Кооперативное излучение многоатомных систем с учетом кулоновского взаимодействия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава I, Радиационный сдвиг коллективных сверхизлучательных уровней .ъе

§ 1.1 Собственно-энергетическая часть взаимодействия двух атомов .Ъб

§ 1.2 Радиационный сдвиг коллективных энергетических уровней протяженных систем . .о

Глава П. Полуклассическая теория кооперативного излучения.

§ 2.1 Основы полуклассического подхода к излучению распределенных сред.

§ 2.2 Приближение прйШШйственно-однородных волн

§ 2.3 Влияние однородного и неоднородного уширений на динамику и спектр кооперативного излучения.

§ 2.4 Сверхизлучение при учете пространственной протяженности

Глава Ш. Сверх излучение с учетом кулоновского взаимодействия.

§ 3.1 Уравнение для матрицы плотности двухуровневого атома в классическом электромагнитном поле .Ю

§ 3.2 Баланс энергии при кооперативном излучении .11!?

§ 3.3 Пространственно-однородная модель.••

§ 3.4 Сверхизлучение малой системы ( ) с учетом кулоновского взаимодействия.1.

§ 3.5 Сверхизлучение протяженной системы ( Ь > X ) без учета кулоновского взаимодействия.•.ЦгО

§ 3.6 Сверхизлучение протяженной системы ( Ь > X ) с учетом кулоновского взаимодействия.

Актуальность проблемы В связи с развитием экспериментальных возможностей генерации и измерения сверхкоротких импульсов все большее значение приобретает проблема кооперативного поведения атомов при взаимодействии их с излучением. Исследование кооперативных когерентных процессов в излучении является одним из направлений современной нелинейной оптики.

Система атомов, взаимодействующих друг с другом через общее магнитное поле, излучает быстрее, чем система невзаим-действующих атомов. Это происходит благодаря тому, что в процессе излучения система самопроизвольно переходит в коллективное атомное состояние, в котором атомные дипольные моменты перех одов скоррелированны, т.е. в системе образуется макроскопический дипольный момент. Такой тип излучения принято называть сверхизлучением ( сверхфлюоресценция, кооперативное излучение).

Явление сверхизлучения впервые было предсказано Дике [I] . Рассматривая систему ъ/ двухуровневых [48] атомов, размеры которых много меньше длины волны излучения, как еди ную квантомеханическую систему, Дике показал, что для нее существуют такие коллективные квантовые состояния , что в процессе излучения или поглощения фотона т. может изменятьс я на 1 , а квантовые числа ъ и £ не изменяются. Зцесь пл. - собственное значение третьего компонента энергетического спина - характеризует энергию возбуждения системы Е = Ясдпг, % - собственное число квадрата полного энергетического спина и - дополнительное квантовое число (-У/й 4 г 4 ♦ 4 )• Неизменность квантового числа ч, для системы Дике (размеры много меньше длины волны излучения, кулоновское взаимодействие атомов не учитывается) связана с тем, что гамильтониан взаимодействия системы с электромагнитным полем пропорционален оператору полного ди-польного момента системы и, следовательно, квадрат полного энергетического спина системы - сохраняющаяся величина, (Оператор полного дипольного момента пропорционален линейной комбинации компонент полного энергетического спина системы).

Вероятность спонтанного излучения фотона системой в состоянии с квантовыми числами Т , т [I] .

У (г+т.)(г-т. + 1) ( I } где У - вероятность излучения изолированного атома. Для первоначально полностью возбужденной системы вначале (пг= х. = У/2. и атомная система излучает некоррелированно. 1 В середине процесса излучения ( т*о ) атомная система обладает максимальной скоррелированностью дипольных моментов атомов и излучает в У раз сильнее ( = ). И в конце цроцесса интенсивность излучения вновь падает до интенсивности излучения нескоррелированного состояния ( Гг.т. ~ У )• Если начальное состояние атомной системы обладает кооперативным квантовым числом ч меньше У/о. , то энергия, запасенная в системе, излучается неполностью, Для первона чально полностью возбужденной системы интенсивность излучения С! равна [1,4,5] где 10 - интенсивность излучения изолированного атома, -коллективное радиационное время (время сверх излучения), =:( - д/ - время задержки импульса.

Характерными особенностями сверхизлучения являются: короткие времена излучения системы (обратно пропорциональные плотности возбужденных атомов), большая максимальная интенсивность излучения ( интенсивность в расчете на один атом пропорциональна плотности возбужденных атомов), большие времена задержки импульсов относительно момента возбуждения системы • Эти особенности сверхизлучения привлекли к нему интерес исследователей как к возможному способу генерации ультракоротких импульсов.

Для проявления в ходе излучения корреляции дипольных моментов необходимо, чтобы время кооперативного изщучения было меньше или сравнимо с характерными временами дефа-зирующих процессов (однородное - Т2 - и неоднородное - Т^ -уширения)• »Т, £ 3 ^

Модель сверхизлучения Дике разрабатывалась и в дальнейшем ( см.напр. [2-8] ) в направлении более точного и подробного описания характеристик излучения,

К настоящему времени подробно рассмотрено кооперативное излучение двухатомной системы [ 9 - 20] .В ряде работ [9,10,12,14,17,18,20 ] рассмотрено вычисление недиагонального элемента собственно-энергетической матрицы и получено ее выражение в виде запаздывающего взаимодействия. Б связи с использованием в дипольном приближении гамильтонианов взаимодействия -с! Е и-£<3 А был поставлен вопрос об их эквивалентности [22,23] (с1 - оператор дипольного момента, Е и Л - операторы электрической напряженности и вектор-потенциала). В [23] показано, что лагранжианы двухатомных систем при использовании взаимодействий - с1 £Г и

-¿Зд отличаются с точностью до физически несущественных членов на полную производную, т.е. физически эквивалентны. Однако необходимость отбрасывания при этих вычислениях бесконечных членов несколько снижает достоверность полученных результатов.

Таким образом, существовала необходимость проверки эквивалентности взаимодействий - <1Е и р ^ А и исследования ее проявления при вычислении собственно-энергетической матрицы. Подробное исследование динамики и спектра излучения двухатомной системы проведено в работах [11,13,15,16,19,21] Простейшей моделью сверх излучающих протяженных систем явилась одномодовая модель сверхизлучения [24 -31] . В ней предполагается, что атомная система эффективно взаимодействует только с одной модой поля, нацравленной вдоль образца. Т огда в гамильтониане взаимодействия атомной системы с электромагнитным полем

•А ^ с П. к - операторы энергетического спина, - оператор рождения фотона,и- объем квантования, - константа связи) можно оставить только одну моду и, вводя вместо дикевских операторов полного энергетического спина сфазированные коллективные операторы ^ = 2-^^ ( 5 ), получаем гамильтониан взаимодействия, в точности аналогичный гамильтониану Дике. Одномодовая модель дает результат, аналогичный результату модели Дике, за исключением следующего: а)излучение цроисходит в основном вдоль оси системы, в дифчй ракционный угол — 401 (Я/х>) ; б)полная радиационная константа затух ания атома ^ заменяется на вероятность излучения фотона в единицу времени в дифракционный угол - у (Л/х>)й. Тогда Г*"' - о. ад ^ Я7"1>*

Подробная теория одномодовой модели сверхизлучения разработана в [24 - 26] и использовалась для предсказания различных статистических квантовых свойств излучения в

127 - 31] . В частности отмечалось, что квантовые флуктуации приводят к уширению импульса и снижению максимальной интенсивности излучения примерно на 30$. [26]

Н а необходимость коррекции цредсказаний этой теории из-за запаздывания излучения было указано в работах [32,33] В сверхизлучательный процесс могут внести вклад только те атомы, до которых излучение может дойти за время процесса. Для максимального числа атомов А/с » которые могут участвовать в кооперативном процессе, и максимальной радиационной постоянной Ус получены следующие оценки [32]

6)

В работах [34,35] для описания сверхизлучения протяженных систем предложена модель" среднего поля", описывающая уход излучения из образца феноменологическими релаксационными константами. Вывод уравнения этой теории основывается на введении коллективных операторов (5) и разложении поля по в нутренним и внешним квазимодам электромагнитного поля излучения. Выход поля излучения из образца выражается через связь между внутренними и внешними квазимодами. Внешние квазимоды рассматриваются в [34,35] как резервуар, и, соответственно , выход поля излучения эффективно учитывается затуханием квазимод внутреннего поля. Для системы с числом Френеля Г = 1) /(ХЬ) порядка единицы теория "среднего поля" приводит в квазиклассическом приближении для угла Блоха

- <9 к уравнению затух ающего маятника с переменной частотой в + (•* +UT1T<)ô- ( 7} и начальным условием io) =(£/v)'4 (8)

Форма импульса сверхизлучения зависит от соотношения различных времен: времени расфазирования системы Тг*(Та) , времени вылета фотонов , характерного времени обмена энергией между шлем и атомной системой == ( rfv) и характерного времени коллективного радиационного распада 3~я- X - &2i/( Xйи . в случае X £ГС » 1 импульс сверхизлучения имеет однопиковую форму

U(t) = tw ¿Ç^P (- Vr/) W i^d ( 9 )

-Lu, o. 5 tw а/ (режим чистого сверхизлучения) • В случае И 1 получаем осщшшторный режим сверхизлучения, переходящий при 'эе 1 в последовательность слабоубывагощих импульсов, интенсивность которых пропорциональна А/ • Дальнейшая разработка и применение данной модели осуществлялись в работах С 36 - 401 • Следует заметить, что учет неоднородного уширения в виде гасящего экспоненциального множителя неправилен и происходит из-за того, что усреднение по контуру неоднородного уширения произведено непосредственно в гамильтониане.

Таким образом, отсутствовало полное исследование спектрально-кинетических характеристик сверхизлучения в рамках модели "среднего поля".

Аналогичный по постановке задачи подход к сверхизлучению предложен в работе £4] и был развит в работах [42 - 44] , где исследовалась в частности корреляция фотонов по направлению излучения. Предложенный подход основан на приближенной диагонализации собственно-энергетической матрицы системы. Возможность использования этого метода обсуждалась в работах

45 - 47] , где отмечено, что для корректного описания сверх излучения требуется более точное знание собственных частот и функций, диагонализирувдих собственно-энергетическую матрицу системы, чем в [41] •

Описание развития квантовой сверхизлучательной системы требует введения целого ряда упрощающих предположении и может быть проведено только для простейших атомных систем. Усложнение модели сверхизлучающих систем приводит к целесообразности применения полуклассического приближения (классическое описание электромагнитного поля и квантовое описание атомной системы) [52 - 64, 81 - 83, 95] .

Полуклассическое описание, основанное на использовании уравнений Максвелла-Блоха [49 - 51] , было предложено в

52] (одномерное приближение). В [52] рассмотрен ряд теоретических вопросов по постановке задачи о сверхизлучении в полуклассическом подходе (определение величины поляризационного источника и эффективного поля, учет абсолютно черного излучения) и проведены численные расчеты. Однако авторы [52] ограничились исследованием лишь динамики импульса сверхизлучения для параметров, соответствующих эксперименту в газе ЦГ . [96]

П олуклассический подход использовался также и в работах [54,96,101] в основном для цроведения расчетов в конкрет-н ых экспериментах.

- 10

В последнее врей появились также работы, в которых на основе как полуклассического [95], так и квантового [93,94] подхода делаются попытки учета дифракционной расходимости излучения (учет трехмерности атомной системы). Однако ряд сделанных в них предположений, например, учет поля только в дальней зоне, делает результаты этих работ недостаточно обоснованными• Таким образом, отсутствовало достаточно полное исследование динамики развития протяженной системы в рамках одномерного приближения.

Одним из интере сных и малоизученных воцросов в теории кооперативного излучения является вопрос о влиянии на сверхизлучение ра диационного сдвига (динамического кулоновского взаимодействия) и статического кулоновского взаимодействия. Важность кулоновского взаимодействия была осознана уже в начале рассмотрения явления сверхизлучения [6 5] . Влияние кулоновского взаимодействия учитывалось в начале для задачи о кооперативном распаде двух атомов [9, 14 - 20] .В этих работах было высказано предположение о том, что кулоновское взаи-модей ствие может разрушить сверхизлучение системы с размерами меньше длины волны.

Работы [66,6 9 - 74] посвящены развитию теории вычисления радиационного сдвига. Интересным представляется результат работы [74] , показывающий без вычисления, что радиационный сдвиг уровня меняется во время процесса в зависимости от инверсии системы. Р адиационный сдвиг для системы с размерами меньше длины волны вычислялся в работах [65,67] , где получено, что отношение радиационного сдвига к константа кооперативного радиационного затухания порядка отношения длины волны X к длине системы, т.е. радиационный сдвиг существенно превышает константу радиационного затухания.

Основными недостатками указанных работ являются проведение вычисления в рамках приближения медленно меняющихся амплитуд ( тогда приходится вводить обрезание интегралов в области высоких частот) и ограничение вкладом в сдвиг толь ко радиационного поля, хотя вклад статического кулоновского взаимодействия существенно превышает вклад радиационного поля. Попытка вычисления радиационного сдвига для протяженной системы была предпринята в [68] с использованием дисперсионного соотношения для собственно-энергетической части взаимодействия. Однако дисперсионные соотношения ошибочно использовались не по частоте Фурье преобразования, а по частоте атомного перехода. Поэтому полученные в [68] выражения для сдвига , вероятно, неправильны.

В серии работ [77 - 79] на основе анализа неоднородности суммарного электрического поля по системе делается вывод о том, что атомная система с размерами меньше длины волны потеряет когерентность за времена много меньше времени когерентного радиационного излучения системы. Тем самым предсказывается отсутствие сверхизлучения для системы с размерами меньше длины волны излучения. Однако в этих работах учитывается вклад поля только в волновой зоне. Отсутствует самосогласованность в процессе решения задачи: поле вычисляется в любой момент времени в предположении пространственно-однородной поляризации образца, в то же время показывается, что поляризация быстро меняется по образцу.

Напротив, в работе [80] предположено (без доказательств), что действующее на атомы поле и атомные характеристики пространственно однородны. Тогда, исходя из полуклассических уравнений для вектора Блоха, для системы с размерами много меньше длины волны излучения получены аналитические выражения для динамики компонент вектора Блоха и интенсивности излучения

5 M - о. 5 ticû ъиК ( Rtf tfc-ta)) (10)

Показано также, что частота излучения меняется в процессе сверхизлучения, что согласуется с [74]

Ф --RQWU^Ít-td^ (II)

Ф — азимутальный угол вектора Блоха, О. - усредненное по образцу кулоновское взаимодействие, R - кооперативное квантовое число, ^ - радиационная константа затухания одиночного атома, ¿и - время задержки. Таким образом, согласно [80] , кулоновское взаимодействие атомов не влияет на динамику излучения системы, но влияет на спектральные характеристики излучения»

В работах [84 - 86] , используя технику уравнений для редуцирования атомного оператора плотности Г 87,88 ] , исследуется влияние кулоновского взаимодействия на излучение системы нескольких атомов в условиях постоянной накачки (системы 3-х и 4-х атомов) и в начальной стадии сверхизлучения (24 и 48 атомов) • В работах [ 84 - 86 ] численным расчетом получен ряд интересных зависимостей интенсивности и спектра излучения от расположения атомов и наименьшего расстояния между ними. Однако крайне малое число атомов в исследованных системах не позволяет расцространить полученные результаты на сверхизлучение атомных систем реальных размеров;

В ряде работ [89 - 92] исследуется кооперативное излучение системы небольшого количества магнитных осцилляторов» Взаимодействие магнитных излучателей друг с другом отличается от взаимодействия электрических диполей, и основное внимание в этих работах сосредоточено на исследовании влияния допол

- 13 нительного взаимодействия.

Таким образом, отсутствовала достаточно надежная оценка величины радиационного сдвига для протяженных систем. Отсутствовала ясность в вопросе о влиянии кулоновского взаимодействия на кооперативное излучение системы с размерами меньше длины волны. Не было исследовано влияние кулоновского взаимодействия на сверхизлучение протяженных систем.

Экспериментальное обнаружение сверхизлучения. Исследование явления сверхизлуч ния было стимулировано появлением первой работы по экспериментальному наблюдению сверхизлучатель-ных импульсов [96] . Сверхизлучение было обнаружено в газе ИГ при низких давлениях на переходе между соседними вращательными подуровнями молекулы ИГ (длина волны излучения X = 84/ии). Длина излучающей системы - 30 - 100 см, поперечный диаметр - 12 - 18 мм. Получены импульсы сверхизлучения с колебательной структурой (отчетливо видны два пика). Параметры импульса: время задержки - 660 нее*, ширина импульса -порядка 100 не««. , временное расстояние между максимумами интенсивности - 16 5 нее*. , отношение энергий, излученных во втором и первом пиках импульса,- 0,2.

К настоящему времени поставлен целый ряд экспериментов по обнаружению и исследованию сверхизлучения в различных газовых системах [96 - 109, 114,115] • Наиболее интересной и полной является серия экспериментальных работ по обнаружению и исследованию сверхизлучения в парах и //а [101 - 104, 107, 114,115] .В [101,102] получено сверхизлучение паров М& на нескольких каскадных переходах ( 5 £ — 4 Р» 4Р-*4&»4Р-*31> с длинами волн 3,4^ил» , 2,21/т и 9,10). Длина излучающей системы - 14 см, длина задержки и времена импульсов порядка нескольких наносекунд. Полученные импульсы имеют как двух, так и однопиковую структуру. В [103] получено сверхизлучение паров С* для чисто двухуровнего перехода. Длина волны •Я. = 2,941, длина системы - 2 см, поперечный размер - > 273/цл , плотность инверсии - ЗХЮ10 - 2Х1011 см"3. Времена задержки импульсов более 7 наносекунд, ширина импульсов от нескольких наносекунд до десятка наносекунд. При плотности

ТО ТТ 9 инверсии 1Сг - 10 см импульс однопиковый, а при плотности 2'Ю11 см"3 переходит к двухпиковому. Времена однородного и неоднородного уширений( Тв. = 80 нее*? нс«к) больше характерных времен сверхизлучения ♦

В большинстве из проведенных экспериментов исследуется сверх излучение многоатомных систем, протяженных во всех направлениях, с числом Френеля порядка или больше единицы. Единственным известным исключением . ■; является работа 107, 114] . В ней за счет использования переходов между высоковозбужденными ридберговскими состояниями атомов А/а и о главными квантовыми числами ~ 25 удалось обнаружить сверх излучение многоатомных систем с поперечными размерами порядка длины волны излучения и продольными размерами порядка нескольких длин волн. Длина системы ~ 5 мм, поперечный диаметр ^ I мм, длина волны излучения мм ( Я = 0,68 мм для перехода 24 £ 23 Р ), полное число инвертированных (возбужденных) атомов ^ Ю6. П олученные импульсы имеют ширину порядка сотни наносекунд. Из приведенных в [ 107, 114] данных не удается восстановить динамику сверхизлучения. Можно однако надеяться, что усовершенствование этой методики позволит в скором времени получить экспериментальные данные по сверхизлучению вытянутых систем с поперечными размерами меньше длины волны излучения, систем Дике, а также протяженных

- 16 систем с числами Френеля меньше единицы.

В работах [ 106,109] исследовались времена задержки импульсов сверхизлучения, в [104,105] исследованы эффекты, связан -ные с вырождением атомных уровней.

Близкими по духу этим работам являются ранние работы по изучению спиновых систем в резонаторе [H0,IIlJ . Попытка теоре -тического описания результатов этих работ была предпринята в [ 112] на основе уравнений Блоха для спиновой системы в магнитном поле ГИЗ] . Однако полученные в ней значения для времен осцилляций существенно отличаются от экспериментальных.

Интересная разновидность проявления сверхизлучательных свойств обнаружена при помещении ридберговских атомов в резо -наторе [115] . В этом эксперименте возможно получение и ис -следование кооперативного излучения системы малого количества атомов ( до ста атомов).

Более подробное изложение состояния экспериментального изучения явления сверхизлучения и его объяснения с точки зрения различных моделей содержится в обзорах [117 - 119 ] . До настоящего времени достигнуто только качественное согласие теории с экспериментом, что делает необходимым дальнейшее развитие теории сверхизлучения. [37, 54, 117 - 119 I .

Не было проведено полное сравнение результатов экспериментов в А/а. и csr с предсказаниями полуклассического описания. Отсутствовало теоретическое обсуждение экспериментов на ридберговских атомах.

Цель настоящей работы состоит в исследовании спектрально - кинетических характеристик сверхизлучения при учете кулоновского диполь-дипольного взаимодействия между атомами .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность избранной темы, дан обзор основных работ и кратко изложены основные результаты настоящей работы.

Первая глава посвящена оценке величины радиационного сдвига. В § 1.1 проведено параллельное вычисление собственно-энергетической части взаимодействия двух атомов для гамильтонианов взаимодействия - с1 Е и - ~ Л. Л . Показано, что собственно-энергетическая часть для взаимодействия отличается от собственно-энергетической части л. Рд для взаимодействия с£ А(2. ) на величину статистического диполь-дипольного взаимодействия ан рА. (12)

Е = £ -+■ Улл , г С^нА^ ,

УсЫ -¡:51(М)-3--¿а— 1- (13) V - радиус-вектор между атомами, ^х^ - дипольный момент перехода I атома). Таким образом, подтвержден вывод об эквивалентности взаимодействий и £ ¿.А , сделанный в работе С 23 3 , и показан конкретный механизм проявления этой эквивалентности.

В § 1.2 производится оценка величины радиационного сдвига энергетических уровней коллективных сверхизлучательных состояний протяженной вытянутой системы.Вычисления производят -ся для системы, имеющей форму вытянутого прямоугольного паралле

- 17 пипеда с постоянной плотностью. Показано, что а) для систем с большим числом Френеля поперечный и продольный размеры системы, А - длина волны излучения) отношение коллективного радиационного сдвига А к* к константе коллективного радиационного распада в направлении максимального излучения мало; (6 Г)"4 « i (14) б) для систем с малым числом Френеля ( F ); напротив, коллективный радиационный сдвиг превышает коллективную радиационную константу.

W/Укк - ttl ( -fr) »1 (15)

Во второй главе проводится исследование сверхизлучения протяженной системы. Исследование сверхизлучения проводится на основе полуклассического подхода в рамках приближения распределенных сред. В § 2.1 излагаются основы полуклассического подхода, который ранее использовался в задачах об усилении оптических импульсов [49,- 511 . Среда описывается квантовомеханически (через матрицу плотности), а электромагнитное поле считается классическим и подчиняется уравнению Максвелла, Локально усредненная по положениям атомов матрица плотности р ((л> Д ,t) и напряженность электромагнитного поля Е (г, i) развиваются согласно системе уравнений Рое. ^ V*4 р4* - раЬ Via it fu * +Vu рол- p&Vu - Л 9и/\ (16) д. -L ÍL - ^сС2 ^ с«- W Х 4t ' Ь "ät* где = \7*о.* Е" - матричный элемент взаимодействия между состояниями атома- а и Ь , Т^ - время поперечной релаксации, - константа потерь излучения, Р - вектор поляризации вещества

Р (*,*)« !$(&Нри + ра.е)>** (17)

I - матричный элемент дипольного момента перехода атома, ^А) -контур неоднородного уширения.

При записи и дальнейшем исследовании системы уравнений (16) сделаны приближения : I).Среду можно рассматривать как распределенную, переходя к локально усредненным величинам. Это эквивалентно, на наш взгляд, пренебрежению короткодействующей составляющей кулоновского взаимодействия атомов. 2).П оле, поляризация и населенность считаются однородными в направлении, перпендикулярном направлению распространения электромагнитной волны излучения. 3).Напря женность электрического поля и поляризация среды считаются плоскими волнами с медленно меняющимися на временах порядка периода атомных колебаний и длинах порядка длины волны излучения амплитудами. В 2.2 предложена полуклассическая модель, аналогичная квантовой модели работы [84,35] - модель пространственно-однородных волн. Населенность и амплитуды поля и поляризации считаются одинаковыми по образцу, а выход излучения из образца описывается феноменологической константой X

В рамках приближения пространственно-однородных волн рассмотрена система без однородного и неоднородного уширения. Поведение такой системы описывается уравнением реального маятника с частотой О* и коэффициентом трения эе

V ч =о (18) где угол ¥ определяется из ъ = о. 5 (рк -рл€1)—0.5соьу (19) а

О* V (20)

Исследовано излучение в пределе большого ( X ^><2 ) и малого ( 'Эе.« ) затухания. Для системы с большим затуханием имеет место апериодический режим излучения - и - ^^г л/ (26)

Интенсивность излучения 3 пропорциональна квадрату полного числа частиц Л/ и имеет колоколообразную форму с шириной порядка £ Для системы с малым затуханием импульс излучения состоит из серии убывающих максимумов, разделенных временным интервалом ~ максимум интенсивности пропорционален полному числу атомов тлх'ОСЬ) -Ел/эеАбо (22)

Проводится обсуждение применимости данной модели и выбора феноменологического параметра X •

В § 2,3 в рамках модели пространственно-однородных волн рассматривается влияние однородного и неоднородного уширений на кооперативное излучение протяженной системы.

Однородное: упщрение учитывается введением в (16) феноменологического затухания недиагонального элемента матрицы плотности.

Показано, что при большом однородном уширении (Та < ) излучение системы описывается балансными уравнениями а - г. + к^Л/) з

Я -I - -3

- 21 где - суммарная полуразность населенности уровней. При этом система не может высветить когерентным образом больше половины первоначально запасенной энергии (режим сверхлюмвнесцен-ции). Численным решением полуклассических уравнений показано, Ж что однородное уширение приводит к а) уменьшению величины интенсивности излучения, б) ущирению пиков излучения, в)уменьшению, а затем и исчезновению осцилляционной структуры импульса излучения, г)существенному увеличению времени задержки импульсов. Неоднородт-ное уширение учитывается распределением частот атомов по контуру неоднородного уширения д (^). Проведенные численные расчеты показывают, что увеличение неоднородного уширения приводит к усилению колебательного режима кооперативного излучения. В остальном влияние неоднородного уширения подобно влиянию однородного. Полученные результаты по влиянию неоднородного, уширения на кооперативное излучение расходятся с результатами работы [34,35] .•

Рассмотрено влияние однородного и неоднородного уширений на спектр кооперативного излучения системы. Однопиковому режиму кооперативного излучения системы соответствует колоколообразная форма спектра, а осцилляционному режиму соответствует уплощенная форма спектра с провалом на вершине.

В качестве примера рассмотрено кооперативное излучение спиновой системы в резонаторе. Уравнения, описывающие кооперативное излучение спиновой системы, совпадают с уравнениями приближения пространственно-однородных волн. Проведено обсуждение экспериментов по излучению спиновой системы с учетом неоднородного уширения.

В § 2.4 рассматривается сверхизлучение одномерных распределенных сред при учете пространственной протяженности. Система укороченных уравнений (§ 2«1) для медленно меняющихся амплитуд при учете волны, распространяющейся налево, записывается в виде л. ъа ^ с ' с с ~ ^ с г

В качестве начального условия задаются нулевое начальное поле, инверсия % =0,5 (полностью возбужденная система) и малая начальная поляризация , эффективно учитывающая спонтанное излучение системы на начальной стадии процесса.

Показано, что как и при возбуждении - образным импульсом, система уравнений (14) при отсутствии уширений и без учета запаздывания инвариантна относительно масштабного преобразования еС X , Ь' = оСк Ь , £' = сИ £ Это приводит к тому, что населенность и поляризуемость системы носят автомодельный характер, т.е. являются функцией тЬ . Форма импульса кооперативного излучения остается постоянной и не зависит от длины. При учете запаздывания масштабная инвариантность нарушается и форма импульса сверхизлучения зависит от длины системы. При [ > с.Ь& ( ¿о£ - время задержки) перед основным импульсом появляются колебания, соответствующие режиму математического маятника ( приближению пространственно-однородных волн). Влияние однородного уширения на динамику сверхизлучения аналогично отмеченному в § 2.3.

Проведен анализ экспериментов в Ма и С& . Использованные нами модели не дают количественного согласия с экспериментальными результатами, но правильно предсказывают некоторые качественные закономерности.

В третьей главе на основе полуклассического подхода исследуется влияние кулоновского взаимодействия на кооперативное излучение многоатомной системы. Основная расчетная модель - линейная регулярная цепочка атомов.

В § 3.1 получены уравнения для медленноменяющихся во времени инверсии и амплитуды поляризации. Исходными являются уравнения для оператора плотности атома.

ЬЬ " По у (25) л где Но - оператор Гамильтона невзаимодействующих атомов, V Е^ - оператор взаимодействия, £ - оператор дипольного момента атома, В^ - вектор электрической напряженности действующего на атом поля, и представление в виде суммы действующих на атом полей , излученных другими атомами, и поля самодействия. Напряженности поля I -го атома в точке К- , отсчитанной от атома в дипольном приближении равны [121]

Е: 31 КУЬгеЬ [ (-£ - £)/*.] а / (26) о1| - квантовомеханическое среднее дипольного момента ^ -го атома.

Характерные времена изменения инверсии & и медленноменяющихся во времени амплитуды поляризации и поля Е"

-ро.а)

Е * В ~ Ш (-1 и^) * Е I и>оЬ) много больше периода атомного перехода Т = Ляс/со о • Частоты атомного перехода считаются одинаковыми.

В § 3.2 обсуждается постановка задачи о кооперативном излучении многоатомной системы с учетом дискретности положений атомов и кулоновского взаимодействия. Система уравнений для населенностей и амплитуд поляризации атомов записывается в виде: •

Матрица ^ совпадает с релаксационной матрицей, вычисленной в квантовой теории, и описывает убыль энергии, запасенной в атомной подсистеме, за счет излучения. Матрица (кулоновское дй-поль-дипольное взаимодействие) описывает частотные сдвиги, вызванные как статическим взаимодействием, так и радиационным. Она также определяет перераспределение возбуждений между атомами. Как и в случае квазиклассических уравнений для распределенных сред уравнения (33) имеют точку неустойчивого равновесия при ^¡Со) = 0. Поэтому для излучения первоначально некоррелированной системы необх одимо задавать малую начальную поляризацию ~ = Начальная поляризация может быть оценена из условия равенства интенсивности начального излучения интенсивности спонтанного излучения.

Для системы с размерами меньше длины волны Я К.® Я0 - // а для линейной регулярной плотной (расстояние между атомами а* «-Х ) протяженной " длина системы Ь^А ) цепочки ^ ЯГ0 = 4ка/(ЗХ) .

СО

- 25

Показано также, что в кооперативном излучении, описываемом равнениями (28), сохраняется баланс энергии между изменением нергии атомной системы и излученной энергией. Причем, для сохране-ия баланса энергии существенен учет поля само действия (члены в равнении с = у ).

В § 3.3 рассматривается сверхизлучение многоатомной системы ! цренебрежении влиянием границ системы, т.е. считая, что населен-гости и поляризации не зависят от положения атома (пространствен-ю-однородное приближение). Это приближение было предложено без »боснования для атомной системы с размерами много меньше длины юлны в работе [ 80] .

В рамках пространственно-однородного приближения получена зременная зависимость населенности амплитуды поляризации атомов I интенсивности излучения системы

-0.5 ¿¿о -и)/(аг*)] *щ>- и а)].

ЗМ-йсо-^ Лее!1 где коллективное время затухания = (31) а время задержки = £п Я? .

Кулоновское взаимодействие, проявляющееся через , не влияет на населенности атомов системы и интенсивность излучения, т.е. динамика излучения не зависит от кулоновского взаимодействия.

В то же время кулоновское взаимодействие существенно уширяет спе спектр, меняя частоту сверхизлучения от и)0 - £2/2 в начале процесса до Qf.fi в конце его.

Показано, что для регулярной плотной линейной цепочки атомов дипольный сдвиг тй^о-^2®) (32) а коллективная радиационная константа ^ равна а) для системы с размерами много меньше длины волны 1 ^ ЯГ1«. (33) б) для линейной регулярной плотной цротяженной цепочки

И* + (34) где © - угол между дипольным моментом перехода и осью системы. Как для системы с размерами меньше длины волны (система Дике), так и для линейной цепочки атомов дипольный сдвиг существенно превышает коллективную радиационную постоянную.

Диаграмма направленности системы Дике совпадает с диаграммой направленности одиночного диполя, а диаграмма направленности протяженной линейной цепочки характеризуется острой направленностью вбок, в направлении, перпендикулярном оси системы (аналогично диаграмме направленности линейной цепочки синфазно колеблющихся классических дипольных излучателей).

В § 3.4 исследуется влияние кулоновского взаимодействия на сверхизлучение системы с размерами меньше длины волны- на примере линейной регулярной цепочки атомов.

Для системы Дике ( ^ ) пренебрежение кулоновским взаимодействием ( ) автоматически приводит к пространственно-однородной модели и сверхизлучение системы Дике описызается формулами (30) 0 и ^ = д/^ . Этот результат сов

1адает с результатами расчета модели Дике [2-8] , который ложет быть также получен, исходя из предположения, что среднее зремя высвечивания гь фотонов равно сумме средних времен переводов между соседними коллективными состояниями.

-п. с ^

Золее точную картину сверхизлучения для системы Дике можно подучить, решая систему балансных уравнений

Л.^-й^Рц, + (36)

Ря* (о) где - вероятность заселения коллективного уровня с квантовым числом Я а . Полученный численным решением уравнений (46) импульс сверхизлучения несколько отличается от вычисленного по формуле (30). В частности он имеет меньшую максимальную интенсивность. Полученный результат объясняется отличием распределения вероятностей Яа от дельтообразного, которое предполагается при получении (30). Для системы Дике характерное время кулоновско-го взаимодействия ( <3^. ~ Каъ//I£ ) много меньше коллективного радиационного времени ( , = ¿V * ). Численным решением уравнений (28) для линей ной регулярной плотной цепочки с размерами много меньше длины волны ( /-.«%. ) показано, что кулоновское взаимодействие для задачи излучения системы Дике приводит к увеличению времени задержки импульса сверхизлучения, не меняя формы и амплитуды импульса. Для системы с размерами меньше или порядка длины волны ( I 4 Л ) импульс сверхизлучения при учете кулоновского взаимодействия сохраняет характерную гладкую однопиковую форму и меняется до близкой к простран

Твенно-однородному импульсу для бесконечной цепочки. %ичем 1мпульс сверхизлучения с учетом кулоновского взаимодействия всег-щ ближе к импульсу пространственно-однородного приближения, 1ем к импульсу сверхизлучения без учета кулоновского взаимо-*ей ствия. Эти особенности сверхизлучения систем с связаны с выполаживащим действием кулоновского взаимодействия. В § 3.5 рассматривается сверхизлучение линейной регуляр-юй плотной ( а «.X ) протяженной ( А ) цепочки атомов ц>и пренебрежении кулоновским взаимодействием.

Начальное поведение системы задается коллективной радиаци-)нной константой

37) о о где

38)

В начале процесса формируется пространственные области с большей ['вблизи максимумов ^ С») ) и меньшей (вблизи минимумов ТО)) зкоростыо высвечивания. Положение центров этих областей может быть определено из равенства $ ( к (£ +зф = # (к (-«.)) Цальнейшая эволюция системы существенно зависит от характера звязи между соседними областями. Связь является положительной, если ^(кдх)>о и отрицательной, если ^ (к. ах) <о ( д ос -расстояние между центрами областей). В системах с положительной связью развитие процесса в областях с большей начальной скоростью высвечивания стимулирует развитие процесса в областях с меньшей скоростью. В результате формируется моноимпульс сверхизлучения. В системах с отрицательной связью развитие процесса в областях з большей начальной скоростью высвечивания подавляет развитие процесса в областях с меньшей начальной скоростью. Излучение из эбластей с меньшей начальной скоростью высвечивания происходит после практически полного истощения населенности областей с боль-лей начальной скоростью. В результате формируется импульс сверхизлучения, состоящий из двух пиков.

В § 3.6 рассматривается влияние кулоновского взаимодействия на сверхизлучение протяженной системы ( ).

Проведены оценки влияния статического кулоновского взаимодействия на сверхизлучение протяженных систем ( ; ¿,2> - продольный и поперечный размеры системы). Показано, что учет статического кулоновского взаимодействия существенен для систем с числом Френеля меньше единицы { Р = <1 ) и поперечными размерами меньше длины волны ( 7> < А ). В других случаях влиянием статического кулоновского взаимодействия можно, вероятно, пренебречь. С учетом результатов § 1.2 получаем, что влияние кулоновского взаимодействия на сверхизлучение протяженной ( ¡-^Х%Т) ) системы существенно для систем с числом Френеля меньше или порядка единицы ( Г £ * ).

Проведено исследование влияния кулоновского взаимодействия для систем с Г 1 и Т> Л , на примере линейной регулярной плотной протяженной цепочки атомов. Поведение атомной системы при кооперативном излучении определяется конкуренцией двух основных процессов: излучения энергии из системы и когерентной передачи возбуждения между макроскопическими областями. Характерное время когерентной передачи возбуждения из одной макроскопической области в другую (порядка о.2.кд.О**) меньше характерного времени излучения ^ • Когерентная передача возбуждений препятствует возникновению больших градиентов инверсии, приводит к колебаниям уровней инверсии между макроскопическими области- ' ми. Тем самым нивелируется различие между поведением систем с положительной и отрицательной связью между областями. Импульс сверхизлучения при учете кулоновского взаимодействия демонстрирует следующие особенности: близость в "среднем" к импульсу пространственно-однородной модели и наличие мелкомасштабной структуры. Пространственная однородность в "среднем" объясняется перемешивающим действием кулоновского взаимодействия:величины, описывающие состояние атомов ( инверсия, амплитуды, поляризации), после усреднения по временам порядка времен когерентной передачи слабо меняются вдоль системы. Тонкая структура импульса опреде -ляется перераспределением инверсии между макроскопическими об -ластями. Характерное время такой структуры соответствует времени когерентной передачи. Произведено дополнительное исследование процесса формирования мелкомасштабной структуры импульса.

Для объяснения результатов экспериментальных исследований сверхизлучения системы высоковозбужденных (ридберговских) атомов [ 107, 114] произведены оценки длительности импульсов и порогового значения плотности начальной инверсии системы. Первоначальные оценки проведены исходя из результатов исследования кооперативного излучения линейной цепочки атомов с учетом кулоновского диполь-дипольного взаимодействия. Так как поперечные размеры системы атомов в С107, 114] порядка длины волны излучения, то полученные значения длитель -ности импульса и порогового возбуждения могут дать только грубое приближение к экспериментальным. Для их уточнения произведены расчеты импульса кооперативного излучения системы высоковозбужденных атомов с параметрами отвечающими условиям экспериментальных работ [107, 114] в рамках модели с поперечной пространственной однородностью. В этой модели характе -ристики атомов (инверсия, поляризация) и поле считаются однородными в поперечных направлениях (перпендикулярно оси системы), но могут изменяться вдоль оси системы. Полученная в рамках данной модели форма импульса сверхизлучения системы с учетом кулоновского взаимодействия в условиях [107,114] близка к однопиковой. Проведенное исследование позволяет получить длительность импульсов и уточнить оценку порогового возбуждения системы. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Научная новизна работы:

Впервые для описания динамики и спектра сверхизлучения использована полуклассическая одномерная модель с учетом однородного и неоднородного уширения и кулоновского диполь-дипольного взаимодействия между атомами. Рассчитана динамика импульсов сверхизлучения и проведено сопоставление теоретических результатов с экспериментальными.

Практическая ценность работы:

Результаты диссертации могут быть использованы для исследования сверхизлучения, выяснения оптимальных условий генерации сверхкоротких импульсов большой мощности, для оценок релаксационных параметров и дипольных моментов перехода по спектрально-кинетическим характеристикам кооперативного излучения.

Основные положения .выносимые на защиту.

I.Произведена оценка влияния статистического и динамического радиационный сдвиг) взаимодействия атомов на сверхизлучение многоатомной системы. Показано, что кулоновское диполь-дипольное взаимодействие следует учитывать для протяженных систем с числом Френеля меньше единицы и для системы с линейными размерами, меньшими длины волны излучения.

2.Исследовано влияние однородного и неоднородного ушире-ний на форму импульса и спектр сверхизлучения. Однородное и неоднородное уширения приводят к подавлению импульса сверхизлучения. Благоприятными условиями для сверхизлучения являются выполнение неравенств ¿л. <<; 7 Т* , где ^ - время задержки, Тл ( Т* ) - времена однородного (неоднородного) уширений.

3.Исследовано кооперативное излучение линейной регулярной плотной цепочки атомов. Показано, что кулоновское взаимодействие не разрушает сверхизлучения малой ( 1 < А ) системы. Импульс сверхизлучений^ протяженной ( > Д. ) системы при учете кулоновского диполь-дипольного взаимодействия близок " в среднем" к пространственно-однородному. Тонкая структура импульса связана с когерентной передачей возбуждений.

4.Проведено сравнение предсказаний теории с экспериментальными данными по сверхизлучению высоковозбужденных (рид-берговских) атомов Г 9 ] . Получено хорошее согласие длительности импульса с экспериментальными. Предсказана форма импульса сверхизлучения. Использованные модели ка::-чественно объясняют результаты экспериментов по сверхизлучению протяженных систем и [ 6,8 ] .

При учете неоднородного уширения получено хорошее согласие с экспериментально наблюдаемыми формой и длительностью импульса кооперативного излучения системы спи -нов в резонаторе Г 14 3 .

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме " Сверхбыстрые процессы в спектроскопии" (Таллин, 1978); на П Всесоюзном симпозиуме по световому эхо (Казань,1981); на УП Всесоюзной Вавиловской конференции по нелинейной оптике (Новосибирск, 1981); на Международном симпозиуме "Синергетика и кооперативные явления в твердых телах и макромолекулах" (Таллин, 1982); на ХХУШ - ХХХУ Герценовских чтениях, семинарах ЛГУ и семинарах кафедры теоретической физики и астрономии ЛГПИ имени А.И.Герцена.

Основные результаты диссертации опубликованы в следую -щих работах:

1.(76) Зайцев А.И., Трифонов Е.Д.

Радиационный сдвиг частоты в коллективном спонтанном излучении.

В сб.: Теоретическая физика и астрономия. ХХУШ Гер-ценовские чтения. Л., ЛГПИ им.А.И.Герцена, 1975, с. 3 - 7.

2.(20)Зайцев А.И.

К теории запаздывающего взаимодействия в системе двух атомов.

В сб.: Теоретическая физика и астрономия. XXIX Гер-ценовские чтения. Л., ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1976, с.4 - 7.

3.(56) Трифонов Е.Д., Зайцев А.И. Полуклассическая теория кооперативного излучения многоатомной системы.

ЖЭТФ, 1977, т.72, № 4, с. 1407 - 1413.

4.(57) Е.Д.Трифонов, Зайцев А.И., Маликов Р.Ф. Superra-cUctrLce of o-n. extended system.-б сб. : Uetrafast reBcLx-cLtion and Secow-tiatrij с пгпгс sslon.

Ta tlln. , 1978 , p. 190-19 6.

5.(58) Трифонов Е.Д., Зайцев A.M., Маликов Р.Ф. Сверхизлучение протяженной системы. ЖЭТФ, 1979, т. 76, №1, с. 65 - 75.

6.(62) Аветисян Ю.А., Зайцев А.И., Маликов Р.Ф., Малышев В.А. Трифонов Е.Д.

Динамика и спектр сверхизлучения протяженной системы В сб.: Тезисы П Всесоюзного симпозиума по световому эхо. Казань, 17-19 июня 1981.; Казань, 1981, с.З.

7.(81) Зайцев А.И., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Сверхизлучение линейной цепочки атомов с учетом ку-лоновского взаимодействия.

В сб.: Тезисы докладов XI Всесоюзной конференции по когерентной и нелинейной оптике. Ереван, 22 - 25 но -ября 1982, Часть П секции 1У - ХУ. Ереван, 1982, с.613 - 614.

8.(82) Зайцев А.И., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Сверхизлучение многоатомной системы с учетом кулонов-ского взаимодействия.

ЖЭта, 1983, т.84, № 2, с. 475 - 486.

9.(83) Зайцев А.И., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Сверхизлучение многоатомной системы с учетом кулонов-ского взаимодействия.

В сб.:Синергетика. Материалы международного симпозиума "Синергетика и кооперативные явления в твердых те« лах и молекулах". Таллин. 27 сентября - 2 октября 1982г., Таллин, "Валгус", 1983, с.198 / 209.

В скобках даны номера работ по списку литературы. Стуктура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 189 страницах, в том числе основного текста -- 137 е., рисунков 46. Список цитируемой литературы содержит 127 названий.

Заключение.

В диссертации рассмотрены спектрально-кинетические характеристики кооперативного излучения многоатомных систем. Исследовано влияние на динамику и спектр сверхизлучения однородного и неоднородного уширений и кулоновского взаимодействия-. Основные результаты диссертации:

1.Произведена оценка величины статического кулоновского взаимодействия и радиационного сдвига (динамического кулоновского взаимодействия) системы эквивалентных двухуровневых атомов. Выяснено, что кулоновское взаимодействие следует учитывать для атомных систем, хотя бы один из размеров которых меньше или порядка длины волны излучения, и душ протяженных систем с числом Френеля меньше единицы.

2. Подтверждена эквивалентность операторов взаимодействия (1.1.1) и (1.1.5) на примере вычисления собственно-энергетической матрицы взаимодействия двух атомов.

3. Исследовано влияние однородного и неоднородного уширений на форму и спектр импульса сверхизлучения.

4. В рамках одномерной модели с учетом протяженности исследована зависимость импульса от длины системы. %и отсутствии запаздывания импульс сверхизлучения описывается автомодельным решением системы уравнений Максвелла-Блоха.

5. Проведено сравнение результатов теории, основанной на приближении пространственно-однородных волн, и одномерной модели с экспериментальными данными по сверхизлучению з/а и 0$

101 - 103] и по кооперативному излучению спиновой системы в резонаторе [110,111 ] .

6.Исследовано кооперативное излучение линейной регулярной злотной цепочки атомов. Показано, что кулоновское взаимодейст-зие не разрушает сверхизлучения малой ( £ Л ) системы. Импульс сверхизлучения протяженной системы близок "в среднем" х пространственно-однородному. Когерентная передача возбуждений приводит к образованию тонкой структуры импульса. 7. Проведено сравнение предсказаний теории с экспериментальными данными по сверхизлучению высоковозбужденных (ридберговских) атомов [107,114] .

Автор выражает глубокую благодарность проф.Трифонову Евгению Дмитриевичу за предложенную тему, постоянное внимание и руководство работой, Малышеву Виктору Александровичу и Маликову Рамилю Фаруховичу за сотрудничество.

1. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation process.-

2. Файн B.M. Квантовые явления в радиодиапазоне.- 19 УФНД958 г. т.64, В2,стр»273-313.

3. Файн В.М; Квантовая радиофизика,т.I Фотоны и нелинейные среды. M.,"Советское радио",1972, ,стр.235-248. 5. Шелешн Л.А. К теории когерентного спонтанного излучения.

4. ЖЭТФ,1968,т.54,15,стр.1463-146 5. j. Махвиладзе Т.М., Шелепин Л.А. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем (спонтанное излучение, модулированные пучки) -Труды ФИАН,1973,т.70 стр,120-146.

5. Agarwal G.S. Master equation approach to spontaneous emission

6. Lee Y.С., Lin D.L. Renormaliaed Frequency shift of Coherent Radiation -Phys.Rev.1972,A6,N1,pp.388-392.

7. Смирнов Д.Ф., Соколов И.В.,Трифонов Е.Д.Коллективные эффекты в спонтанном излучении двух атомов.- ЖЭТФ,1972,т.63стр.2105-2II2.

8. Knight P.L., Allen L. Rotating - Wave Approximation in Coherent Interaction.-Phys.Rev.,1973,A7, H1, pp.368-370.

9. Schuurmans M.P.H. Radiative decay of apair of atoms.

10. Phys.Lett.3974,MI» N6,pp.493-494.

11. Raiford M.T. Spontaneons Emission by two atoms with different resonance frequencies.- Phys.Rev.1974,А9,ЖЗ,pp.1257-1265.

12. Milonni P.W., Knight P.L. Retardation in the resonant interaction of two identical atoms.- Phys.Rev.1974, A18, N4,pp.1096-101108.

13. Milonni P.W., Knight P.L. Retarded interaction of two nonidentical atoms.- Phys.Rev.1975,A41,ЖЗ,pp.1090-1092.

14. Lemberg R.H.- Radiation from N-atom system II Spontaneous Emmission from Pair of atoms.- Phys.Rev.1970,A2,N3,pp.889-896.

15. Зайцев А.И. К теории запаздывающего взаимодействия в системе двух атомов.- В сб.Теоретическая физика и астрономия.

16. XXIX Герценовские чтения.Л, ,ЛГПИ им.Герцена, 1976,стр.4-7.

17. Любошиц В.Л. О когерентных свойствах системы двух одинаковых квантовых излучателей при электрических и магнитных пере ходах произвольной мультипольности. КЭТФД977, т.72,МстрЯ376-1390.

18. Power Е.А., Zienau Z., On the Radiative Contributions to the Van der Waals Forse- II Nuovo Cimento.- ser.10,A6,1957, Аб ,1T1,pp.7-17.

19. Power E.A., Zienau Coulomb gauge in non - relativistic quatum electodynamics and the shape of spectral lines.-Philos.Trans.R.Soc.Lond.1959,A251,N999,pp.427-454.

20. Bonifacio R., Scwendimann P.,Haake P.- The Superradiant laser-Lett.Uuovo Cimento.1970, 3, N15,pp.509-511; a master Equation Approach to Superradiance, , pp.512-514.

21. Bonifacio P., Swendimann P., Haake P.,- Quantum Statistical Theory of Superradiance I Phys.Rev. 1971 ,M>N1,pp.302-313.

22. Bonifacio P., Swendimann P., Haake P., -Quantum Statistical theory of Superradiance II.-Phys.Rev.1971,A4,N3,pp.854-864.

23. Degiorgio V. Statistical properties of ~ superradiant pulses.- Opt.Com.1971,2,n N8,pp.362-364.

24. Haake P., Glauber R.i.- Quantum Statistics of Superradiant Pulses- Phys.Rev.1972,A5,N3,pp.1457-1466.

25. Андреев А.Б. 0 суперфлуоресценцной кинетике f лазера.-ЖЭ1Ф, 1977, T^Tg, с.1397-1406.

26. Андреев А.В. К теории коллективного спонтанного излучения.-Квант.электроника,I978,5, с.830-840.

27. Емельянов В.И., Климантович Ю.А. Временная эволюция и тонкая структура сверхизлучения Дике и сверхсветимости в системе двухуровневых атомов.- Опт. и спектр.1976.т.41.с.913-919.0

28. Arecchi Р.Т.»Courtens Е., Cooperative Phenomena in Resonant Electomagnetic Propagation - Phys.Rev.1970,A2, N5,pp.1730-1737.

29. Rehler N.E., Eberly I.H. Superradiance.- Phys.Rev.1971, A2,N5,pp.1735-1751.

30. Bonifacio R., Lugiato L.A.- Cooperative radiation processes in two-level systems: Superfluorescence.-Phys.Rev.1975,A11, N5,pp.1507-1521.

31. Bonifacio R., Lugiato L.A. Cooperative radiation processes in two - level systems: Superfluorescence II.- Phys.Rev. 1975,A12,N2,pp.587-598.

32. Bonifacio R, Lugiato, Grescentini A.A.- Discussion of mean-field. theory, amplifier theotfy and experiments on superfluorescence. -Phys.Rev.1976, A13,hN4,pp.1648-1651.

33. Friedberg R., Coffey B. singlff- mode superfluorescence theory compared with experiment.- Phys.Rev.1976,A12 A13, N4,PP.1645-1647.

34. Gronchi M., Lugiato L. a., Butera P.,- Quantum statistics of oscillatory super fluorescence.-Phys.Rev. 1978,A18, N2, pp.689-696.

35. Gronchi,M., Lugiato L.A. Phase - space description of oscillatory superfluorescence.-Phys.Rev.1976,AT3,N2, pp.830-852.

36. Gronchi M., Lugiato L.A. All - order correlation function in oscillatory superfluorescence - Phys.Rev. 1976,А14,Ж1, pp.502-506.

37. Ernst V, Stehle Emmission of Radiation from a system of Many Excited atoms.- Phys.Rev.1968,176,Ж5,pp.1456-1479.

38. Соколов И.В., Трифонов Е.Д. Коллективное спонтанное излучение многоатомных систем.- ЖЭТФ,1973,т.65,в I,с.74-81.

39. Соколов И.В. Угловые корреляции в коллективном спонтанном излучении.- Вестник ЛГУ, 1974,& 4Д.,с.21-27.

40. Соколов И.В., Трифонов Е.Д. Угловая корреляция фотонов О в сверхизлучении.- ЖЭТФ, I974.T.67.B в 2,с.481-486.

41. Ressayre Е., Tallet A.- Condition for the appearence of superradiance in the semiclassical model.-Lett.Nuovo Cimento.1972,5, pp.1105-1108.

42. Ressayre E., Tallet A. Basic Properties for Cooperative Emission of Radiation.Phys.Rey.Lett.1976,Д7,N7,pp.424-427.

43. Ressayre E., Tallet A. -Quantum theory of superradiance. Phys.Rev.1977,A15,N6,pp.2410-2423.

44. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые^ атомы.- М.,"Мир",1978,222с.,с.174-194.

45. Lamb W.E.- Theory of Optical Maser.-Phys.Rev.1964,134, pp.1429-1450.

46. Hoft P.A., Scully M.Q.- Theory of an Inhomogeneously Broadened Laser Amplifier.-Phys.Rev.1969,179, pp.339-416.

47. Icsevgi A., Lamb W.E.,Ir. Propagation of Light Pulses in Laser Amplifier.-Phys.Rev.1969, ,185,PP.517-545.

48. MacGillivray I.G., Feld M.S.- Limits of superradiance as as a process for achieving short pulses of high enerdy.-Phys.Rev.1981,A23,U3,PP.1334-1349.

49. Polder D., Schuurmans M.F.H.,, Vrehen Q.H.F.- Superfluorescence: Quantum mechsnical derivation of Maxwell Bloch description with fluctuating field sourses.- Phys.Rev. 1979,A19,PP.1192-1203.

50. MacGillivray I.C., Feld M.S.- Theory of superradiance in an extended, optically thick medium.- Phys.Rev.1976,A14, N3, pp.1169-1189. ■

51. Sounders A.,Nassau S.S., Bullough R.K.- Propagational effects in ab initio theory of superradiance from extended systems .-J.of Phys.1976,A9,N110,pp.1725-1730.

52. Трифонов Е.Д., Зайцев А.И. Полуклассическая теория кооператив ного излучения многоатомной системы.- ЖШ>, 1977, 72, с.1407-1413.

53. Trifonov E.D.,Zaitzev A.I.»Malikov R.F.- Superradiance of an extended system.- "Vltrafast relaxation and secondary emission".-Tallin.(Abstract in International symposium "Vetrafast Phenomena in Spectroscopy"). 1978,pp.190-196.

54. Грифонов Е.Д., Зайцев А.Й., Маликов P .Ф. Сверхизлучение протяженной системы.-ЖЭТФ,1979, 76, с.6 5-75.

55. Маликов Р .Ф., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Полуклассическая теория кооперативного излучения протяженной системы.- в сб.: "Теория кооперативных когерентных эффектов в излучении",

56. Л. »изд.ЖПИ им.А.И.Герцена,1980,с,3-32. .

57. Маликов Р.Ф., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Динамика и спектр сверхизлучения протяженной системы.- Тезисы докладов X Всесоюзной конференции по когерентной и нелинейной оптике.М.,1980 с.242-243.

58. Маликов Р.Ф. О возможности сверхизлучения в активированных кристаллах. В сб.:"Теория кооперативных когерентных эффектов в излучении "Д., изд. ЛИИ им.А.Й.Герцена,1980,с.ЗЗ-42.

59. Аветисян Ю.А., Зайцев А.И., Маликов Р.Ф. »Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Динамика и спектр сверхизлучения протяженной системы.-в сб.Тезисы П Всесоюзн.симпоз. по световому эхо.(Казань, 17-19 июня 1981 г.). Казань,1981,с.3.

60. Карнюхин A.B.,Кузьмин P.S., Намиот В.А. К полуклассической теории сверхизлучетая в одномерных кристаллических структу- . pax. ЖЭТФ,1982,82,№ 2,с.561-572.

61. Манцызов Б.И., Бушуев В.А., Кузьмин Р.Ы., Серебряков С.Л. Особенности режима сверхизлучения протяженных систем сред.-ЖЭТФ,1983,85,$ 3,0.862-868.

62. Файн В.М. К теории когерентного спонтанного излучения.-ЖЭТФ,т. 1959«т.36. )£ 3,с.798-802.

63. Goldhaber A.S., Watson K.M. Theory of sequental decays.-Phys.Rev. , 160,U5»pp# 1151-11 64.

64. Arecchi P.Т.,Kim D.M. Line shifts in cooperative spontaneous emission.- Opt.Com.1970,V.2,n F7,pp.324-328.

65. Morawitz H.,- Superradianct level shift and its possible detection in a transient optical experimens.- Phys.Rev.1973,A7,N3,pp.1148-1159.

66. Saunders R., Bullough R.K. Perturbation theory of superradiant emission.-J.of.Phys.1973,A6,N9,pp.1348-1359.

67. Saunders R., Bullough R.K.- Pertubalation theory of super-radiance II cooperative level shifts.-J.of.Phys.1973,A6, N9,pp.1360-1374.

68. Bullough, Candrey, Obada Theory of radiation reaction and atom self-energies: all order perturbation theory of the generalized non-relativistic lamb shift.-J.of.Phys.1974, A7, N13, pp. 1=647-1663.

69. Chi-Kwan Au, Gerald Peinberg.- Effects of retardationon electomagnetic self-energy of atomic states.-Phys.Rev.1974,A9, N5,pp.1794-1800.

70. Hioe P.Т., Eberly J.H.- Stimulated and spontaneous radiative frequency shifts of a two-level systems.- Phys.Rev.1975, A11.N4,pp.1358-1364.

71. Banfi G., Bonifacio R.- Superfluorescence and cooperative frequency shift.- Phys.Rev.1975,A12,N5,pp.2068-2082.

72. Ressayre E., Tallet A.- Markovian model for oscillatory superfluorescence.- Phys.rev.1978,A18,N5,pp.2196-2203.

73. Зайцев А.И., Трифонов Е.Д!. Радиационный сдвиг частоты в коллективном спонтанном излучении,- В сб.:"Теоретическая физика и астрономия. ХХЖ Герценовские чтения.Л.,ЛГПИ им.Г А.И.Герцена,1975,С. с.3-7.

74. Г7. Priedberg R., Hartman S.R., Manassah J.Т.- Limited superradiant damping of small samples. Ph.ys.Lett. 1972,A40,N5» pp.365-366.

75. Preedberg R., Hartmann S.R. Temporal evolution of super-radiance in a small sphere.Phys.Rev. 1974»AW»N5,pp. 1728-1739.

76. J9. Priedberg R., Hartmann S.R.- Superradiant stability inspecialy shaped small samples.Opt.Com.1974,У10,Ш4,pp.298-301.

77. Stroud C.R.,Jr,Eberly J.H., Lama L., Mandel 1.-Superradiant Effects in Systems of Tmo-level atoms.Phys.Rew. 1972,А5,Ю, pp.Ю94-1Ю4.

78. Зайцев А.Й., Малышев В,А,, Трифонов Е.Д. Сверхизлучение линейной цепочки атомов с учетом кулоновского взаимодействия.

79. В сб.:Тезисы докладов XI Всесоюзной конференции по когерентный и нелинейной оптике. Ереван,22-25 ноября 1982 г. Часть П, секции 1У-ХУ, Ереван, 1982, с. 613-614.

80. Зайцев А.И.,Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Сверхизлучение многоатомных системы с учетом кулоновского взаимодействия.-ЖЭТФ,1983,84,$2,с.475-486 .

81. Зайцев А.И.,Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Сверхизлучение многоатомной системы с учетом кулоновского взаимодействия.

82. В сб.:Синергетика. Материалы международного симпозиума "Синергетика и кооперативное явления в твердых телах и макромолекулах". Таллин, 27 сентября- I октября 1982, Таллин, "Валгус У 1983,с.198-209.

83. Steudel Н.- Radiation rate and spectrum of continiouslypumped three-atom system.-Akademie der Wissen Schaften der DDR.Zentralinstitit fur Optic and Spectroscopie.1978. Preprint,3-78.

84. Steudel H.- Radiation Properties of Systems Three and Pour

85. Continiously Pumped atoms.- Akademie der Wissenschaften der DDR. Zentralinstitut für Optic and Spectroscopie.1980. Preprint 80-8.

86. Steudel H. The Initial process of superradiance on i iin Microscopic description Annalen der Physic,1980,pp.57-66, 7 Folge, Band 37,Helf 1.

87. Lemberg R.H. Transition Operators in Radiative Damping Theory .Phys.Rev.1969,181,pp.32-38.

88. Lemberg R.H.- Radiation from N -atom System I: General Formalizm. Phys.Rev.1970,A2,N3,pp.883-889.

89. F.de Martini, Preparata G. Dicke superradiance and long range dipole-dipole coupling -Phys.Lett. 1974,M8,N1,pp.43-44.

90. F.de Martini Dicke superradiance from atomic systems with Dipolar Coupling.- Lett.al Nuovo Cimento.1974,¥10, N7,pp.275-280.

91. Coffey B., Friedberg R.- Effect of short-range coulomb interaction on cooperative spontaneous emission.Phys.Rev.1978, A17,N3,pp.î033-1048.

92. Nakamura K., Washimiya S.- Dynamical behavior of superradiance in a modelmagnetic insulator. J.Phys.1980,313,pp.3483-3491.

93. Карнюхин А.В., Кузьмин Р.Н., Калиот В,А. Сверхизлучение в двумерной модели.-ЖЭТФ, 1983,84.^3,с .878-891.

94. Skribanowitz N., Herman I.R., MacGillivray J.С., Peld M.S.-Observation of Dicke Superradiance in Optically Pumped HP Gas. Phys.Rev.Lett.1973,V30, N8,pp.309-312.

95. Jaegle P., Jamelot G, Garillon A., Sureau A., Dhez P.-Superradiance line in the Soft-XRay Range. Phys.Rev.Lett. 1974,33, N18,pp.1070-1073.

96. Chin S.L.- Puthe evidance of dimer emission from superradiant travelling wave laser of concentrated aqueous solution ofrhodamine GG uB.Phys.Lett.1974,A48,n N6,pp.403-404.

97. Ishchenko V.H., Lisitsin V.H., Rashev A.M., Starinsky V.H.,1 Chapovsky P.L.- The ^ laser.Opt.Comm.1975,V13,N3,pp.231-234.

98. Plusberg A., Mossberg Т., Hartmann S.R.- Observation of Dicke superradiance at 1.30 jm. in atomic T^ Vapor.Phys. Lett.1976,A58, N6,pp.373-374.

99. Gross M., Pabre C., Pillet P., Haroche S.- Observation of Near-Infrared Dicke Supera?adiance on Cascading Transition in atomic Sodium. Phys.Rev.Lett.1976,36,N17,pp.1035-1038.

100. Haroche S., Pabre C., Gross M., Pillet P.- Time-resolve laser spe spectroscopy: quantum beats and superradiance atomic physics. 1977,5,pp.179-200.

101. Gibbs H.M., Vrehen Q.H.P., Hikspoors H.M.J.- Single-Pulse Superfluorescence. Phys.Rev.Lett.1977,39,N9,pp.547-550.

102. Gross M., Raimond J.M., Haroche S.- Doppler beats in superradiance. Phys.Rev.Lett.1978,40,N26,pp.1711-1713.

103. Grubellier A., Libermann S., Pillet P.- Doppler-Pree Superradiance experiments with Rb atoms: Polarization Characteristics. Phys.Rev.Lett.1978,48,N18,pp.1237-1240.

104. Vrehen Q.H., Schuurmans M.P.H.-Direct Measurement of the Effective Initial Tipping Angle in Superfluorescence.Phys. Rev.Lett.1979,42,N4,pp.224-227.

105. Gross M., Goy R., Pabre С., Haroche S., Raimond J.H.- Maser Oscillation and Microwave superradiance in small systemsof Rydberg atoms.Phys.Rev.Lett.1979,43,N5,pp.343-346.

106. Rosenberger A.T., de Temple T.A.- Far infrared superradiance in methgl-gluoride.Phys.Rev.1981,A24,N2,pp868-882.

107. Э9- Vrehen Q.H., der Weduw J.J.- Quantum fluctuation in superfluorescence delay times. Phys.Rev.1981, A24, N5,pp.2857-2860.

108. Chester P.P., Wagner R.E., Castle J.G.,Jr.- Two level Solid-State Maser.Phys.Rev.1958,110,N1,pp.281-282.

109. Pener G., Cordon J.P., Buehler E., Gere E.A.,Thurmord C.D.-Spontaneous Emission of Radiation from and Electron Spin system.Phys.Rev.1958, Г09, N1,pp.221-222.

110. Amnon Yariv.-Spontaneous emission from an inverted spin system.J.of Applied Physics. 1960, ¿1, pp. 740-741.

111. Bloembergen N., Pound R.V.-Radiation Damping in Magnetic Resonance Experiments.Phys.Rev.1954,95,N1 ,pp.8-=ï2.

112. Haroche Serge Rydberg atoms and radiation-atomic physics.,198Ö,V. 1980,V.7,New-York,Plenum,pp.141-165.

113. Moi L., Goy P., Gross M., Raimond J.M., C.Pabre C., Haroche S.-Rydberg-atom masers I. A theoretical and experimentalstudy of super-radiant systems in the millimeter-wave domain. Phys.Rev.1983,A27, N4,pp.2043-2064.

114. Зиновьев II.B., Лопина C.B., Набойкин Ю.В., Сипаева Н.Б., Самарцев B.B1. »Шейбут Ю.Е. С'верхизлучение в кристалле дефе-нина с пиреном.- ЖЭТФ, 1983,85, )ё6, с.1945-1952.

115. Авдеев A.B., Емельянов В.И,, Ильинский Ю.А. Коллективное спонтанное излучение (Сверх излучение Дике).- УФНД980, 131. М, с .653-694.

116. Vrehen Q.H., Gibbs Н.М.- Superfluorescence Experiments Topics in Current Physics N 27 Dissipative system in Quantum Optics,Ed. R.Bonifacio,Berlin-Heidelberg-New-York: Springer-Verlag,1982,pp111-147.

117. Gross M., Haroche S.-Superradiance an essay on the theory of collective spontaneous emm emission.Phys.Reports.1982, 93,U 5,pp.301-396.

118. Кузьмин M.B., Сазонов B.H, Полная инверсия населенности в многоуровневой системе при адиабатическом включении внешнего резонансного поля.- ЖЭТФ,1980,79,$5,с.1759-1768.

119. Ландау А.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. П.Теория полн.М., "Наука",1967,460 c.tc.248-25I.

120. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. I.Механика. М.,"Наука",1973,с.37-39.

121. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.,"Наука", 1974,832 е., с.170-174.

122. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Наука", 1976, 576 е., с.165-175.

123. Прудников А.П., Брычков Ю.А«, Маричев О.И. Интегралы и ряды.М., "Наука",1981,800 е., а)с.599,651; б)с.726; в)е.387; г)с.637.

124. Трифонов Е.Д. Теория передачи возбуждения в кристаллах с примесными центрами. Изд.АН СССР, серия физики,1971, 35 ,J£7, с .1330-1335.

125. Галанин М.Д., Хан-^1агометова Ш.Д., Чижикова З.А. Сверхлюминесценция в кристаллах антрацена. Письма в ЖЭТФД972, т06,.Ю,с.141-144.