Устойчивость механических систем твердых тел при наличии внутренних вибраций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Па правах рукописи

МУСЛВИ СЛЙКД МОХАММЛД ЗЛМЛИ

УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ ВИБРАЦИЙ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -1997

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель - доктор физико-математических .наук, профессор Ю.Г.Мартынснко

Официальные оппоненты - доктор физико-математических .наук.

профессор И.В.Новожилов

кандидат технических наук, доцент Т.К.Гадельшин

Ведущая организация - ОКБ "МАРС" (г.Москва)

Зашита состоится ".23-" W^r. в [¿С час._мин.

на заседании диссертационного совета К 053.16.12 в Московском jHepi етическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., дом 17, ауд.. Б-114.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу. 111250, Мосхва. Красноказарменная ул„ дом 14, Ученый совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослан " У 7

Ученый секретарь

диссертационного совета К 053.16.12,

к.т.н., доцент

---- А.В.Петровский

ОКЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛКОТЫ

Актуальность работы.

Движение многих механических систем, содержащих вращающиеся твердые тела, сопровождается возникновением вибраций. Характер динамических процессов в машинах и механизмах в условиях вибрационного воздействия существенно закиси 1 ог механизма возбуждения вибраций, которые естественным образом подразделяются на внешние и внутренние. Решение сдачи о вибрации гкгшоляст не только предвидеть, как будет пест себя рассматриваемая механическая система (гироскопический прибор, турбина, электромотор и т.д.) в тех или иных конкретных условиях, но и направленно конструировать ее. Достаточно часто оказывается, что бе» учета вибраций системы вьтодм об устойчивости движения могуг оказаться вообще неверными. Решение задачи об устойчивости движения системы в окрестности положения раиновесия или стационарной» движения с учетом внутренних вибраций, кроме чисто теоретического, имеет- большой практический интерес, так как оно позволяет получить значительную информацию об хЬфектах, связанных с влиянием вибраций на свойства механического объекта. Интерес к указанным задачам не ослабевает уже в течение достаточно длительного времени. Такое внимание обусловлено исключительно широким распространением практически во всех областях современной техники машин и механизмов, содержащих вращающиеся теля.

Таким образом, исследования вибрационных У,х]н:ктов при Лннжснип меха л и ческил сиш-м и их приложения мнликне.ч весьма

актуальными.

Нуль работы и задачи исследования.

Цель данной работы состоит в ратвитии и углублении представлений о нлиянии внутренних вибраций на устойчивость механических систем и исследования математических моделей механических объектов при наличии внутренних вибраций.

Методы исследования.

Для аиализа влияния вибрации на поведение механических систем в диссертации использованы методы устойчивости движения, асимиготические методы нелинейной механики, методы компьютерной алгебры и математического моделирования.

Научная новизна и практическая ценность работы.

В диссертации исследована задача о стабилизации вертикального положения стержня с помощью кругового движения материальной точки, получены условия устойчивости.

Решена задача о приводимости линеаризованных уравнений гировертикали с вращающимися ртутными сосудами с учетом нутационных слагаемых, построена область устойчивости прецессионного движения гировертикали, найдены оптимальные значения параметров системы, обеспечивающие максимальную степень устойчивости, проведен анализ нутационного движения.

Исследована устойчивость стационарного вращения твердого тела, несущего подвижную точечную массу. С помощью асимптотического метода усреднения построены уравнения для резонансных режимов лиижсиия системы VI проанализированы резонансные явления.

С помощью программного комплекса "Универсальный механизм" проведено численное моделирование динамики укатанных механических оОьсктов на компьютере.

Результаты, полученные в диссертации, мот Сч.гп. использованы

для:

• расчетов систем стабилизации с учетом гх?>фс>опв внутренней вибрации;

• конструирования гироскопических приборов, в кои>рых устойчивость прецессионных движений о<>есночинае1ся опкч;и1сль::ы.м движением жидкости;

• разработки систем автокомпснсаиии возмущающих моментов в гироскопических устройствах;

• проектирования систем стабилизации углового движения твердого тела с одной неподвижной точкой.

Апробация работы я публикации.

Основные результаты дисссргации доложены на:

» Всероссийской конференции "Современные щюплимы мсхиники и сс приложения" (Москва, Нее российский Выставочный центр, июнь 1996г.).

• Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июль 1996 г.).

• Международном форуме информатизации (Москва. Мископский энергетический институт, октябрь 1996 г.).

• Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, июнь 1997 г.).

» научном семинаре "Мсхиникн управляемых систем" кафедры теоретической механики !М!)Н (1994 - 1997 г.г.).

Опубликованы тезисы локладов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, краткой сводки результатов, списка использованной литературы и приложения. Работа изложена на 132 стр. машинописного текста, содержит 31 рисунок. Список литературы включает 74 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ }к> введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы, проведен краткий обзор предшествующих исследований по теме исследования и излагается содержание диссертации.

В первой глине исследуется во:1мож1мсть стабилизации вертикального положения стержня с- помощью крутнет движения материальной точки.

Для упрощения математической модели и качестве объекта исследования выбрана механическая система, образованная однородным с!сржнем, к которому прикреплен невесомый диск, по краю которого движется материальная точка (рис.1). Эта модель была предложена академиком Л. Ю. Ишлинским при обсуждении задачи об устойчивости вертикального положения маятника с вибрирующей точкой подвеса. Рассмотренная модель может оказаться полезной и для реактивных летательных аппаратов, вектор тяги которых периодически изменяется в сисюмс координат, связанной с летательным аппаратом, либо для лстгольнмх аппаратов, стабилизируемых с помощью следящей системы, включающей в себя двухстепенной гироскоп с постоянным кинетическим моментом. В первом параграфе первой главы составлено выражение для кинетической знергии и выведены уравнения движения рассматриваемой механической системы в форме уравнений Лагранжа второго рода.

V/

a.'V

i*

!'ис. I.

В качестве обоГкценных координат выбраны углы отклонения стержни от вертикали. Полные уравнения движения рассматриваемой механической системы линеаризованы, в результате чего получена система линейных дифференциальных уравнений ч стерто го гюрядка (1) с периодическими коэффициентами.

(a + sinIt)ix:|"-sinTcosT х" 1 Csinx cosí „т/ t 2япгтх;-ex, =-sint - sint cost x"+ (a + cos!t ).r" - 2cos2t x¡ — 2sinx акт - с хг = cost

e + i(il *

Щ- — Y -*, no

«V

O

С

.•»J ,r:«dZ

(!)

(2)

Здесь оц (i=l,2) - утлы отклонения стержня от «cpi икали. ш, - мпсса стержня, тг - масса материальной точки. /> - длина С1епжня, г - радиус диска, О - приведенная жест коси*. ли - относительная скорость движения точки М, g - ускорение свободного падения, х=ш t - безразмерное время.

Во втором парш-рафс первой главы уравнения движения записаны в матричной форме и построено преобразование Ляпунова, приводящее рассматриваемую нестационарную систему к сисгсус линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Анализ характеристического уравнения лтой системы позволил получить систему

/

с

1. 75 1.5 1.2Ь I

1.8 ? а Рис. 2.

неравенств (3), определяющих область устойчивости линеаризованной системы на плоскости параметров а, с.

1 ах

с<-- с > 1 — ясг-4<*{4<1! + 2а-1)с + 4<з! >0 (3)

1а + 1 у 1

'>та область заштрихована на рис.2. В этой области корни характеристического уравнения стационарной системы являются некратными и чисто мнимыми. Из исследования згой системы сделан вывод о том, что при достаточно большом отношении радиуса диска, по когорому движется точка, к длине стержня вертикальное положение стержня всегда оказывается неустойчивым.

Результаты численного интегрирования линейных неавтономных дифференциальных уравнений с значениями параметров: т\~20 кг, т^ 0.1 кг, Л-0.5м, г~2м. (а-200рад/сек. а,(0)=а,(0) = 0, при которых в=4.23, с-0.003, приведены на рисунках 3. и 4.

В третьем параграфе первой главы проводится исследование влияние сил демпфирования на движение стержня. Предполагается, что в шарнире

0.75

0.5

-I----X —- —......- - - '

0.6

5.6

а*

«1

действуют силы вязкого трения, пропорциональные угловым схоросгям стержня, и п .'гинеаризшшкнмс уравнения движения систем!,! добавлены соответствующие моменты сил. Полученные уравнения сохраняют свойство приводимости к системе с постоянными ко-»ффициентами, поэтому задача вновь своди'сн к исследованию стационарной системы. С помощью критерия Гурвица установлено, что при любых значениях параметров тривиальное потение системы будет неустойчиво по Ляпунову. Таким образом, силы трения в рассматриваемой задаче

оказывают дестабилизирующее действие и разрушаю! устойчивость перекального положения стержня.

Б параграфе 1.4. анализируется структур« сил в задаче стабилизации стержня и обсуждается влияние неконссрпативных позиционных сил возникающих в результате преобразований к стационарной системе ■уравнений движения сгержня, закрепленного вязко-упругим шарниром.

Во второй главе проводится анализ движения системы гировертикали с вращающимися сосудами, принципиальная схема которой приведена на рис.5., представляет собой гироскоп 1 в кардановом подвесе 2 с вертикальной осью собственного вращения ротора. На кожухе и!|»)ско11а расположена платформа 3, которая при помощи мотора 4 и зубчатой передачи 5 вращается вокруг оси. геометрически совпадающей с осью рогора, с поспешной узловой скоростью со. Па платформе 3 усыновлены два сообщающихся сосуда 6, соединенных капиллярной трубкой, в которые налита ртуть. Когда ртуть распределена в обоих сосудах поровну, центр тяжести всей подвижной системы совпадает с точкой опоры гироскопа.

Рис. 5.

Платформа с сосудами вращается и ту же сторону. что и ротор гироскопа. Полные (с учетом нунщиопных слагаемых) уравнения движения после линеаризации записываю! см п бс ¡размерном виде:

Л1

е^[-$т«>стсо5й,)()та| -¿(а + соя'гоцТ)«',]-«,' =<?со.ч«„т ^ <Лр

•3~ + п(ф-+а1.,!1п(п((т-«,со$«0т) = 0 . -

ах * • ■

Здесь <Х| и а.? - утлы о|клонення ротора от вер) икали, (р-угол наклона зеркала жидкости в Сосудах, штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени т -- иТ. Н - кинетический момент гировертикали, 7 = Н!с\ - прецессионное время задачи, тщ -половина массы ртути, р - ее плотпосп», ц - динамическая вязкость жидкости, 5 - площадь поперечного сечения сосуда, г-Половина расстояния между центрами сосудов, 1 - момент инерции ротора относительно оси, ортогональной к оси вращения роюра, Л - длина капилляра, Я - радиус капилляра. Если ввести нутационное время задачи Т{ = 2гпо Г/11, то параметр с будет равен отношению нугационного к прецессионному временам задачи. Для реальных систем числовая величина параметра е мала по сравнению с единицей.

Система линейных ди<|>ференциальных уравнений (4) с

периодическими коэффициентами оказывается приводимой к системе с

постоянными коэффициентами с помощью замены

["аЛ^со»,.! -зтот^Т^, ] [а,] [й1пг,10т со«,>0т]_</2]

и имеет вид

еод, +«в,{1-е®,(а + 1)1^, ■»-{1-ею,(2в + 1)]91

- р - в»,(2в +1))?,' + е(в+ + [1 -«*>„«]?, - 9 - О (5)

— + ф' + жр = О

Задача о движении гировертикали с учетом нутационных слагаемых оказывается сишулярно возмущенной, так как дифференциальные уравнения содержат малый параметр при старших производных. Характеристическое уравнение стационарной системы, полученной после выполнения преобразования Ляпунова, представляет собой полином пятой степени. Наличие малого параметра позволяет свести задачу поиска корней характеристического полинома к двум задачам, первая из которых, при сЮ, сводится к анализу корней кубического уравнения, описывающего прецессионные движения гироверт икали

А? + пХ' +а>£А + /1С0о(<ав -1)= 0, (6)

а вторая - к анализу корней квадратного уравнения, описывающего нутационные колебания гировертикали.

Условия принадлежности корней уравнения (6) левой полуплоскости сводится к следующему ограничению на параметры системы

с>Я>2р£г1£ (7)

Условие устойчивости (7) прецессионных уравнения практически сводится заданию достаточно большой угловой скорости платформы с вращающимися сосудами. При анализе прецессионных движений рассматривается задача об определении максимального значения степени устойчивости в допустимой области параметров гировертикали. Зависимость степени' устойчивости 4 прецессионных движений от нирамссровЛи В в трехмерном пространстве (Л, В, £,) представлена на.

рисунке (6), где при А = >/з; Д= „ 'а , имеется £ = £»« = —г.

„ л п и я<®.-1>

Здесь А = ---; В = ——— .

Рис. 6.

На рис. 7 приведено решение уравнения (4), описывающее траекторию апекса гироскопа па плоскости ом, а2, при:

1) значениях параметров, обеспечивающих максимальную степень устойчивости,

2) значениях А=0.1, В=0.089 (пример реального прибора).

0.1

Рис. 7.

ОЦ

Рис.8. Рис.9.

На рис. 8 и рис. 9 представлен график функций а^т) соответственно при значениях параметров, обеспечивающих максимальную степень устойчивости и при значениях А=0.1, ЕМ).089. Начальные условия: а,(0)-0.2, а2(0)-0.2,<р(0и>.

Проведенный в параграфе 2.4 поиск максимальной степени устойчивости позволил существенно уменьшить время приведения оси ротора прибора к вертикали мссга.

В последнем параграфе второй главы построено асимптотическое разложение для корней характеристического уравнения, описывающего нуициониые колебания гировертикали.

Н тгнтьуй глине изучается движение твердого тела с подвижной точечной массой. Предполагается, что твердое тело имеет неподвижную точку, совпадающую с центром масс тела, а момент ппешних сил относительно неподвижной точки равен нулю (рис. 10). Дифференциальное уравнение движения системы (тело + точка) в векторной форме имеет вид

Ю+Ю+Й1а+та\Х + етХХ = 0. (8)

Рис. 10.

Здесь X =[*!, х2. *э!вектор, составленный ич координат точечной массы в системе координат Ох1х!х1, жестко связанной с твердым телом, О - вектор угловой скорости твердого тела, I - тензор инерции системы, т-масса подвижной точки. £2. X - аютвезстнующие векторам £2, X кососимметричные матрицы, используемые для таписи векторного произведения а точка означает дифференцирование по времени /.

Найдены дифференциальные уравнения для закона движения точки

относительно тела, при котором уравнения движения всей системы

допускают частное решение, представляющее собой стационарное

вращение с постоянной угловой скоростью вокруг одной ич главных осей

инерции твердого тела. В случае, когда х» в нуль не обращается, эти

уравнения можно записать в виде:

5. = + = Г,-20гг-П;х,

X, хг X, '

где О - постоянная угловая скоросгь тела вокруг оси .г,.

Построены линеаризованные уравнения возмущенног о движения системы в окрестности стационарного вращения системы вокруг одной и I главных осей инерции тела в матричной форме

'¿ = 14 (Ю)

где 1-=Ь(|+;»/Ь|, ^г. ¡¡.(}т-иозмущепие, Л, /:, /э-главные моменты

инерции гена.

О /¡-/, о"

- Ь, =£)/,-/, 0 0 о о О

Г а\, v, - 2{л,л; *■ v,v,} 2\,л, ^ 0.(л;-л! ) 3(л,\, -ш.л,)]

I » I

2л,л.+П(л;-л,) П\, - 2(.\г\, + л;,л,) 2(л;,.\-, + Пл,.у,) \

[ 2.\,л, + Г1л2л-, 2лг\;,- 2(л",х, +хгл2) |

В случае динамически симметричного твердого зела при круговом движении материальной точки уравнение (10) оказывается приводимым, что позволило найти условия устойчивости стационарного нрашеннх тела. В случае твердого тела с трехосным эллипсоидом мнерцпн с помощью асимптотического метода построены приближенные уравнения в окрестности параметрического резонанса, приводящего к неустойчивости стационарного вращения тела вокруг наименьшей оси центрального эллипсоида инерции тела. Этот резонанс

но ншкасг. когда J........-уу-------Л1 = ы, где о- орбитальная угловая

скороем. точки в подвижной системе координат Ох,х1 л,.

В четвертой главе программный комплекс UM (универсальный механизм) используется для проведения вычислительных •.жепериментов с рассмотренными механическими системами. Дано описание системы UM и представлены результаты компьютерного моделирования задачи о стабилизации ' вертикального положения стержня с помощью кругового движения материальной точки, рассмотренной » первой главе. Например,

........

I I к.

Ж

Щ.........I........щдц.........I.........щ

Рис. 11.

если т, = 1.0 кг/, т2. 0.1 к,-\ h - 0.5 м.\ г г ! м:, <ч 200 рад/сек, при ттом а ~ 8.58, с ~ 0.006, а критическое значение 0.027. следовательно, приведенные параметры находятся в области устойчивости линейной системы (Рис. 2.). Результат компьютерного моделирования системы с указанными параметрами, при нулевых начальных условиях, показа)! на рис. 11. Интегрирование уравнений движения нп интервале времени 0-10 сек. представляет собой ограниченные колебания вокруг вертикального положения равновесия, что согласуется с полученными теоретическими результатами на перкой главе.

В последнем параграфе четвертой главы приведены результаты моделирования движения твердого тела с подвижной точечной массой. При проведении вычислительных экспериментов были выбраны следующие величины для моментов инерции зела 1,-| х,-.,л/, Ь1.5 кг.м2, Ь=1.6 кг.м", масса точки r/t -0.05 кг, стационарная угловая скорость вращения твердого тела рад/сек. При указанных параметрах согласно полученному в параграфе 3.3 аналитическому результату, резонансное значение круговой частоты подвижной точечной массы (»-«^=0.238 рад/сек. Были выбраны начальные условия Qi(0)4).001 рад/сек, ОДО) = -0.003 рад/сек, Q3(0)=1 рад/сек. При этом в системе возникает первый параметрический резонанс. На рис. 12 представлен график зависимостей от времени проекций угловой скорости твердого тела Qi на интервале времени 200 секунд, а на рис. 13 траектория конца вектора угловой

L-r-^ч i ■ J? v.. . /\ Л. . А "I2

0 2 0 < а i I»^ l АУI * \ 1 1 1 е / 2. /

Рис. 12. О,

скорости твердого тела на плоскости Qj, Q?

Проведенные с помощью программного комплекса UM вычислительные эксперименты для рассматриваемых механических систем при различных значениях параметров согласуются с аналитическими результатами, полученными в предыдущих главах. В заключении приведена сводка результатов, полученных в данной диссертации.

В приложении даны программа на языке REDUCE для вывода уравнений Лагранжа второго рода для механической системы, рассмотренной в первой главе и программа для системы аналитических вычислений Математика 3.0. для вывода уравнений второго приближения асимптотического метода осреднения в случае параметрического резонанса в движении твердого тела с подвижной точечной массой.

СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основные результаты, полученные в дайной работе, состоят в следующем:

■ Найдено преобразование, приводящее к стационарному виду систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в задаче о стабилизации вертикального положения стержня с помощью кругового движения материальной точки. Найдена область устойчивости в пространстве параметров для стационарной системы уравнений. Изучено влияние диссипативных сил на устойчивость системы.

■ Проведено исследование системы радиальной коррекции для гировертикали с вращающимися сосудами. Построено преобразование Ляпунова для соответствующей линейной системы дифференциальных уравнений с учетом нутационных слагаемых. Найдена область устойчивости прецессионного движения. Найдены оптимальные параметры системы, обеспечивающие максимальную степень затухания колебания и увеличивающие в 30 раз скорость приведения оси ротора к вертикали по сравнению с известными приборами, описанными в литературе. Определена скорость затухания нутационных колебаний гировертикали с вращающимися сосудами.

■ Изучено движение твердого тела с подвижной точечной массой. Найдены дифференциальные уравнения для закона движения точки относительно тела, при котором реализуется стационарное вращение с постоянной угловой скоростью вокруг одной из главной осей инерций твердого тела. Рассмотрена задача о приводимости линеаризованных уравнений движения в окрестности стационарного вращения системы вокруг одной из главных осей. Найдены условия возникновения параметрических резонансов, вызванных движением подвижной точечной массы.

■ Проведено моделирование рассмотренных в первой и третей главах диссертации механических задач с помощью системы "Универсальный механизм". Выполненные вычислительные эксперименты согласуются с теоретическими результатами, полученными в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы о работах:

• Мартыиснко Ю. Г., Мусавя М. 3. Стабилизация вертикального положения стержня с помощью кругового движения материальной точки//Вестник МЭИ.- 1996-№6,-С. 105-112.

• Мартымекво Ю. Г., Мусавм М. X Устойчивость механических систем при наличии внутренних вибраций II Дифференциальные уравнения и их приложения. Международный семинар: Тез. докл. Ч. 2,- Самара, 1996.-С. 30.

• Мартыяеико Ю. Г., Мусавм М. 1 Устойчивость стационарных вращений твердого тела, несущего подвижную точечную массу // Нелинейное моделирование и управление. Международный семинар: Тез. докл.- Самара, 1997.- С. 99.

• Мартыяеико Ю. Г., Мусжви М. 3., Погорслов Д. Ю. Применение метода компьютерного моделирования для анализа устойчивости механических систем при наличии внутренних вибраций // Информационные средства и технологии. Международная конференция: Тез. докл. Том 2.- Москва, МЭИ, 1996.- С. 43-47.

• Мусжви М. 3. Влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия вертикального положения маятника при наличии внутренних вибраций // Современные проблемы механики и ее приложения. Всероссийская конференция: Тез. докл.- Москва, ВВЦ, 1996.- С. 7.

Печ.л. _Тираж ^^ Заказ 5Ю

Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.