Управление орбитальным движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШМЫРОВ Василий Александрович

УПРАВЛЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кирпичников Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Коваленко Александр Николаевич

Ведущая организация:

Главная астрономическая обсерватория Российской Академии Наук

Защита состоится «24 » 2005 г. в часов минут на

заседании диссертационного совета 12.232.07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В. О., д. 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан «/У» 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор ' В. Ф. Горьковой

рооь-Ч

ftt 90

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата (КА), является модель ограниченной круговой задачи трех тел. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам. При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (еЕ =0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллине-арные (прямолинейные) и треугольные точки либрации.

Первая внутренняя коллинеарная точка либрации , определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect). Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует - SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью.

Точка либрации Ц неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в Ц или для перехода на другие орбиты. Данное свойство можно также применить для борьбы с астероидной опасностью - большая (по массе и размерам) космическая станция может гораздо эффективнее повлиять на движение астероида опасно сближающегося с Землей, чем отдельный космический корабль. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания КА (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами. Этими вопросами занимались

A. Л. Куницын, М. Л. Лидов, С. С. Лукьянов, А. П. Маркеев, И. А. Можейко,

B. М. Морозов, Е. Н. Поляхова, К. Симо, И. А. Субаев, В. Н. Тхай, Р. В. Фар-кухар и другие авторы. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движ рмощью им-

пульсного воздействия, управление с помощью непрерывной тяги, использование сил светового давления и другие.

Особо следует отметить идею использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. Эта заманчивая идея - использовать «бесплатную» силу давления солнечных лучей давно привлекав I внимание ученых. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования КА или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса, а также по управлению вращательным движением. В 90-х годах появился ряд фундаментальных работ по управлению поступательно-вращательным движением КА с помощью солнечного паруса, выполненных коллективом ученых под руководством С. Н. Кирпичникова. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, отрабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади - сложная техническая проблема. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять.

Орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации происходит под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением КА в окрестности коллинеарной точки либрации ¿1 с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов, при этом предполагалось, что КА может двигаться либо в окрестности солнечной, либо лунной коллинеарной точки либрации.

В работе С. С. Лукьянова «Управление движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел с помощью светового давления» (Космич. исслед., 1981. Т. 19. №4. С. 518-527) подробно рассмотрена задача управления орбитальным движением КА для плоскрго случая задачи трех тел. Рассмотрение проводится для линейного приближения.'Понятйо, что качественные результаты этой работы

•, и I-

легко переносятся и на плоский нелинейный случай, поскольку в плоском линейном случае имеется асимптотическая устойчивость. Однако для пространственного случая в линейном приближении уравнения, описывающие движение пространственных переменных, отделяются и не зависят от управления. Таким образом, для системы пространственных переменных асимптотической устойчивости нет при любом выборе управляющей функции. Это означает, что задача стабилизации в пространственном случае не переносится автоматически с линейного случая на нелинейный, и требует самостоятельного исследования. Это исследование проведено во второй части главы 1. Удалось построить такую управляющую функцию, что уравнения управляемого движения оказались гамильтоновыми, а соответствующий гамильтониан оказалось возможным рассматривать в качестве функции Ляпунова. Это и обеспечило устойчивость (но не асимптотическую устойчивость) управляемого движения в окрестности коллинеарной точки либрации.

В работе И. А. Можейко, В. М. Морозова «Стабилизация космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел» (Вестн. МГУ, 1994. Сер. 1. №5. С. 45-48) предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения КА в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. Исследование, как и в работе С. С. Лукьянова, проведено для плоского линейного случая.

Исследование линейного приближения, проведенное в работах С. С. Лукьянова и И. А. Можейко, В. М. Морозова хорошо описывают качественный характер управления орбитальным движением КА в окрестности точек либрации. Однако для численного моделирования такого движения нужно рассматривать пространственный случай. Первые численные результаты по моделированию неуправляемого движения (см. рис. 1) показали, что при смещении положения КА по нормали к плоскости эклиптики наблюдается быстрый уход из окрестности точки либрации. Таким образом, для обеспечения адекватности математической модели требуется изучение нелинейного пространственного случая.

Целью работы является исследование орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь{ для нелинейного пространственного случая и построение стабилизирующих законов управления.

Научная новизна. В работе доказана принципиальная возможность стабилизации орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации £, в нелинейном пространственном случае с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце и показана возможность использования для этого сил светового давления. Доказано, что законы управления обеспечивающие асимптотическую устойчивость в плоском линейном случае обеспечивают устойчивость по Ляпунову в нелинейном пространственном случае. Построены эффективные законы управления, стабилизирующие орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ьу и

проведено численное моделирование управляемого движения. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Методы исследования. Уравнения орбитального движения КА получены по методу Хилла для круговой ограниченной задачи трех тел. Для доказательства устойчивости используется метод функций Ляпунова и га-мильтоновость уравнений. Метод производящих функций применяется для получения канонического преобразования, нормализующего линеаризованные уравнения движения. Для построения «функции опасности» и описания неустойчивого, инвариантного многообразия применяется нормализация Биркгофа, стабилизирующие законы управления строятся по методу оптимального демпфирования. Выражение для «функции опасности» получено с помощью аналитических и численных операций на ЭВМ, численное моделирование реализовано с помощью системы компьютерной математики Maple 7.00.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы как при проведении теоретических исследований орбитального движения КА, так и в практических целях для моделирования полетов в окрестности коллинеарной точки либрации и построения стабилизирующих законов управления с учетом возмущающих факторов.

Апробация работы и публикации. Результаты исследований, представленные в работе, докладывались на международных конференциях: Третьи поляховские чтения, Санкт-Петербург, 4-6 февраля 2003 г.; Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.; Устойчивость и процессы управления. Международная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Россия, Санкт-Петербург 29 июня-1 июля 2005 г. На совещании-семинаре «От спутников до галактик», Санкт-Петербург, 20 мая 2005 г. На XXXII и XXXIII конференциях факультета прикладной математики - процессов управления «Процессы управления и устойчивость» и на научных семинарах кафедры механики управляемого движения Санкт-Петербургского государственного университета. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 100 наименований. Работа содержит 22 рисунка. Общий объем диссертации 100 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности выбранной темы диссертации, дается краткий обзор литературы по тематике исследования, формулируются цель работы и рассматриваемые в ней задачи, излагается план диссертации.

В первой главе выводятся уравнения орбитального движения КА, и решается вопрос о принципиальной возможности стабилизации этого дви-

жения в окрестности коллинеарной точки либрации, предлагается стабилизирующий закон управления и приводятся результаты численного моделирования.

В качестве математической модели движения берется хилловское приближение круговой ограниченной задачи трех тел, управляющее ускорение направлено по линии Земля-Солнце, при этом за единицу расстояния принята величина приблизительно равная 0.01 а. е., а за единицу времени (2пУх год. В этом случае уравнения орбитального движения КА во вращательной геоцентрической системе координат принимают удобный для исследования вид

Зх

Х1=у]+х2, у1=-~^+2х1+у2 + и(х,у);

и

Х2=у2-хх, У2=-7-^~х2-Уи (1)

И

Зх3

*з = Уз> Л = з-*з-

И

Где х, - ось направленная на Солнце, (хих2) - плоскость эклиптики, УиУ2'Уз ~ импульсы. Система (1) при и(х,у) = 0 гамильтонова с гамильтонианом

У) = ~ УУ~ Д - + + Х2У< ~*\Уг- (2)

2 |дг| 2 2

Точка либрации во вращающейся системе неподвижна и имеет координаты

х*= (1,0,0),/=(0,1,0). (3)

Задача стабилизации заключается в том, чтобы построить синтезирующее

управление и(х,у) такое, чтобы у управляемой системы уравнений точка

либрации (х*,/) была стационарным и устойчивым по Ляпунову решением. Неустойчивость неуправляемого движения (и(х,у) = 0) демонстрируется на рисунке 1, где в результате численного моделирования уравнений (1) виден быстрый уход (приблизительно 4 месяца) КА из окрестности точки либрации.

Трудность рассматриваемой задачи стабилизации заключается в том, что в ней предлагается с помощью скалярного управления изменить качественные свойства шестимерной системы. В общем случае такая задача может и не иметь решения. Тем не менее, рассматриваемая задача стабилизации решается в положительном смысле с помощью простейшего синтезирующего управления - линейного регулятора.

Теорема 1. Существует линейный регулятор щ(х,у), такой, что точка

либрации является стационарным решением системы (I), устойчи-

вым по Ляпунову.

Доказательство теоремы основано на том, что синтезирующее управление щ(х,у) = а(х1 -1), где а<-9 является стабилизирующим, то есть точка либрации является устойчивой по Ляпунову системы (1) Результаты численного моделирования управляемого орбитального движения с законом управления щ(х,у) представлены на рисунке 2.

Величина управляющего ускорения, необходимого для такого движения оказалась порядка 10"4 ^, что допускает возможность использовать в качестве управляющего воздействия давление солнечного света на поверхность КА. В этом случае КА будет двигаться в окрестности фотогравитационной точки либрации.

Во второй главе исследуется линейное приближение системы (1). Линеаризованная система в окрестности точки либрации имеет вид *1 = хг + Ук У\ = 8(*1 -') + (Уг -1) + и{х,у)\ *2 = ~х\ + У г* Уг = ~4х2 ~ У\, (4)

■*з = Уъ' Уз = ~4*з •

откуда видна вырожденность этой системы - пространственные переменные х3 и у3 отделяются и являются неуправляемыми. Классификацию неуправ-

ляемого движения можно провести с помощью канонического преобразования (х,, хг, х3, у,, у2, у3) (х,, х2, х3, у,, у2, Уз), с производящей функцией

5(х1,д:2,д:з,у|,у2,уз)=:(х, + х2у2 + /?(х, -1)х2 + оу1у2+х3у3. (5) где В = -3 + ¡7 , а = -Д=.

2-Л

Переменные (х.у) в этом случае разделяются, неустойчивой оказывается первая пара переменных (Х],^), соответствующая собственному значению Я,= /1 + 2/7 матрицы линейной системы. Вторая пара переменных

(х2,у2), соответствующая собственному значению Х2=г ¡2 /7-1, устойчивая.

Известно, что управление и(х,у) в системе (1) можно выбрать так, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость по переменным х1,х2,у1,у2 ■ Такое управление называется управлением, построенным по линейному приближению. Ясно, что этот закон управления остается стабилизирующим и в плоском нелинейном случае. Однако весьма важно выяснить, а как изменится ситуация для общего нелинейного пространственного случая? Ведь в нелинейном пространственном случае пространственные переменные не отделяются от остальных, на их движение влияет поведение переменных х,(г) и х2(0 через функцию |х(г)||, входящую в правую часть уравнения для у3 в системе (1). Будет ли это влияние способно существенно отдалить пространственные координаты х3,у3 от нулевых значений, или оно достаточно ограничено - вот основной вопрос, при качественном исследовании системы (1) с управлением и3(х,у), построенным по линейному приближению. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 3. Стационарное решение (х*,У) управляемой системы (1) с управлением и3(х,у), построенным по линейному приближению, устойчиво по Ляпунову.

Доказательство теоремы 3 построено на оценке поведения функции Гамильтона Н4(х,у) на траектории управляемого движения. В линейном случае свойство асимптотической устойчивости приводит к тому, что управляющее воздействие асимптотически стремится к нулю. В случае управления Щ(Х>У) хотя «плоские» переменные и стремятся к нулю, однако при этом управляющее воздействие к нулю не стремится из-за наличия пространственной компоненты.

Третья глава посвящена построению законов управления орбитальным движением КА в виде оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности». Классификация движений линейной неуправляемой системы, проведенная в главе 2, показывает, что существует пятимерное, инвариантное, неустойчивое многообразие. Если целью управления является только обеспечение нахождения КА в окрестности точки либрации и не ставится более определенная краевая задача (например, перейти на некото-

рую заданную галоорби гу), то естественной задачей управления можно считать переход на неустойчивое инвариантное многообразие. Такая же ситуация имеет место и в нелинейном случае, с той разницей, что аналитическое описание такого многообразия требует довольно сложной вычислительной процедуры - нормализации Биркгофа. Однако и в эшм случае, как показал Биркгоф, дело сводится к построению некоторой функции фазовых переменных, а множество доставляющее нулевые значения этой функции, и есть неустойчивое многообразие. Таким образом, задача перехода на неустойчивое многообразие сводится к обеспечению в конечный момент равенства Q\- 0, что естественным образом приводит к задаче оптимального демпфирования по отношению к функции \Q\\, которую естественно назвать «функция опасности», поскольку от ее значений зависит быстрота ухода К А из окрестности точки либрации.

Для получения приближенного выражения для функции в начале делается каноническая замена переменных (х,у) -> (q,p) так, чтобы квадратичная часть гамильтониана в переменных q,p выглядела особенно просто

H(2){q,p) = ^plqA+X1p2q2+Xip2q^ (6)

Определяющее уравнение для функции Qx имеет вид

[а,я]=я,а. (7)

где [, ] - скобки Пуассона.

Для линейного приближения функции g, имеем = q\. квадратичное приближение удовлетворяет уравнению

[е,(2),я(2)]+[е1(1),я(3)]=л1е1(2). (8)

где

- кубическая часть гамильтониана. После серии аналитических выкладок, проведенных с помощью системы компьютерной математики Maple 7.00, и после подстановки числовых значений коэффициентов исходного гамильтониана получаем уравнения для квадратичного приближения «функции опасности» в координатах в

виде

б. * Ч\ + Q\2) = -1.3928(х, -1)2 - 0.5346(*] -1 ){у2 -1) -

— 0.3478(дг1 -1 )ух +0.0249(х, - \)х2 -0Л2Щу2 -1)2 -- 0.1170(^2 - 1)Ji - 0.2793(^2 -1 )х2 + 0.1187yf + 0.3186у,х2 -

- 0.2686х| - 0.0673у| - 0.481 \х\ - 0.1689*3j>3 +1.2751(х, -1) + + 0.2258(>>2 -1) + 0.4183_у, + 0.1481 х2. (9)

Это выражение используется для моделирования управления орбитального движения КА.

Аналитические выражения для функций <7, и 0,<2), полученные в предыдущих параграфах, позволяют написать законы управления в виде оптимального демпфирования по отношению к приближенному выражению для «функции опасности».

Закон управления м(|) в виде оптимального демпфирования по отношению к функции имеет вид

1/(,)(х,у) = -58п(1?1Н. (Ю)

где

IX *>о,

»№(*) = {' ' (11) [0, х < 0.

а и0 - предельное значение модуля управления.

Закон управления г/2' в виде оптимального демпфирования по отношению к функции |<7] имеет вид

«(2)(х,>')=-5еп(д1+е1(2)н. <12)

Сравнивая законы управления (10) и (12) замечаем, что выражение для функции опасности ql + в квадратичном приближении содержит пространственные переменные у3 и хъ, чего нет для линейного приближения <7,. Таким образом, при определении неустойчивого многообразия может возникнуть ситуация, когда влияние пространственных переменных существенно, а законы управления реагируют на это по-разному.

Иногда бывает удобно вместо закона оптимального демпфирования вида (10) или (12) выбрать модифицированный закон управления, позволяющий избежать переключения управления. Зададим число ЬО и положим

ик\х,у) = \ (13)

[-Б^^Мо, [Л?,, >И0-

И

[-*(*,+еР>), |*(9,+幫о,

= ] (14)

[- щт* + еРж, +е,(2) >| > "о-

Законы управления и^\х,у) и и^\х,у) назовем управлением типа

оптимального демпфирования соответственно функций '<7,| и ^

Сравним теперь построенные законы управления с помощью численного эксперимента. Пусть в начальный момент времени КА имел координаты:

х,=1.0 ^1=0.0

х2 = 0.0 у2 = 0.9 (15)

х3 = 0.0 >-3=0.1

что соответствует следующей ситуации: в начальный момент КА, находясь в точке либрации , получил импульс скорости, лежащий в плоскости перпендикулярной линии Земля-Солнце. Положим к = 7, м0 = 1. На рисунке 3 видно, что управление и<4\х,у) быстрее обращается в ноль, чем управление и(3)(х,у) на рисунке 4, что является показателем более сильных демпфирующих свойств.

Рис. 3 Рис. 4

Стабилизация движения с управлением и^\х,у) и и^4\х,у) проиллюстри рована на рисунках 7 и 8 соответственно (время порядка 16 лет).

Рис. 7

Рис. 8

Сравнивая рисунки 7 и 8, видим, что переход происходит на разные галоор-биты, близкие к точки либрации.

В заключении проведен обзор проделанных исследований и перечислены основные результаты, выносимые на защиту, которые состоят в следующем:

- доказана принципиальная возможность стабилизации орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь, в нелинейном пространственном случае с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце.

- предложен закон управления орбитальным движением как функция расстояния от КА до Земли, стабилизирующий орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации .

- построена область управляемости и оценена величина необходимого управляющего воздействия.

- показана возможность использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА.

- построено каноническое преобразование, позволяющее исследовать уравнения в линейном приближении и проклассифицировать основные типы движения.

- доказано, что законы управления обеспечивающие асимптотическую устойчивость в плоском линейном случае обеспечивают устойчивость по Ляпунову в нелинейном пространственном случае.

- с помощью нормализации Биркгофа и проведения аналитических операций на ЭВМ получено приближенное аналитическое выражение «для функции опасности», с помощью которой дано описание неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности коллинеарной точки либрации .

- построены законы управления типа оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности» и исследованы их свойства.

- проведено численное моделирование управляемого движения с различными законами управления, даны графические иллюстрации результатов и сравнение свойств движения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Шмыров В. А Полеты в окрестность коллинеарной точки либрации // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ. СПб., 2001. С. 175-178.

2. Шмыров В. А. Численное моделирование полета в окрестность коллинеарной точки либрации системы Земля-Солнце // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ. СПб., 2002. С. 264-266.

3. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Импульсные переходы на условно-периодические орбиты в окрестности коллинеарной точки либрации // Третьи поляховские чтения: Тезисы докладов международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 4-6 февраля 2003 г. СПб. 2003. С. 112-113.

4. Поляхова Е. Н., Шмыров А. С., Шмыров В. А. Управление орбитальным движением КА в окрестности с помощью сил светового давления // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике: Тез. докл., Великие Луки, 23-28 августа 2004 г. М.,

B. Л., 2004. С. 165-167.

5. Поляхова Е. Н., Шмыров А. С., Шмыров В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной фотогравитационной точки либрации // От спутников до галактик: Тезисы докладов совещания-семинара по проблемам динамической и галактической астрономии, Санкт-Петербург, 20 мая 2005 г. - СПб, С. 16.

6. Шмыров В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля-Солнце // Устойчивость и процессы управления. Международная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Россия, Санкт-Петербург 29.06.2005-01.07.2005. Сб. трудов, СПб., 2005. С. 16941697.

7. Бабаджанянц А. М., Шмыров В. А. Управление движением КА по траектории возвращения в коллинеарную точку либрации системы Земля-Солнце // Устойчивость и процессы управления. Международная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Россия, Санкт-Петербург 29.06.2005-01.07.2005. Сб. трудов, СПб., 2005.

C. 1033-1041.

Отпечатана копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 06.09.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 248/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

РНБ Русский фонд

2006-4 13190

Введение

Глава! Стабилизация управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной (прямолинейной) точки либрации L1 системы Земля-Солнце

§1.1 Вывод уравнений движения

§ 1.2 * Исследование линейного приближения

§1.3 Стабилизация орбитального движения в общем случае

§1.4 Плоский случай

§1.5 Стабилизация орбитального движения КА с помощью сил светового давления

§1.6 Область стабилизации

Глава 2 Построение управления орбитальным движением КА по линейному приближению

§2.1 Приведение уравнений линейного приближения к системе с разделяющимися переменными с помощью канонического преобразования

§2.2 Классификация движений в линейном приближении

§2.3 Управление по линейному приближению

§2.4 Теорема стабилизации

Глава 3 Управление орбитальным движением КА в виде оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности»

§3.1 Оптимальное демпфирование в линейном приближении

§3.2 Нормализация Биркгофа

§3.3 Построение квадратичного приближения для «функции опасности»

§3.4 Сравнение законов управления и результатов численного моделирования

Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата (КЛ), является модель ограниченной круговой задачи трех тел [46], [56]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам. При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (еЕ = 0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации.

Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Lx, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [47]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует - SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью.

Точка либрации L, неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в Lx или для перехода на другие орбиты [58]. Данное свойство можно также применить для борьбы с астероидной опасностью - большая (по массе и размерам) космическая станция может гораздо эффективнее повлиять на движение астероида опасно сближающегося с Землей [49], чем отдельный космический корабль. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания К А (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами [31]-[33], [36], [42], [47], [50], [52], [53], [58], [62]-[67], [69], [71]-[73], [75], [76], [78]-[86], [89], [90], [95], [97], [98]. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управлением помощью импульсного воздействия [58], управление с помощью непрерывной тяги [42], использование сил светового давления и другие.

Особо следует отметить идею использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. Эта заманчивая идея - использовать «бесплатную» силу давления солнечных лучей давно привлекает внимание ученых. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования КА или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [48], [49]), а также по управлению вращательным движением. В 90-х годах появился ряд фундаментальных работ по управлению поступательно-вращательным движением КА с помощью солнечного паруса [26], [87]. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, отрабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади — сложная техническая проблема [48]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять.

Орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации происходит под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [50] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением К А в окрестности коллинеарной точки либрации L{ с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов [32], [36], при этом предполагалось, что КА может двигаться либо в окрестности солнечной, либо лунной коллинеарной точки либрации.

В работе С. С. Лукьянова [36] подробно рассмотрена задача управления орбитальным движением КА для плоского случая задачи трех тел. Рассмотрение проводится для линейного приближения. Понятно, что качественные результаты этой работы легко переносятся и на плоский нелинейный случай, поскольку в плоском линейном случае имеется асимптотическая устойчивость. Однако для пространственного случая в линейном приближении уравнения, описывающие движение пространственных переменных, отделяются и не зависят от управления. Таким образом, для системы пространственных переменных асимптотической устойчивости нет при любом выборе управляющей функции. Это означает, что задача стабилизации в пространственном случае не переносится автоматически с линейного случая на нелинейный, и требует самостоятельного исследования. Это исследование проведено во второй части главы 1. Удалось построить такую управляющую функцию, что уравнения управляемого движения оказались га-мильтоновыми, а соответствующий гамильтониан оказалось возможным рассматривать в качестве функции Ляпунова. Это и обеспечило устойчивость (но не асимптотическую устойчивость) управляемого движения в окрестности коллинеарной точки либрации.

В работе [42] предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения КА в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. Исследование, как и в работе [36], проведено для плоского линейного случая.

Исследование линейного приближения, проведенное в работах [36] и [42] хорошо описывают качественный характер управления орбитальным движением КА в окрестности точек либрации. Однако для численного моделирования такого движения нужно рассматривать пространственный случай. Первые численные результаты по моделированию неуправляемого движения (см. рис. 4 (гл. 1), рис. 14 (гл. 3)) показали, что при смещении положения КА по нормали к плоскости эклиптики наблюдается быстрый уход из окрестности точки либрации. Таким образом, для обеспечения адекватности математической модели требуется изучение нелинейного пространственного случая. Здесь возникают следующие задачи.

Во-первых, можно ли вообще стабилизировать орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации в общем пространственном случае. Эта задача решена в главе 1, где указан конкретный стабилизирующий закон управления и доказана устойчивость по Ляпунову стационарного решения для соответствующей управляемой системы.

Вторая, естественным образом возникающая задача: можно ли перенести результаты исследования линейного приближения на нелинейный пространственный случай. Эта задача решается положительным образом в главе 2. Теорема доказанная в конце главы 2 утверждает, что управление построенное по линейному приближению стабилизирует орбитальное движение КА в пространственном нелинейном случае и обеспечивает асимптотическую устойчивость по части переменных (точнее по переменным плоского движения).

Наконец, третья задача, исследованная в главе 3, заключается в отыскании эффективного (оптимального в определенном смысле) закона управления. Эта задача решается на основе сведения нелинейной гамильтоновой системы к линейной с помощью нормализации Биркгофа и построения неустойчивого инвариантного многообразия в фазовом пространстве переменных. Эта нормализация позволила ввести в рассмотрение так называемую «функцию опасности», которая обращается в нуль на неустойчивом инвариантном многообразии. Оптимальное демпфирование по отношению к модулю этой функции (который имеет смысл «расстояния» до неустойчивого инвариантного многообразия) и дает эффективный стабилизирующий закон управления. В третьей главе дается приближенное построение «функции опасности», а также приводятся результаты численного моделирования. Оказалось, что использование «функции опасности» в первом приближении дает весьма удовлетворительные результаты. Квадратичное приближение «функции опасности» позволило учесть влияние пространственных переменных.

Таким образом, рассмотрение нелинейного пространственного случая управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации показало, что результаты исследования линейного приближения могут быть использованы и в общем случае, с той только разницей, что управление с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце, уже не может обеспечить асимптотическую устойчивость и мы должны довольствоваться только устойчивостью по Ляпунову.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование управляемого орбитального движения? КА в окрестности коллинеарной точки либрации Lv под действием управляющей силы направленной по линии Земля-Солнце; проведенное в предыдущих главах, показало, что и в общем пространственном;нелинейном случае управление такого типа способно стабилизировать движение КА и обеспечить его пребывание в окрестности точки либрации длительное время. Возникающая при исследовании, основная^ трудность — вырожденность системы уравнений управляемого движения; проявляющаяся; в неуправляемости пространственных переменных в линеаризованном случае, удалось преодолеть с помощью специальной гамильтоновой техники. Так в главе 1 закон синтеза управления; выбран; так, чтобы управляемая? система осталась гамильтоновой; - что позволило воспользоваться методом функций Ляпунова и сделать заключение об устойчивости движения. Во второй главе показано, что результаты по управлению орбитальньш движением КА в плоском; линейном1 случае, полученные ранее, могут быть перенесены и на пространственный нелинейный случай. Доказательство этого факта и было; проведено с помощью свойств гамильтониана неуправляемого движения;

В; третьей главе выбор закона управления реализуется < на основе простого и естественного принципа - устранения неустойчивости движения через переход на инвариантное неустойчивое многообразие; Реализация этого принципа связана; с построением специальной функции, описывающей близость к инвариантному неустойчивому многообразию. Построение квадратичного приближения этой; функции выполнено на;основе методики Бирк-гофа для исследования гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия.

Применение гамильтоновой техники не только позволяет успешно решать задачи построения законов управления орбитальным движением и исследовать их свойства, но и предлагает единообразный подход, способный дать аналитическую основу для решения более сложных задач возникающих на практике. Ведь очевидно, что при планировании автономных станций^длительного пребывания в окрестности коллинеарной точки либрации потребуется учитывать и эксцентриситет земной; орбиты, и влияние Луны и многие другие возмущающие факторы. Учет этих факторов удобнее всего делать на основе некоторого единого подхода. При разработке такого подхода и следует в первую очередь обратить внимание на гамильтоновость уравнений движения.

В; работе получены следующие результаты:; доказана: принципиальная? возможность стабилизации движения КА в нелинейном пространственном случае с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце. предложен закон управления орбитальным движением как функция расстояния от КА до Земли, стабилизирующий орбитальное движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ц. построена область управляемости и; оценена величина t необходимого Заправляющего воздействия; показана возможность использования сил светового давления для стабилизации орбитального движения КА. построено » каноническое преобразование; позволяющее исследовать уравнения в линейном приближении и проклассифицировать основные типы движения. доказано, что законы управления; обеспечивающие асимптотическую устойчивость в плоском линейном случае обеспечивают устойчивость по Ляпунову в нелинейном пространственном случае. с помощью нормализации Биркгофа получено приближенное аналитическое выражение «для функции опасности», с помощью которой дано описание неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности коллинеарной точки либрации Lx. построены законы управления типа оптимального демпфирования по отношению к «функции опасности» и исследованы их свойства, проведено численное моделирование управляемого движения с различными законами управления - и даны графические иллюстрации результатов сравнение свойств движения.

1. Антонов В. А, Шмыров А. С. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими s кеплеровыми орбитами // Сб. Механика управляемого! движения и проблемы космической динамики; Л., 1972. С. 165-168.

2. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М., 1965. 330 с.

3. Барбагиин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 224 с.

4. Барбагиин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 с.

5. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М., 1977. 430 с.

6. БиркгофД.Д. Динамические системы. М., Л., 1941. 320 с.

7. И.Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. М., 1990. 295 с.13 .Васильев JI. А: Определение давления света на космические летательные аппараты. М., 1985. 208 с.

8. А.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М:, 1988. 548 с.

9. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. М., 1971. 442 с.

10. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М., 1975. 702 с.17Джакалъя Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Мм 1979.319 с.

11. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., 1975.799 с.

12. Жабко А. П., Кирпичников С. Н. Лекции по динамическим системам. Ч. 1: Основные понятия и вспомогательные сведения из функционального анализа. СПб., 2003. 124 с.

13. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. СПб., 2004. 380 с.

14. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975. 495 с.

15. Карпасюк И. В., Шмыров А. С. Канонические приближения уравнений движения в гравитационном поле // Вестник СПбГУ. Сер.1, 1998, вып.2 (№8), С. 86-93.

16. Кирпичников С. Н. Энергетически оптимальные полеты с учетом влияния светового давления // Вестн. Лгу, 1965; №7. С. 144-156.

17. Кирпичников С. Н:, Кирпичникова Е. С., Шмыров А. С. О плоском гелиоцентрическом поступательно-вращательном движении КА с солнечным парусом сложной формы // Вестн. С.-Петербург, ун-та; Сер. 1. 1993. Вып. 1 (№1). С. 102-111.

18. Козлов В. В. О неустойчивости равновесия в потенциальном поле // Успехи мат. наук, 1981.36. вып. 3; С. 215-216.2%.Левантовский В. ИI Механика космического полета в элементарном изложении. М., 1980. 511 с.

19. Лидов Ml Л:, Лукьянов С. С, Тесленко Н. М. Автоматическая станция в окрестности лунной либрационной точки L2II Препринт ИПМ АН СССР, №116,1974.

20. Лидов М. Л, Ляхова В. А., Тесленко Н. М. Исследование траекторий; полета на гало-орбиту в окрестности точки либрации Lz системы Земля-Солнце с использованием гравитации Луны // Письма в АЖ. 1991; Т. 17. №12. С. 1124.

21. Лукьянов А. Л/ Пленочные отражатели в космосе. М., 1977. 70 с.

22. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М., JL, 1951. 216 с.

23. Ляпунов; Ai Ml Общая? задача- об устойчивости движения. М., JI., 1950; 472 с:

24. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной; механике и космодина-мике. М., 1978.312 с.

25. Можейко И. Al, Морозов В. М. Стабилизация космического аппарата в окрестности^ коллинеарной точки либрации круговой? задачи трех тел // Вестн. МГУ, 1994; Сер. 1. №5. С. 45-48.

26. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., 1973. 166 с.

27. Новоселов В. С. Аналитическая?динамика управляемого движения; СПб., 1998: 146 с.\

28. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972. 317 с.46.0хоцимскийД. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.

29. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой f точке либрации // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1993. Вып. 1 (№1). С. 111-121.

30. Полякова Е. Я. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. М., 1986. 304 с.

31. Полякова Е. Я. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации // Астероидная опасность-96. 1996. С. 101-102.

32. Полякова Е. Я Перспективы функционирования солнечного экрана вблизи внутренней точки либрации системы Солнце-Земля // Управляемое движение в гравитационном поле: Сборник научных работ. СПб., 2000. С. 110-117.

33. Полякова Е. Я, Шмыров А. С. Математическое обоснование теории орбитальной коррекции, выполняемой с помощью солнечного паруса// Космич. исследования, 1989. Т. 27. Вып. 1. С. 54-63.

34. Полякова Е. Н., Шмыров А. С., Шмыров В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной фотогравитационной точки либрации // От спутников до галактик. Тезисы докладов, 2005. С. 16.

35. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970. 332 с.

36. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983. 392 с.

37. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М., 1965. 572 с.

38. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды: В 3 т. Т. 1.М., 1971. 771 с.

39. Субаев PL А. Оптимальные двухимпульсные перелеты вточку либрации Li системы Солнце-Земля с использованием асимптотических траекторий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3, Физика. Астрономия. 1991, т. 32, №5, С. 102-104.

40. Субботин М< Ф; Введение в теоретическую астрономию. М., 1968. 800 с.60^олшевников К. В1 Асимптотические методы небесной механики. Л;, 1985. 208 с.61 .Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб., 1995. 127 с.

41. Шмыров 'В. А. Стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации«системы Земля-Солнце // Устойчивость и процессы управления. Международная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Россия,

42. Санкт-Петербург 29.06.2005-01.07.2005. Сб. трудов, СПб., 2005. С. 1694-1697.

43. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата: в; окрестности коллинеарной точки либрации Lt // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. 2005; Вып. 2 . С.133 -733.

44. Cielaszyk D., IVie B. New Approach to Halo Orbit Determination and Control? // Journal of Guidance,. Control, and;Dynamics. Vol; 19, №2,, March-April 1996, P. 266-273.

45. FarquharR. W., MuhonenD. P., Church L. C. Trajectories and orbital maneuvers for the ISEE-3/ICE comet mission?// Л1АА Paper, no. 841976, August 1984.

46. Farquhar Rl IV., Muhonen D. P., Newman C. Ri, Heuberger H: S. Trajectories and orbital maneuvers for the fist libration point satellite // Journal of Guidance and Control, Vol. 3, November-December 1980, P. 549554.

47. Gomez G. The dynamics around the: collinear equilibrium points of the RTBP // Phys. D. 157(2001), no. 4, P. 283-321.

48. Gomez G:, Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 2. World Scientific Publishing, 2001. 146 p.

49. Gomez G., Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 3. World Scientific Publishing, 2001. 262 p.

50. Howell1 К. C. Families of orbits in the vicinity of the: collinear libration points // J. Astronaut. Sci. 49(2001). no. 1, P. 107-125.

51. Howell К. C., Gordon S. C. Orbit determination error analysis and a station-keeping strategy for Sun-Earth L, libration point orbits // J: Astronaut. Sci. 49(1994): no. 2, P. 207-228.

52. Howell К. C, Borden В. Т., Lo M. W. Application of dynamical systems theory to trajectory design for a libration point mission // J. Astronaut. Sci. 45(1997). no. 2, P. 161-178.

53. Popescu M, Cardos V. The domain of initial conditions for the class of three-dimensional halo periodical1 orbits II Acta Astronautica, Vol. 36, No. 4, 1995. P. 193-196.

54. Rodriguez-Canabal J. SOHO mission analysis. ESOC Mission Analysis Office, June 1984.

55. Sharma R. K., Taqvi Z. A:, Bhatnagar К. B. Existence and stability of Iibration points in the restricted three-body problem when; the primariesare triaxial rigid bodies // Celest. Mech. Dynam. Astronom. 79(2001), no. 2, P. 119-133.

56. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Phys. tet: A. 1990; Vol: 150, N 5-7., P; 262-268;

57. Zubov V. I. Mathematical theory of the motion stability. St. Petersburg, 1997. 339 p.