Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими данными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Задача о заполнении объёма вязким баротропным газом.

1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

1.2. Построение приближённых решений.

1.3. Априорные оценки приближённых решений.

1.4. Предельный переход.

1.5. Единственность обобщённого решения.

Глава 2. Задача о протекании вязкого баротропного газа.

2.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

2.2. Построение приближённых решений.

2.3. Априорные оценки приближённых решений.

2.4. Предельный переход.

Глава 3. Задача об одномерном движении вязкого теплопроводного газа.

3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

3.2. Полудискретная параболическая задача.

3.3. Полудискретный метод и доказательство теоремы существования.

3.4. Предельный переход.

3.5. Доказательство теоремы единственности.

Глава 4. Одномерная задача о заполнении объёма вязким теплопроводным газом.

4.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

4.2. Построение приближённых решений.

4.3. Априорные оценки приближённых решений.

4.4. Предельный переход.

Одним из важнейших классов задач в теории дифференциальных уравнений и в приложениях являются краевые задачи механики сплошной среды. С математической точки зрения они вызывают большой интерес разнообразием вариантов постановок задач и методов их исследования. К настоящему времени получен ряд важных результатов по разрешимости задач механики сплошной среды и методам их решения, однако многие вопросы, особенно в неклассической нелинейной постановке, остаются не решёнными, в связи с чем эти проблемы не утратили своей актуальности.

Среди математических задач механики сплошной среды интересный класс представляют одномерные задачи для системы уравнений Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой среды (газа или жидкости). Задачи, описывающие протекание, то есть движение переменных масс через различные объёмы, каналы и т. д. являются весьма сложными и ещё не достаточно изученными. Как известно [8], [33], [34], в лагранжевых массовых координатах (ж, t) движение вязкого сжимаемого баротропного газа (жидкости) описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений drj ди dt дх' ди дет ди 1

1)

2) дхе в области Q, где х — лагранжева массовая координата, t — время, г) — удельный объём (р — плотность), и — скорость, а — напряжение, р — давление (причём здесь р = p{rj) — уравнение состояния), v — коэффициент вязкости, д — плотность массовых сил, хе — пространственная эйлерова координата.

В случае, когда учитывается тепловой баланс, система (1)-(3) дополняется уравнением сохранения энергии де Эк ^ ди ^ ^ ^^дв dt дх дх ' дх

Здесь е — внутренняя энергия, в — абсолютная температура, —7Г — тепловой поток, Л — коэффициент теплопроводности, / — плотность источников тепла. В настоящей работе изучается случай совершенного политропного газа с уравнением состояния Менделеева-Клапейрона р = крО и простым выражением для энергии идеального газа е = сув, где су — теплоёмкость.

В настоящей диссертации системы (1)-(3) и (1)-(4) дополняются начальными условиями х

T)\t=Q = Tj°(x)> Ч*=0 = U°(x), Xe\t=Q = x°e(x) = J 7]°(x')dx', 6\t—Q = 0°(x), 0

5) граничными условиями первого рода для скорости

U\x=a(t) = 4l(0> U\x=b(t) = U2(t) (6) и одной из пар граничных условий для температуры

9\x=a(t) = 9l(t)> Q\v=b{t) — (О J Pi)

0\x=a(t) = 01 (*), 7rU=b(t) + = X(t)' (Ь)

В случае задач протекания функция щ (t) имеет смысл скорости втекания вещества в канал через левую границу, а функция U2(t) может иметь смысл скорости движения непроницаемой правой границы в задачах о заполнении объёма или скорости истечения через неподвижную правую границу в задаче о протекании. Здесь a(t) и b(t) описывают соответственно левую и правую границы области Q. Если условиться считать, что вещество может только втекать через левую границу, а через правую возможно только истечение, то они имеют следующий смысл: |a(i)| — масса вещества, поступившего в канал за время а X — b(t) (где X — масса газа в момент t = 0) означает массу ушедшего из канала вещества. В случае непроницаемой правой границы (задача о заполнении объёма) b(t) = X. Кроме того, задаются условия v\x = a(t) = Va(t), Xe\x=a{t) = 0. (8)

Проведём обзор наиболее важных результатов о разрешимости системы уравнений движения вязкой сжимаемой среды.

Начало систематического изучения корректности задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемой среды было положено в работах Graffi D. [39], Serrin J. [53], и Nash J. [49]. В работе [39], являющейся, по-видимому, первой работой по проблеме разрешимости задач для уравнений движения вязкой среды, доказана теорема о единственности классического решения одной задачи для случая баротропного газа. В работе [53] были даны постановки основных краевых задач для систем уравнений вязкого газа и также доказаны теоремы о единственности классических решений этих задач. Отметим, что в [39] и [53] не была решена проблема разрешимости поставленных в них задач. Впервые этот вопрос был исследован в работе [49], где было установлено существование классического решения задачи Коши "в малом", то есть на достаточно малом промежутке времени.

В дальнейшем результаты о локальном существовании и единственности классических и обобщённых решений начальных и краевых задач были получены в работах Вольперта А. И. и Худяева А. И. [16], Солон-никова В. А. [35], Tani А. [57] и др.

Первым результатом об однозначной разрешимости "в целом" по времени является работа Канеля Я. И. [28]. В ней установлена однозначная разрешимость задачи Коши для одномерной системы уравнений вязкого баротропного газа с монотонной функцией состояния (зависимость давления р от плотности р имеет вид р = Rp1). Результаты о глобальной разрешимости и единственности решений начально-краевых задач для модели Бюргерса были получены в работах Кажихова А. В. [21], Itaya N. [43], Tani А. [56].

Наиболее важные результаты в теории одномерных задач движения вязкой сжимаемой среды был получен в период с 1975 по 1990 годы в цикле работ Кажихова А. В. [19]—[22] и его учеников — Белова С. Я. [9]—[11], [37], Вайганта В. А. [12]-[15], Николаева В. Б. [23], Шелухина В. В. [24] и других авторов. Важный вклад внесён также в работах Hoff D. [40]—[42], Serre D. [51], [52], Fujita Yashima H. и др. [38], [58], Kawohl В. [45], Kawashima S. and Nishida T. [44], Lukaszewics G. [46], Matsumura A. and Nishida T. [47], [48], Padula M. [50], Song Jiang [54], [55]. В этих работах исследованы основные проблемы, представляющие теоретический и практический интерес: наличие внешних сил, разрывные граничные данные, коэффициенты вязкости и теплопроводности, зависящие от плотности, температуры и т. д.

Важное место в изучении обобщённых решений одномерных задач занимают исследования Амосова А. А. и Злотника А. А. [1]—[5], [17], [18]. Они посвящены изучению начально-краевых задач для систем вида (1)-(3) и (1)—(4), описывающих одномерное движение фиксированных масс вязкой среды и послужили основой для исследований диссертации. Методика исследования подобных задач (энергетический метод, разнообразные приёмы получения априорных оценок, полудискретный метод построения приближённых решений и т. д.), разработанная в указанных статьях, оказалась весьма эффективной при изучении более сложных по своей постановке задач протекания. В перечисленных работах исследование проведено в лагранжевых массовых координатах. Оно показало преимущество таких координат в том смысле, что именно их использование позволяет накладывать минимальные условия на начальные данные.

Особо следует отметить следующие работы по разрешимости задач протекания.

В статье [9] С. Я. Белова положительно решён вопрос о глобальной однозначной разрешимости задачи протекания для модельной системы Бюргерса вязкого баротропного газа в классах Гёльдера. Эта задача была исследована при условии принадлежности начальных и граничных данных классам С1+а, С2+а, а Е (0,1), выполнении условий согласования на границе области; кроме того, в этой постановке вязкость постоянна и не учитываются внешние силы.

В [10] С. Я. Беловым рассмотрены задачи протекания для системы уравнений вязкого баротропного газа с монотонной функцией состояния р = Rpy и для системы уравнений вязкого теплопроводного газа с уравнением состояния р = Ярв и зависящим от температуры 6 коэффициентом теплопроводности. Для граничных данных из пространства W\ и при выполнении условий согласования на границе (несколько более слабых, чем в [9]) доказано существование и единственность обобщённых решений "в целом", имеющих все обобщённые производные, входящие в уравнения системы, то есть в классе сильных обобщённых решений. По-прежнему, начальные и граничные данные задачи являются гладкими; кроме того, не учитываются внешние силы, а также источники тепла.

В работе В. А. Вайганта [13], а также в [14] и [15] рассмотрена фактически задача из [10], однако наиболее важным моментом является то, что исследование проведено в эйлеровых координатах.

Однако эти работы охватывают далеко не все важные для приложений случаи. Например, в упомянутых работах [9], [10], [13], а также других работах ([11], [12], [14], [15], [37]) скорость втекания или истечения на границах области либо всегда строго отделена от нуля, либо тождественно равна нулю. Наличие условий согласования и гладкость граничных условий также является сильным ограничением.

Целью настоящей диссертации является изучение вопроса о существовании "в целом" и единственности обобщённых решений задач протекания для систем (1)-(3) и (1)-(4) с негладкими данными. Результаты, изложенные в настоящей диссертации, отличаются следующими основными моментами.

1. Постановки рассматриваемых задач отличаются значительно большей общностью и охватывают достаточно широкий класс представляющих практический интересных случаев. Сюда относятся, например, учёт внешних сил, наличие источников тепла в задачах для теплопроводного газа, зависимость вязкости от плотности для случая баротропного газа, достаточно общие уравнения состояния.

2. Ограничения на исходные данные задачи существенно слабее. Например, начальные и граничные данные относятся к весьма широкому классу разрывных функций, таким как пространства Lp или пространство функций ограниченной вариации. Это позволяет исключить условия согласования на границе области, присутствующие при рассмотрении классических и "сильных" обобщённых решений.

Приведём краткое содержание диссертации.

В главе 1 рассмотрена задача о заполнении объёма вязким баротроп-ным газом (1)-(3), (5), (6), (8). Правая граница непроницаема (b(t) = X) и движется со скоростью их, причём на эту скорость накладывается условие несоприкосновения с левой границей (отсутствие вырождения объёма). В отличие от работ, например [10], [13], на скорость втекания не накладывается никаких специальных ограничений и допускается существования моментов времени t, когда ua(t) = 0, т. е. отсутствие втекания. Уравнение состояния р = р(г),х), где р — немонотонная по г] функция, внешние силы описываются достаточно широким классом функций д = д{г) у \Ь у «С g у 3/ • t). В этой главе при начальных условиях rj° е £оо(0}Х)1 0 < с\ < г)°, и0 G Ь2(0,Х), граничных условиях Va £ Ьос(0,Т), 0 < С1 < 7/0, Ui, и2 £ У[0,Т] доказано существование обобщённого решения, удовлетворяющего следующим свойствам:

7?, 1/ry G Loo(Q), ^ 6 L2(Q); и G ~ € L2(g), (9) а также установлена единственность такого решения.

В пункте 1.1 даётся постановка задачи, понятие обобщённого решения и формулировка теорем существования и единственности обобщённого решения.

В пункте 1.2 делается построение последовательности приближённых решений. Это построение основано на аппроксимации расчётной области объединением прямоугольных областей, в которых ставятся задачи о движении фиксированных масс вязкой среды. Этот метод построения приближённых решений (с различными модификациями) используется при изучении остальных задач протекания, которые рассматриваются в главах 2 и 4.

В пункте 1.3 выводятся априорные оценки приближённых решений: энергетическая оценка, оценки удельного объёма сверху и снизу, оценки, выражающие сильную компактность последовательности в пространстве ь2.

В пункте 1.4 осуществляется предельный переход, завершающий доказательство существования обобщённого решения.

В пункте 1.5 установлена единственность обобщённого решения. Этот результат требует получения вспомогательных результатов о разрешимости линейных параболических задач в пространствах V2 и их свойствах в непрямоугольных областях. Показана эквивалентность обобщённых постановок параболических задач в прямоугольной и непрямоугольной областях.

В главе 2 установлено существование обобщённого решения задачи о протекании вязкого баротропного газа через канал фиксированной длины. Этот случай является более сложным (см., например, [8]) так как при наличии истечения вещества через проницаемую границу расчётная область в лагранжевых массовых координатах имеет неизвестную границу. Это приводит к необходимости добавления к системе (1)-(3) ещё одного уравнения относительно неизвестной функции b(t), описывающей эту границу. В работах [9], [10], [37] при изучении классических и об

1 2 1 общённых решений (из пространств W\ и W2' ) для её описания использовалось дифференциальное уравнение db{t) = ux(t) dt rj(b(t),t)'

В настоящей работе следы ux{t) и rj(b(t),t) понимаются в разном смысле. Поэтому дифференциальное уравнение заменено более простым интегральным соотношением, выражающим постоянство длины канала: b(t) X

J 7](х, t)dx = J rf(x)dx EE L, (10) a(t) 0 где L и есть длина канала. При тех же условиях на данные задачи, что и в главе 1, установлено существование обобщённого решения, удовлетворяющего свойствам (9) и, кроме того, доказано, что правая граница описывается функцией Ье И^(0,Т).

В пункте 2.1 даётся постановка задачи и формулировка теоремы существования обобщённого решения "в целом". Условия на данные те же, что и в главе 1 (кроме условия невырождения объёма).

В пункте 2.2 строится последовательность приближённых решений. Интерес представляет специальная кусочно-линейная аппроксимация неизвестной границы с легко устанавливаемыми оценками, основанная на соотношении (10).

В пункте 2.3 выводятся априорные оценки приближённых решений, в пункте 2.4 осуществляется предельный переход.

Глава 3 посвящена одномерной задаче о движении совершенного по-литропного газа (1)-(6), (7i) и (72). Здесь a[t) = 0, b(t) = X (границы непроницаемы). Аналогичная задача с граничными условиями третьего рода изучена в работах [5], [17], [18]. Поэтому эти результаты можно рассматривать как дополненние к указанным работам. Известно [8], что задачи с условиями первого рода для температуры являются значительно более сложными для изучения. В настоящей работе разработан специальный способ полудискретной аппроксимации и метод получения энергетической оценки, которые являются по существу методами из [5], адаптированными к граничным условиям первого рода для температуры. Вывод энергетической оценки основан на специальном мультипликативном представлении температуры для исключения неоднородных граничных условий. Подобное представление применялось в работах Кажихова А. В. при изучении классических и "сильных" обобщённых решений. Работа [7] показала эффективность такого представления и в случае слабых обобщённых решений. К сожалению, эта статья содержит досадную ошибку, состоящую в неудачном выборе комбинации начальных и краевых условий, которым должны удовлетворять компоненты мультипликативного представления. Это привело к неверному обоснованию строгой отделимости искомой температуры от нуля в случае строго положительного начального распределения температуры. В настоящей диссертации эта неточность устранена. В этой главе при начальных условиях rp Е 1/^(0, X), 0 < с\ ^ 77°, и0 Е £2(0, X), 91п0° Е Li(0, X), граничных условиях ui, U2, $2 € V[0, Т1] доказано существование обобщённого решения, удовлетворяющего следующим свойствам: дп ди г]Ah е Ьоо(<2), ~ е l2(Q); « е ь2;00(д), — е l2(Q)\ dt дх (и) в Е Lli00(Q), ~ Е HQ) и, в случае когда 0 < с\ ^ 0°, имеет место свойство 0 < с2 ^ в в Q. Кроме того, установлена единственность такого решения.

В главе 4 на основе результатов главы 3 и при тех же условиях на начальные условия, функции ui, U2, #1 и при условии г/а Е .Loo(О,Г), О < ci ^ г)а установлено существование обобщённого решения задачи о заполнении объёма совершенным политропным газом (1)-(6), (72), (8), удовлетворяющего свойствам (11). Постановка задачи и основной результат приведены в пункте 4.1.

В пункте 4.2 строятся приближённые решения. Для этого в аппроксимирующих областях, построенных в главе 1 применён полудискретный метод. Его построение может оказаться полезным при изучении других вопросов, например, при построении разностных схем.

В пунктах 4.3 и 4.4 соответственно выводятся априорные оценки и осуществляется предельный переход.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [6], [7], [25] [27].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору кафедры Математического моделирования Московского энергетического института Амосову А. А.

1. Амосов А. А. Существование глобальных обобщённых решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.Зб. N4. С.486-499.

2. Амосов А. А., Злотник А. А. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.ЗО. N4. С.596-608.

3. Амосов А. А., Злотник А. А. Единственность и устойчивость обобщённых решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Математические заметки. 1994. Т.55. N6. С.13-31.

4. Амосов А. А., Злотник А. А. О квазиосреднённых уравнениях одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. N2. С.87-110.

5. Амосов А.А., Злотник А.А. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N4. С.3-19.

6. Амосов А. А., Казёнкин К. О. Разрешимость "в целом" одномерной задачи о заполнении объёма вязким баротропным газом с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1995. N6. С.5-21.

7. Амосов А. А., Казёнкин К. О. К вопросу о глобальной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для уравнений движения вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.5-17.

8. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

9. Белов С. Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1981. Вып.50. С.3-14.

10. Белов С. .Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1982. Вып.56. С.22-43.

11. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды. 1983. Вып.59. С.23-38.

12. Вайгант В. А., Папин А. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып.79. С.3-9.

13. Вайгант В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1990. Вып.97. С.3-21.

14. Вайгант В. А. К вопросу о разрешимости "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости //В кн.: Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. Т.1. С.43-51.

15. Вайгант В. А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред // Диссертация доктора физ.-мат. наук. Барнаул. 1998. 234 с.

16. Вольперт А. И., Худяев А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т.87. N4. С.504-528.

17. Злотник А.А., Амосов А.А. Об устойчивости обобщённых решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38. N4. С.767-789.

18. Злотник А.А., Амосов А.А. Корректность обобщенной постановки начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Доклады РАН. 1998. Т.362. N5.

19. Кажихов А. В. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. 1975. Вып.21. С. 18-47.

20. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1976. Вып.24. С.45-61.

21. Кажихов А. В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами / / Динамика сплошной среды. 1976. Вып.26. С.60.

22. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1981. Вып.50. С.37-62.

23. Кажихов А. В., Николаев В. Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т.10. N2. С.77-84.

24. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикладная математика и механика. 1977. Т.41. N2. С.282-291.

25. Казёнкин К. О. Единственность обобщённого решения одномерной задачи о заполнении объёма вязким баротропным газом с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1996. N6. С.71-78.

26. Казёнкин К. О. Одномерная задача о заполнении объёма с подвижной границей вязким теплопроводным газом // Вестник МЭИ. 1999. N6. С.46-58.

27. Казёнкин К. О. Существование глобального обобщённого решения одномерной задачи о протекании вязкого баротропного газа // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. (Принята к публикации.)

28. Канель Я. И. Об одной модельной системе уравнений движениявязкого газа // Дифференциальные уравнения. 1968. Т.4. N2. С.721-734.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989.

30. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва: Наука, 1967.

31. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. СПб.: Издательство "Лань", 1999.

32. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь В. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

33. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Москва: Наука, 1978.

34. Седов Л. И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука. 1970.

35. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости //В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т.56)

36. Шелухин В. В. О структуре обобщённых решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. Вып.6. С.912-920.

37. Belov S. Ya., Belov V. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries // J. Math. Kyoto Univ. 1994. Vol.34. N2. P.369-389.

38. Fujita Yashima H., Padula M., Novotny A. Equation mono-dimensionnelle d'un gas visqueux et calorifere avec des conditions initiales moins restrictives // Ricerche di Matematica. 1993. V.XLII. N2. P.199-248.

39. Graffi D. II teorema di unicita nella dinamika dei fluidi compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V.2. P.99-106.

40. Hoff D. Construction of the solutions for compressible, isentropicNavier-Stokesequations in one space dimension with nonsmooth initial data // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1986. Sect. A 103. P.301-315.

41. Hoff D. Global existence for 1-d, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V.303. N1. P.169-181.

42. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V.114. P.15-46.

43. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // Journ. Math. Kyoto Univ. 1974. V.14. N1. 127-177.

44. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of the one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V.21. P.825-837.

45. Kawohl B. Global existence of large solution on initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1985. V.58. P.76-103.

46. Lukaszewics G. An existence theorem for compressible viscous ant heat conducting fluids // Math. Meth. Appl. Sci. 1984. У.6. P.234-247.

47. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive fluids // Proc. Japan. Acad. Ser. A. 1979. V.55. P.337-342.

48. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases // J. Math. Kyoto Univ. 1980. V.20. N1. P.67-104.

49. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluidegeneral // Bull. Soc. Math. France. 1962. V.90. P.487-497.

50. Padula M. Existence and continuous dependence for solutions to the equations of a one-dimensional model in gas dynamics // Mechan. J. AIMETA. 1981. V.16. N3. P.128-135.

51. Serre D. Solutions faibles globales des equations de Navier-Stokes pour un fluide compressible // C. R. Acad. Sc. Paris Ser. I. 1986. V.303. N13.Р.639-642.

52. Serre D. Sur lequation monodimensionnelle d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de chaleur// C. R. Acad. Sc. Paris. Ser. I. 1986. V.303. N14. P.703-706.

53. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V.3. N3. P.271-288.

54. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1994. V.110. P. 157181.

55. Song Jiang. Global smooth solutions to the equations of a viscous, heat-conducting, one-dimensional gas with density-dependent viscosity // Math. Nachr. 1998. У.190. P.169-183.

56. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. V.10. N1. P.209-233.

57. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. У.13. N1. P.193-253.

58. Tornatore E., Fujita Yashima H. Equazioni monodimensionali di un gas viscoso barotropico con una perturbazione poco regulare // Ann. Univ. Ferrara. Sez.VII — Sc. Mat. 1994. V.XL. P.137-168.