Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ
|
Воронин, Петр Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Волгоград
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ТРЕХМЕРНАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ КУЛОНОВСКОГО И РАДИАЦИОННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Специальность 01 04 04 - Физическая электроника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук
Волгоград - 2007
003061340
Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом университете на кафедре «Физика»
Научный руководитель доктор физико - математических наук, профессор
Шеин Александр Георгиевич
Официальные оппоненты доктор физико - математических наук, профессор
Байбурин Вил Бариевич
Защита состоится 2 октября 2007 г в .12 00 часов на заседании диссертационного совета К 212 028 01 при Волгоградском государственном техническом универ ситете по адресу 400131, г Волгоград, пр Ленина, 28, ауд 209
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государст венного технического университета
Автореферат разослан " /Л " 2007 г
доктор физико — математических наук, профессор Ильин Евгений Михайлович
Ведущая организация Волгоградский государственный педагогический
университет.
Ученый секретарь диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность исследования. Одним из направлений физической электроники является изучение траекторий движения заряженных частиц с целью формирования их потоков При этом, как правило, ввиду большого количества частиц, теоретический анализ их движения с учетом электромагнитного взаимодействия между ними производится не для каждой элементарной частицы, а для их ансамбля, объединенного в так называемые «крупные частицы», содержащего, как правило, порядка 10б-108 элементарных частиц Такое представление позволяет сохранить величину удельного заряда — , где О - заряд, а ММ
масса элементарной частицы, и внешний вид уравнений движения, но вносит существенное искажение в определение кулоновских сил взаимодействия, величина которых пропорциональна произведению зарядов, и увеличенных по величине, таким образом, на двенадцать - шестнадцать порядков При этом исключается взаимодействие этих частиц с ионами, рассматриваемыми как фон, сопутствующий движению и компенсирующий в определенной степени влияние кулоновских сил Естественно, чго прямое решение задачи движения потока элементарных частиц практически невозможно даже при наличии современных ЭВМ, тем более что не существует аналитическою решения даже при движении трех тел при наличии их кулоновского взаимодействия
На практике заряженные частицы движутся в среде, содержащей, как правило, наряду с элементарными частицами большое количество массивных заряженных частиц (например, ионов различного сорта, всегда имеющихся в наличии в реальной среде, особенно при движении потока в плазме), в силовых полях, содержащих составляющие, оказывающие значительное воздействие на динамику объектов Подобная задача возникает и при движении частиц в космическом пространстве при наличии их взаимодействия с массивными заряженными телами В этом случае понятие «элементарной» частицы вполне применимо к объектам, имеющим реальные размеры и массу, но малые по сравнению с окружающими телами, с которыми может происходить взаимодействие. При этом, кроме электростатических полей (имеющих место, например, в системах формирования электронных потоков), появляются и электромагнитные радиационные поля, а также, при необходимости, и гравитационные поля, величина которых существенно возрастает при уменьшении расстояния между частицами, либо при увеличении масс взаимодействующих тел
Решение задач физической электроники, в частности, о движении трех тел в силовом поле, основывается на решении задач небесной механики, поставленных в то время, когда необходимость исследования динамики космического тела малой массы (кометы, астероида) в гравитационных полях массивных тел (звезд и планет) привела к абстрактно сформулированной ограниченной задаче трех тел, в рамках которой осуществлялось математическое моделирование (в широком смысле этого понятия) динамики малого тела (составление дифференциальных уравнений движения этого тела, нахождение их интеграла (К Якоби), изучение поверхностей нулевой скорости этого объекта с целью выявления областей возможного движения тела (Г Хилл)) В рамках решения ограниченной задачи трех
тел, в частности, были получены стационарные решения динамических уравнений малого тела в виде точек (Л Эйлер, Ж. Лагранж), в которых тело моясет находиться в стационарном состоянии, характеризующемся одновременным обращением в нуль скорости и ускорения малого тела относительно каждого из массивных тел и, как следствие, сохранением неизменными взаимных положений всех трех тел системы друг относительно друга. Такие точки получили название точек либрации
Аналогия, присущая многим физическим явлениям, позволяет предположить, что и движение электронов при наличии ионов в определенной степени соответствует движению малых тел в поле массивных Это дает возможность поставить общую задачу как для проблем физической электроники, так и для космических исследований - космической электроники
В настоящее время ни в астрофизике, ни в физической электронике не сформулирована задача, аналогичная ограниченной задаче трех тел, для случая произвольной комбинации гравитационного, кулоновского и радиационного полей, в рамках которой бы осуществлялось математическое моделирование движения малого тела, исследовались бы его стационарные состояния Имеют отражение лишь исследования ряда частных проблем небесной механики, представляющие собой физические теории тех или иных эффектов, имеющих место в радиационных полях Так, например, детально изучен эффект Пойнтинга-Робертсона, заключающийся в потере частицей, движущейся в гравитационно-радиационном поле уединенной звезды, моделируемой точечным изотропным излучателем, орбитального момента импульса, вследствие явления аберрации света, с последующим падением на излучающее тело
Между тем, формулировка и решение задачи трех тел для случая наличия всех составляющих силовых полей представляются весьма актуальными, поскольку позволяют, в рамках соответствующих моделей, получить информацию о характере динамики реальных объектов В частности, представляет интерес случай, когда малое тело взаимодействует с двумя массивными, по сравнению с ним, телами, обращающимися по орбитам вокруг общего центра масс, образуя замкнутую систему Такая система двух тел, называемых в литературе конечными телами, носит название бинарной системы
Целью настоящей работы является исследование динамики малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы с кулоновским (электростатическим) и радиационным типами электромагнитного взаимодействия
В процессе реализации цели данной работы решены следующие задачи
• Получены дифференциальные динамические уравнения, описывающие движение малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных тел с кулоновским и радиационным типами электромагнитного взаимодействия
• Найдены стационарные решения полученных динамических уравнений в виде точек либрации и осуществлено их исследование на устойчивость
• Получены уравнения кривых локализации тригональных точек либрации в полях бинарных систем конечных тел с кулоновским или радиационным типами электромагнитного взаимодействия
♦ Проведено исследование геометрических особенностей формирования точек либрации и выявлены их топологические типы
Научная новизна исследования состоит в том, что
- впервые сформулирована трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях наличия всех типов взаимодействия (электростатического, радиационного и гравитационного), и в ее рамках получена система дифференциальных динамических уравнений, описывающая движение малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в гравитационно-электромагнитном поле бинарной системы конечных тел, i
- найдены стационарные решения системы динамических уравнений, позволившие определить пространственное положение и осуществить исследование на устойчивость точек либрации малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью,
- выявлены новые, не встречающиеся в условиях чисто гравитационного взаимодействия, типы точек либрации,
- создана единая классификация точек либрации по их топологическим типам,
- найдены кривые локализации тригональных точек либрации малых объектов, находящихся в полях бинарных систем с кулоновским или радиационным типом электромагнитного взаимодействия
Практическая ценность работы состоит в возможности использования полученных результатов в качестве теоретического базиса для определения динамики заряженных частиц в системах формирования потока В свете проведенных исследований представляется возможным учет ослабления потока в среде, содержащей бинарные системы, образованные тяжелыми многозарядными ионами и ионными комплексами, вследствие удержания частиц потока в точках либрации таких микроэлектронных систем
Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках научно-исследовательской работы «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов M — типа» (тема № 54-53/429-04, № гос регистрации 01200500653), выполняемой в настоящее время на кафедре физики по планам фундаментальных и поисковых работ Агентства по образованию РФ
Достоверность полученных результатов обусловлена строгой аналитической аргументацией полученных теоретически положений с использованием классических фундаментальных законов, переходом при «выключении» электромагнитных компонент поля полученных соотношений в известные соотношения классической ограниченной задачи трех тел, получением результатов, не противоречащих физическим представлениям Основные положения, выносимые на защиту:
♦ Дифференциальные уравнения движения малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных электрически заряженных тел-излучателей,
♦ Типы точек либрации, устанавливаемые на основании выявления областей их локализации в пространстве бинарной системы конечных тел,
♦ Аналитические выражения для координат и критериев устойчивости точек либрации малого объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных тел,
♦ Уравнения кривых локализации в пространстве точек либрации малого электрически заряженного объекта, находящегося в поле бинарной системы тел с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия, а также малого объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы тел с радиационным типом электромагнитного взаимодействия,
♦ Уравнения поверхностей нулевой скорости объекта в окрестностях соответствующих ему точек либрации, а также их топологическая классификация
Апробация результатов исследования. Основные положения диссертационной работы и ее отдельные результаты докладывались и обсуждались на IV Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (ИКИ РАН, Москва, 2007 г), а также на научных конференциях ВолгГТУ
Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть научных работ (5 статей и тезисы доклада), в том числе одна статья в журнале по списку ВАК РФ
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии и четырех приложений Работа изложена на 138 страницах, содержит 27 рисунков и 3 таблицы. Общий объем диссертации 152 страницы Библиография содержит 58 наименований
Личный вклад автора. Автор сформулировал трехмерную ограниченную задачу трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия, поставленную научным руководителем, и в ее рамках для нерелятивистского случая осуществил поиск и исследование точек либрации малых электрически заряженных объектов, находящихся в полях бинарных систем конечных электрически заряженных тел, излучающих электромагнитные волны Все результаты исследования получены лично автором
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту
В первой главе рассмотрена история возникновения, основные проблемы ограниченной задачи трех тел, методика их решения, а также модификация ограниченной задачи трех тел для случая электростатического и радиационного взаимодействия Постановка ограниченной задачи трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия сформулирована следующим образом- два тела обладают конечными значениями масс, зарядов и светимо-стей, а третье тело, масса и заряд которого имеют много меньшие значения, не излучает свободного электромагнитного поля и обладает конечными значениями удельного заряда и удельной площади поверхности Это третье тело названо малым объектом, а два первых тела - конечными телами Влиянием малого объекта на динамику конечных тел, образующих замкнутую систему, называемую би-
парной, можно пренебречь В то же время воздействия полей конечных тел на малый объект полностью определяют динамику последнего
Во второй главе осуществляется поиск и исследование точек либрации, не лежащих на прямой, соединяющей центры конечных тел, называемых триго-нальными точками либрации.
Производится расчет сил, действующих на малый объект, обладающий сферической поверхностью с площадью сечения 5, массой М, электрическим зарядом 2 и находящийся в поле бинарной системы двух сфероидальных заряженных тел со сферически-симметричным распределением конечных масс и зарядов относительно их геометрических центров, являющихся, к тому же, источниками свободного электромагнитного поля - излучения
Массы, заряды и светимости менее массивного («первого») и более массивного («второго») конечных тел, образующих бинарную систему, полагаются равными М,, О,, Ц и мг, <22, соответственно Данные тела обращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам, находясь на расстоянии с1 друг от друга, причем их радиусы много меньше с1
Конечные тела взаимодействуют друг с другом с силами, включающими в себя, помимо гравитационных компонент, электромагнитные компоненты поля Лие-нара-Вихерта, (радиационные взаимодействия между телами полагаются пренебрежимо малыми) В нерелятивистском случае поле Лиенара-Вихерта переходит в поле Кулона, а взаимодействие тел при этом можно считать квазиэлектростати-ческгш, кулоновским
Расчет осуществляется во вращающейся (синодической) системе координат, начало О которой находится в центре масс бинарной системы, ось X проходит через центры конечных тел, будучи направленной от более массивного тела к менее массивному, ось 2 направлена по вектору угловой скорости вращения системы со, ось У дополняет систему координат до правой (см рисунок 1)
Водится система безразмерных расстояний, масс и времени, в которой расстояние между конечными телами <з?, сумма их масс М1+М2, а также угловая скорость вращения системы
1_. 1 а яг
(1)
4яе0в М1 М2
равны 1. Во введенной системе единиц гравитационная постоянная будет равна по величине значению параметра
Р=-, 1 о о > (2)
1 —
1 йй'
4тге0О Л/, М2
названному гравитационно-электрической постоянной (ГЭП) бинарной системы Ясно, что существование бинарной системы возможно лишь в том случае, если р> О
В качестве характеристических параметров системы, помимо гравитационно-электрической постоянной, рассматриваются массовый параметр
М = Т7(3)
светимостныи параметр
Ы-Ь— (4)
А + А
и зарядовый параметр
(5)
а
Характеристическими параметрами малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью являются такие величины, как электростатический параметр объекта
1 а+а^ (б)
и радиационный параметр парусности объекта
X - ^ А + 5 ' 4тг ев А/, + М2 М '
где ^ суть безразмерный коэффициент, значение которого определяется характером воздействия излучения на поверхность объекта
При этом показывается, что выражения для гравитационно-электромагнитных сил, действующих на малый объект со стороны первого и второго тел системы, во введенной системе единиц записываются соответственно в виде
и Г2=-Х2^г2, (8)
где
г\={х-ц,у,г}, г2={*-ц + 1 ,у,г} - (9)
радиус-векторы объекта, находящегося в точке (х, у, г), относительно первого и
второго конечных тел соответственно,
= (12)
НФ^-^+У+г2 . г2=\ф^(х + 1-ц)2+у2+г2 - (Ю)
расстояния объекта от первого и второго конечных тел соответственно, т - масса объекта во введенной системе единиц, а величины Х1 и Х2, названные коэффициентами электромагнитной редукции масс первого и второго тел соответственно, определяются по формулам
х^М-х^-к^-) и (11)
м-ц 1-ц) ^ > ц;
Показывается, что система дифференциальных динамических уравнений, описывающих движение малого электрически заряженного объекта, находящегося в поле бинарной системы конечных тел с кулоновским и радиационным типами электромагнитного взаимодействия, имеет вид
(¡2Х -С1у , х-х2
т т г, гг
(12г 2 , 2
ш г2
где х, =ц, х2 = ц -1 - безразмерные абсциссы первого и второго конечных тел соответственно
Система дифференциальных уравнений (12), имеет интеграл, представляющий собой модифицированный интеграл Якоби Этот интеграл, позволяющий найти значение модуля скорости объекта V, находящегося в точке синодической системы координат (х,у, г), имеет вид
г1=х2+у2 + 2Х1^- + 2Х2±-С, (13)
П Г2
где С - постоянная интегрирования, которая, как и в классическом случае, может быть названа постоянной Якоби
При » = 0 (13) задает различные поверхности нулевой скорости объекта, характеризующиеся определенными значениями постоянной Якоби С
По одну сторону от этих поверхностей скорость объекта будет действительной, и хотя ничего нельзя сказать о траектории движения объекта, по крайней мере, можно утверждать, что в указанной области пространства его регулярное движение возможно
При Х1 > 0 и X, > 0 в поле бинарной системы объекту могут соответствовать точки либрации, расположенные в плоскости ХОУ - плоскости орбит конечных тел, названные компланарными тригональными точками либрации (КТТЛ) Пользуясь системой уравнений (12), можно показать, что для расстояний компланарных тригональных точек либрации от первого и второго тел системы справедливы выражения
При этом критерий существования компланарных тригональных точек либрации для малого объекта, для которого коэффициенты редукции масс конечных тел равны X, и Х2, имеет вид
ijx,+^x2>l. , (15)
Формулы для координат компланарных тригональных точек либрации во вращающейся системе координат имеют вид
* = Ц + , (16)
(17)
Компланарные тригоналыше точек либрации в качественном отношении изоморфны классическим лагранжевым тригональным точкам либрации и в связи с этим, как и последние, могут быть обозначены как Lt и 15
Исследование компланарных тригональных точек либрации на устойчивость по Ляпунову показывает, что движение объекта в окрестности соответствующей ему компланарной тригональной либрационной точки обладает периодическим характером в том случае, если выполняется условие
1 XVi я2/3
При Xj Хг < 0 оказываются возможными тригональные стационарные решения системы динамических уравнений с у = 0 Точки либрации, соответствующие решениям данного типа и локализующиеся в плоскости XOZ, перпендикулярной плоскости орбит конечных тел и пересекающей ее по прямой, проходящей через их центры, названы ортопланарными тригональными точками либрации (ОТТЛ) Наличие ортопланарных тригональных точек либрации является особенностью системы, поле которых содержит электромагнитные компоненты в случае чисто гравитационного поля системы, когда X, = Х2 = 1, в ее пространстве могут существовать лишь компланарные тригональные точки либрации (L4 и L}) и кол-линеарные точки либрации (I,, и £3)
Можно показать, что для расстояний ортопланарной тригональной точки либрации от первого и второго тел системы справедливы выражения
(19)
V * V х
Формулы для координат ортопланарных тригональных точек либрации во вращающейся системе координат при этом имеют вид
г
где / — корень уравнения
2/5 + (1-2ИУ2+(^(1-ц)2-^У) = 0, (21)
обладающий физическим смыслом в том случае, если выполняется условие
Можно доказать, что в том случае, если выполняется система неравенств
, >И'| (22)
' У135
_(2ц-1)5/3 25 ' (23)
уравнение (21) имеет 2 корня, обладающих физическим смыслом, что говорит о том, что в этом случае объекту соответствуют 4 попарно симметричные относительно осиXортопланарных тригональных точек либрации п ,Ц
Если система условий (23) не выполняется, то объекту соответствует либо пара симметричных относительно оси X ортопланарных тригональных точек либрации £6 и Ь,, либо соответствующих ему ортопланарных тригональных точек либрации нет вовсе
Проведенное исследование показывает, что движение объекта в окрестности соответствующей ему ортопланарной тригональной точки либрации будет обладать периодическим характером, т е будет устойчивым, если величинами, меньшими - 1, являются все три корня и уравнения
и3 +5и2 +(4+5у-у2 - 52)и + 4у = 0, (24)
где
у = 1 + 3^(2х + 1_2и) , 5 = Зхг2 + (25)
1 Г2 1 Г2
В (25) величины л: и г суть абсцисса и аппликата ортопланарной тригональной точки соответственно, а г, и г2 - ее расстояния от первого и второго тел системы соответственно
Для систем с кулоновским или радиационным типами электромагнитного взаимодействия может быть решена задача поиска кривых, являющихся геометрическими местами точек локализации в пространстве тригональных точек либрации
Из выражений (11) для коэффициентов редукции масс конечных тел для объекта, находящегося в гравитационно-кулоновском или гравитационно-радиационном поле бинарной системы, образованной этими телами, следует, что между X, и Х2 имеет место линейная функциональная связь
(1 - Е)ЦХ.2 - (1 - Ц )F.J,, = ~ е),
(26)
где е = q для системы с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия и е = I (р = \) для системы с радиационным типом электромагнитного взаимодействия
Поскольку Я., и Á3 детерминируют значения г, и г2 для тригональных точек либрации, то, очевидно, в плоскостях XOZ и ХОY существуют кривые, являющиеся геометрическими местами локализации компланарных и ортолланарных тригональных точек либрации Кривые, в точках которых локализуются компланарные и ортопланарные тригональные точки либрации, названы е-либраредуктри-сами I и II рода соответственно
Уравнение е-либраредуктрисы I рода имеет вид
ц(1 - е) [(х +1 - ц)2 + Г ]:"2 ~ е(1 - И) [(* - ц)2 + у2 ]3/2 + р(е - ц) = 0 (27)
На рисунке 2 приведены изображения q - либраредуктрис I рода для систем с (д.=0.6, р = 2 и различными значениями параметра
4)? = 0 8, 5)9 = 0 7,6)9 = 0 5, 7)? = 04, 8)9 = 0, 9)9 = -0 3, 10)9 = -15
В гравитационно-кулоновском поле системы, независимо от значения ее зарядового параметра, 9 - либраредуктриса I рода проходит через точки с координатами
(28)
Данные точки, в силу того, что их положение определяется значением ГЭП
системы, названы кулоновыми точками либрации и обозначены как К4 и К5 В этих точках могут находиться в стационарных состояниях объекты, электростатический параметр которых X, = 0.
В гравитационно-радиационном поле системы компланарные тригональные точки либрации могут располагаться лишь на отрезке /-либраредуктрисы I рода, ограниченном классическими точками либрации и I, и пересекающем отрезок, соединяющий центры конечных тел
В системе, поле которой является чисто кулоновским, р = 0 и существование компланарных тригональных точек либрации невозможно
Уравнение е - либраредуктрисы II рода, в свою очередь, имеет вид
На рисунке 3 приведены изображения 9-либраредуктрис II рода для систем с ц = 0.6, р = 2 и различными значениями зарядового параметра д
Рисунок 3 - ^-либраредуктрисы II рода в системах с (.1 =0 6, р = 2 и 1) (/ -- 3, 2) д = 1 8, 3)9=1 3, 4)9 = 08, 5)9 = 05,б)9 = 0, 7)? = -05, 8)? = -15, 9)? = -3
Бинарные системы в условиях чисто кулоновского взаимодействия могут существовать без диссипации лишь в том случае, если электрические заряды конечных тел, образующих такие системы, имеют противоположные знаки При этом зарядовые параметры таких систем либо 9 < 0, либо 9> 1
В системе с чисто кулоновским взаимодействием 9-либраредуктриса II рода представляет собой комбинацию прямой х = 0 и окружности радиуса
0-с)[(*+1-ц)Чг1]*+е[(;г-ц)Ч*']*+р^ = 0 (29)
с центром, лежащем на осиХв точке с абсциссой, равной
(31)
На рисунке 4 приведены изображения 9 - либраредуктрис II рода в системах с ц = 0.6, р = 0 и различными значениями зарядовых параметров д
Выражение для заряда малого объекта, стационарно базирующегося в орто-планарной тригональной точке либрации с абсциссой х системы с чисто кулонов-ским полем, имеет вид
Г
8 =
М,+М2 ц(1-ц)
х- И-
3/2
(32)
Из (32) непосредственно видно, что при 9 < 0 соответствующая объекту ортопла-нарная тригональная точка располагается слева от прямой х = ц - 0.5, а при 9 > 1 -справа от этой прямой
Рисунок 4 - д-либраредуктрисы II рода в системах с ц = 0 6, р = 0 и 1) 9 = -0 01, 2) 9 = 1 01,
3)д = -0 1, 4)д = 1 1, 5)д =-0 5, 6)9= 1 5, 7)9 = - 1, 8)9 = 2, 9)9 = -3, 10)9 = 4 Серым цветом проведена прямая х = р - 0 5 Ось 2 также является 9-либраредуктрисой II рода, независимо от значения зарядового параметра системы
В третьей главе осуществляется поиск и исследование точек либрации, лежащих на прямой, проходящей через центры конечных тел, и называемых колли-нсарными точками либрации (КТЛ)
В зависимости от области локализации, коллинеарные точки либрации делятся на внутренние коллинеарные точки либрации, расположенные в области
ц-1 <дг<ц, и внутренние коллинеарные точки либрации, расположенные в областях Х<Ц-1 ИХ>|1
Показывается, что устойчивость движения малого объекта, радиационный параметр парусности и электростатический параметр которого равны X, и % соответственно, в окрестности соответствующей ему коллинеарной точки либрации с координатами (х,0,0), определяется значением характеристического параметра
где г, и гг= |ц-1-х| - расстояния точки либрации от первого и второго ко-
нечных тел соответственно, р - гравитационно-электрическая постоянная бинарной системы, ¡х, / и 9 - массовый, светимостный и зарядовый параметры этой системы соответственно, р = 1, если коллинеарная точка либрации является внешней и расположена в области затмения первого конечного тела вторым, р = 0, если кол-линеарная точка либрации является внешней и расположена в области затмения второго конечного тела первым, Р = 0.5, если коллинеарная точка либрации является внутренней Устойчивому движению соответствует 8/9 < а < 1
Исследуются области локализации и устойчивости внутренних и внешних коллинеарных точек либрации бинарных систем с гравитационно-радиационными, гравитационно-кулоновскими и чисто кулоновскими полями.
В четвертой главе осуществляется исследование геометрии поверхностей нулевой скорости объекта в окрестностях точек либрации
Доказывается, что с точкой либрации можно связать такую декартову прямоугольную систему координат ХУХ с началом в точке либрации, в которой уравнение поверхности нулевой скорости в ближайшей окрестности этой точки имеет вид
где ¿/2, <7, - константы, значения которых определяется положением точки либрации и параметрами системы, ДС = С-С0, где С - значение постоянной Якоби в точках поверхности нулевой скорости, С0 - значение постоянной Якоби в точке либрации
Показывается, что
1 Для коллинеарной точки либраг/ии с координатами (х, 0, 0) уравнение (34) записывается в виде
где а - характеристический параметр коллинеарной точки либрации, вычисляемый по формуле (33) Сама система координатХК? получается путем трансляции синодической системы координат на вектор {х, 0,0}
а = р
(33)
(34)
(35)
Из (35) следует, что коллинеарная точка либрации является эллипсоидальной в том случае, если выполняется условие -0.5 <а <0, в противном случае она является гиперболоидальной.
2 Для компланарной тригональной точки либрации с координатами (х, у, 0)
уравнение (34) записывается в виде
—2 -2 -2
(36)
АС А
АС 3-А
где
17 = 3
л 3 ъ А = —+-,
2 51п2ф
+ = 1,
-АС
1 2 Ъ
Ь = Ъу
_ . X - Ц X
(1-ц)—^ +
г, Л
ц + 1
(37)
(38)
(39)
Система координат ХУ7. получается путем трансляции синодической системы координат на вектор {х, у, 0} и поворота вокруг оси 2 на угол на угол ср
Из (36) следует, что все компланарные тригональные точки либрации являются гиперболоидальными
3 Для ортопланарной тригональной точки либрации с координатами (х, 0, г) уравнение (34) записывается в виде
АС А
АС
АС 1-А
= 1,
где
л 1 §
А = —+-,
2 эш 2у
1 25
(40)
(41)
а величины у и 5 вычисляются по формулам (25) Сама система координат ХУ2 получается путем трансляции синодической системы координат на вектор {х, 0, г} и поворота вокруг оси У на угол у
Из (40) видно, что при 0 < А < 1 ортопланарная тригональная точка либрации является эллипсоидальной С учетом (41) условие эллипсоидальности ортопланарной тригональной точки можно представить в виде у(1-у)>й2 При невыполнении данного условия ортопланарная тригональная точка либрации является гиперболоидальной
Таким образом, выявляется 2 топологических типа либрационных точек
- точки либрации I топологического типа - такие стационарные точки, в окрестностях которых поверхности нулевой скорости представляют собой поверхности трехосных эллипсоидов,
- точки либрации II топологического типа - такие стационарные точки, в окрестностях которых поверхности нулевой скорости представляют собой поверхности однополостных и двуполостных гиперболоидов
Точки либрации I топологического типа представляют собой центры формирования замкнутых поверхностей нулевой скорости Факт существования подобных точек либрации является феноменологически новым, не встречающимся в чисто гравитационном поле, все без исключения либрационные точки в котором представляют собой точки пересечения поверхностей нулевой скорости, необходимо являясь гиперболоидальными
В пятой главе обсуждается проблема применимости классической модели к решению задачи трех тел в микроэлектронике Показывается, что в полях бинарных микроэлектронных систем, образованных тяжелыми многозарядными частицами, в том числе, ионами, существуют точки либрации, в которых могут удерживаться элементарные частицы, например, протоны Как следствие, при расчете движения потока элементарных частиц в среде, содержащей двойные микроэлектронные системы, образованные многозарядными частицами, необходимо учитывать ослабление потока за счет захвата частиц потока этими системами
ВЫВОДЫ
В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы
♦ В условиях наличия всех типов взаимодействия (электростатического, радиационного и гравитационного) в поле бинарной системы в общем случае, наряду с коллинеарными точками либрации, расположенными на оси, соединяющей центры конечных тел, и компланарными тригональными точками либрации, расположенными в плоскости орбит конечных тел, существуют также ортопланарные тригональные точки либрации, расположенные в плоскости, перпендикулярной плоскости орбит конечных тел, и проходящей через их центры
♦ В поле бинарной системы с массовым параметром ц, представляющем собой суперпозицию электростатического, радиационного и гравитационного полей, малому объекту, для которого коэффициенты редукции масс конечных тел положительны и равны X, и Х2, в случае выполнения условия 1 соответствует пара компланарных тригональных точек либрации При этом точки либрации являются устойчивыми в том случае, если выполняется условие
1 12/31 ^
^ ^ 9 + ) - - X? )2 -1
♦ В поле бинарной системы с массовым параметром ц, представляющем собой суперпозицию электростатического, радиационного и гравитационного полей, малому объекту, для которого коэффициенты редукции масс конечных тел противоположны по знаку и равны X, и Х2, соответствует количество ортопла-нарных тригональных точек либрации, равное удвоенному числу корней уравнения 2? + (1 - 2ц)/г + ^¡Х2 (1 - (г)2 - ^¡Х22ц2 | = 0, удовлетворяющих условию
♦ Тригональные точки либрации в полях бинарных систем конечных тел с радиационным или кулоновским типом электромагнитного взаимодействия локализуются в точках особых кривых - либраредуктрис, уравнения которых содержат характеристические параметры бинарных систем
♦ В поле бинарной системы, содержащем кулоновскую, радиационную и гравитационную составляющие, поверхности нулевой скорости малых объектов в окрестностях точек либрации являются поверхностями однополостных и двуполостных гиперболоидов (точки либрации I топологического типа), а также трехосных эллипсоидов (точки либрации II топологического типа)
♦ Устойчивость и топологический тип коллинеарной точки либрации в поле бинарной системы, содержащем электростатическую, радиационную и гравитационную составляющие, определяется значением параметра а = X, ^+Л, ^, где
ГХ Г2
X, и Х2 - коэффициенты редукции масс конечных тел для малого объекта, стационарно базирующегося в рассматриваемой точке либрации, удаленной на расстояние г, от первого конечного тела и на расстояние г2 от второго конечного тела При 8/9 < а < 1 точка либрации является устойчивой При -0.5 < а < 0 она относится к I топологическому типу
♦ Устойчивость и топологический тип ортопланарной тригональной точки либрации в поле бинарной системы, содержащем электростатическую, радиационную и гравитационную составляющие, определяется значениями параметров
у = 1 + -гт(2х + 1-2ц), 8 = 3хг-5-^—
где х и г суть абсцисса и аппликата точки либрации соответственно, а г, и г2 - ее расстояния от первого и второго тел системы соответственно При ?(1 — у) > 82 она относится к I топологическому типу Ортопланарная тригональная точка либрации устойчива, если все три корня и уравнения «3+5м2+(4+5у-у2-52)г( + 4у = 0 являются величинами, меньшими - 1 Все компланарные тригональные точки либрации относятся ко II топологическому типу
♦ В чисто кулоновских полях бинарных систем, образованных многозарядными ионами или ионными комплексами и находящихся в потоке заряженных частиц, возможно удержание частиц потока в ортопланарных тригональных и коллинеарных точках либрации таких систем
Основные результаты исследования отражены в публикациях:
1 Воронин, ПВ Комплексная ограниченная задача трех тел в гравитационно-радиационном поле (Часть 1) [Текст] / П В Воронин // Вопросы физической метрологии Науч-но-техн сб Поволжского отд Метрол Акад России -2004 -Вып 6 - С 81-91
2 Воронин, П В Теория стационарных состояний малых объектов со сферическими поверхностями в рамках комплексной ограниченной задачи трех тел в гравитационно-радиационном поле [Текст] / П В Воронин // Вопросы физической метрологии Научно-техн сб Поволжского отд Метрол Акад России - 2006 - Вып 8 - С 118 - 132
3 Воронин, П В Компланарные тригональные стационарные состояния малого объекта со сферической поверхностью, находящегося в гравитационно-радиационном поле бинарной системы тел-излучателей [Текст] / П В Воронин // Вопросы физической метрологии Научно-техн сб Поволжского отд Метрол Акад России - 2006 —Выл 8 - С 133-145
4 Воронин, П В Математическое моделирование стационарных состояний малых объектов со сферическими поверхностями в рамках комплексной ограниченной задачи трех тел в гравитационно-радиационном поле [Текст] / П В Воронин Н Вестник ВолгГАСУ Сер Естеств науки -2007 -Вьга 6(23) -С 147-153
5 Воронин, П В Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях гравитационно-радиационного взаимодействия [Текст] / П В Воронин // IV Конференция молодых ученых, посвященная Дню космонавтики «Фундаментальные и прикладные космические исследования» Тезисы докладов - Москва ИКИ РАН, 2007 -С 40-41
6 Воронин, П В Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия [Текст] IП В Воронин // Известия Волгоградского государственного технического университета Сер Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь -2007 -Вып 1 -С 12-18
Подписано в печать «#» О? 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел -печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ № 615"
Типография РПК «Политехник» Волгоградского Государственного Технического Университета
400131, Волгоград, улица Советская, 35
СОДЕРЖАНИЕ
1 Современное состояние ограниченной задачи движения трех тел.
1.1 История возникновения ограниченной задачи трех тел.
1.2 Проблемы классической ограниченной задачи трех тел, методика их решения и используемый математический аппарат.
1.2.1 Математическое описание динамики малого тела в поле системы двух тел, значительно превосходящих его по массе.
1.2.2 Задача поиска точек либрации.
1.2.3 Исследование точек либрации на устойчивость.
1.2.4 Исследование поверхностей нулевой скорости малого тела.22,
1.3 Модификация ограниченной задачи трех тел для случая суперпозиции гравитационного, кулоновского и радиационного полей.
2 Тригональные точки либрации малых объектов со сферическими поверхностями, находящихся в поле бинарной системы с кулоновским и радиационным типами электромагнитного взаимодействия.
2.1 Силы, действующие на малый объект со сферической поверхностью, находящийся в поле бинарной системы, содержащем гравитационную, электростатическую и радиационную компоненты.
2.2 Дифференциальные уравнения движения малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы массивных электрически заряженных тел-излучателей, и модифицированный интеграл Якоби.
2.3 Синодические стационарные состояния в поле бинарной системы массивных электрически заряженных тел-излучателей.
2.3.1 Компланарные тригональные точки либрации и устойчивость движения в их окрестностях.
2.3.2 Ортопланарные тригональные точки либрации и устойчивость движения в их окрестностях.
2.3.3 Области и кривые локализации тригональных точек либрации.
2.3.3.1 Кривые локализации компланарных тригональных точек либрации в пространствах бинарных систем с радиационным типом электромагнитного взаимодействия.
2.3.3.2 Кривые локализации компланарных тригональных точек либрации в пространствах бинарных систем с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия.
2.3.3.3 Кривые локализации ортопланарных тригональных точек либрации в пространствах бинарных систем с радиационным типом электромагнитного взаимодействия.
2.3.3.4 Кривые локализации ортопланарных тригональных точек либрации в пространствах бинарных систем с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия.
2.3.4 Тригональные точки либрации малых электрически заряженных объектов, находящихся в поле бинарной системы с чисто кулоновским взаимодействием.
3 Коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в поле бинарной системы с кулоновским и радиационным типами электромагнитного взаимодействия
3.1 Внутренние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в гравитационно-электромагнитном поле бинарной системы.
3.1.1 Внутренние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в поле бинарной системы с радиационным типом электромагнитного взаимодействия.
3.1.2 Внутренние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в поле бинарной системы с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия.
3.1.3 Внутренние коллинеарные точки либрации малых электрически заряженных объектов, находящихся в поле бинарной системы с чисто кулоновским взаимодействием.
3.2 Внешние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в гравитационно-электромагнитном поле бинарной системы.
3.2.1 Внешние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в поле бинарной системы с радиационным типом электромагнитного взаимодействия.
3.2.2 Внешние коллинеарные точки либрации малых объектов, находящихся в поле бинарной системы с кулоновским типом электромагнитного взаимодействия.
3.2.3 Внутренние коллинеарные точки либрации малых электрически заряженных
• объектов, находящихся в поле бинарной системы с чисто кулоновским взаимодействием
4 Геометрия поверхностей нулевой скорости в окрестностях точек либрации и их топологическая классификация.
4.1 Поверхности нулевой скорости в окрестностях точек либрации бинарных систем в условиях суперпозиции кулоновского, радиационного и гравитационного полей. ф 4.1.1 Поверхности нулевой скорости в окрестностях коллинеарных точек либрации.
4.1.2 Поверхности нулевой скорости в окрестностях компланарных тригональных точек либрации.
4.1.3 Поверхности нулевой скорости в окрестностях ортопланарных тригональных точек либрации.
5 Ограниченная задача трех тел в физической электронике.
5.1 Границы применимости классической модели к микроэлектронным систе
5.2 Примеры микроэлектронных систем.
5.2.1 Поиск и исследование точек либрации в полях бинарных микроэлектронных систем.
5.2.2 Протон в поле системы двух многозарядных тяжелых ионов.
5.2.3 Протон в поле системы двух многозарядных частиц, образованных несколькими десятками атомов.
5.2.4 Заряженная многоатомная частица в поле системы двух многоатомных частиц, несущих значительно большие по модулю заряды.
Актуальность исследования. Одним из направлений физической электроники является изучение траекторий движения заряженных частиц с целью формирования их потоков. При этом, как правило, ввиду большого количества частиц, теоретический анализ их движения с учетом электромагнитного взаимодействия между ними производится не для каждой элементарной частицы, а для их ансамбля, объединенного в так называемые «крупные частицы», содержащего, как правило, порядка 6 8
10-10 элементарных частиц. Такое представление позволяет сохранить величину удельного заряда
0 М где 0, - заряд, а М- масса элементарной частицы, и внешни:I вид уравнении движения, но вносит существенное искажение в определение куло-новских сил взаимодействия, величина которых пропорциональна произведению зарядов, и увеличенных по величине, таким образом, на двенадцать - шестнадцать порядков. При этом исключается взаимодействие этих частиц с ионами, рассматриваемыми как фон, сопутствующий движению и компенсирующий в определенной степени влияние кулоновских сил. Естественно, что прямое решение задачи движения потока элементарных частиц практически невозможно даже при наличии современных ЭВМ, тем более, что не существует аналитического решения даже при движении трех тел при наличии их кулоновского взаимодействия.
На практике заряженные частицы движутся в среде, содержащей, как правило, наряду с элементарными частицами большое количество массивных заряженных частиц (например, ионов различного сорта, всегда имеющихся в наличии в реальной среде, особенно при движении потока в плазме), в силовых полях, содержащих составляющие, оказывающие значительное воздействие на динамику объектов. Подобная задача возникает и при движении частиц в космическом пространстве при наличии их взаимодействия с массивными заряженными телами. В этом случае понятие «элементарной» частицы вполне применимо к объектам, имеющим реальны? размеры и массу, но малые по сравнению с окружающими телами, с которыми может происходить взаимодействие. При этом, кроме электростатических полей имеющих место, например, в системах формирования электронных потоков), появляются и электромагнитные радиационные поля, а также, при необходимости, и гравитационные поля, величина которых существенно возрастает при уменьшении расстояния между частицами, либо при увеличении масс взаимодействующих тел.
Решение задач физической электроники, в частности, о движении трех тел в силовом поле, основывается на решении задач небесной механики, поставленных в то время, когда необходимость исследования динамики космического тела малой массы (кометы, астероида) в гравитационных полях массивных тел (звезд и планет) привела к абстрактно сформулированной ограниченной задаче трех тел, в рамках которой осуществлялось математическое моделирование (в широком смысле этого понятия) динамики малого тела (составление дифференциальных уравнений движения этого тела, нахождение их интеграла (К. Якоби), изучение поверхностей нуле -вой скорости этого объекта с целью выявления областей возможного движения тела (Г. Хилл)). В рамках решения ограниченной задачи трех тел, в частности, были получены стационарные решения динамических уравнений малого тела в виде точек (Л. Эйлер, Ж. Лагранж), в которых тело может находиться в стационарном состоянии, характеризующемся одновременным обращением в нуль скорости и ускорения малого тела относительно каждого из массивных тел и, как следствие, сохранением неизменными взаимных положений всех трех тел системы друг относительно друга. Такие точки получили название точек либрации.
Аналогия, присущая многим физическим явлениям, позволяет предположить, что и движение электронов при наличии ионов в определенной степени соответствует движению малых тел в поле массивных. Это дает возможность поставить общую задачу как для проблем физической электроники, так и для космических исследований - космической электроники.
В настоящее время ни в астрофизике, ни в физической электронике не сформулирована задача, аналогичная ограниченной задаче трех тел, для случая произвольной комбинации гравитационного, кулоновского и радиационного полей, в рамках которой бы осуществлялось математическое моделирование движения малого тела, исследовались бы его стационарные состояния. Имеют отражение лишь исследования ряда частных проблем небесной механики, представляющие собой физические теории тех или иных эффектов, имеющих место в радиационных полях. Так, например, детально изучен эффект Пойнтинга-Робертсона, заключающийся в потере частицей, движущейся в гравитационно-радиационном поле уединенной звезды, моделируемой точечным изотропным излучателем, орбитального момента импульса, вследствие явления аберрации света, с последующим падением на излучающее тело.
Между тем, формулировка и решение задачи трех тел для случая наличия всех составляющих силовых полей представляются весьма актуальными, поскольку позволяют, в рамках соответствующих моделей, получить информацию о характере динамики реальных объектов. В частности, представляет интерес случай, когда малое тело взаимодействует с двумя массивными, по сравнению с ним, телами, обращающимися по орбитам вокруг общего центра масс, образуя замкнутую систему. Такая система двух тел, называемых в литературе конечными телами, носит название бинарной системы.
Целью настоящей работы является исследование динамики малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы с кулоновским (электростатическим) и радиационным типами электромагнитного взаимодействия.
В процессе реализации цели данной работы решены следующие основные задачи.
• Получены дифференциальные динамические уравнения, описывающие движение малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных тел с кулоновским и радиационным типами электромагнитного взаимодействия.
• Найдены стационарные решения полученных динамических уравнений в виде точек либрации и осуществлено их исследование на устойчивость.
• Получены уравнения кривых локализации тригональных точек либрации в полях бинарных систем конечных тел с кулоновским или радиационным типами электромагнитного взаимодействия.
• Проведено исследование геометрических особенностей формирования точек либрации и выявлены их топологические типы.
Научная новизна исследования состоит в том, что:
- впервые сформулирована трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях наличия всех типов взаимодействия (электростатического, радиационного и гравитационного), и в ее рамках получена система дифференциальных динамических уравнений, описывающая движение малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в гравитационно-электромагнитном поле бинарной системы конечных тел;
- найдены стационарные решения системы динамических уравнений, позволившие определить пространственное положение и осуществить исследование на устойчивость точек либрации малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью;
- выявлены новые, не встречающиеся в условиях чисто гравитационного взаимодействия, типы точек либрации;
- создана единая классификация точек либрации по их топологическим типам;
- найдены кривые локализации тригональных точек либрации малых объектов, находящихся в полях бинарных систем с кулоновским или радиационным типом
• электромагнитного взаимодействия.
Практическая ценность работы состоит в возможности использования полученных результатов в качестве теоретического базиса для определения динамики заряженных частиц в системах формирования потока. В свете проведенных исследований представляется возможным учет ослабления потока в среде, содержащей бинарные системы, образованные тяжелыми многозарядными ионами и ионнымл комплексами, вследствие удержания частиц потока в точках либрации таких микроэлектронных систем.
Внедрение результатов работы. Работа велась в рамках научно-исследовательской работы «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М - типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653), выполняемой в настоящее время на кафедре физики по планам фундаментальных и поисковых работ Агентства по образованию РФ.
Достоверность полученных результатов обусловлена строгой аналитической аргументацией полученных теоретически положений с использованием классических фундаментальных законов; переходом при «выключении» электромагнитных компонент поля полученных соотношений в известные соотношения классической ограниченной задачи трех тел; получением результатов, не противоречащих физическим представлениям.
Основные положения, выносимые на защиту:
Дифференциальные уравнения движения малого электрически заряженного объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных электрически заряженных тел-излучателей;
Типы точек либрации, устанавливаемые на основании выявления областей их локализации в пространстве бинарной системы конечных тел;
Аналитические выражения для координат и критериев устойчивости точек либрации малого объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы конечных тел;
Уравнения кривых локализации в пространстве точек либрации малого электрически заряженного объекта, находящегося в поле бинарной системы тел с куло-новским типом электромагнитного взаимодействия, а также малого объекта со сферической поверхностью, находящегося в поле бинарной системы тел с радиационным типом электромагнитного взаимодействия;
Уравнения поверхностей нулевой скорости объекта в окрестностях соответствующих ему точек либрации, а также их топологическая классификация.
Апробация результатов исследования. Основные положения диссертационной работы и её отдельные результаты докладывались и обсуждались на IV Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (ИКИ РАН, Москва, 2007 г.), а также на научных конференциях ВолгГТУ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть научных работ (5 статей и тезисы доклада), в том числе одна статья в журнале по списку ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии и четырех приложений. Работа изложена на 138 страницах, содержит 27 рисунков и 3 таблицы. Общий объем диссертации 152 страницы. Библиография содержит 58 наименований.
Заключение
В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
В условиях наличия всех типов взаимодействия (электростатического, радиационного и гравитационного) в поле бинарной системы в общем случае, наряду с коллинеарными точками либрации, расположенными на оси, соединяющей центры конечных тел, и компланарными тригональными точками либрации, расположенными в плоскости орбит конечных тел, существуют также ортопланарные триго-нальные точки либрации, расположенные в плоскости, перпендикулярной плоскости орбит конечных тел, и проходящей через их центры.
В поле бинарной системы с массовым параметром ц, представляющем собой суперпозицию электростатического, радиационного и гравитационного полей, малому объекту, для которого коэффициенты редукции масс конечных тел положительны и равны X, и Х2, в случае выполнения условия 1 соответствует пара компланарных тригональных точек либрации. При этом точки либрации являются устойчивыми в том случае, если выполняется условие
В поле бинарной системы с массовым параметром ц, представляющем собой суперпозицию электростатического, радиационного и гравитационного полег, малому объекту, для которого коэффициенты редукции масс конечных тел противоположны по знаку и равны Я., и Х2, соответствует количество ортопланарных тригональных точек либрации, равное удвоенному числу корней уравнения
2/5 + (1 - 2|л)/2 + ^]х2 (1 - ¡л)2 - ¡]х22[12 | = 0, удовлетворяющих условию - ^ ^>|ц-/3|.
Тригональные точки либрации в полях бинарных систем конечных тел с радиационным или кулоновским типом электромагнитного взаимодействия локализуются в точках особых кривых - либраредуктрис, уравнения которых содержат характеристические параметры бинарных систем.
В поле бинарной системы, содержащем кулоновскую, радиационную и гравитационную составляющие, поверхности нулевой скорости малых объектов в окрестностях точек либрации являются поверхностями однополостных и двуполостных гиперболоидов (точки либрации II топологического типа), а также трехосных эллипсоидов (точки либрации I топологического типа).
Устойчивость и топологический тип коллинеарной точки либрации в поле бинарной системы, содержащем электростатическую, радиационную и гравитацил л Д л онную составляющие, определяется значением параметра а = Хх—¿-+Х2-Гг, где Я,, и
Х2 - коэффициенты редукции масс конечных тел для малого объекта, стационарно базирующегося в рассматриваемой точке либрации, удаленной на расстояние г, от первого конечного тела и на расстояние г2 от второго конечного тела. При 8/9 < а < 1 точка либрации является устойчивой. При -0.5 < а < 0 она относится к I топологическому типу.
Устойчивость и топологический тип ортопланарной тригональной точки либрации в поле бинарной системы, содержащем электростатическую, радиационную и гравитационную составляющие, определяется значениями параметров Зхг2, . „ г2 — (лг—ц)(дг—и -н 1) у = 1+—(2х+1-2ц) ; 6=3«— 7, ^ \ гх г2г гх г2 где х и г суть абсцисса и аппликата точки либрации соответственно, а гх и г2 - её расстояния от первого и второго тел системы соответственно. При у(1-у)>52 она относится к I топологическому типу. Ортопланарная тригональная точка либрации устойчива, если все три корня и уравнения и3+5и2 + (4+5у-у2-82)и+4у = 0 являются величинами, меньшими - 1. Все компланарные тригональные точки либрации относятся ко II топологическому типу.
В чисто кулоновских полях бинарных систем, образованных многозарядными ионами или ионными комплексами и находящихся в потоке заряженных частиц, возможно удержание частиц потока в ортопланарных тригональных и коллине-арных точках либрации таких систем.
Расчет радиационного воздействия точечного изотропного излучателя на объект со сферической поверхностью
Рассмотрим объект со сферической поверхностью радиуса а, находящийся з плоскопараллельном потоке излучения с вектором плотности потока энергии (вектором Умова) }. Из симметрии задачи вполне очевидно, что выражение для радиационной силы, действующей на объект со стороны излучения, может быть представлено в виде где ^ - коэффициент, определяемый характером взаимодействия излучения с поверхностью объекта, 5 = па2 - площадь сечения объекта.
Пусть излучение порождается точечным изотропным источником, светимост > (мощность излучения) которого равна I. Положение объекта относительно излучателя зададим радиус-вектором g с началом в точке локализации излучателя и концом в точке локализации объекта (см. рисунок А.1).
Точечный изотропный источник излучения
Рисунок А.1 - К расчету радиационного воздействия точечного изотропного излучателя н«; объект со сферической поверхностью
Если объект находится на расстоянии g = » а от данного источника, то поток излучения в точке локализации объекта можно считать плоскопараллельным, а вектор Умова вычислять по формуле с
А.1) g
Объект ь
А.2)
Подставляя (А.2) в (А.1), находим выражение для радиационной силы, действующей на объект со сферической поверхностью в поле точечного изотропного излучателя
А-3)
Можно показать, что для объекта с абсолютно черной или зеркальной поверхностью £ = 1, в то время как для объекта с матовой поверхностью, альбедо которой равно А, вычисляется по формуле
А.4)
Очевидно, для объекта с матовой поверхностью 1 < ^ < 4/3.
Расчет радиационного воздействия сфероидального излучателя на объект со сферической поверхностью
Рассмотрим изотропный излучатель со сферической поверхностью радиуса Я. Свяжем с ним декартову прямоугольную систему координат (ДПСК), поместив ее начало в геометрический центр излучателя О, ось Xнаправив вдоль прямой, соединяющей центр излучателя с облучаемым объектом, от излучателя к объекту, а оси 7 и 2 расположив произвольно таким образом, чтобы данная ДПСК была правой (см. рисунок Б.1). Размеры облучаемого объекта будем считать много меньшими Л.
Рисунок Б.1 - К расчету радиационного воздействия сфероидального изотропного излучателя на объект со сферической поверхностью
Будем характеризовать положение точки на поверхности излучателя полярным Ф и азимутальным 8 углами, отсчитываемыми таким образом, что оказывается справедливой система уравнений связи x = R sin<psin0; y = i?cos9; (Б.1) z = /?sin9cos0.
Положение объекта относительно начала ДПСК будем характеризовать радиус-вектором r = íг, где г - расстояние объекта до центра излучателя. Положение объекта относительно точки поверхности излучателя, характеризуемой полярным углом Ф и азимутальным углом 0, будем характеризовать радиус-вектором g ={-Rsin(psmQ,r-Rcosq>,-Rsm<pcosQ} . (Б.2)
Физически бесконечно малый элемент поверхности излучателя, в пределах которого локализуются точки, полярные углы которых заключены в интервале значений ф-гф+с/ф, а азимутальные углы - в интервале значений Q+Q+dQ, имеющи! площадь da = R1sm<pdq>dQ, может рассматриваться как точечный изотропный источник с эффективной светимостью dL= L =—smqdípdQ, (Б.З)
2 tzR2 2п J где L - светимость сфероидального излучателя.
На объект радиационное воздействие может оказывать лишь область поверхности излучателя S, точки которой имеют полярные углы, заключенные в интервале
О < ф < arceos—, и азимутальные углы, заключенные в интервале 0 < 0 < 2п. г
Рассмотрим объект со сферической поверхностью, находящийся в радиационном поле изотропного сфероидального источника. Будем полагать радиус поверхности объекта а «г- R.
Элемент поверхности сфероидального излучателя da = R2 sin ф dq dQ, как следует из (А.З), действует на объект со сферической поверхностью с силой
JFf = C—(Б.4) f cn2R2g*
Интегрируя по всей области поверхности сфероидального излучателя, оказывающей радиационное воздействие на объект, находим
Из симметрии задачи ясно, что jízH0, (Б-6) s *
Обратим внимание на тот факт, что g2 = R2 +r2 -2/?rcoscp. (Б.7)
В таком случае можно написать Л dG = R2smyd(?dQ =—gdgdQ; (Б.8) г cosq> = (R2+r2-g2)/2rR . (Б.9)
При этом R
2 arceos— ií-r-*C0S(p mR2ún^ л ^f r-(R2+r2-g2)/2r R , nR^r2-R2+g2 . „R2 ~ im 2 n —i---= — -r-z-dg=2%—. (Б.10)
J g r r J g r r-R r-R
Таким образом,
ГЦлт=2Я4Г. (БЛ1)
У« и выражение для радиационной силы, действующей на объект со сферической поверхностью со стороны свободного электромагнитного поля излучателя записывается в виде
Б-12)
4спг
Расчет радиационного воздействия затмеваемого сфероидального излучателя на объект со сферической поверхностью
Рассмотрим объект со сферической поверхностью, находящийся в поле системы сфероидальных тел-излучателей и расположенный на оси, соединяющей геометрические центры тел, в зоне затмения одного тела другим (см. рисунок В.1)
Второе нзлучамщее тело
Рисунок В.1 - К расчету радиационного воздействия затмеваемого сфероидального излучателя на объект со сферической поверхностью
Назовем затмевающее тело «первым», а затмеваемое тело - «вторым». Примем расстояние между центрами тел равным 1. Пусть радиус первого тела при этом равен р,, а радиус второго тела равен р2.
Случай, когда р, >р2 является тривиальным: объект в этом случае находится в зоне полного затмения второго тела первым, и радиационная сила, действующая на объект со стороны второго тела, Рг2=0.
Если же выполняется неравенство р, < р2, то объект может находиться как в области полного, так и в области кольцеобразного затмения второго тела первым.
Допустим, что объект находится на расстоянии г, от первого тела в области кольцеобразного затмения второго тела. Будем считать, что р, «г,, р2 «г2 = \+гх, а радиус объекта положим много меньшим радиусов излучающих тел. В таком случае из точки локализации объекта наблюдается область поверхности второго тела, углы Ф между прямыми, соединяющими точки которой с центром второго тела, и прямой, проходящей через центры тел, заключены в диапазоне значений ф<cp<arceos(p2/a*2)sя/2, причем, как видно из рисунка В.1, предельный угол ф удовлетворяет уравнению р2япф = (1+#í)£l. (В.1) 1
Площадь открытой области поверхности затмеваемого тела 5 при этом равна
5 = 50созф, (В.2) где 50 - площадь полусферы затмеваемого тела.
При этом эффективная светимость второго тела в точке локализации объекта равна
12=12-^- = 12созф, (В.З,) о а радиационная сила, действующая с его стороны на объект, при этом определяется выражением
-4)
4л сг2 4ясг2 причем, как ясно из симметрии задачи, направлена она вдоль прямой, соединяющей центры тел.
Выражая ф из (В.1) и подставляя в (В.4), приходим к следующему выражению для радиационной силы \2 L,s L 1 + г, р, п 4псг2 '
В.5) v i
Из (В.5) следует, что при
В.6)
Р2-Р. радиационная сила > 0. В то же время при г, < гх объект находится в зоне полного затмения второго тела первым и радиационная сила, действующая на него со стороны второго тела = 0.
Подводя итог всему сказанному выше, заметим, что выражение для радиационной силы, действующей на объект со стороны затмеваемого тела, может быть представлено в виде
Для объекта, находящегося в области затмения первого тела вторым, выражение для радиационной силы, действующей на объект со стороны первого тела, можно получить, заменив в (В.7) и (В.8) индекс 1 на индекс 2 и наоборот.
В.7) где
О, если р2 > р, и гх < ———? ти р2 < р,; Р2-Р1
СВ.8)
1.У. Астрофизические величины / К.У. Ален - М.: Мир, 1977. - 446 с.
2. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд -М.: Наука, 1974.-386 с.
3. Брюно, А.Д. Ограниченная задача трех тел / А.Д. Брюно М.: Наука, 1980. -287 с.
4. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин В 2-х т. Т.1.-М.: Наука, 1979.-481 с.
5. Гайтлер, В. Квантовая теория излучения / В. Гайтлер М.: ИЛ, 1956. - 372 с.
6. Гребеников, Е.А. Новые качественные методы в небесной механике / Е.А. Гребе-ников, Ю.А. Рябов М.: Наука, 1971.-284 с.
7. Гурзадян, Г.А. Теория межпланетных перелетов / Г.А. Гурзадян М.: Наук<, 1992.-352 с.
8. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт -М.: Наука, 1983.-172 с.
9. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г.Н. Дубошин -М.: Наука, 1975.-497 с.
10. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы / Т.Н. Дубошин М.: Наука, 1978. - 576 с.
11. Иванов, В.В. Парадоксальная Вселенная (175 задач по астрономии)/ В.В. Иванов, A.B. Кривов, П.А. Денисенков С.-Петербург: Издательство Петербургског) университета, 1997. -142 с.
12. Корн, Г. Справочник для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн М.: Наука, 1970. - 720 с.
13. Лурье, А.И. Аналитическая механика /А.И. Лурье М.: Физматгиз, 1961. - 367 с.
14. Маркеев, А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике / А.П. Маркеев М.: Наука, 1973. - 612 с.
15. Мартынов, Д.Я. Курс общей астрофизики / Д.Я. Мартынов М.: Наука, 1988. -640 с.
16. Мартынов, Д.Я. Сборник задач по астрофизике / Д.Я. Мартынов, В.М. Липунов -М.: Наука, 1986.-127 с.
17. Матвеев, А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев М.: Высшая школа, 1986.-320 с.
18. Паркер, E.H. Динамические процессы в межпланетной среде / E.H. Паркер М.: Мир, 1965.-296 с.
19. Погорелов, A.B. Дифференциальная геометрия / A.B. Погорелов М.: Наука, 1974.-176 с.
20. Рой, А. Движение по орбитам / А. Рой Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - 393 с.
21. Себехей, Л.И. Теория орбит / Л.И. Себехей Пер. с англ. - М., Наука, 1982. -487 с.
22. Фесенков, В.Г. Метеорная материя в межпланетном пространстве / В.Г. Фесен-ков М.: Изд-во АН СССР, 1947. - 182 с.
23. Физика космоса / Под ред. С.Б. Пикельнера М.: Советская Энциклопедия, 1976. -127 с.
24. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман М.: Мир, 1970.-421 с.
25. Читаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Читаев М.: Изд-во АН СССР, 1962. -218 с.
26. Шарлье, К.Л. Небесная механика / К.Л. Шарлье Пер. с нем. - М.: Наука, 1966. -727 с.
27. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц М.: Наука, 1969. - 424 с.
28. Эрике, К. Космический полет. I. Окружающие условия и небесная механика / К. Эрике Пер. с англ. - М.: Наука, 1963. - 291 с.
29. Эрике, К. Космический полет. II. Динамика / К. Эрике Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.-340 с.
30. Тамм, И.Е. Основы теории электродинамики / И.Е. Тамм М.: Наука, 1979. -569 с.
31. Хокни, Р.Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд -Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 638 с.
32. Рошаль, А. С. Моделирование заряженных пучков / А. С. Рошаль М.: Атомиз-дат, 1979.-224 с.
33. Arenstorf, R.F. Periodic solutions of the restricted three body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptical motions / R.F. Arenstorf // Am. J. Math. -1963. V. 27.-P. 85-119.
34. Davidson, M.C. Numerical Examples of Transition Orbits in the Restricted Three -body Problem / M.C. Davidson // Astronaut. Acta 1964. V. 10. - P. 273 - 308.
35. Hill, G.W. Illustrations of periodic Solution in the Problem of Three Bodies / G.W. Hill // Carnegie Inst, of Washington. Memoir. 1907. V. IV. № 72. - P. 113 - 141.
36. Message, P.J. The Search for Asymmetric Periodic Orbits in the Restricted Problem of Three Bodies/ P.J. Message // Astron. J. 1958. № 63. - P. 46 - 52.
37. Rabe, E. Periodic Librations about the Triangular Solutions of the Restricted Earth -Moon Problem and their Orbital Stabilties / E. Rabe, A. Schanzle // Astron. J. 1962. №67. -P. 732-776.
38. Szebehely, V. Family of Retrograde Orbits around the Triangular Equilibrium Points / V. Szebehely, Т. A . Van Flandern // Astron. J. 1967. № 72. - P. 504 - 542.
39. Воронин, П.В. Комплексная ограниченная задача трех тел в гравитационно-радиационном поле (Часть 1) / П.В. Воронин // Вопросы физической метрологии. Научно-техн. сб. Поволжского отд. Метрол. Акад. России. 2004. - Вып. 6. - С. 81-91.
40. Жеребцов, И.П. Основы электроники / И.П. Жеребцов Л.: Энергоатомиздат, 1985.-361 с.
41. Морс, Ф.М. Методы теоретической физики / Ф.М. Морс, Г. Фешбах В 2 -х т. Т. 2.-М.:Ин. лит., 1958.-815 с.
42. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц 6-е изд., испр. и доп. -М.: Наука, 1973.-504 с.
43. Пикельнер, С.Б. Основы космической электродинамики / С.Б. Пикельнер М.: Наука, 1966.-314 с.
44. Смарт, У.М. Небесная механика / У.М. Смарт Пер. с англ. - М.: Мир, 1965. -260 с.
45. Спасский, Б.И. История физики / Б.И. Спасский В 2 -х ч. Ч. 2. - М.: Высшая школа, 1977.-389 с.
46. Соболев, В.В. Курс теоретической астрофизики / В.В. Соболев М.: Наука, 1985.4- 589 с.
47. Охоцимский, Д.Е. Динамика космических полетов / Д.Е. Охоцимский М.: Изд. МГУ, 1968.-488 с.
48. Левантовский, В.И. Механика космического полета / В.И. Левантовский М.: Наука, 1980.-527 с.
49. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош М.: Наука, 1975. - 322 с.
50. Иоффе, А.Ф. О физике и физиках / А.Ф. Иоффе М.: Наука, 1977. - 520 с.
51. Гинзбург, В.Л. Астрофизика космических лучей / В.Л.Гинзбург М.: Знание, 1969.-603 с.
52. Кельман, В.М. Электронная оптика / В.М. Кельман, С.Я. Явор М.: Наука 1968. -439 с.
53. Миллер, Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц / Р. Миллер М.: Мир, 1984. - 232 с.
