Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей

Галушина, Татьяна Юрьевна

Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Галушина, Татьяна Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Галушина Татьяна Юрьевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ АСТЕРОИДОВ, СБЛИЖАЮЩИХСЯ С ЗЕМЛЕЙ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2006

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и механики при Томском государственном университете

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Быкова Лариса Евгеньевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шалорев Сергей Дмитриевич

кандидат физико-математических наук Тимошкова Елена Ивановна

Ведущая организация:

Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург

Защита состоится 16_ мая 2006 г. в 15 ч. 30 м. на заседании диссертационного совета Д 212.232.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (математико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ Автореферат разослан < 22 ¿ивутт. > 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Орлов В.В.

АообА

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Обширный и постоянно пополняющийся вновь открываемыми объектами класс астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ) и другими планетами, привлекает в настоящее время пристальное внимание специалистов по целому ряду причин, главной из которых является «астероидная опасность» для Земли, исходящая от этих объектов. Наличие резонансных взаимодействий между такого рода астероидами и большими планетами игра«т очень важную роль в процессе орбитальной эволюции астероидов. В случае устойчивого резонанса эти взаимодействия могут служить механизмом, защищающим от столкновений с соответствующей резонансу планетой, а в неустойчивом случае могут приводить к возникновению хаотичности движения и делать орбитальную эволюцию объекта непредсказуемой. В этой связи исследование движения астероидов в окрестности резонансов является весьма актуальной задачей небесной механики. Сложная динамика резонансных АСЗ делает также актуальной задачу развития методов исследования движения такого рода объектов.

Целями работы являются:

- разработка алгоритмического и программного обеспечения для исследования долговременной орбитальной эволюции астероидов;

- выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами;

- исследование долговременной орбитальной эволюции АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработаны алгоритмы, направленные на регуляризацию сближений АСЗ с третьим телом и основанные на введении модифицированного преобразования сундмановского типа в стабилизированные уравнения движения;

- исследована эффективность использования в задачах численного моделирования различных форм представления дифференциальных уравнений движения особых астероидов;

- выявлены АСЗ, имеющие соизмеримости низкого порядка со средними движениями больших планет;

РОС национальн/ ВИБЛИОТЕКЛ С. Петеру

- построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы на интервале времени несколько тысяч лет; области возможных движений строились как отображения во времени некоторых начальных областей, полученных из анализа наблюдений рассматриваемых АСЗ.

Практическая значимость работы:

- создана прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов; данная система может быть использована в исследовательских и учебных целях;

- составлен перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам, оценены размеры резонансных областей для этих АСЗ на интервале времени около 1000 лет;

- построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с. Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени в несколько тысяч лет.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на:

- всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998);

- международной конференции по сопряженным задачам механики и экологии (Томск, 1998);

- всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1999);

- всероссийской научной конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы» (Обнинск, 1999);

- 29-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2000);

- 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM) (Москва, 2000);

- международной научной конференции «Астрономия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века» (Санкт-Петербург, 2000);

- US-European Celestial Mechanics Workshop (Poznan, Poland, 2000);

- «Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences» (AMICO 2000) (Germany, 2000);

- второй всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2000);

- международной научно-практической конференции «Вторые оку-невские чтения» (Санкт-Петербург, 2000);

- конференция «Околоземная астрономия XXI века» (научные и практические аспекты) (Звенигород, 2001);

- второй всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2001);

- международном Симпозиуме «Небесная механикаг2002: результаты и перспективы» (Санкт-Петербург, 2002);

- третьей всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2002);

- 32-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2003);

- четвертой всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2004);

- всероссийской конференции «Астероидно-кометная опасность -2005» (Санкт-Петербург, 2005).

Прикладная программная система «Ассоль» внедрена в учебный процесс и научно-исследовательскую работу Астрономического института им. В.В. Соболева СПбГУ, кафедры астрономии и геодезии физического факультета УрГУ и Астрономической обсерватории УрГУ.

На защиту выносятся следующие результаты

1. Стабилизированные алгоритмы с модифицированным преобразованием сундмановского типа и результаты исследования эффективности различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований уравнений движения АСЗ в задаче численного моделирования движения этих объектов.

2. Прикладная программная система, предназначенная для исследования движения и орбитальной эволюции астероидов.

3. Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам.

4. Результаты исследования областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени несколько тысяч лет.

По результатам исследования, приведенным в диссертации, опубликовано 23 научных работы. Диссертация изложена на 189 страницах машинописного текста, состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка

использованных литературных источников (135 наименований), 2 приложений, содержит 82 рисунка и 45 таблиц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, представляются результаты, выносимые на защиту, показывается научная и практическая значимость работы, приводятся сведения об апробации работы, описывается структура диссертации, дается краткое содержание глав и заключения.

В разделе 1 представлена общая информация об АСЗ. В разделе 1.1 описана структура популяции АСЗ по состоянию на 30 января 2005 г. В табл. 1 приведены некоторые статистические данные о популяции АСЗ на 30 января 2005 г., выбранные нами из каталога Боуэлла (Bowell et. al, 1994). Как видно из табл. 1, менее 14% АСЗ являются нумерованными. В разделе 1.2 освещена проблема астероидной опасности. В разделе 1.3 рассмотрены проблемы и методы исследования орбитального движения АСЗ. В разделе 1.4 представлены сведения о резонансных астероидах.

Таблица 1: Данные о популяции АСЗ

Класс Всего

Атон Аполлон Амур

Общее число 263 1648 1405 3316

Нумерованные 24 189 191 404

В разделе 2 описываются классические методы построения численной модели движения малых планет Солнечной системы. Приводятся две формы представления дифференциальных уравнений движения малого тела в прямоугольной гелиоцентрической системе координат. В одной из них в качестве независимой переменной используется физическое время а в другой, так называемое, фиктивное время й, связанное с t модифицированным временным преобразованием сундмановского типа (8шс1тап, 1912; Бордовицына и др., 1998а). В модель сил включено влияние больших планет и Луны, координаты которых на заданный момент времени определяются по коэффициентам чебышевских разложений, полученным из фондов координат больших планет БЕ200/ЬЕ200 (81апс118Ь, 1982) и БЕ406 (http://ssd.jpI.nasa.gov/horizons.html).

В конце главы изложен неявный одношаговый алгоритм Эверхарта (ЕуегЬаЛ, 1974), используемый нами для численного интегрирования уравнений движения малого тела. Применение этого метода обусловлено тем, что он показал наилучшую эффективность при решении подобных задач (Бордовицына, 1984; Батурин, 2001).

В разделе 3 описывается программно-математическое обеспечение (ПМО), разработанное для исследования движения астероидов (Быкова, Галушина, 2000с; Быкова, Галушина, 2001Ь). В разделе 3.1 перечислены следующие задачи, решаемые с помощью ПМО:

- численное интегрирование дифференциальных уравнений движения методом Эверхарта;

- выявление сближений исследуемого астероида с большими планетами;

- выявление резонансов, определяемых соизмеримостью средних движений исследуемого астероида и .7-ой большой планеты, из условия |/гоПо — < а, где п0, щ — средние движения астероида и .7-ой планеты; ко, к3 — целые положительные числа, а — малая величина (Гребеников, Рябов, 1978);

- представление позиционных наблюдений астероида;

- улучшение орбиты астероида по имеющимся наблюдениям методом наименьших квадратов;

- построение вероятностной области начальных параметров движения объекта и ее эволюции со временем;

- демонстрация движения астероидов и больших планет на экране компьютера.

В разделе 3.2 рассматриваются следующие алгоритмы, использованные при разработке ПМО:

- алгоритм выявления сближений астероидов с большими планетами;

- алгоритм вычисления резонансных характеристик;

- алгоритм построения вероятностной области движения астероида.

В разделе 3.3 описываются возможности прикладной программной

системы -«Ассоль». Система предназначена для моделирования движения астероидов численными методами на заданных интервалах времени. Интервал задается пользователем. Он ограничен только интервалом, на котором задан используемый фонд эфемерид больших планет.

Система имеет возможности работы в диалоговом и демонстрационном режимах. Диалоговый режим связан с настройкой задания поль-

зователя, реализуемой до начала интегрирования. Демонстрационный режим позволяет с момента начала интегрирования выводить на экран траектории движения астероида и больших планет в выбранной системе координат, а также различные характеристики движения: сближения с большими планетами, резонансы, определяемые соизмеримостью средних движений астероида и планет.

Система представляет собой Wmdows-приложение го стандартным графическим интерфейсом. Для разработки системы выбрана среда визуального проектирования Delphi.

В разделе 4 рассматриваются различные стабилизирующие и регуля-ризирующие преобразования дифференциальных уравнений движения и исследуется эффективность их использования в задачах динамики особых астероидов. Раздел 4.1 посвящен особенностям дифференциальных уравнений движения.

В разделах 4.2 — 4.4 описаны следующие уравнения движения:

- классические уравнения;

- уравнения с модифицированным временным преобразованием сунд-мановского типа ds = Vdt, где V - потенциал возмущенной задачи двух тел;

- стабилизированные уравнения Дж. Ваумгарта (Baumgarte, Stiefel, 1974);

- стабилизированные уравнения Ваумгарта с преобразованием ds = Vdt;

- стабилизированные уравнения П. Накози (Nacozy, 1971);

- стабилизированные уравнения Накози с преобразованием ds = Vdt;

- уравнения в KS-переменных (Штифель, Шейфеле, 1975);

- уравнения в KS-переменных с преобразованием ds = Vdt;

- уравнения в KS-переменных с преобразованием ds = rVdt;

- уравнения типа Энке в KS-переменных (Бордовицына и др., 1998b).

В разделе 4.5 представлены результаты сравнения эффективности использования различных форм дифференциальных уравнений при изучении движения АСЗ. Для исследования эффективности алгоритмов были выбраны астероиды, имеющие большое количество сближений с планетами внутренней группы и Юпитером. Кроме того, для сравнения рассмотрены два объекта из главного пояса астероидов: 1 Ceres и 9262 Bordovitsyna. Параметры орбит выбранных малых планет на начальный момент времени to взяты из каталога Воуэлла и приведены в табл. 2.

В таблице используются следующие обозначения: а - большая полуось, е - эксцентриситет, г - наклонение плоскости орбиты к эклиптике, Т - орбитальный период. Эксцентриситеты орбит достаточно разнообразны, что позволяет проследить отдельно влияние регуляризирующего преобразования, связанного г центральным радиусом, и различных стабилизирующих преобразований.

Таблица 2: Параметры орбит астероидов

Объект <о, ГО а, а.е. е », град. Т, сут.

1 Сегев 2453200.5 2.767078 0.079862 10.5815 1681.2

3753 ОгиНЬпе 2453000.5 0 997704 0.514859 19.8113 364.0

6178 1986 Б А 2453200.5 2.808860 0.586594 4.3097 1719.5

9262 ВогсЬуивупа 2453200.5 2.585704 0.139610 15.8382 1518.7

14827 Нурпов 2453000.5 2.845154 0.666630 1.9827 1754.1

1991 Ув 2453200.5 1.026825 0.049134 1.4457 580.1

1994 вУ 2453200.5 1.985974 0.514212 0.4561 1022.3

1998 8У14 2453200.5 2.850169 0.664824 3.5153 1757.5

2000 2453200.5 2.881807 0.670080 7.7778 1786.9

Интегрирование осуществлялось методом Эверхарта 19-го порядка на разрядной сетке с девятнадцатью десятичными разрядами. В модель сил включено влияние больших планет и Луны. Эфемериды объектов рассчитывались на интервалах времени 100 оборотов и несколько сотен оборотов.

Под эффективностью алгоритмов понимается характеристика, определяемая точностью и быстродействием. При этом точность оценивается путем сравнения результатов прямого и обратного интегрирования, а в качестве меры быстродействия принимается количество перевычислений функций правых частей дифференциальных уравнений. Кроме того, для каждого алгоритма оценивалась наилучшая достигаемая точность на рассматриваемом интервале.

Проведенное исследование показало, что при отсутствии тесных сближений все алгоритмы, включая классические уравнения движения, при использовании численного метода высокого порядка дают точность, достаточную как для представления наблюдений, так и для изучения долговременной эволюции. Иная картина наблюдается при исследовании движения объектов, имеющих тесные сближения с планетами, таких как

АСЗ. R этом случае для каждого объекта нужно индивидуально подбирать вид уравнений движения. Более того, этот выбор зависит также от интервала исследования.

Для большинства рассмотренных астероидов наилучшая точность достигается методом Энке в KS-переменных, для АСЗ с не очень сложной динамикой (таких как 3753 Cruithne) с его помощью удается существенно увеличить интервал прогнозирования. Также хорошую эффективность показали стабилизированные уравнения. Причем стабилизация Баумгар-та более эффективна, чем стабилизация Накози. Однако следует отметить, что на практике присутствие в уравнениях Баумгарта эмпирического параметра 7 затрудняет их использование. При наличии тесных сближений введение в уравнения Баумгарта модифицированного преобразования сундмановского типа повышает точность интегрирования. А при исследовании движения АСЗ, часто сближающихся с большими планетами, эффективность применения рассмотренных регуляризирую-щих и стабилизирующих преобразований незначительна и не позволяет существенно увеличить интервал прогнозирования.

Раздел 5 посвящен исследованию движения АСЗ в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами. Раздел 5.1 посвящен обсуждению проблем, связанных с орбитальным резонансом в небесной механике, в частности описывается проблема малых знаменателей, рассматривается геометрия и физика резонанса.

В разделе 5.2 дан список АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами, и описан алгоритм, с помощью которого он был получен. Для того чтобы выявить АСЗ, движущиеся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами, нами были использованы такие резонансные характеристики как резонансная «щель» (Гребеников, Рябов, 1978) а = — к3п3 и критический аргумент кр = коАо — kj\j — (ко — к3)шо — (ко — kj)Qо, определяющий долготу соединения астероида и планеты. Здесь А0, А; - средние долготы астероида и j-ой планеты соответственно, wQ - аргумент перицентра астероида, По ~ долгота восходящего узла астероида. При а = О астероид находится в точном резонансе с планетой, обусловленном соизмеримостью kj/ko их средних движений. В движении небесных тел обычно имеет место так называемый а-резонанс, когда на большом интервале времени выполняется неравенство а < атах, где атат достаточно мало, так что движение остается близким к точному резонансу (Гребеников,

Рябов, 1978). Величина ow, характеризующая границы резонансно-сти движения, зависит главным образом от массы и среднего движения планеты, а также от эксцентриситета орбиты астероида, причем, с увеличением эксцентриситета увеличивается амплитуда колебаний а около точной соизмеримости (Murray, Dermott, 1999).

В рассматриваемой задаче принадлежность астероида к окрестности какого-либо орбитального резонанса определялась на основании исследования эволюции резонансных характеристик а и ц> на интервале времени порядка 1000 лет. Рассматривались резонансы до 10 порядка включительно, а именно, те, для которых выполняется условие (ko+kj) < 10. В перечень включены астероиды, регулярно проходящие через значение точной соизмеримости а = 0 на рассматриваемом интервале. Границы допустимых значений а определялись максимальной амплитудой либра-ций критического аргумента (—180° < Д</> < 180°). Кроме того, в перечень включены объекты, критический аргумент которых то либрирует, то циркулирует (оставаясь по одну сторону точной соизмеримости), однако вновь возвращается к либрационному движению. В сомнительных случаях интервал интегрирования увеличивался до 6000 лет.

Начальные оскулирующие элементы орбит были взяты из каталога Боуэлла на эпоху 30.01.2005 г. В полученный список включены 485 АСЗ, попадающие в окрестность резонансов с большими планетами, из них 309 — с внутренними планетами (14 — с Меркурием, 82 — с Венерой, 96 — с Землей, 117 — с Марсом), 292 — с Юпитером.

В разделах 5.4 и 5.5 приведены результаты исследования движения АСЗ в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами соответственно. Для каждого из этих астероидов была построена область возможных движений. Чтобы построить вероятностную область движения, для каждого исследуемого объекта было проведено улучшение орбиты методом наименьших квадратов (МНК). В работах (Медведев, 1996; Быкова, Парфенов, 2000) показано, что обусловленность задачи улучшения орбит методом наименьших квадратов зависит не только от длины интервала и числа наблюдений, но и от выбора начальной эпохи, поэтому предварительно было проведено исследование обусловленности матрицы нормальных уравнений для различных начальных эпох. Для построения ансамбля частиц была выбрана эпоха с наилучшей обусловленностью. В качестве номинальной выбрана орбита, полученная в результате улучшения.

Как показали исследования (Черницов, 2000; Батурин, 2001) при построении начальных областей необходимо пользоваться полной ковариационной матрицей, т.к. использование диагональной ковариационной матрицы приводит к слишком грубым оценкам областей возможных движений. Эти результаты были подтверждены нашими исследованиями (Галушина, 2002). Поэтому при построении начальных областей использовалась полная ковариационная матрица. При исследовании орбитальной эволюции рассматривался ансамбль из 100 частиц, близких к номинальной орбите. Ансамбль строился с помощью датчика случайных чисел на основе нормального закона распределения и ковариационной матрицы. Далее была прослежена эволюция ансамблей частиц на интервалах времени, длина которых определялась сохранением приемлемой точности интегрирования.

Результаты исследования показали, что в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером движутся 41 АСЗ, из них 4 нумерованные (6178 1986 DA, 14827 Hypnos, 26760 2001 КР41, 26817 1987 QB). Все рассмотренные астероиды можно разделить на две группы (табл. 3). Для первой группы характерно колебание резонансной щели около положения точного резонанса с небольшой амплитудой как для номинальной орбиты, так и для орбит частиц ансамбля. Причем эволюция орбит частиц ансамбля незначительно отличается от эволюции номинальной орбиты на всем рассматриваемом интервале времени. Тежое поведение приводит к устойчивой геометрической конфигурации «астероид-Юпитер». Можно сказать, что эти АСЗ ведут себя как резонансные на рассматриваемом интервале времени. Однако для того, чтобы сделать вывод о захвате в резонанс, необходимо исследовать орбитальную эволюцию на бблынем интервале времени (порядка сотен тыс. лет).

Вторую группу составляют астероиды, орбиты которых хорошо определены, но некоторые частицы ансамбля или частица на номинальной орбите выходят из резонанса. Эти АСЗ не захвачены в резонанс с Юпитером и геометрические конфигурации «астероид-планета» для них неустойчивы, что приводит к сближениям с Юпитером.

Остальные объекты (1995 DV1, 1997 UZ10, 2002 ХЕ84 и 2004 КЕ17) наблюдались на небольшом интервале времени. Орбиты этих АСЗ плохо определены и, соответственно, вероятностная область движения велика, что не позволяет сделать вывод о том, являются они действительно резонансными или нет.

Таблица 3: Группы АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером

1 11

6178 1986 DA 14827 Hypnos

26760 2001 КР41 1997 QK1

26817 1987 QB 1998 ST4

1985 WA 1998 SY14

1994 ABl 1999 HA2

1998 FR11 2000 GV127

1999 AF4 2000 GC147

1999 RU2 2000 JY8

1999 VQ11 2000 PG3

2000 WX28 2002 CX58

2000 WJ63 2002 FC

2001 WR5 2002X01

2002 AR129 2002 X014

2002 GZ8 2003 LX5

2002 UL11 2003 QL96

2002 XA 2003 RS1

2004 GA 2003 11012

2004 UV1

2005 AT42

В окрестности резонанса 1/1 с внутренними планетами среди известных на 30.01.2005 г. астероидов оказалось всего 16 АСЗ: 2-е Венерой и по 7 - с Землей и Марсом. Малое число резонансных астероидов можно объяснить характерными для орбит АСЗ большими эксцентриситетами и, как следствие, сближениями с большими планетами, которые способствуют выходу астероида из резонанса.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы: только астероид 36017 1999 ND43 действительно захвачен в резонанс 1/1 с Марсом, при этом геометрическая конфигурация «астероид-планета» устойчива и резонанс служит защитным механизмом от сближений с Марсом. АСЗ 2004 MR1 и 2004 VD17 не захвачены в резонанс, т.к. для многих частиц ансамбля резонансное соотношение не выполняется. АСЗ 2001 СК32, 2002 VE68 (резонанс с Венерой), 3753 Cruithne, 85770 1998 UPI, 2000 WN10, 2001 G02, 2002 АА29 и 2004 GU9 (резонанс с Землей) движутся в окрестности резонанса 1/1, но нельзя сказать, что они захвачены в резонанс, т.к. геометрическая конфигурация «астероид-планета» для них неустойчива и резонанс не может служить защитным

механизмом от сближений с планетами. Орбиты астероидов 2004 В041, 1996 АУУ1, 2000 ЛХ8, 2001 СА21 и 2004 КС17 плохо определены, что не позволяет с уверенностью прогнозировать их движение.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Галушина Т.Ю. Демонстрационная программа для исследования движения малых планет Солнечной системы // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 2. Томск: Изд-во ТГУ, 1998 г. С. 149-153.

2. Быкова Л.Б., Галушина Т.Ю. О динамике околоземных астероидов // Изд-во ТГУ. Сб. Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С. 130-133.

3. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.В. Численное исследование движения околоземных астероидов 1996 ПН и 1996 АЛ // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С. 134-135.

4. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Численное моделирование движения некоторых околоземных астероидов в окрестности резонансов низких порядков // Сб. научных трудов конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы», Обнинск 25-29 октября 1999 г. М: Космосинформ, 2000а. С. 56-64.

5. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Динамика околоземных астероидов // Физика космоса. Труды 29-й международной студенческой научной конференции. Екатеринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г. 2000Ь. С. 12-22.

6. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Прикладная программная система для моделирования движения астероидов // Физика космоса. Труды 29-й международной студенческой научной конференции. Екатеринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г. 2000с. С. 109.

7. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.В. Параметры и эволюция орбит некоторых околоземных астероидов // Материалы международной конференции «Астрономия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века». Санкт-Петербург. 19 - 23 июля 2000 г 2000а. С. 296-297.

8. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.В. Орбитальная эволюция околоземных астероидов 3103 Eger и 1994 СВ // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Докл. II всероссийск. науч. конф. 2000 г. Томск: Изд-во ТГУ, 2000b. С. 123-124.

9. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Orbital évolution of near-Earth asteroids close to mean motion résonances// JENAM-2000. 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conférence. Abstracts. Moscow, Russia, May 29 - June 3, 2000a.

10. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Near-Earth Asteroid Close to Mean Motion Résonances: the Orbital Evolution// Dynamics of Natural and Artificial Celeetial Bodies. Proceedings of US/European Celestial Mechanics Workshop. Poznan, Poland, July 3-7, 2000b. P. 241-246.

11. Быкова Л.E., Галушина Т.Ю. Динамика астероидов 1998 VF31 и 1999 ND43, движущихся в окрестности резонанса 1:1 с Марсом // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 4. ТЪмск: Изд-во ТГУ, 2001а. С. 89-93.

12. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Прикладная программная система для моделирования движения астероидов и ее применение // В кн. Труды международной научно-практической конференции «Вторые Оку невские чтения», в 2-х томах. Т.2. Теоретическая и прикладная механика. СПб.: ВГТУ, 2001b. С. 204-213.

13. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Орбитальная эволюция околоземных астероидов в окрестности резонанса 1:1 с внутренними планетами // Тезисы конференции «Околоземная астрономия XXI века». Звенигород, 21-25 мая 2001 г. 2001с. С. 48.

14. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Evolution of near-Earth asteroids close to mean motion résonances// Planetary and Space Science 49. 2001. P. 811815.

15. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, движущиеся в окрестности резонанса 1:1 с Землей // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 124-125.

16. Галушина Т.Ю. О динамике астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5:2 с Юпитером // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 126-129.

17. Bykova L.E., Galushina T.Yu. Orbital évolution of near-Earth

asteroids close to mean motion resonances// Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2002, 82(3), P. 265-284.

18. Галушина Т.Ю. Стабилизирующие и регуляризирующие преобразования в задачах динамики особых астероидов // Физика космоса. Труды 32-й международной студенческой научной конференции. Екатеринбург. 3-7 февраля 2003 г. 2003а. С. 238.

19. Галушина Т.Ю. Исследование движения астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5:2 с Юпитером // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная механика и прикладная астрономия. 2003b. 46(12). С. 23-34.

20. Бордовицына Т.В., Галушина Т.Ю., Авдюшев В.А. Стабилизирующие и регуляризирующие преобразования в задаче численного моделирования движения особых астероидов // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная механика и прикладная астрономия. 2003с. 46(12). С. 23-34.

22. Быкова J1.E., Галушина Т.Ю. Исследование либрационных движений АСЗ в окрестности резонанса 1/1 с большими планетами // Материалы всероссийской конференции «Астероидно-кометная опасность -2005». Санкт-Петербург, 3-7 октября 2005 г. 2005. С. 79-82.

23. Быкова JI.E., Галушина Т.Ю. Астероиды, сближающиеся с Землей и движущиеся вокрестности резонансов низких порядков с большими планетами // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная механика и прикладная астрономия. 2006.T. 49(2). С. 5-16.

R совместных публикациях JI.E. Быкова, Т.В. Бордовицына и В.А. Авдюшев осуществляли постановку задачи и принимали участие в обсуждении результатов. Во всех совместных с JI.E. Быковой работах автором диссертации получены результаты по построению областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы, исследование областей возможных движений АСЗ в окрестности других резонансов проведено JI.E. Быковой. В работах (Быкова, Галушина, 2000с), (Быкова, Галушина, 2001b) JI.E. Быкова разработала алгоритмическую часть, автору диссертации принадлежит программная реализация. В совместных с Е.В. Парфеновым работах Е.В. Парфеновым построены начальные вероятностные области для рассматриваемых АСЗ, автором диссертации исследована эволюция этих областей.

Цитируемая литература

1 - Батурин А.П. Исследование методов определения областей возможных движений малых тел солнечной системы: Автореф. дис.... к.ф.-м.н. Санкт-Петербург, 2001. 12 с.

2. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

3. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А., Титаренко В.П. Численное моделирование общей задачи трех тел // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 2. Томск: Изд-во ТГУ, 1998а. С. 164-168.

4. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е., Авдюшев В.А. Проблемы применения регуляризирующих и стабилизирующих преобразований в задачах динамики спутников планет и астероидов // Астр, и геод. Томск: Изд-во ТГУ, 1998b. Вып. 16. С. 33-57.

5. Быкова Л.Е., Парфенов Е.В. Об определении орбит околоземных астероидов, наблюдавшихся в одном появлении // Сб. научных трудов конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы», Обнинск 25-29 октября 1999 г. М: Космосинформ, 2000. С. 56-64.

6. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1978. 128 с.

7. Медведев Ю.Д. Определение орбит комет, имеющих тесные сближения с планетами: Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Ленинград, 1996. 12 с.

8. Черницов A.M. Алгоритмы определения областей возможных движений малых тел Солнечной системы Автореф. дис. ... д.ф.-м.н. Томск, 2000. 26 с.

9. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.

10. Baumgarte J., Stiefel Е. Examples of the transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations // Lect.Not. in Math., 1974. V. 362. P. 207-236.

11. Bowell E., Muinonen K., Wasserman L.H. A public-domain asteroid data base. In Asteroids, Comets, Meteors, Kluwer, Dordrecht, Netherlands. 1994. P. 477-481.

12. Everhart E On Efficient integrator of Very High Order and Accuracy with Appendix Listing of RADAU // Denver., Univ. of Denver, 1974. P. 20.

13. Murray C.D., Dermott S.F. Solar system dynamics. Cambridge: Cambridge University Press., 1999. 592 p.

14. Nacozy P.E. The use of integrals in numerical integrations of the N-body problem // Astrophisics and Space Science. 1971. Vol. 14. P. 40-51.

15. Standish E.M. The JPL planetary ephemerides // Celest. Mech. 1982. Vol. 26, 2. P. 181-186.

16. Sundman K.F. Memoire sur le problème des trois corps // Acta Math., 1912. Vol.36. P. 105-179.

17. Yoshikawa M. Motions of asteroids at the Kirkwood Gaps II. On the 5/2, 7/2, and 2/1 resonances with Jupiter. Icarus 92, 1991. P. 94-117.

Р* 6 8 7 9

Отпечатано в ООО "Вайар" . Томск, Московский тракт, 2г. Тел./факс 52-98-11 Тираж 10Оэкз Заказ №147 от "20" марта 2006г.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Галушина, Татьяна Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

• 1 Общие сведения об астероидах, сближающихся с Землей

1.1 Популяция АСЗ

1.2 Астероидная опасность.

1.3 Проблемы и методы исследования орбитального движения

1.4 Резонансные астероиды.

2 Дифференциальные уравнения движения и метод интегрирования

2.1 Вводные замечания

2.2 Дифференциальные уравнения движения.

2.2.1 Классические уравнения возмущенной задачи двух тел. Модель сил.

2.2.2 Уравнения с модифицированным временнйм преобразованием сундмановского типа.

2.3 Метод Эверхарта численного интегрирования обыкновен

I ных дифференциальных уравнений

3 Программно-математическое обеспечение (ПМО) для исследования движения астероидов

3.1 Задачи, решаемые с помощью ПМО.

3.2 Алгоритмы численного моделирования движения астероидов

3.2.1 Выявление сближений астероидов с большими планетами

3.2.2 Вычисление резонансных характеристик 3.2.3 Алгоритм построения вероятностной области движения астероида.

1 3.3 Прикладная программная система «Ассоль».

3.3.1 Вводные замечания.

3.3.2 Диалоговый режим системы

3.3.3 Демонстрационный режим системы.

3.3.4 Тестирование системы.

4 Исследование эффективности использования различных стабилизирующих и регуляризирующих преобразований дифференциальных уравнений движения в задачах динамики особых астероидов

4.1 Особенности дифференциальных уравнений движения

4.2 Стабилизация дифференциальных уравнений движения

4.2.1 Вводные замечания.

4.2.2 Метод Баумгарта.

4.2.3 Метод Накози.

4.3 Регуляризация и стабилизация дифференциальных уравнений движения

4.3.1 Преобразование Кустаанхеймо-Штифеля.

4.3.2 Стабилизированные уравнения с модифицированным временным преобразованием сундмановского типа

4.3.3 Модифицированные уравнения в переменных Кустаан

Ф хеймо-Штифеля

4.4 Уравнения типа Энке в переменных Кустаанхеймо-Штифеля

4.5 Исследование эффективности алгоритмов.

4.5.1 Методика исследования.

4.5.2 Сравнительная эффективность алгоритмов.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с землей"

Актуальность проблемы.

Обширный и постоянно пополняющийся вновь открываемыми объектами класс астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ) и другими планетами, привлекает в настоящее время пристальное внимание специалистов по целому ряду причин, главной из которых является «астероидная опасность» для Земли, исходящая от этих объектов. Наличие резонансных взаимодействий между такого рода астероидами и большими планетами играет очень важную роль в процессе орбитальной эволюции астероидов. В случае устойчивого резонанса эти взаимодействия могут служить механизмом, защищающим от столкновений с Землей, а в неустойчивом случае могут приводить к возникновению хаотичности движения и делать орбитальную эволюцию объекта непредсказуемой. В этой связи исследование движения астероидов в окрестности резонансов является весьма актуальной задачей небесной механики. Сложная динамика резонансных АСЗ делает также актуальной задачу развития методов исследования движения такого рода объектов.

Целями работы являются:

- выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами;

Научная новизна работы состоит в следующем:

- выявлены АСЗ, имеющие соизмеримости низкого порядка со средними движениями больших планет;

Практическая значимость работы:

- построены области возможных движений АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с внутренними планетами на интервале времени в несколько тысяч лет.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на:

- международной конференции по сопряженным задачам механики и экологии ( Томск, 1998 );

- всероссийской научной конференции молодых ученых по теоретической и небесной механике (Томск, 1999);

- 29-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2000);

- 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM) (Москва, 2000);

- US-European Celestial Mechanics Workshop (Poznan, Poland, 2000);

- «Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences» (AMICO 2000) (Germany, 2000);

- международной научно-практической конференции «Вторые оку-невские чтения» (Санкт-Петербург, 2000);

- конференция «Околоземная астрономия XXI века» (научные и практические аспекты) (Звенигород, 2001);

- второй всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск,

2001);

- международном Симпозиуме «Небесная механика-2002: результаты и перспективы» (Санкт-Петербург, 2002);

- 32-ой студенческой конференции «Физика космоса» (Екатеринбург, 2003);

- всероссийской конференции «Астероидно-кометная опасность -2005» (Санкт-Петербург, 2005).

На защиту выносятся следующие результаты

3. Перечень АСЗ, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетам.

По результатам исследования, приведенным в диссертации, опубликовано 23 научных работы. Диссертация изложена на 188 страницах машинописного текста, состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка использованных литературных источников (134 наименования), 2 приложений, содержит 82 рисунка и 45 таблиц.

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

Результаты исследования показали, что резонансная щель астероидов 3753 СгшШпе, 2001 С02, 2002 АА29 и 2004 СШ совершает регулярные колебания около нуля с амплитудой |а| < 50"/сут., критический аргумент этих астероидов колеблется около постоянного (3753 Cruithne и 2002 АА29) или смещающегося (2001 G02 и 2004 GU9) центра либрации. Остальные АСЗ (85770 1998 UP1, 2000 WN10 и 2004 В041) движутся в окрестности резонанса, проходя через точную соизмеримость нерегулярно, их критический аргумент циркулирует (2000 WN10 и 2004 В041) или чередует циркуляцию с либрацией (85770 1998 UP1). Практически все астероиды, движущиеся в окрестности резонанса 1/1 с Землей, (за исключением 2000 WN10) сближаются с Землей. Кроме того, 3753 Cruithne сближается с Марсом, а все астероиды второй группы (85770 1998 UP1, 2000 WN10 и 2004 В041) сближаются с Венерой. Следует отметить, что динамика АСЗ 3753 Cruithne была подробно исследована в работе (Wiegert et al., 1998). Полученные нами результаты хорошо согласуются с результатами этих авторов.

Далее нами был проведен анализ наблюдений рассматриваемых астероидов, результаты которого приведены в табл. 5.20. Большинство астероидов наблюдались на нескольких оборотах и их орбиты хорошо определены. Исключение составляют два объекта - 2001 G02 и 2004 В041. Их интервал наблюдения составляет менее 10 сут. и ошибки начальных параметров велики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над диссертацией получены следующие результаты:

1. Создано алгоритмическое и программное обеспечение для исследования движения и долговременной эволюции астероидов, которое позволяет решать следующие задачи:

- численное интегрирование дифференциальных уравнений движения методом Эверхарта;

- выявление сближений исследуемого астероида с большими планетами;

- выявление резонансов, определяемых соизмеримостью средних движений исследуемого астероида и большой планеты;

- представление позиционных наблюдений астероида;

- улучшение орбиты астероида по имеющимся наблюдениям методом наименьших квадратов;

- построение вероятностной области начальных параметров движения объекта и ее эволюции со временем;

- демонстрация движения астероидов и больших планет на экране компьютера.

2. Получены различные стабилизированные уравнения с регуляризи-рующим временным преобразованием сундмановского типа:

- стабилизированные уравнения Баумгарта с преобразованием ¿5 = УсИ;

- стабилизированные уравнения Накози с преобразованием Аэ = УсИ]

- уравнения в КБ-переменных с преобразованием Ав = УсИ;

- уравнения в КЭ-переменных с преобразованием ¿в = гУсИ (г -радиус-вектор).

Исследована их эффективность в применении к задачам динамики

АСЗ.

3. Показано, что при отсутствии тесных сближений все алгоритмы, включая классические уравнения движения, при использовании численного метода высокого порядка дают точность, достаточную как для представления наблюдений, так и для изучения долговременной эволюции. Иная картина наблюдается при исследовании движения АСЗ. В этом случае для каждого объекта нужно индивидуально подбирать вид уравнений движения. Более того, этот выбор зависит также от интервала исследования.

Для большинства рассмотренных астероидов наилучшая точность достигается методом Энке в КЗ-переменных, для АСЗ с не очень сложной динамикой (таких как 3753 СгшШпе) с его помощью удается существенно увеличить интервал прогнозирования. Также хорошую эффективность показали стабилизированные уравнения. Причем стабилизация Баумгарта более эффективна, чем стабилизация Накози. Однако следует отметить, что на практике присутствие в уравнениях Баумгарта эмпирического параметра 7 затрудняет их использование. При наличии тесных сближений введение в уравнения Баумгарта модифицированного преобразования сундмановского типа повышает точность интегрирования. А при исследовании движения АСЗ, часто сближающихся с большими планетами, эффективность применения рассмотренных регуляризирующих и стабилизирующих преобразований незначительна и не позволяет существенно увеличить интервал прогнозирования.

4. Численно проинтегрированы уравнения движения 3316 АСЗ и выявлено 485 астероидов, движущихся в окрестности резонансов низких порядков с большими планетами, из них 309 — с внутренними планетами (14 — с Меркурием, 82 — с Венерой, 96 — с Землей, 117 — с Марсом), 292 — с Юпитером.

5. Исследована динамика 41 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером, и построены области их возможных движений на интервале времени несколько тысяч лет. Области возможных движений строились как отображения во времени некоторых начальных областей, полученных из анализа наблюдений рассматриваемых АСЗ.

Проведенные исследования показали, что все рассмотренные астероиды можно разделить на две группы. Для первой группы (19 астероидов) характерно колебание резонансной щели около положения точного резонанса с небольшой амплитудой как для номинальной орбиты, так и для всего ансамбля тестовых частиц из начальной вероятностной области. Причем эволюция частиц ансамбля незначительно отличается от эволюции номинальной орбиты на всем рассматриваемом интервале времени. Такое поведение приводит к устойчивой геометрической конфигурации «астероид-Юпитер». Можно сказать, что эти АСЗ ведут себя как резонансные на рассматриваемом интервале времени. Однако для того, чтобы сделать вывод о захвате в резонанс, необходимо исследовать орбитальную эволюцию на ббльшем интервале времени (порядка сотен тыс. лет).

Вторую группу составляют 17 астероидов, орбиты которых хорошо определены, но некоторые частицы ансамбля или номинальная орбита выходят из резонанса. Эти АСЗ не захвачены в резонанс с Юпитером и геометрические конфигурации «астероид-планета» для них неустойчивы, что приводит к сближениям с Юпитером.

Остальные объекты (1995 БУ1, 1997 1Ш0, 2002 ХЕ84 и 2004 КЕ17) наблюдались на небольшом интервале времени. Орбиты этих АСЗ плохо определены и, соответственно, вероятностная область движения велика, что не позволяет сделать вывод о том, являются они действительно резонансными или нет.

6. Исследована динамика 16 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с внутренними планетами (2-е Венерой, 7 — с Землей и 7 — с Марсом), и построены области их возможных движений на интервале времени несколько тысяч лет.

Для двух АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Венерой (2001 СК32 и 2002 УЕ68), резонансное соотношение сохраняется для всего ансамбля частиц, однако вследствие большой величины резонансной щели астероид 2001 СК32 сближается с Венерой.

Для шести АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Землей, резонанс сохраняется как для номинальной орбиты так и для ансамбля частиц. Однако и для этих объектов, вследствие большой величины резонансной щели, резонансное соотношение неустойчиво, и поэтому резонанс не может служить защитным механизмом от сближений - почти все рассматриваемые астероиды (за исключением 2000 "\УШ0) сближаются с Землей. Астероид 2004 В041 наблюдался в течение небольшого интервала времени, что не позволяет уверенно исследовать его эволюцию.

Из семи АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/1 с Марсом, только для астероида 36017 1999 N043 резонанс служит защитным механизмом от сближений.

Примечание. В совместных публикациях по содержанию диссертации Л.Е. Быкова, Т.В. Бордовицына и В.А. Авдюшев осуществляли постановку задачи и принимали участие в обсуждении результатов. Во всех совместных с Л.Е. Быковой работах автором диссертации получены результаты по построению областей возможных движений АСЗ в окрестности резонансов 5/2 с Юпитером и 1/1 с планетами земной группы, исследование областей возможных движений АСЗ в окрестности других резонансов проведено Л.Е. Быковой. В работе (Быкова, Галушина, 2000с), (Быкова, Галушина, 2001) Л.Е. Быкова разработала алгоритмическую часть, автору диссертации принадлежит программная реализация. В совместных с Е.В. Парфеновым работах Е.В. Парфеновым построены начальные вероятностные области для рассматриваемых АСЗ, автором диссертации исследована эволюция этих областей.

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Галушина, Татьяна Юрьевна, Томск

1. Абдульмянов Т.Р. Либрационные орбиты астероидов вблизи соиз-меримостей средних движений в модели обобщенного резонанса:Автореф. дне. ... к.ф.-м.н. Казань, 2002. 16 с.

2. Авдюшев В.А. Алгоритмы тина Энке в неременных Кустаанхеймо- Штифеля в задачах динамики особых астероидов и снутников пла-нет: Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. -Пб., 1999. 16 с.

3. Авдюшев В.А. Онределение оптимального стабилизируюш,его па- раметра в методе Баумгарта для моделирования почти круговыхорбит // Изв. вузов. Физика. 2003. N12 (Приложение). 5-12.

4. Батурин А.П. Исследование методов определения областей воз- можных движений малых тел солнечной системы: Автореф. дис.... к.ф.-м.н. -Пб., 2001. 12 с.

5. Бордовицына Т.В., Сухонлюева Л.Е. Исследование эффективности численных алгоритмов, иснользу1оп.,их стабилизирующие преобра-зования // Бюлл. ИТА, 1980, т. 14, N10, с. 591-596.

6. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небес- ной механики. М.: Паука, 1984. 136 с.

7. Бордовицына ТВ., Авдюшев В.А., Титаренко В.П. Численное мо- делирование общей задачи трех тел // Исследования но баллистикеи смежным вонросам механики: Сб. статей. Бып. 2. Томск: Изд-воТГУ, 1998а. 164-168.

8. Бордовицына ТВ., Быкова Л.Е. Авдюшев В.А. Проблемы нримене- ния регуляризирующих и стабилизирующих нреобразований в за-дачах динамики снутников нланет и астероидов// Астр, и геод.Томск: Изд-во ТГУ, 1998b. Вып. 16. 33-57.

9. Быкова Л.Е., Тимошенко Л.В. Околоземные астероиды: сближения с большими нланетами, трансформация орбитальных элементов //Астр, и геод. Томск: Изд-во ТГУД998. Вып. 16. 183-238.

10. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. О динамике околоземных астерои- дов // Изд-во ТГУ. Сб. Исследования но баллистике и смежнымвопросам механики: Сб. статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999.С. 130-133.

11. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.Б. Численное исследо- вание движения околоземных астероидов 1996 DH и 1996 АЛ //Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб.статей. Вып. 3. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. 134-135.

12. Быкова Л.Е., Парфенов Е.В. О нроблеме обусловленности зада- чи определения орбит околоземпых астероидов //Исследованияпо баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 3.Томск: Изд-во ТГУ, 1999. 65-73.

13. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Динамика околоземпых астероидов // Физика космоса. Труды 29-й междупародной студенческой на-учной конференции. Екатеринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г.2000b. 12-22.157

14. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Прикладная программная система для моделирования движения астероидов // Физика космоса. Тру-ды 29-й международной студенческой научной конференции. Ека-теринбург. 31 января - 4 февраля 2000 г. 2000с. 109.

15. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю., Парфенов Е.Б. Орбитальная эволю- ция околоземных астероидов 3103 Eger и 1994 СВ // Фундамен-тальные и прикладные проблемы современной механики. Докл. Пвсероссийск. науч. конф. 2000 г. 2000b. 123-124.

16. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Динамика астероидов 1998 VF31 и 1999 ND43, движущихся в окрестности резонанса 1:1 с Марсом //Исследования но баллистике и смежным вопросам механики: Сб.статей. Бып. 4. Томск: Изд-во ТГУ, 2001а. 89-93.

17. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Орбитальная эволюция околоземных астероидов в окрестности резонанса 1/1 с внутренними планета-ми// Тезисы конференции «Околоземная астрономия XXI века».Звенигород, 21-25 мая 2001 г. 2001с. 48.

18. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, движущиеся в окрестно- сти резонанса 1:1 с Землей // Исследования по баллистике и смеж-ным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ,2002. 124-125.

19. Быкова Л.Е. Резонансные астероиды, сближающиеся с Землей // Физика космоса. Труды 32-й международной студенческой научнойконференции. Екатеринбург. 3-7 февраля 2003 г. 22-40.

20. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Астероиды, сближающиеся с Землей и движущиеся в окрестности резонансов низких норядков с боль-шими планетами // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная ме-ханика и нрикладная астрономия. 2006. N12. (в печати).

21. Васильев Н.П., Сушко П.А. О неконсервативных эффектах чис- ленного моделирования гамильтоновых систем // Пренринт Ин-татеор. астрон. РАП. -Пб., 1995. N44. 44 с.

22. Ведерников Ю.А. Гравитационный способ отклонепия угрожающе- го астероида // Тезисы конференции «Космическая защита Земли- 2000», 11-15 сентября 2000, г. Евпатория, Крым, Украина.

23. Галушина Т.Ю. Демонстрационная программа для исследования движения малых планет Солнечной системы // Исследования побаллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Вып. 2.Томск: Изд-во ТГУ, 1998 г. 149-153.

24. Галушина Т.Ю. О динамике астероидов, сближающихся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпитером // Иссле-дования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей.Вып. 5. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. 126-129.

25. Галушина Т.Ю. Стабилизирующие и регуляризирующие нреобра- зования в задачах динамики особых астероидов // Физика космоса.Труды 32-й международной студенческой научной конференции.Екатеринбург. 3 - 7 февраля 2003 г. 2003а. 238.

26. Галушина Т.Ю. Исследование движения астероидов, сближающих- ся с Землей и движущихся в окрестности резонанса 5/2 с Юпи-тером // Изв. вузов. Физика. Приложение. Небесная механика иприкладпая астрономия. 2003b. N12. 23-34.

27. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмери- мостей средних движений. Основные уравнения // Астрон. журн.1986, Т. 63, вып. 3. 567-573.

28. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1978. 128 с.159

29. Гринберг P. Орбитальный резонанс в движении естественных спут- ников // В кн. Спутники нланет. Под ред. Дж. Бернса. М.: Мир,1980. 189-202.

30. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

31. Каханер Д., Моулер К., Нэш Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

32. Ипатов СИ. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце - Юпитер - астероид // Нреприпт Инст.прикл. математики им. Келдыша. АН СССР. 1989, N30.

33. Ипатов СИ. Миграция малых тел к Земле // Астрономический вестник, 1995, т. 29, N4. 304-330.

34. Красинский Г.А. Квазинериодические и периодические решения // В кн. Малые планеты. По ред. Н.С Самойловой-Яхонтовой. М.:Наука, 1973. С 151-203.

35. Лоусен Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с.

36. Медведев Ю.Д. Онределение орбит комет, имеюш,их тесные сбли- жения с нланетами: Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Ленинград, 1996.12 с.

37. Медведев Ю.Д., Свешников М.Л., Сокольский А.Г., Тимошкова Е.И., Чернетенко Ю.А., Черных Н.С, Шор В.А. Астероидно-комет-ная онасность. (ред. Сокольского А.Г.) С-Пб.: изд. ИТА РАН, 1996.244 с.

38. Мозер Ю. Лекции о гамильтоповых системах. М.: Мир, 1973.

39. Рой А. Движение по орбитам. - М.: Мир, 1981. 544 с.

40. Симопенко А.Н. Астероиды или тернистые пути исследований. М.: Наука, 1985. 208 с.

41. Терентьева А.К., Баюк О.А. Эфемерида радианта возможного ме- теорного потока кометы 1996 В2 Хиакутаки // Астрономическийвестник, 1996, т. 30, N5. 474-475.

42. Херрик Астродинамика. М.: Мир, 1977, т. 2. 263 с.

43. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 959 с.

44. Херрик Астродинамика. М.: Мир, 1977, т.2, 263 с.

45. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обык- новенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

46. Чеботарев Г.А. Структура кольца малых планет // В кн. Малые нланеты. По ред. Н.С. Самойловой-Яхонтовой. М.: Наука, 1973. 151-203.

47. Черницов A.M. О применении одного обобщенного итерационно- го метода нри оценивании параметров движения небесных тел //Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ, 1976, вып. 6. 47—55.

48. Черницов A.M. Алгоритмы определения областей возможных дви- жений малых тел Солнечной системы. Автореф. дис. ... д.ф.-м.н.Томск, 2000. 26 с.

49. Шефер В.А. Регуляризирующие и стабилизирующие преобразова- ния в задаче исследования движения особых малых планет и комет:Автореф. дис. ... к.ф.-м.н. Казань, 1986. 13 с.

50. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная меха- ника. М.: Наука, 1975. 304 с.

51. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

52. Эльясберг Н.Е. Определепие движепия по результатам измерепий. М.: Наука, 1976. 416 с.161

53. Baumgarte J., Stiefel E. Examples of the transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations //1.ect.Not. in Math., 1974. Vol. 362. P. 207-236.

54. Binzel R.P., Harris A.W., Bus S.J., Rivkin A.S., Burbine Т.Н. SMASS Near-Earth Object Survey: An Album of Results // 34th Annual Lunarand Planetary Science Conference, March 17-21, 2003, League City,Texas, abstract no. 1254.

55. Boattini A., Di Paola A., Bernardi F., De Luise F., Casula V., Giunta A., Perna D., Napoleone N., Carusi A., Dotto E., Valsecchi C.B. TheCampo Imperatore Near Earth Object Survey // American Astronomi-cal Society, DPS meeting. No. 11. 2004.

56. Bowell E., Muinonen K., Wasserman L.H. A public-domain asteroid data base. In Asteroids, Comets, Meteors, Kluwer, Dordrecht, Nether-lands. 1994. P. 477-481.

57. Bordovitsyna Т., Avdyushev V., Chernitsov A. New trends in numerical simulation of the motion of small bodies of the solar system // CelestialMechanics and Dynamical Astronomy, 2001. Vol. 80, P. 227-247.

58. Bottke W.F., Morbidelli A., Jedicke R., Stuart J.S., Evans J.B., Stokes C. Investigating the Near-Earth Object Population Using NumericalIntegration Methods and LINEAR Data // American AstronomicalSociety, DPS meeting, 11, 2004.

59. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Orbital evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // JENAM-2000. 9th European and5th Euro-Asian Astronomical Society Conference. Abstracts. Moscow,Russia, May 29 - June 3, 2000a.

60. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // Planetary and Space Science 49. 2001.P. 811-815.

61. Bykova L.E., Calushina T.Yu. Orbital evolution of near-Earth asteroids close to mean motion resonances // Celestial Mechanics and DynamicalAstronomy, 2002, 82(3), 265-284.• 1 6 2

62. Chapman C.R. The hazard of near-Earth asteroid impacts on earth // Earth and Planetary Science Letters. 2004. Vol. 222, No. 1. P. 1-15.

63. Connors M., Veillet C , Brasser R., Wiegert P., Chodas P., Mikkola S., Innanen K. Discovery of Earth's quasi-satellite // Meteoritics a.ndPlanetary Science, 2004. Vol. 39, No. 8. P. 1251-1255.

64. Connors M., Staceya G., Brasser R, Wiegert P. A survey of orbits of co-orbitals of Mars // Planetary and Space Science. 2005. Vol. 53, Is.

65. Cooke B. Killer impact // Astronomy. 2004. Vol. 32, No. 12. P. 38 - 43.

66. Garfinkel B. Theory of libration. // Celest. mech. 1976. Vol. 13, No. 2, P. 229-246.

67. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 1. // Astron. J. 1977. Vol. 82, No. 5, P. 368-379.

68. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 2. // Celest. mech. 1979. Vol. 18. P. 259-275.

69. Gehrels T.(ed.). Hazards due to comets and asteroids. Tucson: Univ. Arisona Press., 1994. P. 285-312.

70. Gladman В., Michel P., Froeschle C. The Near-Earth Object Population // Icarus 146, 2000. P. 176-189.

71. Greenberg R., Schol H. Resonances in the asteroid belt // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the Uppsala Universsity.1989. P. 310-333.

72. Hahn G. Close encounters of near-Earth asteroids during 1900-2100 // Advances in Space Reseach. 1991. Vol. 11, No. 6. P. 29-41.

73. Hahn G., Lagerkvist C.-I., Lindgren M., Dahlgren M. Orbital evolution studies of asteroids near the 5/2 mean motion resonance with Jupiter// Astron. Astrophys. 246, 1991. P. 603-618.

74. Everhart E. Implicit Single-Sequence Methods for Integrating Orbits // Celest.Mech., 1974a. Vol. 10. P. 35-55.163

75. Everhart E. On Efficient Integrator of Very High Order and Accuracy with Appendix Listing of RADAU // Denver., Univ. of Denver, 1974b.P. 20.

76. Proeschle С The Lyapunov characteristic exponents - applications of celestial mechanics // Celest. Mech., 1984. Vol. 34. P.95-115.

77. Froeschle C, Greenberg R. Mean motion resonances // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the UppsalaUniversity. 1989. P. 827-844.

78. Ipatov S.I. Asteroid-type orbit evolution near the 5:2 resonance // Asteroids, Comets, Meteors. 1991. P. 245-248.

79. Ipatov S.I. Migration of asteroids from the 3:1 and 5:2 resonances with Jupiter to the Earth // IAA Transactions, No. 8, «Celestial mechanics»,2002. P. 88-89.

80. Ipatov S.I., Mather J.C. Comet and asteroid hazard to the terrestrial planets // Advances in Space Research Vol. 33. Issue 9. 2004. P. 1524-1533.

81. Clukhovsky L.D. A Rapid, Accurate Method of Determining the Distance to Near-Earth Asteroids // American Astronomical SocietyMeeting. 2003. No. 12.

82. Hammergren M. Public Remote Observing of Potentially Hazardous Asteroids // American Astronomical Society, DPS meeting. 2003. No.5.

83. Harris A.W. The Impact Frequency of Near-Earth Asteroids // American Astronomical Society, DDA meeting. 2003. No. 8.

84. Laplace P.C. Traite de mecanique celeste, t.t. I, II, Paris, 1799.

85. Margot J.L., Nicholson P.D. A search for asteroids on Earth horseshoe orbits // American Astronomical Society, DDA meeting. 2003. No. 8.164

86. Michel P., Froeschle C, Farinella P. Dynamical Evolution of NEAs: Close Encounters, Secular Perturbations and Resonances // Earth,Moon and Planets, 1996. Vol. 72, P. 151-164.

87. Mikkola S., Brasser R., Wiegert P., Innanen, K. Asteroid 2002 VE68, a quasi-satellite of Venus // Monthly Notices of the Royal AstronomicalSociety, 2004. Vol. 351, No. 3. P. L63-L65.

88. Milani A. The asteroid identification problem II. Proposing identifications // Sezione di fisica matematica. 4.61.1156 - Dicembre 1998.

89. Milani A., Carrino M., Hahn G., Nobili A.M. Dynamics of Planet - Crossing Asteroids: Classes of Orbital Behavior. Project SPACEGUERD// Icarus, 1989. Vol. 78. P. 212-269.

90. Milani A., Nobili A.M. An example of stable chaos in the Solar System // Nature, 1992. Vol. 357. P. 569-571.

91. Milani A., Chesley S.R., Valsecchi G.B. Asteroids close encounters with Earth: Risk Assessment, 1999.

92. Mobberley M. The next big thing coming our way: 4179 Toutatis // Astronomy Now, 2004. Vol. 18. No. 9, P. 25-27.

93. Morais M. H. M., Morbidelli A. The Population of Near-Earth Asteroids in Coorbital Motion with the Earth // Icarus. 2002. Vol. 160, P. 1Ц-9.

94. Morais M. H. M., Morbidelli A. Population of NEAs in Coorbital Motion with Venus // American Astronomical Society, DPS meeting,37, 2005.

95. Morbidelli A., Bottke W. F.Jr., Froeschle Ch., Michel P. Origin and Evolution of Near-Earth Objects // Asteroids III, W. F. Bottke Jr.,A. Cellino, P. Paolicchi, and R. P. Binzel (eds). University of ArizonaPress, Tucson, 2003. P. 409.

96. Muinonen K. Asteroid and comet encounters with the Earth // The dynamics of small bodies in the Solar system: A major key to Solarsystem studies. NATO ASI Series. C: Math. Phys. Scien. Vol.522. KluverAcad. Publ., 1999. P. 127-158.

97. Nesvorny D., Morbidelli A. An analytic model of three-body mean motion resonances // Celes. Mech. Dyn. Astron., 1998. Vol. 71. No. 4.P. 243-271.

98. Peale S. J. Orbital resonances in the solar system // Annu. Rev. Astron. Astrophys. 1976. 14. P. 215-245.

99. Rabinowitz D.L., Bowell E., Shoemaker E.M., Muinonen K. The population of Earth-crossing asteroids // Hazards due to comets andasteroids. Gehrels T.(ed.). Tucson: Univ. Arisona Press., 1994. P. 285-312.

100. Rossi A., Marzari F., Scheeres D.J. Evolution of NEO rotation rates due to close encounters with Earth and Venus // American AstronomicalSociety, DPS meeting. 2003. No. 5.

101. From Newton to Chaos (Ed. Roy A.E., Steves B.A.). New York: Plenum Press, 1995. P. 129-216.

102. Standish E.M. The JPL planetary ephemerides // Celest. Mech. 1982. Vol. 26, 2. P. 181-186.

103. Stuart J.S. Observational Constraints on the Number, Albedos, Sizes, and Impact Hazards of the Near-Earth Asteroids // Thesis (PhD).MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY. 2003.

104. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois corps // Acta Math., 1912. Vol.36. P. 105-179.

105. Tabachnik S.A., Evans N.W. Asteroids in the inner Solar system - I. Existence // Mon. Not. R. Astron. Soc. 319, 2000. P. 63-79.

106. Tancredi G. An asteroid in a Earth-like orbit // Celes. Mech. Dyn. Astron., 1998. Vol. 69. P. 119-132.

107. Tancredi G., Sanchez A. A comparison between methods to compute 1.yapunov exponents // The Astronomical Journal, 121, 2001 February,P. 1171-1179.166

108. Thomas F. Analytical and numerical study of long-term dynamics for trojan-type asteroids / / Abstracts of US/European celestial mechanicsworkshop, 3-7 July 2000, Poznan - Poland, P. 62.

109. Trubetskaya I.A., Shuvalov, V.V. Impacts of 100-km-Diameter Asteroids Against the Earth / / 34th Annual Lunar and Planetary ScienceConference, March 17-21, 2003, League City, Texas, abstract no. 1102.

110. Yoshikawa M. Motions of asteroids at the Kirkwood Gaps H. On the 5/2, 7/2, and 2/1 resonances with Jupiter. Icarus 92, 1991. P. 94-117.

111. Yoshikawa M. Close Encounters of Asteroids / / Seventy-Five Years of Hirayama Asteroid Families. ASP Conference Series. Vol. 63, 1994.P. 28-38.

112. Vernic R. Diskussion der Sundmanschen Losung des Dreikorperproblems / / Zagreb, Sudslavische Akademie der Wissenschaften und Kunste,1954.

113. Ward S.N., Asphaug E. Asteroid impact tsunami of 2880 March 16 Geophysical Journal International, 2003. Vol. 153, No. 3, P. F6-F10.

114. Wiegert P., Innanen K. Earth Trojan Asteroids: A Study in Support of Observational Searches / / Icarus 145, 2000. P. 33-43.

115. Wiegert P., Innanen K.A., Mikkola S. The orbital evolution of Near- Earth asteroid 3753// Astron. J. 1998. Vol. 115. P. 2604-2613.

116. Wisdom J. Chaotic behavior and origin of the 3/1 Kirkwood gap / / Icarus, 1983. Vol. 56. No. 1. P. 51-74.

117. Wisdom J. Holman M. Symplectic maps for the N-body problem / / Astron. J., 1991. Vol.102, No. 4. P. 1528-1538. *

118. Zappala V., Cellino A., Dell'Oro, A. A Search for the Collisional Parent Bodies of Large NEAs / / Icarus, 2002. Vol. 157, Issue 2. P. 280-296.167

119. Zare К., Szebehely V. Time transformations in the extended phase- space // Celest. Mech., 1975, Vol. 11, P. 469-482.168