Численное исследование траекторий орбитального движения в окрестности коллинеарной точки либрации системы Солнце-Земля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ-ЗЕМЛЯ

01.01.07 — вычислительная математика 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

60461:

ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович

1 5 "ОЯ 2010

Сапкт-Петсрбур!—2010

004613749

Работа выполнена на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шмыров Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кутузов Сергей Алексеевич

доктор технических наук, профессор Кулаков Феликс Михайлович

Ведущая организация:

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР им. А. А. Дородницына РАН

Защита состоится «08» декабря 2010г. в 16 часов на заседании Совета Д.212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В. О., Средний пр., дом 41/43 .

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В. О., Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан «1» ноября 2010г.

Учений секретарь диссертационного совета,

Ногин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тематики. В современной прикладной математике актуальной задачей является создание пакетов прикладных программ для решения различных классов математических задач. С одной стороны при создании таких программ должна учитываться специфика рассматриваемой задачи, а с другой стороны методы исследования должны носить универсал ьный характер.

В работе предлагается численный метод исследования решений дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность неустойчивой точки равновесия. Этот метод применяется к построению орбитальных маневров в окрестности коллинеарной точки либрации L\ н в околоземном пространстве.

Орбитальные маневры космического аппарата (КА) происходят в сложном гравитационном поле под влиянием управляющих воздействий различного типа. Исследование такого маневрирования требует применения специальных методов.

Траектории перелета КА между коллипеарньши точками либрации могут быть полезны как для наблюдения и контроля околоземного космического пространства, так и для его исследования, например, для обнаружения и анализа объектов, которые пересекают окрестность орбиты Земли и представляют собой потенциальную угрозу для человечества.

Известно, что колли неарная точка либрации является неустойчивой, поэтому КА расположенный вблизи данной точки может со временем покинуть ее окрестность. Задача удержания КА в окрестности точки либрации разрабатывалась многими авторами: Вашковьяк М. А., Лидов М. JL, Лукьянов С. С., Маркеев А. П., Шмыров А. С., Шмыров В. A., Llibre J., Gomes G., Martinez R., Masdemont J. -J., Mondelo J. M., C. Simo, Т. J. Stuchi и др., тем не менее многие аспекты задачи стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации остаются актуальными. С другой стороны, поскольку точка либрации является неустойчивой, то с помощью сколь угодно малого управляющего воздействия можно добиться существенного изменения траектории. Т. е. неустойчивость может'рассматриваться как положительный фактор, способствующий минимизации необходимых на маневр ресурсов управляющего воздействия.

Однако, для реализации этой идеи необходима алгоритмизация орбитального управляемого движения КА и подробный численный анализ, позволяющий получить конкретные характеристики таких маневров. Исследованию этих вопросов и посвящена диссертация.

Цель диссертации. Целью работы является разработка вычислительного алгоритма построения траекторий возвращения в окрестность точки неустойчивого равновесия системы дифференциальных уравнений и при-

менепие данного алгоритма к задаче орбитального движения КА в окрестности Ь\-, построение стабилизирующих законов управления; численное исследование задачи орбитального управляемого движения КА с найденными законами управления; получение, численных характеристик совершаемых маневров.

Научная новизна. В работе предложена новая методика численного исследования решений управляемой системы дифференциальных уравнений с применением к орбитальному маневрированию КА в окрестности Ь\. Получены числовые характеристики таких маневров, оценены энергетические затраты и время маневрирования.

Методология исследования. В диссертации предлагается метод нахождения решений системы дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность точки неустойчивого равновесия. Идея алгоритма основана на рассмотрении расширенной системы уравнений, включающей уравнения в вариациях. Численное интегрирование расширенной системы позволяет определить необходимое дополнительное воздействие и перейти к новой системе с улучшенными свойствами. При необходимости описанная процедура повторяется.

Данная методика применяется к задаче построения траекторий возвращения КА в окрестность коллинеарной точки либрации Ь[ или ¿2) после реализации маневра КА тина «встречи» с небесным телом (искусственным или естественным) в околоземном космическом пространстве. После возвращения предполагается стабилизировать движение в окрестности одной из этих точек.

Для решения проблемы возвращения КА в окрестность коллинеарной точки либрации и последующей стабилизации используются современные методы небесной механики, качественная теория дифференциальных уравнений и специальные свойства гамильтоновых систем. Используя современные численные методы, проводятся эксперименты, позволяющие получить информацию о параметрах совершаемых маневров.

Теоретическая и практическая значимость. Предложена новая методика исследования решений дифференциальных уравнений, проходящих через окрестность неустойчивого положения равновесия. Построены законы управления, обеспечивающие возвращение КА в окрестность коллинеарной точки либрации после совершения маневра типа «встречи» и последующую стабилизацию. Реализованное численное моделирование управляемого движения позволило оценить энергетические и временные затраты на выполнение маневров такого типа. Теорема об устойчивости по Ляпунову дает теоретическое обоснование для использования специального вида управлений, при которых оказывается воздействие на движение только плоских переменных.

Результаты работы могут быть полезны при численном исследовании

траекторий проходящих в окрестности неустойчивого положения равновесия. Практическое применение результаты могут найти при проектировании ноле то в КА в окрестность коллннеарной точки либрации и разработке проектов, предполагающих пребывание КА в ее окрестности.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации представлены автором на международных конференциях:

• XXXIX, ХЬ, ХЫ научные конференции факультета прикладной математикп-процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (2008-2010).

• Международная научная конференция «Пятые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 февраля 2009 г.

• Всероссийская конференция посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова «Устойчивость и процессы управления».

По материалам диссертации опубликовано 6 работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Автор принимал непосредственное участие во всех этапах представленной диссертации, включая постановку задачи, теоретическое обоснование и анализ всех численных расчетов в рассматриваемых экспериментах. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Вклад автора заключается: в постановке проблемы [1-4], идеи решения [1-4,6], теоретическом обосновании [2,5,6], проведении и анализе численных экспериментов [5,6].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 65 наименований и приложения. Общий объем диссертации 138 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении приводится обоснование актуальности выбранной темы диссертации, дается краткий обзор литературы по тематике исследования, формулируются цель работы и рассматриваемые в ней задачи.

В Первой главе приводятся уравнения орбитального движения КА во вращающейся системе координат, анализируется характер движения КА вблизи коллинеарной точки либрации, формулируется постановка задачи численного исследования траекторий управляемого орбитального движения.

Управляемое орбитальное движение КА в рамках хилловского приближения круговой ограниченной задачи трех тел в геоцентрической вращательной системе координат представляется в виде (Шмыров А. С., Шмы-ров В. А.):

I Чт,

■ 2.Т1 + У2 + щ;

х1 = х2 + уц

3X1

ш =

3X2

У2 = ыз

Уз = Зхз Ы13

х2 = -xi + ?/2; { т = — тг^лтз ~ х2 ~ у1 + иг> (!)

¿з = уз;

х3 + Из,

где центр инерции Земли совпадает с началом системы координат, а ось О.х'х направлена вдоль оси, соединяющей центры масс Земли и Солнца, здесь (х!;х2;х3) — вектор координат КА, (уиУ2;Уз)~вектор импульсов. Точки либрации Ь\ и 1-2 «о вращающейся системе неподвижны и имеют координаты х* = (1; 0; 0), у* = (0; 1; 0) и х** = (—1; 0; 0), у** = (0;-1;0) соот-ветствснно. Единицы времени и расстояния выбраны так, чтобы угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца равнялась единице, а расстояние от центра масс Земли до коллинеарпой точки либрации Ь\ единице расстояния.

При этом единица ускорения будет равна 5.93844 • Ю-5 м/с2 ~ 6.05552 ■ 10~('<7, где .(/ — ускорение свободного падения для Земли. Единица скорости в принятой модели равна 298,057 м/с « 9.94211 • Ю-7 скорости света в вакууме.

Неуправляемая система (1) {и\ = и2 = Щ = 0) является: гамильтоновой, функция гамильтона Н представляется в виде:

1„ ио 3 Зо ||ж||

я = 2 - Щ - 2хI + — + Х2Ш - Х1У2-

Следует отметить, что данная модель является достаточно адекватной при моделировании движения КА в околоземном космическом пространстве (порядка Ю-2 а. е. от центра Земли).

Анализ линеаризованной системы неуправляемого орбитального движения КА около положения равновесия:

¿1 = х2 + 2/1; ( ш = 8(.Х1 - 1) + (т/г - 1); х2 = -х1 + у2; < ?>2 = -4х2 - 2/1; (2)

х-л = 2/3; ( ?)з = -4х3,

показывает неустойчивость коллинеарпой точки либрации в силу того, что среди собственных значений матрицы линейной системы (2):

Л12 = ±\) 1 + 2^/1, Лз>4 = ±¿^2^7-1, А8,а = ±2г. 6

имеется вещественное, положительное число А1 = л/1 +

Систему (2) можно разбить на две несвязанные системы: относительно переменных плоского и пространственного движения.

С помощью анализа линеаризованной системы плоского орбитального движения КА определяется понятие «функции опасности», которая в линейном приближении представляется в виде:

<1\ = Ь^,

где г = (.Т] — 1; .Т2; у\\у-г ~ 1)! Ьх — (Л}; Ь\] — нормированный собственный вектор соответствующий собственному значению Ах линеаризованной системы плоского движения.

Было показано, что для практической стабилизации КА достаточно обеспечить выполнение ограничения функции опасности Л\ в окрестности кол-линеарной точки либрации, т. е. |йх| < ¿о ( ¿о — достаточно малая величина), в этом случае КА будет находится достаточно длительное время на траектории в некоторой окрестности коллипеарпой точки либрации.

Очевидно, чтобы решить задачу стабилизации необходимо применять управляющее воздействие. Для стабилизации необходимо выполнение ело дующего неравенства:

Ах 1^x1 ^ и0.

Смысл данного неравенства заключается в том, что по значению величины можно судить о возможности возвращения КА в окрестность коллипеарпой точки либрации или начиная с некоторого момента времени стабилизация движения КА станет невозможной, по причине ограниченности ресурсов управления.

Аналогичная ситуация имеет место и в нелинейном случае при учете поправок на члены высших порядков. Т. с. как в линейном случае, так и в нелинейном, если функция опасности достаточно витка, то КА с течением времени покинет окрестность точки либрации.

Поскольку коллинсарная точка, либрации является неустойчивой, то с помощью сколь угодно малого управляющего воздействия можно добиться существенного изменения траектории КА. Это свойство используется для совершения маневра типа, «встречи». Пусть такой маневр реализован и КА пролетает па достаточно близком расстоянии к изучаемому космическому объекту.

Численные расчеты проведенные в диссертации показывают, что такие траектории существуют.

Итак, предполагается, что маневр «встречи» успешно завершен и ставится задача о возвращении в окрестность точки либрации с возможно малыми значениями функции опасности.

Во Второй главе предлагается метод численного исследования траекторий возвращения в окрестность неустойчивого положения равновесия. На основе совместного интегрирования уравнений орбитального движения КА и соответствующей системы уравнений в вариациях решается задача построения управления движением КА, которое обеспечивает его возвращение в окрестность точки либрации с последующей стабилизацией в ее окрестности. Под возвращением будем понимать условие при котором КА не пролетит окрестность коллинеарной точки либрации, т. е. задержится на достаточно длительное время, а для этого необходимо, чтобы в конечной точке траектории:

Ы < do-

Для решения задачи стабилизации предлагается найти синтезирующее управление, которое обеспечивало бы асимптотическую устойчивость или устойчивость по Ляпунову стационарного решения или фазовых координат коллинеарной точки либрации относительно управляемой системы уравнений движения КА.

В частности законы управления вида:

щ = fii(.ri - 1) + и2 = а2х2 + Ь2{у2 - 1); «з = азяз + Ь3у3,

щ = ai(zi - 1) + Mi;

и2 = а2х2 + Ь2х2; из = 0,3X3 + Ь3х3,

где а,-, Ь,, г = 1,2,3 — вещественные константы, определенные из соотношений:

ai < -9,6i — 0; а2 = 0,Ь2< 0; a;J < 4,63 < 0.

обеспечивают асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения или фазовых координат коллинеарной точки либрации L\.

Решения такого типа могут быть полезны в случае прикладных задач, когда КА должен находиться в достаточно малой окрестности коллинеарной точки либрации в фазовом пространстве, например, в случае коллинеарной точки либрации Ь2, где одним из условий маневрирования может являться нахождение КА в тени Земли.

Аналитическое представление функции опасности di, определенное в главе 1, даст возможность получить законы управления в виде демпфирования функции опасности в линейном приближении.

Законы управления в виде демпфирования функции опасности могут быть взяты в виде:

«1 = М1; ,..... \ ( 13 к , ь4

, , при А1 + Ь\к1 + ЬЛъ < О,

V, 2 = К2й\,

или в виде:

Ъ\

= ~ !) + ?а);

^ при к < — А1,

и2 = 4-^X2 + (у2 - 1)),

где кл к\ и /сг — вещественные константы.

Алгоритм нахождения траектории проходящей в окрестности точки неустойчивого равновесия состоит из следующих этапов:

1. Обеспечение выполнения предварительного условия:

где — решение системы уравнений, = 1,2 —коорди-

наты неустойчивого положения равновесия, ¿ — неотрицательная, достаточно малая величина.

2. Нахождение значения функции опасности в конечной точке нескорректированной траектории:

Й!(Т) = Ь\7.{Т),

3. Решение уравнения в вариациях:

Ф(г) =

с начальными условиями:

Ф(«о) = Е.

где /(г) — вектор правых частей уравнений движения,!? — единичная матрица размерности (п х п),

4. Из условия равенства нулю функции опасности в конечной точке скорректированной траектории:

Ь1(2(Т) + Ф(Т)Аг0) = 0.

находим значение компонент вектора управления 17, обеспечивающего близость к асимптотической траектории.

5. Численное интегрирование уравнений управляемого движения с найденными законами управляющего воздействия.

Предложенный алгоритм применен для обеспечения возвращения КА в окрестность коллинеарной точки либрации.

Для стабилизации движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации предложено семейство управлений вида:

щ = кх{х2 + у{) + с^Х! - 1); у-2 = к2{-х! + ¡/2) + с2х2; (3)

«з = О,

где &1, к2~, С1, С-2 — некоторые специально подобранные константы.

В работе Шмырова В. А. («Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации ¿1») была исследована проблема стабилизации К А в окрестности Ь\ с помощью управляющего вектора действующего по линии Земля—Солнце. В диссертационном исследовании рассматривается управляющее воздействие лежащее в плоскости, параллельной плоскости эклиптики. Предложенные параметрические семейства законов управления обеспечивают стабилизацию орбитального движения. Теоретическим обоснованием для выбора таких законов управления служит следующая теорема.

Теорема. Стационарное решение (х*,у*) системы (1) с законом управления (3) является устойчивым по Ляпунову, когда

кх <0, к2< 0, с-1 < -9, с2 < 3.

Доказательство данной теоремы построено па существовании и оценке поведения функции Ляпунова:

я = я-|(Ж1-1)2-|4

на траекториях управляемого движения.

Одним из весьма важных следствий доказательства данной теоремы, является тот факт, что такое управление не приводит к существенному отклонению пространственных координат хз, уз от значения х*}, 3/3, хотя и влияет на поведение этих переменных через функцию ||.т||, которая входит в правую часть для уравнения относительно 1)3.

В замечании к теореме доказывается, что при к\ = к2 = 0 утверждение теоремы также будет справедливым.

В Третей главе исследуется вопрос о возможности стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации с помощью программного управления минимизирующего функционал типа «расхода» на классе ре-

лсйных кусочно-постоянных функций. Для этого используется общий метод нахождения точек переключения оптимального управления (Бабаджа-нянц Л. К., Потоцкая И. Ю. «Управления по критерию расхода в механических системах»). Такое управление является управлением, построенным по линейному приближению.

Компоненты управляющего вектора щ.^) предполагаются релейными кусочно-постоянными функциями времени с конечным числом точек переключения, последняя из которых обозначается символом Т\

2 п 2цк

щ = 1)ШЩ - + 1гк^2(-- к = 1.2,3,

где ¡1^ — высота ступеней управления, г*, и дь — соответственно количество положительных и отрицательных ступеней компоненты щ управления С/. Функция - — функция Хевисайда:

-и и Л-/1' осл^-^О;

если*-*?<().

При таком управлении решение задачи будет суммой нескольких слагаемых, отвечающих собственным значениям матрицы А. Эти слагаемые называются частотными компонентами решения. Требуется при заданном числе импульсов (г* + <?*) управления, обращающего в момент Т в ноль отдельные частотные компоненты решения (в том числе функцию опасности), найти точки переключения этого управления, удовлетворяющие необходимым условиям экстремума функционала типа «расхода».

При решении задачи в линейном приближении оказывается возможным получить выражения для точек переключении управления в явном виде. Полученные таким образом управления используются для моделирования нелинейной системы.

Следует отметить сложность решения задачи стабилизации КА в окрестности коллиисариой точки либрации с помощью такого закона управления в случае нелинейной системы, поскольку под действием возмущений и в силу неустойчивости точки либрации, КА будет отклоняться от положения равновесия, требуя непрерывно контролировать это отклонение и при необходимости стабилизировать движение, расходуя для этого топливные ресурсы, запас которых, естественно, ограничен.

В Четвертой главе описываются численные эксперименты на основе результатов, полученных в предыдущих главах. В рамках даипой теоретической модели (хилловского приближения круговой ограниченной задачи трех тел) строится возможная траектория «встречи» КА с исследуемым космическим объектом, далее, с учетом алгоритма разработанного в работе находится управляющее воздействие обеспечивающее возвращение в

окрестность коллииеарной точки либрации. Т. к. точка либрации является неустойчивой, то к КА естественно необходимо применить управляющее воздействие, стабилизирующее его движение.

Для неуправляемой системы уравнений движения построена траектория перелета (рис. 1) из коллииеарной точки либрации Ь2 в окрестность кол-линеарной точки либрации Ь\. Продолжительность данного маневра равна 4 единицам, что соответствует 232,366 суток. Начальные условия выбраны следующим образом:

я1(1 = -0,99; у1а = 0,5; х2„ = 0,01; ?у2„ = -1;

= 0,05; уз,, = 0.

Ей соответствуют возможная траектория типа «встречи» (рис. 2), определенная на промежутке времени 214,939 суток. Функция опасности в конечной точке траектории перелета = 1,70683,

Рис. 1 Траектория перелета между Рис. 2 Траектория типа «встречи».

¿2 и Ь\.

Используя управляющее воздействие (рис. 3) после момента встречи, которое определено из условия оптимального демпфирования функции опасности в конечной точке траектории, построим траекторию возвращения в окрестность точки либрации (рис. 4). Ей соответствует значение функции опасности в конечной точке траектории ¿\ — —0,00114798,

В ходе численного эксперимента, предполагающего применение разработанной схемы для нахождения управления оптимально демпфирующего функцию опасности в конечной точке траектории удается уменьшить значение функции опасности (по модулю) на три порядка.

Рис. 3 Графики компонент управляющего вектора.

Рлс. 4 Траектория возвращения в Рис. 5 Траектории движения КА, Ьг.

Таким образом, если продолжить рассмотрение движения КА без и с учетом управления, то получим следующий результат (рис. 5): в случае управления, КА находится в окрестности точки либрации достаточно длительное время (29,0458 суток), за это же время в неуправляемом движении наблюдается существенный уход порядка 105 км (траектория отмечена серым цветом).

Обеспечение равенства нулю функции опасности в конечной точке траектории обеспечивает удержание КА в окрестности точки либрации на достаточно длительном, но не бесконечном промежутке времени (в силу неустойчивости коллипеарной точки либрации). Поэтому задача сколь угодно длительного пребывания КА в окрестности точки либрации решается с п ом о щь ю стаб и л и з и ру ю ще го у п р а в л е н и я,

Пусть в начальный момент КА имеет следующие значения фазовых координат:

хи = 0,99; yh = 0; х.2„ = 0; 2/2(i = 1; ^зо = 0.01; Уз„ = 0.

Для стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации используем управляющее воздействие (3). Для параметров управления зададим значения С| = —12,5, с2 = —0,15. Тогда для управляемого орбитального движения КА получаем следующие траектории:

Рис. С Траектория движение КА в Рис. 7 Траектория движение КА в случае к 1 = кг = -0, о. случае кл — кг = 0.

0.101 0.05

0.01 о В о.с

20 40 60 80 100

~°'05Н -о.с__

) 40 60 80 100

Рис. 8 Графики компонент управляющего вектора при к:г = к2 = -0,5,

0.101 ! ( л | |; I : ; \ I, ; ¡И ,, ( |

-0.05 К ¡4 1

-олор | ! 1

0.010 ! ! ' | 1 1: 1 ,<!;},'

0.005 *: г

>.'1

-0.005 1 > '1 ¡¡' !1; Г 1 > 1 '¡К ¡' i

-0.010 ] ; | ' \ I ■ | 1 ! ; • | р ' }

Рис. 9 Графики компонент управляющего вектора при кл = к2 = 0.

Из числовых характеристик видно, что для случая кх = к2 — -0,5 компоненты управляющего вектора, стремятся к нулю, а при к\ = к2 = 0

имеют место незатухающие колебания. Это объясняется характером поведения функции Ляпунова H на траекториях управляемого движения КА в некоторой окрестности коллинеарной точки либрации L\.

Следует отметить еюзможность осуществления такого ¡гада управлений на практике, например, в случае использования таких технических систем управления, как солнечный парус. Его применение становится возможным, в силу того, что управляющие ускорения оказываются достаточно малыми по величине (порядка Ю-5 м/с2).

В работе определяются и находятся и другого рода управляющие воздействия, стабилизирующие движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации. Очевидно, что их выбор должен осуществляться в зависимости от установленных на КА управляющих компонент, их ограниченности и эффективности.

В Заключении приведены общие выеюды проделанной работы и результаты выполненного диссертационного исследования.

В Приложении представлены результаты численного исследования траекторий управляемого орбитального движения КА.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработка алгоритма построения траектории возвращения в окрестность неустойчивого положения равновесия системы дифференциальных уравнений.

2. Построение траектории возвращения КА в окрестность коллинеарной точки либрации.

3. Построение стабилизирующих законов управления орбитальным движением, обеспечивающих длительное пребывание КА в окрестности коллинеарной точки либрации, и их теоретическое обоснование (теорема об устойчивости).

4. Численное нсследсшание траекторий стабилизированного движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

5. Численное исследование траекторий орбитального управляемого движения КА, оптимальных по критерию «расхода».

6. Определение числовых характеристик орбитального управляемого движения при совершении маневров возвращения и стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

Публикации по теме диссертации

1. Шимапчук Д. В. Построение траектории перехвата в окрестности коллинеарной точки либрации системы Солнце—Земля // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна — СПб.: Издат. Дом С.-Пстсрб. гос. ун-та, 2008. С. 190-194.

2. Шимапчук Д. В., Шмыров А. С. Задача перехвата космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля—Солнце // Пятые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 г.— СПб, 2009.

3. Шимапчук Д. В. Использование коллинеарной точки либрации Ь\ при решении задачи астероидпо-кометной опасности // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна —СПб.: Издат. Дом С.-Пстсрб. гос. ун-та, 2009. С. 277-280.

4. Шимапчук Д. В. О возможности построения траектории возвращения КА в окрестность коллииеариых точек либрации Ь1 и // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов ,/ Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна — СПб.: Издат. Дом С.-Петерб.' гос. ун-та, 2010. С. 212-216.

5. Шиманчук Д. В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ъ\ // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер.10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 3. С. 86-92.

6. Шимапчук Д. В., Шмыров А. С. Построение траектории возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации системы Солнце—Земля // Устойчивость и процессы управления: Тезисы докладов всероссийской конференции, посвященной 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова, Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г.-СПб, 2010.

О ('

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 27.10.10 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ № 1136/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

1 Орбитальное движение КА в околоземном пространстве

1.1 Уравнения движения.

1.2 Функция опасности.

1.3 Постановка задачи численного исследования траекторий управляемого движения.

2 Построение траекторий возвращения и стабилизированного движения

2.1 Уравнения в вариациях.

2.2 Управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость по Ляпунову

2.3 Управления, демпфирующие функцию опасности.

2.4 Построение траектории возвращения в окрестность колли-неарной точки Ь\ или 1/

2.5 Устойчивое движение КА в окрестности точки Ь\.

3 Кусочно-постоянное управление, оптимальное по «расходу»

3.1 Общий метод нахождение точек переключения управления

3.2 Алгоритм нахождения точек переключения управления

3.3 Пространственный случай.

4 Численные характеристики траекторий управляемого движения

4.1 Численное исследование стабилизированного движения.

4.2 Численное исследование траекторий с управлением, демпфирующим функцию опасности

4.3 Численное исследование траекторий возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации.

4.4 Численное исследование траекторий с управлением, обеспечивающим устойчивое движение КА в окрестности кол-линеарной точки либрации.

4.5 Численное исследование траекторий с кусочно-постоянным управлением, оптимальным по критерию «расхода», обеспечивающим стабилизацию КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

В современной прикладной математике актуальной задачей является создание пакетов прикладных программ для решения различных классов математических задач. С одной стороны при создании таких программ должна учитываться специфика рассматриваемой задачи, а с другой стороны методы исследования должны носить универсальный характер.

Одной из важнейших задач современного естествознания является наблюдение и контроль (мониторинг) за состоянием природной среды, оценка качества, разработка научно обоснованного прогноза техногенного воздействия на окружающую среду с помощью существующих систем геофизических служб. В начале третьего тысячелетия сформировалась новая область знания, изучающая условия существования биосферы во взаимодействии с околоземным космическим пространством. Определение околоземного космического пространство включает в себя глобальную окружающую биосферу среду, чаще всего это область от слоев нижних орбит зоны пилотируемой космонавтики 160 — 200 км) до орбиты Луны и далее [20,29]. Именно в этой области имеет смысл рассматривать задачи о мониторинге околоземного космического пространства с помощью космического аппарата (КА) или космической станции (КС).

В настоящий момент в комплексном мониторинге природной среды все более возрастающую роль имеют методы дистанционного исследования, наблюдения и контроля с использованием современных технических средств установленных на КС.

Космический мониторинг обладает рядом важных преимуществ по сравнению с другими методами наблюдения и контроля состояния как биосферы, так и околоземного космического пространства, т. е. обеспечивает высокий уровень объединения данных, характеризуется глобальным охватом антропологических эффектов, оперативностью получения данных по экологической ситуации в различных областях Земного шаpa. Таким образом космический мониторинг существенно дополняет наземные средства наблюдения и контроля природной среды и позволяет обобщить данные на основе информации полученной из космоса.

Стоит отметить, что термин «Космический мониторинг» появился сравнительно недавно, поскольку его возникновение обусловлено развитием космической техники. Впервые это понятие было определено как идея мониторинга нашей планеты из космоса, принадлежащая академику Международной инженерной академии Тофику Кязимовичу Исмаилову, который в конце 60-х годов прошлого века не только дал ей теоретическое обоснование, но и разработал научную методику её расчёта [60].

В рамках наземных средств мониторинга проводится оптический контроль околоземного космического пространства, т. е. процесс наблюдения за объектами глобальной окружающей биосферу среды (околоземного космического пространства) с помощью телескопов и в этой связи может оказаться крайне полезным использование КА, на борту которого установлена система наблюдения, позволяющая проводить дальнейшие исследования, в то время когда наземное оборудование становится неэффективным. Такого типа КА целесообразно использовать для изучения объектов космического пространства, которые вызывают научный интерес или опасение столкновения с поверхностью Земли, тогда и возникает проблема, связанная с астероидной опасностью (Asteroid Comet Impact Hazards).

В рамках этой проблемы учеными исследуются орбиты и физические свойства астероидов, которые несут в себе потенциальную опасность для Земли. Потенциально опасными объектами (ПОО) считаются все астероиды (РНAs — Potentially Hazardous Asteroids), которые могут в будущем приблизиться к Земле на расстояние, меньшее или равное 0.05 а. е. и абсолютная звёздная величина которых не превышает 22 [15,37].

Актуальность проблемы астероидной опасности связана с тем, что существуют особые астероиды (NEAs — Near Earth Asteroids) или астероиды, сближающиеся с Землёй (АСЗ), астероиды с расстоянием до перигелия орбиты меньшими или равными 1,3 а. е. [37]. Они представляют собой непосредственную угрозу. Проведение исследования орбит и физических свойств астероида позволяет решить две проблемы: во—первых, поскольку движение астероида носит квазипериодический характер, то весьма важной является проблема прогнозирования движения астероида на промежутке времени порядка десятков-сотен лет, а при сближении КА с астероидом положения и скорости могут быть уточнены, во—вторых, зная информацию о поверхности астероида, можно оптимизировать действия для предотвращения угрозы, с целью изменения траектории или расщепления на достаточно мелкие фрагменты.

В связи с развитием фотографических наблюдений во второй половине XIX века число обнаруживаемых астероидов резко возросло. Тогда и возникла идея создания специальной службы, которая обеспечивала бы наблюдение за ними. До начала второй мировой войны такая служба существовала на базе Берлинского вычислительного института. Далее функцию наблюдения принял на себя Центр малых планет США, который в настоящий момент находится в Кембридже. Вычислением и публикацией эфемерид, т. е. таблиц координат планет на определённую дату, занимался Институт теоретической астрономии СССР, а с 1998 года — Институт прикладной астрономии РАН.

В настоящий момент большая работа, по обнаружению объектов сближающимися с Землей, вычисления их эфемерид, предоставление списков таких объектов и т. д., проводиться учёными Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН [61].

В солнечной системе перемещается огромное количество комет и астероидов. Основная их масса сосредоточена в главном поясе астероидов (проходит между орбитами Марса и Юпитера), поясе Койпера и облаке Оорта (его существование пока подтверждают только косвенные данные). Периодически некоторые объекты этих областей в результате столкновений с соседями и/или под воздействием гравитации более крупных объектов покидают свои орбиты и могут направляться, например, к Земле.

Подсчитано, что потенциальный ущерб от комет значительно менее вероятен, ученых в первую очередь интересуют астероиды.

Существует также немало астероидов (образующих так называемую группу Аполлона), орбита которых пересекается с земной, и это создаёт потенциальную опасность столкновения. Нельзя исключить опасность и со стороны астероидов, чьи орбиты находятся внутри (группа Атона) или вне земной орбиты (группа Амура), но близки к последней.

В настоящий момент существует достаточно большое количество АСЗ, вызывающих исследовательский интерес и порождающих беспокойство, поэтому вполне естественно, что учёные обращают внимание как своих коллег, правительственных органов государства, так и мировой общественности на то, что наша планета находится под постоянной угрозой столкновения с астероидами.

Проблема астероидной опасности. Проблема астероидно-кометной опасности (далее астероидная опасность) привлекает всё большее внимание учёных, в связи с чем она активно разрабатывается на международном уровне. В настоящее время, согласно имеющимся данным, существует около 400 астероидов, пересекающих орбиту Земли, с диаметром более двух километров, примерно 2 тыс. из них более одного километра в диаметре, около 300 тыс.—более 100 м и т. д. [56,62]. Каждый из них представляет реальную угрозу для человечества.

Согласно проведенным расчетам Национального управления США по аэронавтике и исследованию космического пространства (NASA), масса астероида, способного вызвать глобальные катастрофические изменения климата на Земле, составляет несколько десятков миллиардов тонн, соответствующий диаметр такого астероида 1-2 км. Столкновение с таким объектом приведёт к взрыву, тротиловый эквивалент которого составляет 1 млн. мегатонн (50 млн. Хиросим). Это может вызвать эффект ядерной зимы и глобальные изменения в экологии.

Вероятность столкновения любого из астероидов с Землей очень мала, но, в силу большого числа этих объектов, частота столкновения составляет примерно одно за миллион лет для астероидов с диаметром 1 км и одно за сто лет для астероидов с диаметром порядка 50 м. При этом реальную опасность представляют астероиды, превышающие несколько сотен в поперечнике, поскольку они практически не разрушаются при проходе через атмосферу.

Американскими учеными была оценена степень риска человека погибнуть от столкновения Земли с астероидом. Она оказалась примерно такой же, как и в случае авиакатастрофы или автомобильной аварии. Это объясняется тем, что степень риска — это произведение вероятности на уровень потерь (при столкновении с астероидом это могут быть не единицы и десятки жертв, а миллионы).

Как оценивается степень угрозы от астероидов и комет? Для объективной оценки степени опасности для земной биосферы американским астрономом Ричардом Бинзелом (R. Binzel) была разработана качественная шкала оценки опасности столкновения с Землей, которая впервые была представлена на симпозиуме в Турине и получила свое название в честь этого города (The Torino Impact Hazard Scale), а в конце июля 1999 г. шкала была утверждена международным астрономическим сообществом [57].

Туринская шкала позволяет классифицировать астероиды и другие небесные тела (с учетом их размера и скорости относительно нашей планеты) по 11 уровням степени их опасности. Она учитывает не только вероятность столкновения астероида с Землей, но и потенциальные разрушения, к которым может привести катастрофа столкновения.

В конце прошлого века (1996 год) перед международным астрономическим сообществом была поставлена задача определить к 2008 году параметры орбит не менее 90% АСЗ, размер которых более 1 км, и начать работу по определению орбит АСЗ диаметром более 150 м (тела меньшего размера в случае столкновения будут полностью разрушены в атмосфере Земли и серьезного ущерба не причинят). Для решения поставленной задачи были созданы новые телескопы, оснащенные современными высокочувствительными устройствами регистрации и программно-аппаратными средствами обработки и передачи информации.

В то же время постоянно идет работа связанная с нахождением решения проблемы астероидной опасности, создание технических средств предотвращения столкновения с такими астероидами.

Методы решения проблемы. Европейское Космическое Агентство (ESA) разрабатывает проект под названием «Дон Кихот» (Don Quijote) отражения астероидной атаки путём прямого столкновения КА с опасным астероидом с целью изменения его траектории [63].

Существует и менее активный способ смещения астероида с опасной траектории, который получил название «гравитационный трактор» (Gravity Tractor). В данном случае для достижения поставленной цели необходимо, чтобы К А достаточно большой массы продолжительное время двигался в непосредственной близости от астероида и, воздействуя на него силой всемирного тяготения, изменял его траекторию [48].

Более интересный способ, предполагающий создание вблизи астероида облака небольших зеркал, был представлен профессором университета Глазго (University of Glasgow) Миссимилиано Вазиле (Massimiliano Vasile), который рассматривался как наиболее эффективный метод отклонения астероидов с их траектории. Отражая солнечный свет на поверхность астероида, они способны нагреть его до температуры, необходимой для испарения его вещества, и за счёт реактивного эффекта от испаряющихся газов астероид будет медленно смещаться со своей траектории [64].

Также рассматриваются случаи уничтожения астероида ядерным взрывом, изменение его траектории путём сообщения астероиду дополнительной скорости системой ядерных взрывов на его поверхности, двигателями реактивной тяги КА, рассеяния пылевого облака на пути движения астероида, направленного сброса вещества с его поверхности, окраска части поверхности астероида с целью изменения его отражательной способности и получения дополнительного импульса, использование силы светового давления [31].

В настоящий момент имеются достаточно подробные исследования характеристик ударно-кинетического и термоядерных воздействий на опасные космические тела [18,19].

В феврале 1992 г. в Санкт-Петербурге на базе Института теоретической астрономии Российской Академии наук был создан Международный институт проблем астероидной опасности (МИПАО), одной из основных задач которого является обнаружение астероидов, угрожающих Земле, изучение их физических свойств и разработка мер противодействия [35].

Следует отметь, что несмотря на все эти разрабатываемые проекты проблема защиты Земли от столкновения с астероидом до сих пор остается открытой, поэтому можно сказать, что основной проблемой является проблема своевременного обнаружения опасных объектов.

Использование коллинеарной точки либрации. Уравнения движения КА, получаемые в рамках ограниченной задачи трех тел Солнце-Земля—КА, как показали Эйлер и Лагранж [24], имеют частные решения, сохраняющие положение в пространстве конфигураций, они и получили название либрационных. В системе Солнце—Земля точки либрации Ь\—Ьъ располагаются в плоскости орбиты Земли. Три из них, называемые коллинеарными, находятся на прямой, соединяющей центры масс Солнца и Земли. Четвертая и пятая расположены так, что в плоскости орбиты Земли образуется ромб, в вершинах которого находятся Солнце, ¿4, Земля и ¿5, или два равносторонних треугольника — потому их называют треугольными точками либрации. Нужно отметить, что точки /а, 1/2 являются неустойчивыми, в результате чего КА через некоторое время просто уйдет из окрестности любой из этих точек, вследствии чего возникает вопрос управления движением, связанный с определением орбиты и ее коррекцией. Напротив, Ь4 и — устойчивы и, находящаяся в окрестности космическая станция будет там вечно двигаться (в рамках принятой математической модели), соблюдая вполне определенное, не изменяющееся во времени положение относительно двух притягивающих центров.

С использованием теоретических свойств точек либрации связаны многие проекты, как освоения космического пространства, так и защиты Земли от потенциально опасных космических объектов [32,47,49,54,55].

Становится целесообразным проектирование полетов КА для обнаружения и получения фотоснимков поверхностей таких объектов, мониторинга околоземного космического пространства. Может оказаться, что исследования солнечной системы в некоторых случаях можно будет произвести с помощью КА, который удастся посадить на поверхность астероида такого типа, тем самым предполагается минимизировать энергетические затраты по перемещению КА в заданную точку космического пространства.

В настоящее время существует актуальная проблема астероидной опасности, где весьма важными становятся задача мониторинга околоземного пространства и задача встречи космического объекта с целью получения фотоснимков его поверхности. Такие задачи могут быть решены с помощью КА расположенного в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\, который может быть достаточно эффективно и многократно использован для исследования космических объектов пролетающих около Земли. Эффективность использования КА связана с тем, что вблизи неустойчивого положения равновесия малые воздействия на КА могут привести к существенному изменению траектории. В результате, зная информацию о строении, физическом составе, рельефе поверхности, можно будет оптимизировать действия по предотвращению угрозы, используя наиболее эффективные технические средства с целью изменения траектории, либо расщепления астероида или кометы на достаточно мелкие фрагменты.

При этом возможно так выбрать траекторию КА, чтобы обеспечить его возвращение в окрестность коллинеарной точки либрации, для его дальнейшего использования. Целью диссертационной работы является создание вычислительного алгоритм'а для построения траекторий, позволяющих реализовывать маневры сближения с данным космическим объектом и возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации Ь\ или Ь2 с последующей стабилизацией движения.

Следует отметить, что в реальных условиях, под действием возмущений, таких как: притяжение Луны, давление солнечного света и ряд других факторов, космическая станция со временем покинет окрестность любой из точек либрации. Но, ввиду малости этих возмущений, КА удерживается здесь со значительно меньшими затратами энергии, чем в других окрестностях точек космического пространства.

Заключение

В настоящий момент резко возрос интерес к контролю и наблюдению за космическим околоземным пространством. Это обусловлено несколькими причинами: первая причина—-это мониторинг космического околоземного пространства, связанного как с антропогенными изменениями в развитии нашей планеты, так и самой природной эволюции, вторая — проведение исследование в околоземном космическом пространстве АСЗ, на предмет изучения и анализа их фотометрических и спектральных данных. Все более возрастающую роль в исследовании околоземного космического пространства приобретают космические станции, именно они существенно дополняют полученные данные наземных станций наблюдения. Сейчас сложилась ситуация, при которой количество открываемых астероидов сближающихся с Землей увеличивается с каждым днем, причем это увеличение характеризуется экспоненциальным ростом, а количество сведений о физических характеристиках таких астероидов может быть не достаточным, в рамках проведенного анализа с использованием наземных служб мониторинга. Поэтому крайне важным для решения такого рода задач становится многократное использование таких КА, которые базируются в окрестности коллинеарных точек либрации Ь\ или Ь') с последующим вылетом из их окрестности, встречей с исследуемым космическим объектом и возвращением в окрестность Ь\ или Ь2.

Такого рода маневрирования представляют собой весьма сложную проблему, не только в техническом плане, но и математическом, кроме адекватного математического моделирования орбитального движения КА здесь требуется алгоритмизация и проведение подробного численного исследования. Эти вопросы и были исследованы в диссертации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработка алгоритма построения траектории возвращения в окрестность неустойчивого положения равновесия системы дифференциальных уравнений.

2. Системный анализ управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

3. Построение траектории возвращения К А в окрестность коллинеарной точки либрации.

4. Построение стабилизирующих законов управления орбитальным движением, обеспечивающих длительное пребывание КА в окрестности коллинеарной точки либрации, и их теоретическое обоснование (теорема об устойчивости).

5. Численное исследование траекторий стабилизированного движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

6. Численное исследование траекторий орбитального управляемого движения КА, оптимальных по критерию «расхода».

7. Определение числовых характеристик орбитального управляемого движения при совершении манёвров возвращения и стабилизации КА в окрестности коллинеарной точки либрации.

1. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 2000. N0 4. С. 545-550.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: 1989. 472'с.

3. Бабаджанянц А. М., Пупышева Ю. Ю. Управление движением спутника в окрестности точки либрации по критерию расхода // Тезисы XIII Межд. конф. "Математика, компьютер, образование", Дубна, 2006 г.

4. Бабаджанянц Л. К.} Потоцкая И. Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 22: Динамика, оптимизация, управление. СПб.: Изд-во СПбГУ. >

5. Бабаджанянц Л. К., Потоцкая И. Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 23: Динамика, оптимизация, управление. СПб.: Изд-во СПбГУ.

6. Бабаджанянц Л. К., Потоцкая И. Ю. Управление по критерию расхода в механических системах. — СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2003. -137с.

7. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 224 с.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 с.

9. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.: 1977. 430 с.

10. Бордовицына Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 136 с.

11. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. М.: 1990. 295 с.

12. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

13. Грантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: 1988. 548 с.

14. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы, М., 1975, 799 с.

15. Железное Н. Б. Астероидно-кометная опасность: современное состояние проблемы // XXXIII конференция «Физика космоса». Коуров-ка - 2004.

16. Зубов В. И. Устойчивость движения. Учеб. пособие для ун-тов, М., «Высшая школа», 1973. 272 с.

17. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975, 495 с.

18. Ивашкин В. В., Смирнов В. В. Качественный анализ некоторых методов уменьшения астероидной опасности для Земли. Астрономический вестник, 1993, т.27, N6, С. 46-54.

19. Левантовский А. К. Механика космического полета в элементарном изложении. М.: Наука, 1974. - 487 с.

20. Лидов М. Л., Вашковъяк М. А., Маркеев А. П. Полуаналитический метод расчета движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации // Космич. исслед. 1976. Т. 14. №6. С.-909.

21. Лукьянов С. С. Управление движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел с помощью светового давления // Космич. исслед., 1981. Т.19. №4. С. 518-527.

22. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. 432 с.

23. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинами-ке. М.: Наука, 1978. 312 с.

24. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Учеб. пособие для университетов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 416 с.

25. Маршал К. Задача трех тел. М Ижевск, 2004. 604 с.

26. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. научн. трудов. Под ред. В. М. Матросова и Л. Ю. Анапольского. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. С. 195-203.

27. Можейко И. А. и Морозов В. М. Стабилизация космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трёх тел // Вестн. МГУ, 1994. Сер. 1 №5. С. 45-48.

28. Муртазов А. К. Экология космического околоземного пространства. М.: Физматлит. 2004. - 304 с.

29. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полёта: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1990. - 448 с.

30. Поляхова Е. Н. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации // Астероидная опасность-96. 1996. С. 101-102.

31. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой точке либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 1 (№ 1). С. 111-121.

32. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука. 1970. 332 с.

33. Потоцкая И. Ю. Метод нахождения точек переключения релейного управления в линейных механических системах. Диссертация на соискание уч. степени канд. ф.-м. наук, СПбГУ, 2000.

34. Программа и тезисы докладов комплексной конференции с международным участием «Астероидная опасность-93» (Результаты работы МИПАО за 1992-1993 гг.) ИТА РАН, 25-27 мая 1993 г. Под ред. А. Д. Сокольского. Санкт-Петербург, 1993 г., 119 с.

35. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избран, труды, т.1, М.: Наука, 1971.

36. Финкелъштейн А. Астероиды угрожают Земле. Наука и жизнь, № 10, 2007, стр. 70-73.

37. Холшевников К. В., Титов В. В. Задача двух тел. СПб., 2007. 180 с.

38. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики: М., Д.: Наука, 1965, 368 с.

39. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

40. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. 2005. Вып. 2. С. 193-199.

41. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации L\ // Четвертые Поляховские чтения: Избр. труды. СПб., 2006. С. 296300.

42. Шмыров В. А. Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации. Автореферат к диссертации на соискание уч. степени канд. ф.-м. наук, СПбГУ, 2005

43. Шмыров В. А. Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации. Диссертация на соискание уч. степени канд. ф.-м. наук, СПбГУ, 2005.

44. Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб.: Из-дат. С.-Петерб. ун., 1995. 128 с.

45. Dunham, D.W. and Farquhar, R. W. "Libration-Point Missions 1978-2000,"Libration Point Orbits and Applications, Parador d'Aiguablava, Girona, Spain, June 2002

46. Edward T. Lu and Stanley G. Love (10 November 2005), Gravitational tractor for towing asteroids, Nature 438: 177-178.

47. Farquhar R. W. The Control and Use of Libration-Point Satellites, Ph.D. Dissertation, Dept. of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford,. CA, 1968.

48. Gomes G., Masdemont J. J., Mondelo J. M. Libration point orbits: a survey from the dynamical point of view // Libration Point Orbits and Applications, 2003, 311-372.

49. Gomes G., Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 1. River Edge, 2001. 443 p.

50. Hill G. W. Researches in the Lunar Theory. Amer. Journal of Mathematics, 1878, 1, p. 5-26, 129-147, 245-260.

51. Hill G. W. The Collected Mathematical Works, v. I, 1905, p. 284-335.

52. HOU Xi-yun, JANG Jing-shi, LIU Lin Transfer to the collinear libration point L3 in the Sun-Earth+Moon system.

53. Koon Wang Sang Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design. International Conference on Differential Equations. Berlin: World Scientific. 2000. pp. 1167-1181.

54. Morrison D. (Ed.) The Spaceguard Survey: Report of the NASA International Near-Earth-Object Detection Workshop. JPL. -Pasadena. - 1992. - 66 p.

55. C. Simo and T. J. Stuchi: Central Stable/Unstable Manifolds and the

56. Destruction of KAM Tori in the Planar Hill Problem. Physica D, 140(1-2): 1-32, 2000.

57. Сетевой ресурс:http://www.encyclopedia.com/

58. Сетевой ресурс: http://www.kaspiy.az/

59. Сетевой ресурс: http://www.gao.spb.ru/

60. Сетевой ресурс: http://www.cfa.harvard.edu/

61. Сетевой ресурс: http://www.esa.int/

62. Сетевой ресурс: http://www.planetary.org/

63. Сетевой ресурс: http://www.nasa.gov/