Успехи математических наук, т. 18, N 5, 1963, с. 13-40.

11. Арнольд В. И. Малые знаменатели. III. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. Успехи математических наук, т. 18, N 6, 1963, с. 81-192.

12. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Доклады АН СССР, т. 156, N 1, 1964, с. 9-12.

13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1971, 240 с.

14. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1979, 432 с.

15. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М., ВИНИТИ, 1985, с. 5-304.

16. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М., УРСС, 2002, 416 с.

17. Бабаджанянц Л.К. -Продолжимость и представимость решений в задачах небесной механики. Труды ИТА АН СССР, вып. XVII, 1978, с. 3-45.

18. Батраков Ю.В., Емельянов Н.В. О поверхности влияния планеты. Астрономический Вестник, т. 29, N 3, 1995, с. 266-274.

19. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М., Наука, 1977, 360 с.

20. Белецкий В.В., Хентов A.A. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород. Нижегородский гуманитарный центр, 1995, 430 с.

21. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.-Л., Гостехиздат, 1941 (1927).

22. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотичесие методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, 1963.

23. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М., Наука, 1990, 296 с.

24. Быкова Л.Е., Тимошенко Л.В. Околоземные астероиды: сближения с большими планетами, трансформация орбитальных элементов. Труды Томского госуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 16, 1998, с. 183-238.

25. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. Связьиздат, 1935.

26. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 1. Качественное исследование. Космические Исследования, т. XIX, вып. 1, 1981, с. 5-18.

27. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 2. Количественные характеристики. Космические Исследования, т. XIX, вып. 2, 1981, с. 165-177.

28. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит астероидов, не принадлежащих основному поясу. Космические Исследования, т. XIX, вып. 4, 1981, с. 528-538.

29. Виноградова Т.А. Определение возможности столкновения астероидов с Землей. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005). Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005, с. 89-91.

30. Всехсвятский С.К., Гулиев A.C. Система колец Урана — пример эруптивной эволюции спутников планет. 1981. Астрономический журнал, т. 58, вып. 3, 1981, с. 630-635.

31. ГалушинаТ.Ю. Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с Землей. Кандидатская диссертация. Санкт-Петербург, 2006, 189 с.

32. Гаязов И.С. Использование высокоточных наблюдений геодезических и навигационных ИСЗ для решения задач геодинамики. Докторская диссертация. Санкт-Петербург, 2004.

33. К.Г. Георгиев, О.В. Папков. Траектории полета к Юпитеру с использованием гравитационного поля Марса. Космические Исследования, т. XVI, N 1, 1978, с. 38-43.

34. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М., Наука, 1971, 444 с.

35. Гребеников Е. А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М., Наука, 1979, 442 с.

36. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. Наука, 1977, 228 с.

37. Джаблави А.И., Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оптимизаций одноимпульсных полетов. Космические Исследования, т. 33, N 6, 1995, с. 646-651.

38. Дубошин Г.Н. (ред.) Справочное руководство по небесной механике и астродинамке. М., Наука, 1976, 864 с.

39. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. I. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4. М., ВИНИТИ, 1985, с. 179-285.

40. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М., Наука, 1980, 544 с.

41. Елькин A.B., Соколов Л.Л. Построение и характеристики траекторий с гравитационными маневрами. Труды XIX Научных чтений по космонавтике. Прикладная небесная механика и управление движением. Москва, ИИЕТ РАН, 1995, с. 10.

42. Елькин A.B., Соколов Л.Л., Титов В.В., Шмыров A.C. Квазислучайные движения в гравитационном поле N планет. Труды Астрономической Обсерватории СПбГУ. Том XLV, 2003, с. 73 -114.

43. Емельяненко В.В. Динамическая эволюция комет и метеорных роев. Докторская диссертация. Челябинск, 1993, 310 с.

44. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тиссерана. I. Орбитальная эволюция. Астрономический Вестник, т. 31, N 3, 1997, с. 257-267.

45. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тиссерана. II. Сближения с Юпитером и другими планетами-гигантами. Астрономический Вестник, т. 31, N 6, 1997, с. 516-522.

46. Заботин A.C., Кочетова О.М., Шор В.А. Сближение малой планеты (99942) Апофис = 2004 MN4 с Землей в 2029 г. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005) Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005/с. 134-137.

47. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М., Наука, 1984.

48. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Ижевск, РХД, 2001, 384 с.

49. Иванов В.В., Кривов A.B., Денисенков П.А. Парадоксальная Вселенная. 175 задач по астрономии. Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997, 144 с.

50. Казимирчак-Полонская Е.И. Основные задачи исследования сближений комет с большими планетами. Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 3-18.

51. Казимирчак-Полонская Е.И. Обзор исследований тесных сближений короткопериодических комет с Юпитером (1770-1960). Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 19-190.

52. Казимирчак-Полонская Е.И. Движение кометы Вольфа в сфере действия Юпитера в 1922г. и представление ее наблюдений в 1925 г. Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 191-312.

53. Казимирчак-Полонская Е.И. Численная теория движения кометы Вольфа на интервале 1884-1984 гг. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII, 1982, с. 3-77.

54. Казимирчак-Полонская Е.И. Определение массы Юпитера по возмущениям орбиты кометы Вольфа в сфере его действия в 1922 г. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII, 1982, с. 78-90.

55. Казимирчак-Полонская Е.И. Объединение пяти появлений кометы Ашбрука-Джексона за 1948-1979 гг. и предвычисление ее появления в 1985-1986 гг. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII,1982, с. 91-106.

56. Кастель Г. Р. Современное состояние исследования транснепту-новых объектов. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", ИЛА РАН,

57. Санкт-Петербург, 2000, с. 283-284.

58. Коган А.Ю. Орбиты с периодическими облетами Луны и их применение в радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой. Космические Исследования, т. XXIV, вып. 1, 1986, с. 52-57.

59. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. Успехи математических наук, т. 38, N 1,1983, с. 3-67.

60. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем. Прикладная математика и механика, т. 52, N 4, 1988, с. 531-541.

61. Козлов В.В. К теории возмущений гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями. Вестник Московского Университета, серия "Математика, Механика" N 2, 1988, с. 55-61.

62. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильто-новой механике. Ижевск, Изд. Удмуртского госуниверситета, 1995,432 с.

63. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Доклады АН СССР, т. 98, N 4, 1954, с. 527-530.

64. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. Серия "Современные проблемы математики". Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (обзорные доклады). Гос.изд-во физ.-мат. литературы, М., 1961, с. 187-208.

65. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М., Наука, 1980, 384 с.

66. А.Н. Крылов. Собрание трудов, т. VII, 1936.

67. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оценка нормы гармоник геопотенциала и его градиента в вещественной и комплексной области. Астрономический журнал, т. 69, вып. 5, 1992, с. 1106 -1111.

68. Кузнецов Э.Д. Сравнительный анализ моделей гравитационного поля Земли. 1. Сравнение равномерных норм сферических функций. Космические исследования, т. 38, N 1, 2000, с. 108 -112.

69. Кузнецов Э.Д., Соколов Л.Л. Нелинейная эволюция орбиты спутника баллона. Космические Исследования, т. 39, N 6, 2001, с. 648-656

70. Кузнецов Э.Д., Соколов Л.Л. Нелинейная эволюция эксцентриситета орбиты сферически-симметричного спутника баллона. Космические Исследования, т. 44, N 6, 2006, с. 607-614

71. Кутеева Г.А., Соколов Л.Л. Области устойчивого движения эк-зопланет. Труды IV Поляховских Чтений. СПбГУ, 2006, с. 270 -277.

72. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. 1984. М., Мир, 1984.':

73. Ляпунов A.M. Собрание сочинений, т. I. М., Изд. АН СССР, 1954.

74. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М., Гостехиздат, 1952.

75. Маршал К. Задача трех тел. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 640 с.

76. Мерман Г.А. К вопросу об исследованиях Шази в задаче трех тел. Бюллетень института теоретической астрономии АН СССР, 5:9(72), 1954, с. 594-605.

77. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. Успехи математических наук, т. 23, N 4, 1968, с. 179-238.

78. Нежинский Е.М. Оценка звездных возмущений в движении больших планет Солнечной системы. Астрономический журнал, т. 53, N 5, 1976, с. 1137-1140.

79. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М., Наука, 1987, 424 с.

80. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М., Мир, 1975, 304 с.

81. Носков Б.Н. Орбиты гиперболического типа в задаче двух неподвижных центров. I. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга, Издательство Московского Университета, N 159, 1969, с. 14-42.

82. Носков Б.Н. Орбиты гиперболического типа в задаче двух неподвижных центров. II. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга, Издательство Московского Университета, N 159, 1969, с. 43-54.

83. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., Наука, 1990, 448 с.

84. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1970, 280 с.

85. Питьева Е.В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет. Труды ИПД РАН, вып. 10 "Эфемеридная астрономия", "Расширенное объяснение к Астрономическому ежегоднику", гл. 6, 2004, с. 112-134.

86. Питьева E.B. Высокоточные эфемериды планет — ЕРМ и определение некоторых астрономических постоянных. Астрон. вестн., т. 39, N 3, 2005, с. 202-213.

87. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды (в трех томах), М., Наука, т. I 1971, 772с., т. II 1972, с.8-452.

88. Резонансы в небесной механике. Сборник работ. Серия: Современная небесная механика. Гл. ред. В.В. Козлов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2006, 316 с.

89. Рубинов A.B. Динамическая эволюция кратных звезд; влияние начальных параметров системы. Астрон. ж., 2004, т. 81, N 1, с. 50-57.

90. Сафронов B.C. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М., Наука, 1969, 224 с.

91. Себехей В. Теория орбит. М., Наука, 1982, 156 с.• 94. Странные аттракторы. Сборник статей. Серия: Математика. Новое в зарубежной науке. Перевод под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М., Мир, 1981, 256 с.

92. Ситников К.А. О возможности захвата в задаче трех тел. Математический сборник, т. 32(74), N 3, 1956, с. 693-705.

93. Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. 33, N 2, 1960, с. 303-306.

94. Астероидно-кометная опасность. Под ред. А.Г.Сокольского. ИТА РАН, МИПАО, Санкт-Петербург, 1996. 244 с.

95. Соколов Л.Л. О некоторых решениях гиперболической ограниченной задачи трех тел (предельный случай больших эксцентриситетов). Труды Томского гоуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 14, 1986, с. 93-102.

96. Соколов JI.Л., Холшевников К.В." Об интегрируемости задачи N тел. Письма в "Астрономический журнал", т. 12, N 7, 1986, с. 557-561.

97. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О точном решении задачи N тел в области больших энергий. Труды Астрономической обсерватории Ленинградского университета, т. 41, вып. 63, 1987, с. 175-193.

98. Соколов Л.Л. О построении аналитических решений задачи N тел. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В. Холшев-никова. Изд. Казанского университета, 1990, с. 11- 17.

99. Соколов Л.Л., Титов В.Б., Холшевников К.В. О свойствах некоторых движений космического аппарата вблизи Юпитера. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 3, 1990, с. 107-112.

100. Соколов Л.Л., Титов В.Б. Траектории КА с гравитационными маневрами. 1991. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 3,1991, с. 111-114. •

101. Соколов Л.Л. Решения задачи трех тел и случайные процессы. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 4, 1991, с. 30-38.

102. Соколов Л.Л., Холшевников К.В". Региональная интегрируемость задачи N тел. Дифференциальные уравнения, т. 28, N 3, 1992, с. 437-441. .;.

103. Соколов Л.Л., Титов В.Б. Построение неустойчивых траекторий в ограниченной JV-планетной задаче. Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии". Тезисы докладов. Т.2. Санкт-Петербург, ИТА РАН, 1994, с. 71-72.

104. Л.Л. Соколов, A.B. Елькин. О последовательных прохождениях АСЗ в окрестностях Земли. Астероидная опасность-95.23.25 мая 1995г. С.-Петербург. Тезисы докладов. Том 2, 1995, стр 41.

105. Соколов JI.JI. О решении неинтегрируемых задач динамики. Proceedings of the International Conference "Structure and Evolution of Stellar Systems", Petrozavodsk, Karelia, Russia, 13 -17 August 1995. St.Petersburg, 1997, p. 16-22.

106. Соколов JI.JI. Орбиты соударения и квазислучайные движения. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2000, с. 225-226.

107. Соколов JI.JI., Холшевников К.В. Аналитическое представление решения задачи N тел в некоторых областях фазового пространства. Труды Института прикладной астрономии РАН, вып. 11, 2004, с. 151-192.

108. Соколов JI.JI. О решении задачи N тел в области больших энергий вне соударений. Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 1, вып. 1, 2005, с. 125-137.

109. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., Наука, 1968, 800 с.

110. Суханов A.A. Двойные облеты планет в космических полетах. Препринт 1858 ИКИ РАН, М., 1993, 38 с.

111. Томанов В.П., Кузьмин C.B., Аксеновский А.Г. Захват межзвездных комет. Астрономический вестник, т. 28, N 2, 1994, с. 83- 94.

112. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL: ГИТТЛ, 1937, 500 с.

113. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970, 720 с.

114. Хильми Г.Ф. О возможности захвата в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. LXII, N 1, 1948, с. 39-42.

115. Холшевников К.В., Мищук Ю.Ф. Влияние звездных сближений на планетные орбиты. Вестник Ленинградского Университета, N 7, 1983, с. 72-81.

116. К.В.Холшевников, Л.Л.Соколов, Е.И.Тимошкова, В.Б.Титов. О точности прогнозирования орбитального движения ИСЗ. Вестник ЛГУ, 19, 1984, с. 68-71.

117. Холшевников K.B. Асимптотические методы небесной механики. Учебное пособие. Издательство Ленинградского университета, 1985, 208 с.

118. Холшевников К.В. Об интегрируемости в небесной механике. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В.Холшевникова. Изд. Казанского университета, 1990, с. 5-10.

119. К.В.Холшевников, Н.П.Питьев, В.Б.Титов. Притяжение небесных тел. Учебное пособие. СПбГУ, 2005, 108 с.

120. К.В.Холшевников, Э.Д.Кузнецов. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы. Астрономический вестник, 41, 4, 2007, с. 304-341.

121. Цицин Ф.А., Чепурова В.М., Генкин И.Л. Реликтовый резервуар кометных тел как источник пыли в Солнечной системе. Кометный циркуляр, N 405, 1989, с. 5-7.

122. A.B. Цыганов. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. Москва-Ижевск, РХД, 2005, 384 с.

123. Чепурова В.М. Определение элементов промежуточной орбиты по начальным данным в гиперболическом движении. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга. Издательство Московского Университета. N 159, 1969, с. 3-13.

124. Шевченко И.И. Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике. Докторская диссертация. Санкт-Петербург, 2000, 257 с.

125. Шмидт О.Ю. О возможности захвата в небесной механике. Доклады Академии Наук СССР, 582, 1947, с. 213-216.

126. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988, 240 с.

127. Ягудина Э.И., Шор В.А. Орбита АСЗ (99942) Апофис = 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005) Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005, с. 355-358.

128. Batrakov Yu.V., Kudiellka V. On possible transfer of interstellar comets to the family of NEO. Тезисы докладов конференции "Астероидная опасность-93", ИТА РАН МИПАО, Санкт-Петербург, 1993, с. 56-57.

129. Bekker L. On capture orbits. Monthly Notices Royal Astron. Soc., v. 809, 1920, p. 590-597.

130. Belorizky D. Recherches sur l'application pratique des solutions générales du problème des trois corps. J. des Observ., 16, 1933, p. 109- 132, 149-172, 189-211. '

131. Bolotin S.V., Mac-Kay R.S. Periodic and Chaotic Trajectories of the Second Species of the N-Center Problem. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 77, 2000, p. 49-75.

132. Bruno A.D. On periodic flybys of the Moon. Celestial Mechanics, v. 24, 1981, p. 255-268.

133. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps quand le temps croit indéfiniment. Ann. Ecole Norm. Sup., 3 sér., 1922, p. 29-130.

134. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps. J. Math. Pures et AppL, 8, 1929, p. 353-380.

135. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps. Bull. Astr., v. 8, 1932, p. 403-436.

136. Chesley S.R. Potential Impact Detection for Near-Earth Asteroids: The Case of 99942 Ariose (2004 MN4). Asteroids, Comets, Meteors. Proceedings IAU Symposium No. 229, S. Ferraz-Mello, D. Lazzaro, eds., Cambridge University Press, 2006, p. 215-228.

137. Chirikov B.V., Vecheslavov V.V. Chaotic dynamics of comet Halley. Astronomy and Astrophysics, v. 221, 1989, p. 146-154.

138. Clube S.V.M., Napier W.M. Comet capture from molecular clouds: a dynamical constraint on star and planet formation. Monthly Notices Royal Astronomical Soc., v. 208, 1984, p. 575-588.

139. Dragt A.J., Finn J.M. Insolubility of trapped particle motion in a magnetic dipole field. J. Geophys. Res., 1976, 81, N 13, 1976, p. 2327-2340.

140. Everhart E. Implicit single sequence method for integrating orbits. Celestial Mechanics, v. 10, N 1, 1974, p. 35-55.

141. Fernandez J.A., Ip W.-H. On the' time evolution of the cometary influx in the region of the terrestrial planets. Icarus, v. 54, 1983, p. 377-387. /

142. A. W. Harris. Mitigation: What Makes Sense? "Near-Earth Objects Hazard: Knowledge and Action". Belgirate (Italy) 26-28 April 2006.

143. Heggie D.C. Binary evolution in stellar dynamics. Mon. Not. R. Astr. Soc., 173, 1975, p. 729-787.

144. Heggie D.C., Hut P., McMillan S.L.W. Binary-single-star scattering. VII. Hard binary exchange cross sections for arbitrary for arbitrary massratios: numerical results and semianalytic fits. The Astronomical Journal, 467, 1996, p. 359-369.

145. Heggie D.C. Gravitational Scattering. Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations. C.Flynn, ed. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, v. 358, 2006, p. 20-28.

146. Hills J.G. Comet showers and the steady-state infall of comets from the Oort cloud. Astronomical Journal, v. 86, 1981, p. 1730-1740.

147. Hills J.G. Close encounters between a star-planet system and a stellar intruder. The Astronomical Journal, v. 89, N 10, 1984, p. 1559-1564.

148. Hut P. Hard binary-single star scattering cross sections for equal masses. The Astrophysical Journal Supplement Series, 55, 1984, p. 301-317.

149. G. Kuteeva, L. Sokolov. Exoplanets orbital evolution under the influence of nearby stars. Few-Body Problem: Theory and

150. Computer Simulations. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, C.Flynn, éd., y. 358, 2006, p. 131-134,

151. Laplace P.S. Exposition du Système du Monde. Paris. 1796.

152. Laskar J., Froeschle C., Celletti A. The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental frequencies. Application to the standard mapping. 1992. Physica D. v. 56, 1992, p. 253-269.

153. Laskar J. Frequency analysis for multi-dimensional systems. Global dynamics and diffusion. 1993. Physica D. v. 67.1993, p.257-281.

154. Laskar J. Large-scale chaos and marginal stability in the Solar system. 1996. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 64, N 2, 1996, p. 115-162.

155. Lyttelton R.A., Yabushita S. MNRAS, 129, 1965, 105.

156. Longuski J.M., Williams S.N. Automated design of gravity-assist trajectories to Mars and the outer planets. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 52, 1991, p. 207-220.

157. Lorenz E.M. Deterministic Nonperiodic Flow. J. Atmos. Sci. 20, 1963, 130.

158. Mullary A.A., Orlov V.V. Encounters of the Sun with nearby stars in the past and future. Earth, Moon and Planets, V. 72, 1996, p. 1923.

159. Oort J.H. The structure of the cloud of comets surrounding the solar system and hypothesis concerning its origin. Bull, of the Astron. Inst, of the Netherlands, v. 11, N 408, 1950, p. 91-110.

160. Patel M.R. et al. A Uranus-Neptune-Pluto opportunity. Acta Astronautica, v. 36, N 2, 1995, p. 91-98.

161. Pitjeva E.V. Modern numerical ephemerides of planets and the importance ofranging observation for their creation. Celest. Mesh., Dyn. Astr., 80, N 3/4, 2001, p. 249-271.

162. Pucacco G., Rosquist K. Non-integrability of a weakly integrable Hamiltonian system. Cel. Mech. Dyn. Astr., 1-2, 2003, p. 1-23.

163. Rubinov A.V., Petrova A.V. and Orlov V.V. Dynamics of multiple stars. Publ. Astron Obs. Belgrade, N 75, 2003, p. 17-25.

164. Saari D.G. Expanding gravitational systems. Trans. Amer. Math. Soc., 156, May 1971, p. 219-240.

165. Shor V.A., Yagudina E.I. Apophis approaches with the Earth. "Near-Earth Objects Hazard: Knowledge and Action". Belgirate (Italy) 26-28 April 2006.

166. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. Differential and Combinatorial Topology (ed. S.S. Cairns). Princeton University Press, 1965, p. 63-80.

167. Sokolov L.L. Families of Integrable and Stochastic Trajectories in the N-Body Problem. Astronomy and Astrophysics Transactions, v.7, N 4, 1995, p. 275-276.

168. Sokolov L.L. On the Comet Capture Conditions. Proceedings of the International Conference "Stellar Dynamics: from Classic to Modern", held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, AI SPbSU, 2001, p. 255-259.

169. Standish E.M.- Newhall XX, Williams J.G., Folkner W.M. JPL Planetary and Lunar Ephemeredes, DE403/LE403. Interoffice Memorandum, 314.10-127, 1995, 22 p.

170. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar ephemeredes, DE405/LE405. Interoffice Memorandum, 312.F-98-048, 1998, 18 p.

171. Sterzik M.F.; Durisen R.H. The dynamic decay of young few-body stellar systems, I. The effect of a mass spectrum for N = 3,4, and 5. Astron. Astrophys., 339, 1998, p. 95-112.

172. Sterzik M.F., Tokovinin A. A. Relative otientation of orbits in triple stars. Astron. Astrophys., 384, 2002, p. 1030-1037.

173. Sukhanov A.A. Trajectory design for the mission "Hannes". Acta Astronáutica, v. 39, N 1-4, 1996, p. 25-34.

174. Sundman K.F. Memoire sur le problème des trois corps. Acta math., 36, 1912, p. 105-179.

175. Torbett M.V. Capture of = 20km, je interstellar comets by three-body interactions in the planetary system. The Astronomical Journal, v. 92, N 1, 1986, p. 171-175.

176. Valtonen M.J., Innanen K.A. The capture of interstellar comets. The Astrophysical Journal, v. 255, 1982, p. 307-315.

177. Valtonen M.J. The General Three-Body Problem in Astrophysics. Vistas in Astronomy, v. 32, 1988, p. 23-48.

178. Valtonen M., Karttunen H. The Three-Body Problem. Cambridge University Press, 2006, 345 p.

179. Weissman P.R. et al. Close Approachess of Stars to the Solar System. 29th" DPS Meeting Abstracts, Bulletin of the American Astronomical Society, v. 29, N 3, 1997, p. 1019.

180. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gaps. Icarus, v. 56, 1983, p. 51-74.

181. Wisdom J. A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability. Icarus, v. 63, 1985, p. 272-289.