Периодические решения ограниченной эллиптической задачи трех тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК 521.13

ЕВТЕЕВ Владимир Павлович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

^ Специальность 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—1993

Работа выполнена в Великолукском сельскохозяйственном институте

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор М. С. Яров-Яровой.

гелии ч-еасчх

Доктор фиат», мптаиптиимкит, ияук, профессор С. Н. Яшкин.

Доктор физико-математических наук И. А. Герасимов.

Ведущая организация — институт теоретической астрономии АНРФ.

Защита состоится в. час.

на заседании специализированного совета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, шифр Д 053.05.51.

Адрес: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, дом 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им.' П. К- Штернберга МГУ (Москва, Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан « ^ » _1 _19£И? г.

1

Ученый секретарь специализированного совета,

канд. физ.-мат. наук л. Н. БОНДАРЕН КО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Для различных астрономических задач представляют интерес либрационные и близкие к ним периодические и квазипериодические решения ограниченной задачи трех тел. До последнего времени ограничивались в основном исследованием круговой ограниченной задачи трех тел, уравнения движения в которой автономны, а стало быть, и более легко подвергаются анализу.

Однако даже беглый взгляд на динамические характеристики орбит тел Солнечной системы убеждают нас в необходимости рассмотреть более общий вариант этой задачи — эллиптическую задачу трех тел. В самом деле, эксцентриситет орбиты Луны составляет заметную величину 0,0549, а Меркурия и Плутона соответственно 0,2056 и 0,2486.

Уже в этих случаях в качестве промежуточных характеристик лучше рассматривать орбиты не круговой .задачи трех тел, а эллиптической задачи, так как возмущающий эффект эллиптичности орбит притягивающих масс для таких задач достаточно велик. Вполне очевидно ее большое практическое значение. Одна из причин сложности анализа этой задачи кроется в неавтономности ее уравнений движения, поэтому традиционные методы. исследования здесь, как правило, не применимы.

Наиболее обоснованный путь исследования эллиптической задачи трех тел обеспечивают различные методы осреднения Боголюбова-Крылова. Большой интерес представляет осреднение по схеме Н. Ф. Рейн, где усредняется только часть силовой функции, которой эллиптическое движение притягивающих масс отличается от кругового.

Как известно, ограниченная задача трех тел имеет пять равновесных решений, два из которых называются треугольными, а три остальных — коллинеарными точками либрации. В окрестности этих положений относительного равновесия в соответствующих модельных задачах находятся Троянцы, газово-пылевые облака Кордилевского, некоторые космические аппараты. Интерес к точкам либрации чрезвычайно возрос в связи с практическими потребностями космических исследований. Все чаще подчеркивается важность динамических свойств; точек либрации в астрономии, равно как и в космонавтике.

Задача о точках либрации имеет и общетеоретический интерес. При решении ряда' вопросов о точках либрации были созданы новые качественные, аналитические и численные метбды исследова-

ния сложных систем, которые применимы во многих задачах астрономии, механике и математике.

Для ограниченной круговой задачи они исследовались обстоятельно и неоднократно во многих работах Е. П. Аксенова, Ю. А. Рябова, В. Г. Демина, А. Депри, В. Себехея и т. д. Для ограниченной эллиптической задачи трех тел эти вопросы на основе линеаризованных уравнений с достаточной полнотой изучены в работах А. П. Маркеева. Однако для ограниченной эллиптической задачи трех тел в целом указанные проблемы в настоящее время остаются открытыми.

Цель работы. В рамках плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел исследовать вопросы существования периодических, решений в окрестности точек либрации и указать способы их построения. Построенные периодические решения могут быть использованы, как промежуточные орбиты, подобно тому как это делает Хилл с вариационной кривой в теории движения Луны.

Методы исследования. Используются методы теории ветвления Ляпунова-Шмидта, методы малого' параметра Пуанкаре, методы теории аналитических функций многих переменных, а также общие методы нелинейного и функционального анализов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитируемой литературы из 49 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении приводится обоснование актуальности темы, цели исследования, методы исследования, теоретическая и практическая ценность работы, а также краткое содержание работы и дается характеристика научной новизны результата вывода.

Первая глава состоит из двух параграфов, В первом параграфе уравнение движения плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел приводится к комплексному виду

nJ{pz"+[esin£ + 2i(l—е')'*]«' +z) + 1=2-5-, (1)

дг

где

р=1—s cosí, «a=l-(-¡i, = mjnio < 1,

,-*+«,»-¡rV-fr

та и m» —массы активно гравитирующих тел, е — эксцентриситет, причем в качестве независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия.

Второй параграф посвящен построению пяти стационарных решений z0 уравнения (I), называемых точками либрации, в комплексной форме. Для треугольных точек либрации Lk и £5 имеем

Zq — _j_ -f. i EjL. Для коллинеарных точек либрации берем приб-

2 2

лиженно для

А1~2о = (ТГ-т(ТГ для 12-29==(ТГ-Т(ТГ'

для

¿3 —Z0== 1— ^-¡v*.

Глава II посвящена вопросу существования 2л — периодических решений. Она состоит из трех параграфов. В § 1 предлагается искать периодические решения уравнения (1) в виде степенных рядов по степеням эксцентриситета.

со

k= о

разлагая при этом параметр ц в аналогичный степенной ряд

¡1=2 (3)

ft = 0

Подставляя ряды (2) и (3) в уравнение (1), получаем общую форму уравнений любого приближения.

В § 2 изучается уравнение первого приближения

W = (1+ Ы (z." + 2/zx'— г,) - bmzy- W, = О, (4)

где

I 3

Ьщ>= — (1 + t»o)> Ьою=---[1 + t (1 —

i

Решение его ищется в вещественном гильбертовом пространстве комплекснозначных 2я<7— периодических функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0,2it<7] и со скалярным произведением

(г, и) = — j1 [zu -f zu) dE.

Доказывается,

что в этом пространстве оператор Lо— самосопряжен и нормально разрешим. Далее изучается уравнение (4) в пространстве Я2[о,2^1 при <7=1. В теореме 3 доказано, что для существования периодических решений периода 2л у уравнения первого приближения (4), необходимо и достаточно, чтобы цо=0.

В § 3 изучается уравнение второго приближения. В нем показывается, что в окрестностях треугольных точек либрации не могут возникать периодические решения периода 2я.

з

Третья глава посвящена отысканию 4я — периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации и состоит из четырех параграфов.

В § 1 рассматривается вещественное гильбертово пространство №[о,2к?] при q — 2. В этом случае уравнение первого приближения (4) имеет 4л — периодические решения, если характеристический многочлен J -

—X»-f 27fX° = 0 (5)

4(I + ¡X0)2

имеет вещественный-корень относительно jli0 при Я=1/2. При этом Ное(0,1). Такой корень существует и цо=0,029437.

Далее рассматривается уравнение второго приближения

• £„22 = 1,2, + í-a (^i). (6)

где

¿1*1 = —Mz/' -f 2/Zi' — (1 — bm) Zi— Wi] +

+ (1 4-¡j.0) cos£z,"— (1 + ¡j-o) sin£z/,

•^2 (Zl) = + ^HO^lZi + boaO2!2'

Используя свойства оператора L0, мы приходим к теореме 7. Теорема 7. Если ni удовлетворяет равенству

О +ео) М

(7)

то в пространстве Н2^^] уравнение (6) имеет 2л<7— периодические решения. В частности, если

= ±0,014964, (8;

то уравнение (6) имет 4л — периодические решения, которые и строятся в § 1.

Далее изучается уравнение третьего приближения, которое имеет в оперативном виде следующий вид

Ь0г3"= ¿,га +Ь2[гг, 2а) (9;

существование 4я — периодических решений уравнения (9) вытекает из существования нетривиальных корней следующего уравнения

О1С122 +Р2Я2 + «з = 0. (10

где аь аа, а3 —комплексные числа, отличные от нуля, с а—посто янная интегрирования первого приближения. Так как цг — вещест венное число, то уравнение (10) имеет всегда два нетривиальны)

корня при любой Начиная с четвертого приближения, операторный вид уравнений соответствующих приближений будет

LnZj = Uz¡-\ + i, (Zj, z2> ... z/_0- (И)

Существование периодических решений сводится к существованию решения линейного уравнения

¿Ci.^ + w-i^+fy+i-O, (12)

где & — комплексное число, отличное от нуля и общее для всех /-х приближений, Ь/ и &/+¡ — комплексные числа. Очевидно, что эти уравнения имеют решение при любом ¡,i/_i. Поэтому полагаем все ц(_( = 0. При этом доказывается существование всех z¡ из ряда (2) в пространстве fP¡oРяд (3) принимает вид

{i^^ + s^ + eVa, (13)

где [л0 определяется из (5), fxi — из равенства (7), a f«2 остается свободным параметром, который мы определяем для конкретных объектов Солнечной системы.

В частности, при q—2 в пространстве строятся 4л-

периодические решения для объектов: Земля-Луна — малое тело, Солнце-Плутон — малое тело. В последней задаче рассматриваются? случаи с заменой Плутона на Меркурий, Сатурн и Юпитер. Построение периодических решений проведены в окрестности треугольной точки либрации ¿4. Во втором параграфе получены те же результаты, что и в § 1, но для второй треугольной точки либрации ¿5.

В §§ 3 и 4 доказывается сходимость ряда (2). В § 3 даются вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства сходимости ряда (2). В § 4 дается само доказательство сходимости этого ряда.

Приведем схему доказательства. Наряду с уравнением (1) будем расЬматривать систему уравнений

' n2ípz"+ le sin £ + 2/(1— е»)>42'_2) =<?6F(z, ?) пМр5"+ГеSin£ + 2/(1 — £2),,21I' — s} =d,F[z. I), в которой

+ ¡J, (z • I)-"2] (15)

И | = 2.

Отметим, что если {z(E), |(-Е)} — решение системы (33), удовлетворяющее условиям z(Ep)=l(E0) и z'(Ea) —l'(E0), то функция z{E) будет решением уравнения (1). Далее, функция (14) аналитична как функция комплексных переменных z и g в бикруге max(|z — Zo|, —|о|)<1, где

Е0_= Zo= 1/2— ¿|/3/2.

Положим '

. 'Ф(и.— м0) — (и,— Щ) = Fi — «о). (16)

где

Ф (и) = п2 (и"+Аи') - Bti (17)

Ф0 [и) [cos Я«" + (sin£ + a (s)) Ли'] (18)

DH'rH-c;)

р 0 \ в = f'100 ь""> \ \ 0 — 2/]' . \Тть 6100 /'

... :ЦРя(и —йо)|| = 0(||и —«„II), - (z<„ 1„), 0 < а (е) < 1.

Для уравнения (15) имеем:

1. Однородное уравнение Фи=0 при определенных р, имеет 2nq — периодические решения, причем пространство этих решений двумерно.

2. Эти решения ищутся в виде формального ряда

. ,, и = «0 -}- + + • • •,

компоненты каждого из коэффициентов ик которого взаимосопря-жены, причем первая из компонент суть решение соответствующего уравнения (1).

3. Уравнение (15) при малых е имеет в окрестности точки м0 2я<7 — периодические решения и = «о+e«i+e2üz(£', е), Фы!=0, 1Ъ(Е, е) аналитична по е. При этом первая компонента и определяет сходимость ряда (2) для уравнения (1).

Четвертая глава диссертации, состоящая из одного параграфа, целиком посвящена построению 6я — периодических решений в окрестности треугольных точек либрации. Если при построении 4л — периодических решений в главе III было получено всего четыре класса решений, то в случае 6я — периодических решений имеется два однопараметрических класса периодических решений.

Эта теория реализуется для построения тех же объектов Солнечной системы, что и в главе III.

Наконец, глава V посвящена построению периодических решений, но уже в окрестностях коллинеарных точек либрации. Она состоит из четырех параграфов. Как было показано в предыдущих главах, для существования периодических решений уравнения (1) необходимо, чтобы у характеристического многочлена уравнения первого приближения существовал корень j.i0e(0,l).

В § I получается уравнение первого-приближения

(I + ц„) — ~ ¡|(г„— 1) + .

- -у I (го - 1)'-,!а (г„ ) Г« + где

¿.г, = + — . '. .■ (19}

В § 2 изучается вопрос существования 2л — периодических решений уравнения (19) для всех трех коллинеарных точек либрации ¿ь ¿2, и. Характеристический многочлен имеет вид

к».

где

' Г 2} [2(1

о — |2„ ~ 11-3

— правильная рациональная дробь. При отыскании 2л — периодических решений Х,= 1. В этом случае в окрестностях точек либрации ¿2, ¿з 2л — периодических решений не имеются, а в точке либрации Ь1 они существуют при цо" 0,37778. Это равенство является и достаточным для существования нестационарных 2л — периодических решений в окрестности точки либрации ¿1. В § 3 доказывается существование 2пд — периодических решений (д=2, 3, ...) в окрестности всех трех коллинеарных точек либрации. Далее выписываются конкретно необходимые для нахождения 4л — периодических решений. То же самое делается и в §4, но уже для периодических решений периода 6л.

Все эти решения реализованы на конкретных моделях из Солнечной системы. Рассмотрены случаи Земля-Луна — малое тело, Солнце-Плутон — малое тело. В последней модели'затем Плутон заменяется на Меркурий, Сатурн и Юпитер.

Научная новизна работы состоит в том, что все перечисленные результаты впервые сформулированы и разработаны автором.'

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый метод построения периодических решений в. окрестностях точек либрации,1 ограниченной эллиптической задачи трех тел.

2. Устанавливаются условия существования.периодических решений в зависимости от значений масс.

3. Получена классификация периодических решений.

4. Доказана сходимость степенных рядов, представляющих периодические решения. ■

5. Разработан алгоритм, позволяющий применять разработанную теорию к конкретным объектам Солнечной системы. * '

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Все основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре по классической динамике при мех-мате факультете МГУ (руководитель — проф. В. Г. Демин), на спецсеминаре по аналитической механике при мех-мате факультете МГУ (руководители— академик РАН В. В. Румянцев, проф. Ю. А. Архангельский), на семинаре отдела прикладных проблем математики Математического института с АН Тадж. ССР (руководитель — проф. Э. М. Мухамадиев), в Совете по небесной механике ГАИШ (руководитель— проф. Е. П. Аксенов), на «Гагаринских научных чтениях но космонавтике и авиации» в г. Москве, 1985 г., на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений в г. Душанбе, 1987 г. на Всесоюзной конференции по «Методам исследования движения, физики и динамики малых тел Солнечной системы» в г. Душанбе, 1989 г.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

I. Демин В. Г., Ев те ев В. П. Эллиптическая задача трех тел//Изд-во «Дониш», Душанбе, 1988, с. 134. 1

• 2. Евтеев В. П. Один класс периодических решений в осредненной эллиптической задаче трех тел./УДАН Тадж. ССР, .1983, т. 26, № 3, с.'152—157.

3. Девятой Л. В., Евтеев В. П Периодические решения плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел^/ДАН Тадж. ССР, 1983, т. 26, № 5,-с. 285—288.

4: Евтеев В. П., Нагорев Б. М. Почти периодические круговые орбиты в ограниченной задаче трех тел./ДЦАН Тадж. ССР, 1985, т. 28, № 3, с. 144—147.

5; Евтеев В. П. Почти круговые орбиты внутреннего варианта ограниченной круговой задачи трех тел.//Прикл. матем. и мех., 1986, т. 5, вып. 5, с. 956—9о9.

6.. Евтеев В. П. Периодические ор.биты в окрестности одной коллинеар-ной точки либрации плоской эллиптической задачи трех тел.//ДАН Тадж. ССР, 1986', т. 29, № 9, с. 520—522.

• 7. Евтеев В. П., Махмудов М. Один метод нахождения периодических решений ограниченной круговой задачи трех тел.//ДАН Тадж. ССР, 1986, т. 29, №.12, с. 729—731.

8. Евтеев В. П. Об одном семействе почти круговых орбит во внутреннем варианте осредненной эллиптической задачи трех тел.//Косм. иссл., 1986, т. 24, вып. 2, с. 277—281.

9. Евтеев В. П. Периодические орбиты ограниченной эллиптической задачи трех тел.//Косм. иссл., 1987, т. 25, вып. 2, с. 321—323.

10. Евтеев В. П. Периодические решения плоской эллиптической задачи трех тел.//Косм. иссл., 1988, т. 26, вып. 5, с. 785—787.

II. Евтеев В. Г1. Бифуркационные свойства треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи'трех тел.//ДАН Тадж. ССР, 1989, т. 32, № 4, с. 238—240.

12. Евтеев В. П., Мухамадиев Э. М. Периодические решения в окрестности треугольной точки либрации эллиптической задачи трех тел.//Прикл. матем. и мех., 1989, т. 53, вып. 1, с. 339—341.

.13. Евтеев В. П. Бифуркационные свойства коллинеарнон точки либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел.//Коем. иссл. 1992, т. 30, вып. 4, с. ¡36—139.