Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой

Шефер, Владимир Александрович

Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Шефер, Владимир Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой»

Автореферат диссертации на тему "Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШЕФЕР Владимир Александрович

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФИКТИВНОГО ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

Специальность 01.03.01 — астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и механики при Томском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук

Батраков Юрий Васильевич

Шапорев Сергей Дмитриевич • Шевченко Иван Иванович

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

Защита диссертации состоится « 20 » У<0№]рЯ_ 2003 г.

в час. 0 О мин. на заседании диссертационного совета Д.212.232.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (математике-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан « 3 » СЛЛ<Л~ && _ 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.В. Орлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблема изучения движения малых тел Солнечной системы всегда занимала одно из центральных мест в прикладной небесной механике. В последние 10-15 лет интерес к этой проблеме еще более возрос. Основной причиной такого внимания стало осознание научными кругами и широкой общественностью меры той опасности, которую представляют столкновения Земли с астероидами и кометами. Другой причиной, во многом связанной с первой, послужили массовые открытия новых малых планет. Причем число открытий с каждым годом растет. Это оказалось возможным благодаря осуществлению ряда крупных проектов по обнаружению космических тел, сближающихся с Землей, а также широкому применению электронно-оптических методов наблюдений (в первую очередь ПЗС-технологий) и современных средств компьютерной обработки измерительной информации. Успешное выполнение программ по изучению малых тел с помощью космических аппаратов и решение проблем, связанных с астероидно-кометной опасностью, предъявляют особенно высокие требования к точности и оперативности определения пространственных положений интересующих нас объектов. Это делает необходимым и своевременным дальнейшее совершенствование уже имеющихся и создание новых эффективных методов исследования движения малых тел Солнечной системы по высокоточным наблюдательным данным.

Цель и основные задачи исследования

Сложный характер движения большинства малых планет и почти всех комет делает практически невозможным или крайне трудоемким применение аналитических методов исследования. Это приводит к необходимости использовать численные методы, которые, как правило, отличаются простотой и надежностью. Однако, применение последних также наталкивается на ряд трудностей, поскольку классические ньютоновские уравнения движения сингулярны в точках соударений гравитирующих масс, а их решения неустойчивы в смысле Ляпунова (Штифель, Шей-феле, 1975). Кроме того, численное интегрирование дифференциальных

, I ч \ ..Л!„.'.0!<ЛЯЬЙЛ>. I 3 | БИБЛИОТЕКА |

1 С.Пстербуог и !

! оз т$%хрЭг\

'■»■■ е........к. .. щ.чт

уравнений небесной механики на больших интервалах изменения независимой переменной может потребовать значительных затрат машинного времени. Поэтому наиболее эффективное решение задач, связанных с изучением движения рассматриваемых небесных тел, следует искать в рациональном сочетании численного и аналитического подходов.

Целью диссертации является разработка новых эффективных методов, предназначенных для решения трех тесно связанных между собой задач — определения предварительных орбит, улучшения начальных параметров движения и высокоточного прогнозирования пространственных положений и скоростей малых тел.

— построение новых соприкасающихся с реальной возмущенной траекторией промежуточных орбит, лучше аппроксимирующих начальный участок движения, чем оскулирующая кеплеровская орбита и аналогичные орбиты других авторов;

— вывод дифференциальных уравнений в отклонениях реального движения от промежуточного опорного, обобщающих уравнения классического метода Энке вычисления возмущенной траектории;

— конструирование новых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения, в которых решение представляется последовательностью малых дуг промежуточных орбит, и использование их в качестве опорных методов при построении экстраполяционных алгоритмов;

— разработка новых алгоритмов вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям (изохронные производные) на основе формул для соприкасающихся орбит;

— определение промежуточных возмущенных орбит по минимальному числу позиционных измерений;

— получение уравнений движения в регуляризирующих переменных от-

носительно подвижного фиктивного центра с переменной массой в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел;

— исследование эффективности новых методов в сравнении с наиболее часто применяемыми на практике алгоритмами.

Научная новизна работы

Все основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые. Новизна исследования состоит в следующем.

1. Разработана теория промежуточного движения, опирающаяся на предложенную автором идею ввода фиктивного притягивающего центра с изменяющимся со временем гравитационным параметром.

2. На основе разработанной теории построены новые промежуточные орбиты некеплеровского типа с касанием первого, второго и третьего порядка к траектории реального движения (оскулирующие и сверхоскули-рующие промежуточные орбиты). Теоретически и практически показано, что построенные орбиты обеспечивают в своем классе орбит, определяемом порядком касания, наивысшую точность аппроксимации возмущенного движения на начальном участке траектории.

3. Обобщен классический метод Энке специальных возмущений путем замены оскулирующей кеплеровской опорной орбиты на построенные автором промежуточные орбиты.

4. Получены простые методы решения уравнений орбитального движения первого, второго и третьего порядков точности, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами промежуточных орбит.

5. Предложены новые экстраполяционные алгоритмы с переменной длиной шага и переменным порядком, использующие полученные пошаговые аналитические методы в качестве опорных. При этом создан универсальный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы, пригодный для опорного метода произвольного порядка.

мени путем сокращения интервала применения промежуточной орбиты возможно только в том случае, когда порядок касания промежуточной орбиты выше первого.

7. Разработан метод определения промежуточной орбиты по двум векторам положения и интервалу времени между ними. Доказано, что предельные значения параметров этой орбиты при стремящемся к нулю опорном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием третьего порядка.

8. Предложен метод определения промежуточной возмущенной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере, разработанный по аналогии со схемой классического метода Лагранжа-Гаусса.

9. Обобщен подход В.Себехея (1976) к линеаризации и регуляризации динамических систем с помощью интегралов движения посредством введения дополнительно к временному преобразованию преобразования зависимых переменных.

10. Выведены уравнения движения возмущенной ограниченной задачи трех тел в регуляризирующих переменных с использованием в качестве центра регуляризации фиктивного притягивающего центра с переменной массой.

11. Получены оценки эффективности разработанных методов и алгоритмов в задачах исследования движения ряда малых планет и комет. Показано, что новые алгоритмы и методы отличаются более высокой точностью и оперативностью по сравнению с существующими аналогами.

Теоретическая и практическая значимость

Развитая в работе теория промежуточного движения может быть использована при создании новых методов и алгоритмов численного или аналитического моделирования движения небесных тел. Она дает большую свободу в выборе параметров промежуточного движения и закона изменения массы фиктивного центра, что позволяет конструировать и другие семейства орбит, отличные от рассмотренных в диссертации.

Построенный автором рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы можно применить для разработки экстра-поляционных методов решения широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений при условии, что опорный метод удовлетворяет

определенным требованиям (Хайрер и др., 1990).

Предложенный в работе метод линеаризации и регуляризации уравнений движения может быть применен и к некоторым другим системам дифференциальных уравнений, обладающих интегралами.

Разработанный автором алгоритмический аппарат и его программная реализация могут быть успешно применены для решения разнообразных задач, связанных с определением, уточнением и прогнозированием орбит астероидов, комет и искусственных небесных тел. Результаты исследования эффективности алгоритмов и программ можно использовать в аналогичных исследованиях при выявлении практических преимуществ той или иной методики.

Параметры движения астероидов (145) Адеона, (1566) Икар и (4179) Тоутатис, полученные в результате применения процедуры улучшения орбит, могут быть приняты за основу при подготовке рабочих эфемерид для дальнейших наблюдений данных объектов и обработки результатов этих наблюдений.

Полученные в работе методы и алгоритмы могут найти применение во всех научных учреждениях, где занимаются изучением движения малых тел Солнечной системы и динамикой космического полета, а также в учебном процессе вузов, где преподаётся небесная механика и динамическая астрономия.

Результаты диссертационной работы успешно применялись и продолжают применяться в отделе астрометрии и небесной механики НИИ прикладной математики и механики при Томском госуниверситете в соответствии с планами выполнения госбюджетных тем "Исследование движения, распределения и эволюции орбит малых тел Солнечной системы по наблюдениям с Земли и из космоса" и "Математическое моделирование движения, распределения и орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы по результатам измерений", грантов РФФИ N 96-02-17999 "Разработка аналитических и численных методов исследования возмущений сложной природы в движении малых тел Солнечной системы", N 98-0216491 "Разработка численных и полуаналитических методов исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы" и N 01-02-17266 "Реше-

ние ряда сложных задач динамики малых тел Солнечной системы", а также НИР "Численные алгоритмы исследования орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы и фрагментов космического мусора" в рамках ГНТП "Астрономия".

Апробация работы

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на

— всесоюзной конференции "Методы исследования движения, физика и динамика малых тел Солнечной системы" (Душанбе, август 1989 г.);

— всесоюзном совещании "Эфемеридная астрономия и позиционные наблюдения" (Ленинград, август 1991 г.);

— научных конференциях, проводившихся в рамках II и III съездов Астрономического общества (Москва, октябрь-ноябрь 1991 г., май 1993 г.);

— всесоюзном совещании (с международным участием) "Астероидная опасность" (Санкт-Петербург, октябрь 1992 г.);

— комплексной конференции (с международным участием) "Астероидная опасность-93" (Санкт-Петербург, май 1993 г.);

— международной конференции "Проблемы защиты Земли от столкновения с опасными космическими объектами" (Снежинск, сентябрь 1994 г);

— международной конференции "Сопряженные задачи механики и экологии" (Томск, сентябрь-октябрь 1996 г.);

— международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, июнь 1997 г.);

— международной научной школе-семинаре НАТО "The Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar System Studies" (Маратея, Италия, июнь-июль 1997 г.);

— научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (Москва, декабрь 1997 г.);

— всероссийских научных конференциях "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, июнь 1998 г., июнь 2000 г., октябрь 2002 г.);

— весенней конференции Астрономического и Немецкого геологического обществ "Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences (AMICO

2000)" (Нердлинген, Германия, май 2000 г.);

— совместной конференции Европейского и Евро-Азиатского астрономических обществ "JENAM-2000" (Москва, май-июнь 2000 г.);

— Всероссийской астрономической конференции (Санкт-Петербург, август 2001 г.);

— международной конференции "Asteroids, Comets, Meteors" (Берлин, Германия, июль-август 2002 г.);

— международной конференции "Небесная механика - 2002: результаты и перспективы" (Санкт-Петербург, сентябрь 2002 г.);

— семинарах отдела небесной механики и астрометрии НИИ ПММ при ТГУ (Томск, 1991-2003 гг.);

— семинаре кафедры небесной механики СПбГУ (Санкт-Петербург, июнь 2003 г.).

Публикации

По теме диссертационной работы имеются 22 публикации, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных литературных источников (135 наименований) и пяти приложений, содержит 14 рисунков и 35 таблиц. Общий объём работы составляет 203 страницы машинописного текста, из них 11 страниц занимают приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и основные задачи исследования, определяется новизна работы, ее теоретическая и практическая значимость, излагаются структура и краткое содержание диссертации, перечисляются результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена теории промежуточного движения и построению оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит.

Фиктивный притягивающий центр с постоянной массой, помещенный

на начальном векторе ускорения, был впервые использован Н.А.Шайхом (1966) для построения простой промежуточной орбиты с касанием второго порядка в рамках ограниченной задачи трех тел. В.И.Скрипниченко (1970) повысил точность аппроксимации движения в методе Шайха, допустив возможность прямолинейного и равномерного движения фиктивного центра. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах Ю.В. Батракова (1981а, б),.в которых построены промежуточные орбитыс касанием первого, второго и третьего порядка применительно к задачам с силами более общего вида. Промежуточное движение, аппроксимирующее реальное возмущенное движение малого тела, рассматривается как комбинация двух движений: движения фиктивного притягивающего центра и движения относительно фиктивного центра. Первое в общем случае допускается прямолинейным и равномерным, а второе описывается уравнениями невозмущенного кеплеровского движения. Кроме условий касания соответствующего порядка используется условие минимума главной части отклонения промежуточного движения от реального.

Излагаемая в главе теория промежуточного движения обобщает и развивает идеи и подходы вышеназванных авторов. В основу теории положена концепция, впервые предложенная и примененная автором в публикациях (Шефер, 1998а, б), согласно которой масса фиктивного центра выбирается не постоянной величиной, а ищется в виде функции времени. Движение по промежуточной траектории относительно фиктивного центра при этом не является кеплеровским и описывается уравнениями возмущенной задачи Гюльдена-Мещерского с касательными возмущениями специального вида.

Рассмотрим построение промежуточного движения более подробно.

Движение малого тела под действием ньютоновского притяжения системы точечных масс и других сил произвольной природы задается уравнениями относительного движения и начальными условиями:

х = —= G, x(i0) = х0, x(i0) = х0, (1)

где х — вектор положения малого тела, г = |х|, К = к2М — const (к2 — гравитационная постоянная, М — масса центрального тела),

Т — вектор возмущающего ускорения.

Нижний индекс г (г = 0,1,2) повсюду в тексте автореферата, если это не оговаривается отдельно, означает, что данная величина определена при

г = и.

Вводится фиктивный притягивающий центр с гравитационным параметром ц, расположенный на конце вектора

г= 7о + 35о(<-<о)-

(2)

Уравнения движения малого тела относительно фиктивного центра тогда примут вид

д = в, д = х — Ъ.

(3)

В той же системе координат, в которой рассматривается реальное движение (3), задается промежуточное движение

= + чф(«о) = ч5, ч*(М = чЙ- (4)

Здесь К* — |. Параметры ц и А предполагаются функциями, непрерывно изменяющимися со временем.

Пусть поведение гравитационного параметра р. подчиняется закону Эддингтона-Джинса, который можно представить в виде

/1 = пцп, а параметр Л задается формулой

- (2 -п)Ср*1

Кмо)

- Ср"

для п ф

(5)

(6)

где

ф = 2А0 + С, С = Ао/^о - 2Л0, Ь = (2-п)ф- Л0, N = (3 - 2п)/2.

Введенное таким образом промежуточное движение описывается замкнутыми аналитическими выражениями, поскольку с помощью коорди-натно-временного преобразования

1 ГТГ ^ = —,/— <и, 77 = 1 V3 V МО

2 Иф

-) -Ра)

Цоф О

уравнения (4) приводятся к уравнениям движения классической задачи двух тел с постоянными массами.

Следовательно, промежуточное движение, представленное уравнениями (2), (4)—(6), полностью определяется векторами и скалярами

Яо) Чо1 МО) ^о, С, п. (7)

Выбор значений постоянных (7) в главе осуществляется из условий, задающих касание определенного порядка к реальной траектории, и ряда дополнительных требований, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию возмущенного движения. Строятся новые классы промежуточных орбит с касанием первого, второго и третьего порядка. Эти орбиты лучше аппроксимируют возмущенное движение на начальном участке траектории, чем оскулирующая кеплеровская орбита. Они точнее и аналогичных орбит других авторов, поскольку в промежуточном движении нами учитываются возмущающие силы, которые можно интерпретировать как эффект переменности массы фиктивного центра в соответствии с законом Эддингтона-Джинса и эффект действия дополнительной касательной силы. Показывается, что среди множества промежуточных орбит с определенным порядком касания построенные орбиты являются самыми точными. Чем больше порядок касания к возмущенной траектории и меньше угол наклона орбитальной плоскости исследуемого тела к плоскости, в которой действуют основные возмущающие силы, тем выше точность аппроксимации нашими орбитами реального движения. В случае плоского возмущенного движения порядок касания промежуточных орбит автоматически повышается на одну или две единицы.

Дается вывод всех необходимых формул для решения уравнений промежуточного движения, пригодных как для положительных, так и для отрицательных значений гравитационного параметра фиктивного центра. Практическая ценность полученных формул повышена, благодаря использованию преобразований, позволяющих избежать потери значащих цифр при вычислении разностей почти равных величин в окрестности эпохи оскуляции. Рассматриваются частные случаи сверхоскулирующих промежуточных орбит, построение которых требует применения формул эллиптического движения с минимально возможным значением эксцен-

триситета эллиптической орбиты. Использование полученных формул на практике не связано ни с какими ограничениями в выборе действующих на малое тело сил, кроме требования дифференцируемости выражений для них.

Материал данной главы является основной теоретической базой для методов, представляемых в следующих четырех главах.

Во второй главе описываются обобщенные методы Энке специальных возмущений. Эти методы основаны на следующих дифференциальных уравнениях для вектора отклонения реального движения от опорного промежуточного:

8цо = < [(^о - A0q0) • qo] + -3 [Qo^o ~ (zo • qo)] \ Ro, До = |qo|,

Уравнения (8) выведены с использованием основных формул для построенного в первой главе промежуточного движения. В качестве опорных решений применяются как оскулирующие, так и сверхоскулирую-шие орбиты. При выводе уравнений (8) использовался прием (Рой, 1981), с помощью которого полностью или частично разрешается разностная неопределенность, имеющая место при вычитании в правых частях уравнений в отклонениях двух почти равных векторов. Указываются приемы и приводятся соотношения, позволяющие решить аналогичную проблему, возникающую при вычислении разности ц — цо в окрестности начального момента времени. Если в (8) задать ц = цо = К, Zo = Zo = 0, то мы получим дифференциальные уравнения, соответствующие классическому методу Энке.

Решая уравнения (8) с начальными условиями р0 = р0 = О каким-либо подходящим методом численного интегрирования и зная координа-

где

(8)

S¡i = К - ц = 8 цо + цо - ц,

х = х* + р= Z + q, х* = Z + q*, q = q* + р.

ты и компоненты вектора скорости малого тела на промежуточной орбите, найдем в любой заданный момент времени I векторы положения и скорости малого тела для возмущенного движения в исходной системе координат. Значительное уменьшение шага в процессе интегрирования служит признаком того, что использование данной опорной орбиты становится неэффективным и необходимо приступить к построению новой (спрямить орбиту). Показывается, что более высокая эффективность этой процедуры по сравнению с классическим алгоритмом Энке обеспечивается существенно меньшими численными значениями правых частей уравнений в отклонениях (8) в окрестности эпохи спрямления опорной орбиты. Отмечается, что, если в процессе вычислений необходима частая смена опорной орбиты, то при выборе метода интегрирования предпочтение следует отдать одношаговым алгоритмам. Даются рекомендации по упрощению алгоритма построения опорной промежуточной орбиты в случае сложной структуры возмущений.

Описываются численные эксперименты, выполненные на примерах вычисления орбит особой малой планеты (4179) Тоутатис и короткоперио-дической кометы Хонды-Мркоса-Пайдушаковой. Движение этих объектов рассматривается на интервалах времени, включающих моменты тесных сближений с Землей и Юпитером. Уравнения промежуточного движения решаются с использованием универсальных переменных, применимых для любых типов возмущенных кеплеровских орбит. Изменение гравитационного параметра фиктивного центра подчиняется первому закону Мещерского (п = 2). В качестве метода численного интегрирования дифференциальных уравнений выбран неявный одношаговый алгоритм Эверхарта 15-го порядка.

Эксперименты подтверждают теоретические выводы о высокой эффективности построенных нами промежуточных орбит при аппроксимации возмущенного движения. Точность аппроксимации с помощью промежуточных орбит в ближайшей окрестности эпохи оскуляции существенно (до нескольких порядков) выше по сравнению с оскулирующей кеплеров-ской орбитой. При этом точность аппроксимации возрастает с увеличением порядка касания промежуточной орбиты. Результаты исследования

показывают, что применение построенных орбит в методе Энке особенно выгодно при изучении движения малого тела вблизи больших возмущающих масс (планет, их спутников). Использование уравнений в отклонениях (8) в этих и других случаях возмущенного движения позволяет не только увеличить интервал времени между спрямлениями орбиты, но и избежать быстрого накопления ошибок округления в процессе численного интегрирования. Это в свою очередь приводит к повышению точности вычислений и экономии машинного времени. Так сравнение обобщенных методов, использующих сверхоскулирующие орбиты, с классическим методом Энке на примере прогнозирования сильновозмущенного движения указанной выше кометы на интервале 20000 суток показывает, что первые дают результаты, точность которых почти на порядок лучше. Затраты машинного времени при этом на 20-40% меньше.

Третья глава содержит новые численно-аналитические методы решения уравнений орбитального движения.

Глава начинается с изложения простых методов, основанных на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. Построение каждой последующей дуги опирается на данные, полученные в конце предыдущей, что соответствует стандартной схеме явного одношагового метода. Применение построенных нами промежуточных орбит в рамках этой схемы позволяет получить методы, порядок точности которых равен порядку касания используемой орбиты. Решение задачи (1) на примере первого шага представляется с помощью формул

у; =х;+еЖ, у! = *; + ве,Л'-1, (9)

где к — <1 — = [Ср*-2' — х^*']/«!, з — 1, р — порядок касания

промежуточной орбиты. Индекс в скобках обозначает порядок производной по времени I. Формулы (9) имеют порядок точности р. В нашем случае р= 1,2,3.

Используя оценку локальной погрешности методов (9) по правилу Рун-ге, строятся методы второго, третьего и четвертого порядков с переменной длиной шага.

На примерах вычисления возмущенных орбит ряда малых планет и комет показывается, что перечисленные методы обладают целым рядом преимуществ по сравнению с классическим методом Рунге-Кутты четвертого порядка и методом Рунге-Кутты-Фельберга четвертого (пятого) порядков.

Далее в главе конструируются новые экстраполяционные алгоритмы с переменной длиной шага и переменным порядком, использующие полученные пошаговые методы первого, второго и третьего порядков в качестве опорных методов.

В соответствии с определением экстраполяционного метода (Хайрер и др., 1990) выбирается последовательность шагов Л,- = Н/щ; г — 1,2, ...,m; т > 3, где Н — основной шаг интегрирования, {п,-} — целые положительные числа, расположенные в порядке возрастания. Применяя метод (9), имеющий порядок р, с шагами {h,}, получим в конце основного шага набор решений

и;(<о + Я) = {у!,(<о + Я)>у;(4о + Я)}=Т,-,1; г — 1,2,..., к] 2 <к<т. С помощью этих решений строится интерполяционный полином P{h) = Ео + ExW + Е + ... + Е k^hP+k-2,

для которого

P(ftí) = Т,-д; г = 1,2, 2<к<т.

Тттп ТТЛ TT Г»- ГГ rf/Л ntlYt/M »л ТТ'ГЧТ» Í» _ П

liwxunuivia ххрш io — \j

P(0) = Eo = Tilfc; к < j <m (10)

принимаются в качестве окончательного решения на момент t — to + Н.

Для получения решения (10) нами строится следующий рекуррентный алгоритм:

Tj',fc = Ti,i-1 + 7-T->'fc-1 Tj-i,*-i - j = k,...,m; fc = 2, 3,..., m;

(aj-fc+i,fc-i/Q:i-fe+2,*:-i) - 1

где

= г = 1,2, ...,m;

= А

а>,(+1 = г = 1, 2, ...,т-/ = 1,2, ...,т - 2;

IV /1 VI

; г = 1,2,..., га — 1; У = 1, 2,..., т - 2;

щ) \«»+1

а, да,-+1,1 . # =-:-;—; г = 1,2, ...,га-1;

"¿,1 - «1+1,1

ЬШ = г = 1,2,..., т- 1-,

«1,1 ~ аи + м

У = 1,2, ...,т —/ — 1; I = 2,3, ...,т — 2.

Погрешность полиномиальной экстраполяции на основном шаге имеет вид

и(^о + Н) - Ту,* = (-1)4аУ-*+1,*Е*(«о +Я)ЯР+Ь"1 + 0(Я"+*), (11) где

и(<0+Я) = {х(*0+Я),х(*0 + Я)}. (12)

Первый член правой части (11) имеет порядок р+к, поскольку Бк(<о) = О-Отсюда следует, что точность аппроксимации решения (12) векторной величиной Тсоответствует методу порядка р+к — 1.

Данная процедура экстраполяции применима для любого численного метода произвольного порядка р, лишь бы этот метод удовлетворял условиям теоремы Грэгга (Хайрер и др., 1990).

Для оптимизации работы экстраполяционных алгоритмов осуществляется комбинированное управление порядком и длиной шага по заданной допустимой относительной погрешности метода на шаге. Приводятся все необходимые формулы.

С помощью численных примеров показывается, что при высоких требованиях к точности решения новые экстраполяционные алгоритмы по эффективности сравнимы с методом Рунге-Кутты-Фельберга седьмого (восьмого) порядков. С понижением требований к точности преимущество экстраполяционных методов растет.

В четвертой главе речь идет об алгоритмах вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям и о применении этих производных в задаче улучшения орбит.

Дается описание новых аналитических методов вычисления частных производных с помощью дуг промежуточных орбит. Применяются орбиты с касанием первого, второго и третьего порядка при п = 2 (первый закон Мещерского вариации массы). Методы основаны на формулах, получаемых непосредственным дифференцированием выражений для решений уравнений промежуточного движения. Формулы для параметров промежуточного движения и частных производных от этих параметров применимы для любых типов возмущенных кеплеровских орбит. Они применимы также и в тех случаях, когда масса притягивающего центра отрицательна. Вычисление частных производных на больших интервалах времени производится с помощью пошаговой процедуры в сочетании с обобщенными методами Энке или численно-аналитическими методами, изложенными в предыдущих главах. Если заданный временной интервал произвольным образом разбит на N подынтервалов последовательными промежуточными моментами <1,^21 •••» ¿лг-1, то приближенное решение для матрицы частных производных на конечный момент Ь = 4дг представляется в виде

Ф(Мо) = <лг-1)Ф(*лг-1,<лг_а) • ■ • Ф(«2,*г)Ф'(«1,*о)-

Разработанные нами алгоритмы точнее существующих аналогов, основанных на формулах для оскулирующей кеплеровской орбиты (Медведев, 1986) и оскулирующей промежуточной орбиты с одним дополнительным параметром (Батраков, Мирмахмудов, 1990).

Для глобальной погрешности метода получена приближенная формула

Ф(г, *0) - Ф(4, <0) = СФ(<, «о)(« - МЛ"-1, (13)

справедливая при малых фиксированных значениях шага Л. Здесь Ф(£, ¿о) — точное решение для матрицы частных производных, С — матрица, компоненты которой выражаются через коэффициенты погрешности на рассматриваемом временном интервале, р — порядок касания промежуточной орбиты. Таким образом, только в том случае, когда промежуточная орбита имеет касание выше первого порядка, точность вычисления матрицы Ф(£, Ьо) всегда может быть улучшена путем увеличения числа разбиений интервала [<о, £] на подынтервалы до тех пор, пока ошибки

округления, неизбежные при машинных расчетах, не превзойдут ошибки метода.

Исследуется эффективность новых методов в сравнении с алгоритмом, использующим оскулирующую кеплеровскую орбиту. На практических примерах показывается, что численное поведение погрешности определения частных производных находится в хорошем согласии с формулой (13). Приводятся результаты решения задачи дифференциального исправления орбит астероидов (1566) Икар, (4179) Тоутатис и (145) Адеона по данным наблюдений. Делается вывод о том, что даже в самых сложных случаях возмущенного движения алгоритмы, использующие сверхоскулирующие орбиты, позволяют определить дифференциальные коэффициенты условных уравнений с необходимой точностью. При этом затраты машинного времени по сравнению с численным интегрированием дифференциальны* уравнений движения и уравнений в вариациях сокращаются в несколько раз.

Методы определения промежуточных возмущенных орбит по граничным условиям рассматриваются в пятой главе.

Излагается метод определения промежуточной орбиты по двум заданным векторам положения и соответствующему интервалу времени. Здесь мы, как и в предыдущей главе, ограничиваемся случаем, когда гравитационный параметр фиктивного центра изменяется в соответствии с первым законом Мещерского вариации массы. Строится промежуточная орбита, для которой векторы положения и ускорения в опорные моменты времени ¿1 и ¿2 совпадают с заданными векторами положения Хх и Хг и вычисленными на их основе суммарными векторами ускорения и <3г2 соответственно. Кроме того требуется, чтобы положения фиктивного центра на векторах в] и Со (или на их продолжениях) в опорные моменты времени были на минимальном удалении друг от друга. Простые преобразования сводят задачу определения возмущенной орбиты к вычислению кеплеровской траектории в параметрическом координатном пространстве. Приводится доказательство того, что предельные значения параметров построенной орбиты при стремящемся к нулю опорном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием треть-

его порядка к реальной траектории. Отсюда следует, что скорость сходимости к точному решению при сокращении опорного интервала времени в новом методе на два порядка выше, чем в традиционных методах, использующих невозмущенную кеплеровскую орбиту. Выполнено сравнение точности аппроксимации реальной траектории Икара с помощью орбит, построенных нашим алгоритмом и методом Гаусса. Для малых опорных дуг траектории полученные оценки точности в нашем алгоритме на несколько порядков лучше, чем в методе Гаусса.

Описывается новый метод определения предварительной орбиты по »

трем положениям малого тела на небесной сфере и соответствующим им моментам времени с учетом основной части возмущений. При разработке метода мы придерживались схемы, заложенной в основу классического метода Лагранжа-Гаусса, там, где это позволял выбранный нами подход. Основное и принципиальное отступление от классической схемы заключается в том, что вместо невозмущенной кеплеровской орбиты строится промежуточная возмущенная орбита. Для построения последней используется описанный выше алгоритм определения орбиты по двум векторам положения. Обсуждаются результаты численных экспериментов по сравнению нового метода и метода Лагранжа-Гаусса. На примерах аппроксимации движения Икара по трем предварительно вычисленным точным угловым положениям показывается, что погрешности методов, основанных на формулах невозмущенной задачи двух тел, становятся фиксированными и не уменьшаются с сокращением опорной дуги траектории. Методические ошибки предложенного автором способа определения орбиты в этих случаях уменьшаются прямо пропорционально квадрату опорного интервала времени. Точность построенных новым способом орбит существенно выше, чем точность орбит классического метода. Рассмотрены также примеры определения орбит по реальным наблюдениям Икара и его фиктивным угловым положениям, отягощенным погрешностями. В частности показано, что, если бы точность наблюдений Икара при его открытии в 1949 г. оценивалась величинами 0".1, 0".01 и 0".001, то эфемерида астероида, вычисленная на 1950 г. по параметрам нашей промежуточной орбиты, была бы точнее эфемериды, полученной по результатам приме-

нения метода Лагранжа-Гаусса, соответственно в 2. 10 и 100 раз. Использование в классическом методе наблюдений, точности которых выше 1", становится формальным, поскольку методическая ошибка в этих случаях превышает по величине указанные точности.

И, наконец, шестая глава касается проблемы, которой отводится немаловажное место в современной небесной механике. Это проблема устранения особенностей дифференциальных уравнений движения.

Обобщается подход В.Себехея (1976) к линеаризации и регуляризации уравнений движения задачи двух тел с помощью интегралов путем ввода дополнительно к временному преобразованию преобразования координат. В процедуру линеаризации и регуляризации включаются все независимые интегралы движения задачи двух тел. В качестве примеров преобразований рассматриваются временное преобразование Сундмана и координатное КЗ-преобразование (Штифель, Шейфеле, 1975), а также их обобщения, приводящие к уравнениям орбитального движения в трехмерном и четырехмерном параметрических пространствах. Предложенная процедура преобразования дифференциальных уравнений применяется как к уравнениям невозмущенного, так и возмущенного кеплеровского движения. Приведенные системы дифференциальных уравнений не имеют особенностей при соударении с центральным телом.

Рассматривается движение малого тела в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел. Дифференциальные уравнения движения относительно центра масс основных тел с массами М и пц записываются в виде

где у — вектор положения малого тела относительно начала координат, х и х/ — векторы положения малого тела относительно основных тел, г = |х|, г; = |х(|, Е — вектор возмущающего ускорения. Вводится фик-

вектора Ъ. Уравнения движения малого тела относительно фиктивного центра представляются в форме

(14)

тивный центр с гравитационным параметром /л, расположенный на конце

где

ц к2М к2пц

/А;2М к2т,\„ „ , а

и - I--1--1 К, Ъ — их,, и - 1>1>1 —

\ г Г1 ) ща

ща +1/6'

М ггц

V — -> Ч =

М + ггц' М + т/'

о = 2.92 то,1/3г4, Ь = М1/Зг1,

х, — известный вектор положения тела с массой гщ по отношению к телу с массой М. Параметр ¡л и вектор Ъ выбраны таким образом, чтобы при соударении малого тела с любым из основных тел фиктивный центр совмещался с центром инерции тела, с которым происходит соударение, а масса центра становилась равной массе этого тела. При подборе величин а и Ь использовано определение гравитационной сферы влияния. Уравнения движения (15) дополняются дифференциальным уравнением

1У1/,(аЬ-аЬ) »¡а + г/Ъ.

и=-1-г-- 2-г«, (16)

(¡/¡а + иЬ) ща + иЬ

с помощью которого находятся параметры движения фиктивного центра.

В результате применения регуляризирующего КБ-преобразования и преобразования Сундмана <Й = 11ёт к уравнениям (15) и (16) получается система дифференциальных уравнений движения, которые являются квазилинейными в ближайшей окрестности любого из основных притягивающих тел. Эти уравнения характеризуются существенно лучшим численным поведением при сближениях малого тела с основными телами, чем исходные уравнения движения (14). Вводятся дополнительные масштабирующие функции, с помощью которых осуществляется аналитическое выравнивание длины шага интегрирования при смене системы координат и при изменении массы притягивающего центра.

На примерах моделирования движения тел Солнечной системы показывается, что применение полученных уравнений в численных исследованиях дает целый ряд преимуществ по сравнению с классическими ньютоновскими уравнениями. Эти преимущества особенно велики в задачах

вычисления орбит с большими эксцентриситетами и при изучении движения малого тела в окрестности соударения с массивными телами и выражаются в повышении точности и быстродействия расчетов на ЭВМ.

В заключении перечисляются основные результаты, представленные в диссертационной работе.

В приложениях помещены таблица, два рисунка и формулы, дополняющие материалы отдельных глав.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Концепция фиктивного притягивающего центра с переменной массой и разработанная на ее основе теория промежуточного движения.

2. Новые промежуточные орбиты с касанием первого, второго и третьего порядка.

3. Обобщенные методы Энке специальных возмущений.

4. Численно-аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами промежуточных орбит и экстраполяции по Ричардсону.

5. Универсальный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экст-раполяционной таблицы.

6. Аналитические алгоритмы вычисления матрицы изохронных производных с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит.

7. Методы определения промежуточных возмущенных орбит по двум векторам положения и трем измерениям угловых координат.

8. Обобщенный подход к линеаризации и регуляризации дифференциальных уравнений движения с помощью интегралов.

9. Вывод уравнений движения возмущенной ограниченной задачи трех тел в регуляризирующих КБ-переменных с использованием фиктивного притягивающего центра с переменной массой как центра регуляризации.

10. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов и программ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шефер В. А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеров-ского движения с помощью интегралов // Астрон. журн. 1991. Т. 68. С. 197-205.

2. Шефер В.А. Комплекс программ для исследования движения астероидов и комет, сближающихся с большими планетами // Труды всесоюзного совещания (с международным участием) "Астероидная опасность". 10-11 окт. 1991 г. С.-Петербург, 1992. С. 126-128.

3. Shefer V.A. Equations of perturbed Keplerian motion in a quasi-linear form // Astron. and Astrophys. Trans. 1993. V. 4. P. 39-40.

4. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровско-го движения в четырехмерном параметрическом пространстве // Астрон. журн. 1993. Т. 70. С. 1113-1119.

5. Shefer V.A. Numerical algorithms and programs for investigation of motion of asteroids and comets closely approaching major planets // Astron. and Astrophys. Trans. 1995. V. 8. P. 319-321.

6. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для аппроксимации возмущенного движения. Касание второго порядка // Астрон. журн. 1998а. Т. 75. С. 945-953.

7. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для аппроксимации возмущенного движения. Касание третьего порядка // Астрон. журн. 19986. Т. 75. С. 954-960.

8. Шефер В.А. Обобщенные алгоритмы Энке для вычисления возмущенных орбит // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (доклады всероссийской научной конференции). Томск. 2-4 июня, 1998 г. Изд-во Томского университета. 1998. С. 175-176.

9. Шефер В.А. Обобщенные методы Энке для исследования возмущенного движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ. 1998. Вып. 16. С. 149-171.

10. Shefer V.A. Superosculating intermediate orbits and their application in the problem of investigation of the motion of asteroids and comets // The Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar System Studies (NATO ASI Series) / Eds. A.E.Roy and B.Steves. Dordrecht: Kluwer

Acad. Publ. 1999. P. 71-76.

11. Шефер В. А. Промежуточные орбиты с двумя параметрами для аппроксимации возмущенного движения //"Астрон. вестн. 2000. Т. 34. С. 94-103.

12. Шефер В. А. Фиктивный притягивающий центр как центр регуляризации в возмущенной ограниченной задаче трех тел // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (доклады II всероссийской научной конференции). Томск. 6-8 июня, 2000 г. Изд-во Томского университета. 2000. С. 133-134.

13. Sch&fer W.A. High-accuracy simulation of the motion of asteroids and comets. Numerical aspects // Planetary and Space Science. 2001. V. 49. N. 8. P. 799-802.

14. Shefer V.A. Osculating and superosculating intermediate orbits and their applications // Celest. Mech. and Dyn. Astr. 2002. V. 82. P. 19-59.

15. Shefer V.A. Osculating and superosculating intermediate orbits: theory and applications // Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy / Ed. T.B.Omarov. N.Y.: Nova Science Publ., Inc., 2002. P. 173-219.

16. Shefer V.A. Superosculating intermediate orbits and their applications to study the perturbed motion // Труды ИПА PAH. 2002. Вып. 8. Небесная механика. С. 155-156.

17. Shefer V.A. Determination of preliminary orbits including perturbations // Труды ИПА РАН. 2002. Вып. 8.. Небесная механика. С. 157-158.

18. Шефер В.А. Новые численно-аналитические методы решения уравнений орбитального движения // Астрон. вестн. 2002. Т. 36. С. 565 576.

19. ScKkfer W.A. Determination of perturbed orbits from two positions and three observations // Proc. of the Conf. "Asteroids, Comets, Meteors (ACM 2002)", 29 July - 2 August 2002, Berlin, Germany (ESA SP-500) / Ed. B.Warmbein. Noordwijk: ESA Publ. Div. 2002. P. 339-343.

20. Schafer W.A. Semy-analytical methods for computing the orbits of asteroids and comets // Proc. of the Conf. "Asteroids, Comets, Meteors (ACM 2002)", 29 July - 2 August 2002, Berlin, Germany (ESA SP-500) / Ed. B.Warmbein. Noordwijk: ESA Publ. Div. 2002. P. 345-349.

21. Шефер В.А. Определение дифференциальных коэффициентов услов-

ных уравнений методом дуг сверхоскулируюгцих орбит / / Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (доклады III всероссийской научной конференции). Томск. 2-4 октября, 2002 г. Изд-во Томского университета. 2002. С. 267-268.

22. Шефер В. А. Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения // Астрон. вестн. 2003. Т. 37. С. 265-272.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ источников

Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты для начального участка движения // Определение координат небесных тел. Рига: Изд-во Латв. ГУ, 1981а. С. 3-10.

Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты, аппроксимирующие начальный участок возмущенного движения // Бюлл. ИТА АН СССР. 19816. Т. 15. С. 1-5.

Батраков Ю.В., Мирмахмудов Э.Р. Промежуточные орбиты с одним параметром в задаче определения движения малого тела по наблюдениям // Аналитическая небесная механика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. С. 36-43.

Медведев Ю.Д. Об улучшении орбит комет, сближающихся с большими планетами, с учетом негравитационных эффектов // Л.: 1986. 9 с./ Деп. в ВИНИТИ 20.03.1986. N 2298-В86.

Рой А.Е. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981. 544 с.

Себехей (Szebehely V.). Linearization of dynamical systems using integrals of the motion // Celest. Mech. 1976. V. 14. P. 499-508.

Скрипниченко В.И. О методе Шайка для расчета траекторий, допускающих тесное сближение с возмущающим телом // Материалы симпозиума "Динамика малых тел Солнечной системы", Баку, 12-14 июня 1968. Баку: "ЭЛМ", 1970. С. 9-10.

Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

Шайх (Shaikh N.A.). A new perturbation method for computing Earth-Moon trajectories // Astronaut. Acta. 1966. V. 12. P. 207-211.

Штифель E., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.

Oí кеча laifo в копировальном i(ein pc* "öaiiap" Уминирси1с1ская роща. Московский ipai<i.2 i •i/факс 410-731

l:-niiiil: yr(«!|H>.Nt.ionjica.ni

P 13409

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Шефер, Владимир Александрович

Введение

1 Теория промежуточного движения. Оскулирующие и сверхоскули-рующие орбиты

1.1 История вопроса и вводные замечания.

1.2 Уравнения и параметры промежуточного движения.

1.3 Промежуточные орбиты с касанием первого порядка.

1.4 Промежуточные орбиты с касанием второго порядка.

1.5 Промежуточные орбиты с касанием третьего порядка.

1.6 Решение уравнений промежуточного движения.

1.7 Эффект переменности массы фиктивного притягивающего центра

1.8 Замечания

Введение диссертация по астрономии, на тему "Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой"

2.2 Дифференциальные уравнения в отклонениях. Проблема вычитания почти равных величин .51

2.3 Вычисление возмущенной орбиты.53

2.4 Исследование эффективности методов.54

2.5 Основные результаты и выводы.69

3 Численно-аналитические методы решения уравнений орбитального движения 71

3.1 Пошаговая аппроксимация возмущенного движения дугами промежуточных орбит.71

3.2 Экстраполяционные методы.74

3.3 Комбинированное управление порядком и длиной шага.75

3.4 Применение методов и сравнение с другими алгоритмами.76

3.5 Основные результаты и выводы.81

Алгоритмы вычисления изохронных производных. Применение в задаче улучшения орбит 83

4.1 Вводные замечания.83

4.2 Уравнения в вариациях для промежуточного движения. Представление решения в универсальных переменных.84

4.3 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием первого порядка . 89

4.4 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием второго порядка . 90

4.5 Решение в случае промежуточной орбиты с касанием третьего порядка 92

4.6 Процедура получения решения на больших интервалах времени . 93

4.7 Исследование эффективности алгоритмов.95

4.8 Применение в задаче дифференциального исправления орбит астероидов .101

4.9 Основные результаты и выводы.106

Методы определения предварительной орбиты 108

5.1 Введение .108

5.2 Основные соотношения для промежуточного движения.109

5.3 Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения.112

5.4 Определение промежуточной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере.118

5.5 Численные эксперименты.121

5.6 Замечания .131

5.7 Основные результаты и выводы.132

Линеаризация и регуляризация дифференциальных уравнений движения. Фиктивный притягивающий центр как центр регуляризации 135

6.1 Введение .135

6.2 Постановка задачи линеаризации и регуляризации уравнений кеплеров-ского движения с помощью интегралов.137

6.3 Решение для случая трехмерного параметрического пространства . . . 139

6.4 Решение для случая четырехмерного параметрического пространства . 142

6.5 Регуляризированные уравнения возмущенного кеплеровского движения 144

6.6 Использование фиктивного притягивающего центра как центра регуляризации в возмущенной ограниченной задаче трех тел.150

6.7 Исследование эффективности алгоритмов.158

6.8 Основные результаты и выводы.175

Заключение 177

Литература 182

Приложения 193

Приложение 1 .194

Приложение 2 .195

Приложение 3 .198

Приложение 4 .200

Приложение 5 .202

Введение

Проблема изучения движения малых тел Солнечной системы всегда занимала одно из центральных мест в прикладной небесной механике. В последние 10-15 лет интерес к этой проблеме еще более возрос. Основной причиной такого внимания стало осознание научными кругами и широкой общественностью меры той опасности, которую представляют столкновения Земли с астероидами и кометами (Медведев и др., 1996). Другой причиной, во многом связанной с первой, послужили массовые открытия новых малых планет. Причем их продолжают открывать с каждым годом все больше и больше. Это оказалось возможным благодаря осуществлению ряда крупных проектов по обнаружению космических тел, сближающихся с Землей, а также широкому применению электронно-оптических методов наблюдений (в первую очередь ПЗС-технологий) и современных средств компьютерной обработки измерительной информации. Успешное выполнение программ по изучению малых'тел с помощью космических аппаратов и решение проблем, связанных с астероидно-кометной опасностью, предъявляют особенно высокие требования к точности и оперативности определения пространственных положений интересующих нас объектов. Это придает чрезвычайную актуальность работам по дальнейшему совершенствованию уже имеющихся и созданию новых эффективных методов исследования движения малых тел Солнечной системы на основе высокоточных наблюдательных данных.

Сложный характер движения большинства малых планет и почти всех комет делает практически невозможным или крайне трудоемким применение аналитических методов исследования. Особенно большие проблемы вызывают сближения с большими планетами и их спутниками. Это приводит к необходимости использовать численные методы, которые, как правило, отличаются простотой и надежностью. Однако, применение последних также наталкивается на ряд трудностей, поскольку классические ньютоновские уравнения движения сингулярны в точках соударений гравитирующих масс, а решения этих уравнений неустойчивы в смысле Ляпунова (Штифель, Шейфеле, 1971). Кроме того, численное интегрирование дифференциальных уравнений небесной механики для больших интервалов изменения независимой переменной может потребовать значительных затрат машинного времени. Поэтому наиболее эффективное решение задач, связанных с изучением движения рассматриваемых небесных тел, следует искать в рациональном сочетании численного и аналитического подходов.

Для достижения указанной цели выбирается подход, основанный на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой и специальных преобразований дифференциальных уравнений движения, таких, как преобразование Энке, линеаризирующие и регуляризирующие преобразования. Реализация этого подхода включает в себя постановку и решение следующих основных задач: построение новых соприкасающихся с реальной возмущенной траекторией промежуточных орбит, лучше аппроксимирующих начальный участок движения, чем оскулирующая кеплеровская орбита и аналогичные орбиты других авторов; вывод дифференциальных уравнений в отклонениях реального движения от промежуточного опорного, обобщающих уравнения классического метода Энке вычисления возмущенной траектории; конструирование новых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения, в которых решение представляется последовательностью малых дуг промежуточных орбит, и использование их в качестве опорных методов при построении, экстраполяционных алгоритмов; разработка новых алгоритмов вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям (изохронные производные) на основе формул для соприкасающихся орбит; определение промежуточных возмущенных орбит по минимальному числу позиционных измерений; получение уравнений движения в регуляризирующих переменных относительно подвижного фиктивного центра с переменной массой в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел; исследование эффективности новых методов в сравнении с наиболее часто применяемыми на практике алгоритмами.

Научная новизна работы. Все основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые. Новизна исследования состоит в следующем. 1. Разработана теория промежуточного движения, опирающаяся на предложенную автором идею ввода фиктивного притягивающего центра с изменяющимся со временем гравитационным параметром.

2. На основе разработанной теории построены новые промежуточные орбиты некеп-леровского типа с касанием первого, второго и третьего порядка к траектории реального движения (оскулирующие и сверхоскулирующие промежуточные орбиты). Теоретически и практически показано, что построенные орбиты обеспечивают в своем классе орбит, определяемом порядком касания, наивысшую точность аппроксимации возмущенного движения на начальном участке траектории.

3. Обобщен классический метод Энке специальных возмущений путем замены ос-кулирующей кеплеровской опорной орбиты на построенные автором промежуточные орбиты.

1. Получены простые методы решения уравнений орбитального движения первого, второго и третьего порядков точности, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами промежуточных орбит.

6. Построены алгоритмы вычисления матрицы изохронных производных с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. Доказано, что при использовании этих алгоритмов повышение точности вычисления изохронных производных на заданном промежутке времени путем сокращения интервала применения промежуточной орбиты возможно только в том случае, когда порядок касания промежуточной орбиты выше первого.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в следующем.

Построенный автором рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстрапо-ляционной таблицы можно применить для разработки экстраполяционных методов решения широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений при условии, что опорный метод удовлетворяет определенным требованиям (Хайрер и др., 1987).

Разработанный автором алгоритмический аппарат и его программная реализация могут быть успешно применены для решения разнообразных задач, связанных с определением, уточнением и интегрированием орбит астероидов, комет и искусственных небесных тел. Результаты исследования эффективности алгоритмов и программ можно использовать в аналогичных исследованиях при выявлении практических преимуществ той или иной методики.

Параметры движения астероидов (145) Адеона, (1566) Икар и (4179) Тоутатис, полученные в результате применения процедуры улучшения орбит, могут быть приняты за основу при подготовке рабочих эфемерид для дальнейших наблюдений этих объектов и обработки результатов этих наблюдений.

Полученные в работе результаты могут найти применение во всех научных учреждениях, где занимаются изучением движения малых тел Солнечной системы и динамикой космического полета, а также в учебном процессе вузов, где преподаётся небесная механика и динамическая астрономия.

По теме диссертации имеются 22 публикации (Шефер, 1991, 1992, 1993а, б; 1995, 1998а-г; 1999, 2000а, б; 2001, 2002а-з; 2003а), отражающие основные результаты работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на 16 научных конференциях различного уровня, в том числе на 10 международных и с международным участием.

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

6.8 Основные результаты и выводы

Изложенная в данной главе процедура преобразования дифференциальных уравнений невозмущенного и возмущенного кеплеровского движения сочетает в себе применение таких эффективных методов, улучшающих свойства этих уравнений, как линеаризация и регуляризация уравнений движения задачи двух тел, а также выравнивание времени. Последний эквивалентен аналитическому регулированию длины шага в процессе численного интегрирования. Были привлечены все независимые интегралы движения задачи двух тел совместно с преобразованиями времени и координат. В качестве примеров преобразований использованы хорошо зарекомендовавшие себя на практике классическое временное преобразование Сундмана и координатное KS-преобразование, а также их обобщения. Приведены системы регуляризированных дифференциальных уравнений, описывающие орбитальное движение в трехмерном и четырехмерном параметрических пространствах.

Помимо возмущенного кеплеровского движения рассмотрено движение малого тела в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел. Выведены уравнения движения малого тела в системе координат, связанной с фиктивным притягивающим центром. Компоненты вектора положения фиктивного центра в исходной барицентрической системе координат и масса фиктивного центра являются величинами переменными, определяемыми рядом граничных условий. К выведенным уравнениям движения применены KS-преобразование и преобразование Сундмана. Полученные в результате преобразований дифференциальные уравнения движения являются квазилинейными в ближайшей окрестности любого из основных притягивающих тел.

Предложены дополнительные масштабирующие множители, позволяющие выравнивать шаг интегрирования при смене системы координат и при изменении массы притягивающего центра. ф Применение полученных уравнений в аналитических и численных исследованиях дает целый ряд преимуществ по сравнению с классическими ньютоновскими уравнениями. Выполненные нами эксперименты показывают, что эти преимущества особенно велики в задачах вычисления орбит с большими эксцентриситетами и при изучении движения малого тела в окрестности соударения с массивными телами. Они выражаются в повышении точности и быстродействия расчетов на ЭВМ. Выбор той или иной системы преобразованных дифференциальных уравнений определяется типом вычисляемой орбиты, длительностью интервала исследования, наличием тесных сближений, моделью возмущающих сил, методом численного интегрирования и др.

Заключение

1. Предложена идея фиктивного притягивающего центра с переменной массой, на основе которой развита новая теория промежуточного движения. Промежуточное движение, аппроксимирующее реальное возмущенное движение малого тела, рассматривается как комбинация двух движений: движения фиктивного притягивающего центра и движения относительно фиктивного центра. Первое в общем случае допускается прямолинейным и равномерным, а второе описывается уравнениями возмущенной задачи Гюльдена-Мещерского с касательными возмущениями специального вида. Предполагается, что изменение гравитационного параметра фиктивного центра подчиняется дифференциальному закону Эддингтона-Джинса. Определены параметры промежуточного движения и найдены преобразования, позволяющие свести решение исходной нестационарной задачи к решению классической задачи двух тел с постоянными массами в пространстве новых переменных.

2. Построены новые классы промежуточных орбит, имеющих касание первого, второго и третьего порядка к траектории реального движения. Эти орбиты лучше аппроксимируют возмущенное движение на начальном участке траектории, чем оскулирующая кеплеровская орбита и аналогичные орбиты других авторов. Показано, что среди множества промежуточных орбит, определяемых параметрами промежуточного движения, построенные орбиты являются самыми точными. Чем больше порядок касания к возмущенной траектории и меньше угол наклона орбитальной плоскости исследуемого тела к плоскости, в которой действуют основные возмущающие силы, тем выше точность аппроксимации нашими орбитами реального движения. В случае плоского возмущенного движения порядок касания промежуточных орбит автоматически повышается на одну или две единицы. Получены все необходимые формулы для решения уравнений промежуточного движения, пригодные как для положительных, так и для отрицательных значений гравитационного параметра фиктивного центра. Практическая ценность полученных формул повышена, благодаря использованию преобразований, позволяющих избежать потери значащих цифр при вычислении разностей почти равных величин в окрестности эпохи оскуляции. Рассмотрены частные случаи сверхоскулирующих промежуточных орбит, построение которых позволяет ограничиться формулами эллиптического движения.

3. Предложены обобщенные методы Энке, основанные на дифференциальных уравнениях в отклонениях реального движения от опорного промежуточного. Эти уравнения получены с использованием основных формул для введенного нами промежуточного движения. Указаны приемы и приведены соотношения, с помощью которых удается разрешить разностные неопределенности, возникающие при вычитании в правых частях уравнений в отклонениях двух почти равных векторов и скаляров. Изложена процедура вычисления возмущенной орбиты с помощью предложенных методов. Показано, что более высокая эффективность этой процедуры по сравнению с классическим алгоритмом Энке обеспечивается существенно меньшими значениями правых частей уравнений в отклонениях для обобщенных методов в окрестности эпохи спрямления опорной орбиты. Даны рекомендации по выбору метода численного интегрирования уравнений в отклонениях и по упрощению алгоритма построения опорной промежуточной орбиты в случае сложной структуры возмущений. Выполнены численные эксперименты, подтверждающие теоретические выводы о высокой эффективности построенных промежуточных орбит при аппроксимации возмущенного движения в окрестности эпохи оскуляции. Показано, что использование этих орбит в предложенных обобщениях метода Энке приводит к повышению точности вычислений и экономии машинного времени по сравнению с интегрированием классических уравнений в отклонениях в форме Энке.

4. Получены методы решения уравнений орбитального движения первого, второго и третьего порядков точности, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. С помощью правила Рунге оценки локальной погрешности построены экстраполяционные методы второго, третьего и четвертого порядков с переменной длиной шага. На примерах решения уравнений движения малых планет и комет показано, что перечисленные методы обладают целым рядом преимуществ по сравнению с классическим методом Рунге-Кутты четвертого порядка и методом Рунге-Кутты-Фельберга четвертого (пятого) порядков.

5. Разработаны новые экстраполяционные алгоритмы с переменной длиной шага и переменным порядком, использующие полученные пошаговые методы первого, второго и третьего порядков в качестве опорных методов. В основу экстраполяцион-ной схемы положен универсальный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы, применимый для опорного метода произвольного порядка. С помощью численных примеров показано, что при высоких требованиях к

6. Предложены аналитические методы вычисления матрицы частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. Решения для параметров промежуточного движения и частных производных от этих параметров представлены в универсальной форме, применимой для любых типов возмущенных кеплеров-ских орбит. Эти решения применимы также и в тех случаях, когда масса притягивающего центра отрицательна. Разработаны пошаговые алгоритмы, совмещенные с построенными обобщенными методами Энке специальных возмущений или численно-аналитическими методами, позволяющие получить решения уравнений движения и уравнений в вариациях на больших интервалах времени. Эти алгоритмы точнее существующих аналогичных алгоритмов, основанных на решениях для кеплеровской оскулирующей орбиты и промежуточной орбиты с одним дополнительным параметром. Теоретически показано и практически подтверждено, что в такого рода алгоритмах повышение точности вычисления изохронных производных на заданном промежутке времени путем сокращения интервала применения промежуточной орбиты возможно только в том случае, когда промежуточная орбита имеет касание выше первого порядка. Решена задача дифференциального исправления орбит ряда астероидов по данным наблюдений. Показано, что даже в самых сложных случаях возмущенного движения алгоритмы, использующие сверхоскулирующие орбиты с касанием второго и третьего порядка, позволяют определить дифференциальные коэффициенты условных уравнений с необходимой точностью. При этом затраты машинного времени по сравнению с численным интегрированием дифференциальных уравнений движения и уравнений в вариациях сокращаются в несколько раз.

7. Разработан метод определения промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения и соответствующему интервалу времени. Доказано, что предельные значения параметров построенной орбиты при стремящемся к нулю опорном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием третьего порядка к реальной траектории. На численных примерах показано, что построенная промежуточная орбита существенно лучше аппроксимирует реальную возмущенную траекторию в окрестности опорных эпох, чем кеплеровская орбита задачи двух тел. Примеры подтверждают теоретический вывод о том, что скорость сходимости к точ

8. Предложен новый метод определения предварительной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере и соответствующим им моментам времени с учетом основной части возмущений. Выполнено численное исследование по сравнению нового метода и классического метода Лагранжа-Гаусса. Показано, что погрешности методов, основанных на формулах невозмущенной задачи двух тел, становятся фиксированными и не уменьшаются с сокращением опорной дуги траектории. Методические ошибки предложенного способа определения орбиты в этом случае уменьшаются прямо пропорционально квадрату опорного интервала времени. Чем выше точность используемых наблюдений, расположенных на достаточно короткой дуге, тем выше точность аппроксимации реального движения построенной новым методом орбитой.

9. Обобщен подход Себехея к линеаризации и регуляризации уравнений движения задачи двух тел с помощью интегралов путем ввода дополнительно к временному преобразованию преобразования координат. В процедуру линеаризации и регуляризации включены все независимые интегралы движения задачи двух тел. В качестве примеров преобразований рассмотрены временное преобразование Сундмана и координатное KS-преобразование, а также их обобщения, приводящие к уравнениям орбитального движения в трехмерном и четырехмерном параметрических пространствах. Предложенная процедура преобразования дифференциальных уравнений применена как к уравнениям невозмущенного, так и возмущенного кеплеровского движения.

10. В рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел выведены уравнения движения малого тела в системе координат, связанной с фиктивным притягивающим центром. Компоненты вектора положения и масса фиктивного центра определены как функции времени из ряда граничных условий. С помощью KS-преобразования и преобразования Сундмана получена система дифференциальных уравнений движения, которые являются квазилинейными в ближайшей окрестности любого из основных притягивающих тел. Введены дополнительные масштабирующие множители, с помощью которых осуществляется аналитическое выравнивание длины шага интегрирования при смене системы координат и при изменении массы притягивающего центра. На примерах показано, что применение полученных уравнений в численных исследованиях дает целый ряд преимуществ по сравнению с классическими ньютоновскими уравнениями. Эти преимущества особенно велики в задачах вычисления орбит с большими эксцентриситетами и при изучении движения малого тела в окрестности соударения с массивными телами и выражаются в повышении точности и быстродействия расчетов на ЭВМ.

Предложенные в работе методы и вычислительные алгоритмы могут быть успешно использованы для исследования возмущенного движения малых тел Солнечной системы, позволяя решать такие важные практические задачи, как определение предварительной орбиты, вычисление краткосрочных эфемерид, улучшение начальных параметров движения и высокоточное прогнозирование движения на больших интервалах времени.

Завершая изложение диссертационной работы, автор выражает глубокую признательность коллегам из отдела астрометрии и небесной механики НИИ прикладной математики и механики при Томском госуниверситете, с которыми ему предоставилась счастливая возможность работать после окончания университета. Особая благодарность — руководителю отдела, проф. Т.В.Бордовицыной, за поддержку избранного направления работы, помощь и добрые советы. Автор признателен также проф. Ю.В.Батракову за постоянное внимание к данной работе и ряд полезных советов.

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, доктора физико-математических наук, Шефер, Владимир Александрович, Томск

1. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 360 с.

2. Арушанян О.Б., Залетпкин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.

3. Бартпник и др. (Bartnik Е.А., Haberzettl Н., Sandhas W.). Equations of motion using the dynamical evolution of the Runge-Lenz vector // Astrophys. J. 1988. V. 334. P. 517526.

4. Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты для начального участка движения // Определение координат небесных тел. Рига: Изд-во Латв. ГУ, 1981а. С. 3-10.

5. Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты, аппроксимирующие начальный участок возмущенного движения // Бюлл. ИТА АН СССР. 19816. Т. 15. С. 1-5.

6. Батраков Ю.В., Макарова Е.Н. Обобщенный метод Энке для изучения возмущенного движения // Бюлл. ИТА АН СССР. 1979. Т. 14. С. 397-401.

7. Батраков Ю.В., Мирмахмудов Э.Р. Промежуточные орбиты с одним параметром в задаче определения движения малого тела по наблюдениям // Аналитическая небесная механика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990. С. 36-43.

8. Баумгарте, Штифель (Baumgarte J., Stiefel Е.). Examples of transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations // Lect. Notes Math.

9. Бонд (Bond V.R.). The uniform, regular differential equations of the KS transformedperturbed two-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 303-318. Бонд (Bond V.R.). A transformation of the two-body problem // Celest. Mech. 1985. V. 35. P. 1-7.

10. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики.

11. Гребеников E.A. Задача трех тел // Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г.Н.Дубошина. М.: Наука, 1976. С. 524-553.

12. Грэгг (Gragg W.B.). On extrapolation algorithms for ordinary initial value problems // SIAM J. Num. Anal. 1965. ser. В. V. 2. P. 384-403.

13. Гудияр (Goodyear W.H.). Completely general closed-form solution for coordinates and partial derivatives of the two-body problem // Astron. J. 1965. V. 70. P. 189-192. Ш Гюлъден (Gylden H.). Die Bahnbewegungen in einem Systeme von zwei Korpern in dem

14. Falle, dass die Massen Veranderungen unterworfen sind // Astron. Nachr. 1884. Bd. 109. N. 2593. S. 1-6.

15. Двайтп (Dwight H.B.). Tables of Integrals and Other Mathematical Data. N.Y.: The Macmillan Company, 1961. (Русский перевод: Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978. 224 е.).

16. Депри и dp. (Deprit A., Elipe A., Ferrer S.). Linearization vs. Stiefel // Celest. Mech. and Dyn. Astr. 1994. V. 58. P. 151-201. ^ Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука,1964. 560 с.

17. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

18. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука, 1983. 352 с.

19. Дубяго А.Д. Определение орбит. M.-JL: ГИТТЛ, 1949. 444 с.

20. Извеков В.А. Об улучшении орбит малых планет с учетом возмущений // Бюлл. ИТА АН СССР. 1967. Т. 11. С. 48-56.

21. Кайнер, Беннетп (Kyner W.T, Bennett М.М.). Modified Encke special perturbation method // Astron. J. 1966. V. 71. P. 579-582.

22. Каула (Kaula W.M.). Theory of Satellite Geodesy. Waltham, Mass.-Toronto-London: Blaisdell Publ. Co., 1966. (Русский перевод: Каула У. Спутниковая геодезия. Теоретические основы. М.: Мир, 1970. 172 е.).

23. Красинский Г.А., Мерман Г.А. Качественные методы небесной механики // Итоги науки и техники. Астрономия. 1975. Т. 11. С. 7-45.

24. Крейг и dp. (Kraige L.G., Junkins J.L., Ziems L.D.). Regularized integration of gravity-perturbed trajectories — a numerical efficiency study //J. Spacecraft and Rockets.1982. V. 19. P. 291-293.

25. Кустаанхеймо, Штифель (Kustaanheimo P., Stiefel E.). Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Angew. Math. 1965. V. 218. P. 204-219.

26. Kymma (Kntta W.). Beitrag zur naherungsweisen Integration totaler Differentialgleichun-gen // Zeitschr. fur Math, und Phys. 1901. Bd. 46. S. 435-453.

27. Лагранж (Lagrange J.L.). Sur le probleme de la determination des orbites des cometes, d'apres trois observations. Nouv. Mem. Acad. Roy. Sci. et Belles-Lettres. Berlin, 1778.

28. Леви-Чивита (Levi-Civita Т.). Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Math. 1903. V. 9. P. 1-32.

29. Марсден (Marsden B.G.). Catalogue of Cometary Orbits. 4th edition. Cambridge, Mass.: Smithsonian Astrophysical Observatory, 1982.

30. Медведев Ю.Д. Об улучшении орбит комет, сближающихся с большими планетами, с учетом негравитационных эффектов // JI.: 1986. 9 с./ Деп. в ВИНИТИ 20.03.1986. N 2298-В86.

31. Медведев Ю.Д., Свешников М.Л., Сокольский А.Д., Тимошкова Е.И., Чернетпенко Ю.А., Черных Н.С., Шор В.А. Астероидно-кометная опасность. СПб: Изд-во ИТА-РАН, 1996. 244 с.

32. Мещерский (Mestschersky I.W.). Ein Specialfall des Gyldenschen Problemes // Astron. Nachr. 1893. Bd. 132. N. 3153. S. 129-130.

33. Мещерский (Mestschersky I.W.). Uber die Integration der Bewegungsgleichungen in Probleme zweier Korper von veranderlichen Masse // Astron. Nachr. 1902. Bd. 159. N. 3807. S. 229-242.

34. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.: ГИТТЛ, 1952. 280 с.

35. Мирмахмудов Э.Р. Об использовании промежуточных орбит для определения движения малого тела // Кинематика и физика небесных тел. 1990. Т. 6. N 4. С. 23-28.

36. Мухаметпкалиева Р. К. К вопросу об исследовании нестационарного аналога интеграла Лапласа // Тр. Астрофиз. ин-та АН Каз. ССР. 1988. Т. 49. С. 74-76.

37. Мячин В. Ф. Регуляризация двойных соударений в задаче N-тел и ее применение к численному интегрированию уравнений небесной механики // Бюлл. ИТА АН СССР. 1974. Т. 13. С. 482-500.

38. Накози (Nacozy P.). A discussion of time transformations and local truncation errors // Celest. Mech. 1976. V. 13. P. 495-501.

39. Нъюхолл и др. (Newhall Х.Х., Standish Е.М., Williams J.G.). DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys. 1983. V. 125. P. 150-167.

40. Нумеров (Noumeroff В.). Methode nouvelle de la determination des orbites et le calcul des ephemerides en tenant compte des perturbations // Тр. Главн. росс, астрофиз. обсер. 1923а. Т. 2. С. 188-288.

41. Нумеров Б. В. Новый метод определения орбит и вычисления эфемерид с учетом возмущений// Тр. АО Петрогр. ун-та. 19236. Т. 4. С. 29-39.

42. Оделл, Гудинг (Odell A.W., Gooding R.H.). Procedures for solving Kepler's equation // Celest. Mech. 1986. V. 38. P. 307-334.

43. Омаров Т. Б. Динамика гравитирующих систем Метагалактики. Алма-Ата: Наука, 1975. 144 с.

44. Питпкин (Pitkin Е.Т.). Second transition partial derivatives via universal variables // J. Astronaut. Sci. 1966. V. 13. P. 204-207.

45. Полещиков C.M., Холопов А.А. Теория L-матриц и регуляризация уравнений движения в небесной механике. Сыктывкар: СЛИ, 1999. 255 с.

46. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука, 1986. 304 с.

47. Поляхова Е.Н. Небесномеханические аспекты задачи двух тел с переменными массами: современное состояние проблемы // Астрон. журн. 1994. Т. 71. С. 321-331.

48. Постоев А.И. Применение метода вариации гелиоцентрических координат Б.В.Нуме-рова к определению элементов планеты Емма (283) // Русс, астрон. журн. 1926. Т. 3. Вып. 2. С. 103-127.

49. Рабинович и др. (Rabinowitz D.L., Bowell Е., Shoemaker Е.М., and Muinonen К.). The population of Earth-crossing asteroids // Hazards Due to Comets and Asteroids / Ed. T.Gehrels. Tucson: University of Arizona Press, 1994. P. 285-312.

50. Радзиевский В.В., Гельфгатп Б.Е. Об ограниченной задаче двух тел переменной массы // Астрон. журн. 1957. Т. 34. С. 581-587.

51. Рой (Roy А.Е.). Orbital Motion. Bristol: Adam Hilger Ltd, 1978. (Русский перевод: Рой А.Е. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981. 544 е.).

52. Савченко В. В. Численное интегрирование уравнений движения комет и планет методом Эверхарта // Препринт ИПМ АН СССР. 1982. N 161. 20 с.

53. Самойлова-Яхонтова Н. С. История открытия и исследования малых планет // Малые планеты / Под ред. Н.С.Самойловой-Яхонтовой. М.: Наука, 1973. С. 7-21.

54. Себехей (Szebehely V.). Theory of Orbits. New York, London: Academic Press, 1967.

55. Русский перевод: Себехей В. Теория орбит. М.: ИЛ, 1982. 656 е.). Себехей (Szebehely V.). Linearization of dynamical systems using integrals of the motion

56. Celest. Mech. 1976. V. 14. P. 499-508. Силъвер (Silver M.). A short derivation of the Sperling-Burdet equations // Celest. Mech.1975. V. 11. P. 39-41. Симоненко A.H. Астероиды. M.: Наука, 1985. 208 с.

57. Стпендиш (Standish E.M.). Orientation of the JPL Ephemerides, DE200/LE200, to the

58. Фелъберг (Fehlberg Е.). Klassische Runge-Kutta Formeln fiinfter und siebenter Ordnung mit schritweiten Kontroll // Computing. 1969. V. 4. P. 93-106.

59. Фукушима (Fukushima Т.). Fast procedure solving universal Kepler's equation // Celest. Mech. and Dyn. Astr. 1999. V. 75. P. 201-226.

60. Хаджидеметприу (Hadjidemetriou J.). Two-body problem with variable mass: a new approach // Icarus. 1963. V. 2. P. 440-451.

61. Хегги (Heggie D.C.). A global regularization of the gravitational N-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 217-242.

62. Херрик (Herrick S.). Astrodynamics. London-New York-Cincinnati-Toronto-Melbourne: Van Nostrand Reinhold Co., 1971. Vol. 1, 1972. Vol. 2. (Русский перевод: Херрик С. Астродинамика. М.: Мир, 1976. Т. 1. 320 е., 1977. Т. 2. 264 е., 1978. Т. 3. 360 е.).

63. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.: Наука, 1965. 368 с.

64. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. 1985. 36 с. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85, N 8628-В.

65. Черницов A.M. Анализ некоторых упрощенных схем определения оценок параметров движения небесных тел // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1975. Вып. 12. С. 6-12.

66. Шараф М., Шараф A. (Sharaf М.А., Sharaf А.А.). Closest approach in universal variables // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1998. V. 69. P. 331-346.

67. Шайх (Shaikh N.A.). A new perturbation method for computing Earth-Moon trajectories // Astronaut. Acta. 1966. V. 12. P. 207-211.

68. Шарлъе (Charlier C.L.). Die Mechanik des Himmels. Berlin, Leipzig: Walter de Gruyter Sz Co., 1927. (Русский перевод: Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.).

69. Шефер В. А. Алгоритм численного исследования движения особых малых планет, основанный на двойной регуляризации уравнений движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ. 1980. Вып. 8. С. 81-91.

70. Шефер В.А. Исследование движения особой малой планеты Икар // Бюлл. ИТА АН СССР. 1984. Т. 15. С. 347-349.

71. Шефер В.А. Регуляризирующие и стабилизирующие преобразования в задаче исследования движения особых малых планет и комет / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Томск: НИИ ПММ при ТГУ. 1986. 187 с.

72. Шефер (Shefer V.A.). Application of KS-transformation in the problem of investigation of the motion of unusual minor planets and comets // Celest. Mech. and Dyn. Astr. 1990. V. 49. P. 197-207.

73. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровского движения с помощью интегралов // Астрон. журн. 1991. Т. 68. С. 197-205.

74. Шефер В.А. Комплекс программ для исследования движения астероидов и комет, сближающихся с большими планетами // Труды всесоюзного совещания (с международным участием) "Астероидная опасность". 10-11 окт. 1991 г. С.-Петербург, 1992. С. 126-128.

75. Шефер (Shefer V.A.). Equations of perturbed Keplerian motion in a quasi-linear form // Astron. and Astrophys. Trans. 1993a. V. 4. P. 39-40.

76. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровского движения в четырехмерном параметрическом пространстве // Астрон. журн. 19936. Т. 70. С. 1113-1119.

77. Шефер (Shefer V.A.). Numerical algorithms and programs for investigation of motion of asteroids and comets closely approaching major planets // Astron. and Astrophys. Trans. 1995. V. 8. P. 319-321.

78. Шефер В.А. Построение теорий движения и расчет эфемерид объектов, сближающихся с Землей в период до 2005 года // Отчет о научно-исследовательской работе, шифр "Алинда" / Науч. рук. Т.В.Бордовицына. Томск: НИИ ПММ при ТГУ. 1996. С. 22-59.

79. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для аппроксимации возмущенного движения. Касание второго порядка // Астрон. журн. 1998а. Т. 75. С. 945-953.

80. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для аппроксимации возмущенного движения. Касание третьего порядка // Астрон. журн. 19986. Т. 75. С. 954-960.

81. Шефер В.А. Обобщенные алгоритмы Энке для вычисления возмущенных орбит //

82. Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (доклады всероссийской научной конференции). Томск. 2-4 июня, 1998 г. Изд-во Томского университета. 1998в. С. 175-176.

83. Шефер В. А. Обобщенные методы Энке для исследования возмущенного движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ. 1998г. Вып. 16. С. 149-171.

84. Шефер В.А. Промежуточные орбиты с двумя параметрами для аппроксимации возмущенного движения // Астрон. вестн. 2000а. Т. 34. С. 94-103.

85. Шефер (Schafer W.A.). High-accuracy simulation of the motion of asteroids and comets. Numerical aspects // Planetary and Space Science. 2001. V. 49. N. 8. P. 799-802.

86. Шефер (Shefer V.A.). Osculating and superosculating intermediate orbits and their applications 11 Celest. Mech. and Dyn. Astr. 2002a. V. 82. P. 19-59.

87. Шефер (Shefer V.A.). Osculating and superosculating intermediate orbits: theory and applications // Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy / Ed. T.B.Omarov. N.Y.: Nova Science Publ., Inc., 20026. P. 173-219.

88. Шефер (Shefer V.A.). Superosculating intermediate orbits and their applications to study the perturbed motion // Труды ИПА РАН. 2002в. Вып. 8. Небесная механика. С. 155-156.

89. Шефер (Shefer V.A.). Determination of preliminary orbits including perturbations // Труды ИПА РАН. 2002г. Вып. 8. Небесная механика. С. 157-158.

90. Шефер В.А. Новые численно-аналитические методы решения уравнений орбитального движения // Астрон. вестн. 2002д. Т. 36. С. 565-576.

91. Эйлер (Euler L.). De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Nov.

92. Comm. Acad. Sci. Petrop. 1765. V. 11. P. 144-151. Энке (Encke J.F.). Uber eine neue Methode der Berechnung der Planetenstorungen //

93. Astron. Nachr. 1852a. Bd. 33. N. 791-792. S. 377-398. Энке (Encke J.F.). Neue Methode zur Berechnung der speciellen Stcirungen in Nr. 791 und 792 der Astronomisches Nachrichten // Astron. Nachr. 18526. Bd. 34. N. 814. S. 349-360.

94. Энке (Encke J.F.). Uber die Berechnung der speciellen Storungen // Berliner Astronomisches Jahrbuch fiir 1857. Berlin: Konigliche Akademie der Wissenschaften, 1855. S. 307-335.