Исследование прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов обыкновенных конечно-разностных систем и обыкновенных дифференциально-разностных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов автономных ОКР-систек, автономных ОДР-систем и абстрактных ПД-систем в бесконечномерном пространстве.

1.1. Предварительные сведения.

1.1.1. Приведение ОКР-уравнений к нормальной ОКР-системе

1.1.2. Нормальный вид ОДР-системы

1.2. Теоремы существования и единственности решений ОКР-систем и ОДР-систем.

1.2.1. Теоремы существования и единственности решений ОКР-си стемы

1.2.2. Теорема существования.и единственности решений ОДР-системы

1.3. Предельные множества и их свойства.

1.3.1. Предельные множества для автономной

ОКР-си стемы

1.3.2. Предельные множества для автономной ОДР-системы

1.4. Скалярные и векторные функции Ляпунова на множестве фазового пространства.

1.4.1. Функции Ляпунова на.множестве для автономной ОКР-системы

1.4.2. Функционалы Ляпунова на множестве для автономной ОДР-системы

1.5. Теоремы о притяжении.

1.5.1. Теоремы о притяжении для автономной ОКР-системы.

1.5.2. Теоремы о притяжении для автономной ОДР-системы.

1.5.3. Иллюстрирующие примеры.

1.6. Притяжение и устойчивость в абстрактной ВД-системе в бесконечномерном простран

•стве.

1.6.1. Понятие о абстрактной ВД-системе и абстрактной Д-системе.

1.6.2. Теоремы о притяжении и устойчивость в абстрактной ОД-системе.

1.7. Абстрактная ЦД-система как математическая модель состояния атомного реактора. Исследование устойчивости непрерывной ЦЦ-системы.

1.7.1. ПД-система как математическая модель.

1.7.2. Исследование устойчивости непрерывной ЦЦ-системы.

ГЛАВА П. Устойчивоподобные свойства решений неавтономной

ОКР-системы.

2.1. Основные определения и понятия.

2.2. Предельные ОКР-системы. Построение ЦЦ-системы для неавтономной ОКР-системы,

2.2.1. Несмещенность предельных множеств решений неавтономной ОКР-системы.

- 4 - Стр.

2.2.2. Построение ПД-системы для неавтономной

ОКР-системы.

2.3. Скалярные функции Ляпунова на множестве фазового пространства.

2.4. Предельные множества и их свойства.

2.5. Теоремы о притяжении для неавтономной ОКР-системы.

2.6. Теоремы об устойчивости для неавтономной ОКР-системы.

ГЛАВА Ш. Устойчивоподобные свойства решений неавтономной

СДР-системы.

3.1. Основные определения и понятия.

3.2. Предельные СДР-системы. Построение ЦЦ-системы для неавтономной СДР-системы.

3.2.1. Несмещенность предельных множеств решений неавтономной СДР-системы.

3.2.2. Построение ЦЦ-системы для неавтономной СДР-системы.

3.3. Аналог теоремы Барбашина-Красовского--ЛаСалля о притяжении для неавтономной ОДР-системы.

3.4. Теорема об устойчивости для неавтономной ОДР-системы.

3.5. Сходимость решений неавтономной СДР-системы.

Интенсивно развивающимися разделами математической теории являются качественная теория и теория устойчивости динамических процессов, определяемых различными типами уравнений (ОД-система-ми, ОКР-системами, ОДР-системами и т.д.). Качественная теория и теория устойчивости, разработанные великими учеными А.Пуанкаре С 70J и А.М.Ляпуновым [ 40] получили дальнейшее развитие в работах советских и зарубежных ученых. Особенно интенсивно разрабатывался прямой (второй) метод Ляпунова исследования устойчивости и качественных свойств динамических процессов. Прямой метод получил значительное обобщение и развитие в многочисленных работах советских и иностранных ученых. Среди советских ученых большой вклад в развитие современной теории устойчивости и, в частности, прямого метода Ляпунова внесли Н.Г.Четаев [ 86 J ,А.М.Ле-тов[50] , И.Г.Малкин [öl] , КЛ.Персидский [68] , Н.Н.Красов-ский С38, 39] , В.В.Немыцкий [63, 64] , Н.П. Еругин [25-27] , Е.А.Барбашин [7-9] , В.И.Зубов [3l] , Б.С.Разумихин [71-73] , В.М.Матросов [56] , Э.Л.Эльсгольц [95, 9б] , С.Н.Шиманов [93,94], А.А.Шестаков [52, 88-91] и другие ученые. Среди иностранных ученых заметный вклад в развитие прямого метода Ляпунова принадлежит Р .Беллману [ II, ЮО] , Т.Иосидзаве [ 130, I3l] , В.Хану [ill, 112] , Ж.ЛаСаллго [49, 119, 120] , Дж.Хейлу [l09, lio] , Р.Драйверу [i05] , Ж.Като [ II4-II7] , Дж.Селлу [ 125] ,Р.Миллеру [l22] , Н.Рушу [78] , А.Халанаи [81, 82, 108] и другим ученым.

В настоящее время классический прямой метод Ляпунова и его различные модификации являются не только одним из основных методов исследования устойчивости решений ОД-систем, но и одним из основных методов исследования устойчивости решений ОКР-систем

ОДР-систем, дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений и уравнений других типов. Работами О .Перрона [124] , П .В .Бромберга [13] , В.Хана [1ПД12] и других ученых было положено начало изучению устойчивоподобных свойств решений нелинейных ОКР-систем. Вопросам устойчивости решений ОКР-систем посвящены работы советских ученых [ю, 12, 14, 21, 22, 32, 33, 36, 55, 58, 62, 65-67, 79, 84 ] и работы иностранных ученых [15, 82, 100, 103, 104, 106, ИЗ, 126, 127].

До 1949 года изучались ОДР-системы с постоянными отклонениями и лишь отдельные системы, встречающиеся в приложениях. Систематически изучать общие классы ОДР-систем начал А.Д.Мышкис [5961]. Он решил ряд общих задач теории ОДР-систем (теоремы существования и единственности, непрерывной зависимости).

Изучению свойств устойчивости решений ОДР-систем прямым методом Ляпунова посвящены работы Н.Н.Красовского [38, 39] , Л.Э.Эльсгольца [95, 963 , Б.С.Разумихина [71-733 ,С.Н.Шиманова [93, 94] , В.И.Рожкова [76, 77] , Н.В.Азбелева [з,4] , А.М.Звер-кина [28-303 , Р.Беллмана [II3 , Д.Хейла [ТО9,По] , А.Халаная [81, 1083 , Н.С.Громовой [5, 18, 19] , А.С.Авджяна [I, 2] , В.Д.Горяченко [16, 17] и других ученых.

Большой вклад в теорию устойчивости ОДР-систем внесли: научный коллектив университета Дружбы народов имени Патриса Лу-мумбы [ 18, 19, 28-30, 34, 57, 76, 95, 96] , научный коллектив семинара Н.В.Азбелева, работы участников которых опубликованы в трудах Московского и Тамбовского институтов химического машиностроения, Пермского политехнического института и в общесоюзных журналах [3, 4] .

За последние годы в самых различных областях механики, Физики, биологии, технических наук нашла приложения теория устойчивости СДР-систем. К исследованию указанных систем приводят физические и технические задачи, в которых сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в моменты, предшествувдие данному.

В задаче применения прямого метода Ляпунова к (ДР-системам в ({^ имеются два подхода:

1) подход Л.Э.сйьегольца [95, 96] и Б.С.Разумихина С71-73] , связанный с поиском конечномерных функций Ляпунова;

2) подход Н.Н.Красовского [ 38, 39] , связанный с поиском функционалов Ляпунова в классе функционалов, определенных на отрезках траекторий.

Первый подход назовём методом функций Ляпунова, а второй подход - методом функционалов Ляпунова.

В работах Л.Э.Зльсгольца [ 95, 96] показано, что основные формулировки и доказательства теорем прямого метода Ляпунова для СД-систем сохраняются и для ОДР-систем, если использовать функции Ляпунова. Однако приемы перенесения на СДР-системы метода функций Ляпунова для СД-систем оказались мало плодотворными. Более эффективным стало развитие метода функций Ляпунова для СДР-систем, предложенного в работах Б.С .Разумихина [ 71-73] »который указал условия, позволяющие значительно облегчить оценку знака производной функций Ляпунова.

Метод функций Ляпунова для СДР-систем довольно широко применяется для исследования устойчивости ряда прикладный конкретных задач. Однако метод функций Ляпунова обладает существенным недостатком, состоящем в его неуниверсальности, необратимости теорем об устойчивости и асимптотической устойчивости. Использованне функционалов Ляпунова для ОДР-систегл есть естественное обобщение прямого метода Ляпунова для ОД-систем. Рассматривая ОДР-систему как операторное уравнение в функциональном пространстве и используя функционалы Ляпунова, Н.Н.Красовский [38, 39J внес существенный прогресс в применении прямого метода Ляпунова к задачам теории устойчивости ОДР-систем. Использование функционалов Ляпунова в некотором функциональном пространстве сделало прямой метод Ляпунова универсальным, а теоремы прямого метода для ОДР-систем оказались обратимыми. Однако метод функционалов Ляпунова при практическом применении наталкивается на ряд трудностей. Для установления асимптотической устойчивости решений ОДР-систем в теореме Н.Н.Красовского требуется (как и в теореме А.М.Ляпунова для ОД-систем) определенная положительность самого функционала и определенная отрицательность его производной. в L?J Е.А.Барбашин и Н.Н.Красовский частично ослабили условия теорем Ляпунова для автономных и периодических ОД-систем. Ж.ЛаСалль [ 120] сформулировал так называемый принцип инвариантности для автономных ОД-систем. Затем Дж.Хейл£Ю9, ПО] обобщил принцип инвариантности Ж.ЛаСалля на бесконечномерное пространство для автономных ОДР-систем. Принципы инвариантности для БД-систем в бесконечномерном пространстве подробно изложены в обзоре А.А.Шестакова С92].

В теории устойчивости ОДР-систем получены многочисленные результаты [б, 23, 24, 35, 53, 54, 69, 74, 80, 83, 85, 87, 98, 99, 101, 102, 107, 118, 123, 130] .

Хотя теория устойчивости для ОКР-систем и ОДР-систем, основанная на классическом прямом методе Ляпунова, в основных чертах построена, однако исследование устойчивоподобных свойств решений

- II неавтономных ОКР-систем и неавтономных ОЩР-еистем с помощью функций и функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной является актуальным и мало разработанным.

Настоящая диссертация посвящена исследованию прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов ОКР-систем и СДР-систем с помощью функций Ляпунова и функционалов Ляпунова на некоторых множествах фазового пространства^ Использование этих функций и функционалов для качественных исследований СД-систем позволило получить важные результаты как в классификации особых точек, так и в поведении траекторий в целом [ 63, 64] . Под устойчивоподобными свойствами решений в диссертационной работе понимаются различного типа свойства устойчивости, различного типа свойства притяжения, свойства ограниченности и свойства сходимости того или иного типа. Для исследования устойчивоподобных свойств решений ОКР-систем и ОДР-систем привлекается также аппарат так называемой теории предельных систем, рассмотренный в [ 97 ] .

Используя сдвиг правых частей неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем и так называемые предельные ОКР-системы и ОДР-системы, построены Щ-системы из решений изучаемых неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем. Это дает возможность терминалогию и результаты топологической динамики [64] применить к неавтономным ОКР-системам и неавтономным СДР-системам для исследования устойчивоподобных свойств их решений. Построение БД-систем для неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем является важным методом для изучения устойчивоподобных свойств решений неавтономных ОКР-систем и неавтономных СДР-систем.

- 12

Сочетая информацию, получаемую из функций Ляпунова и функционалов Ляпунова на некотором множестве фазового пространства с информацией об инвариантных свойствах предельных множеств, устанавливаются устойчивоподобные свойства решений неавтономных ОКР-систем и неавтономных ОДР-систем. Интерес к изучению устойчивоподобных свойств решений ОКР-систем и СДР-систем связан не только с нуждами теории устойчивости и качественной теории этих систем, но и возможностями их приложений в различных областях науки и современной техники, особенно для ряда прикладных задач теории колебаний, теории автоматического регулирования, динамики ядерных реакторов и т.д.

Для изучения свойств сходимости решений неавтономной ОДР-системы модифицирован прямой метод функционалов Ляпунова^

Б диссертации рассмотрены устойчивоподобные свойства решений ОКР-систем следующих типов:

I. Автономной ОКР-системы вида где ОС(Х), |(ОС(Ю) - точки И - мерного евклидова пространства й*1 <3) - открытое множество в Цп . 2. Неавтономной ОКР-системы вида

Х1к+1)=<^(к;;зс(Ю), ^ : Я* (2) где ОС (К), 0-(К,Х(Ю) - точки 1Ъ -мерного евклидова простои. " * ранства Ц ^ множество всех неотрицательных целых чисел.

Б диссертации рассмотрены также устойчивоподобные свойства следующей обыкновенной дифференциально-разностной системы вида

0сСЦ=Ра,зс(бГ))в(.ббЩ 1>-ц (3) где заданный функционал р определен для Ц+ и значений х(6) где оС й <04 • Теоремы существования и единственности для ОДР-системы (3) получены многими авторами при различных ограничениях на Г [ 38, 59, 60, 95, 105] . В [38]и в [71-73 ] рассмотрена менее общая ОДР-система где Ъ^о - заданная постоянная и ГЗС(б)), г t [ - 1} а,. у а} " заданный функционал, определенный для £ и значений0С(б) =(5X1(6)^.^0СпГб)при {-Т: ^ 6<"{;.

Частными случаями ОДР-системы вида (3) являются ЭДР-систе-мы следующего вида: а) = —(4) где Сг - пространство непрерывных функций & :

Ив1| = 4ир|0ОС)| , ОСь(т):: = Оса + <0 VTвi'XoJ^ где X " открытое множество в Съ ) в) = се) где 0 ^ сО(£) Хо^О } ¿0 - непрерывные функции от входящих аргументов.

Диссертация содержит 131 страницу машинописного текста. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 131 наименований, на русском и иностранном языках.

1. Авджян A.C. Об ограниченности решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - Автореферат канд. диссертации. - М., 1966.

2. Авджян A.C. Равномерная ограниченность решении систем дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. Учёные записки Ярославского государственного пединститута ,1968, вып.60, с.12-21.

3. Азбелев Н.Б., Максимов Б.П. Уравнения с запаздывающимся аргументом (обзор). Дифференц. уравнения, 1982, т.18,И2, с.2027-2050.

4. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. -Дифференц. уравнения, 1974, т.10, Н2, с.2091-2100.

5. Алексеевская Н.Л., Громова Н.С. Второй метод Ляпунова для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом.- Университет Дружбы народов, 1977, вып.Ю, с. 3-40.

6. Байков В.Г., Константинов М.М. Исследования по функциональной теории и теории устойчивости дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в Народной Республике Болгарии.- В кн.: 23 , с.34-42.

7. Барбашин Е.А., Красовский Н.И. Об устойчивости движения в целом. -ДАН СССР, 1952, т.86, № 3, с.453-456.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

9. Барбашин Е.А. 0 двух схемах доказательства теорем об устойчивости по первому приближению. -ДАН СССР, 1956, т.Ш, с.9-11.- 119

10. Безикович Я.С. Исчисление конечных разностей. Л.: ЛГУ, 1939.

11. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения.- М.: Мир, 1967.

12. Бронштейн И.У. Расширения минимальных групп преобразований.- Кишинев, 1975.

13. Бромберг П.В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования. Оборонгиз, 1953.

14. Быков Я.В., Линенко В.Г. 0 некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. Фрунзе: Илим, 1968.

15. Видаль П. Нелинейные импульсные системы.- М.: Энергия,1974.

16. Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости в динамике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1977.

17. Горяченко В.Д. Об устойчивости системы "хшцник-жертва" как объекта с запаздыванием. Прикладные задачи динамики систем. Вып. 3. Сб. Горьковский университет, 1980,с. 14-27.

18. Громова Н.С. Устойчивость решений нелинейных уравнений нейтрального .типа в асимптотически критическом случае.- Мате-мат. заметки, 1967, т.1, № 6. с.715-726.

19. Громова Н.С., Лисаяа Пенья Маркое. Метод векторных функций Ляпунова для систем с запаздыванием. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. - Университет Дружбы народов, 1979, вып.П, с. 14-22.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

21. Демидович В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечноразностных уравнений. Часть I. Общие положения. Дифферент. уравнения, 1974, т.10, ЖЕ2, с.2267-2278.

22. Демидович В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. Часть П. Правильные уравнения.- Дифференц. уравнения, 1975, т.II, $6, с.2091-2107.

23. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.- Киев: Наукова думка, 1977.

24. Дуболарь В.К. Динамические системы с запаздыванием. -ДАН СССР, 1968, т.183, №.

25. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.

26. Еругин Н.П. I) ПММ, 1950, т.14, &5, с.459-512;

27. ПММ, 1951, т.15, №2, с.355-366;

28. ПММ, 1952, т.16, №3, с.355-361.

29. Еругин Н.П. Труды Второго Всесоюзного совещания: по теории автоматического регулирования. Изд-во АН СССР, т.1, 1955.

30. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -УМН, 1962, т.17, вып.2 (104), с.77-164.

31. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом.- Университет Дружбы народов, 1963, вып.2, с.3-49.

32. Зверкин A.M. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. - Университет Дружбы народов, 1969, вып.7, с.3-16.

33. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Изд-во ЛГУ,- 121

34. Иртегов В.Д. К вопросу построения функций Ляпунова. Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. - Изд-во: Наука, Сибирское отд., 1981, с.115-124.

35. Иртегов В.Д. Об устойчивости решений разностных уравнений.- Труды Казан, авиад. ин-та, 1970, вып.125, с.14-18.

36. Каменский Г.А., Норкин С.Б., Зльсгольц Л.Э. Некоторые направления развития дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тр. семинара по теории дифференц.урав-нений с откл. аргументом. - Университет Дружбы народов ,1968, вып.6, с.3-36.

37. Колмановский В.Б. Об устойчивости нелинейных систем с запаздыванием. Математические заметки, 1970, т.6,№6,с.743--751.

38. Карев Б.Н., Шиманов С.Н. Две теоремы о неустойчивости для разностных систем. В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания. - Свердловск, 1979, с.42-50.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976.

40. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

41. Красовский H.H. К теории второго метода Ляпунова A.M. для исследования устойчивости. Матем. сб., 1956, т.40 (82).

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения, т.2,- М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956.

43. Лапшина Р.Б. (совм. с Шестаковым A.A.). О локализации предельного множества в неавтономных разностных системах. В сб.: Управление, надежность и навигация. - Саранск, 1980, с.27-32.

44. Лапшина Р.Б. (совм. с Шестаковым A.A.). Об асимптотических- 122 свойствах решений неавтономной разностной системы. В сб.: Некоторые вопросы качественной теории дамп ер енциальных уравнений и теории управления движением. - Саранск, 1980, с.131-134.

45. Лапшина P.E. Локализации предельного множества для конечно-разностной системы. В сб.: Вопросы устойчивости и колебаний в механике железнодорожного транспорта. - М., Труды ВЗИИТа, вып.III, 1981, с.96-98.

46. Лапшина P.E. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных систем. В сб.: Вопросы устойчивости и•колебаний в механике железнодорожного транспорта. М.,Труды ВЗИИТа, вып.III, 1981, с.49-53.

47. Лапшина P.E. (совм. с Шестаковым A.A.). Теорема о сходимости решений разностной системы к нуль-множеству мажоранты функции Ляпунова. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1982, с.133-134.

48. Лапшина P.E. О теоремах притяжения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В сб.: Управление, надежность и навигация. Саранск, 1982, с.83-87.

49. Лапшина P.E. Об асимптотическом поведении решений функционально-дифференциальной системы. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, 1983, c.V6SO.- 123

50. ЛаСалль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Мир, 1964.

51. Летов A.M. Математическая теория процессов управления.- М.: Наука, 1981.

52. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука,1966.

53. Малышева И.А., Шестаков A.A. О сходимости решений в неавтономных дифференциальных системах. Дифференц. уравнения, 1980, т.16, J63, с.424-432.

54. Мансуров К. Применение метода функций Ляпунова к некоторым задачам теории устойчивости систем с запаздыванием. Автореферат канд. диссертации. - Алма-Ата, 1968.

55. Мартынюк Д.И. Лекции по теории устойчивости решений системс последействием. Институт математики. АН УССР. -Киев, 1971.

56. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

57. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова.' Докторская диссертация. - М., 1968.

58. Мисник А.Ф. Второй метод Ляпунова для уравнений нейтрального типа. Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. - Университет Дружбы народов, 1968, вып.6, с.78-108.

59. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

60. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с за-паздывающимся аргументом. УМН, 1949, т.4, №5, с.99-141.

61. Мышкис А.Д., Зльсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- УМН, 1967, т.22, №, с.21-57.- 124

62. Мьппкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМП, 1977, т.32, Ш, с.173-202.

63. Нафталевич А.Г. О применении метода итераций для решения разностного уравнения. Мат. сб., 1962, т.57, $2, с.151--178.

64. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИГТЛ, 1949.

65. Панов A.M. Качественное исследование траекторий разностных уравнений в окрестности неподвижной точки. Изв. вузов, Математика, I960, т.14, Ж, с.166-174.

66. Панов A.M. Качественное поведение траекторий системы разностных уравнений в окрестности особой точки. Изв. вузов, Математика, 1964, т.40, №3, c.III-115.

67. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Докторская диссертация, 1946.

68. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

69. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: 1ТТИ, 1947.

70. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием.- ПММ, 1956, т.20, с.500-512.

71. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к некоторым задачам устойчивости движения. Докторская диссертация.-М. ,1958,

72. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задаче устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1960, т.21, с.740-749.

73. Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием. ПММ, М., 1965, т.29, 163,с.564-572.

74. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинёв, 1970.

75. Рожков В.И. Об оценке решения разностного уравнения с малым запаздыванием при слабой устойчивости. Тр.семинара по теории дифференц. уравнений с откл. аргументом. - Университет Дружбы народов, 1975, вып.9, с.39-52.

76. Рожков В.И. Уравнения нейтрального типа с переменным малым запаздыванием. Дифференц. уравнения, 1966, т.2, №3,с.407-416.

77. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

78. Трусов А.Ф. Устойчивость в цел ом. нестационарных разностных систем. В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания.- Свердловск, 1979, с.154-163.

79. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981.

80. Халанай А. Критерий устойчивости для систем дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом. тосОх.

81. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.- 126

82. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными, и переменными отклонениями. Матем., Сб.переводов, 1961, т.5, №6, с.73-98.

83. Хусаинов Д.Я. Об исследовании устойчивости решений разностных систем вторым методом Ляпунова. В кн.: Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. -Сб. научных трудов. Киев: Наукова думка, 1980, с.149-153.

84. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. Автом. и телем., 1946, т.6 12.

85. Шестаков A.A. О локализации предельных множеств неавтономной системы с помощью функций Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, МО, с.1909,

86. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. О притяжении траектории дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функции Ляпунова. Изв. вузов, Математика, 1981, №8, с.55-59.

87. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, №8, с.1515-1517.

88. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова. Дифференц. уравнения, 1981, т.17, HI, с.2017-2027.

89. Шестаков A.A. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем (обзорсовременного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова). Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, М2.

90. Шиманов С.Н. Некоторые задачи теории устойчивости и колебаний систем с запаздыванием. Диссертация. - М., Институт? механики АН СССР, 1963.

91. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука,1971.

92. Ol. ßkdm Ж р., Ьжуо & p. ^ncLMiccxl ьи£>Ы.тъ} ytafo-hhj iíueoxtj and (Xji^licalLoi^, ~ &2¡dui ~7&¿cÍ£¿iei^ МиГ-Уош, SfiiLiiGjVL 196?, p. 1-416.

93. JV. У. SfitincfJt ffcddiexcj, b&dîty J9W. 'tloikn. Ж diu Лпгёигийаг^ dore Jlgth-oAjLtycLfitLtiotf шл( ^¿ijmrt^ató 1958, 156, S .ЧЫ-Ш.112. líoJth. W. ^JkloxjuL and J^áznAuicj (he dixickn Jktkcck Ú-on. itjxLjititiotf, bo/ditz - %ttinc^n - "Xeioklhw :

94. R.ê.; &&tlvxmj.è. Coníul Syàhm JLncdtjMô Q-hcL tyzUna ífca Ш „kwncl Jlhïkod "o|- licLjumotf.J.ofr ßmc êtiqLnwùity, ¿96 0, if. 8 2, р.Ъ9</-Ч00.^114. ííaio X (/ On iiCLjuinotf ftaiuLmiilkín Gfiloximö.-JafiOLKL-U S. Sumiría^ Lïl JUajthitncdicA~

95. J. J"., KoUi ¿A. OU cait^dí^nlicdQj^LLcd-LOnA of} OL с£ож off кисАсис mtciot6 ufilkMacïxudtxon/ï. Л rcii. fiai, ditch. dna£y196$, //31, p.í5í~lU.

96. JlÜJ&JC R.Ji. Jk anJbiœik. копкплж Lnhxffu>d^sniiráícji by^bum. LU. PZO-CÜMLKC^} U. S. -focfian. Sunifta/t oïl ^¿j^LXtntial (Unci (Junctional ètyuaiîo^Ж Л. benjamin., 1961

97. OiulcIllc ßf. Oll ilu. JlMjtrLfbioila btkocííiot o^ Ьfat &о1и1СонЛ of- ÇoittciioKal ^ißlWbtccd éfCL(lÍCon¿r tyij^JtXJLhiícd, §>c¡M-0dionA Cüu¿ Q^ucunícat &j&fem>6l96ï.

98. GWc-оц 0, btcdlíiÁai ctnoi d^m/btoilAchíá 1&к-1гalht d$K XóVcricpt ÇÀÏWÏ ícjAÍtmA OAtctíiduL^J. {¡¿г dit Штi unoiСиъ^Ц'ьбюагсИх Jítaiiz^ 19Л.

99. YoMuXfttÍ0L ЧГ. Stoditó^ Hhiat^ cuu¿ ÍHjl éxid^nOL ojj- OWWie $oLcLionA Сin. Jlmoyt tfbciodccL1.ionú. -AfUjbßioüL Jllorfh, See .j i 9