Исследование динамики нелинейных систем управления при постоянно действующих возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

гКАзжт^пасумгстттш плщопллыюП университет имени

» ' ** АЛЬ-ФАРЛБИ

1Ъ СЫГ-ЪЗЗ

На правах рукописи

Ерекешева. Меруещ Иынтургановпа

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

01.01.09 - Математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

ИЛМЛТЫ. 1995

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики Каза кого государственного Национального университета им. Аль-Фар

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор Бияров Телеухан Нуралдинович. кандитат физико-математических нау Калимолдаев Максат Нурадилович.

Официальные оппоненты:

член-корд. HAH PK, доктор технически наук, профессор Молдабеков М.М. кандитат физико-математических наук СНС HAH PK, Тлеубергенов М.И.

Ведущая организация:

Институт проблем информатики и упра ления HAH Республики Казахстан

Защита диссертации состоится " & " 1995 года в

¿С.часов на заседании специализированного Совета К 14/А. 01.03 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном Национальном университете им.Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы улица Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

. f..

CzuM,%ifl. 1

Автореферат разослан " I " Сеиммгл.\.$95г

Ученья секретарь специализированного Совета

к. ф. -м. н.. доцент q^vth/-/—" Айпанов А-

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Как известно. при решении конкретных прикладных задач большой практический интерес представляет исследование устойчивости двнження не только по отношению к мгновенным возмущениям, но и по отношению к возмущениям. действие которых не прекращается. С' математической точки прения устойчивость по отношению к таким постоянно действующим возмущениям отличается от устойчивости по Ляпунову тем. что возмущаются не только начальные условия движения, но и сами дифференциальные уравнения движения. Постановка задачи о сохранении устойчивости невозмущенного движения при постоянно действующих возмущениях вызвана тем. что реальная система всегда находится под воздействием малых возмущающих сил. которые невозможно учесть при ее математическом моделировании. Эти силы, называемые возмущениями, могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния рассматриваемой материальной системы при неизменных дифференциальных уравнениях движения: могут действовать и непрерывно, что будет означать, во-первых, изменение начальных значений, во-вторых, составленные дифференциальные уравнения отличаются от истинных, и в них не учтены некоторые малые поп[),гвочные члены.

Устойчивость систем при постоянно действующих возмущениях, малых в каждый момент времени, посвящены работы Г.Н. Дубошпна. И.Г. Малкина, С.И. Горшина. Н.П. Еругпна. Х.Л. Массера п многих других. И.Г. Малкин II С.И. Горшин доказали, что если условие о существовании бесконечно малого высшего предела у функции V фигурирующее в теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости певозмущенного движения, заменить несколько более жестким условием ограниченности частных производных первого порядка по переменным то не-

_ 4 -

возмущенное движение устойчиво п при малых постоянно действующих возмущениях.

H.H. Красовский доказал, что если нево1мущенное движение асимптотически устойчиво равномерно по ta и х(/о), то оно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, .малых в среднем. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях, малых интегрально, рассмотрена в работе И. Вркоча. {

Из вышеизложенного следует, какое важное значение имеет устойчивость в смысле Ляпунова не только в задачах устойчивости, но п во всякой другой задаче, когда точные уравнения по тем пли иным причинам приходится заменять приближенными.

Цель работы. Исследование вопросов устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения при постоянно действующих возмущениях малых в среднем п исчезающих на бесконечности, исследование устойчивости по квадратпческому и более высокому приближению при постояпно действующих возмущениях, а также вопросы устойчивости по отношению к части переменных при постоянно действующих возмущениях. Применение полученных результатов для исследования электроэнергетических систем, электрогпдравлнческнх систем, нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелпнейвостямп.(Прпмеры приложения теорем об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.)

Методы иссследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матрпц, теории устойчивости движения и теории управляемости нелинейных систем.

Научная новизна. Доказаны различные теоремы устойчивости и неустойчивости при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, где ослаблены соответсвуюшие

условия классических теорем.. Впервые поставлена п решена задача об устойчивости по квадратпчегкому приближению при постоянно действующих возмущениях на основе некоторых лемм, обобщающих леммы Беллмана-Гронуолла. Доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости по ш-му приближению прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Впервые поставлена и решена задача об устойчивости по отношению к части переменных прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечностп. Рассмотрена задача об устойчивости синхронного генератора и задача об устойчивости сложной электроэнергетической системы прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечностп, на основе новой функции Ляпунова. Рассмотрены вопросы устойчивости прп постоянно действующих возмущениях малых в среднем п исчезающих на бесконечностп для электрогпдравлпческпх, нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелинейно-стямп. '

Теоретическая и практическая ценность. Все основные полученные результаты сформулированы в виде теорем и лемм, которые сопровождаются строгими математическими доказательствами. Практическая ценность заключается в решении конкретных прикладных задач, рассматриваемых при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Положения, выносимые на защиту. Исследование устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности, исследование устойчивости по квадратпческому и более высокому приближению, по отношению к части переменных прп постоянно действующих возмущениях.

- 6 -

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Украинской научной конференция "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (24-28 мая 1993 г., 15-19 мая 1995 г., г.Киев); на конференции -конкурсе молодых ученых и специалистов по математике и механике (25-26 марта 1993 г.,г.Алматы); на первой, третьей п пятой научных конференциях молодых учсиых Западного Казахстана (28-30 июня 1990 г..29-30 ыюня 1992 г., 28-29 пюня 1994 г., г.Актюбе): на научной конференции, посвященной 60-летию Казахского Национального университета имени Аль-Фараби (12-14 октября 1994 г.,г. Алматы); на семинарах кафедры кибернетики (рук.д.т.н. проф. Т.Н.Бпяров) и теории управления (рук.д.т.н. проф. С.А.Айсагалиев)

Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и изложена на 105 страницах машинописного текста. Список использованной литературы содержит 87 наименований. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введенпп обосновывается актуальность темы, приводится краткий обзор устойчивости при постоянно действующих возмущениях, коротко излагается структура и содержание диссертации.

В первой главе исследуются вопросы устойчивости п неустойчивости нелинейных систем при постоянно действующих возмущениях. Доказаны различные теоремы устойчивости и неустойчивости при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В п.1.1. рассматривается вопрос об устойчивости нелинейных систем с

постоянно действующими возмущениями. ■ • ■ -

Рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде :

^=А-,(/..г,.....*„), Я = 1Гд (1)

ат

где правые части этих уравнений непрерывны в области

< > Го, Ы < Н. я = О, (2)

и допускают существование единственного решения прп .наперед заданных начальных условиях я?* ••■. в "власти (2) , Л'.,(/, 0...., 0) = 0,=

1Гп.

Пусть возмущения действуют непрерывно, тогда наряду с уравнениями (1), рассмотрим уравнения (1г

= ,....!„)+ .....хп), а = 1,п (3)

ат,

где функции И\,..., /?„ характеризуют постоянно действующие возмущения и удовлетворяет в области (2) условию

['\П,(т,хи...,хп)\<1г < р. я = 1,"«, (4)

•"о

где р- достаточно малое положительное число.

Определение 1. Невозмущенное решение называется устойчивым прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, если для любых е > 0 и " существуют два других положительных числа 5 и р, зависящих от е и ¿о, что всякое возмущенное решение х, = £,(<), з = 1, а, удовлетворяющее в начальный момент <о условию

М*о)|<*. в=1Г", (5)"

удовлетворяет прп < > ¿о условию 1

|*.(«)|<е, 5 = 1,"«, (6)

каковы бы ни были функции , /?„, в возмущенных уравнениях, лишь бы они в области (2) удовлетворяли условию (4). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 .Если для уривнснгт без возмущений (1) существует функция = Х|,....х„), х = (лг[,..., хп) такая, что

1)V(t,х) > с] || г ||2, с, = const > 0, || х ||= Vii+T+4,

2)V'(t, х) < 0, *

3) || gradtV(t, х) ||< с^ || х || или |§£| <с* || х ||, с2 = const > О,

то невозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Заметим, что теорема 1 справедлива и для автономной системы, где

X, = Х,(х{,...,хп) = Х,{х) (7)

в уравнении (1). При этом будем рассматривать функцию V(j|,...,x„) = V*(z). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2^Если для уравнений без возмущении (1),(7) существует функция V(x) такая, что

1)V(x) > 0 при хфО, V'(0) = О

2)V'(x) < О,

3) || gradxV{x) ||< с% || х || или < с| || х ||, с2 = const > 0.

то невозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Справедливы также следующие теоремы.

Теорема 3.Если для уравнения без возмущений (1),(7) существует функция V(x) такая, что

1)К(х) >0 при х ^0,К(0) = 0

2)V'( х) < 0, вне М и V'(x) =0 на М,

где М- многообразие [ж,], не содержащее целых движений х,(<) системы при t > <0,-

-S -

II <FadxV(x) ||< 4 II * II нлп 1^1 < 4 II x II, c2 = const >1).. . о н('.возмущенное решение устойчиво при постоянно действующих узмущениях, милых в среднем и исчезающих на бесконечности. сорома 4.Если для уравнений без возмущении (1) существует фупк-чя V(t. х) тикая, что

)V{t,x) > И'(х), IV'(O) = 0, iV'(x) > U прн х ^ О, )V'(t,r.) <0,

)||5r«d,K(t,x)||<^||i|| пли If^jl < II 1 1ЬС2 = const > О, го невозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих озмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В п. 1.2 рассматривается вопрос об неустойчивости нелинейных сп-тем с постоянно действующими возмущениями, {водится следующее определение :

Зпределение 2. Если при выполнении условии (4),(5) неравенства (б)

ipn каком-нибудь t > /ц нарушаются, то невозмущенное решение называется неустойчивым прп постоянно действующих возмущениях, малых j среднем и исчезающих на бесконечности, т.е. R, € Л/С',^. Справедливы следующие теоремы.

Георема 5.Если для уравнений без возмущений (1) существует V(t,x) токая, что

1)с? || х ||2< V(t, я) < с^ || х К2. с0 = const > 0, ci = const > 0,

2) || gradxV(t,x) ||< с\ || х || или < с\ || х ||, с2 = const > 0. 3 )V'(t,x) >с\\\х ||2, с3 = const > 0,

то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Заметим, что теорема 5 справедлива п для случая

0 < Wi(x) < W0(x), W,(0) = 0, IFo(Ü) = 0,

V'(t,x) > W2(:r) > 0, IV*2(0) =0,

еслп существуют в области (2)

2 . , И»)(г) , 1Г|(г) , W-A.V)

0 = 1 IMF' е'= supPITг''= " IMF'

для которых выполняются условия 1), 3) теоремы 5.

Теорема 6 .Если для уравнений бе з возмущении (1) существует V(t,x

такя, что

1 )V"(<, х) > с' || г ||2. cj = const > 0.

2) || gradxV(t,r) ||< 4 || х К или <cj\\x ||, с2 = const. > О,

3)V =XV+ W(x),

где Х-положительная постоянная, a W{x) > 0, т.е. либо тождественно обращается в нуль или представляет собой знакопостоянную функцию, то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действующих возмущениях, милых в среднем и исчезающих на бесконечности. Определение 3. Назовем областью V > 0 какую-нпбудь область окрестности

|х,| < Л. (8)

начала координат пространства переменных ri,...,i„, ограниченную поверхностью V = 0, в которой функппя V принимает положительные шл-ченпя.

Теорема 7.Если для уравнении без возмущений (1J существует функция V(t.r) такая, что

1) при сколь угодно болbtuttx значения! t в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область V > 0;

2) в области V > 0 функция ограничена и имеет ограниченные частные производные первого порядка по переменным xi,..., х„, т.е.

8V

0 < V < К < +оо, |—-1 < N < +оо, s = 1, п. Ох,

3) в области V > 0 производная V принимает положительные значе-

ния и при атом для всех значений /, .г \......г„, связанных соотношением

V(t,j:) > (V.

sût: <\-какое- пибудъ положительное число, выполняется неравенство

у > и

где. ¡5-также некоторое положительное число, зависящее от (*. то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. D п. 1.3 решена задача об устойчивости по квадратпческому прпблпже-нипы при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, на основе некоторых лемм, обобщающих леммы Беллмана - Гронуолла. Систему дифференциальных уравнений di" ™ "

-¡Г = Е P'txk + L bbj>xk*j- я = Ь" (9)

t=l lfc,j=l

будем называть квадратпчеекпм приближением возмущенных уравнений.

Вспомогательные леммы.

Демма_1г Пусть ,3 , ( / ), s — 1. »-непрерывные функции, удовлетворяющие при t>fn неравенствам

ЫО <" + Jl,B(r)LUi\Vk(r)\<tT+ll0C(r)Uj=l |^(r)|,/r|W(r)|f/r, s = 1, il

где п-положительное чпело, В(/),С(<)-неотрппательные функции, удовлетворяющие при всех t > tn условиям

/' B(r)dr < а 6 (0,1), m > 1.

Jh 4 ' тп '

/,C(rMr<(1-ft|("'-1) о т-пга

- ¿2 -

Тогда при всех < > ииою г место неравенства

< та, = 1, п.

Лемма 2. Пусть в = 1, «-непрерывные функшш, удовлетворяющие

при <0 < < < Т < 4-оо неравенствам

Ы«)1 < « + к ЕЛ=, Мг)|с/г + £ /,'„ Е^, я = 1 Гп,

где а,Ь,с-положптельные числа. 11

Тогда при всех / € ['(ьГ] пмеют место неравенства

Лемма 3. Пусть в = 1, п-непрерывные функппп, удовлетворяющие при 10 < г <Т неравенствам

М01 > « + ьЦ Ыт)\йт 4- сЦ \<р(т)\Чг,

где а,Ь,с-положптельные числа

Тогда прп рсех Ц <1 <Т имеют место неравенства

ш\ >

т < +

Доказаны следующие тео{)емы об устойчивости и неустойчивости на основе вспомогательных леммм.

Теорема 8.Если правые части уравнений без возмущений (1) удовлетворяют в области

<>*0,|*,|<Я, « = 1 Г"

неравенствам

...,*„)! < Цг) ± Ы + Щ1) £ М0Н*/(<)1.»= 1,"п,

4=1 к,}=1

где L(t),M(t)-nr.ompunnTvr.ii,v.bic функции, удовлетворяющие при всех t. > t u условиям

а е (0,1), т > 1, а = 6 + р > О,

то невозмущенное решение равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, милых в среднем и исчезающнх'на бесконечности.

Теорема 9.Если невозмухценное решение неустойчиво по Ляпунову, а правые части уравнений вез возмущений (1) удовлетворяют в области (2) условиям

X,(t,x\,....r'n)-X,(t,x"l.....r"„) < ЬEJ_|

х";|. 5 = 1, П.

где Ъ.с-положптелъпые числа, а х\,..., х'п), (/. х" 1,..., х"п)-две произвольные тонки из области (2). то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действуюгцих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Теорема 10.Если невозмущенное решение неустойчиво по Ляпунову, а правые части уравнений без возмущений (1) удовлетворяют в области (2) условиям

то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Пусть я,к = 1, »-есть фундаментальная система решений урав-

нений первого приближения

г/г "

ии „ „ -

~ГГ = Я =

удовлетворяют;« условиям

вЧк = и(я.к = = о,(в ф к),

где -<

Тогда имеет место следующая теорема :

Теорема 11 .Если фундаментальная система решений при всех 4 > г > <о удовлетворяет условиям

<Я< +<*» (« = * = 1."п),

а функции в правых частях Ъозмущснных уравнений удовле-

творяют в области (2) неравенствам

С(0 = тС(0 + (1 - 7)^(0 < ¡пет- > 1. 7 6 (0,1), а = пЩ6 + р), я = 1,~п

то невозмущенное решение равномерно устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В п.1.4 рассматривается вопрос об устойчивости и неустойчивости по т-му приближению при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Рассмотрим более общий случай, когда первым приближением возмущенных уравнений является формы некоторого ш-го порядка в виде :

Х,(1,х,,...,хв) = Л-<я,,(«.х,.....х^4-Л-<т+1)(М1,...,ап), (Ю)

- 15 -

где Л"'г"', ч = 1, п~ формы И1-го порядка относительно ......с„.

непрерывгше функции переменных ¿¡.....х,, п I более высокого порядка малости, чем ш. удовлетворяющие в области

<>/«. К| </Л я = 1л» (11)

З'СЛОВНЯМ

< 7 || г II"1, я — 1,"и. (12)

Систему дифференциальных уравнений

= я = 1Гп (13)

будем называть первым приближением возмущепяых у1)авнений. Спрапедлипы следующие теоремы :

Теорема 12.Если для системы первого приближения существует функция 17(/. .г), удовлетворяющая в области (11) условиям

'< У^.х) < с:}

¿1

<4 II * II й"-1.

где Л.С[,..., с.\-положительные постоянные, то невозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих па бесконечности, при любом выборе функций Л}™-1"1', .5 — 1л».

Теорема 13.Если для системы первого приближения существует функция х), удовлетворяющая в области (11) условиям

с{ II .г ||и< 1/(<„г) < 4 II г II'1.

где А,С1, ...,с^-положительныс. постоянные, то невозмущенное решение неустойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, при любых функциях я = 1,«, удовлетворяющих в этой области неравенствам (12). Во второй главе в качестве приложения рассмотрены вопросы устойчивости прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности, для электроэнергетических систем, элек-трогпдравлпчеекпх систем, нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелпнейностямп. Наряду с системой (1) будем рассматривать системы

= .....+ и(ихи...,хп)Ф,(г.х1,...,хп), .ч = 1,п,

0<и(г,Х!.....х„)<1

и

дх

= /«(*, Хь ..., Х„)+и^, XI, .... Х„)ф,(и ХЬ ..., Хп)+Л5(<, Х|, ..., Х„), .9 = 1, II,

(14)

где Непостоянно действующие возмущения, малые в среднем и исчезающие на бесконечности, <Д,(г,0,0) = 0,/„(¿.О, ...,0) = 0, з = 1,п; и(<,Х[,...,х„)-скалярная функция.

При «(<,х 1,...,х„) = 0 и и(?,х 1,...,хп) = 1 получаем крайние системы:

Лх —

= /,(«,ХЬ...,Х„), .9 = 1 Г«, (15)

(1х —

= ф,(г, х1,...,х„) + /,(их\,...,х„). 5= 1~п. (16)

Исследована устойчивость одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с помощью крайних систем прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности.

- 17 -

Справедлива следующая теорема:

Теорема 14. Дел» для уравнений крайних систем (15). (16) существует

единая функция У(1, г) такая, что

1)1-"(/,х) > \\'{х), 1Г(0) = 0. И'(.г) > 0 при х "ф- О,

■ 2)1-"|,|31 < 0. П,8,<0

3) II дгпЫ'&х) ||< с* || .г II нлп < с* || х- ||, с2 = «им* > 0, то невозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. В_п_.2Л решена задала устойчивости синхронного генератора при постоянно действующих возмущениях.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения синхронного генератора имеют вид

^-^-/(гО + ^ЛР. (17)

где ДР- постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем, Н-постоянная, /(х[) = ЬШ) .г{ — а{ 1 — со.чд-|), П. Ь, а -постоянные. Требуется определить допустимую величину постоянно действующих возмущений, если длительность Д* равна 1)Д* — 2)Д/ = f2, 3)Д/ — tз ( в относительных едпнпцах), а начальные значения координат цСп) = я® и хг('о) — ложат в области1 протяжения невозмущенного движения ( нулевое решение Х\ = х2 — 0) системы (17). Задача решена на основе новой функции Ляпунова вида

К(х,,х2) = Д:с1Ух|+2ОУа(1-а1)/01' ^хх1(хх),1хи

01 е (0,1).

В п.2.2 решена задача устойчивости сложной электроэнергетической системы прп постоянно действующих возмущениях.

Уравнения возмущенного движения электроэнергетической системы при

простейшей идеализации имеют вид

<Un dt =

^ = -Dm - MS,) - + ¿-ДPi, i = III,

где 6,-угловая координата; .«¡-угловая скорость, Д; > 0-коэффициент демпфирования, Д/^-постоянно действующие возмущения, ограниченные В среднем, ///-постоянные. '

/¡(¿i) = ^Рфт(<5( + 6i0) - sin6i0] = 6, sin б, - а,(1 - cos

Ш.) = EUijti« «<* = Ь ~ «ь

Рц(бцк) = + ¿¡,0) - втбуо] = - ау(1 - сотбу).

Требуется определить допустимые величины постоянно действующих возмущений, если длительность Д< задана, а начальные значения координат = = 5®,» = 1,1 лежат в области притяжения не-возмущеннвго движенпя(нулевое решение <5; = 0,я< = 0,« = 1,/) системы (18).

В п.2.3 рассматривается вопрос об устойчивости электрогидравлпче-ских систем при постоянно действующих возмущениях. Уравнения движения можно представить как нелинейную систему с двумя нелинейными элементами. .

х = Ах +- Mtp(<r), а = Nx,

(19)

где

(

Ф) =

?1Ы

,о =

,М =

О о

О ~m

m

То о

/

Справедлива следующая теорема:

Теорема 15Пусть выполняются следующие условия для системы (19):

1) А-устой-чивпл матрица и среди передаточных функций И ¡¡(Р) есть такая, что полипом, стоящий в ее знаменателе, имеет степень »=.? и не имеет общих корней с полиномом, стоящим н чис.лптсле; причем,

. если в; ф (3, то величина — ^ не является полюсом, функции И'¡¡(р):

2)~)о > 0, и, = —т^-'*. «г ~ ^»-коэффициент усиления в цепи обратной связи;

3} при всех 0 < И* < +оо существуют такие матрицы г, в. что П(ш) = г/Г1 + ЯР(г+ ш'Я)1Г(ш) > 0.

Тогда положение равновесия системы (19) ч области 1 — сцг^дпау = О, (71 = 0 абсолютно устойчиво, и ненозмущенное решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В_п.2Л_ рассматривается вопрос устойчивости при постоянно действующих возмущениях нелинейных регулируемых систем с различными типовыми нелпнепстями.

В третьей главе доставлена п решена задача об устойчивости по отношению к частп переменных при постоянно действующих возмущениях. малых в среднем п исчезающих на бесконечности. Рассмотрим уравнения движения в векторном виде

Далее, рассмотрим вопрос об устойчивости невозмушоштого движения х = 0 по отношению к переменным .Г), ...,хт(тп > 0, п — т+р,р > 0). Для краткости обозначим эти переменные через = .г,() = 1, т), а остальные через г, = — 1,2,..,« — т = р), т.е. представим векторы г и А" в

впде

(20)

Введем обозначения

• II 11= (Е,™ i я?)1''2 = (|| И II2 + И : \\2У12

Правые части системы (20) в области

t > 0, || ?/ ||< Я, || 2 ||< +с©(Я = const > 0)

(21)

непрерывны и удовлетворяют условиям единственности решения п решения системы (20) г-продолжпмы. Обозначим через х = х((!;<0,х0)-решение системы (20), определенное начальными условиями х(?о; ¿о, хо ) =

Наряду с системой (20) рассмотрим возмущенное уравнение

отличающееся от системы (20) наличием в правых частях возмущений Л(<, х); удовлетворяющих условию

где р-достаточно малое положптелное число.

Обобщая понятия, введенные в работах В.В. Румянцева, А.С.Озиранера для решения задачи об устойчивости относительно части переменных, сформулированы следующие определения.

t Определение 3. Невозмущенное движение х = 0 системы (20) называется у-устойчивым при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, если для любых е > 0 и > 0 существуют 8(е, <о) и р(е, íq) такие, что всякое решение x(t; í0, х0) с || ¿(<о) ||< & любой системы (22), для которой имеет место соотношение (23), удовлетворяет неравенству

ÍIT

— = X(t,i) + R{tx),

(22)

(23)

II fj{t; <о,*о) ||< £

(24)

nj)II любом i > i().

Опрсдслеиие 4. Если п определении 3 числа <5 > 0 и р > 0 могут быть выбраны не зависящими от /q, то движение х = 0 системы (20) называется равиомерно у-устойчивым при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности. Справедливы следующие теоремы:

Теорема 16.Предположим существует функция V(t,x) удовлетворяющая условиям

1)F(<,*) > cj || I/ ||2, а = const > 0,

2)V"(i,r) <0,

3)1^1 < 4 || У II, = const > 0,

тогда невозмущенное движение х = 0 системы (20) равномерно у-устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Теорема 17.Предположим.что существует функция V(t, x), удовле-%

творяющая условиям

1)V'(«,x) > cj || у ||2, С| = const > 0,

2)Г'(<,*)<0,

3) || gradyV ||< с\ || у || и || grad,V ||< ^'(t, *)]1/2

то невозмущенное движение г. == 0 системы (20) равномерно у- устойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В конце главы решены задачи устойчивости по отношению к части переменных при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

В заключении изложены основные выводы, полученные в ходе пссле-

дованпя материала.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1) Доказаны различные теоремы устойчивости и неустойчивости при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности, где ослаблены некоторые условия классических теорем.

2) Впервые поставлена и решена задача о(У устойчивости по квадратпче-скому приближению прп постоянно действующих возмущениях на основе некоторых лемм, обобщающих леммы Беллмана-Гронуолла. Доказаны теоремы об устойчивости п неустойчивости по т-му приближению прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности.

3) Исследована устойчивость одного класса нелинейных дифференциальных уравнении с помощью крайних систем при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности.

4) В качестве приложения рассмотрена задача об устойчивости синхронного генератора и задача об устойчивости сложной электроэнергетической системы прп постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности, на основе новой функции Ляпунова.

5) Исследована устойчивость электрогпдравлического дроссельного привода при постоянно действующих возмущениях.

6) Доказаны теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях системы автоматического управления типа Лурье-Постникова с различными нелинейными элементами на основе частотных критериев устойчивости. Рассмотрены также простейшие критические случаи п система с корректирующим контуром прп постоянно действующих воз-, мущениях, малых в среднем п исчезающих на бесконечности.

7) Впервые поставлена и решена задача об устойчивости по отношению

к части переменных при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем и исчезающих на бесконечности.

Публикации по теме диссертации:

. 1. Об устойчивости по части переменных при постоянно действующих возмущениях. // Тезисы докладов Ш-регпональной конференции молодых ученых Зап.Казахстана. - Актюбе, 1992. - С.105-106.(соавтор Бпя-ров.Т.Н)

2. О равномерной у-устойчгаостп прц постоянно действующих возмущениях. // Тезисы докладов конференции молодых ученых КазГУ. -Алматы, 1993. -С.19-20.

3. О равномерной у-устойчпвостп при постоянно действующих возмущениях. // Материалы 5-оп научной конференции молодых ученых Западного Казахстана. -Актюбе, 1994. -Зс. (соавтор Бпяров Т.Н.)

4. Об устойчпвоостп по отношению к части переменных при постоянно действующих возмущениях. // деп., в КазгосИНТИ. вып.4. -7с, N5500-Ка94, Алматы. 1994.

5. Об устойчивости по квадратпческому и более высокому порядку приближения.// деп., в КазгосИНТИ. вып.1„ -9с., Ш549-Ка95. Алматы, 1995. (соавторы Бпяров Т.Н.Лчалимолдаев М.Н.)

6. Об устойчивости по приближению ш-го порядка при постоянно действующих возмущениях.// деп., в КазгосИНТИ, вып.1, -10с, N5550-1^195, Алматы, 1995. (соавторы Бпяров Т.Н.,Калпмолдаев М,Н.) ".Исследование у-устойчпвостп при постоянно действующих возмущениях. // Тезисы докладов Украинской конференции, Киев, '/б-19 мая, 1995 г., С.39

Ерекешева M. M.

T VF АКТЫ 3CE? ЕТУШ1 УШТКУДАГЫ СЫЗЫК.ТЫ ЕМЕС БАСЯАРУ Ж'/ЛЕЛЕР1НЩ ДИНАШКАСЬН ЗЕРТТЕУ.

Г±'ЗШРЫЩАМА.

Ж»мыста т*рак,ты веер ет'/mi *йытцудагы сыэыцты емес жтйе-лерД1Ч орныктылыгы дене орныцсыэдыгы, квадраттык; жене жогзрь дврежедег! куыктау бойынша орнывдылкк, сонымен катар, туракта эсер етуш! »йыткудагы айнымзлылардц 6ip белхпне сейкес ор-ныктылык зерттелген. Делелденген тесремалардьщ шарттары б*рын белпл! класслкалын; шарттармен салыстыргандз жец1лдет*лген.

Алынган теориялык, натижелер нег1Э1нде электрл^-энергети-кзлык, жтйелер, электрл!- гидравликалык, жгйелер, ерттрЛ1 сы-зыктык емес элеыенгтера бар сызыщты^ емес реттелген жгйелер ïmiH ткра^ты эсер етупн »Пыткудагы орныктылык зерттелген.

Erekesheva.M.M.

THE INVESTIGATION OF THE DYNAMIC OF THE SYSTEMS OF CONTROL UNDER CONSTANT FORCED INDIGNATIONS.

ABSTRACT.

The problems concerning the stability snd the non-stability of non-linear systems under the constant forced indignations, the stability over quadratic and more high approximation under constant forced indignations are regarded in this work; the problems concerning the stability with respect to a part of the varibles under constant forced indignations are investigated in this work.

The problems concerning1 the stability under the constant forced indignations for electroenergetic systems, electrchydro-lic systems, for non regulated systems with the different non-linear elements.