Устойчивость решений некоторых классов систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Р Го ОД

7 - АЗГ

ЛИСОВСКИЙ ЕВГЕНИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения

Научный руководитель: доктор физнко - математических наук,

профессор Шестаков Александр Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Гребеников Евгений Александрович

кандидат физико - математических наук, доцент Галиуллин Ильяс Абдельхакович

Ведущая организация: Мордовский государственный университет

им. Н.П. Огарева

Защита состоится « ОСроИ^ 2000 г. в__/Г££_

на заседании диссертационного совета К 053.22.03 в Российском университете дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан «_ »_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико - математических наук, доцент

С.В. Волков

¿гзб*, г?л

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Устойчивоподобными свойствами решений называются различные типы свойств устойчивости и притяжения, конвергенции и сходимости, диссипативности и ограниченности решений дифференциальных уравнений.

Проблема исследования устойчивоподобных свойств решений систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа является актуальной задачей качественной теории и теории устойчивости этих систем как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений к различным областям естествознания и техники. Актуальной задачей является также построение распределенных систем программного движения и исследование устойчивости программного движения. Вопросы устойчивости решений являются центральными в качественной теории и теории устойчивости дифференциальных систем. Результаты по устойчивости решений систем с распределенными параметрами содержатся в работах Д.Хенрн „Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений" (М.: Мир, 1985) и обзоре С.Г.Крейна и М.И.Хазана „Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве" (Итоги науки и техники. Мат. Анализ. Т. 21. М.: 1983). Построение систем программного движения и методы решений обратных задач динамики содержатся в работах Галиуллина A.C., Мухаметзянова И.А., Мухарлямова Р.Г., Фурасова В.Д. „Построение систем программного движения" (М.: Наука, 1971) и Галиуллина A.C. „Методы решения обратных задач динамики" (М.: Наука, 1986).

Целью работы является исследование устойчивоподобных свойств решений некоторых классов систем линейных, полулинейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, построение уравнений программного движения и

устойчивости программного движения бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы классической качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, прямой метод Ляпунова со знакопостоянной производной, методы теории динамических систем (Д-систем) и полудинамических систем (Д+-систем) в подходяще выбранных функциональных пространствах, методы построения уравнений программного движения, а также методы прикладного функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение: 1) с помощью функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными получены признаки локализации положительного предельного множества решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа; 2) найдены условия устойчивости решений некоторых классов линейных и полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа; 3) дана оценка энергии диссипативного волнового уравнения; 4) доказаны теоремы об устойчивости состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса; 5) построены уравнения программного движения системы с распределенными параметрами и доказаны теоремы об их устойчивости; 6) построены уравнения программного движения счетной системы дифференциальных уравнений.

Практическая ценность. Изученные в диссертации системы линейных, полулинейных и нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа являются математическими моделями многих реальных механических, физических и технических объектов с распределенными параметрами. Выяснение устойчивопободных свойств

важно во многих разделах естествознания и техники, таких, как теоретическая и прикладная механика, телемеханика, теория управления динамическими процессами. Примеры параболических уравнений в механических, физических и инженерных задачах многочисленны. Построение распределенных систем програм много движения и исследование устойчивости их решений имеет большую практическую ценность во многих задачах прикладной механики.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Всероссийской научно - технической конференции (Калуга, 1994), на научно - методической конференции Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (РГОТУПС) (Москва,1995), на первой, второй и третьей межвузовских научно - методических конференциях РГОТУПС (Москва, 1996, 1997, 1998), на международной научно - технической конференции „Приборостроение-97" (Винница - Симеиз, 1997), на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости РГОТУПС (Москва, 1987-1991, 1995-1999), на научном семинаре по теории дифференциальных уравнений и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 1997), на научном семинаре по нелинейному анализу Вычислительного центра РАЛ (1998), на научном семинаре по теоретической механике Российского университета дружбы народов (Москва, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 100 наименований, и изложена на 105 страницах.

-4-

Содержание работы

Во введении содержится обоснование актуальности темы, краткий обзор работ, святимых с изучаемой проблемой, краткое изложение полученных результатов.

В первой главе изучен вопрос об устойчивости решений линейных уравнений параболического типа вида

2,(!.х) = zx(i,x) - [Bz(t,.)](x) (1)

с начальным условием z(0,.) = zn, где z„ - абсолютно непрерывная функция такая, что za, :п еЯ :

z,(i.xj = z„(t,xJ-[Bz(t..)](x) (2)

с начальным условием г, (О,-) = z(1, где z0, zn - абсолютно непрерывные функции такие, что z0, z0 е Н ;

z,(t.x) = *z(t.x)-h(x)z(t,x)-[Bz(t,.)](x) (3)

с условиями

z(0,.) = zo.zoeH=L1(D), a(p)z(t,p) + (1-afp)) dz(^P) = 0, VpeÖD,

где n - направление внешней нормали в точке р, h(x) - функция на области D, непрерывная по Гельдеру, а е С2(дО) и 0 < а(р) < 1;

z,(t,x) = zxJt,x)-[Bz(t,.)](x) (4)

с условиями

2(0,.) = 20, zo(0) = z0(2n), zo(0) = z0(2n), где z0 и z„ абсолютно непрерывны и z0, z0, z0 e H .

В § 2 главы 1 доказано, что если Н = L,(R) и -В е L(H) - положительно - полуопределенный оператор, то решение zfi.x) задачи (1) устойчиво в том смысле, что

-WO

lim f z(i,x) u(x)dx = 0, Vi/еЯ.

f—J

—CO

В § 3 главы 1 изучается уравнение (2). Показано, что его решение г : R" х R —> R устойчиво в том смысле, что

-КС

(im IV (t.x)dx - 0.

t-*x J

если H = L2(R) и линейный оператор В е L(H) - положительно -полуопределенный.

В § 4 главы 1 исследуется устойчивость решений параболического уравнения (3). Здесь доказано следующее утверждение. Пусть: 1) {minh(x),x 6 D} = 0; 2) оператор В обладает свойством: если нуль есть собственное значение оператора А :

А : Dom (А) -> И, А z = dz - h(x)z,

Dom (A) = {zeH :H = L,(D).afp)z(p) + (1 -afp)) = 0, VpedD},

dn

где Az понимается в смысле обобщенных функций, то соответствующее собственное подпространство принадлежит области значений оператора В . Тогда решение z(t,x) задачи (3) устойчиво в том смысле, что Üm\z2 (t,x)dx=0.

D

Кроме того, установлено, что если оператор В удовлетворяет тем же условиям, что и в предыдущем утверждении, и выполнено условие со = minh(x) > 0, то решение zfi,х) задачи (3) устойчиво в том смысле, что

\z2(t,x)dx<e'2ü" \z;,(x)dx.

D D

В § 5 главы 1 получены достаточные условия устойчивости решения задачи (4). А именно, установлено, что если: 1) Н =Ц0,2ж)\ 2) линейный оператор В является положительно - полуопределенным, то решение

г:[0,2 л]> Я задачи (4) устойчиво в том смысле, что существуют положительные числа с и со такие, что

| г2 (I,х)'йх < се'2"" | г2 (х)Ых, V/ > 0.

о II

Во второй главе изучены свойства устойчивости полулинейного параболического уравнения вида

о, — Аи + Ь(ь) = 0, (х,1)е0х(0,+<я),

ь(х,1) = 0, (х,0ед0х(0,+ао), ь(х,0) = ь0(х), хеО, (5)

где I - максимальный монотонный оператор на К; А - сильно эллиптический самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка; В - ограниченное открытое подмножество в й".

Основной результат этой главы состоит в следующем. Пусть максимальный монотонный оператор Ь удовлетворяет неравенству

+/

\(\L(x)\/x2)ax

< +00

и ч„ е S , где S :. = Dom (L)ПL: (D) . Тогда для решения v(x,t) уравнения (5) существует число Л0 е R такое, что lim vfx.lje'"1' = /.0 g(x)

Г-*-КО

равномерно на D, где - первое наименьшее собственное значение оператора L, g(x) - генератор. Пусть, кроме того, Х0 = М (va). Тогда справедлива следующая оценка:

\M(Üü)-M(U0)\<^~. \\V0(.)-U0(.)\\L2

для всех точек и0 и о0, принадлежащих множеству 5 .

Третья глава посвящена изучению свойств устойчивости нелинейного параболического уравнения вида

и,(х,1) =ихх(х+/(и(х,ф, хеЛ, Ос/сл,

и(х,0) = Ф(х), х е И, (6)

где / удовлетворяет следующим условиям:

/^.Производные /'/"/'" существуют и непрерывны на Л, /1,. Л0; = 0 И г (о )<() ■,

А3. Существует число « е Г^, + такое, что /(а) < 0 и

У

I Дх) с!х < 0, 0<у<а .

о

Приведем основные результаты главы 3. В § 3 главы 3 доказано следующее утверждение. Пусть: 1) У - множество всех ограниченных равномерно непрерывных функций Ф: Л -> Я, обладающих свойством

+ОС

1ф2^с/х<-н<хз, П < Ф(х) <а, УдгеЛ;

-м

2) решение и(Ф) уравнения (6) определено на области вида [О,з(Ф)] , где 0 <з(Ф) <+оз; 3) ЛЧ0' - пространство непрерывных функций, интегрируемых в квадрате по Лебегу на замкнутом интервале из Л. Пусть и(1)Ф::-и(.,/ есть Д+-система {ч(0} на а

у(Ф)::={и(г)Ф:0<1 <з(Ф), Фе Х{°*} - ее траектория, где и(>,1;Ф) -значение и(Ф) в точке (х,1) для всех хеИ и ¡е[0,5(Ф)]. Тогда .у(Ф) = . Кроме того, существует число ге(0, + <л) такое, что у(Ф) £ У П В'2°'(г), где В'20)(г) - открытый шар в с центром в начале координат и радиусом г .

В § 3 главы 3 также установлено, что если Ф е У, то

\\и(Оф\\'!' -*0 при /->+00,

2 +00 I

где 1^7 ™Р {(Ф",т2+\Ф"'(Х)\)} -нормафреше.

¡-О п=П * xeim-n.nl

В § 4 главы 3 рассмотрена задача:

и,(х,1) = ихх+/(и(х,1)), хеЯ*. I е.(0,.ч), и/О,0 = 0, ¡е[(),*), и(х,0 = ф(х), 1бГ (7)

при условиях А1гА2А3 на функцию /. Здесь Ф(х)е Х'!'(И*) -

пространство непрерывно дифференцируемых функций на , интегрируемых в квадрате по Лебегу. Действительная функция и определена на множестве {(х,1 ):х е Я*, / б [0,х), 0 < х < +»/ и удовлетворяет условиям: 1) и( •,() е Х(2" (Я*] для каждого / ь [(),$)•,

2) отображение из [0^) в Х'2"(Я*) непрерывно на [0,*)\

3) частные производные ихх и и, существуют и непрерывны на /Г х (0,я).

Для задачи (7) доказано, что если У, - множество всех ФбХь таких, что 0 <, Ф(х) й а для каждого д:е/?+, где X, - замкнутое линейное подпространство пространства Х'2"(К+), состоящее из всех Фе X'''(К*), для которых Ф'(0) - 0, то

я(Ф) = + оо, у(Ф)аУ, и \и(1)ф\(?>->0 при г->+оо.

В § 5 главы 3 исследуется следующая задача. Пусть Ф е Х'^'[0,ж], где [0,п]~ пространство всех непрерывно дифференцируемых функций Ф:[0,ж]Я таких, что Ф ,Ф' ограничены и равномерно непрерывны на [0,1х] и Ф'(0)-Ф'(ж) = 0. Функция и определена на множестве {(х,1):хе.[0,ж], г е [0,$], 0<я<+а>} и удовлетворяет условиям: 1) и(',1) е ХЦ' [0,к] для всех I е [0,в); 2) отображение 1->и(»,1) из [0,5) в Х'У[0,ж] непрерывно на [0^)\ 3) частные производные ихх и и, существуют и непрерывны на [0,тг]х.(0,х)\

4) и удовлетворяет уравнению

и,(х,1) = ихх(х,1) + /(и(х,1)), х е [0,к], 1е(0,х),

их(0,1)=их(х,1)=0, /е/0,5;, и(х,0)-Ф(х), хе[0,ж], (8)

где функция / удовлетворяет условиям А/, А, ,А;.

Установлено следующее утверждение. Пусть: 1) К, - множество всех Ф е X*'[0,к] таких, что 0 <Ф(х) <а для каждого х е[0,ж] , где а такое же, как и в А,; 2) <а(Ф)::= П с? ¡{и( г)Ф:1 < г < +*>}] есть

а> - предельное множество по отношению к ¡•¡¡1е'\ где -

замыкание относительно ||»||«>- Тогда: 1) х(Ф) = +к>-у 2) у(Ф)с.У:\ 3) решение и(Ф) уравнения (8) имеет непустое компактное связное со - предельное множество

ы(Ф)<=>У2Г\Х121 [0,п] и и(г )Ф о(Ф) при /->+«. Кроме того, каждая функция является решением уравнения (8).

В четвертой главе исследована асимптотическая устойчивость состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса и даны оценки энергии диссипатнвного волнового уравнения.

В § 1 главы 4 рассматривается система уравнений вида:

Э/ ' дх2 дх ' ■

дУ,

I

У1(0) = У/1) = У2(0) = У2(1) = 0, (9)

где Л - Я(х) - положительная функция от д:. В случае т ах Щх) <пг'

изучена асимптотическая устойчивость состояния равновесия У, =0,У, =0 линеаризованной системы

д! ' дх2

+ = 0,

dt

Y1(U) = V/I) = V2(0)=V;(1)=0. (10)

В случае R(x) = const изучена асимптотическая устойчивость состояния равновесия V, =0, К, =0 системы (9).

В § 2 главы 4 установлены оценки энергии диссипативного волнового уравнения

и„ = Ли- а(х)и,, (t,x) е RxQ, и -0, (t,x) eRxdQ, (11)

где Q с R" - ограниченное открытое множество, й - оператор Лапласа, коэффициент трения а(х) - гладкая положительная функция на Q. Установлено, что если и - решение уравнения (11), то E(t,u)<c2ie-a-'E(0,u) + c2\u(t)\2h,

где E(t,u) = \(\uft,x)\2 +\Vu(t,x)\2)dx, с] =tnax(4,a2m„/2Х), c2 =amax amm-X, о

HI/

amox=maxa- amn=mina, ).= mm / , Ф-и(0). Кроме того,

a Q Фен/ото}

существует положительная постоянная с такая, что Ер,и) > сеЕ(0,и), I £ 0. Пятая глава посвящена вопросам построения уравнений программного движения некоторых систем с распределенными параметрами и установления условий, гарантирующих устойчивость этого движения.

В § 2 главы 5 рассматривается задача: построить семейство

таких операторов отображающих X в X, для которых

дифференциальное уравнение

допускает частный интеграл

со(1)х = 0 (13)

в следующем смысле: выполнение условия а>(10)х0=<) при /„еГ, хаеХ влечет равенство ы(1)х(г)=0, V/>/0, где х(1) - решение уравнения (12) с начальным условием х(10) = х/1, ш(1) ~ оператор, отображающий X в У и удовлетворяющий условиям: 1) отображение при каждом фиксированном хе X принадлежит множеству С'(^,У) непрерывно - дифференцируемых абстрактных функций со значениями в У, X и У - банаховы пространства над полем К; 2) операторы а>0), / е дифференцируемы по Фреше.

Установлено, что операторы /0), 'е удовлетворяющие уравнению

(а>х0)х)/П)х=РП)(х.а,(1)х)-<О,0)х (14)

решают задачу (12) - (13). Здесь со/1) - производная Фреше, оэ,(0х -производная, отображения 1-+<а(1)х, ОД: Л удовлетворяет условиям: а) Р(1) (х,0) з 0, б) задача Коши

со = Рр)(х(0,ш), (о(10) = О, е Д\ Ух(1) еС'(1Г,Х) имеет единственное нулевое решение со = 0 .

В § 3 пятой главы найдены условия, при которых программное движение задачи (12) - (14) устойчиво.

Онрс к'ление. Семейство {У(0} ,еЛ. функционалов

У(0 (х.т), У(1):Х хОи->/г, У(0 (0,0)^0, где Ош - некоторая окрестность нулевой точки У, называется функционалом Ляпунова, если: 1) функции / -> У(0(х.со) при фиксированных (х,со)еХеОш принадлежат пространству С'(Я*,Н), производные которых обозначаются У,0)', 2) операторы У(0 дифференцируемы по Фреше по каждому

аргументу х и со. Производная У(!) функционала У (О в силу системы -X = /(¡)х , со = Р(1)(х.ы) имеет вид

Щ(х, со) = У,(1)(х, со) + /У/,)(х,со)]/(1)х + (х. со)/ Р(1)(х, со). Получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости программного движения задачи (12) - (14) с помощью функционалов Ляпунова.

В § 4 главы 5 рассмотрена задача на банаховом пространстве 11 построения уравнений программного движения счетной системы дифференциальных уравнений

¿ = (15)

где /-([,,■ ..,/к,...)т - бесконечномерная вектор - функция, для каждого решения которой с начальным условием х^д)=-х0, удовлетворяющим условию со(10,хд) = 0, выполняется соотношение со(1,х) = 0, У1>10. Здесь а> = (со,,...,сот)т определено на Я+ х £), т.е. со,: Я* хВ Я, £> -ограниченная замкнутая область в (.¡, функции со, непрерывны, имеют равноограниченные частные производные первого порядка и удовлетворяют в области определения условию Липшица

| а>, (».х,.....хк_, ,х'к ,х'к,„. ..)-са,( .....хк_, д".*^, ...)\< е<•> Ах,

где лхг=лир/\х[-х"к\\х'м~х'м\.... }, £к'>0 не зависит от времени I и е'к" 0 при к со.

Установлено, что равноограниченные функции /к=/к0,х■), /к: Я* х Б Я, к = 1,2,... , удовлетворяющие условиям существования решения уравнения (15) с начальными условиями из £>, являются решением поставленной задачи, если имеют место соотношения Зш V- Зш

+ (*<*) = К.....и*.',х,,х2,■■■),

о1 охк

/'= 1,2.....т, где функции обладают свойствами: а) £]: Л'" х Н" х О -> Л'.

I = 1.....т; б) непрерывны по совокупности переменных; в) !■]

удовлетворяют условию Липшица по (о......соп\ г) Р1((),...(),1,х) = 0 при

(1,х) е/Гхй.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Достаточные условия устойчивости решений задач вида (1) - (4).

2. Достаточные условия устойчивости решений задачи вида (5).

3. Достаточные условия устойчивости решений задач вида (6) - (8),

4. Оценки энергии диссипативного волнового уравнения.

5. Достаточные условия устойчивости состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса.

6. Построение уравнений программного движения задачи (12) - (13).

7. Достаточные условия устойчивости программного движения (12) -(14).

8. Построение уравнений программного движения задачи (15). Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Лисовский Е. В. Устойчивость движения полулинейного параболического уравнения с частными производным // Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости динамических систем: Сб. науч. трудов / ВЗИИТ. - М.,1990. - С. 94 - 99.

2. Лисовский Е. В., Шестаков А. А. Полугрупповой подход к исследованию устойчивости некоторых классов уравнений с частными производными // Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости динамических систем: Сб. науч. трудов / ВЗИИТ. - М.,1990. - С. 120 - 125.

3. Лисовский Е. В. Теоремы об устойчивости для линейного уравнения с частными производными // Современные проблемы

управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем железнодорожного транспорта: Межвуз. сб. науч. трудов: В 2 ч / ВЗИИТ. -М„ 1991.-4.1. -С. 18-19.

4. Шестаков A.A., Лисовский Е.В. Об устойчивости линейных дифференциальных уравнений с неограниченным оператором в гильбертовом пространстве // Современные проблемы управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем железнодорожного транспорта: Межвуз. сб. науч. тр.: В 2ч./ ВЗИИТ. -М.,1991.-Ч.1- С.49-54.

5. Лисовский Е. В. Минимальные глобальные аттракторы для нелинейного волнового уравнения // Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта: Межвуз. сб. науч. тр.: В 2 ч. / ВЗИИТ. - М., 1992. - 4.2. - С. 48 - 50.

6. Лисовский Е. В. Об устойчивости движения линейного уравнения с частными производными // Всероссийская научно-техническая конференция "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и технологических процессов": Тез. докл./ Калуга, 1994.-С. 106.

7. Лисовский Е. В. Устойчивоподобные свойства некоторых классов эволюционных уравнений // Научно-методическая конференция "Совр*.' иные научные аспекты функционирования транспортного комплею i развитие его кадрового потенциала": Тез. докл. / РГОТУПС. -М.,1995. - С 72.

8. Лисовский Е. В. Теорема об устойчивости решений линейного уравнения с частными производными // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. первой межвуз. науч. - метод, конф.: В 2 ч. / РГОТУПС. М.,1996. -Ч.2.-С.55-57.

9. Лисовский Е. В. Об устойчивоподобных свойствах решений параболического уравнения // Актуальные проблемы и перспективы

развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. второй межвуз. науч. -метод, конф./ РГОТУПС. - М.,1997. - С.89.

10. Лисовский Е. В. Свойства устойчивости решений параболического уравнения //Сб. тр. международ, науч. - техн. конф. "Приборостроение-97": В 2 ч./ Винница -Симеиз, 1997. - Ч. 1. - С.79.

11. Лисовский Е.В. Об оценках энергии диссипативного волнового уравнения // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов./ РГОТУПС. -М„ 1998.-С.56-57.

12. Лисовский Е.В. Об устойчивости состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов./ РГОТУПС. - М., 1998. - С.77-80.

13. Лисовский Е.В. О построении уравнений программного движения распределенных систем // Тез. докл. XXXV Всерос. науч. конф. факультета физико-математических и естественных наук по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания./ РУДН. -М. Изд-воРУДН, 1999.-С.23.

14. Лисовский Е.В. О некоторых качественных свойствах диссипативных волновых уравнений // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. четвертой межвуз. научно-метод. конф.: В 2ч./ РГОТУПС. - М., 1999.-Ч.2.-С.79-80.

15. Лисовский Е.В. Об устойчивости программного движения систем с распределенными параметрами // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов./ РГОТУПС. - М., 1999. - С. 16-19.

16. Лисовский Е.В. О построении уравнений программного движения для систем с распределенными параметрами // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов./ РГОТУПС. - М., 1999.-С. 51-54.

. 1617. Лисовский Е.В. О построении уравнений программного движения счетной системы дифференциальных уравнений // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов./ РГОТУПС. - M., 1999.-С.84-87.

Лисовский Евгений Васильевич (Российская Федерация)

Устойчивость решений некоторых классов систем с распределенными параметрами

Диссертация посвящена исследованию устойчивоподобных свойств решений распределенных систем, описываемых линейными, полулинейными и нелинейными уравнениями с частными производными. Рассмотрены также вопросы построения уравнений программного движения и устойчивости программного движения бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Lisovski Evgeny Vasil'evich (Russian Federation)

Stability of solutions for some classes of systems with distributed parameters

The thesis is devoted to research of stability - like properties of solutions of distributed systems described by linear, semi - linear and nonlinear partial differential equations. There were also considered questions of construction of equations of programming motion and stability of programming motion for infinite systems of ordinary differential equations. Jb-

.-? p, es. г с с ^. û ôï e./j> -//>.<■ 7>.у? /¿-¿г S«c J С;

7 -¿¿о у. ¿¡¿cc/Tf «•• 3,, Ть"т. tf'PéC /**г

Введение

Глава 1. Свойства устойчивости решений линейных систем с распределенными параметрами параболического типа

Введение

§1. Вспомогательные сведения

§2. Теорема об устойчивости решений задачи Р)

§3. Теорема об устойчивости решений задачи Р

§4. Теорема об устойчивости решений задачи Р

§5. Теорема об устойчивости решений задачи Р

Глава 2. Свойства устойчивости решений полулинейных систем с распределенными параметрами параболического типа

Введение

§ 1. Вспомогательные сведения

§2. Теорема об устойчивоподобных свойствах решений задачи (Э

Глава 3. Свойства устойчивости решений нелинейных систем с распределенными параметрами параболического типа

Введение

§ 1. Вспомогательные сведения

§2. Д+- система и(г)Ф

§3. Устойчивость уравнения (2.1) - (2.2)

§4. Задачи на Я

§ 5. Задача на отрезке [0, л]

§ 1. Устойчивость состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса68

§ 2. Качественные свойства диссипативных волновых уравнений72

Глава 5. Построение уравнений программного движения и устойчивость программного движения

Введение85

1. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. - М.: Наука, 1989.

2. Багрова А.И., Шестаков A.A. О моделировании процессов с помощью нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Сборник научных трудов. М.: ВЗИИТ, 1984. - Вып.125. - С.104 - 110.

3. Багрова А.И. Устойчивость движения некоторых классов механических систем: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1988.

4. Багшыев A.A. Построение уравнений устойчивого программного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1994.

5. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

7. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1968. - Т.4. - №12. - С.2127 - 2158.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

9. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.-Л., ГИТТЛ, 1941.Ю.Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости. Минск,1984.П.Валеев К.Г., Жаутыков O.A. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма - Ата, 1974.

10. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев, Наукова Думка, 1981.Н.Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

11. Галиуллин A.C. Устойчивость движения. М., 1973.

12. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

13. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

14. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, Выща школа, 1989.

15. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

16. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т.1,2. ИЛ, М., 1962,1966.

17. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

18. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир, 1981.

19. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Издательство ЛГУ, 1957.

20. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. -М.: Наука, 1972.

21. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С., К. ван Дуйн., Б. Де Пахтер. Однопараметрические полугруппы. ~М.: Мир, 1992.

22. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

23. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

24. Крейн М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Киев, 1964.

25. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

26. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1983.-С.130-264.

27. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970.

28. Ла Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

29. Лисовский Е.В. Устойчивость движения полулинейного параболического уравнения с частными производными // Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости динамических систем: Межвуз. сб. науч. трудов. -М.: ВЗИИТ, 1990. С.94 - 99.

30. Лисовский Е.В. Об устойчивости линейного уравнения с частными производными // Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и технологических процессов. Тез. докл. Всерос. научно-техн. конф. Калуга, 1994. - С. 106.

31. Лисовский Е.В. Устойчивоподобные свойства некоторых классов эволюционных уравнений // Современные научные аспекты функционирования транспортного комплекса и развитие его кадрового потенциала: Тез. докл. научно-метод. конф. М.: РГОТУПС, 1995. - С.72.

32. Лисовский Е.В. Об устойчивоподобных свойствах решений параболического уравнения // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. второй межвуз. научно-метод. конф. М.: РГОТУПС, 1997. - С.89.

33. Лисовский Е.В. Свойства устойчивости решений параболического уравнения // Сб. трудов международ. науч.-техн. конф. "Приборостроение-97": В 2ч. Винница-Симеиз, 1997. - Ч. 1. - С.79.

34. Лисовский Е.В. Об оценках энергии диссипативного волнового уравнения // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС,1998. -С.56 -57.

35. Лисовский Е.В. Об устойчивости состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. - С.11 - 80.

36. Лисовский Е.В. О некоторых качественных свойствах диссипативных волновых уравнений // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тез. докл. четвертой межвуз. научно-метод. конф.: В 2ч. М.: РГОТУПС, 1999. - 4.2. - С.79 - 80.

37. Лисовский Е.В. Об устойчивости программного движения систем с распределенными параметрами // Устойчивость, прочность и надежностьсистем подвижного железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. - С. 16 - 19.

38. Мартынюк A.A., Като Д., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев, Наукова думка, 1990.

39. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и дифференциальные пространства. М.: Мир, 1970.

40. Матросов В.М., Иртегов В.Д. Теория устойчивости и ее применения. -Новосибирск, Наука, 1979.

41. Мухаметзянов H.A. Об устойчивости программного многообразия // Дифф. ур. 1973. - Т.9. - №5. - С.846 - 856.

42. Мухам етзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия // Дифф. ур. 1973. - Т.9. - №6. - С.1038 - 1048.

43. Мухам етзянов И. А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений. -М.: Изд-во УДН, 1986.

44. Мухаметзянов И.А. Построение одного семейства функций Ляпунова для нестационарных систем // Тез. докл. XXIX науч. конф. факультета физ.-мат. и естественных наук: В 2ч. М.: УДН, 1993. - 4.2. - С.80.

45. Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифф. ур. 1969. - Т.5 - №4. - С.688 - 699.

46. Мухарлямов Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения по заданному многообразию // Дифф.ур. 1971. -Т.7. - №10. - С. 1825 - 1834.

47. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

48. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 1. - М.: Мир, 1982.

49. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

50. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. -Новосибирск, 1987.

51. Соболев C.J1. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.

52. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды ММО. 1961. - №10. - С.297 - 350.

53. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М: Мир, 1985.

54. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

55. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

56. Шестаков A.A. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем. Обзор современного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова // Дифф. ур. 1982. - Т.18. -№12. - С. 2069 - 2097.

57. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов I // Дифф. ур. 1986. - Т.22. - №9. -С.1475 -1490.

58. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов II // Дифф. ур. 1987. - Т.23.-№3.-С.371-387.

59. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов // Дифф. ур. 1987. - Т.23. - №6. - С.923-936.

60. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

61. Ball J.M. Strongly continuous semigroups, weak solutions and the variation of constants formula // Proc. Amer. Math. Soc. 1977, 63, p.370 - 373.

62. Barston E.M. // Phys. Rev. 1965. - 139, A394.

63. Batty C.J.K., Robinson D.W. Positive one-parameter semigroups on ordered Banach spaces //Acta. Apple. Math. 1. 1984, p.221 - 296.

64. Brugarino Т., Canino A. and Pantano P. Some evolution equations apising in physics // Lecture Notes in Math. 1017, Equadiff '82. 1983, p.107 - 113.

65. Chafee N., Infante E. A bifurcation problem for a nonlinear parabolic equation // J. Diff. Equ. 1974, 15, p.522 - 540.

66. Chen S. and Triggiani R. Proof of extensions of two Conjectures on Structural Damping for elastic System // Pasific Journal of Mathematics. -1989.-v.l36.-№l.

67. Chen G. and Russel D.L. Mathematical Model for Linear Elastic System with Structural Damping // Quart. Appl. Math. Jan. 1982. - p.433 - 454.

68. CrandalI M.G. A generalized domain for semigroup generators // Proc. Amer. Math. Soc. 1973, 37, p.434 - 439.

69. Crandall M.G. Nonlinear semigroups and evolution governed by accretive operators // Proc. Symp. Pure Math. 1986, 45, part I, p.305 - 307.

70. Como M., Grimaldi A. Lyapunov stability of the Euler column // Lincei-Rend. Sc. fis. mdt. c nat. vol. LXI - Ferie, 1976.

71. Fitzgiblon W.E. Global existence and boundedness of solutions to the extensible beam equation // SIAM J. Math. Anal. 1982, vol. 13, No 5, p.739 - 745.

72. Friedman A. Partial differential equations. Holt, Reinhart and Winston, New York, 1969.

73. Hahn W. Theorie und Anwendung der direkte Methode von Ljapunov. 1979.

74. Hale J.K., Lin X.B., Rangel G. Upper semicontinuity of attractors for approximations of semigroups and partial differential equations // Math, of Comp. 1988, vol. 50, No 181, p.89 - 123.

75. Marion M. Inertial manifolds associated to partly dissipative reaction-diffusion systems // J.of Math. Anal, and Appl. 1989, vol. 143, No 2, p.295 - 326.

76. Marion M. Finite dimensional attractors associated to partly dissipative reaction-diffusion systems // SIAM J. Math. Anal. 1989, 20.

77. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations // Lecture Notes No 10: Dept. of Math. Univ. Maryland, 1974.

78. Peletier L.A. Asimptotic stability of traveling waves // IUTAM Symp. on Instability Continuous Systems Sprenger. Berlin, 1971.

79. Phillips R.S. Semigroups of positive contraction operators // Czech. Math. J. -1982, 12,p.294-313.

80. Pritchard A.J. A Study of two of the classical problems of hydrodynamic stability by the Lyapunov Method // J. Inst. Mathematics and its Applications. 1968, vol.4, No 1, p.78 - 93.

81. Segal I. Nonlinear semigroups //Ann. Math. 1963,vol.78,p.339 - 364.

82. Temam R. Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics // App. Math. Ser. Springer - Verlag,New York,1988,vol.68,p.85 - 99.

83. Vidyasagar M. On matrix measures and convex Lyapunov functions // J. Math. Anal. Appl. 1978,62,p.90 - 103.

84. Walker J.A. On the application of Lyapunov direct Method to linear dynamicalsystems // J. Math. Anal. Appl. 1976,vol.53,p.l87 - 220.