Глобальная разрешимость и двухмасштабное усреднение системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гошев Иван Алексеевич

ГЛОК А ЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И ДВУХМАСШТАБНОЕ УСРЕДНЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Москва - 2009

003484834

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского энергетического института (технического университета)

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Амосов Андрей Авенирович Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Злотник Александр Анатольевич,

1 1 '"Л _ ^^___

ДОКТОр фИЗ. мат. наук, Пр>-»и;сССир С/гЛйг тс1|Л сф*1Т& О'рнисгивна

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится 16 декабря 2009 года в 16 часов на

заседании диссертационного совета ДМ212.157.17 при Московском

энергетическом институте (техническом университете) по адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17, в аудитории М-710а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ (ТУ) но адресу: Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) па автореферат просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан__

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Ю9 г. Григорьев В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1

Актуальность темы. Исследованию моделей движения вязкой сжимаемой среды посвящено большое число работ. Значительный интерес к ним обусловлен многообразием постановок, сложностью их решения и многочисленными приложениями. Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани.

Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова и его учеников В.В.Шелухина, В.Б.Николаева. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa, S.Kawashima и T.Nishida. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали А.А.Амосов, M.Okada, S.Kawashima, B.Kawohl, D.Hoff, S.Jiang.

Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) исследован в работах А.А.Амосова, А.А.Злотника, В.В. Шелухина, D. Serre, D. Hoff, R. Zarnowski, H.Fuijita Yashima, M. Padula, A.Novotny. Наиболее законченные результаты получены в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника.

Исследования уравнений динамики вязких сжимаемых сред продолжались в направлении усложнения моделей (введения новых уравнений и исследования сред с более сложными свойствами) и снижения требований к гладкости данных задач.

В последнее время значительный интерес уделяется изучению задач динамики материалов, демонстрирующих нелинейную упругопластичность, так называемых материалов с памятью. К ним относится, например, ряд сплавов. Особенностью их поведения является то, что зависимость упругопластичсского напряжения от деформации не может быть

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-12166), програли.а: Минобразования "Развитие научного потенциала высшей шкачы (2009-2010 годы)" (проект 2.1.1/3276) и Федерального агентства по науке и инновациям (государственный контракт 02.740.11.5091).

записана как однозначная функциональная зависимость, поскольку значение напряжения в фиксированный момент времени зависит от всей предыстории деформации. Для подобных материалов имеют место характерные эффекты остаточного напряжения и остаточной деформации.

Операторы, служащие для описания подобной зависимости, называются гистерезисными операторами. Первым фундаментальным трудом по теории гистерезисных операторов стала книга М.А. Красносельского и A.B. Покровского, вышедшая в 1983 году. Позднее появились монографии M.Brokate, J.Sprekels, P.Krejöf, A.Visintin. В них содержатся и результаты о разрешимости начально-краевых задач механики невязких сред, в которых связь между напряжением и деформацией описывается гистерезисными операторами.

Простейшей моделью теории гистерезисных операторов является стоп-оператор (также называемый упором). На его основе определяется оператор Прандтля-Ишлинского, более корректно отражающий поведение реальных уиругопластических материалов.

Задачи для сред с упругопластичностью, описываемой гистерезисным оператором, и при негладких данных, исследованы гораздо меньше. В настоящее время известны результаты для задач, описывающих динамику неаязких сред, и, в основном, с гладкими данными (P.KrejCi).

В 1983 г. Н.С. Бахваловым и М.Э. Эглит была рассмотрена задача усреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые уравнения движения. Предельная система оказалось нестандартной, интегро-дифференциальной. В ее уравнениях "быстрая" переменная не исчезла полностью; в математической теории усреднения такие уравнения принято называть двухмасштабными усредненными (G. Allaire). В 1991 к таким же уравнениям для баротропного газа пришел D. Serre.

Строгое обоснование двухмасштабного усреднения для некоторых моделей движения вязких сжимаемых сред дано в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника.

Проблема обоснования усреднения задач динамики материалов с памятью еще недостаточно исследована. Отметим работу J. Francu и P.KrejCi в которой была рассмотрена задача усреднения в случае отсутствия вязкости и при гладких данных.

Цель диссертационной работы. Исследование начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского, и начально-краевых задач для двухмасштабной усредненной системы Бахвалова-Эглит, а также строгое обоснование двухмасштабного усреднения.

Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие результаты.

Установлена глобальная однозначная разрешимость начально-краевых задач для системы квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений, описывающих продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского. Выведены априорные оценки обобщенных решений.

В случае, когда данные задач являются быстро осциллирующими функциями, строго обоснован предельный переход от исходной задачи к задаче для двухмасштабной усредненной системы Бахвалова-Эглит.

Установлена глобальная однозначная разрешимость начально-краевых задач для двухмасштабной усредненной системы квазилинейных онераторно-интегро-дифференциальных уравнений Бахвалова-Эглит. Выведены априорные оценки обобщенных решений.

Все результаты о существовании и единственности обобщенных решений задач установлены в предположениях, допускающих негладкие начальные данные и коэффициенты.

При дополнительных условиях на данные доказаны результаты о регулярности и дополнительной гладкости решений задач о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского и задач для двухмасштабной усредненной системы, с соответствующими априорными оценками.

Получены оценки погрешности усреднения задачи с быстро осциллирующими данными.

Все результаты получены в целом по времени и при произвольно больших начальных данных.

Общая методика исследования. В диссертации использованы идеи и методы теории обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теории функций и функционального анализа. Существенно использованы методы, разработанные А.А.Амосовым и А.А.Злотником для исследования уравнений движения вязкого газа и двухмасштабных усредненных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты являются вкладом в теорию систем квазилинейных уравнений движения вязких упругопластических сред. Кроме того, на их основе возможно построение численных методов нахождения приближенных решения рассмотренных задач.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям МЭИ под руководством проф. Ю.А.Дубинского (2007-2009 гг.), а также международных конференциях студентов и аспирантов в МЭИ (2006-2009 гг.), международной конференции "Тихонов и современная математика"

(Москва, 2006), III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2006), конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего (Москва, 2009), XVI международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии" (Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы, включающего 52 наименования. Объем работы - 132

^ТрсЩИЦЫ •

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткое изложение работы.

Первая глава носит вспомогательный характер и содержит определения и результаты, используемые в следующих главах. В ней вводятся функциональные пространства, устанавливаются вспомогательные результаты, дается определение стоп-оператора и оператора. Прандтля-Ишлинского и их свойства, а также формулируются начально-краевые задачи для параболических уравнений в дивергентной и полудивергептной форме и приводятся теоремы об априорных оценках их обобщенных решений.

В § 1.1 вводятся классические и анизотропные пространства Лебега Lg(G) и Lq¡r(G х Е) с q,r е [1, оо], элементами последних являются измеримые на Q функции, обладающие конечной нормой DHU,,,.(£><£) = = II \Ml,(C) IILr{Ey В данной работе Q = (0, X), Q = Q х (0, Г), J = (0,1).

Для V 6 Lq(Q\B) введена разность Ajb'(x) = v(x + <5) — v{x) при х € (0,Х — 5), A¡v(x) = 0 при х £ (0, X — Í), и модуль непрерывности uig,ä{v,B)= sup |]Даг>||га(ед,

0<a<¿

Важной особенностью работы является присутствие гистерезисиого оператора Прандтля-Ишлинского, который отображает функции из С[0,Т] в это же пространство. Таким образом, необходимо работать не с классическими для подобных задач пространствами вида ЬХ(СЦ), а с пространствами вида L9(Q; С[0,Т]), что является существенной особенностью используемых в диссертации методов.

Для множества конечной меры Е С К" положим (v,w)e = / vwdE.

Е

Производные обозначены через D — 8/дх и Dt = d/dt. Введем операторы

интегрирования Iv(x) = jv(x')dx\ Itw(t) = / w{t')dt' и средние значения

о

X 1

о

(v)a = fv(x)dx, (/) = /№<%.

о

о

В § 1.1 также доказаны два вспомогательных результата: теорема 1.1 о критерии предкомпактности семейства функций в Lg(Q; С [О, Г]) и теорема 1.2 о разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения.

В § 1.2 рассмотрены начально-краевые задачи для дивергентного и полудивергентного параболического уравнения и приведены теоремы о существовании обобщенного решения и дополнительных оценках его гладкости при дополнительных условиях на данные задач. Данные результаты были получены в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника. Они существенно используются в работе.

В § 1.3 дано определение оператора Прандтля-Ишлинского. приведены его свойства и получен ряд вспомогательных результатов.

Вторая глава посвящена исследованию однозначной разрешимости начально-краевых задач о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского.

В § 2.1 рассмотрена система квазилинейных операторно-дифференциальных. уравнений, описывающих продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского:

Физический смысл величин следующий: х - лагранжева координата, £ -время, р - плотность недеформированного материала, е - деформация, и - скорость, а - напряжение, хе - эйлерова координата, и - коэффициент вязкости, сге1 и Т - упругая и упругопластичсская составляющие напряжения, д ~ плотность внешних сил. Обратим внимание на то, что по физическому смыслу деформация удовлетворяет неравенству е > — 1. Искомой является вектор-функция = (е(ж, гь(ж, ¿), <

определенная на С}. Здесь использованы обозначения 1>[т)](х^) = = 1у(г)(х,$,х), СТОНОМ) = сге1(е(х,$,х), д[х'е](х,£) = д{хе{х,г),х,г).

Система (1) - (4) дополнена начальными условиями

Дхе = и В Q.

Dte = Du в Q, pDtu = Da + д[хе\ в Q,

а - id^£)u + crd[e1 + jr[s0,e,/2], г; = е + 1 в Q,

(1) (2)

(3)

(4)

eji=0 = е°(.т), wjt=0 = А^), xAt=o-x на Q

(5)

и одной из пар краевых условий

m|i=o = u0(í), u}x=x = ux{t) на(0, Т), . (6i)

(?\х=о = <ro(t), «|х=лг = ux{t) на (О, Т), (62)

o-U-o = a0(í), <т|х=х = <Tx{t) на (О,Т). (63)

Задача (1)-(5), (6 ,п) обозначена через , тп ~ 1,2,3. Удобно считать, что функции щ, их, со, ах определены при всех тп, и те из них, которые не входят в краевые условия конкретной задачи Vm, равны нулю.

Вводится У [О, Т] - пространство функций ограниченной вариации на [О,Г] с нормой IM!v[02i = sup|w(t)| + varw, а также банаховы

[ОТ] [0,7']

пространства И>(<5), W{Q) и гильбертово пространство S\,lW{Q) функций с нормами |Hk(Q) = IMU2,«(<?) + \\Dw]\L2ÍQ}, |МЦ<2) = |¡w|U3(Q) +

+ \\DM\l2(Q) + ll-EHIw?)' !Hls2uJf(í?) = ОН&ЗД)

Заметим, что W(Q) и S^WiQ) компактно вложены в C(Q). Определены полунорма |¡u)||(0,1/2> = sup r"1/2||AWU)|¡¿2(Q) и норма IHLa.va),™ =

0<т<Т 2 w

~ !H¡v2(Q) + |М!(0Д'/2) (здесь A^w(x,t) = w(x,t + r) - w(x,t) при te (0, Г - r), A^w(x,t) = 0 при t i (0,T - г)). Введен класс функций JV-i(Q) = {e £ С([0,Т];Ьсо(П)) | essinfe(a;,í) > -1, Dte £ la«?)}.

Для формулировки условий C\ - Ce на данные задач Vm введены

TJ т? _

вспомогательные функции А(т), х) — / i/(C, я)/С о'С> х) — J

i i

е

и Е{е, х) = / <re¡(C, х) В этих условиях 1 < iV — параметр, который может

в

быть произвольно большим:

Ci) Функция v{r¡,x) задана на R+ х Í1. Для всех а > 1 справедливо свойство v £ ¿»(Л; С [а-1, а]) и для п.в. .г £ Q справедливы неравенства 0 < Cg(a) < v{r¡,x) < со (а), V?/ £ [а-1, а],

Л(ту) < Л(??, ж) < Л(7}) Vrj е

где Л(?;) —> —оо при —» 0+ и Л(т?) ~> +оо при т? —> +со. Дополнительно для п.в. i £ Í2

v{f], x)r¡ < c\(L2{r),x) + Г] + 1) Vr? £ Е+ при тп = 1,

rj/vfax) < c2(I2(j?,я) + 1) V)? е R+ при m = 2,3.

Функция eti{e,x) задана на (—1,+со) х П. Для всех о > 1 справедливо свойство <7е/ £ 2/oo(fi;C[—1 4- а-1, а]) и для п.в. .г £ П справедливы неравенства

ое1{е,2:)<0 Уе е (-1,0], аа{е,х)> 0 Уеб[0,+оо) КК^аО - сге£(е2.х)| < с3(а)|ег — е2| б [-1+ а_1,а],

¡о-ег(е,х)|(е+ 1) < сА(Е(е,х) + 1) Уеб(-1,+ос) при т = 1.

Сг) е° б £«,(0), и0 € 1.2(Г2) и Я"1 < г]\х) == еа{х) + 1 < N для ц.в. х й О,, < N. При тп = 1 дополнительно предполагается, что

Л"1 < !|г?°|и1(п; + /«(ИЛ- - по) на (0, Т).

Сг) р б ¿оо(П), Л^-1 < р(х) < N для н.в. хбП. Функция д{хе,х^) задана на К х <5 и для всех а > 1 обладает свойством д б Ь^-,С[-а,а]). Кроме того, |д(хе,х, ¿)| < д(х, ¿) для п.в. (хе, х,{) б К х <2, где д б ¿2д(<5) и НШздОЗ) ^

с4) и0,их б к[о,т], е ь2(0,Т); 1Мк|о,г]+ 11«*11тл ^ ЛГ-!ко|и2(о,г)+ 1кхр12(о,г) < N.

_, _, с»

Сь) 5° 6 -МП^сТ)), /х б .мад^аП), II < ¿V.

о

Се) Для любых а > 1 для п.в. х б П выполнено неравенство \р{7]1,х)-»{т]2,х)\ < со(а)1т — Г?г1 ^ьЧз б [а-1,а],

а для п.в. (х, б <Э - неравенство с некоторой функцией Ьа Е Ь2,г{Я). ¡^(Яе.ъМ) - д{хе,2,х,г)\ < Ьа(х,1)\х^\ - Ухе\,хеа б [-а,а].

Под обобщенным решением задачи Тт понимается вектор-функция г = (е,и.сг,хе) б Л/1г(<Э) х Уг(<Э) х ¿гСЗ) х ^И^ф), удовлетворяющая условиям:

1) уравнения (1), (3) и (4) удовлетворяются в 1<2(<Э);

2) интегральное тождество

- (ри, + (а, -0<р)<2 = {ри°,(р\г=0)п+

+ (зЫ, <?)<? + (<?х, <р\т=х)(0,т) - Ы у|х=о)(о,т)

выполняется для всех <р б С1 (С}) таких, что = 0 я дополнительно

у|г=од = о при тп - 1,= 0 при т ~ 2;

3) начальные условия е|(=о = е°(ж) и ^¡¡=0 = ж выполнены в смысле пространств С([0,Т];£оо(П)) и С(С}) соответственно;

4) краевые условия и\х~о — «о при гп — 1 и = их при га — 1,2 выполнены в смысле пространства С(Г2; 1/2(0, Т)).

В § 2.2 сформулированы теоремы о существовании и единственности обобщенною решения задачи -Р™.

Теорема 2.1 Пусть выполнены условия С1! - С5. Тогда существует обобщенное решенне задачи Т-^, удовлетворяющее оценкам

K0(N)~l <e + l< K0(N), |]Dte\\ulQ) < K(N), Mv^m{Q) < K(N),

IMUa(Q) ^ K(N)> ll^llw(Q) ^ K(N)> IMIs^Q) <

Здесь и далее через K(N), возможно, с индексами, обозначаются различные положительные неубывающие функции параметра N; они могут зависеть также от X и Т. ъ и А.

Теорема 2.2 Пусть выполнены условия Ci-Ce- Тогда обобщенное решение задачи Vm единственно.

Параграфы 2.3-2.5 посвящены доказательству теоремы о существовании решения. Для этого применен полудискретный метод. В § 2.3 вводятся сеточные пространства с дискретизацией по пространственной переменной х и формулируются полудискретные задачи. В § 2.4 выводятся априорные оценки приближенных решений, и на их основе с применением теоремы 1.2 о разрешимости задачи Коши доказывается существование приближенных решений. В § 2.5 путем предельного перехода получено обобщенное решение задачи Vm. Параграф 2.6 посвящен доказательству теоремы о единственности.

Третья глава посвящена обоснованию двухмасштабного усреднения задач Vm с быстро осциллирующими данными. В ней формулируются задачи для системы двухмасштабных усредненных уравнений Бахвалова-Эглит и доказывается теорема о предельной связи обобщенных решений.

В § 3.1 приведены вспомогательные утверждения. Дано определение аппроксимативного предела, который используется в работе с функциями, зависящими и от "быстрой" переменной £ € J, и от "медленной" переменной х £ П. Приведены и доказаны теоремы о свойствах функций из пространств Lq(Q; LX{J\B)), где В - некоторое банахово пространство, и их быстро осциллирующих суперпозиций fe(x) = lim ар/(£, х). Они

играют существенную роль в получении дальнейших результатов, позволяя обосновывать усреднение при наличии разрывов как по "быстрой", так и по "медленной" переменным.

В § 3.2 сформулированы начально-краевые задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского с быстро осциллирующими данными, с некоторым малым параметром осцилляции е € (0,1]. Система уравнений имеет вид

Огее = Ощ в <?, (7)

= ОаЕ + де[хе^) в <2, (8)

а£=,^Пщ + 1Те1с[ес}+Т{з°,е£,11£], т}е = е€ + 1 в в, (9)

Дхе,£ = м£ в <5, (10) Она дополнена начальными условиями

е£|;=о = е°(х), ие|<=0 = м°(х), хе)£|(=о = а; на П (И) и одной из пар краевых условий

«£¡1=0 = ио,г(г). иЕ|х=х = их,е(1) на (0, Г), (12х)

ъ\х=о = сг0,г(«), ие-!*=х = на (0,Г), (122)

с^о = = охЛ) на(0,Т). (123) Задачи (7)—(11), (12т) обозначены через тп = 1,2,3. Как следствие

из теоремы 2.2, сформулирована теорема 3.4 об однозначной разрешимости задачи

В § 3.3 рассмотрена система двухмасштабных усредненных опсраторно-интегро-дифференциальных уравнений Бахвалова - Эглит:

Ае = -71(а-стс([е]-Я«°.е,/"])) V = е + 1 в 3 х (13)

рГ)1и = Ост + д{)[хе} в С}, (14)

а = «()£)« + (УС1,()[А + в (15)

£>4же = и в (16)

Искомое решение г(£,хЛ) = (е(^,х^),и(х^),ет(х,{),хе(х,1)) определено для {£,хЛ) £ 3 х С}. Использованы обозначения = Ц'/К.М).?,^), ЗО^ОМ) - Я()(ЖеОМ),М), ^егйС^ж,¿3 = стег(е(^,х,ж). Кроме того, здесь к{) = 1/(ту/И»?]), 50 = (.9), о-сг,<>[е] = МФ/И'?]) / <г?/^Гг?]>, е, д]

= (?['*, ыШпЫШп))-

Система (13)—(16) дополнена начальными условиями е |1=о = е°(£, х) на 3 х Г2, и|<=0 = и°(х) на £2, хе|4=0=жнаП (17)

и одной из пар краевых условий

Чг-о = «<>(*). и\х=х = их{г) на (0, Т), (180

<г|х=о = и\*=х = их{г) на(О.Т), (182)

*|»=о = *о(*)> <г\х=х = Ы*) па (О, Г). (183)

Задача (13)—(17), (18т) обозначена через Т>т, ш — 1,2,3. Сформулированы условия на данные задач Тт. Для удобства верхней

чертой (Ср) отмечены условия на функции из пространств вида £(»(</; В)), без черты (С-1) - условия на функции из пространств

вида ЬЧ(С1 х ■/; В) и других. Условия С®-С®, аналогичны

условиям С\-С% с учетом появления "быстрой" переменной функции и е /^(П;2,00(7; С[а-\а])), ае1 € С[-1 + а-1,а])),

д в 11((?;100(7;С[-о,о])) для любых а > 0, е° € •^оо(^)),

5° 6 Ь0о(0;1'с0(7;Ь1р1(1Н"))), р, <= ^(П^оо^М^Ж4"))). Неравенства в условиях предполагаются выполненными для п.в. £ е 7 и п.в. х ь и.

Введен класс функций ЛГ®^ х С)) = {е е С([0,Т]; ¿«(7))) : еБзтГ > —1, Де £ ¿з(<5; ^оо(^))}- Под обобщенным

решением задачи Р™ понимается вектор-функция г = (е, и, а, хе) е

6 У- О) У- У2(<5) х Ь2(<5) х £>2 ^(Ф)' удовлетворяющая условиям:

1) уравнение (13) удовлетворяется в Ь-2{Я', Ь0о(7)), а уравнения (15), (16)

- в ИЯ)-,

2) интегральное тождество

- (ри, + ¿V)« = ^1<=о)п+

+ (9()[^е},<р)я + - <^|г=о)(0,Т)

выполняется для всех <р 6 С1(С}) таких, что — 0 и дополнительно

Их=од = о при т = 1, ч>\х=х = о при то = 2;

3) начальные условия е |{=о = е° и хе = х выполнены в смысле пространств С([0, Т}\ Ьх(/))) и С{С)) соответственно;

4) краевые условия и|1=о = Щ при т = 1 и = их при т = 1,2 выполнены в смысле пространства С(П; ¿2(0, Т)).

В § 3.4 сформулирован и доказан основной результат главы - теорема 3.4 о предельной связи обобщенных решений задач и Тт- Предполагается, чтоверно условие А связи данных этих задач: А) Для всех а > 1 с <? = 1 справедливо свойство

Да** = 1|Д^|и,(П;Во) + 11Д ^Ль^Вг) + ||.+

+ + ||Де?|и,(П) ^ 0 при е-0. (19)

Здесь Аие = - г/еУ], Ааы, = аси - а%, Аз°е = - в0',

Д^е = Л-//, Де° = е°-е°>£, В0 = С^сГ1,«], В1 = С^-Ц-сТ1, а]. Кроме того, Д9е = Зе ~д£ 0 в ¿1(<Э; С[—а, а]) для всех а > 1, рЕ —> р * - слабо в Ь^П),

рЕи° —> pu0 слабо в Ь2(П), а граничные функции таковы, что —> -* их, с^о,s -» °о, crx¡e -* ах слабо в L2(О, Т). Условия Ci-Сб, сформулированные для быстро осциллирующих данных задач обозначим через Cf-Cf.

Теорема 3.5 Пусть выполнены условия Cf-Cg с константами, не

зависящими от е, - С®, C¡, и условие А. Тогда существует обобщенное решение z = (е, u, а, хе) задачи Vm, удовлетворяющее оценкам

WO"1 <e + l<K0(N),

\\Dte\\L2(QMJ)] < K{N), IMU.i*>W) < K(N),

Ikkw) < K(N), \\It(T\\w[Q) < K(N), ||ге!Ц.Чу((?) < K(N),

причем при s —> 0 обобщенные решения z£ = (ee,u£íae,xefi) задач VЦ, сходятся к г следующим образом (ниже ее(х, t) — lim ар e(Ç, х, t)):

ег - е£ 0 в Lq(Q; С[0, У]) V? е [1, оо); (20)

щ -> и сильно в LT(О, T; L?(Q)) Уд G [1, оо], г G [1, оо), l/'ç + 2/r > 1 /2;

(21)

uE -> u *-слабо в Loo(0, T; Lsi^)), Due -> Du слабо в L2(Q); (22)

—> (T слабо s Ln(Q), It<Je hv сильно в C(Q); (23)

xe¿->xe слабой S2'1 W(Q) и сильно в C{Q). (24)

Если свойство (19) имеет место с g = оо, то ее - еЕ —► 0 в Le0(fi; C[0,Tj).

Доказательство проводится в три этана. На первом этапе выбирается подпоследовательность функций ие, ое и xe¿, сходящаяся к некоторым

предельным функциям u € V2'l/2)(Q), и 6 L2(Q), хе е Sl'uvV{Q) с выполнением свойств (21) - (24). Недостающая компонента

е G х Q) определяется как решение задачи Коши, для получения

которого используется полудискретный метод с сетками по переменным х и £ и теорема 1.2. Далее выполняется предельный переход вначале по переменной а потом по х, к некоторой предельной функции е G х Q). На втором этапе доказывается свойство (20). На

третьем этапе доказывается, что полученная вектор-функция г является обобщенным решением задачи V-X- Тот факт, что все семейство решений сходится к z в указанном в теореме смысле, следует из единственности обобщенного решения задачи Vm, теорема о единственности приведена в глазе 4.

Четвертая глава посвящена исследованию однозначной разрешимости начально-краевых задач для двухмасштабной усредненной системы.

В § 4.1 приводится вспомогательные результаты, в том числе теорема 4.1 о критерии предкомпактности множества из Lq(J х Q; С[0,Т]).

В § 4.2 сформулированы условия Cf-Cp на данные задач Vm- Они

—О —О

полностью аналогичны условиям С1-С4 за исключением менее строгих предположений на пространства функций - вместо пространств вида Lq(Q] Loo{J', В)) в них используются пространства вида Ьд{П х J; В).

Введен класс функций ЛF{\{J х Q) = {е G C([0,T]; L^J х Щ : essinf e(£,x,t) > -1,Де € х Q)}. Определение обобщенного

ie.xfip.7yQ

решения 2 = (е, и,а,хе) в Л/1\(J х Q) xV¿{Q) х L2{Q) х S^^ÍQ) задачи Vm аналогично определению, данному в главе 3, с некоторым ослаблением условий 1) и 3):

1) уравнение (13) удовлетворяется в LX2{J х Q), а уравнения (15) и (16)

- в HQ)\

3) начальные условия e\t=o = е° и xe\t=o = х выполнены в смысле следов функций из пространств С([0, T^L^J х Г2)) и C(Q) соответственно.

Таким образом, оно подходит для пространств решений более общего вида, где функция е принадлежит х Q), а не Ttf^J х Q).

Доказаны следующие теоремы о существовании и единственности обобщенного решения.

Теорема 4.2 Пусть выполнены условия Cf-Cf. Тогда существует обобщенное решение задачи 'Рту удовлетворяющее оценкам

MN)-1 < е + 1 < Ko(JV),

l!Ae¡|WjxQ) < K(N), |M¡j,u,./2>(í3) < I<(N),

IMIi2(q) < K(N), \\Ito\\w(Q) < K(N), II^II^^q) < K(N).

Теорема 4.3 Пусть выполнены условия С^-С®. Тогда обобщенное решение задачи VÜ единственно.

Доказательству теоремы 4.2 посвящены § 4.3-4.5. Для доказательства использован полудискретный метод с сетками по переменным х и схема рассуждений аналогична доказательству теоремы 2.1. В § 4.6 доказывается теорема 4.3 по аналогии с доказательством теоремы 2.2 и с учетом появления "быстрой" переменной

В пятой главе получены результаты о дополнительной гладкости обобщенных решений задач Vm.

В § 5.1 приведены дополнительные условия Су-Сц:

С7) и0 е И^П), !|и°,Ц1(п) < н- и0,их 6 К%(0,Т), б У[0,Т],

11ио||и^/3(о,г) + Над 11^,3(0,Т) < ¡коНмо.т] + 1кх|к;о,г1 < выполнены условия согласования = и°(Х) при тп = 1, ио(0) = и°(0) при т = 1,2. Се) Функция д из условия Сз принадлежит Ь2{(3), и ||з|и2(<?) ^ АГ. Сд) при q — 2 для любых а > 1 и <5 > О верно свойство + ш^{к,С[аГ1,а}) + С[-1 + а'1, а}) + и^0, С(Й+)) +

< С(а)<5.

Сю) Для всех а > 1 верно свойство ду/дх е Ь2(й\ С[а-1, а]), причем ¡|31//0х||х,2(гща-1)О]) < с(а).

п.Л П - п(п- па и.яп Т1. г„ггт 11л11........ .„„ <- \Т. «I. . _

д°, где д° € Ь2{$1) и ||д°||ь2(п) < для функции <т° верны условия £<7° е 1з(П) и !|1)а0!и2(п) < ЛГ; Ди0,Аад е У[0,Г], ИАиоИкря + +!1Дад1к[0;т] < е И^/3(0,Т), МЦуо.т) + 1к*Цуо,т) < л.

В § 5.2 сформулированы и доказаны теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Тт-

Теорема 5.1 Пусть выполнены условия С\ - Тогда для обобщенного решения задачи Тт справедливы оценки

\Ш\ь^{Я) < ВД, ||«|Цд) < К(Х),

||<т||7аЮ) < К(М), РД^Н^й) + №е|1ъЮ) < ВД. Теорема 5.2 Пусть выполнены условия С1 - Сд. Тогда справедлива оценка

\\Щ\ыпМо,т)) <

Теорема 5.3 Пусть выполнены условия С1 - Сю. Тогда справедливы оценки

^Мыо) < ВД, |РДе1и2(д) < К(Н).

Если дополнительно выполнено условие Сц, то справедливы оценки

II АЧ1вд) < ВД, < к-

В шестой главе получены результаты о дополнительной гладкости обобщенных решений задач Тт-

В § 6.1 приведены дополнительные условия Су'-С^. Они аналогичны условиям Ст-Сц с учетом появления "быстрой" переменной условия Сд и С^ сформулированы в терминах пространств х П; В).

В § 6.2 сформулированы и доказаны теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Тт-

Теорема 6.1 Пусть выполнены условия - . Тогда для обобщенного решетя задата Рт справедливы оценки

ilAe|| WJxnx(o,T)) < K(N), |M|1V(0) < K(N),

lkllv,W) < K(N), \\DDtxe\\L2M + ||£>t4k(Q) < K(N).

A A

Теорема 6.2 Пусть выполнены условия С/ - C's. Тогда справедлива оценка

\\De\\L2{JxQMo,T)) < K(N).

Теорема 6.3 Пусть выполнены условия - Cjq. То1да справедливы оценки

\\D2u\\4q] < K(N), |\DDte\\L^Q) < K(N).

Если дополнительно выполнено условие Cjj, то справедливы оценки

||Д«||у,№) < K{N), ||D<jН^«,) < К.

В седьмой главе доказан результат об оценке погрешности усреднения между решением задачи с быстро осциллирующими данными и решением двухмасштабной усредненной задачи Vm-

В § 7.1 приводятся вспомогательные результаты. В § 7.2 сформулирована теорема об оценке погрешности усреднения. Для этого определены условия Cg, cfo, аналогичные условиям Сд, сЦ, но в рамках более узких пространств вида L2(Q; LX(J; В)), и условие cf2-

cjj) Существует функция р € 1М(П;!«,(/)) такая, что (р)(х) = р{х) п.в. на Q, и для всех <5 > 0 верно свойство (р; L^J)) < N6.

Предполагается, что выполнено условие А на связь данных задач V^ и

-рО

Г171-

А) Справедливы свойства 11«? - *°1к(П) < Л'е, ||рЕ ~Пъ1{щ < Ne, ||е° - e^||£oo(i!) < Ne, \We - flA^ii^-V!) ^ N(a)£> IWel,s - 4IU„(n;<7[a-i,0]) < N{a)e,

I!5" - ^(M«)^)) ^ N£> Уе ~ /*е||(МП№(ДЧ) ^ Pit ~ Ige\\L,AQ) < Ne для Vg, r : (г^)"1 + r'1 < 1, r < rg, - 0-0)^^(0,7) < Ne, !lh{ax..c ~ ^lU^o.r) < Ne, ¡Ц,<г ~ «ollz^o.r) < Ne, |i«A',e - «¡r||i^(o,r) < Ne, где r7 > 2.

Условия А будут выполнены, если положить fs(x) = }с{х) на Q для функций и°, е°, р, и, aei, s0, ¡i, g, a также взять cto.e = Oo> = ax> uo,c = "o> их,s = «x-

Теорема 7.2 Пусть выполнены условия cf-c", Cf-Cf, C(J, С?0, C^, cf2, условия a-Cl на данные задач V^ с константами, не зависящими от е, а также условие А. Тогда для разности решения z задачи Т>п и решения zt задачи V4 справедливы оценки:

IIе" - eJc(Q) < Ке, !1ДН - 'O^)Hc(Q) ^ К£< - с© < Ке.

§ 7.3 посвящен доказательству этой теоремы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Амосов A.A., Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость уравнений одномерного движения вязкоупругопластического материала Ишлинского / / Докл. РАН. 2006. Т. 410. №1. С. 7-11.

2. Amosov A., Goshev I. On two-scaled homogenized equations of Ishlinskii body logitudinal vibrations with rapidly oscillating nons-mooth data // Comptes rendus Mecanique. 2006. Vol 334/12. P. 713718.

Амосов A.A., Гошев И.А. О двухмасштабных усредненных уравнениях продольных колебаний материала Ишлинского с быстро осциллирующими негладкими данными. Доклады Парижской Академии Наук. Механика, 2006. Т. 334/12. С.713-718.

3. Амосов A.A., Гошев И.А. Двухмасттабное усреднение системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Тезисы докладов III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики". 2006. С. 11-13.

4. Goshev I.A., Arnosov A.A. Global solvability and two-scaled homogeniza-tion to the system of equations describing Ishlinskii body iogitudinal vibrations // Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная математика". М.: Изд-во МГУ. 2006. С. 86-87.

Гошев И.А., Амосов A.A. Глобальная разрешимость и двухмасштабное усреднение системы уравнений продольных колебаний материала Ишлинского // Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная математика". М,: Изд-во МГУ. 2006. С. 86-87.

5. Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2006. №6. С.32-48.

6. Амосов A.A., Гошев И.А. Обоснование двухмасштабного усреднения системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. №6. Т.47. С.988-1006.

7. Амосов A.A., Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. №6. С.760-779.

8. Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Радиоэлектроника, электротехника, энергетика. Тезисы докладов ХШ международной научно-технической конференции студентов и аспирантов. М.: МЭИ. 2007. С.332-333.

9. Гошев И.А. Дополнительная гладкость решений двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2008. №6. С. 46-58.

10. Гошев И.А. Гладкость решений задачи о продольных колебаниях материала Ишлинского и соответствующей усредненной задачи. Оценка погрешности усреднения // Труды XVI международной научно-технической конференции "ИнсЬормационные средства и технологии". М.: Издательский дом МЭИ. 2008. Т.2. С. 185-190.

И. Гошев И.А. Разрешимость и двухмасштабное усреднение задачи о продольных колебаниях материала Ишлинского. // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего.' 2009. С. 274.

12. Гошев И.А. Оценка погрешности двухмасштабного усреднения задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2009. №6 (принято к печати).

Подписано в печать^ С$Г. зак. т Тир. № П.л. ш Полиграфический центр МЭИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д.13

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. ОПЕРАТОР

ПРАНДТЛЯ-ИШЛИНСКОГО

§ 1.1. Обозначения и всшжогательные результаты.

§ 1.2. Некоторые свойства решений одномерных линейных параболических задач.

§ 1.3. Оператор Прандтля-Ишлинского и его свойства

ГЛАВА 2. ГЛОБАЛЬНАЯ ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГО

ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО

§2.1. Постановка задач

§ 2.2. Формулировка основных результатов

§ 2.3. Полудискретный метод решения задач

§ 2.4. Вывод априорных оценок и существование приближенных решений

§2.5. Предельный переход.

§2.6. Доказательство теоремы о единственности решения задачи

ГЛАВА 3. ОБОСНОВАНИЕ ДВУХМАСШТАБНОГО УСРЕДНЕНИЯ.

§3.1. Обозначения и вспомогательные утверждения

§ 3.2. Задача с быстро осциллирующими данными

§ 3.3. Двухмасштабная усредненная задача Тт

§ 3.4. Предельная связь между решениями задач Т:т и Тт

ГЛАВА 4. ГЛОБАЛЬНАЯ ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ

ДВУХМАСШТАБНОЙ УСРЕДНЕННОЙ ЗАДАЧИ

§4.1. Обозначения и вспомогательные утверждения

§4.2. Постановка задач. Теоремы о существовании и единственности решения

§ 4.3. Полудискретный метод решения задач.

§4.4. Вывод априорных оценок. Существование приближенных решений

§4.5. Предельный переход.

§4.6. Доказательство теоремы о единственности решения задачи

ГЛАВА 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО

МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО

§ 5.1. Дополнительные условия на данные задач Тт

§ 5.2. Теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Т)т

ГЛАВА 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ДВУХМАСШТАБНОЙ УСРЕДНЕННОЙ ЗАДАЧИ.

§6.1. Дополнительные условия на данные задач Тт.

§6.2. Теоремы о дополнительной гладкости решения задачи Т>т

ГЛАВА 7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДВУХМАСШТАБНОГО

УСРЕДНЕНИЯ

§7.1. Обозначения и вспомогательные утверждения.

§7.2. Теорема об оценке усреднения

§7.3. Доказательство теоремы об оценках усреднения.

Исследованию моделей движения вязкой сжимаемой среды посвящено большое число работ. Значительный интерес к ним обусловлен многообразием постановок, сложностью их решения и многочисленными приложениями.

Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель [27] впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [41], [42] и А.Тани [51].

Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова [16], [23], [24], и его учеников В.В.Шелухина [26], В.Б.Николаева [25]. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa [46], [47], S.Kawashima и T.Nishida [43]. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали А.А.Амосов, M.Okada, S.Kawashima, B.Kawohl, D.Hoff, S.Jiang.

Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) исследован в работах А.А.Амосова, А.А.Злотника, В.В. Шелухина, D. Serre, D. Hoff, R. Zarnowski, H.Fuijita Yashima, M. Padula, A.Novotny. Наиболее законченные результаты получены в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника [6], [9], [7], [8], [12].

Исследования уравнений динамики вязких сжимаемых сред продолжались в направлении усложнения моделей (введения новых уравнений и исследования сред с более сложными свойствами) и снижения требований к гладкости данных задач.

В последнее время значительный интерес уделяется изучению задач динамики материалов, демонстрирующих нелинейную упругопластичность, так называемых материалов с памятью. К ним относится, например, ряд сплавов. Особенностью их поведения является то, что зависимость упру-гопластического напряжения от деформации не может быть записана как однозначная функциональная зависимость, поскольку значение напряжения в фиксированный момент времени зависит от всей предыстории деформации. Для подобных материалов имеют место характерные эффекты остаточного напряжения и остаточной деформации.

Операторы, служащие для описания подобной зависимости, называются гистерезисными операторами. Первым фундаментальным трудом по теории гистерезисных операторов стала книга М.А. Красносельского и A.B. Покровского [29], вышедшая в 1983 году. Позднее появились монографии [37],

44], [52], [38]. В них содержатся и результаты о разрешимости начально-краевых задач механики невязких сред, в которых связь между напряжением и деформацией описывается гистерезисными операторами.

Простейшей моделью теории гистерезисных операторов является стоп-оператором (также называемый упором). На его основе определяется оператор Прандтля-Ишлинского, более корректно отражающий поведение реальных упругопластических материалов. Исследование свойств этих операторов продолжается и в настоящее время, см. например [35], [39], [45], [49].

В 1983 г. Н.С. Бахваловым и М.Э. Эглит [17] (см. также [33], [18]) была рассмотрена задача усреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые уравнения движения. Предельная система оказалось нестандартной, интегро-дифференциальной. В ее уравнениях "быстрая" переменная £ не исчезла полностью; в математической теории усреднения такие уравнения принято называть двухмасштабными усредненными (G. Allaire [34]). В 1991 к таким же уравнениям для баротропного газа пришел D. Serre [50].

Строгое обоснование двухмасштабного усреднения для некоторых моделей движения вязких сжимаемых сред дано в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника [8], [10], [И], [14], [15].

Проблема обоснования усреднения задач динамики материалов с памятью еще недостаточно исследована. Отметим работу J. Francu и P.Krejci [40], в которой была рассмотрена задача усреднения в случае отсутствия вязкости и при гладких данных.

Целью данной работы является исследование глобальной однозначной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для систем уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлин-ского и строгое обоснование двухмасштабных усредненных уравнений Бахвалова-Эглит.

1. Амосов A.A. О слабой сходимости одного класса быстроосциллирую-щих функций // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 1. С. 145 -150.

2. Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение // Дисс. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1997.

3. Амосов A.A., Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость уравнений одномерного движения вязкоупругопластического материала Ишлинского // Докл. РАН. 2006. Т. 110. №5. С. 1-5.

4. Амосов A.A., Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Дифференц. уравнения. 2007. № 6. Т.43. С.760-779.

5. Амосов A.A., Гошев И.А. Обоснование двухмасштабного усреднения системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2007. № 6. Т.47. С.988-1006.

6. Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения "в целом "уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. N 1. С. 11-15.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Матем. заметки. 1994. Т. 55. N 6. С. 13-31.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1994. Вып.4. С. 7-24.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными // Днфференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 4. С. 596-609.

10. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1123-1131.

11. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342. N 3. С. 295-299.

12. Амосов A.A., Злотник A.A. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N 4. С. 3 19.

13. Амосов A.A., Злотник A.A. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 83-95.

14. Амосов A.A., Злотник A.A. О квазиосреднении системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстроосцил-лирующими данными // Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 1998. Т. 38. №7. С. 1204-1219.

15. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование двухмасштабного усреднения уравнений одномерной нелинейной термовязкоупругости с негладкимиданными // Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 2001. Т. 41. № 10. С. 1713-1733.

16. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск. Наука. 1983.

17. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. № 4. С. 836-840.

18. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

19. Гошев И.А. Глобальная однозначная разрешимость двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2006. №6. С. 32-48.

20. Гошев И.А. Дополнительная гладкость решений двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2008. №6. С. 46-58.

21. Гошев И.А. Оценка погрешности двухмасштабного усреднения задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2009. №6 (принято к печати).

22. Ишлинский А.Ю. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР. ОТН. 1944. №9. С. 580-590.

23. Кажихов A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

24. Кажихов A.B. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственностьи стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 3. С. 70 80.

25. Кажихов A.B., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье Сгокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т.246. N 5. С. 1045-1047.

26. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // ПММ. 1977. Т. 41. N 2. С. 282-291.

27. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. ./V 4 . С. 721-734.

28. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функцрш и функционального анализа. М.:Наука, 1976.

29. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.:Наука. 1983.

30. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974.

31. Сакс С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит. 1949.

32. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск. Научная книга. 2002.

33. Эглит М.Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах // Механика композитных материалов. 1984. № 5. С. 825-831.

34. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. P. 1482-1518.

35. Ambrosio L., Fusco N. and Pallara D., Functions of Bounded Variationand Free Discontinuity Problems, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 2000.

36. Amosov A., Goshev I. On two-scaled homogenized equations of Ishlinskii body logitudinal vibrations with rapidly oscillating nonsmooth data // Comptes rendus Mecanique. 2006. Vol 334/12. P.713-718.

37. Brokate M., Sprekels J. flysteresis and Phase Transitions. Appl. Math. Sci. Vol. 121. Springer-Verlag. New-York. 1996.

38. Drabek P., Krejci P., Takac P. Nonlinear differential equations. CRC Press. 1999.

39. Folland G.B., Real Analysis, Modern Techniques and Their Application, 2nd Edition, Pure and Applied Mathematics, John Wiley k Sons, New York, 1999.

40. Francu J., Krejci P. Homogenization of scalar wave equations with hysteresis. WIAS, Berlin. 1999. Preprint.

41. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. N I. P. 129-177.

42. Itaya N. A survey on the generalized Burger's equation with a pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16. N1. P. 223-240.

43. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825-837.

44. Krejci P. Hysteresis, Convexity and Dissipation in Hyperbolic Equations. Gakuto Int. Series Math. Sci,&Appl., Vol. 8, Gakkotosho, Tokyo. 1996.

45. Krejci P. and Laurcngot P., Generalized variational inequalities, J. ConvexAnal. 9 (2002), pp. 159-183.

46. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary// J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49-67.

47. Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas // Japan J. Appl. Math. 1988. V.5. P. 53-85.

48. Prandtl L. Ein Gedankenmodel zur knetishen Theorie der festen Körper // ZAMM. 1928. V. 8. P. 85-106.

49. Recupero V., On locally isotone rate independent operators, Appl. Math. Letters 20 (2007), pp. 1156- 1160.

50. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d'un fluide visqueux compressible // Physica. Ser. D. 1991. V. 48. P. 113-128.

51. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1974. V. 10. N 1. P. 209-233.

52. Visintin A. Differential Models of Hysteresis. Springer, Berlin-Heidelberg. 1994.