Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

п 1

Нгуен Жа Бао

ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского энергетического института (технического университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Злотник Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л.К.Мартинсон

кандидат физико-математических наук, доцент М.Э.Эглит

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится "23" декабря 1998 года в 16м часов на заседании диссертационного совета К053.16.16 в Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная улица, д. 13, в аудитории М - 710".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) по адресу: Москва, Красноказарменная улица, д. 17.

Отзывы на автореферат направлять по адресу: Москва, 111250, Красноказарменная улица, д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан " ноября 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совет) кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.П.Григорьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный объект современной теории дифференциальных уравнений. В их число входят системы уравнений движения вязкого газа (сжимаемой жидкости), активно изучаемые в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии и других странах. Одним из важных направлений исследований являются вопросы качественной теории, включая анализ равномерных по t свойств решений (например, равномерной ограниченности плотности сверху и снизу) и поведения решений при t —> +со. Соответствующие результаты имеют особый интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.

В настоящее время такие результаты даны в основном для случая уравнений одномерного движения. Первые из них получили Я.И.Канель, A.B. Кажихов, В.В.Шелухин, а последующие — T.Nishida , M.Okada, T.Nagasawa, I.Straskraba, A.Valli , H.Beiräo da Veiga, A.Matsumura, В.А.Вайгант,А.А.Злотник, S.Jiang, S.Yanagi и др. Однако многие вопросы здесь остаются окрытыми. В частности, явно недостаточно изучены задачи со свободными границами (когда заполняемый газом объем может меняться в процессе движения) и задачи симметрического движения.

Цель работы. Изучить вопросы качественной теории начально- краевых задач для систем квазилинейных уравнений составного типа, описывающих одномерное движение (включая движение с различной симметрией) вязкого баротропного газа при наличии свободных границ Этими вопросами являются наличие равномерных по t оценок решений и стабилизация при t —» +00 без предположений о малости данных. Кроме того, изучить аналогичные вопросы для разностных аппроксимаций некоторых из указанных задач.

Методы исследования. При решении поставленных вопросов применены энергетический метод и метод функционалов Ляпунова, адаптированные с учетом характера изучаемых систем, а также некоторые специальные приемы. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Анализ разностной аппроксимации основан на том, что удается разработать разностные версии названных методов и приемов. Существенную роль сыграло то, что указанные вопросы были ранее изучены А.А.Злотником для задачи с фиксированными границами (как в дифференциальном, так и в разностном вариантах).

Основные результаты и их научная новизна. Исследованы три начально-краевых задачи одномерного движения вязкого баротропного газа: 1) задача с фиксированной левой и свободной правой границами;

2) задача с двумя свободными границами (при массовой силе, зависящей только от /);

3) обобщенная задача 1 о симметрическом движении (не только с плоской, но и с цилиндрической или сферической симметрией), причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от удельного объема ц.

Для каждой из этих задач доказаны:

а) при общей немонотонной функции состояния — равномерная по г энергетическая оценка, равномерные оценки ц снизу и сверху, а также (в задачах 1 и 3) стабилизация скорости и к 0 в норме Ья(П) с любым 1 < д < оо;

б) при монотонной функции состояния — стабилизация решения в норме £2(П), равномерные по / оценки производных решений и их стабилизация в норме Ь2 (О) с оценкой скорости стабилизации.

Изучена также специальная разностная аппроксимация задачи 3 и для нее получены аналоги основных из перечисленных результатов об оценках решения и их стабилизации.

Все эти результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют собой вклад в качественную теорию важного класса систем квазилинейных уравнений механики сплошной среды — уравнений движения вязкого газа — при "больших" данных.

Результаты о специальной разностной аппроксимации позволяют судить о том, что ее можно с успехом применять при практическом вычислении решений на любых (в том числе "больших") временах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах: семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А.Дубинского, семинаре по вычислительной математике и математическому моделированию под руководством доц. А.А.Амосова и проф. А.А.Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), семинаре под руководством члена-корр. РАН Е.И.Моисеева (кафедра общей математики факультета ВМиК МГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 48 наименований. Объем диссертации составляет 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор литературы, обосновывается актуальность темы диссертации и излагаются основные результаты работы.

В главе 1 исследуются свойства и асимптотическое поведение решений задач одномерного движения вязкого баротропного газа со свободной границей.

§1 посвящен постановке начально-краевой задачи и свойствам решения при немонотонной функции состояния. Рассматривается квазилинейная система уравнений

£>Л = 1>и, 7 = 1 ¡р, (1)

и,и = 0{ур0и - р(т])) + * = (2)

в области = (О,М)х(0,+оо), при краевых и начальных

условиях

"Ь =0' =-Яг. ~77°> »1,0 =И°- (3)

Задача записана в лагранжевых массовых координатах так что Д = д / <3?, В = д / дх, а М — полная масса газа. Функции т] > 0, н, р, хе — это удельный объем, скорость, плотность, эйлерова координата (соответственно); функция р — давление (р = /3(77)— уравнение состояния). Постоянная V > 0— коэффициент вязкости. Поставленная задача описывает движение фиксированной массы газа в цилиндрическом канале (вообще говоря, изогнутом) под действием массовой силы g. С одного конца газ замкнут, с другого — находится под действием внешнего давления рг .

Для г б[1,оо] обозначим через Ц.ЦдоЦ, =1 нормы в

пространствах Лебега Ьц (£1), I, (Я'), 1ЦГ (£>); пусть для краткости

1Н112'1!<Н!4,г Обозначим через Ц^. норму в Д.(РП + 1.(1Г) (сумма банаховых пространств понимается стандартно). Нетрудно проверить, что И , ^ при 1 <гх <г<гг<со. Пусть (уу) =М~' \vcix.

Будем предполагать, что g(z,t) = + ДбОг.О. РГ(0 = Рг+ ДРг(0

при и выполнены условия: ||#4||М0у) ^ С0(ч) при всех у>0; А^

измерима на и |Д#(;£,/)|<при Пусть также в §1

функция р{£) непрерывна при > 0 и такова, что

-оо<Ишр((0<+ао, р(+<ю)= Итр(С) = 0. (4)

Функция р определена с точностью до аддитивной постоянной, поэтому условие

(46) не ограничивает общности по сравнению с условием конечности р(+оо); кроме того, в диссертации рассмотрен и случай р(+со) = -оо. Пусть т]а(х) > О на О.

Введем регулярное обобщенное решение задачи (1)—(3) такое, что /7е^1(£г)» « €»*'((?,■) и ф,0>0 в Отпщ всех Т> 0;

здесь ()т = С2х(0,Г). Существование и единственность такого решения в литературе изучены. Будем интересоваться его равномерными по I свойствами и поведением при t —► +оо.

Определим функции £(£) = £ [- />(£')] и ^(ОНЫ'.ОЦ, (объем

газа). Пусть ниже N > 1 — параметр, > 0 и АГ,(ЛГ) >0 0 = 0, 1, 2, ...) — неубывающие по N функции (они могут зависеть от М, V, р, Со и т.д.). Предложение 1.1. Пусть выполнены условия

И, ЧКНМ,,,*. +1ЫЦ. (5)

иа ГГ, , (6)

с постоянной ¡¡>г > 0. Тогда верна энергетическая оценка

Справедливо важное уравнение

1п ц = 1п 7° + V-1/, [р(т1) - ¿\+V"1 Д с а = рГ, - А = /' («° - и) -1, (ДРг - ГЛЯ)

и (/\)(*) = ¡%(х')ск', (/, у)(0= .

С помощью анализа этого уравнения выводятся равномерные оценки снизу и сверху для т].

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (5), (6).

1. Если Л'"1 < 7]°(х) на £1, а также (вместо (4а))

р(0+)ЭНшр(О = -Ко , (7)

то верна оценка снизу К(Аг)"1 2 при е Q.

2. Если т]°(х) < N на О, то верна оценка сверху Г](х,{)< К(Щ при

(х,0е£>-

Справедлив следующий результат о стабилизации и к 0 при / -> +оо. Предложение 1.2. Пусть выполнены условия (5), (6) и условия теоремы 1.1, п. 1. Пусть также |м°| +|Дрг|?< N при некотором ц € [2,со), а

р(£) = 0(\) при -> +оо. Тогда верна оценка ¡¡И!,« + Н«, -(где

K(N) не зависит от q) и |м(-,/)|| -> 0 при t -> +00.

В следующих двух утверждениях выясняется существенность условия (66) в предложении 1.1 и теореме 1.1.

Предложение 1.3. Пусть выполнено условие (5), а вместо условий (6) выполнены условия gs(x)-£j на Mg > рг s. Пусть еще p{Ç)> 0 на R*.

Тогда верно свойство lim V(t) - +00.

Теорема 1.2. (Случай предельного равновесия: gs(%) = const на R*,

О < Mgs - рГл < N). Пусть p(Ç)>0 на R+ и p(QdÇ <+ю (вместо (А)).

Пусть выполнены условия

D,pr еЦ(0,Г) Vr>0, D,pr(t)<0 на R\

Тогда:

1) верна оценка *J*»7(*,0|L +NL.» +¥'2Du\q йК(МУ>

2) сохраняет силу теорема 1.1, п. 1;

3) если р(+оо) = 0 и gs>N~l, то для любого О<£<М при условии T]'>(x)<N при х e[s,M] верна оценка r}(x,t) < K£{N) при (x,f)e[£,A/]xR\'

4) если p(Ç) > 0 на R* и [im p{Ç) > 0, a t]°(x) непрерывна справа при

(->0<

х = 0, то верно свойство

lim 77(0,0 = +°°; (8)

*-*-Н5О

5) если p(Ç) > 0 на R\ р(0") = +со и для некоторого г >1 имеем N'] < Çrр(£) < N при достаточно больших Ç > а Т)°(х) непрерывна справа при х = 0 и N'' <7°(0), то свойство (8) можно уточнить:

K{Ny' [р(/7°(0)Г1 + Kt (Nу1 f] < РШ О)-1

^(ЛО^тДО))"' +K{(N)t] при i > 0. В §2 изучена стационарная задача. Пусть Ag = О, АрГ = 0. Стационарными (не зависящими от О решениями задачи (1) — (3) служат функции и = us(x) s 0 и 7 = 7]s(x) такие, что:

Dpirjs ) = g, ). s Irls на Q; p(r?s )|= pr s. (9) Предположим, что функция p непрерывна и убывает на R*. Обозначим через р(_1> обратную к р функцию. Будем рассматривать решения rjs задачи (9), непрерывные и положительные на О, и такие, что р(т]%(х))е Wj(Q).

Установлены следующие результаты о единственности и существовании решения задачи (9).

Предложение 2.1. Если gJ — невозрастающая на функция, то задача (9) не может иметь более одного решения.

Теорема 2.1. Пусть ) = Я* и выполнены условия (6). Тогда задача (9) имеет решение, удовлетворяющее двусторонним оценкам К(ЫУ <т]Хх)<К(М) при хеП.

В §3 доказана стабилизация решения при убывающей функции состояния. Сначала установлена стабилизация решения в норме Х2(П). Положим

едЧК-.о-7,с-)1|+|«И|, з* =\\г,° -17,1+И-

Теорема 3.1. Предположим, что:

1) выполнены условия (6) и условия

И. + -ИМ,,. М-' <п\Х) на П.

Ми, * С,(у) при Уу > 0, е'Лх) * 0 ча К;

2) функция р убывает на К4 и кроме того, р и р^ удовлетворяют локальному (то есть в некоторой окрестности любой точки из области определения) условию Липшица.

Тогда при / > 0 верна оценка

са = 1/К1№). Как следствие, <52(?) —> 0 при Г +оо.

Если же ||е4'Д£(г)||К, + ||е'гДр/,(г)|2л. < N при некотором Ье(0,а], то

К, при (> 0.

Далее установлена стабилизация Т] и и в норме причем

предварительно доказаны равномерные по I оценки От] и Ии в норме/,2(Г2). Предложение 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1.

1. Если |Г>17°| < N. то < К(Ы).

2. Если + М + +|А/>г||11,.,л< ^ « «°и=0,

положим ¿''Ч^-^'ЧНГ

для / = 0,1 (где 1-1Г НМПМГ ЧНи,)« ЬР°г=Ргт-Рг,-

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1 и р' удовлетворяет локальному условию Липшица.

1. Если \Dt,*\ <N ,то при t> О верна оценка (с а = 1 / KX(N)) Как следствие, 8i0]{t) —> О при t —» +со.

2 Если Ki+M+INw+kU+^L^^^ «

то при t > О верна оценка (с а - 1 / ЛГ^Л^)^

Как следствие, например, при [/) <N12 для некоторого 1 < q < со либо

при ЦДРгЦорг -М" (ЦРгХиры /->+оо имеем: SiU(t)-+ 0 при t —> +00.

В §4 и §5 изучается задача с двумя свободными границами:

D,rj=Du, rj = \/p в Q, D,u = D{vpDu-p(i])) + g(t)BQ,

iypDu - p(t])J^a =-pa(0 {a = 0,M\n L = >Л4.о = Она описывает движение слоя вязкого баротропного газа, находящегося под действием массовой силы g(t) (зависящей лишь от 0, а также внешних давлений

р0(() и pM(t) на свободных границах слоя. Предположим, что //°(х) > 0 на Q, м° еЦ(а) и Pa(t)=Pas + Ара(/) на R+(a = О,М). Оказывается, что для (и) верна явная формула

а функции 7] и Дм = и - (и) удовлетворяют замкнутой системе уравнений (не содержащей g).

По аналогии с §1—3 изучены свойства и поведение при t —»+ со функций г/ и Дм. Первые два результаты относятся к случаю немонотонной функции р. Предложение 4.1. Пусть функция р(<$)

непрерывна при ^ > 0 и удовлетворяет условиям (4). Пусть также jjf/0^ + |ё(;/) | <N и

IMNM;,r. N-l<p^<N(a = 0,M). (10)

где Дм0 = и0 — (uaSj. Тогда верна энергетическая оценка

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия предложения 4.1.

1. Пусть р(о+)= +оо. Если < Т]"(х) на О., то верна оценка снизу

к(му1<т]Мв§.

2. Если г/°(х) < N на П, то верна оценка сверху Т]{х,1) < К{Ы) в ().

Следующие три результата относятся к случае убывающей функции р. Пусть величины 82,8{е)получаются из 8г,8(е)заменой и на Дм, а 8* - из заменой м° на Аи°. Теорема 5.1. Пусть функция рубывает на К* и а также

ри р^ удовлетворяют локальному условию Липшица. Пусть выполнены условия ЛГ1 <77°(:>с) на О, |?;с|| <N и условия (10). Тогда с Ъ(Х)=Р("(Р*(Х))- гдер,{х)={1-М''х)р01 + М'1хрм,, вернаоценка

+ е°'АРа(т) / > О

с а =1/К, (М) . Как следствие, 8г (*) -» 0 при I -» +со .

Предложение 5.1. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1.

1. Если |£>77°| <И,то \рг]\2_ < К(Щ.

2.Если ^^(а = 0,М),тои

Теорема 5.2. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1 и дополнительно р' удовлетворяет локальному условию Липшица. При выполнении условий п. 1,2 предложения 5.1 верны соответственно оценки

+ Х|е"4р.(г)| Д Г>0,

\ а«0М ' )

2 |А(О)-Л,|+КАР.(Г)| 11(01) +

V. а-о м '

+ \\е°'(ЦраХт)и^>0 са = 1/К№).

В главе 2 получены равномерные оценки и доказана стабилизация решений задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от т].

В §1 дается постановка начально-краевой задачи и содержатся

вспомогательные утверждения. Рассмотрим квазилинейную систему уравнений

D,rj = D(rmu), 7] = \1р, (11)

D,u = r"D[v(T))pD{r"u)-p(ij)}+ g[r], (12)

D,r =м (13)

в области Q, при краевых и начальных условиях

"L =0' Шро{гт")~р(п)]\„м =-Рг, (14)

nl0 = ггЧ*), «L = "'(*)• rL = r° W на п <15>

с tj\x)>0 и г°(х) > 0 на £2, где

И*)Г =(m + l)lY(x')dx' на П. (16)

Искомыми являются функции T}{x,t),u{x,t), r(x,t). Использованы обозначения g[r](x)i)= g{r(x,t),t), а > 0, кроме того, т = 0,1,2.

Поставленная задача описывает симметрическое движение вязкого баротропного газа в замкнутом объеме с фиксированной левой и со свободной правой границами. Задача записана в лагранжевых массовых координатах х, t. Значения т = 0,1,2 отвечают плоской, цилиндрической, сферической симметрии соответственно. Предположим, что функции g и рг удовлетворяют тем же условиям, что и в гл.1, §1 (только теперь х е (я,+со)), а функции р и v непрерывны на R*, причем выполнены условия (4) и у{£")> 0 на R*. Лемма 1.1. Пусть выполнены условия

114 МЛ (17)

О < v0 < v(^) на R+, (18)

mtl _ mtl

G(z)s ГSXx'W -—+ »"{a^l^ + Mg^Pr^N, (19)

m +1

где g0> 0 и c0 >0. Тогда верна энергетическая оценка

riu +NL +11 Шр}пь{гт»\

Лемма 1.2. Справедливо уравнение

p{v)-d -D,I'(г~"м) + dt,где А(С)= feM&t,

с d = Pr,s - 1'gM x"g.{x\ 4 - -ml'(r~m~'u2)- Apr + r(r"Ag[r]).

В §1 сформулированы также леммы 1.3 и 1.4 о глобальных оценках решений обыкновенных дифференциального неравенства и задачи Коши.

В §2 выведены свойства решения при немонотонной функции состояния. При помощи лемм 1.2 и 1.3 доказаны равномерные оценки Т] снизу и сверху

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (17) — (19) иусловие N'x < г/°(х)

на О., а также условие (7) (вместо условия (4а),). Тогда верна оценка К(ыУ < Т]{х,{) в Q . Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (17), (18) иусловия

ёЛх)^ ёо на (а,-но), ЛГ' + < рГ_, <Ыс^>0 (20)

(более жесткие, чем (19)), а также условие Т]й(х)< N на О. Тогда верна оценка Т]{х,{) < ^'(Лг) в 2.

В отличие от гл.1 теорема 2.2 ниже непосредственно не используется. Изучена стабилизация и к нулю в норме Ьц (О) при / -»+оо.

Предварительно рассмотрена вспомогательная линейная неравномерно параболическая задача

ЪПу = - Ч») + + / в 0,

И„0=О> ОкОи-^'-Ч'г, ="'(*) на П.

Предположим, что £ е Ь„(<2Т), Ъ > 0, х > 0 и а0, В,Ь е £,(&), ¥ е 12(£?г), / = /0 + Д/ и |Д/| < |/,| +|/2|, причем 6 I,^), ¿ = 0,1, 2, е 12(0,Г) при всех 7>0, а также и0 е (О). Ограничимся обобщенными решениями со свойствами: veL„(Qт)> е!2(<2г), ЦееПРИ всех Пусть

= 9/(9-1)-

Лемма 2.1. Яусть Ъ е ¿„(б), || 1 ||,_в < ^.

/. Пусть 9 е [2,оо). Ясли =|(Ь0)"'и0[ +9||/г||и +

+ ЛИ,„. <®, ^ = /о = 0 и (¿-'""(в, + , < то верна оценка

и свойство

ЦА'М-,*! -> 0 при I -> +00. (21)

2. Если ^^Ц^/^Ц+ЦЛЦ+Ц^Ц^со, А/ = 0 «

оценка |и|| <с2(Ыг)д {с12 + и свойство (21).

Величины с, (Л^ ), с2 (Л^ ) зависят только от N .

Теорема 2.3. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1 и, более того,

н+

|АрД „.„,.„• - N "Ри некотором де[2,со), а р(£) = 0( 1) при ^->+со. Тогда верна оценка |и|| в +||и не зависит от д) и

свойство Ци^,/))) —> 0 при / -> +оо.

В §3 рассматривается стационарная задача. Стационарными решениями задачи (II) — (16) служат функции « = «,(*)= 0 и г/ = }]1(х)>0, г = г1(х)>0 такие, что

9р(ч.) = гП,(г,), гГ(*)=(т + 1)^(х')ЛЧа-+,наП, (22)

(23)

Справедливы следующие результаты о единственности и существовании решения этой задачи, в случае функциир, убывающей на Я*.

Предложение 3.1. Если — невозрастающая на [а,+да) функция, то задача (22), (23) не может иметь более одного решения.

Теорема 3.1. Пусть = и выполнены условия (20).

Тогда задача (22), (23) имеет решение, удовлетворяющее оценкам

< т?5(х)< 0 при хеП.

В §4 изучаются свойства решения при убывающей функции состояния. Доказано две теоремы о стабилизации.Пусть К, > 1 — параметр.

Теорема 4.1. Предположим, что:

1) выполнены условие (17) и условия Ы~х < Т]й(х) на О, функция ^ не возрастает на [а,+<») и

Ж"1 + шах {£, (+ да),О} < рГ1 < N; (24)

2) выполнено условие (18) иусловие у{£)=0( 1) при £ —>+оо,-

3) функция р убывает на Я* и = кроме того, удовлетворяет локальному условию Липшица;

4) существует решение стационарной задачи (22), (23), причем к;'<Т]г{х)<К, на а.

Тогда £,(/)г¡7(-,/)-77,(•)!, + ||м(-,0||0 пРи '-»+<» и, более того верна оценка

с а =1¡Кх (И). Кроме того, верна вспомогательная оценка ||?7 -^ 2 < К{Ь1).

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия

М1+1К1+И,,2)д-+11Ы,*- * *■ - п.

|*1(.„ -при 0 на (й'+а>) (25)

и условие (24). Пусть также выполнены условия 2) — 4) теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда верны оценки

к(му <ф,1)<к(м) в 0,

¿2(,)<К(нУ«[з: +|| +| е-Л/а^(01)] на

с а =1/К, (Лг). Как следствие, 82 (/) —» 0 при / -> +оо.

В §5 выведены равномерные оценки и стабилизация производной решения (при убывающей функции состояния).

Теорема 5.1. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2.

1. Если |От70|:£ ДО, то ЦЯ^ <К{И)I

2. Если ЦРг1н. ЦО,рг1МД,<М, и\_о=0, а

функция V удовлетворяет локальному условию Липшица, то ¡йиЦ^ <К(Ы).

Теорема 5.2. Пусть выполнены все условия теоремы 4.2 и р',у' удовлетворяют локальному условию Липшица.

1. Если 77° | — N, то при ? > О верна оценка

где а =1/К ХМ). Как следствие, при < -» +со.

2.Если МЧММ^!!,,, +\\рГ\1я. «°| =0, то при t > 0 верна оценка

+1г(».РгХ 4,0,1 ■

где а = \/К,(ЛГ).

В главе 3 изучена специальная разностная схема для задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, рассмотренной в главе 2. Для этой схемы удалось установить сеточные аналоги основных результатов главы 2.

В § 1 вводятся обозначения и приводятся вспомогательные результаты.

ПустьяТ* ={х,|О = д:0 <•••<*„ =м] и й>,'2 = {*,_у2| х,_1/2 =(*,.,+х,)/2, 1</<и]

— пара сеток на О с шагами А, = — и Л)И/2 = х|+|/2 - х,_1/2, а

со' - (/у|0 = /0 <*,<••• -»+оо] — сетка на (V с шагами Т1 =

Положим сок =ШН \{х0,хл}, со' =Ш' \{*0}. Определяются разностные операторы

ЯГы/2 = (V - КЖ, ¿Я, = - ,

1*2, = , = ^Л^+К^Г'

Икй л-1 /

Задаются сеточные нормы (с е[1,со))

Ми. при гб[1,оо), Ы , при г = 00. Кроме того,

I11„,~ ¡11,„(I ■ 03 ~ >й,1/2'нюке индексы & и со х я/ опускаются.

Для дифференцируемой функции /(<£") вводится разделенная разность при

Формулируются леммы 1.1 и 2.2 о глобальных оценках решений обыкновенных разностных неравенства и задачи Кошн.

В § 2 выписана специальная двухслойная нелинейная разностная схема для задачи (11) - (16). Она включает уравнения

д,Н = фгч/) на й>;з х сог, (26)

д,и = Хшд1. + В[Х,Х ] на О)" х со' , Е = р(Н), (27)

д,Х = {Хт1Х(т])и на Ш"хб)', (28)

а также краевые и начальные условия

<1о = 0< ]

= -Рг> (29)

и1е = и°, (30) где функции Н° > 0 и А"0 > 0 связаны уравнением

(Г),,'=(ш + 1)/(Я'+а",|св>0. (31)

Искомые функция Н >0 (определенная на со^хш') и функции и,Х> 0

(определенные на Шн х ¡у') являются сеточными аналогами т\ и и, г. Предполагается, что т = 0,1,2, функции р и V удовлетворяют условиям из гл. 2, §1, а gs непрерывна на [¿г,+сс).

В уравнениях (27) и (28) используются специальные коэффициенты

/иА = А(Н;Н ), Х{т) = /{Х]Х . Это дает возможность переписать

функцию Z и уравнение (28) в виде

i=а,а(я)- р(н), (т+О 'а, )=х-и,

что в сочетании с другими уравнениями позволяет вывести важные аналог леммы 1.2 из гл.2 (см. ниже лемму 2.2) и связь между X и Н вида Л""1 ={m + \)lhH + amt'.

Предполагается также, что в[Х,Х ]J=BS{X;,X; )+ДB;{Xf,X! ),

Р/ = prs+APrJ, причем Bs = (X"/XM)g° с gcs =G(X]X ) либо просто

Bs = g, {X), а |ДВ/ {х,х'} * Щ + В1 при 1 < I < п, j > 0 и Х,Х' Ф,+«>) с

Д >0Д >0.

Изучены свойства разностной схемы (26) - (31) при немонотонной р. Пусть Na е (0, //], > 0, et > 0, ег > 0—параметры, причем и £0 + sx + е2 < 1. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия

И, -НИ"0)», +IML +KL 4KIL, (32)

а также условия (18), (19) с jV0 ' в роли N'1 и условие

(зз)

где а > 0. Кроме того, пусть

шах(<а, N0(4v0)"'[г-,"'[Ма"°В2 J + <(Д/>Г)2]} г < 1 на со'. (34)

Тогда при bs =(xm/x{m))g<; верна энергетическая оценка

• IHL +№iL +IHL <K(N).

Лемма 2.2. Справедливо уравнение

5,A {H) = p{H)-dh-d;;{x-»u)+dih с d^p^-ф-вХ

ff„ N-l „ N

cL — —mil

XmX{m) Х(п-{)ии

- АРГ + I'h(X'nAB);здесь = 1.

/

С помощью лемм 1.2 и 2.2 выведены равномерные оценки Н снизу и сверху.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1, условие Ы'1 <Н° на С0у2, а также условие (7) (вместо (4а)/

Тогда при В5 = (хт1х{т))§° верна оценка К(Ы)~Х <Н на со*2 х ш'.

Следствие. Если функции р, у и gt удовлетворяют условиям (7), (46), (18), (19) и (33), а также функция АВ{х,х) непрерывна по Х-а> то пРи условии (34) и при В$ = {Хтразностная схема (26) — (31) имеет

решение.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.1 и, более того, условие (20) с Л^1 в роли Лг"1, а также условие Н" <, N на й)*2.

Тогда при В5 = {Хт / верна оценка Н < К{И) на а^х йГ.

Замечание. Если функция — невозрастающая на [а,-ко), то все результаты §2 верны и при В3 = g,{X). Кроме того, если р не возрастает на Я* (вместоусловия (33)), то условие (34) принимает вид

+г-'(АРг)1] г<1 на <а\ (35)

§3 посвящен сеточной стационарной задаче

= ё,(Х.) на йЛ X?1 = (т +1 ]1кН, + в"' на а" , (36)

(37)

где Н,> 0 на со^г и X, >0 нал;*. Подобно гл.2, §3, справедливы следующие

результаты об этой задаче при функции р, убывающей на Я*.

Предложение 3.1. Если — невозрастающая на [а,-Н»), то задача (36), (37) не может иметь более одного решения.

Теорема 3.1. Пусть )= Я* и выполнены условия (20).

Тогда задача (36), (37) имеет решение, удовлетворяющее оценкам

КХмУиН^КХ^нао^.

В §4 рассмотрен случай убывающей функции р. Пусть £'а = ]~[(1 + ат,) с

а> 0— сеточный аналог функции еа, а Теорема 4.1. Предположим, что:

1) выполнено условие (32) и < Н°на <У,*3, а также функция не возрастает на [я,-К») и удовлетворяет условию (24) с Л^1 в роли N~^;

2) выполнено условие (18) и условие 0(1) при % —> -ко ;

3) функция р убывает на Я* и кроме того, р'"1' удовлетворяет локальному условию Липшица;

4) существует решение стационарной задачи (36), (37), причем

5) выполнено условие (35) и эирг^ < N.

Тогда при В5 = gl (X) верна оценка (с а = 1/К{ (лф

8'л < к{и1Б'а Г{1+ц [£ +в,)]■+ У

и, как следствие, -» 0 при } -> +со. Кроме того, \\Н - 2 < К(ы).

Если дополнительно gs удовлетворяет левому условию (25), то указанные результаты верны и при

Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия

М-' <Н° <И на ¡11% +||ДРг||2,и, <N.

условия (25), (24) с Л^' в роли А'"1, на ^ и условия 2—5 теоремы 4.1 и дополнительно функция р удовлетворяет локальному условию Липшица. Тогда при В, = ёХх\(Хт!Х(т])£ верны оценки

К{ИУ <Н<К(И) на со1п хШ' ,

11/2 1

с а = 1/АГ, (N)u, как следствие, 5¡h -> 0 при j —> +<».

Автор признателен профессору А.А.Злотнику за постановку задачи и помощь в работе.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа // Матем. заметки - 1994 - Т. 55 - № 5 - С. 51-68.

2. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. К поведению при /-> + « решений одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами // Дифференц уравнения - 1994 - Т. 30 - № 6 - С. 1080-1082.

3. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Стабилизация решений уравнений вязкого баротропного газа со свободными границами // Международный семинар "Дифференц. уравнения и их приложения " (г. Самара, 27-30 июня 1995г.). Тезисы докладов. Самарский ун-т - 1995 - С. 52.

4. А.А.Злотник, Нгуен Жа Бао. Глобальные свойства симметрических решений задачи движения вязкого баротропного газа со свободной границей // Вестник МЭИ - 1998- №6.-С. 52-61

Печ. л'/, 25 Тираж \ О "О Заказ -J Типография МЭИ. Красноказарменная, 13

Ч "

Московский энергетический институт (технический университет)

На правах рукописи

Нгуен Жа Бао

ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — проф., доктор физ.-матем. наук А.А.Злотник

Москва - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...............................................................................4

Глава 1. СВОЙСТВА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Начально-краевая задача со свободной границей. Свойства

решения при немонотонной функции состояния..................................26

§2. Стационарная задача............................................................38

§3. Стабилизация решения при убывающей функции состояния.........41

§4. Свойства решения задачи с двумя свободными границами............47

§5. Стабилизация решения при убывающей функции состояния в задаче с двумя свободными границами..............................................51

Глава 2. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО БАРОТРОПНОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§1. Начально-краевая задача. Вспомогательные утверждения..............56

§2. Свойства решения при немонотонной функции состояния.............62

§3. Стационарная задача.............................................................69

§4. Свойства решения при убывающей функции состояния...............72

§5. Свойства производной решения при убывающей функции состояния..................................................................................77

Глава 3. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧИ СИММЕТРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

§ 1. Обозначения и вспомогательные сведения................................83

§2. Специальная разностная схема. Свойства при немонотонной

функции состояния.....................................................................87

§3.Стационарная разностная задача.............................................97

§4.Свойства решений разностной схемы при убывающей функции состояния................................................................................100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................108

А

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................109

ВВЕДЕНИЕ

- Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный и интересный объект современной теории дифференциальных уравнений. Это обусловлено их широким применением в физике, механике и технике. В число таких уравнений входят различные системы уравнений движения вязкого газа (иначе говоря, сжимаемой жидкости) [7]. Разнообразные вопросы теории этих систем активно изучаются в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии, Китае и других странах. Это вопросы существования, единственности, регулярности решений, а также вопросы об оценках решений и их асимптотическом поведении, в частности, при неограниченном возрастании времени (т.е. при i->+<»). Соответствующие результаты представляет наибольший интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.

К настоящему времени такие результаты «в большом» доказаны в основном для случая уравнений с одной пространственной переменной (т.е. уравнений одномерного движения). Первые результаты о равномерных по t оценках решений и их глобальной стабилизации при t -> +00 установили для модели баротропного газа Я.И.Канель [24] (задача Коши), A.B. Кажихов [23], В.В.Шелухин [28,29] (начально-краевые задачи). В дальнейшем для моделей баротропного и теплопроводного газа подобные вопросы изучали A.B. Кажихов [7], P.Secchi и A.Valli [42], A.Valli [45,46], T.Nishida [40], T.Nagasawa [38,39], I.Straskraba и A.Valli [44], H.Beiräo da Veiga [31,32], В.А.Вайгант [9,10], А.А.Злотник [12—16],

A.Matsumura [34], M.Okada, T.Makino и S.Matusu-Necasova [41,36,37], I.StraSkraba [43], A.Matsumura и S.Yanagi [35], S Jiang [33], S.Yanagi [47] и др. В перечисленных работах рассмотрены уже не только уравнения движения с плоской, но и с цилиндрической или сферической симметрией. В уравнениях стала учитываться массовая сила. Кроме задач о движении газа в замкнутом фиксированном объеме, исследовались задачи со свободными границами, когда газ находится в замкнутом, но не фиксированном объеме, граница которого (или ее часть) движется по а priori неизвестному закону.

Одновременно выявились многие трудные вопросы, которые пока

ПР _

остались открытыми. Так, не удавалось в полной мере изучить задачи со свободными границами — с "большими" начальными данными и при наличии "большой" массовой силы (даже в случае плоской симметрии). Попытка восполнить этот пробел для модели баротропного газа, причем как в случае плоской, так и более сложной симметрии, составляет основное содержание (гл. 1 и 2) данной диссертации. При этом развивается на случай свободных границ техника работы А.А.Злотника [12].

Разработка и исследование "в большом" численных методов решения уравнений движения вязкого газа также является важной проблемой. Для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа такое исследование разностных методов было дано А.А.Амосовым и А.А.Злотником [1—3] (см. также Б.Р.Рысбаев, Ш.Смагулов [27]). На случай .уравнений осесимметричного движения часть их результатов перенес А.Штиконас [30]. Перечисленные работы связаны с изучением разностных решений на произвольном, но конечном отрезке времени. Исследование решений при всех t> 0 было дано А.А.Злотником и

А.А.Амосовым [17] и А.А.Злотником [11,48] для задач о движении в фиксированном объеме. Возможность перенесения техники исследования с дифференциального случая на разностный играет принципиальную роль для теории разностных методов и отнюдь не всегда реализуема. В гл. 3 диссертации это сделано для задачи симметрического движения со свободной границей (изученной в гл.2) и (обобщенного) разностного метода ее решения из [30]. При этом существенную роль сыграли построения работы [48], где дана разностная версия техники работы [12].

Изложим основные результаты диссертации.

В главе 1 исследуются свойства и асимптотическое поведение решений задач одномерного движения вязкого баротропного газа со свободной границей.

§1 посвящен постановке начально-краевой задачи и свойствам решения при немонотонной функции состояния. Рассматривается квазилинейная система уравнений

Дт7 = £>и, 77 = 1//?, (1)

Дм = Б{урОи - р(т])) + ё(хе ,0, * = [т](х',0<±с' (2)

в области (х, е = х = (о, М) х (0,+со), при краевых и начальных условиях

Со = °> - РМ) и = - Рг > Со = >7° > 4=0 = М° • (3)

Задача записана в лагранжевых массовых координатах х,?, так что Д = д1Ы, И = д/дх, а М — полная масса газа. Функции 7]>0,и, р, хе — это удельный объем, скорость, плотность, эйлерова координата (соответственно); функция р — давление (р = р{?])— уравнение состояния). Постоянная V > 0— коэффициент вязкости. Поставленная

^ R+ нормы в

задача описывает движение фиксированной массы газа в цилиндрическом канале (вообще говоря, изогнутом) под действием массовой силы g. С одного конца газ замкнут, с другого — находится под действием внешнего давления рг.

Для q, ге[1,оо] обозначим через |||

пространствах Лебега lq (Q), lr (R+), lqr (q) ; пусть для краткости

IHhlli'lli = 1|-|12,2- Обозначим через Ц^ норму в ^(R^ + LJR*) (сумма банаховых пространств понимается стандартно). Нетрудно проверить, что Щ г]R+ < 2||w|rR+ при 1 < Tj < г <г2 < со. Пусть (w) =М'Х \awdx.

Будем предполагать, что g(z, 0 = gs(z) + Ag(Z, 0> Pr(t) = Pr,s+^Pr(t) ПРИ и выполнены условия: <C0(v)

при всех v>0; Аg измерима на R+xR+ и \kg{%,t)\ < Ag(f) при j,ieR+. Пусть также в §1 функция непрерывна при (>0 и такова, что

- оо < lim р(£) < +оо, р(+оо) = lim р{£) = 0. (4)

Функция р определена с точностью до аддитивной постоянной, поэтому условие (46) не ограничивает общности по сравнению с условием конечности />(+со); кроме того, в диссертации рассмотрен и случай £>(+оо) = -оо. Пусть т]°(х) >0 на Q.

Введем регулярное обобщенное решение задачи (1)—(3) такое, что г/еРГ21(дг), DD,7]€L2(QT), ueW?'l(QT) и r/(x,t)>0 в QTuри всех Т> 0; здесь QT =Qx(0,T). Существование и единственность такого решения в

литературе изучены. Будем интересоваться его равномерными по t свойствами и поведением при t -» +оо.

Определим функции Е(£) = £ [-р(£')]с1£' и = (объем

газа). Пусть ниже N > 1 — параметр, К(Щ > 0 и К,(Ы) > 0 (/ = 0, 1, 2, ...) — неубывающие по N функции (они могут зависеть от М, V, р, Со и т.д.). Предложение 1.1. Пусть выполнены условия

еЛх)^?, на 1**, И-' +Щ,<рГ1<Ы, (6)

с постоянной > 0. Тогда верна энергетическая оценка

И.,.+И(7)|„+Ы,.+ 1КН1 5 к» (ло-

Справедливо важное уравнение

1п ц = 1п 7/° + V4/, [р(г]) - а] + V"1 А

и (1\)(х) = £му(х')сЬс', (.I, у)(0 = •

С помощью анализа этого уравнения выводятся равномерные оценки снизу и сверху для г].

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (5), (6).

1. Если Ы~х < Т]°(х) на О., а также (вместо (4а))

М0+) = НтЖ) = +<», (7)

то верна оценка снизу К{1V)"1 < ?](х^) при (л:,?) £ Q.

2. Если г}°(х)<М на О., то верна оценка сверху г]{х,{)<К{Ы) при

(х,0е<2.

Справедлив следующий результат о стабилизации и к 0 при ^ —> +оо. Предложение 1.2. Пусть выполнены условия (5), (6) и условия

теоремы 1.1, п. 1. Пусть также |м° + ||4Рг||[900]К+ ^ N при некотором де[2,со), а р(£) = 0( 1) при -> +со. Тогда верна оценка

зависит от ц) и ||м(-,*)|| 0 при

/->+00.

В следующих двух утверждениях выясняется существенность условия (66) в предложении 1.1 и теореме 1.1.

Предложение 1.3. Пусть выполнено условие (5), а вместо условий (6) выполнены условия gs(z)^:gs на , Mgs >рг>8. Пусть еще р(£)>0 на

R+. Тогда верно свойство lim V{t) = +оо.

f->+00

Теорема 1.2. (Случай предельного равновесия: gs(%) = const на R+, О < Mgs= pr s < N). Пусть p(Ç) > О на R+ и p{Ç)dÇ < +оо (вместо (4);. Пусть выполнены условия ,

D,pr s Lx (О, Г) V Т > 0, Dtpr (0 < 0 на R+

Тогда:

1) верна оценка ^Цд^ОЦ^ + И7?)!,,« + Н2,=о +||Ртс>и\д

2) сохраняет силу теорема 1.1, п. 1;

3) если р(+оо) = 0 и gs> N~\ то для любого 0 < е < М при условии 77°(х)<7У при хе[е,М] верна оценка г}{х^)<КЕ{Ы) при

4) если р(£) > 0 на и Ишр(£) >0, а Т]°(х) непрерывна справа при

С-+0+

х = 0, то верно свойство

Нт 77(0,0 = +°°; (8)

/-»+00

5) если р(£)> 0 на р{ 0+) = +оо и для некоторого у >\ имеем < р(£) < N при достаточно больших ^ > ¿¡0, а Т]°(х) непрерывна справа при х = 0 и < ?]й(0), то свойство (8) можно уточнить:

К{ыу1 [р(т/° (О))-1 + кх (лт1 ^<р(т ог1

^^(^(^(О^-'+^даг] при t>0. В §2 изучена стационарная задача. Пусть Ag = О, АрГ = 0. Стационарными (не зависящими от г) решениями задачи (1) — (3) служат функции и = и5(х) = 0 и ?] = г/5(х) такие, что:

Е>РЮ = ё,(хеЛ хе,*=177* на О; рШ\х=м =Рг,- (9) Предположим, что функция р непрерывна и убывает на ^. Обозначим через р(~х) обратную к р функцию. Будем рассматривать решения 7]3 задачи (9), непрерывные и положительные на О, и такие, что р(т]х (х)) е Установлены следующие результаты о единственности и

существовании решения задачи (9).

Предложение 2.1. Если gs — невозрастающая на К.* функция, то задача (9) не может иметь более одного решения.

Теорема 2.1. Пусть р(^+) = и выполнены условия (6). Тогда задача (9) имеет решение, удовлетворяющее двусторонним оценкам К(М)-1 <(х)<К{Щ при хеО.

В §3 доказана стабилизация решения при убывающей функции состояния. Сначала установлена стабилизация решения в норме Ь2{0).

Положим = + =

+

и

Теорема 3.1. Предположим, что: 1) выполнены условия (6) и условия

+ £

«Ч + Иипг на а,

< С, (у) при Уу > 0, £ (Х) < 0 на ;

и

2) функция р убывает на К* и = кроме того, р

р^удовлетворяют локальному (то есть в некоторой окрестности любой точки из области определения) условию Липшица. Тогда при ? > 0 верна оценка

¿2(0.0

з2 (о < к(юе-« [з2°+1*" +1 Iе" арг (4

с а -1 / Кх {Щ. Как следствие, д2 (?) 0 при >+оо.

Если же |еАгЛ^(т)||]К++|еАгАрг(т)|2К+<ЛГ при некотором Ье(0,а],

то 32 (0 < (Л/>~4' прм Г > 0.

Далее установлена стабилизация г} и и в норме (О), причем предварительно доказаны равномерные по 7 оценки £>77 и Би в норме Ьг (О).

Предложение 3.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1.

1. Если

¿V <М,тор4^<К(Ю.

2. Если ^ФМ+М«- +|Ыи ** "

тои\\1Ц2х<К{И).

х=0

0,

(1)

+

и

о

Положим = +1К>о|Г, =

для / = 0,1 (где 1НГЧНИНГ НМи) и АР? =РгФ)-Рг„-

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1 и р'

удовлетворяет локальному условию Липшица.

1. Если ¡-От?0)) ^ N, то при / > 0 верна оценка (с а = \!КХ{Щ)

¿(0) (0 < К2 (N)e-« + У №т\т Как следствие, 8{й) (?) -> О при t -> +00.

+

2. Если ||D77°|| + |Dm0 то при t> О верна оценка (с а-1 / KX{N))

Sm(t) < K2(N)e~at +1 Ар? I + ||e-Ag(r)||Mo>

+ ИАё1ад+ +\\Pr+||ДРг||Ы;К^ЛГ и и0^ =0,

+

e"(D,PrmI

Как следствие, например, при \В,рг\\чН+ <N12 для некоторого \<q<<x> либо при ||A/v|Lr+ ^Nu (Dtpr)(t) 0 при t -» +00 имеем: <5(1)(?) -» 0 при t->+00.

В §4 и §5 изучается задача с двумя свободными границами:

Dji = Du, 77 = l/р в Q, D,u = D(vpDu - p(T})) + g(t) в Q,

(vpDu-p(77)|x=a =-Pa(t) {cc^OMUL = WL =M°' Она описывает движение слоя вязкого баротропного газа, находящегося под действием массовой силы g{t) (зависящей лишь от t), а также внешних давлений p0(t) и pM(t) на свободных границах слоя. Предположим, что

77°(лг)>0 на Q, еLx(Q) и pa{t) = patl+JSpa(t) на R+(a = 0,M). Оказывается, что для (и) верна явная формула

(u)=(u°)+l[g-M-l{pM-p0)]dT,

а функции г] и А и = и-(и) удовлетворяют замкнутой системе уравнений (не содержащей #).

По аналогии с §1—3 изучены свойства и поведение при /~>+оо функций 7] и А и. Первые два результаты относятся к случаю немонотонной функции р.

Предложение 4.1. Пусть функция непрерывна при ^ >0 и

удовлетворяет условиям (4). Пусть также Ц^"! +) Ц, и

ММ|4Р«1и Ы'Х ípa^N{a = 0,M), (10)

где Аи° =и° - (и°) • Тогда верна энергетическая оценка

1С+14,+ 1КН•

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия предложения 4.1. 1. Пусть /?(о+)= +оо. Если < г}°(х) на £1, то верна оценка снизу

К^У <7!{х,{) в <5.

2. Если 77°(х)< N на О, то верна оценка сверху г/(х^) < К(ы) в ¡2 . Следующие три результата относятся к случае убывающей функции

Р-

Пусть величины в2,5получаются из заменой и на Аи, а

из 81,д^» заменой м° на А и0. Теорема 5.1. Пусть функция рубывает на и , а

также р и р^ удовлетворяют локальному условию Липшица. Пусть выполнены условия И~х < на О, т/° < N и условия (10). Тогда с

II II оо

Ч,(х) = Р(~П (р* (х))> гдеР* (х) = (1 - м~'х)р^ + м~1хРм,» верна оценка

8г (0 < К(ну (+ 2 Л ^ АР. М Ц О

а=0,А/

с л =1/Х, (ТУ) . /Сяк следствие, ё2 (?) -» 0 при / +оо .

Предложение 5.1. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1.

1. Если ||£>77°||<ЛГ, то ||^||2в < К(Ы).

2.Если МММЧМ.*- <М(а = 0,М),тои

Теорема 5.2. Пусть справедливы все условия теоремы 5.1 и дополнительно р' удовлетворяет локальному условию Липшица. При выполнении условий п. 1,2 предложения 5.1 верны соответственно оценки

8Щ<К{ы)г"{8™ + I (>0,

а=0М

а=0М

е-АРа(т

¿2(0,0

+

са^/КХм).

В главе 2 получены равномерные оценки и доказана стабилизация решений задачи симметрического движения вязкого баротропного газа со свободной границей, причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от Г].

В §1 дается постановка начально-краевой задачи и содержатся вспомогательные утверждения. Рассмотрим квазилинейную систему уравнений

Дт7 = ДгиМ), п = 1/р, (И)

Ди = г"£)[К17)рО(г-«)- 8[г], (12)

Д г=и (13)

в области <2, при краевых и начальных условиях

«и = Шрп{гти)~р{1т)]\х^ =-рг, (14)

77|(=0 = (*), г/|(=0 = и\х\ г|г=0 = г°(х) на О (15)

с т/°(х) > О и г°(л;)>0на О, где

{г\х)У*Х ={т + \)\171\х')с1х' + ат* на О. (16)

Искомыми являются функции Т]{х^\и{х^\ г(х,{). Использованы обозначения gИ(.м)=: ё(г(х>0>0 > о > О, кроме того, тп = 0,1,2.

Поставленная задача описывает симметрическое движение вязкого баротропного газа в замкнутом объеме с фиксйрованной левой и со свободной правой границами. Задача записана в лагранжевых массовых координатах х, *. Значения т = 0,1,2 отвечают плоской, цилиндрической, сферической симметрии соответственно. Предположим, что функции ^и рТ удовлетворяют тем же условиям, что и в гл.1, §1 (только теперь X € (я,+оо)), а функции р и V непрерывны на причем выполнены условия (4) и > 0 на IV.

Лемма 1.1. Пусть выполнены условия

И,+14|')1+И+Ммг +М*.

0<у,йу{()наЛ\ (18)

»1+1 _

//^Ж^о"-;— + со »4°,+°о),ЛГ! +Щ0<Рг$<Ы,

т +1

где g0 > 0 и с0 > О. Тогда верна энергетическая оценка

ГЦ. + +К,+II ШрТ»{г-и) ||е < ф).

Лемма 1.2. Справедливо уравнение

ЦА(*1)=рМ-с1-Ц1'{г-ти)+а1,где А(С)= $ГКЙ^,

В §1 сформулированы также леммы 1.3 и 1.4 о глобальных оценках решений обыкновенных дифференциального неравенства и задачи Коши.

В §2 выведены свойства решения при немонотонной функции состояния. При помощи лемм 1.2 и 1.3 доказаны равномерные оценки 1] снизу и сверху

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (17) — (19) и условие < г]й{х) на О, а также условие (7) (вместо условия (4а)). Тогда верна оценка К(м)~1 < ?](х,() в (2 . Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (17), (18) и условия

£ (X) * не + Щ0 < рГ8 <И с-£й> 0 (20)

(более жесткие, чем (19)), а также условие < N на

О.

Тогда верна оценка г/(х^) < К(ы) в <2.

В отличие от гл.1 теорема 2.2 ниже непосредственно не используется.

Изучена стабилизация и к нулю в норме ¿9(С2) при *->+оо.

Предварительно рассмотрена вспомогательная линейная неравномерно параболическая задача

= -¥) + *„* + / в <2,

И,=0 = °> - = , Н,^ = М на а. Предположим, что е 4о(бг)> 6 > 0, ^ > 0и а0, Дбе!,^),

/ = /0+А/ и |Л/| ^ |/1| + |/2|, причем

/, е I, (£>7, )Д = О,1, 2, ^ е 12 (О, Г) при всех 7>0, а также и0 е X, (О). Ограничимся обобщенными решениями со свойствами: геЬ^^т), IV е ¿2 (0Г), Ди е Ьх (£>г) при всех 7>0. Пусть д' = д /(д -1). Лемма 2.1. Яусть 6 е 4,(0), || 1 / ^ Ц < .

Л Я^сть [2,оо). Ясли +

+ <00' ^ = /о =0 и Р'11"'(а0 + Я~1ЦЬ)г | то верна оценка

и свойство

Цб'М'»*)!, 0 при * -> +оо. (21)

2 Ясли +||/о||1;00 + МЦ- <с0' А/ = 0 и

([¿"1/2<я0 +1)|||^|||2 <ЛГ2, то при любом де[2,оо) верна

оценка ^ <с2^х)д (с12 +И2) и свойство (21).

Величины сх (Л^ ), с2 (л^ ) зависят только от Nх .

Теорема 2.3. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1 и, более

того,

+ ||Арг|9оо]К+при некотором #е[2,оо), а р(^) = 0( 1) при ^ —> +оо. Тогда верна оценка | м|| и + ||м ||в <К{ы)д (гдеК(и) не зависит от д) и свойство —> 0 при ? —» +оо.

В §3 рассматривается стационарная задача. Стационарными решениями задачи (11) — (16) служат функции и = ив{х)=0и г} = т]5(х)>0, г - г1!(х)> 0 такие, что

Мъ) = гГ8,(гЛ гГ^х^т + Щф'^'