Движение спутника в близкой окрестности астероида тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ
|
Василькова, Ольга Олеговна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.03.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ГЛАВНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ
На правах рукописи
Василькова Ольга Олеговна
ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В БЛИЗКОЙ ОКРЕСТНОСТИ АСТЕРОИДА
Специальность 01.03.01 Астрометрия и небесная механика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Санк г -Петербург 2006
Работа выполнена в Главной астрономической обсерватории РАН
Научные руководители: доктор физико-математических наук,
член - корреспондент РАН Виктор Кузьмич Абалакин доктор физико-математических наук, профессор
Юрий Васильевич Батраков
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Александр Сергеевич Баранов кандидат физико-математических наук Александр Михайлович Фоминов
Ведущая организация:
Научно-исследовательский астрономический институт им. В.В. Соболева Санкт-Петербургского государственного университета
Защита диссертации состоится 2006 г. в // часов
минут на заседании Диссертационного совета (шифр Д 002.120.01) в Главной астрономической обсерватории Российской Академии Наук (ГАО РАН) по адресу: 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАО РАН. Автореферат разослан
Ученый секретарь
Диссертационного совета Д 002.120.01^—"""""
кандидат физико-математических наут?^/^7 Е. 15. Милецкий
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность:
Эта тема стала особенно актуальной сейчас, когда с борта космических аппаратов получены данные уже о семи астероидах: 951 Gaspra (1991 год, КА Galileo), 243 Ida (1993 год, КА Galileo), 253 Mathilde (1997 год, КА NEAR - Shoemaker), 433 Eros (1999 - 2001 годы, КА NEAR -Shoemaker), 9969 Braille (1999 год, КА Deep Space 1), 5535 Anne frank (2002 год, К A Stardust), 25143 Itokawa (2005 год, КА Hayabusa), когда даже посадка космического аппарата на астероид (посадка КА NEAR — Shoemaker на астероид 433 Eros в 2001 году и КА Hayabusa на астероид 25143 Itokawa в 2005 году) не является чем-то необычным, а гипотеза о существовании спутников астероидов стала реальностью, и за период времени, прошедший с открытия первого спутника (Dactyl) астероида (243 Ida) в 1993 году до наших дней, спутники обнаружены уже у нескольких десятков астероидов.
Организация космических миссий к астероидам предполагает продолжение численного моделирования и теоретических исследований с целью получения предварительных данных о расположении наиболее удобных и безопасных орбит для размещения КА в достаточно близкой окрестности астероида. Дальнейшие исследования необходимы также для того, чтобы установить диапазон возможных параметров систем астероид-спутник (расстояние между компонентами, расположение областей регулярных и хаотических орбит спутника, др.). Это поможет в поисках объектов подобного рода и облегчит интерпретацию полученных результатов.
Целями настоящей работы являются:
• получение общей динамической картины расположения зон регулярных и хаотических орбит спутника пренебрежимо малой массы в близкой окрестности быстро вращающегося астероида с известными значениями трех главных осей, плотности и периода вращения;
• разработка методов практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида, аппроксимирующего равномерно вращающийся астероид удлиненной формы, и вокруг самого эллипсоида;
• изучение влияния падения частиц на эволюцию формы астероида (аппроксимированного трехосным эллипсоидом и гантелеобразной фигурой) и его скорость вращения в эпоху аккреции в Солнечной системе.
1 РОСН А Ц И Û И АЛ ЬНД •*
I БИБЛИОТЕКА
I ¡ъя®)
Научим новизна работы:
• выявлены особенности глобальной динамики плоских орбит малого спутника вблизи быстро вращающегося трехосного эллипсоидального астероида сильно вытянутой формы;
• разработаны методы практического построения трехмерных периодических орбит малого спутника в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида значительно вытянутой формы и в окрестности самого эллипсоида;
• впервые произведено численное моделирование выпадения десятков тысяч частиц в эпоху аккреции на эллипсоидальный (сильно вытянутой формы) и гантелеобразный астероиды; выявлены зависимость характера изменения их формы от скорости вращения и эффект замедления скорости вращения.
Научная и практическая ценность работы:
• изучение динамики орбит вокруг астероида, аппроксимируемого трехосным эллипсоидом, позволит ввести ограничения на некоторые параметры неизвестной или плохо определенной орбиты спутника любого равномерно вращающегося астероида, для которого известны значения трех главных осей, плотности и периода вращения;
• исследование периодических орбит и расположения зон хаотического движения в окрестности модельного эллипсоидального астероида может быть полезным для выбора достаточно стабильных орбит КА в окрестности реальных астероидов;
• изучение эволюции формы и скорости вращения удлиненного астероида в эпоху аккреции под действием падающих на него частиц позволит ввести соответствующие коррекции в существующие космогонические теории формирования астероидов и планет;
• разработанный метод исследования выпадения частиц в эпоху аккреции может быть адаптирован для моделирования процесса выпадения пыли, наблюдаемого в настоящее время, на спутники планет, имеющие удлиненную форму (например, выпадение вещества из кольца F Сатурна на его спутник Prometheus, обнаруженное на снимках, сделанных в 2004 году К А Cassini при облете Сатурна);
• изучение процесса выпадения частиц на астероид важно также для разработки методов предотвращения астероидной опасности: например, при забрызгивании астероида краской (для изменения его альбедо и, следовательно, орбиты) необходимо учитывать зависимость интенсивности окрашивания различных участков поверхности астероида от их расположения и скорости вращения астероида.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
• методом исследования динамики спутника эллипсоидального астероида, разработанным СЬаиутеаи и др., вычислена диаграмма расположения зон плоских регулярных и хаотических орбит, орбит столкновения и выброса малого спутника в близкой окрестности быстро (с периодом 4.63 час.) вращающегося трехосного эллипсоидального астероида сильно вытянутой формы (наибольшая ось в 2.7 раза превышает наименьшую). Выявлены особенности движения спутника быстро вращающегося эллипсоидального астероида;
• при помощи разработанного метода практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации равномерно вращающегося трехосного эллипсоида удлиненной формы построены пространственные периодические движения в окрестности точек либрации эллипсоидального астероида с полуосями 28, 12, 10.5 км и периодом вращения 4.63 час.;
• метод исследования периодических движений вокруг почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) адаптирован для практического построения трехмерных периодических орбит вокруг вращающегося трехосного эллипсоида значительно вытянутой формы; полученный метод применен для вычисления начальных данных трехмерных периодических движений в окрестности эллипсоида с полуосями 70, 60 и 50 км;
• впервые произведено численное моделирование выпадения десятков тысяч частиц в эпоху аккреции на астероид-планетезималь, представленный в виде сильно вытянутого трехосного эллипсоида и гантелеобраз-ной фигуры той же массы и плотности; выявлена зависимость характера изменения формы астероида от скорости его вращения; сделан вывод о неизменном замедлении скорости вращения астероида при выпадении на него частиц в эпоху аккреции.
Апробация работы
Результаты, полученные в диссертационной работе были представлены на научных семинарах Г АО РАН ИПА РАН, НИАИ С'ПбГУ и на следующих отечественных и международных конференциях и симпозиумах'
"Компьютерные методы небесной механики - 97", 18-20 ноября 1997 г , ИТА РАН, С.-Петербург;
"Asteroids, Comets, Meteors", July 26-30, 1999, Cornell University, USA; "Околоземная цивилизация и проблемы изучения малых тел Солнечной системы", 25-29 октября 1999 г., Обнинск; JENAM-2000, May 29 - June 3, 2000, Moscow;
"Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", 19-23 июня 2000 г., ИПА РАН, С.-Петербург;
"US/European Celestial Mechanics Workshop", July 3-7, 2000, Poznan, Poland; "Asteroids, Comets, Meteors", July 29-August 2, 2002, Berlin, Germany; "Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations", July 4-9, 2005, Univ. of Turku, Finland;
" Астероидно-кометная опасность - 2005", 3-7 октября 2005 г., ИПА РАН, С.-Петербург.
Публикации по теме диссертации;
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 9 работах, из которых 1 работа (Батраков, Василькова; 1997) написана совместно с другим автором. В этой работе автору диссертации принадлежат аналитические выкладки, разработка комплекса программ для численного интегрирования и анализ результатов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 126 страниц, в том числе 3 таблицы, 46 графиков и список литературы из 152 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на
защиту, описаны структура и содержание диссертации, приведены печатные работы, в которых опубликованы основные результаты. В Главе 1 дается исторический обзор работ, посвященных движению малого спутника трехосного эллипсоида, начиная с исследования движения вокруг почти сферического, планетоподобного трехосного эллипсоида и заканчивая изучением движения в окрестности астероидоподобного трехосного эллипсоида сильно вытянутой формы. Первыми исследованиями в этой области являются работы Ю.В. Батракова 1957 года и В.К. Аба-лакина 1957 года, в которых доказывается существование периодических движений 1-го, 2-го и 3-го сорта в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) и исследуется линейная устойчивость его точек либрации (Абалакин, 1957).
Далее исследование движения в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида и/или устойчивости его точек либрации проводилось в работах Аксёнова, Дёмина и Аксёнова, Николаева, Журавлёва, Журавлёва и Зленко, Кашшеуег, Косенко, Сейткулова, ВогЬаш, Ерошкина, Нартикоева, Нартикоева и Ставровской, Баркина и Панкратова, Аников-ского и Джунусбекова, Бекова, Адабергенова и др. Наиболее всесторонне эта задача рассмотрена в работах С. Г. Журавлёва, например, в работе (Журавлёв, 2000).
Так как для вычисления потенциала удлиненного трехосного эллипсоида вблизи его поверхности разложение по гармоникам неприменимо, в этом случае необходимо использовать замкнутую интегральную форму (1) потенциала трехосного эллипсоида. Сначала она стала применяться в области звездной динамики (см. работу В. А. Антонова 1961 года об изучении формирования рукавов в спиральных галактиках). Затем, в связи с организацией космических миссий к астероидам и открытиями спутников астероидов, возникла необходимость в исследовании динамики спутника в окрестности объектов Солнечной системы, обладающих вытянутой, далекой от сферической формой. К числу первых исследований в этой области относятся работы (СЬаиутеаи, РагтеИа, \lignard; 1993) и (всЬеегез, 1994), в которых замкнутая интегральная форма (1) потенциала трехосного эллипсоида используется для аппроксимации потенциала равномерно вращающегося астероида.
В настоящей работе при исследовании движения спутника пренебрежимо малой массы вблизи сильно вытянутого астероида используется аппроксимация потенциала астероида потенциалом трехосного эллипсоида в классической замкнутой форме (1). Полученные в работе результаты применимы для исследования движения спутника любого равномерно вра-
щающегося астероида, если известны значения его главных осей, плотности и периода вращения (которые могут быть определены с той или иной степенью точности из наземных наблюдений).
Методы исследования периодических движений в окрестности почти сферического (планетоподобного) трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) и его точек либрации (Абалакин, 1957) адаптированы для численного изучения периодических движений в окрестности вытянутого (астероидопо-добного) трехосного эллипсоида и его точек либрации, а результаты численного исследования движения спутника вблизи медленно (с периодом 40 час.) вращающегося эллипсоидального астероида, представленные в работе (Chauvineau и др., 1993), дополнены результатами, полученными при численном интегрировании уравнений движения спутника в окрестности быстро (с периодом 4.63 час.) вращающегося трехосного астероида-эллипсоида. Движение спутника рассматривается внутри сферы Хилла и сферы влияния астероида относительно Солнца, на сравнительно небольших интервалах времени, что позволяет считать возмущающее действие Солнца достаточно малым и пренебречь им.
В Главе 2 описывается разработанный в настоящем исследовании метод практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации однородного, равномерно вращающегося трехосного эллипсоидального астероида, потенциал которого выражен в замкнутой форме (Субботин, 1949; Дубошин, 1961):
+оо
V = k2„pabc Г U \ (1)
И J \ а2 + s b2 + s с2 + s) R(s) v '
a
где R(s) = y/(a2 + s)(b2 + s)(c2 + s), к - постоянная Гаусса, a > b > с и p - полуоси и плотность эллипсоида, а Л определяется из уравнения
^- + -^- + — = 1 (2) а2 + Л Ь2 + А с2 + Л { '
Представленный метод по сути является методом последовательных приближений при варьировании начальных условий х (t0), у (to), -г (to), х (to), у (to), z (to) таким образом, чтобы они совпали со значениями х (<0 + Т), у (t0 + Т), z {t0 + Т), х (t0 + Т), у (t0 + Г), z (t0 + Т), где значение периода Т периодического движения определяется численно и зависит от формы эллипсоида, его плотности и скорости вращения. Приводятся начальные условия и пространственное изображение трехмерных периодических движений, построенных этим методом в окрестности точек либрации эллипсоидального астероида с полуосями 28, 12, 10.5 км и плотно-
а) Ь) с)
Рис. 1: Пространственное периодическое движение в относительной системе координат фиксированной в центральной точке либрации трехосного эллипсоида с полуосями 28, 12, 10.5 км, для соизмеримости Р2/Р^ = 5/2 между периодами периодических движений в экваториальной плоскости эллипсоида и в направлении оси перпендикулярном этой плоскости. Период вращения эллипсоида равен Т = 29 977 час., а период пространственного периодического движения составляет 2Рг = 5Р( = 149.697 час а) проекция; Ь) ££ проекция; с) г/С проекция; 6) трехмерное изображение
стью 2.5 г/см3 (Векоп и др., 1995) в системе координат фиксированной в точке либрации. Движения получены численным интегрированием для тех значений периода вращения эллипсоида, при которых существует соизмеримость периодов периодического движения, лежащего в плоскости экватора эллипсоида, и осциллирующего перпендикулярно к этой плоскости. Пример такого периодического движения в окрестности центральной точки либрации используемоцй модели эллипсоидального астероида при соизмеримости 5/2 между периодом Р-> периодического движения в экваториальной (£т)) плоскости эллипсоида и периодом Р( осцилляции в направлении оси перпендикулярном к этой плоскости, приведен на Рис. 1.
Сделан вывод о значении периода вращения, при котором, вследствие неустойчивости точек либрации, лежащих на продолжении наибольшей оси эллипсоидального астероида, может начаться его разрушение. Показано, что это значение одинаково для астероидов, имеющих одни и те же значения плотности и отношений а/с, Ь/с полуосей.
В Главе 3 Описывается метод численного исследования динамики спутника трехосного эллипсоида при использовании сечений Пуанкаре (Рот-сагё, 1899; Пуанкаре, 1972; В1гкЬоАГ, 1927; Биркгоф, 1941), представленный в работе (СЬаиущеаи и др., 1993), где изучается движение в окрестности медленно (с периодом Т = 40 час.) вращающегося эллипсоидального астероида. Приводятся результаты применения этого метода к исследованию динамики плоских орбит малого спутника в близкой окрестности быстро (Т = 4.63 час.) вращающегося трехосного эллипсоида сильно вытянутой формы (отношение а/с наибольшей оси к наименьшей составляет 2.7). Вычисленное расположение зон регулярных и хаотических орбит спутника, орбит выброса и столкновения с поверхностью этого эллипсоидального астероида сравнивается с аналогичными численными результатами, полученными для экстремально медленно (Т = 417.7 час.) вращающегося эллипсоидального астероида умеренно вытянутой формы (а/с ¡5» 1.4). Выявляются различия в динамике спутников быстро и медленно вращающихся астероидов. Особенностями движения вблизи быстро вращающегося астероида являются отсутствие синодически прямых орбит и существование обширной зоны хаотического движения, переходящей в зону орбит столкновения с поверхностью астероида-эллипсоида.
На Рис. 3 отражена динамика орбит спутника в окрестности выбранной модели быстро вращающегося эллипсоидального астероида при значении постоянной Якоби С = 2.2, а на Рис. 2 - глобальная динамика орбит вблизи этого астероида. Точка, окруженная кривыми (Рис. 3) соответствует сечению почти круговой орбиты, а сами кривые - сечениям
Рис. 2: Динамика малого спутника в близкой окрестности трехосного эллипсоида с полуосями 28, 12, 10.5 км и периодом вращения 4.63 час. Области хаотических орбит заштрихованы по диагонали; области орбит, ведущих к падению на эллипсоид, заштрихованы горизонтально; области выброса - вертикально; пунктирные кривые 2, 3 внутри незаштрихованных областей регулярных орбит представляют начальные данные почти круговых орбит.
• х =-4.78515 (circular) 10 arctg (х/10)
Рис. 3: Сечения орбит малого спутника в окрестности трехосного эллипсоида с полуосями 28, 12, 10.5 км и периодом вращения 4.63 час.
регулярных орбит. Беспорядочно разбросанные точки представляют сечения хаотических орбит. На Рис 2 области регулярных орбит оставлены незаштрихованными, области хаотических орбит заштрихованы по диагонали, области орбит, ведущих к падению на астероид, заштрихованы горизонтально, а области выброса - вертикально. Пунктирные кривые 2, 3 представляют начальные данные почти круговых орбит. Далее описывается адаптирование метода исследования трехмерных периодических движений в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) для практического построения пространствен- { ных периодических движений в окрестности трехосного эллипсоида вытянутой формы. Приводятся начальные данные (в переменных Делоне) трехмерных периодических движений в окрестности трехосного эллипсоида с полуосями 70, 60 и 50 км, вычисленных полученным методом. Глава 4 посвящена численному моделированию процесса выпадения частиц на астероид для изучения его влияния на эволюцию формы и скорость вращения астероида. Предполагается, что в начальный момент времени частицы равномерно распределены в пространстве, окружающем равномерно вращающийся астероид, а их скорости равны нулю, что соответствует состоянию в эпоху аккреции в Солнечной системе. Для исследования выбраны две модели: трехосный эллипсоид с полуосями а = 28, 6 = 12, с — 10.5 км и плотностью р = 2.5 г/см3, приближенно совпадающими с соответствующими параметрами астероида 243 Ida (Bel-ton и др., 1995) и гантелеобразная фигура той же массы и плотности. На Рис. 4 и 5 изображены проекции на экваториальную плоскость каждой из фигур точек соударения частиц с их поверхностью. Хотя выбранное идеализированное значение периода вращения, равное 1.1 час., физически вряд ли осуществимо для астероида-эллипсоида с данными измерениями, оно, тем не менее, позволяет наглядно продемонстрировать преобладание при коротких периодах вращения количества частиц, соударяющихся с ведущими сторонами астероида, над количеством частиц, ударяющих его » ведомые стороны.
Вычисление зон возможной эрозии позволило сделать вывод, что на рассматриваемой стадии развития Солнечной системы эрозия была невозможна и, следовательно, области, подвергавшиеся наиболее интенсивной бомбардировке падающими частицами, являлись зонами наиболее интенсивной аккреции. Результаты численного моделирования показали, что расположение этих зон и, соответственно, характер изменения формы астероида зависят от его периода вращения. Для астероида фиксированной формы и плотности существует такое определенное значение периода
151 у [кт]
-15 «—I—<—|—<—|—I—| I |—•—г—«—г—'—I 1 I—<—I—I—I—'— -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
X [Кт)
Рис. 4: Проекции точек соударения на экваториальную плоскость трехосного эллипсоида с полуосями 28, 12, 10.5 км. Значение периода вращения эллипсоидального астероида (невозможное физически) выбрано равным 1.1 час., что позволяет наглядно отобразить влияние экстремально быстрого вращения на распределение точек соударения частиц с поверхностью эллипсоида. Вид с конца вектора вращения. Ведомые стороны - в левой верхней и правой нижней четвертях графика.
•25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
х [кт]
Рис. 5: Проекции точек соударения на экваториальную плоскость гантеле-образной фигуры с массой и плотностью трехосного эллипсоида, представленного на Рис. 4. Идеализированное значение периода вращения выбрано равным 1.1 час. Вид с конца вектора вращения. Ведомые стороны - в левой верхней и правой нижней четвертях графика.
его вращения, что при всех меньших значениях поток частиц, падающих на ведущие стороны астероида, численно превышает поток, ударяющий его ведомые стороны, а при всех больших значениях периода, наоборот, ведомые стороны принимают больший поток падающих частиц. Для эллипсоида с полуосями а — 28, 6 = 12, с = 10.5 км и плотностью р = 2.5 г/см3 это критическое значение периода вращения равно 9.1 час., а для гантелеобразной фигуры той же массы и плотности - 3.3 час. Результаты вычислений показали также, что, независимо от плотности астероида, плотности распределения частиц в пространстве и их массы (при \ условии, что в начальный момент времени частицы одинаковой массы распределены в пространстве равномерно, а их скорости равны нулю), вращение астероида при выпадении на него частиц будет замедляться, а направление вектора вращения останется неизменным. В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:
1. Батраков Ю.В., Василькова 0.0. 1997. О возможной эрозии эллипсоидального тела в пылевом облаке. Тезисы конференции Компьютерные методы небесной меганики-97, 18-20 ноября 1997, Санкт-Петербург, ИТА, с. 25.
2. Василькова О.О. 1999. Точки либрации вращающегося трехосного эллипсоида. Труды ИПА РАН 4, 246-259.
3 Vasilkova 0.0. 2000. Schwarzschild non-equatorial periodic motion about an asteroid modeled as a triaxial rotating ellipsoid. US/European Celestial Mechanics Workshop, July 3-7, 2000, Poznan, Poland, proc., 283-288.
4. Василькова O.O. 2000. Пространственные периодические решения Шварцшильда в окрестности трехосного эллипсоида. Астрометрия, i геодинамика и небесная механика на пороге XXI века, 19-23 июня
2000 г., ИПА РАН, С.-Петербург, сб. докладов, 239-240.
5. Vasilkova О.О. 2002. On a possible mechanism of particles falling affecting the asteroid shape and angular momentum evolution. A numerical simulation. Asteroids, Comets, Meteors 2002, July 29-August 2, 2002, Berlin, Germany, ESA, proceedings, 867-870.
6. Vasilkova O.O. 2003. The effect of falling particles on the shape and spin rate of an asteroid. Astron. & Astroph. 403, 2, 413-418.
7. Vasilkova О О. 2005. Three-dimensional periodic motion in the vicinity of the equilibrium points of an asteroid. Astron. & Astroph. 430, 2, 713-723.
8. Василькова O.O. 2005. Область возможного движения спутника Dactyl астероида 243 Ida. Материалы всероссийской конференции Астероидно-кометная опасность-2005, 3-7 октября 2005 г., ИПА РАН, С.-Петербург, 83-86.
9. Василькова О.О. 2005. Исследование динамики экваториального спутника астероида, аппроксимируемого трехосным эллипсоидом. Сообщения ИПА РАН 160, 22 с.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Абалакин В.К. 1957. К вопросу об устойчивости точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Бюлл. ИТ А АН СССР б, 8, 543-549.
2. Антонов В. А. 1961. Фигуры равновесия вращающейся жидкости, обладающие особыми точками. Вестн. Ленингр. ун-та 13, 157-160.
3. Батраков Ю.В. 1957. Периодические движения частицы в поле тяготения вращающегося трехосного эллипсоида. Бюлл. ИТА АН СССР 6, 8, 524-542.
4. Дубошин Г.Н. 1961. Теория притяжения. М.
5 Журавлёв С. Г. 2000. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики. т.1. Архангельск, АГТУ.
6. Субботин М.Ф. 1949. Курс небесной механики. т.З. М.-Л.
7. Belton M. J.S, Chapman С., Thomas P., etc. 1995. Bulk density of asteroid 243 Ida from the orbit of its satellite Dactyl. Nature 374, 785-788.
8. Birkhoff G.D. 1927. Dynamical systems. New York. (В переводе на русский: Биркгоф Дж. Д. 1941. Динамические системы. М.-Л., ГИТТЛ.)
9. Chauvineau В., Farinella P., and Mignard F. 1993. Planar orbits about a triaxial body: application to asteroidal satellites. Icarus 105, 370-384.
10. Poincaré H. 1899. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, t.3. Gauthier-Villars, Paris. (В переводе на русский: Пуанкаре А. 1972. Избранные труды, т.2. М., Наука.)
11. Scheeres D.J. 1994. Dynamics about uniformly rotating triaxial ellipsoids: applications to asteroids. Icarus 110, 225-238.
f¿€>3
8 2 0 9
Введение.
Глава 1. Исторический обзор, состояние проблемы
Глава 2. Периодические движения в окрестности точек либрации
2.1. Введение.
2.2. Постановка задачи.
2.3. Форма £г/ проекции пространственного периодического движения
2.4. Пространственные периодические орбиты в окрестности точек либрации.
2.5. Начальные условия пространственной периодической орбиты.
2.6. Периодические движения в окрестности седловых точек либрации.
2.7. Периодические движения в окрестности центральных точек либрации
2.8. Выводы.
Глава 3. Динамика в окрестности астероида
3.1. Введение
3.2. Основные уравнения, метод исследования.
3.3. Результаты, полученные в задаче Кеплера.
3.4. Движение спутника вблизи значительно вытянутого трехосного эллипсоида.
3.5. Сравнение результатов, полученных для кеплеровой и "трехосной" задач.
3.6. Пространственные периодические движения в окрестности трехосного эллипсоида.
3.7. Основные результаты
Глава 4• Влияние падения частиц на форму и скорость вращения астероида
4.1. Введение
4.2. Постановка задачи.
4.3. Результаты вычислений
4.4. Выводы .•.
В то время как классической проблеме движения частицы или спутника в окрестности планеты почти сферической формы посвящено много работ, методы исследования движения в близкой окрестности тела значительно вытянутой формы (такого как астероид) начали разрабатываться только в начале 90-х годов прошлого столетия. Это было связано с готовящимся тесным сближением космического аппарата Galileo с астероидами главного пояса 951 Gaspra и 243 Ida. Особенный интерес к этой задаче возник после того, как на снимках, сделанных в 1993 году космическим аппаратом Galileo при пролете мимо астероида 243 Ida, был обнаружен спутник этого астероида, получивший в 1994 году имя Dactyl. К настоящему времени спутники обнаружены уже у нескольких десятков астероидов. Данная работа посвящена исследованию динамики спутника пренебрежимо малой массы в близкой окрестности быстро вращающегося астероида значительно вытянутой формы, аппроксимируемого однородным трехосным эллипсоидом. Полученные результаты и разработанные методы применимы к любому равномерно вращающемуся астероиду, для которого известны значения трех главных осей, плотности и периода вращения. Все эти данные могут быть получены с той или иной точностью из наземных наблюдений. Вычисления ограничены движением спутника внутри гравитационной сферы Хилла и внутри сферы влияния астероида-эллипсоида относительно Солнца, на сравнительно небольших интервалах времени, что позволяет считать возмущающее действие Солнца на спутник достаточно малым и пренебречь им.
Основные цели настоящей работы:
• получение глобальной динамической картины расположения зон регулярных и хаотических орбит спутника пренебрежимо малой массы в близкой окрестности быстро вращающегося астероида с известными значениями трех главных осей, плотности и периода вращения;
• разработка методов практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида, аппроксимирующего равномерно вращающийся астероид значительно вытянутой формы, и вокруг самого эллипсоида;
• изучение влияния падения частиц на эволюцию формы астероида (аппроксимированного трехосным эллипсоидом и гантеле-образной фигурой) и его скорость вращения в эпоху аккреции в Солнечной системе.
Структура и краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 126 страниц, в том числе 3 таблицы, 46 графиков и список литературы из 152 наименований.
4.4. Выводы
Вычисления, описанные здесь, были повторены для различных размеров частиц (при условии их одинакового размера по отношению друг к другу) и их различных пространственных плотностей (при равномерном распределении в пространстве). Варьировалась также плотность самого астероида. Вычисления показали, что:
• для астероида, аппроксимированного как трехосным эллипсоидом вытянутой формы, так и гантелеобразной фигурой той же массы и плотности, поток частиц, ударяющих ведущие стороны астероида, до тех пор сильнее, чем поток, ударяющий его ведомые стороны, пока значение периода вращения астероида меньше некоторой определенной величины. Для трехосного эллипсоида и гантелеобразной фигуры, аппроксимирующих астероид 243 Ida, эти критические значения периода вращения равны 9.1 и 3.3 час., соответственно. Чем больше вытянута форма астероида (или чем меньше его плотность), тем больше эти значения. Эволюция формы имеет асимметричный характер с формированием выпуклостей на ведущих сторонах (в зонах, соответствующих зонам наиболее интенсивной бомбардировки падающими частицами (Рис. 39, 40)) до тех пор, пока значение периода вращения будет меньше критического, при котором ведущие и ведомые стороны астероида принимают одинаковый поток падающих частиц (на Рис. 45 оно соответствует значению периода вращения, при котором кривая у = 0.5 пересекает одну из остальных кривых). По-видимому, при почти однородном распределении частиц в пространстве (для любого размера частиц, но при их примерно одинаковом размере по отношению друг к другу) и их малых относительных скоростях как эллипсоидальные, так и гантелеобразные астероиды при коротких периодах вращения стремятся приобрести форму с выпуклостями на ведущих сторонах, напоминающую две асимметрично состыкованные сферы (точнее, картофелины) (Рис. 39, 40).
При длинных периодах вращения зоны наиболее интенсивной бомбардировки расположены для эллипсоидальных астероидов вблизи концов его меньшей и средней осей (см. также работу (Батраков и Василькова, 1997)), а для гантелеобразных астероидов - вблизи точки контакта. Следовательно, при медленном вращении и эллипсоидальные, и гантелеобразные астероиды имеют тенденцию принимать форму эллипсоидов вращения, а достигнув ее, стремиться к сферической форме.
• Независимо от значения пространственной плотности частиц и их массы (при условии, что масса отдельной частицы много меньше массы астероида), при падении однородно распределенных частиц одинаковой массы вращение астероида неизменно замедляется без изменения направления вектора момента вращения. Масса и пространственная плотность частиц влияют только на скорость этого замедления. Чем короче период вращения, тем круче кривая на Рис. 46 и, следовательно, интенсивнее замедление скорости вращения астероида. Отметим, что значение суммарного вклада в момент вращения астероида падающими частицами (откладываемое по вертикали на Рис. 46) является величиной 0 -компоненты вектора суммарного углового момента, передаваемого частицами при падении, так как х и у-компоненты этого вектора (как показывают вычисления) практически равны нулю. Эффект замедления, обнаруженный в данном исследовании при моделировании условий ранней стадии аккреции, подобен эффекту трения, описанному для модели Харриса в работе (Davis и др., 1979). В современной Солнечной системе, в условиях столкновений астероидов, обусловленных большими эксцентриситетами их орбит, уже не выпадение мелких частиц на астероиды, а менее частые столкновения с большими телами определяют, ускорится или замедлится вращение астероида и изменится ли направление его вращения.
• Вычисление зон возможной эрозии на поверхности астероида в эпоху аккреции в Солнечной системе привели к заключению (не новому, см. (Harris, 1977; Hartmann, 1978; Housen, Wilken-ing, Chapman; 1979)), что наибольшие тела из потока будут аккумулировать реголит. Зоны, накапливающие массу наиболее интенсивно, будут совпадать с зонами наиболее интенсивной бомбардировки падающими частицами (см. Рис. 39, 40).
Глава 5. Заключение
Разработанные методы и полученные результаты, описанные в настоящей работе, применимы для изучения динамики спутника достаточно малой массы в окрестности любого равномерно вращающегося трехосного астероида (при аппроксимировании его однородным трехосным эллипсоидом) с известными значениями трех главных осей, плотности и скорости вращения. В работе получены следующие основные результаты.
1) Для отображения результатов численного интегрирования уравнений движения малого спутника быстро вращающегося астероида сильно вытянутой формы, аппроксимированного трехосным эллипсоидом, применяется метод сечений Пуанкаре, адаптированный в работе (Chauvineau и др., 1993) для исследования движения в экваториальной плоскости шара и трехосного эллипсоида. Качественные особенности орбитальной динамики спутника отображены на сечениях, соответствующих определенному значению постоянной Якоби, а также на диаграмме, демонстрирующей для спутника быстро вращающегося трехосного эллипсоида (имеющего приближенные параметры астероида 243 Ida) расположение областей возможного движения, зон регулярных и хаотических орбит и зон орбит, ведущих к выбросу или столкновению с астероидом. Изучение движения в окрестности быстро вращающегося астероида производится, с одной стороны, в сравнении с движением в окрестности шара той же массы и плотности, а с другой - в сравнении с движением в окрестности экстремально медленно вращающегося трехосного эллипсоида, имеющего приближенные параметры астероида 253 Mathilde. Из расположения областей возможного движения спутника в кеплеровом и "трехосном" случаях движения в близкой окрестности астероидов 243 Ida и 253 Mathilde можно сделать следующие выводы.
• Тогда как для медленно вращающегося астероида-эллипсоида умеренно вытянутой формы, такого как 253 Mathilde или астероид со "стандартным" соотношением осей (Chauvineau и др., 1993), динамика спутника мало отличается от кеплеровой, а зоны хаотического движения либо отсутствуют (253 Mathilde), либо отделены от зоны столкновения областью регулярных орбит (Chauvineau и др., 1993), а синодически прямые регулярные орбиты могут существовать на близких к астероиду расстояниях, динамика спутника быстро вращающегося астероида-эллипсоида сильно вытянутой формы (243 Ida) существенно отличается как от кеплеровой динамики, так и от динамики спутника медленно вращающегося эллипсоидального астероида. Отличительными особенностями движения вокруг быстро вращающегося астероида являются отсутствие синодически прямых орбит спутника и расширение области хаотических орбит, смыкающейся с зоной орбит столкновения.
• Расположение динамических зон орбит спутника (полученное численным интегрированием) позволяет оценить некоторые параметры возможной орбиты естественного спутника астероида. Из расположения зон регулярных орбит спутника астероида 243 Ida, аппроксимированного трехосным эллипсоидом (Рис. 27, с. 70), видно, что спутник этого астероида может обращаться только по синодически обратной орбите. Прямые в неподвижной системе регулярные орбиты могут существовать непосредственно у самой поверхности астероида, тогда как обратные - не ближе 47.80 км от его центра. Орбиты, являющиеся синодически прямыми, являются более стабильными, чем синодически обратные.
• Диаграмма распределения динамических зон в окрестности астероида (аппроксимированного трехосным эллипсоидом) позволяет оценить расположение благоприятной орбиты для помещения искусственного спутника которая бы не вела к столкновению с астероидом, не была хаотической и проходила достаточно близко от астероида. Для быстро вращающихся астероидов наиболее удобными орбитами оказываются синодически обратные орбиты, расположенные внутри областей регулярных орбит (Рис. 25, 27), наиболее предпочтительными из них являются орбиты, прямые в неподвижной системе координат.
2) Разработан численный метод практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида, аппроксимирующего астероид. Выведены необходимые формулы для вычисления начальных условий и периода этих движений при использовании уравнений в вариациях. Показывается, что значение периода искомого пространственного периодического движения зависит от формы эллипсоида, его плотности и скорости вращения. Приводится пространственное изображение трехмерных орбит в окрестности седловой и центральной точек либрации астероида 243 Ida , построенных разработанным методом. Выводится формула для значения периода вращения ТЭ, при котором может начаться разрушение эллиптического астероида. Доказывается, что его значение одинаково для астероидов, имеющих одни и те же значения плотности и соотношений осей. Исследуется возможность существования трехмерных периодических симметричных решений в окрестности седловых точек эллипсоида Якоби, который может быть в первом приближении использован для аппроксимации rubble-pile астероидов. Графически доказывается возможность существования искомых движений для двух определенных относительных расстояний седловой точки либрации от центра эллипсоида Якоби.
3) Разработан численный метод построения трехмерных периодических движений вокруг вытянутого трехосного эллипсоида, основанный на теории Пуанкаре периодических движений, адаптированной Ю. В. Батраковым для исследования пространственных периодических движений в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957). Используя этот метод, численно получены начальные условия для трехмерных периодических движений в окрестности равномерно вращающегося однородного трехосного эллипсоида с полуосями 70, 60, 50 км.
4) Выполнено численное моделирование падения частиц на поверхность астероида в эпоху аккреции в Солнечной системе с целью изучения влияния падения частиц на эволюцию формы и скорость вращения астероида, представленного двумя однородными моделями значительно вытянутой формы: трехосным эллипсоидом, аппроксимирующим астероид 243 Ida и гантеле-образной фигурой той же массы и плотности. Выявлены следующие закономерности.
• Для астероида, аппроксимированного как трехосным эллипсоидом, так и гантелеобразной фигурой той же массы и плотности, поток частиц, ударяющих ведущие стороны астероида, до тех пор количественно сильнее потока, ударяющего его ведомые стороны, пока значение периода вращения астероида меньше некоторой определенной величины. Для трехосного эллипсоида и гантелеобразной фигуры, аппроксимирующих астероид
243 Ida, эти критические значения периода вращения равны 9.1 и 3.3 час., соответственно.
Эволюция формы имеет асимметричный характер с формированием выпуклостей на ведущих сторонах астероида (в зонах, соответствующих зонам наиболее интенсивной бомбардировки падающими частицами) до тех пор, пока значение периода вращения будет меньше критического. По-видимому, при почти однородном распределении частиц в пространстве (для любого размера частиц, но при их примерно одинаковом размере по отношению друг к другу) и их малых относительных скоростях, как эллипсоидальные, так и гантелеобразные астероиды при коротких периодах вращения стремятся приобрести форму, напоминающую две асимметрично состыкованные сферы (точнее, "картофелины").
При длинных периодах вращения зоны наиболее интенсивной бомбардировки расположены для эллипсоидальных астероидов вблизи концов его меньшей и средней осей, а для гантелеобраз-ных астероидов - вблизи точки контакта. Следовательно, при медленном вращении и эллипсоидальные, и гантелеобразные астероиды имеют тенденцию принимать форму эллипсоидов вращения, а достигнув ее, стремиться к сферической форме.
Независимо от значения пространственной плотности частиц и их массы (при условии, что масса отдельной частицы много меньше массы астероида), при падении однородно распределенных частиц одинаковой массы вращение астероида неизменно замедляется без изменения направления вектора момента вращения. Масса и пространственная плотность частиц влияют только на скорость этого замедления.
Вычисление возможных зон эрозии на поверхности астероида для стадии аккреции в ранней Солнечной системе привели к заключению (не новому), что наибольшие тела из потока аккумулируют реголит. Зонами, накапливающими массу наиболее интенсивно, являются зоны наиболее интенсивной бомбардировки поверхности астероида падающими частицами (Рис. 39, 40).
Автор диссертации глубоко благодарна научным руководителям доктору физ.-мат. наук Виктору Кузьмичу Абалакину за постоянное внимание и доброжелательное отношение к работе, за ценные советы по теме диссертации, за помощь в подготовке статей по теме диссертации к публикации и в подготовке самой диссертации и автореферата, за помощь в подборе первоисточников, доктору физ.-мат. наук Юрию Васильевичу Батракову за увлекательную и чрезвычайно актуальную тему диссертации, за постоянное внимание к работе, за необходимые советы и обсуждения результатов, за помощь в подготовке к публикации статей по теме диссертации и подготовке самой диссертации и автореферата.
1. Абалакин B.K. 1957. К вопросу об устойчивости точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Бюлл. ИТА АН СССР 6, 8, 543-549.
2. Абалакин В.К. 1959. О движении материальной точки внутри неоднородного гравитирующего трехосного эллипсоида. Бюлл. ИТА АН СССР 7, 5, 327-353.
3. Абалакин В. К. 1961. О периодических движениях звезд в эллипсоидальных звездных скоплениях. Бюлл. ИТА АН СССР 8, 3, 173-214.
4. Адабергенов Б. А. 1992. Построение условно-периодических решений. Каз. гос. пед. ун-т,, Алма-Ата.
5. Адабергенов Б. А. 1992а. Алгоритм построения условно-периодических решений. Каз. гос. пед. ун-т, Алма-Ата.
6. Аксёнов Е.П. 1960. О периодических движениях частицы в поле тяготения вращающегося тела. Вестн. Моск. Ун. Физ. астрон. 4, 86-95.
7. Аксёнов Е.П. 1960а. О точках либрации в гравитационном поле вращающегося тела. Сообщ. Гос. астр, ин-та им. П. К. Штернберга 115, 44-53.
8. Аксёнов Е.П. 1960b. Почти круговые движения частицы в поле тяготения вращающегося тела. Вестн. Моск. Ун. Физ. астрон. 5, 94-102.
9. Антонов В. А. 1961. Фигуры равновесия вращающейся жидкости, обладающие особыми точками. Вестн. Ленингр. Ун. 13, 157-160.
10. Антонов В. А., Холшевников К. В. 1985. О возможности использования классического представления гравитационного потенциала вблизи поверхности планеты. Науч. пробл. авиации и космонавт.: Ист. и современность. М., 162-165.
11. Антонов В.А., Баранов A.C. 2001. Журнал технической физики, 71, 10, 8-12.
12. Аниковский В.В., Джунусбеков Д.Д. 1989. О невырожденности стационарных решений в обобщенном спутниковом варианте ограниченной задачи трех тел. Тез. докл. 9-ой Респ. межвуз. науч. конф., 12-15 сент. 1989, мат. и мех, Алма-Ата.
13. Баркин Ю.В., Панкратов A.A. 1987. Плоские движения спутника в поле тяготения вращающейся несферичной планеты. Бопр. мех. тверд, и деформируем, тела. М., 24-36.
14. Батраков Ю.В. 1955. Периодические решения типа Шварцшиль-да в ограниченной задаче трех тел. Бюлл. ИТ А АН СССР б, 2, 112-120.
15. Батраков Ю.В. 1955а. О периодических решениях третьего сорта в общей задаче трех тел. Бюлл. ИТА АН СССР 6, 2, 121-126.
16. Батраков Ю.В. 1957. Периодические движения частицы в поле тяготения вращающегося трехосного эллипсоида. Бюлл. ИТА АН СССР 6, 8, 524-542.
17. Батраков Ю.В., Василькова О.О. 1997. О возможной эрозии эллипсоидального тела в пылевом облаке. Тезисы конференции Компьютерные методы небесной механики-97, 18-20 ноября 1997, Санкт-Петербург, ИТА, с. 25.
18. Беков A.A. 1988. Точки либрации вращающегося трехосного эллипсоида с переменными физическими параметрами. Астрон. циркуляр 1529, 27-28.
19. Беков A.A. 1990. О поверхностях Хилла в окрестности вращающегося нестационарного трехосного эллипсоида. Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 4, 49-52.
20. Беков A.A. 1990а. О частных решениях в окрестности гравити-рующего вращающегося трехосного эллипсоида. А нал. небес, мех., Казань, 75-81.
21. Биркгоф Дж.Д. 1941. Динамические системы. M.-JL ГИТТЛ.
22. Василькова О.О. 1999. Точки либрации вращающегося трехосного эллипсоида. Труды ИПА РАН 4, 246-259.
23. Василькова О.О. 2000. Пространственные периодические решения Шварцшильда в окрестности трехосного эллипсоида. Сб. докладов конференции Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века, 19-23 июня 2000, С,- Петербург, ИПА РАН, с. 239-240.
24. Василькова О.О. 2005 Область возможного движения спутника Dactyl астероида 243 Ida. Материалы всероссийской конференции Астероидно-кометная опасность 2005, 3-7 октября 2005 г., С.-Петербург, ИПА РАН, с. 83-86.
25. Василькова О.О. 2005b. Исследование динамики экваториального спутника астероида, аппроксимируемого трехосным эллипсоидом. Сообщения ИПА РАН, 160, 22с.
26. Дёмин В. Г., Аксёнов Е.П. 1960. О периодических движениях частицы в поле тяготения медленно вращающегося тела. Вести. Моск. Ун. Физика, астрономия 6, 87.
27. Дубошин Г.Н. 1961. Теория притяжения. М., Гос. изд. физ.-мат. литературы.
28. Ерошкин Г. И. 1986. Разложение внешнего потенциала притяжения однородного трехосного эллипсоида в ряд по сферическим функциям. Бюлл. ИТ А АН СССР 15, 10, 575-579.
29. Железнов Н.Б. 2002. Поступательно-вращательное движение в системе двойного астероида и моделирование его световых кривых. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. СПб, ИПА РАН.
30. Железнов Н.Б. 2004. Двойные астероиды. Труды ИПА РАН 11, 206-224.
31. Журавлёв С. Г. 1974. Об устойчивости точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида в пространственном случае. Астрон.ж. 51, 6, 1330-1334.
32. Журавлёв С. Г. 1980. Стационарные и периодические движения в поле притяжения вращающегося трехосного эллипсоида. Прикл. матем. мех. 44, 3, 387-394.
33. Журавлёв С. Г. 1983. Условно-периодические движения в поле притяжения вращающегося трехосного эллипсоида. Прикл. матем. мех. 47, 6, 909-915.
34. Журавлёв С.Г., Зленко A.A. 1983. О некоторых частных случаях поступательно-вращательного движения осесимметричного спутника трехосной планеты. Космич. исслед. 19, 3, 367-376.
35. Журавлёв С.Г. и Зленко A.A. 1983а. О стационарных решениях в задаче о поступательно-вращательном движении трехосного спутника трехосной планеты. Астрон.ж. 60, 2, 367-374.
36. Журавлёв С.Г. и Зленко A.A. 1983b. Условно-периодические поступательно-вращательные движения спутника трехосной планеты. Астрон.ж. 60, 6, 1217-1222.
37. Журавлёв С. Г. 2000. Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики. т.1. Орбитальное движение. Архангельск. АГТУ.
38. Корн Г. и Корн Т. 1968. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука.
39. Косенко И.И. 1981. Точки либрации в задаче о трехосном грави-тирующем эллипсоиде. Геометрия области устойчивости. Космич. исслед. 19, 2, 200-209.
40. Косенко И.И. 1981а. О точках либрации вблизи гравитирующего вращающегося трехосного эллипсоида. Прикл. матем. мех. 45, 1, 26-33.
41. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. 1965. Механика. М., Наука.
42. Ляпунов A.M. 1950. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., ГИТТЛ.
43. Нартикоев П. С. 1987. Предвычисление движений материальной точки в поле тяготения трехосной планеты. Орджоникидзе, Сев.-Осет. ун-т.
44. Нартикоев П. С., Ставровская М.С. 1990. Об интегрировании уравнений возмущенного движения спутника трехосной планеты методом Тейлора-Стеффенсена. Косм, исслед. 28, 3, 474-475.
45. Николаев С.И. 1968. Исследование неосуществимости точек либрации гравитирующего эллипсоида. Укр. матем. ж. 20, 5, 661666.
46. Николаев С. И. 1969. К вопросу о неосуществимости периодического движения частицы в окрестности точек либрации гравитационного эллипсоида. Мат. физика. Респ. межвед. сб. 6, 134-139.
47. Николаев С. И. 1972. Об устойчивости в первом приближении точек либрации трехосного эллипсоида при постоянно действующих возмущениях. Бюлл. ИТ А АН СССР 13, 4, 215-219.
48. Прокофьева В. В., Карачкина Л.Г., Батраков Ю.В. 2005. Частотный анализ модельных световых кривых одиночного астероида. Материалы всероссийской конференции Астероидно-кометная опасность 2005, 3-7 октября 2005 г., С.-Петербург, ИПА РАН, 287-288.
49. Пуанкаре А. 1947. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ.
50. Пуанкаре А. 1971. Избранные труды, т.1. М., Наука.
51. Пуанкаре А. 1972. Избранные труды, т. 2. М., Наука.
52. Рускол Е.Л., Сафронов B.C. 1998. Рост Юпитера как важный фактор формирования планетной системы. Астрон. Вестник 32, 4, 291-300.
53. Сафронов B.C. 1958. О росте планет земной группы. Вопросы космогонии 6, 63-77.
54. Сафронов B.C. 1969. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М., Наука.
55. Себехей В. 1982. Теория орбит. М., Наука.
56. Сейткулов О. 1983. Об экваториальных орбитах спутника трехосного притягивающего твердого тела. Косм. иссл. 21, 2, 128-131.
57. Сейткулов 0.1983а. Об интегрировании уравнений движения материальной точки в экваториальной плоскости трехосного притягивающего твердого тела. Ред. ж. Вестн. АН КазССР, Алма-Ата.
58. Субботин М.Ф. 1937. Курс небесной механики, т. 2. М.-Л.
59. Субботин М.Ф. 1949. Курс небесной механики. т.З. М.-Л.
60. Шмидт О.Ю. 1954. О происхождении астероидов. Доклады АН СССР XCVI, 3, 449-451.
61. Arlot J.Е., Lecacheux J., Richardson Ch., Thuillot W. 1985. A possible satellite of 146 Lucina. Icarus 61, 224-231.
62. Bell E.F., Davis D.R., Hartmann W.K., etc. 1989. The big picture. In Asteroids //, ed. R.P. Binzel, T. Gehrels, M.S. Matthews, 921-946.
63. Belton M., Chapman C., Thomas P., etc. 1995. The bulk density of asteroid 243 Ida from Dactyl's orbit. Nature 374, 785-788.
64. Belton M., Mueller B., D'Amario L., etc. 1996. The discovery and orbit of 1993 (243) 1 Dactyl. Icarus 120, 185-199.
65. Binzel R.P. 1978. The further support for minor planet multiplicity. Occ. Newsl. 1, 152-153.
66. Binzel R.P. 1985. Crocus a processing, binary asteroid? Icarus 63, 99-108.
67. Birkhoff G.D. 1922. Surface transformations and their dynamical applications. Acta math. 43, 1-119.
68. Birkhoff G.D. 1927. Dynamical systems. New York.
69. Borham A.H. 1983. About the non-existence of additional analitycal integral in the problem of satellite's motion under the gravitational attraction of a triaxial rigid body. Cel. Mech. Dyn. Astr. 29, 4, 323328.
70. Burns J. A. 1975. The angular momenta of solar system bodies: Implications for asteroid strengths. Icarus 25, 545-554.
71. Capaccioni F., Cerroni P., Coradini M., Farinella P., Flamini E., Martelli G., Paolicchi P., Smith P.N., Zappala V. 1984. Shapes of asteroids compared with fragments from hypervelocity impact experiments. Nature 308, 832-834.
72. Catullo V., Zappala V., Farinella P., Paolicchi P. 1984. Analysis of the shape distribution of asteroids. Astron. & Astroph. 138, 464-468.
73. Chandrasekhar S. 1969. Ellipsoidal figures of equilibrium. New Haven and London. Yale University Press.
74. Chauvineau B. and Mignard F. 1990a. Dynamics of binary asteroid.
75. Hill's case. Icarus 83, 360-381.
76. Chauvineau B. and Mignard F. 1990b. Dynamics of binary asteroid.1.. Jovian perturbations. Icarus 87, 377-390.
77. Chauvineau B. and Mignard F. 1990c. Generalized Hill's problem: Lagrangian Hill's case. Cel. Mech. Dyn. Astr. 47, 123-144.
78. Chauvineau B., Mignard F., and Farinella P. 1991. The lifetime of binary asteroids vs gravitational encounters and collisions. Icarus 94, 299-310.
79. Chauvineau B., Farinella P., and Mignard F. 1993. Planar orbits about a triaxial body: application to asteroidal satellites. Icarus 105, 370-384.
80. Colin J. 1979. Angular motion of trapped stars near the corotation circle in spiral galaxies. Astron. & Astroph. 76, 3, 356-358.
81. Contopoulos G. 1973. The particle resonance in spiral galaxies. Nonlinear effects. Astrophys. J. 181, 3, 657-684.
82. Contopoulos G., Papayannopoulos Th. 1980. Orbits in weak and strong bars. Astron. & Astroph. 92, 33-46.
83. Contopoulos G. and Barbanis B. 1994. Periodic orbits and their bifurcations in a 3-D system. Cel. Mech. Dyn. Astr. 59, 3, 279-300.
84. Danby J.M. A. 1965. The formation of arms in barred spirals. Astron. J. 70, 7, 501-512.
85. Davis D.R., Chapman C.R., Greenberg R.J., etc. 1979. Collisional evolution of asteroids: populations, rotations and velocities. In Asteroidsed. T. Gehrels, 528-557.
86. Davis D.R., Chapman C.R., Durda D.D., Farinella P., and Marzari F. 1996. The formation and collisional/dynamical evolution of the Ida-Dactyl system as part of the Koronis family. Icarus 120, 220-230.
87. Dobrovolskis A.R. and Burns J. A. 1980. Life near the Roche limit: Behavior of ejecta from satellites close to planets. Icarus 42, 422-441.
88. Dunham D. W., Maley P.D. 1977. Possible observations of a satellite of a minor planet. Occ. Newsl. 1, 115-117.
89. Durda D.D. (LPL) 1994. Numerical models of the origin of asteroidal moons during Hirayama family formation Bull. Amer. Astron. Soc., 1025-1214, 26(3), 1158-1158, abstract 25.14.
90. Durda D.D. (LPL) 1996. The formation of asteroidal satellites in catastrophic collisions. Icarus 120, 212-219.
91. Farinella P. 1992. Evolution of Earth-crossing binary asteroids due to gravitational encounters with the Earth. Icarus 96, 284-285.
92. Farinella P., Chauvineau B. 1993. On the evolution of binary Earth-approaching asteroids. Astron. & Astroph. 279, 251-259.
93. Moulton F.R. 1923. An introduction to celestial mechanics. New York, The Macmillan Company.
94. Van Flandern T.C., Tedesco E.F., Binzel R.P. 1979. Satellites of asteroids. In Asteroids. T. Gehrels, Eds. 443-465.
95. Gehrels T., Drummond J., and Levenson N. 1987. The absence of satellites of asteroids. Icarus 70, 257-263.
96. Geissler P., Petit J.-M., Durda D.D., Greenberg R., Bottke W., Nolan M., and Moore J. 1996. Erosion and ejecta reaccretion on 243 Ida and its moon. Icarus 120, 140-157.
97. German D. and Friedlander A. A. 1991. A simulation of orbits around asteroids using potential field modeling. Proc. AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Meeting, Houston, TX, February 11-13, 1991.
98. Giblin I., Petit J.-M., and Farinella P. 1998. Impact ejecta rotational bursting as a mechanism for producing stable Ida-Dactyl systems. Icarus 132, 43-52.
99. Greenberg R., Bottke W.F., Nolan M., Geissler P., Petit J.-M., and Durda D.D. 1996. Collisional and dynamical history of Ida. Icarus 120, 106-118.
100. Hamilton D.P. and Burns J. A. 1991. Orbital stability zones about asteroids. Icarus 92, 118-131.
101. Hamilton D.P. and Burns J.A. 1992. Orbital stability zones about asteroids II. Icarus 96, 43-64.
102. Harris A. W. 1977. An analytical theory of planetary rotation rates. Icarus 31, 168-174.
103. Hartmann W.K. 1968. Growth of asteroids and planetesimals by accretion. Astrophys. J. 152, 337-342.
104. Hartmann W.K. 1978. Planet formation: Mechanism of early growth. Icarus 33, 50-61.
105. Housen K.R., Wilkening L.L., Chapman C.R., etc. 1979. Regolith development and evolution on asteroids and the Moon. In Asteroids, ed. T. Gehrels, 601-627.
106. Hudson R.S., Ostro S.J. 1994. Shape of asteroid 4769 Castalia (1989 PB) from inversion of radar images. Science 263, 940-943.
107. Hudson R.S., Ostro S.J. 1995. Shape and non-principal axis spin state of asteroid 4179 Toutatis. Science 270, 84-86.
108. Kammeyer P.C. 1978. Periodic orbits around a rotating ellipsoid. Cel. Mech. Dyn. Astr. 17, 1, 37-48.
109. Lee P., Veverka J., Thomas P. C., etc. 1996. Ejecta blocks on 243 Ida and other asteroids. Icarus 120, 87-105.
110. Lynden-Bell D. 1979. On a mechanism that structures galaxies. MN 187, 1, 101-107.
111. McMahon J.H. 1978. The discovery of a satellite of an asteroid. In Proc. Astron. West'78 Conf., San Luis Obispo, Calif., July, 1978.
112. Magnenat P. 1982. Periodic orbits in triaxial galactic models. Astron. & Astroph. 108, 89-94.
113. Martinet L., de Zeeuw T. 1988. Orbital stability in rotating triaxial stellar systems. Astron. & Astroph. 206, 269-278.
114. Martinet L., Udry S. 1990. Origin of chaos in slowly rotating triaxial stellar systems. Astron. & Astroph. 235, 69-84.
115. Mulder W.A. and Hooimeyer J.R.A. 1984. Periodic orbits in a rotating triaxial potential. Astron. & Astroph. 134, 158-170.
116. Ostriker J.P., Binney J., Saha P. 1989. The effect of galaxy triaxi-ality on globular clusters. Mon. Not. R. Acad. Sci. 241, 849-871.
117. Ostro S. J., Chandler J.F., Hine A. A., Roseina K.D., Shapiro 1.1., Yeomans D.K. 1990. Radar images of asteroid 1989 PB. Science 248, 1523-1528.
118. Papayannopoulos Th. 1979. Orbits near the particle resonance of a galaxy. I. Numerical study. Astron. & Astroph. 77, 75-85.
119. Papayannopoulos Th. 1979. Orbits near the particle resonance of a galaxy II. Theoretical study. Astron. & Astroph. 79, 197-203.
120. Petit J.-M. and Henon M. 1986. Satellite Encounters. Icarus 66, 536-555.
121. Petit J.-M. 1994. Orbits around a small, highly elongated asteroid: Constraints on Ida's Moon. Bull. Amer. Astron. Soc., 1025-1214, 26(3), 1157-1158, abstract 25.13.
122. Petit J.-M. and Lemaitre A. 1997. Resonance and capture probability in the Ida/Dactyl system. Bull. Amer. Astron. Soc. 29, 972.
123. Petit J.-M., Durda D.D., Greenberg R., etc. 1997. The long-term dynamics of Dactyl's orbit. Icarus, 130, 177-197.
124. Pfenniger D., de Zeeuw 1989. In Dynamics of dense stellar systems, ed. Merritt D., Cambridge Univ. Press, 81-87.
125. Pfenniger D. 1990. Stability of the Lagrangian points in stellar bars. Astron. & Astroph. 230, 55-66.
126. Poincaré H. 1892. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, t.l. Gauthier-Villars, Paris.
127. Poincaré H. 1893. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, t.2. Gauthier-Villars, Paris.
128. Poincaré H. 1899. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste. t.3. Gauthier-Villars, Paris.
129. Ruzmaikina T.V., Safronov V.S., and Weidenschilling S.J. 1989. Radial mixing of material in the asteroidal zone. In Asteroids II, ed. R.P. Binzel, T. Gehrels, M.S. Matthews, 681-700.
130. Scheeres D.J. 1993. Satellite dynamics about tri-axial ellipsoids. Advances in non-linear astrodynamics, Univ. of Minnesota, Nov. 810, 1-28.
131. Scheeres D.J. 1994. Dynamics about uniformly rotating triaxial ellipsoids: applications to asteroids. Icarus 110, 225-238.
132. Scheeres D.J., Ostro S.J., Hudson R.S., and Werner R.A. 1996. Orbits close to asteroid 4769 Castalia. Icarus 121, 67-86.
133. Scheeres D.J., Ostro S.J., Hudson R.S., etc. 1998. Dynamics of orbits close to asteroid 4179 Toutatis. Icarus 132, 53-79.
134. Scheeres D. J., Williams B.G., and Miller J.K. 2000. Evaluation of the dynamic environment of an asteroid: Applications to 433 Eros. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 23, 3, 466-475.
135. Schwarz M.P. 1984. How bar strength and pattern speed affect galactic spiral structure. MN 209, 1, 93-109.
136. Schwarzschild M. 1979. A numerical model for a triaxial stellar system in dynamical equilibrium. Astrophys. J. 232, 236-247.
137. Sichao W. 1981. A possible satellite of 9 Metis. Icarus 46, 285-287.
138. Statler T.S. 1987. Self-consistent models of perfect triaxial galaxies. Astrophys. J. 321, 113-152.
139. Szebehely V. 1967. Theory of orbits. New York and London.
140. Udry S., Pfenniger D. 1988. Stochasticity in elliptical galaxies, Astron. & Astroph. 198, 135-149.
141. Udry S. 1991. Low order resonance cartography in slowly rotating triaxial models. Astron. & Astroph. 245, 99-113.
142. Vasilkova O.O. 2000a. Schwarzschild nonequatorial periodic motion about an asteroid modeled as a triaxial rotating ellipsoid. Proc. of US/European Celestial Mechanics Workshop, July 3-7, 2000, Poznan, 283-288.
143. Vasilkova O.O. 2002. On a possible mechanism of particles falling affecting an asteroid shape and angular momentum evolution. A numerical simulation. Proc. of conf. Asteroids, Comets, Meteors 2002, July 29-August 2, 2002, Berlin, ESA, 867-870.
144. Vasilkova O.O. 2003. The effect of falling particles on the shape and spin rate of an asteroid. Astron. & Astroph. 403, 2, 413-418.
145. Vasilkova O.O. 2005b. Three-dimensional periodic motion in the vicinity of the equilibrium points of an asteroid. Astron. & Astroph. 430, 2, 713-723.
146. Veverka J., Thomas P., Harcli A., etc. 1997. NEAR's flyby of 253 Mathilde: Images of a C asteroid. Science 278, 2109-2114.
147. Weidenschilling S. J., Paolicchi P., and Zappala V. 1989. Do asteroids have satellites? In Asteroids //, R.P. Binzel, T. Gehrels, and M. S. Matthews, Eds. 2, 643-658.
148. Werner R.A. 1994. The gravitational potential of a homogeneous polyhedron or don't cut corners. Cel. Mech. Dyn. Astr. 59, 3, 253-278.
149. Werner R. A. and Scheeres D.J. 1996. Exterior gravitation of a polyhedron derived and compared with garmonic and inascon gravitation representations of asteroid 4769 Castalia. Cel. Mech. Dyn. Astr. 65, 3, 313-344.
150. Whipple A.L., White L.K. 1985. Stability of binary asteroids. Cel. Mech. Dyn. Astr. 35, 95-104.
151. Zhang S.P., Innanen K.A. 1988. The stable region of satellites of large asteroids. Icarus 75, 105-112.
152. Zhuravlev S.G. 1972. Stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid. Cel. Mech. Dyn. Astr. 6, 3, 255-267.
153. Zhuravlev S.G. 1973. About the stability of the libration points of a rotating triaxial ellipsoid in a degenerate case. Cel. Mech. Dyn. Astr. 8, 1, 75-84.
