Исследование устойчивости динамических систем при интегрально-малых возмущениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГБ о»

9 СЕН » ,

i i uu,' i;t Hi)Hii3 h hushiih

PWqp|i |ipiui|ni.1ignL|

GU*Mj3U\i UITPUS IPbtflPb

/

шлигм г.шгищрчъгь шзпмппрзи-и пниптгиииьггтмпп-ис

MjStWUUfM ФПЯР 1Р<И>ПП1ПЛ:гЬ WfnW

. U>ufu1iui({tiiiinL|Jjni.'li[iN 01.02.01- Sbuu/ljii4 .¡иш^^ш

4{1Я[111Ш-1ГшрЬ1/ш1п[1(1ш11ш'11 ufiuinLPjnL'U'i' L-,[i '-ЪшЬni.qfiuiuiliui'ti iuum|i-

Suijgifui'ü ib"Um[unu 'ijui'U

U t q. Ь P

ьрьчиъ 1994|i.

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ HAH РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ

На, правах рукописи

ШАГИНЯН СМБАТ ГРИГОРОВИЧ

I

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО-МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Специальность- 01.02.01- Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН 1994г.

Работа выполнена в Ереванском Государственном Университете.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

•МОВСИСШ П.А.

- ' кандидат физико-математических наук МАРТИРОСЯН С.Р.

Ведущая организация - Институт механики Московского

государственного университета

\ V

Научный руководитель4 - доктор физико-математических

наук, профессор ГАЕРИЕЛЯН М.С.

Защита диссертации состоится "öi? " SpS, 1994г.в

часов на заседании специализированного Совета Д 005.23ДЯ при Институте Механики HAH Армении-по адресу г.Ереван, ул.маршала Баграмяна 246.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института Механики HAH Армении, ул. маршала Баграмяна 24<5.

Автореферат разослан "д&'ЪЧйЛ^ 1994г.

(Ученый секретарь специализированного Совету доктор технических наук, профессор Р.М.КИРАКОСЯН ' '

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие об устойчивости является одним из важных понятий, с которыми приходится сталкиваться при изучении различных процессов, происходящих в реальной жизни - в физике, механике, технике, экономике и т.п.

Задача об устойчивости.движения впервые во всей ее общности была поставлена Ляпуновым A.M. Ляпунов же получил первые основополагающие результаты в теории устойчивости, предложил строгие методы ее решения.

Многие выдающиеся отечественные и зарубежные ученые продолжали исследование задачи устойчивости движения при разных возмущающих факторов. Отметим здесь работы Н.Г.Четаева, И.Г.Мал- . кина, К.Л.Персидского, Н.Н.Крэсовского, Е.А.Барбашина, Н.Л.Еру-гинз, М.Г.Крейна, Х.Л.Мзссерз, В.И.Зубова, Е.А.Девянина , В.В. Румянцева, Д.Е.Охоцимского, В.В.Белецкого, А.М.Формальского, А.С.Андреева, А.Хзланая, Д.Векслера, А.Б.Васильевой , В.Ф.Бу-тузова и др. Метод функций Ляпунова развивается для изучения устойчивости процессов с распределенными параметрами, т.е. процессов, параметры которых, кром'е времени, зависят от пространственных координат и описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений и, т.д.

Вопросы устойчивости движения упругих систем (в частности для балок,, пластин, оболочек и т.д.) глубоко и всесторонне изучались многими исследователями. Существенный вклад в этой области внесен армянской школой механиков: работы С.А.Амбарцумя-. на, Л .А.Мовсисяна, Г.Е.Багдасаряна, В.Ц.Гнуни, М^.Белубекяна и др.

Дальнейшее развитие устойчивости движения связано с построением теории оптимального управления динамических систем. Среди проблем оптимального управления важное место занимает зэдэчэ о стабилизации заданного движения. В этом аспекте фундаментальные результаты получены в работах А.МЛетова, H.H. Крэсовского, Э.Б.Альбрехта, Е.В.Румянцева, И.С.Габриеляна и др. '

При изучении задачи устойчивости движения, существенное место занимают задачи устойчивости при постоянно действующих

возмущениях. Получены условия, при которых решается задача устойчивости при постоянно действующих возмущениях, когда возмущения очень малы, ограничены в среднем, когда возмущения выбираются из определенного класса сил (гироскопические, диссипа-тивные), параметрические и т.д. Задачи устойчивости исследованы также для дискретных систем и систем с обобщенными возмущениями. Показаны, что когда обобщенные возмущения сходятся и их суша некоторая мера, то исследование, устойчивосги таких систем приводится к решению некоторого разностного уравнения, для устойчивости которого строится последовательность функций Ляпунова.

Для решений задач оптимальной стабилизации доказана теорема с применением второго метода Ляпунова.

Исследованы также задачи оптимальной стабилизации ,для нелинейных управляемых систем, при критических случаях, по первым приближениям.

В настоящей работе рассмотрены задачи устойчивости и неустойчивости систем и систем с распределенными параметрами, когда на систему на конечном интервале времени действуют интегрально малые возмущающие силы, а также задачи стабилизации и оптимальной стабилизации таких систем. ■

Целью работы является определение условий, при которых динамические системы и системы с распределенными параметрами устойчива, неустойчивы или асимптотически устойчивы по действующей силе. А также определение стабилизирующего воздействия оптимально стабилизирующего не вполне управляемую динамическую систему, приводящему к устойчивому по действующей силе состоянию.

Метод исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, теории оптимальной стабилизации, теории систем с распределенными параметрами. Задачи устойчивости и неустойчивости решаются первым и вторым методами Ляпунова, а задача оптимальной стабилизации -применением уравнения Беллыана с методом функций Ляпунова.

Научная новизна. Е диссертационной работе дано новое определение устойчивости - устойчивость по действующей силе. Яри этом возмущающие силы, определенные на конечном отрезке времени, выбираются из класс интегрируемых функций.

Определены необходимые и достаточные условия, при которых системы линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами' устойчивы, неустойчивы или асимптотически устойчивы по действующей силе. Для нелинейных динамических систем получены достаточные условия, при которых тривиальные решения этих систем устойчивы или неустойчивы по действующей силе. Указаны достаточные условия, при которых процесс , описываемый

системой с распределенными параметрами, устойчив по действующей силе по мере ^р . Поставлена и решена задача оптимальной стабилизации по действующей силе.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

а) на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986 г.;

б) на научных конференциях профессорско-преподавательского, состава и аспирантов Ереванского госуниверситета, Ереван, 1985-89 гг.;

в) на семинарах кафедры теоретической механики Ереванского госуниверситета, Ереван - 1985-90 гг.;

г) на научной конференции молодых ученых, Ереван- 1987 г.;

д) на семинаре ,член-корр. АН СССР В.В.Румянцева при кафедре теоретической механики МГУ, Москва, 1991 г.

Публикации. Основные результаты настоящей работы изложены' в статьях /1-5/.'

Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа содержит 77 страниц машинописного текста, включающих введение, четыре главы, основные выводы и библиографический список, содержащий 47 наименований цитируемой литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к проб-иемам устойчивости систем по Ляпунову при действующих возмущениях и оптимальной стабилизации управляемых систем, а также устойчивости систем с распределенными параметрами.

Пусть имеем систему, описываемых нелинейными дифференциаль-}ыми уравнениями

а = (I)

где ^непрерывные функции,.удовлетворяющие воем условиям существования и единственности решения системы (I) в области <» , Р.(0,...,0)~0 (1 = 1, Пусть'на'систему (I) действуют возмущающие силы У,- (£) , удовлетворяющие соотношениям

Г п т

<«

• (2)

при -Ь>Т? ст1,

( Т > - заданная величина).

Дифференциальные уравнения системы (I) при наличии возмущающих сил имеют вид

+ (з;

Приведем некоторые определения.

Определение I. Скажем, что решение Х= О системы (I] устойчиво по действующей силе, если для лсбогд^существует сГ> о такое, что для любого решения \хШ системы (3) '||Х(-0||<£ при -Ь ^Т , если < || хП0 )Ц < сГ >"

' ¡и^)ЛЦ ^ «Г Д313 любого возмущения Ч>(±) , удовлетворяющая

Ьо

условиям.(2). "

Определение 2. Скажем, что решение Х= О системы (I) асимптотически устойчиво по действующей силе, если оно устойч во по действующей силе, и существует $"0 > о такое, что дл: любого, решения системы (3), удовлетворяющие условию |/х(Ь0)1Н

Ьу}'Их(Ш-0 .

"с

Определение 3. Скажем, что решение Х=0 системы (I) неустойчиво по действующей силе, если для некоторых 6 >о , -¿^ , Т и любого сГ>о существуют сила ¥(■Ь) , удовлетворяющая условиям (2), решение системы (3) и момент времени ±£ > Т такие, что Цх (10)Ц < (Г 'Ц^Н) сИ // < <Г . но

нха<)(1>£. • ¿с •

Сформулируем следующую задачу:

Задача I. Требуется найти условия, надлежащих на систему [I), при которых тривиальное решение этой системы устойчиво', неустойчиво или асимптотически устойчиво по действующей силе.

В первой главе проводится исследование устойчивости по дей-¡твующей силе динамических систем.

В первом параграфе первой главы даны определения и поста-ювки задачи устойчивости, неустойчивости и асимптотической ус-гойчивости по действующей силе.

Во втором параграфе этой главы исследованы устойчивость и асимптотическая устойчивость по действующей силе системы лийей- . )ых дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

х = Ах, (4)

еде /4 — лхп матрица.

Обозначим через "Хд . ..} 0 ^ корни характеристического уравнения

1Д4Е1 =0 (5)

зистемы (4) с нратностями, *СЛ, соответственно

= п ; £ - единичная матрица'размерности пхп ) > Доказаны следующие теоремы:

Теорема I. Система (4) устойчива по действующей силе тогда и только тогда, когда корни уравнения (5) удовлетворяют условиям:

1) \ = о (с кратностью Чл • О^ ^ ^ п ), причем этому корню соответствуют простые элементарные делители;

2) с О при I = 2, . I .

Теорема 2. Для того, чтобы система (4) была асимптотически устойчивой по.действующей силе, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения (5) удовлетворями условию

Яа%1< О а=1, ...,£). Здесь становится очевидным следующее утверждение.

Следствие I. Если все корни уравнения (5) имеют отрицательные вещественные части ( ; 1?!,..., I ), то теорема I верна и тогда, когда условие

не соблюдается.

Затем приводится способ построения функции Ляпунова, обеспечивающая устойчивость по действующей силе линейных систем, которая сформулирована в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Система (4) устойчива по действующей силе тог да и только тогда, когда для нее существует знакоопределенная форма V , про'изводнэя которой по времени, в силу системы (4) знакопостоянная форма , противоположного знака V и в подпространстве ^/7=0 система (4) допускает только постоянные решения.

В третьем параграфе рассмотрена устойчивость по действующей силе малых колебаний механических систем около положения равновесия при-наличии четного числа циклических обобщенных координат. Доказана следующая теорема:

Теорема 4. Если голономная консервативная стационарная система имеет К циклических координат (К - четное число) и устойчива по Ляпунову по остальным координатам, то приложением надлежащим образом выбранных гироскопических "и диссипативных сил с частичной диссипацией можно систему сделать устойчивой по действующей силе. -

В четвертом параграфе рассмотрена задача устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений (I), которые допускают независимые первые интегралы вида п

■ Х4- = С1 = С0П1± = (б)

При помощи неособого линейного преобразования система (I) приводится к виду '

/ (?)

% - ■ ■>$< , ' ■ ■■> V ■ - -У '<; + ■ -я), (8)

и доказывается следующее утверждение^

Теорема 5. Если система (I) допускает первые интегралы вида (б) и для системы (8) существует определенно-положитель-

аая функция V ( ^ * » удовлетворяющая условию

к™ ^ У($) = , производная которой по времени, в силу системы (8), удовлетворяет условиям: э) V"- \Г О вив , б-V = О на Л , равномерно ло , где £ ,,..,%,)} сИп"К многооб-

разие точек не содержащие целых траекторий системы (8) при

, то тривиальное решелие системы (I) устойчиво по действующей силе. -

В пятом параграфе этой главы приведен пример (системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка), показывающий, что если нелинейная система (устойчивая по Ляпунову) допускает нелинейный первый интеграл, то ее тривиальное решение может быть либо неустойчивым, либо устойчивым по действующей силе.

Во второй, главе приведено исследование задачи неустойчивости по действующей силе динамических систем.

В первом параграфе|этой главы сформулирована теорема о неустойчивости по действующей силе для линейных систем с постоянными коэффициентами. ,

Теорема б. Для того, чтобы система (4) была неустойчивой по действующей силе, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (5) удовлетворяли следующим условиям:

1) хотя бы для одного из Й.е.У^О,

или

2) }к=0 с кратностью гк (£<: <и) , которому не соответствовали бы простые элементарные делители,

или

3) хотя бы один из имел вид ,

Из теоремы б видно, что целесообразно рассмотреть только системы устойчивые по Ляпунову, так как если система неустойчива по Ляпунову, то она неустойчива и по действующей силе. Затем построены функции Ляпунова, обеспечивающие неустой-

чивость по действующей силе линейных систем.

Теорема 7. Для того, чтобы система (4) была неустойчивой по действующей силе, необходимо и достаточно, чтобы для нее существовала определенно-положительная квадратичная форма V" , производная которой по времени в силу системы (4) была знакопостоянной формой \лГ = У"-6 0 противного знака V , .и в подпространстве УТ=0 система (4) допускала хотя бы одно "колебательное" решение вида

Xj {1)-С1С01иЬ+ ел£шсо1+!1(±) (и ил).

Здесь { с\+ С/)-со-^ О} - функция от времени экспоненциального типа.

Во втором параграфе рассмотрена задача неустойчивости по действующей силе систем нелинейных дифферэнциальных уравнений. Доказывается, что если нелинейная система допускает знакоопре-деленный первый интеграл, то ее тривиальное решение неустойчиво по действующей силе.

В третьем параграфе второй главы рассмотрено равномерное движение центра масс искусственного спутника Земли по круговой орбите. Для дифференциальных уравнений возмущенного движения центра масс спутника построена функция Ляпунова, с помощью которого показано, что такие движение центра масс спутника неустойчиво по действующей силе.

В третьей главе диссертационной работы рассматриваются задачи стабилизации и оптимальной стабилизации управляемого объекта, когдч минимизируемый функционал является знакопостоянным, а система становится только устойчивой по действующей силе. -

В первой параграфе дана постановка задачи стабилизации и оптимальной стабилизации по действующей силе.

Рассмотрен управляемый объект, описываемый системой дифференциальных уравнений

:.,их) (1 = 1,..(9) где функции X; : Я"*г —определены и непрерывны в области

х^о, ... , 0) = О (¿= 1, . п) и удовлетворяют условию Лип-'

ица в любой ограниченной подобласти & области (10).

Задача 2. (Задача о стабилизации по действующей силе), ребуется найти такие управляющие воздействия ^(х1>. .

которые обеспечивают устойчивость по действующей иле решения Х( = 0 уравнений (9) при м;

X» ).

Задача 3. (Задача об оптимальной стабилизации по дейст-ующвй силе). Требуется найти такие управляющие воздействия /(^<я) = которые обеспечивают устойчивость по

зйствующей силе решения (¿ = ¿,'...,11) при ¿^

- ■ ; >ГН ) и минимизирует функционал

о» • 1

= (II)

■¿о *■ 1

(е ^ ( Х1? ... , *„ 7 , ■ ■ Нъ ) - неотрицательная непрерыв-)я функция, определенная в области (10).

Бо втором параграфе для нелинейного управляемого объекта >), который при некоторых ие£ допускает независимые первые тегрэлы вида (6), задача об оптимальной стабилизации по дей-вующей силе приведена к задаче об оптимальной стабилизации действующей силе для систем <¿.=0 = (12)

доказана следующая теорема.

Теорема 8. Если система (Э) при ие£ допускает негасимые первые интегралы вида (б)и для системы (13) можно укэ-гь определенно-положительную по переменным зкцию У , равномерно по ¿¿(1е£1£С*—,

Л, —, К ) и функции и? СС!,-..,^^^,-.-, ъ) !- < .. ч • ис € Р )» удовлетворяющие условиям: - .

функция йТ(С является опреде-

ленно-положительной равномерно ПО С.; ( I = 1> * - • , к) ;

- 12 -

3) В[У° с1?.../с1£> ^ ,.. г иог ^ <} = 0.%:

4) каковы бы ни были функции ( ие£)

ЗГУ, -.и* 1 о , то

функции и° (]: 1,. -.,1; и%£) разрешают задачу 3 об оптимальной стабилизации по действующей силе для систем (12)-(13). При этом имеет место неравенство

оо

^ (с1?-■■м^, ■■■> и -

равномерно по С; (1*1,..., к; = •

Функционал 1301 в .теореме 8 имеет вид

ВС-] = > ■ ■■ > г ■■>*» > •• ■

Б третьем параграфе третьей главы изучена задача об оптимальной стабилизации линейных управляемых динамических систем. Показано, что если система не вполне управляема, то в общем случае при любых управляющих воздействиях система не становится устойчивой по действующей силе. Определен класс функционалов^ при минимизации которых можно решить задачу оптимальной стабилизации по действующей силе для не вполне управляемых систем. Для таких задач построены,оптимальная функция Ляпунова и оптимальное управляющее воздействие.

Б четвертом параграфе этой же главы рассмотрен пример, который ..показывает, что истраченная энергия на оптимальную стабилизацию существенно больше, чем при оптимальной, стабилизации по действующей силе этой ке системы.

. в четвертой главе диссертации рассматривается задача устойчивости,по действующей силе динамических-систем с .распределенными параметрами.

В.первом параграфе этой главы даны определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости по действ^ую-?ей силе по мере ^ .

Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений ¡.частными производными вида .

РУ- л

'Дэ Х=(х0...,хк)^т:с=(1т.

месте с системой (14) рассмотрим также систему

це функции (1/ х) : И* удовлетворяют условиям

т 1

> Г = <; оо (¿:1,...,и)для любого Х€ г с Й1"1 ;

> 1

т

I (1,х)=0 при i Г , хегс/г .

( Т > "¿о - заданная величина).

Введем вектор Ь(х) = (^(х),..^„(х)) • граничные

¡ловия имеют вид

= Х£$)±>и (¡= П). (16)

есь ,5' - поверхность, ограничивающая область т , где про-кэет процесс, область X считается выпуклой, а поверхность - гладкой.

Предполагается также, что функции Н;*)

овлетворяют условиям существования решения системы (15) при . эничных условиях'(16).

Пусть ^СЧ1] - ^[(Ч^, - • Ч*п) Л - некоторая мера гаонения и пусть она удовлетворяет свойствам нормы.

Определение 4. Процесс Ч> = О , определяемый системой называется устойчивым по действующей силе по мере,^ ,

если для любого £.>£> и каадого fc0 , можно указать такое число <Г(î, ¿„)>о , что для любого допустимого распределения S't't, *) » удовлетворяющему системе (15), J>LV(' , t)J< £ при i , если J>[.y<' , i„)]<f И ргк(-)1*<Г

В противном случае процесс Ч>=о называется.неустойчивым по действующей силе по мере J5 .

Определение 5. Процесс о , определяемый системой (14), называется асимптотически устойчивым по действующей силе по мере j> , если он устойчив по действующей силе по мере j> и существует такое , что для любого допустимого началь-

ного распределения с \ptV4- >t„n<C все допустимые процессы, удовлетворяющие уравнениям (15), удовлетворяют условию

Рассмотрена следующая задача:

Задача 4. Установить достаточные условия, при которых процесс Ч'гО , определяемый.системой (14) , будет устойчивым по действующей силе по мере j>'. ..

Во втором параграфе четвертой главы рассмотрена задача устойчивости по действующей силе по мере для линейных систем с распределенными параметрами, т.е. рассмотрена система,линейных дифференциальных уравнений с частными производными

(t = (17;

и с граничными условиями

где .

i-i

(19

и ¿¿jfx) - непрерывные, W и U) -непрерывно-дифференцируемые, Сц (к) - дванды непрерывно-дифференцируемые функции по X (уё Гер1") .

Пусть граничные условия (18) таковы, что система (17) до-скает независимые первые интегралы вида

= а = £,...,к; (20)

гдэ система (17) приводится к виду

(21)

= +¿> ^ = .п . (22)

ответствующая возмущенная система будет

, 1 = 1,...,*; (23)

(24)

Рассмотрим допустимые процессы в некоторой окрестности -{+"(•.:ДЛ)], где Я>о -постоянная. Локазана следующая теорема.

Теорема 9. Если система (17) при граничных условиях (18) пускает независимые первые интегралы вида (20) и для системы 2) существует непрерывный при ^> = (3 и определенно-положитель-й по ^ в области ^ (где К - любое сколь угодно большое 'ложительное число) функционал У[(С1> - ■ ■

'оизводная которого по времени вдоль рассматриваемых процессов стемы (24) определенно-отрицательная по р ; йт р =■

», V-» <*-" ■

^ ' ПРИ Ь ^00 » равномерно по сс- (х)

= 1,-х£с) » то процесс системы (17) устойчив по дей-

вующей силе по мере р .

Замечание I. Если в теореме 9 ^ = 0 , то процесс уз=<з

стемы (17) будет асимптотически устойчив по действующей силе

' мере ^ .

В третьем параграфе четвертой главы рассматривается задача тойчивости по действующей сале по мере систем нелинейных 1звнений с распределенными параметрами. ;

Предполагается, что правые части системы (14) удовлетворяют

следующим условиям:

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 10. Если для системы (14) которая удовлетворяет условиям (25) и (26), существует непрерывный при j> = 0 и о ределенно-положительный по J> в области Гц (где /2 -лю бое4 сколь угодно большое положительное число) функционал Усv>J производная которого по времени вдоль рассматриваемых процессе системы (14) -У= WСу] - - знакопостоянна

функционал отрицательного знала по j> , причем \Г£Ч>3 - опре деленно-отрицательный по J* в подпространстве {( ^, - - -, : t где имеют место соотнс шения limV[4>]=oo и р[ч>1= °° то процесс Y^ö ус:

J5-», о» V-* о» "

чив по действующей силе по мере .

Замечание 2. Если в теореме 10 к = П , то процесс ( определяемый системой (14), будет асимптотически устойчив по действующей силе по мере j) . , _

Ъ последнем параграфе последней главы приведен конкретны: пример, удовлетворяющий всем условиям теоремы 10,.

В диссертационной работе решены задачи устойчивости и ст лизации динамических систем при интегрально-малых возмущениях Дано новое определение устойчивости - устойчивость по де ствующей силе..

Для линейных систем с постоянными коэффициентами найдена необходимые и достаточные условия устойчивости и неустойчивое по действующей силе. Построены функции Ляпунова, обеспечиваю! устойчивость и неустойчивость линейных систем по действующей силе. -

Показано, что если голономная консервативная (Тгационарнг механическая система имеет К циклических координат (К - ч< ное число) и устойчива по Ляпунову по остальным координатам, приложением гироскопических и диссипативных сил с частичной ;

нацией можно систему сделать устойчивой по действующей силе.

Для нелинейных динамических систем указаны (охватывающий вольно широкий класс задач) достаточные условия, при которых гойчивые по Ляпунову системы становятся устойчивыми по дейст-шцей силе.

Найдены такие достаточные условия,, при которых устойчивые Ляпунову системы неустойчивы по действующей силе.

Приведены определения задач стабилизации и оптимальной эбилизации по действующей силе.

Для линейных и нелинейных не вполне управляемых систем пены задачи как стабилизации, так и оптимальной стабилизации действующей силе при знакопостоянном минимизируемом функцио-18.

Поставлены и решены задачи устойчивости по действующей си-по мере для линейных и нелинейных систем с распределенными ээметрами.

При решении этих задач указаны достаточные условия, при сорых система с распределенными параметрами становятся устой-зыми по действующей силе по мере .

После нэждой главы приведен конкретный пример.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих Зотэх:

Шагинян С.Г. Об одной задаче теории устойчивости. - Уч.записки ЕГУ, и 2, 1986, с.39-46.

Гзбриелян М.С., Шагинян С.Г. О построении функции Ляпунова. - Уч.записки ЕГУ, 1й I, 1987, с.39-45.

Шагинян С.Г. об оптимальной стабилизации не вполне управляемых систем. - Уч'.зэписки ЕГУ, № I, 1988, с.39-46. Гэбриелян М.С., Шагинян С.Г. О неустойчивости систем дифференциальных уравнений при интегрально-малых возмущениях.-Уч. записки ЕГУ, I, 1989, с.27-32.

Шагинян С.Г. Об одной задаче устойчивости систем с распределенными параметрами при интегрально-малых возмущениях по времени. - Уч.записка ЕГУ, № 3, 1990, с.34-40.

шгфпфпм;

HinhlitupinunL [J j nL Un;llT rj|iinujpLiiJ\ub II ["Lbijuib b'U ^¡пЪш!![ill luiiTui' l{uip'[bp[i l[ui jni.'UniJcljiu'li к liujpepuijnpil'uj li [и'иц^рЪЬри , bpp S илГш^шр^Ьр^ ijpu dujJiu'Uuil[h i]ijp^iui|np ur[*£ujl{ujj gnLif lucpinLif b'lt [Vuinb-j рш ni| фп£>р ЧР* ниц in it lip :

Spljlllb t L(UJJ nL UnL [1 JUi'U unp ИШ^и'шипиТ" J rlLtin Ll;1 J П L li [IUU1 I rjnri nL dp :

tuuimHiniti i[npbwl{[ig'Ubpni| цЬш j[i U S шиГш1{ш [1цЬр|ч .'¡uiifujp umucjt|i b'U (lum ШЦЦПЦ П Ll)|l 1{Ш jnL'lln L j) Jiu'lj- b. шЪЦш jnL Ъпс-i J tuljl pudbjIA I1L |11

1[шршр щш jiTiuVubp : .tluinnLqiJ'11^ ^ 4Ьшj 'u '¡wiJ,uiL{U]p<}lip|i риш шцдпц nl d|

Цш J П LljnL (t.J Пи'иЪ nL шЪЦш jni'UnL[} J nL'bll ШщщЧп^ПЦ I, J ШщП L U П l| |l 3)П l ЪЦд |l I Ubp :

OnLjg b'ti inpi|uib /[u'Uqfip^bpfi puiijuiliuj'ljfi'li ¡juiu р'ицчрЦпц/

рил|шршр ЩШ Jlflll'Ll'Ubp , npn'Llg r^tl'UgnLli ¡1UU1 I, J Шщ П L *U П l[ [l Ц LU J П L Ъ Ь LU J |

rjfi'UujiJ'lill Suiiiuiljuipijbpp rjutiuniJ b'li Цш j n-L 1U --Q uui шццпц nLd[i:

Umuigijiiib b'U Ъшк pujijwpuip щш jiTuTuiibp, npnUg rjbingnLiT puui X,j 1 ujnl i||i 1|шjnl и "¡шьГш^шрцЬрр шUl|ш jnl U b'U puui шццпц riLdfi:

SpLjiub [iuui mqrjnrj nLctfi t|uipijUiL[npiJ'ui'u L. Ои{1п[11Гиц liiup^uiijnp-

11ш\1 ju'urf|ip'ubp[i црЦшЬg"ubpp: П¿ Lp|ii| цЬЦш^шрЬ^ nbuijJi'U U. ijhwjJi'i i илГшЦшр.[Ьр[1 Iwiiiup ["Lbijuib bli ^'и^щЬи Цшр^ш^пр^шЪ, ш^ЪщЬи t, ^ 0l4Jli lTui|_ l{mpqiijL|npiriu'U ыurjp'ubp¡1, bpp iXfi"U[iLT[icpugi(пц" 4)nL'Ul|^|nп'Ьш^ p Ъ^шиш-iiuufflauinLii t> S iuLTuil[UJp^ji uipjtijjujL ^nLbnuTp pLipi{m_lT t riiun шццпг

nLd|i l{iijjnLli i||iGuil{|i:

Pu^tuijiub щшрШ1ГЬшрЬрп1| (jbwjji'u II n^ ^ЬшjSmifшЦшрцtrp[л im-Jiup dliujlibp4L|mb U Lnl-Muib D1"" шццпц nLdji puui J> ¿шф[> l{uijnL'UnL-

[JJUIU [u'uiijifi'utjp¡j:

3nLpUJglULl£jnLp iLlU|l L| b p £ П L if pliplji./b ЬЪ 1ш1ГиЛЦШтШи[иш'и lotlUIII jitjnL'Up ^nLUUJpllj'Unri op|i'Uiui['Ubp : ^

Сдано s производство 05.08.1994г. Буы.60,х84, 1,5 печ.л. Заказ 35________ _ Тиран__50 _

Цех Ротапринт Ереванского госуниверситета, Ереван, ух* Ал. Ыанукяна й I.