Методы приближенного и качественного анализа в релятивистской динамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г ОТ 97

Академия наук Беларуси ордена Трудового Красного Знамени Институт физики им. Б. И. Степанова

На правах рукописи

ЖДАНОВ Валерий Иванович

УД К 539.12; 530.12

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКЕ

01.04.02 — теоретическая физика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск — 1992

Работа выполнена в Киевском государственном университе им. Т. Г. Шевченко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. С. ВЛАДИМИР01 доктор физико-математических наук,

профессор Р. П. ГАйД.

доктор физико-математических наук,

профессор А. П. РЯБУШК!

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физш Объединенного института ядерных исследований (г.Дубна).

Защита

состоится « ^¿х^» [¿¿.¿Л'< 1992 г. на заседании ст: циализнрованного совета Д-006ш1.02 по защите докторских Д1 сертаций при Институте физики АН Беларуси. Адрес: Минск, Л пинский пр., 70.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институ физики АН Беларуси.

Автореферат разослан « » 1992 г.

Ученый секретарь ,у /

спецсосега Д-006.01.02, ^''¡П

кандидат физико-математических наук/ Ю. А. КУРОЧ КМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы . В последнсе время значительно возрастает роль проблем релятивистское! динамики, что проявляется прежде всего в астрометрических и астрофизических исследованиях, а также, в определенной степени, при изучении неквантовых свойств ьажросистеы. Возросшая точность измерительной техзиш требует учета эффектов релятивистской гравитации при проведении высокоточных наблюдений в радиоинтерферомэтрии с сверх,дяшшой базой, особенно им? я в виду перспективы космического штерфвром-зтра. Ряд новых исследований в про&вэмэ дшн.еиия оЗ'дой теорш относктелыюсти (ОТО) бил стимулирован наблвденнями двойного пульсара РЗИ 1913+16, в движении которого ощутимы аффекты гравитационного излучения.

Расширяющееся использование аппарата релятивистской теории приводит к все более трудоемким и более сложным в математическом отношении задачам, когда многие вопросы "на поверхности", решаемые на основе одаой - двух аппроксимаций, исчерпаны и требуется нетривиальной исследование приближений высокого порядка, а часто и детальный анализ сходоюсти приближенных схем в целом. Специфика рёллтишзма приводит здесь к многим отличиям в сравнении с классической динамикой, гоучет которых, как показывают работы последнего десятилетия го проблеме движения ОТО, может приводить к потере решений и к появлению расходдмостей в результате применения стандартных приближенных мзтодов. Так, из - за конечности скорости распространения взаимодействий, релятивистские системы сосредоточенных тел сравнимой массы обладают бесконечным числом степеней свобода, что отражается на постановке начальных задач для уравнений относительно траекторий. В атом случае траектории системы тел в фазовом пространстве могут пересекаться, приводя к негативным последствиям для перехода к квантовому и статистическому описанию. Однако большинство авторов при исследовании слабо - релятивистского движения тел получает,' в результате различных приближений, "одновременные" уравнения двшения, соответствующие конечному числу степеней свобода. Здесь происходит потеря решений я требуется выяснить, нес-

кояько векш отйрзсывеэже степени свобода. Для решения этих задач первостепенную роль играют .вопросы существования и единственности решений уравнений двтаения, строгие, априорные оценки и качественное исследование траекторий тел на неограниченном интервале времени. Вопросы единственности возникают и в динамике релятивистской сплошной среда: здесь, в задаче Копи с разрывными начальными данными,- для.уравнений состояния в окрестности фазовых переходов возникают дополнительные нефизические решения, формально удовлетворякщие обычным условиям на скачках, включая к условие роста энтропии. Интерес к последней проблеме связан с гидродинамическим описанием сверхплотной материи в условиях возникновения предсказываемой квантовой хромоданамикой кварк -глюнной фаза, которая, невидимому, реализуется в сердцевина сверхплотных звезд и с ранней Вселенной.

Эти обстоятельства говорят об актуальности вопросов, поднимремых в денной диссертации, .цель которой состой^ в разработке .и обосновании приближенных -и качественных методов исследования уравнений движения сосредоточенных . и протяженных систем в релятивистской --динамике (в .неквантовой области), причем предпочтение отдается точно -форму.лзгруе,мым моделям и - результатам.

Задачей диссертации является исследование существования, единственности и других качественных свойств решений уравнений движения тел сравнимой массы-в релятивистской динамике, учитывающей конечность скорости распространения взаимодействий; разработка и анализ сходимости приближенных штодов, получение оценок решений в связанных с этим задачах специальной и общей теории относительности; анализ.единственности и разработка методов построения разрывных .реданий релятивистской гидродинамики в аномальной среде.

На защиту выносятся следующие вопросы Г.Оцэшда асимптотического поведения траекторий-и,-уровня полного рассеивания системы N тел в релятивистской ..дошмике, учитывающей запаздывание взаимодействий (п. 1.2). 2-Исследование поведения в прогалок; реи/сияй .слабо -;>£®линойеых

систем в динамике с запвздавашвэы и приложения к вопросам устойчивости (п.1.3).

3.Метода исследования траекторий на бесконечном интервале времзни, оденкн решений урешений движения, анализ степеней сввободы и фазовых потоков в случае одаомзрного движения двух тел: слэОо - релятивистское движение в электродинамике и случай связанной релятивистской системы (Раздел 2). ¿.Сходимость приближенного мгтода в динамике, учитывающей запаздывание взаимодействий, который в пределе дает одновременные уравнения движения (п.ЗЛ).

5-Мзтода исследования, оценки решений уравнений трехмерного .движения и степени свобода слабо - релятивистских систем при учете запаздывания взаимодействий: в аадаче двух тел, при учете самодействия протяженного тела, в случае квазисвязанной система гравитирупцйх тел (пл.3.2, 3.3, 4.1).

6. Оценки приближений яри определении геодезических и приложения к построению систем отсчета в искривленном пространстве -времзни (п.4.2).

7.Анализ постулата геодезичности в рамках феноменологической формулировка динамики гравитирупцих тел на основе Пуанкаре -инвариантных уравнений движений (н.4.3).

8.Приближенный метод иссслздования волновых полей в окрестности черных дар, позволявдий'дать равномзрные оцэнки в низкочастотной области (п.5.1).

Э.Мэтода построения разрывных решений в релятивистской гидродинамике в случае идеальной жидкости с аномальным уравнением состояния (пл.5.2, 5.3).

Научная новизна диссертации определена результатами, полученными впервые.

Доказательство сходимости рассматриваемых в диссертации приближенных методов и исследование качественных свойств траекторий впервые проведено на уровне, допускающем приложения к реалистичным моделям релятивистской динамики тел сравнюжэй массы, учитывающим конечность скорости распространения взаимодействий; ряд результатов охватывает все слаборелятивустс-*гив движения.

- е -

Для конкретных точно формулируемых моделей двух тел дано последовательное рассмотрений вопросов сущэствавашш и едш-стЕвнности ревений на бесконечном интервале времени, связанных с степенями свобода релятивистских систем. Соотвзтству-щиэ теораш впервые доказаны для всех слабо - релятивпстсгсд: начальных условий задаваемых в фиксированный момент времени.

Получен ряд новых оцзкок качественного давэдзнш уравнений. движения точечных и протяженных тел с специальной н общей теории относительности, в такхэ уравнений, решаемых пп:: построения инвариантно определяемых систем систем отсчета; впервые дан математически обоснованный »«этод исследования волновых полей в окрестности черных дыр, допускан^ш! раоно-шрныз оценки последовательных приближенна в низкочастотной области.

Получены обобщения известных результатов Тауба и Торна по релятивистским ударным волнам, в которых снимаются обычно используеше ограничения на знак выпуклости адиабат Пуассона. Для об!дего, в том числе и аномального, уравнения состояния, даны алгоритма построения одаомерных разрывных решений уравнений релятивистской гидродинамики.

•Научно - практическая ценность работы. Представленные е диссертации исследования пшют общетеоретическое значение.

Развиваемые здесь мзтодо позволяй1 дать достоверную информа-' даю о свойствах релятивистских систем с учетом специфики, обусловленной конечностью скорости распространения взаимодействий. В диссертации сформулированы общие условия, обесие-чнващие справедливость полученных результатов, и показана их применимость к конкретным уравнениям движения тел сравнимой массы в релятивистской динамике.

Результаты диссертации по сходимости, оценкам приближений и качественных свойствам ревений дают строгую основу да аппроксимаций, используемых Оольиш числом авторов в специальной и общей теории относительности, а также дает возможность дяя построения новых вычислительных схем в высоких порядках приближений.

Ра с с «от ре иные в диссертант приложения к задачам ОТО

гут Сыть полезными да проводила в настоящее, время разработок астроштрических систем отсчета с учетом релятивистских аффектов, а также для планирования и анализа экспериментальных проверок релятивистской теории тяготения.

Результаты по разрывным течениям релятивистской жидкости с аномальным уравнением состояния расширяют возможности гео-ршт ударных волн и используются в гидродинамических моделях тожественного рождения элемзнтаркых частиц при соударениях тяжелых ядер, они могут найти применение в космологических п астрофизических задачах при описания сверхплотной материи в окрестности фазовых переходов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 4-й (Минск, 1976), 5-й (Москва, 1981), 6-й (Москва, Г984), 7-П (Ереван, 1988) Всесоюзных гравитационных конференциях, 4-Я Всесоюзной конференции по теории и приложениям уравнений с отклоняющимся аргументом (Киев, 1975), I и 2 Всесоюзных симпозиумах по проблею движения в релятивистской теории гравитации (Вильнюс), Симпозиума Международного астрономического согоа Ж41 (Ленинград, 1989), ('зад/народном сгаязооиумз "Движение пробных тел в релятивистской- гравитационной теории" (Вильнюс, 1990), 4 ¡.Международном семинаре "Гравитационная епергия и гравитационные волны" (Дубна, 1Э91), на заседаниях научных се!Жнаров в Астрономической обсерватории КГУ, ИТФ АН УССР, ГАО АЛ УССР (Киев); МГУ (Москва); КПЛ АН СССР (Ленинград); ИФКС АН УССР (Львов).

Публикации■ Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-263. Всего по теш диссертации автором опубликовано 36 журнальных статей.

Объем и структура диссертации. Основной текст диссертации включает введение, пять глав и заключение, излоясонныв на 260 страницах. Список литературы содержит 263 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРКАШЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дан краткий обзор связанных с ней надраадэний, обрисованы дели, основные задачи и особенности работы.

В первых трех разделах основное внимание уделено математических следствиям учета конечности скорости распространения взашодейстаий в уравнениях движения (УД ) тел сравнимой массы. Запаздывание взаимодействий в любой: релятивистской теории - такой, как классическая алектроданамика иди ОТО, - приводит к зависимости от предыстории в уравнениях для траекторий тел. Эта вввнсимэсть появляется в виде выражений с отклоняющимися аргументами иди иатегро -дифференциальных членов в УД, в которые входят искомые траектории в более ранние моменты времэ-ни.В связи с втим соответствующе уравнения нвзыварг УД в динамике с запаздыванием (иди с последействием).

В оОдеы случае уравнения движения для траекторий N тел Г<*) . р-»....,и, ишет ввд

(I)/(Н* = Нр(Х,^), Х1(а):-Х(иа), , <1>

где -X = величины Нр<Х) валяются

функционалами от Х(а), т.е. и ) явдашоп функцкогально - дифференциальными уравнениями (ФДУ). Рассматриваем« в разделах 1-3 уравнения определены, как правила, в классе дважда непрерывно - дифференцируемых траекторий, удовлетворяй®« условиям

|Х*(1)1 < с < 1 , 1х*(1) - > б. > О , (1а)

* , Р ■ * Р ч

где с4« (0,1), <1 > О, т.е. скорости тел меньше скорости

света с = 1 и исключаются сближения тел.

Наличие последействия усложняет качественные свойства УД, что отражается на постановке начальных задач и обосновании приближенных методов. В частности, при определений траекторий изолированной системы тел приходится анализировать решения УД на неограниченном интервала начиная от бесконечных

Ерзмэн В проало!«.

В первом роздз-яе исследованы качественные свойства УД тел сравнимой масса в релятивистской данамвгэ с залаз^ат-пием. 8 п.1.1, который, з основном,, играет вспомогателшуп роль, обсуждается структура и обшив особенности УД с запаздыванием, та специфика о точки зрения теории функционально -дифференциальных уравнений. Приведены пргаеры, отражайте типичные свойства этга: уравнений, изложены вспомогательные сведения о свойствах отклоняевдпся аргументов, показана возмог-ность однозначного продолжения решений достаточно общих УД с-з значения времени в случае, когда известны' треекторге-х тел при г<1о . Дана преобразования, позволяющие в этих уравнениях отделить, не прибегая к приближениям, "одновременные'' ньютоновские и пост - нысггсяовскио члены от функциональны:: поправок, содержала всю зависимость от предыстории. Если ограничиться двухчастичными взанмэдейсгвияит, то в результате этих преобразований правые части УД приникает вид

= Е Г„< . (2)

Гэ О, Г < К) = <? (К{0)) + ? (X.) + 8* (X, > ,

рр ' рч <• рч рч - °рч

где 0° - обычные фуниши, удовдзтворяпда пеюевенствзи

рч

в (б3 (X)! з А (г ), г :=|5Г* -х*1г г. >0 « (Л)

р1 и ' рч рч ря р ч р

А (Г)- -Ли /4г > О. и (®)-0, и з О,

рч рч ря рр

эти функции южно рассматривать как нврвлятивистски? составлявшие в УД; здесь 1/ (г) - положительные функции; остальзыэ

рч

слагаемые в Г описывают релятивистские поправки, являющиеся функционалами от траекторий.

Б п.1.2 сформулированы и доказаны условия полной дисси-пашш системы N тел, которые являются распространением аналогичных теорем ньютоноескоЙ космогонии [271 на УД вила (1)-(3). Предполагается, что в рассматриваемом классе траек-

торий

щ 1G* (Х)| s к А (г ), (4)

р' рч 1 * pq pq '

t

+ (1/(t-Rqp(t)) / йв |Г(з)| ), (5)

R (t)

ЧР

где (t) - запаздывающее время, определяемое из уравнения

Kqp(t) = t - |Г(Х) -r(Rqp(t))i (6)

Выполнимость (4),(5) для конкретных УД с запаздыванием показана в п.1 Л. В случае электродинамики и гравитации в неравенстве (3) можно положить Арч(г)=Срч/гг. В оценках (4),(5) в случае слабо - релятивистских движений можно считать k « 1, к /ш « 1.

i г р

Особенностью рассматриваемой задачи является наличие многих отклоняющихся аргументов, учитывающих в уравнении для каждого отдельно взятого тела запаздывание сигналов от Других тел. Наличие соогБбтстЕуэдн многих масштабов в (5) осложняет применение методов ньютоновской данвмики (273.

Обозначим v- =x*(t J-x'ít ), F* =х*(t)-x*(t),

pq p * O ' q O pq p O q O'*

P := (7* -F* )/P . При P > О в ц.1.2' получены следущие

рч ' pq рч рч г рч

условия на величины Ppq и ирч(Ррч), которые гарантируют продолжаемость решений уравнения (2) на все значения t>to:

nln [(1-/?)W, S] > Q//3 + Qt, (7)

где ft - любое число из интервала (0,1),

W = mlníP i, S = mlntc - (5f*(t )|), p*q M p p

G= ~ E P U (P ), ш = mintn >,

Р.ч м м рч вчп р F

Qt= -f- К с ир X ds |Г(з)|, Ro= nlntR (to)}, Р в Р^Ч

mir» К

о

константы Kt, Кг ~ 0(1) известным образом зависят от N, кг и от отношения масс тел. Показано, что при выполнении (7) расстояния между частицами возрастают со времэнем быстрее линейной функции от t: r (t) -* « при t —• <*>,

РЯ

В другой серии условий диссипации системы (п.1.2) не предполагается положительности величин Ppq, вяесто Pp<j и Ррч

в неравенства входят прицельные расстояния Ppq (1 -Р^)1''1 для

каждой пары тел и начальные относительные скорости |■

Исследован также случай полного отталкивания тел, получены ограничения для S и кг, при которых диссипируют все слаборелятивистские системы; в этом случае также даны оценки скоростей, ускорений и ньютоновской энергии системы при tett0,®).

В п.1.3 исследовано поведение решений слабо -нелинейных систем уравнений следуюцего вида

AXt = 1(Xt,t), (8)

где А - дифференциально - разностный оператор второго порядка, причем все отклонения аргумента в линейной части является постоянными; правая часть - функционал, содержащий малые нелинейные поправки. Допускается, что (8) может содержать квк запаздывающие, так и опережающие оргументы. Заметим, что последние возникают при исследовании систем с запаздыванием в прошлом, когда в исходных уравнениях производится обращение времзни, а также при исследовании устойчивости круговых орбит в динамике типа Фоккера.

Рассмотрена следупцая задача. Пусть система лилейного приближения, определяемая левой частью (8),.содержит как экспоненциально убывакщие, так и экспоненциально растущие нетривиальные решения. Для точных уравнений (8), при достаточно общих предположениях на правую часть, доказано существование полутраекторий, соответствующих затухающим решениям системы

•шлйзлного ирвблихення. Для этого ессяздовэкы свойства фушсции Грина линейной частя <8>, лозволяещйз установить экспоненциальные оценки нв последовательные приближения, и доказана схода&здсть соответствухзфго итерационного метода. Получзшшй енвод. обобщает результаты об условной устойчивости из теория обыкновенных дафференцяаньных уравнений. На основании вгого доказана орбитальная неустойчивость круговых траекторий дзуз тел, описываемых са&втретныш во врзу«гни УД с отклоаянугися

Ео бтарог,; раздала изучается конкретные прнг.вры ФДУ редя-'лзз^егскоа дааамикн с запаздаванизы, ошзшакцкэ одасмэрвоо двздвух тел.

Б п.2.1. сформулированы и доказаны условия единственности ресзяш! для уравнений с откдонявдался аргушнгом, рассчитанные на пршшения к уравнениям одномерного двиаеши в ро-лятябистсхой динамике. Развиваемая схема исследования состоит в следующем: сначала рассматривается единственность деусто-ровшп ревенай, определяемых одноточечными начальною дааиыма ет некоторой частной области о фазового пространства, затем едшствешость распространяется на всв область, покрываемую фазовый потоком, исходящим из о.

-Далее (п-2.2) ara схема используется при исследовании уравнений одЕоьзряого давкавия двух тел в кдйес5ксекзй s-кзк-тродапшккз. Зта задача впервые была рассмотрена Р.Д.ДрайЕв-• ри;л 1281; формулируемая ннхе теорема существенно дополняет результату .1213], охватывая область всех слабо - релятивистских одноточечных начальных данных.

Одшдервое сйялатринное дн^шние двух заряженных частиц равЕой майсы вдоль оси Х-ов ошхнЕзется уреказюэм

¿(t) tl-Sftt)]8-"

где а - функция Ханисайда, интегрирование производится в c-hücJB Стилтьэса па г ; ¡í=eie2/m, X - расстояние от каждой из

- 1" 1 — X(t-r • i d{t3fr-X<ü)-Xít-r)3} • ---- , <9)

Qvo Г 1 + i(t~r>

частиц до центра системы.

Под решением (9) на (-оо,Т] подразумевается функция X «

С'_шп, удовлетворяющая условиям ХЦ) > о , |Х(1;)| < 1,

обрвщащая (9) в тождество.

В случае одноименно заряженных частиц в п.2.2 доказана еде думца я теорема.

Теорема I. Пусть к > 0 . Тогда можно указать * (достаточно малое) такое, что при выполнении неравенств у*+)с/х0. < е и

ко > 0 существует единственное решение Ш) уравнения (9) яа

(-ш.оо), удовлетворяющее условиям , Х(1;0)=х0.

Заметим, что с точки зрения теории ФДУ единственность здесь нетипична: наоборот, типичным свойством ФДУ является 129} бесконечномерный произвол в решениях; траектории" тел в фазовом пространстве при наличии запаздывания не образуют, как правило, фазовый ноток, они не определяются однозначно по состоянии системы в начальный момент . Тем не менее ока-

о

зывэется, что указанные свойства (единственность я т.п.) все же илзют место для слабо - релятивистских решений уравнения (9), откуда следует существование обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего эти решения. Аналогичная теорема доказана в п.2.2 и в электродинамике Фоккера - Уилера - Фейнмана; несмотря на присутствие опережающих потенциалов здесь также имеет место однозначная предсказуемость и регулярное глобальное поведение решений.

Уравнение (9) исследовано и в случае разноименно заряженных частиц (к < 0). Этот случай интересен тем, что качественное поведение ври ъ —» - » здесь аналогично случвю притяжения гравитирувдих тел. При предположении регулярности траекторий, исключающей столкновения тел в прошлом, также доказана теорема о единственности решений при условиях, сходных с теоремой I.

Во всех случзях выведены неравенства, которые дают двусторонние оценки для скоростей и ускорений через значения координат и скоростей (то,хо) при некотором , в в слабо -релятивистском случае позволяют получить приближенные вираже-

ния для скоростей и ускорений. Исследован также случай ультра - релятивистских траекторий для (9).

Одним из основных в вышеуказанных примерах является требование изолированности системы в прошлом, т.е. чтобы УД выполнялись не только при г > го , но и при г е (-ое,^]. Условие продолжения траекторий до бесконечного прошлого при выполнении некоторых требований регулярности оказывается настолько жестким, что позволяет в слабо - релятивистском случае отсеять кеклассические степени свобода. Этот вывод подтверждается более обидами результатами раздела 3. Альтернативная ситуация сильно связанной системы двух тел рассмотрена в п.2.3 на примэре УД, получаемых при модификации одномерной модели адронного мешка СЗШ, хорошо известной в физике эле-мэнтарных частиц:

х и>

г

= | (И { I ' ¿Х [ I V ^ - в] - I Ир(1-фЧ,

^ Р= 4 ,2 *

X р

(10)

,1. Действие В описывает замкнутую систему двух тел с массами шр и траекториями хрШ, р-'-г, взаимодействущнх

друг с другое посредством скалярного поля <*>=*>( 1;,х) ' и испытывающих внешнее давление вакуума В>0. Б отличается от обычной модели мзшков [30] добавлением вклада частиц на краях системы. После исклшещя скалярного поля из (10) получается система функционально - дифференциальных уравнений на траектории, для которой доказана теорема о продолжаемости решений на все времэна вплоть до 1—» причем рассматриваемая система обладает бесконечным числом степеней свобода.

В третьем разделе основной акцент сделан на приближенные методы в релятивистской динамике с запаздаванием. Значительное внимание уделено сходимости и полноте классов решений уравнений, получаемых в пределе приближенных схем. Результаты раздела 2 по исследований степеней свобода слабо - релятивистских систем здесь распространяются на более общш уравнения трехмерного движения.

- 15 -

В п.3.1 рассматривается сходимость приближенного метода, позволяющего для ФДУ вида (1) получать в пределе обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся вргумвнтом такие результаты получены для уравнений с малым запаздыванием. Специфика уравнений релятивистской динамгаси состоит в том, что запаздывание зависит от искомых функций и, наоборот, может быть неограниченным. В п.3.1 найдены условия сходимости приближенного мзтода в ситуации, охватывающей случай УД релятивистской динамики с неограниченным запаздыванием и доказана теорема о существовании предельной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которой удовлетворяют исходным ФДУ.

В п.3.2 рассмотрены приложения этих результатов к исследованию класса релятивистских УД двух точечных тел, которые получаются из одаочасгичных Пуанкаре - инвариантных функционалов действия и включают, в частности, УД в классической электродинамике и приближении слабого поля ОТО.

Явный вид уравнений (1) для траекторий тел (N=2) в исследуемом случае определяется соотношениями

Г(^) - I П-^ПГ-Г(^Г)!, (11)

р

£ :" - ® {*(<>- Ч'Г' \]'аЧ)>

где 1; = 1; , п >0 - массы тел, юО - константа взаимодействия, р р

ъ = _ * г <1з ¿(а -ь )' - ( х* - Г)г1 в(ь -г ) и г )

р ¿П * р ^ р Ч ' ЛРЧ ЛРЧ

(IXм йх1'

т р р

р ,7 , р * ч , I = ,

р р

<5 - функция Дирака , т)=й1ав(1 ,-1 ,-1 ,-1), функция 1(1) предполагается аналитической в окрестности точки 1= 1,

1(1)= 1; йз , при вычислении (11)

Р Р Р » г

подразумевается

' Назовем функции решениями уравнений (1) с

правой честью (11) на (-«.Г], если |^^< >|< 1, х^И) * х^Ш,

причем вти функции удовлетворяют (1) тождественно на (-<оД).

Как и в п.2.2, система двух тел предполагается изолированной при I < 1;о, что позволяет добиться единственности решений, задаваемых значениями координат и скоростей при 1 = 1о « :

' К^^К,* • • <12>

Однако при этом накладавахяся более жесткие ограничения на эти решения.

Определим область ) переданных у^ ,г> :

И(*)= « ^.ЗГ) : %г * £ > к / 5 * }»

к=1в1/в1п(п1,иг), * > 0.

Определим ) - класс слабо - релятивистских траекторий - соотношениями:

Г^ГЧн.Е3) , { Г СО,Г «¡),Х*(1;),зС(1;)) <= VI е (-ОО.Т) ,

р х 2 1 2

Зир<|~Гил, £ в } < со, Р=1,г

•Эти свойства характерны для любого слабо - релятивистского движения.

Слэдущая теорема, доказанная в п.3.2, отвечает на вопрос о существовании "одаоарешкной формы* УД:

<гГт/<и" - Г( ,К(1)) (13)

Теорема 2. Существует £ > 0 (достаточно малое) и непрерывные

по Липшицу функщш 0 : к1"—» кэ, обладавшие слэдущкш р

сзс-йстз&ми: любое ресэаке х-* систсуы обыкновенных 1 р

ЛО?е?гн1С1альЕЫ2 уравнений (13), такое, что

- 17 -

является решением ФДУ (1) с правой частью (11) на (-®,!Г].

В случае отталкивания доказано, что (13) описывает все слабо - релятивистские траектории.

Теорема 3. Пусть в УД (1) правая часть определена формулами

(11), причем g > О . Тогда

-существуют значения е, (с > с* > о ), такие, что для

любых (у^ о) « й(с') существует единственное решение

(ЗГ) е уд (?) на (-<»,<»), удовлетворяющее-условиям (12);

-существуют непрерывные по Липшицу функции 0р: к11-* кэ, такие, что любое решение (1) из й(с), определяемое условиями

(12) из В(*')* удовлетворяет уравнениям (13).

Аналогичный результат при 8 < 0 получен для асимптотически свободных в прошлом траекторий, которые описывают при г—> -«о инфйнитное движение с ненулевой относительной скоростью тел. Заметим, что из рассмотрения в разделе 4 следует типичность такого поведения для слабо - релятивистских траекторий квази -связанных систем двух тел, если учитывать эффекты реакции излучения.

Далее в п.3.3 изучаются УД, учитывающие взаимодействие тел с собственным шлем. Предложена и исследована полуклассическая модель самодействия протяженного тела, в которой пре-небрегается внутренними степенями свобода (ответстш:пш.\31 за колебания, деформации и т.п.), но учитывается запаздывание взаимодействий. Вклад самодействия в УД получается путем усреднения по элементам протяженного тела:

Г"1'^) - ^<Г) 1Г(Г)Р,Г)Р)

+ Г,

В= Н (Х^/д, где последняя величина определена

согласно (11), ^(У* )=»?;,,( ¡У* I) - зпггегрируемап функция, про-лоршональчая "плотности звряда", тек , что ¡^(хНЗ при х > Л . с1 - размер тела. Ь слабо - релятивистском случив «ль -

чина

Ь0 = ИпИИ^.пдГ1 J а3у ^(у1) j й'г ^(в*) | Г- у*I должна быть достаточно мглой.

Для уравнений движения, описывающих движение тела в поле внешних сил и учитывающее самодействие в рамках данной модели, в п.3.3 получены оценки слабо - релятивистских траекторий и повезено, что здесь не возникают "самоускорящиеся" решения и дополнительные степени свободы, типа имеющих место в случае известного выражения для силы самодействия точечных тел в электродинамике, содержащего третьи производные от траекторий

по времзни. Если Рр**и добавляется к (11) , , то утверждения теорем 2,3 остаются в силе при достаточно малых йо и Ьо.

Четвертый раздел -в значительной степени связан с приложениями мзтодов и результатов разделов 1-3. 1

В п.4.1 исследовано качественное поведение слабо - релятивистской системытел при различных предположениях яа пост - ньютоновские интегралы энергии, в частности при наличии потерь квазикласснчеркой энергии. Дано обобщение ньютоновских условий полной диссипации системы в зависимости от знака интеграла анергии в случае УД пост - ньютоновского тина. Результаты подтверздаот вывод о том, что при учете потерь энергии на .излучение всс изолированные слабо - релятивистские систеш должны теть -шфгаштше при 1-+-® траектории, причем "почти все" такта траектории являются асимптотически свободными в яроалом.

Последнее обстоятельство позволяет приманить некоторые результаты раздела 3 дая исследования степеней свободы изолированной системы двуя грввкгирущих тел, что имеет принципиальное значения для использования приближенных методов в проблема движения ОТО. В п.4.1 для сбцих УД двух тел сформулированы -и доказаны условия единственности асимптотически СЕобохгых в прозлом траекторий, причем допускается зависимость функциональных выражений б УД, рассматриваемых в кюшнт I, от -последействия на бесконечном интервале которое

ьетет быть связано с наличием "хвостовых" членов, обусловленных .рассеянием на кривизне пространства - времени.

В п.4.2 рассмотрена вопросы, связанные с приближенным построением релятивистских систем отсчета. Здесь получены-' оценки точности приближенного интегртрования уравнений нулевых И пространственно - подобных геодезических Xй(з) на основе методов разделов 1-3. Условия применимости1 оценок выполняются в случае стационарных мзтркк, описываицих островную систему, с шварцшильдовским поведением на пространственной бесконечности, а также приближённых метрик, получаемых в приближении слабого шля, описываицих квазистационврное движение ограниченной системы тел. Розностк последовательных приближений для величин бх^/бз мажорируются членами геометрической прогрессий с показателем q=GM/й.ь, где С - гравитационная постоянная, М - масса островной системы, известным образом зависит от начальных двшШХ Для геодезической и имеет порядок характерного размера системы при условии, если начальные расстояния до тел и соответствующие прицельные расстояния сравнимы с этим размером.

В атом же параграфа предложены обобщения координат Ферми и оптических СК, привязываемые к семейству набледателей на поверхности астрономического тела, причем эта поверхность может иметь произвольную выпуклую форму. Рассмотрен пример СК, представляющий собой обобщении известных в классической вст-ромэтрии геодезических координат В окрестности Земли. Найдены преобразования, связыванию эти СК с асимптотически декартовыми гармоническими координатами при учете несферичности центрального тела с точностью, достаточной для анализа результатов астромзтрических наблюдений в околоземном пространстве.

В п.4.3 изучены феноменологические уравнения движения гравитирувдих тел, вид которых определяется требованиями Пуанкаре -инвариантности. Отметим, что формальней Пуанкаре -инвариантность имеет место в Случае приближенных УД в ОНО и других жизнеспособных Теориях гравитации. Соответствующие групповые свойства "одновременной" форад УД, дат возможность построения феноменологических формализмов в пост -ньютоновском приближении, Которые Ктяо использовать для анализа екс-йер^нтов по проверке теорйй Гравитации. В п.4.3 рассмотрены

пост - ньтеоновекке уревнеш! И грввиткрущи. тел, удовлетворяющие условиям релятивистской инвариантности, которые исследованы совместно со следствиями принципа эквивалентности и предположения о сущей вовании лагранжиана в области слабо -релятивистских движений. Рассмотрены также уравнения с запаздыванием, пригодные для описания движений тел в области ультрарелятивистских скоростей. В обеих областях проанализированы возможности экспериментальной проверки принципа геоде-зичности движения в динамике точечных тел. Показано, что в рамках исследованных феноменолоптческих моделей геодезичность движения имеет мзсто в пост -ньигоновском приближенш и в ультра -релятивистском пределе, хотя может нарушаться в умеренно -релятивистском диапазоне скоростей, что повышает роль экспериментальных исследований этого диапазона.

В пятом разделе рассмотрены вопросы исследования уравнений, описывающих протяженные систеш, которые представляют интерес в релятивистской астрофизике.

В :;.4.1 рассматривается уравнение Тьюольского для радиальных частей фурье -образов волновых полей в фоновом пространстве -времени Керрв, описызащем в ОТО окрестность вращакь срйся черной дары. Уравнение можно записать в виде

й'Г/сЬс2 4 оь(«.х)1 = О , (17)

где х - радиальная координата, « - частота (фурье -переменная), I - порядок мультипольной составляющей, получаемой после отделения угловых переменных. Функция оь(«,х) раскладывается в ряд Лорана по х. В этом разложении присутствуют степени выше второй, которые осложняют построение аффективной последовательности приближений к решению (17) в низкочастотной области, особенно при исследовании его аналитических свойств в окрестности точки <»=0. Эти свойства тесно связаны с неаналитической зависимостью от гравитационной постоянной, которая является причиной появления расходимостей в приближенных решениях уравнений поля в ОТО, описыващих динамику островной системы тел.

В п.5.1 показано, что уравнение (17) при помопщ замены

+ «p . tn-i p-o

йркводится к ввду, аналогичному (17), с новыми функциями 1 и О, причем последняя разбивается на дее части: q—» q,+q2, где соответствует вырожденному гшергеометрическому уравнению, а для аг га.еет место равномерная по <j оценка

|QJ i oonst/y2143-

На зтск основании в п.5.1 сформулирован сходяьдКся прколккенвый ттод нсследоБ.-шт волновых колей, достоинством которого является возмояскость получения равномерных оценок в г.ср^стнссти нулевой частоты. Для уравнения Тьикольского еост-rc-.-'i уИектлБмыП лриблшаяшый базис для вс&з значений рз-T:fj.ibHOft передано» вне горизонта черной ¿ыры Керрз.

Последние параграфы посвягрпы исследованию вопросов су-цдетвавания и единственности решений уравнений давящая релятивистской идеальной жидкости с разрывным! начальными двниыич. Хорошо известно, чго для ойеитвния едаютвегоосш гаки регеняй треоуются дополнительные, в сравнении с непре-pumat случаем, условия (311. Роль такого у еловая в вормаль-;'ой среде (в случав выпуклости вниз одагсат Пуассона) огреет .требование роста энтропии. Этого требования недостаточно з о&ястя фаговых переходов, г;;е дагут к.вть ¡/вето ансмальшэ участки с Е&выпуклым уравнением состояния, т.е. где (öp/aiOg kc'.-st менять знак (р - давление, х - обобг^нвьй удэльшй! о'ъен, S - удельная энтропия).

Дополнительные условия на ударных волнах, оСэслечиванцкэ ал'шстЕвнность разрывных течений релятивистской аномальной среду, изучены в п.5.2 на основе подходов, аналогичпыз классической гидродинамике [31). Получено релятивистское обойцэ-еьз классических условий допустшосгн ударных волз в случае аномального уравнения состояния идеальной ясидксстя. Исследование проведено в случае одаопаремэтричвекого уравнения состояния (случай нулевого химического потенциала), а затем, и общего уравнения состояния. Приложение условий к уравнению состояния модели мешков показало, что некоторые из ранее ис-

пользовавшихся решений [32] не входят в допустимые классы ударных переходов.

В п.5.3 расмотрены автомодельные разрывные течения реля тивистской идеальной жидкости с аномальным уравнением состояния. Изучены ударно - волновые конфигурации (УВК), которые в аномальной среде могут состоять из последовательностей простых и ударных волн, движущихся в одном направлении. Сформулирован алгоритм решения задачи о распаде плоского произвольного разрыва в среде с общим уравнением состояния (т.е.допускаются аномальные участки). Главным моментом в нем является построение волновой адиабаты р - У/(е,ео,ро), связываюцей термодинамическое состояние (е,р) позади допустимой УВК, с состоянием перед фронтом Се ,ро).

Пусть ударная адиабата Гюгонио - Тауба Рт связывает состояние <ео,ро) перед фронтом разрыва с состоянием (е',р') за фронтом: р' = Рт(е',е<з,ро). Опишем основные шаги в построенш №(е,ео ро> на участке сжатия для случая, когда ! (ео,ри) находится в нормальной области (п.5.3). Вводится "шаблонная" зависимость

р(е;е0,р0,е1,р1) = А - С/(А+е), где константы А, С определяются из условий прохождения

графика функции р через (еоро) и (е1р1):

А=<е1Р1-еоРо)/(еГео+Ро-Р1) ' С=(А+ео)(А-ро) .

а)Для точек (е',р'), е'>ео, на адиабате Тауба, для

которых график р(е;ео,ро,е',р') находится выше соответствующего участка этой вдпабаты, полагаем И(е',ео,ро) = Рт(е',ео,ро). Эти точки соответствуют ударным переходам сжатия {(ео,ро)—> (е',р')}.

б) Если описанный в (а) участок заканчивается точкой

л»

(ел,р_>), в которой график р(е;ео,ро,е_7,р^) касается адиабаты Рт(е,ео,ро), не пересекая ее, то продолжением !У(е,ео,ро) является адиабата Пуассона Б(е,р)=Б(ел,рл) вплоть до точки

(е.,рс), где меняет знак величина 2=р' *+2р* (1 —р* )/(р+е) (штрихи означают, дифференцирование при 3=сопз1;). Точки этого

участка описывают УВК из ударной и лрссгой волны.

в) При е>е продолжением волновой адиабаты являются точки (еи,ри), соответствующие точкам (е',р') на адиабате

3(е,р)=Б(е^,р_г) в силу соотношения р^Рт(ем,е' ,р'), причем в

точке (е*,р*) имеет место касание этой адиабаты и шаблонной кривой р=р(е;е* ,р' ,еу ,рч_г). Соответствующая УВК сжатия и течении жидкости представляет собой две ударные волны и простую волну между ними.

Другие возможные варианты рассматриваются аналогично (а), (б), (в).

Для уравнения состояния »»дели изшков в п.5.3 построены пришры плоских разрывных решений релятивистской гидродинамики. а также автомодельных решений, описывающих сходящиеся скачки разрежения в случае щштвдрической и сферической симметрии.

В заключении реашироваш основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Г.Даны оценки поведения траекторий, сформулированы и доказаны условия полного рассеивания системы N тел в динамике, учитывающей запаздывание взаимодействий, в случае притяжения и отталкивания.

2.Изучено поведение в прошлом решений уравнений движения, которые приводятся к слабо - нелинейной системе дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, причем характеристическое уравнение системы линейного приближения содержит опережающе и запаздывахщие цепочки корней, соответствующие устойчивым и неустойчивым решениям. Доказана сходимость последовательных приближений, которые позволяют выделить экспоненциально убывающие решения точных уравнений на фоне экспоненциально растущих решений. Результаты использованы для доказательства орбитальной неустойчивости круговых траекторий двух тел.

3. Для уравнений одномерного движения двух тел в кдасси-

- 2Л -

ческой Блектродоиаыикэ, учитыва.одих запаздывание взаиьодгПст--вий, хокювш теоремы сдествовани.! и единственности репзк-Л л в бесконечной интервале, задаваемых скоростям} и координат-№ тел в фиксированней мошнт времени. Б случае одаомернэго симиэтршного движения двух одноименно заряженных тех ■

вэнность имзет место ,дпя начальных данных из слабо - раюк-вистской области; для зарядов резкого знака это сгравед."£-хо, если исключить столкновения тел в прошлом. Анаяохкчкй; результат получен в электродкнвмжэт Фоккера - Уилера -в случае отталкивания тег..

4.Исследована реляпшистжа;, одномерная модель сильно -связанной системы двух тел. Показано, что решения уравнений движения тел продолжаются на всю действительную ось и при втом содержат бесконечное число степеней свободы.

5.Для функционально - дифференциальных уравнений (ФДУ) движения сформулированы и доказаны условия сходимости приближенного метода, который дает в пределе систему обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых удовлетворяют исходный ФДУ. Условия сформулированы в общем виде и допускает приложения к уравнениям с (в общем случае, неограниченным) запвздызашзм, зависящим от искомых функций, когда характер 2 той зависимости соответствует уравнениям движения в релятивистской динамике.

Б. Для класса Пуанкаре - инвариантных УД двух тел с пвздаваниэм, включающих, в частности, уравнения классической электродинамики и приближения слабого поля ОТО, доказано, что существуют точные обыкновенные дифференциальные уравнения (с единым временем), все слабо - релятивистские решения которых удовлетворяют исходным ОДУ. В случае отталкивания тел для слабо - релятивистских решений доказано обратное утверждение, причем соответствущкэ траектории исходах ФДУ не пересекаются в фазовом пространстве. В случае притяжения атот результат доказан дня асимптотически - свободных в прошлом траекторий. Получен ряд оценок поведения траекторий двух тел.

7.Аналогичные вопросы исследованы в квазирелятквистской модели самодействия протяженного тела с учетом запаздывания Бзатадодействий, в которой поправки на самодействкэ получем-ея