Усреднение задач на тонких периодических структурах методом двухмасштабной сходимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ПЕРЕМЕННЫХ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ.

1.1. Сходимость в переменном пространстве ]} (П, с1/ик).

1.2. Аппроксимативные свойства для структур на плоскости.

1.3. Аппроксимативные свойства для структур в пространстве.

1.4. Предельный переход в переменных соболевских пространствах.

1.5. Компактность в пространстве 1'}(П, с1/лк) для структур на плоскости и в пространстве.

ГЛАВА 2. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ

С ДВУМЯ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

МЕТОДОМ ДВУХМАСШТАБНОЙ СХОДИМОСТИ.

2.1. Метод двухмасштабной сходимости.

2.2. Усреднение задач с двумя малыми параметрами.

2.3. Усреднение задач для среды с двойной пористостью.

ГЛАВА 3. ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ПОВЕДЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА

ПРИ УСРЕДНЕНИИ.

3.1. Принцип компактности в переменном пространстве

3.2. Поведение спектра оператора при усреднении.

Актуальность темы. В диссертации рассматривается усреднение задач на периодических тонких структурах методом двухмасштабной сходимости. Такая проблема возникает при исследовании разнообразных физических процессов в микронеоднородных средах.

Тонкая 1-периодическая структура Рк характеризуется толщиной к>0 и при /2 —»0 переходит в некоторую предельную структуру Р с "нулевой толщиной". Гомотетическое сжатие Рк = еРк, где к(£) 0 при £—»>0, дает ¿•-периодическую тонкую структуру с толщиной ек{е). Тонкие структуры удобно описывать как носители борелевых мер: на тонкой структуре Рн имеется периодическая мера рк, которая при /г —> 0 слабо сходится к мере /л, задающей предельную структуру Т*1. Обычно мера ¡лк абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, с1(лк = рн (х)сЬс. Задачи усреднения на тонкой структуре Т7/ связаны с мерой с1рк = рк{€~хх)сЬс и их решения принадлежат "переменному" соболевскому пространству Н1{0.,с1//(?), где ограниченная липшицева область.

Теории усреднения посвящена огромная литература и несколько монографий (см. [2], [13], [27], [36]). Если = с1/и = (Лх есть мера Лебега, имеет место классическое усреднение (метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова, метод компенсированной компактности и др.). Случай, когда с1/ик - ¿¡л - рскх, где р - характеристическая функция некоторого периодического открытого множества, соответствует усреднению в перфорированных областях Г2 п ^. В этой теории используются различные методы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника />связности, причем последняя годится в случае произвольной р-связной меры.

В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая О. Nguetseng [80] и развитая в работах G. Allaire [68] применительно к мере Лебега. Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Dam-lamian, U. Hornung [69], M. Neuss-Radu [82] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой ц [9], а также с переменной мерой /uh [8], объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Предельная мера /л должна быть /?-связной, в то время как связь между ¡л и цн осуществляется через так называемые аппроксимативные условия.

Задачи усреднения на тонкой сетке (модельном примере тонкой структуры) впервые рассмотрены Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко [2]. Они показали, что для скалярных задач результат усреднения не зависит от того, как толщина h(s) стремится к нулю при е —» 0. В.В. Жиков заметил, что для задач теории упругости это не так ("масштабный эффект") и дал классификацию тонких структур в зависимости от соотношения между б и h(s). Исследованию масштабного эффекта для задач теории упругости посвящены работы В.В. Жикова и С.Е. Пастуховой [ 14]-[ 16], С.Е. Пастуховой [29]-[31].

Аппроксимативные свойства составляют основу техники усреднения. Для каждой конкретной тонкой структуры такие свойства приходится доказывать отдельно. Для теории упругости аппроксимативные свойства для тонких сеток и тонкой ящичной структуры доказаны С.Е. Пастуховой. Вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами, рассмотрены также в работе G.A. Chechkin, V.V. Jikov, D. Lukkassen, A.L. Piatnitski [75].

Математические вопросы, относящиеся к тонким структурам, привлекают в настоящее время многих исследователей. Сюда относятся:

1) свойства соболевского пространства, отвечающего борелевской мере, тангенциальный градиент и проблема релаксации;

2) тесно связанная с аппроксимативными свойствами проблема предельного перехода в переменном соболевском пространстве;

3) равномерные неравенства типа Пуанкаре и Корна.

Эти проблемы изучаются в работах С.А. Назарова [79], G. Buttazzo [74], Bouchitte, P. Seppecher [72] , О. Cioranescu [81], I. Fragalä, С. Mantegazza [77] и других авторов.

Много работ математиков и механиков было посвящено усреднению в так называемых моделях "double porosity", когда пространство RiV разбито на две непересекающиеся периодические части, причем коэффициент проницаемости равен 1 в одной из них и б-2 в другой (Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [70], Г.В. Сандраков [34], [35], B.B. Жиков [9] и др.). Для приложений интересен также и тот случай, когда жесткая фаза (где коэффициент проницаемости равен 1) представляет собой тонкую структуру.

Важное место в теории усреднения занимают спектральные задачи. В монографии O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [27] изучено поведение спектра при усреднении в перфорированных областях, когда исходные операторы действуют по существу в переменном гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы широко обсуждаются в настоящее время и для случая усреднения на тонких структурах.

Цель работы. Доказательство аппроксимативных свойств для тонких структур. Исследование связи между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном соболевском пространстве. Усреднение задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью, методом двухмасштабной сходимости. Исследование вопроса компактности в пространстве L2(Q, dju^) и поведения спектра оператора с двумя малыми параметрами при усреднении.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функционального анализа и теории меры.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказаны аппроксимативные свойства для модельных тонких структур на плоскости и в пространстве.

2. Установлена связь между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном соболевском пространстве.

3. Доказаны теоремы усреднения для задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью.

4. Доказан принцип компактности в пространстве 1}{О., с1/и^) для ряда структур на плоскости и в пространстве.

5. Описано асимптотическое поведение собственных значений оператора с двумя малыми параметрами и доказана сходимость спектров по Хаусдорфу при усреднении.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут найти применение при изучении физических процессов в микронеоднородных средах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете в 2001-2003 гг., на Международных молодежных научных конференциях "Гагаринские чтения" (г. Москва, 2001-2003 гг.), на Всероссийских научно-технических конференциях "Современные проблемы математики и естествознания" и "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Н. Новгород, 2001-2003 гг.).

Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 25 печатных работ, в том числе 8 статей, 17 тезисов докладов на Всероссийских и Международных конференциях. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[47].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, и списка литературы из 82 наименований,

1. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // ДАН СССР. - 1975.-Т. 221, №3.-С. 516-519.

2. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

3. Боголюбов H.H., Миропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. М.: Наука, 1967.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

6. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

7. Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. -М.: Мир, 1966.

8. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Известия РАН. Серия матем. 2002. - Т. 66, № 2. - С. 81148.

9. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости//Матем. сб. 2000. Т. 191, №7. - С. 31-72.

10. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сб. 1996. Т. 187, №8. - С.3-40.

11. Жиков В.В. К технике усреднения вариационных задач // Функц. анализ и его приложения. 1999. - Т. 33, выпуск 1. - С. 14-29.

12. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сборник. -1998. Т. 189, - №8. - С. 27-58.

13. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

14. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об усреднении задач на сетках критической толщины // Доклады РАН. 2002. - Т. 385, № 5. - С. 1-6.

15. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Матем. сб. 2003. - Т. 194, №5.-С. 61-96.

16. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об усреднении на периодических сетках // Доклады РАН. 2003. - Т. 391, № 4. - С. 443-447

17. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

18. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1976.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.

20. Котельникова A.A. Вопросы компактности для функций на графах // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Владимир: ВлГУ, 2002. - С. 143146.

21. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

22. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

23. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

24. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1976.

25. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

26. Олейник O.A. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов // УМН. 1975. - Т. 30, №4. - С. 259-260.

27. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: МГУ, 1990.

28. Олейник O.A., Шамаев A.C. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред // Механика неоднородных структур. Киев: Наукова думка, 1986. - С. 185-190.

29. Пастухова С.Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на сингулярных периодических структурах // Доклады РАН. 2002. - Т. 382, № 1. - С. 7-10.

30. Пастухова С.Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на тонких периодических структурах // Доклады РАН. 2002. - Т. 383, № 5. -С. 596-600.

31. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодической ящичной структуре критической толщины // Доклады РАН. 2002. - Т. 387, №4.-С. 447- 451.

32. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

33. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

34. Сандраков Г.В. Осреднение нестационарных уравнений с контрастными коэффициенами // Доклады РАН. 1997. - Т. 335, № 5. - С. 605-608.

35. Сандраков Г.В. Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред // Доклады РАН. 1998. - Т. 358, № 3. - С. 308-311.

36. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

37. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

39. Шамаев A.C. Спектральные задачи в теории усреднения и G-сходимости // ДАН СССР. 1981. - Т. 259, № 2. - С. 294-299.

40. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

41. Шульга С.Б. Усреднение нелинейных вариационных задач с помощью двухмасштабной сходимости // Труды математ. института им. В.А. Стеклова. 2002. - Т. 236. - С. 371-377.

42. Шумилова В.В. Об усреднении задачи с двумя малыми параметрами в среде с двойной пористостью // Матем. заметки. 2003. - Т. 74, №5. - С. 297-299.

43. Шумилова В.В. Об аппроксимативных свойствах для тонких сеток и тонкой ящичной структуры // Сборник трудов молодых ученых Владимирского государственного педагогического университета. Выпуск 3. Владимир: Изд-во ВлГПУ, 2003. - С. 290-297.

44. Шумилова В.В. Некоторые вопросы усреднения задач с двумя малыми параметрами // Аспирант и соискатель. 2002. - №13. - С. 188-194.

45. Шумилова В.В. О предельном переходе в некоторых переменных соболевских пространствах // Аспирант и соискатель. 2003. - №16. - С. 144-147.

46. Шумилова В.В. О предельном переходе для одного линейного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "XXIX Гагаринские чтения". Т.2. -Москва: МАТИ, 2003. С. 92-93.

47. Шумилова В.В. К вопросу усреднения задач на тонких сетках и тонких ящичных структурах // Тезисы докладов IV ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 25-26.

48. Шумилова В.В. К вопросу о выполнении аппроксимативных свойств для периодической тонкой ящичной структуры // Объединенный научный журнал. 2002. - №29. - С. 49-53.

49. Шумилова В.В. Об усреднении задачи с двумя малыми параметрами методом ассимптотических разложений // Аспирант и соискатель. 2003. -№16.-С.141-143.

50. Шумилова В.В. О вариационном методе решения задачи Дирихле для одного нелинейного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "XXVIII Гагаринские чтения". Москва: МАТИ, 2002. - С. 103-104.

51. Шумилова В.В. Усреднение одной вариационной задачи для тонких периодических сеток с помощью двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "XXVII Гагаринские чтения" Москва: МАТИ, 2001.- С. 68-69.

52. Шумилова В.В. О сходимости спектров при усреднении задач с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов VI ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" — Н. Новгород: НГТУ. 2003. -С. 28.

53. Шумилова В.В. Об аппроксимативных свойствах для структур в пространстве // Тезисы докладов VI ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ. - 2003. - С. 29.

54. Шумилова В.В. Об аппроксимативных свойствах для структуры на плоскости // Тезисы докладов VI ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ. - 2003. - С. 30.

55. Шумилова В.В. Об усреднении одной задачи в среде с двойной пористостью // Тезисы докладов IV ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ. - 2002. - С. 24.

56. Шумилова B.B. К вопросу о сильной аппроксимируемости соленоидальных векторов для некоторых периодических тонких сеток // Тезисы докладов III ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 2.

57. Шумилова В.В. К вопросу о сильной аппроксимируемости соленоидальных векторов для некоторых периодических тонких ящичных структур // Тезисы докладов III ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 1.

58. Шумилова В.В. Усреднение одного нелинейного эллиптического уравнения с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 3.

59. Шумилова В.В. Усреднение линейного эллиптического уравнения с двумя малыми параметрами с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов II ВНТК "Современные проблемы математики и естествознания" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 3.

60. Шумилова В.В. О соленоидальных векторах на бесконечно тонкой ящичной структуре // Тезисы докладов IV ВНТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" Н. Новгород: НГТУ, 2002. - С. 27.

61. Шумилова В.В. О соленоидальных векторах на тонкой ящичной структуре // Тезисы докладов III ВНТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" -Н. Новгород: НГТУ, 2002. С. 45.

62. Шумилова В.В. О решении одной задачи Дирихле с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" — Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 46.

63. Шумилова В.В. Усреднение краевой задачи для пластины с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТКИнформационные технологии в науке, проектировании и производстве'' -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 47.

64. Шумилова В.В. Применение сглаживающих функций в задачах построения диагностических моделей // Тезисы докладов III ВНТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 11.

65. Шумилова В.В. Усреднение одного дифференциального уравнения для диагностики жидкой среды // Тезисы докладов III ВНТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 12.

66. Экланд Н., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.

67. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. - V. 23. - P. 1482-1518.

68. Allaire G., Damlamian A, Hornung U. Two-scale convergence on periodic surfaces and applications // Mathematical modelling of flow through porous media. Editors: Bourgeat A, Carasso C., Luckhaus S., Mikelic A. Singapore. -1995.-P. 15-25.

69. Arbogast Т., Douglas J., Hornung U. Derivation, convection, adsorpition, and reaction of chemicals in poros media // SIAM J. Math. Anal. 1990. - V. 21, No 4.-P. 823-836.

70. Bensoussan A., Lions J., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. Amsterdam: North Holland, 1978.

71. Bouchitte G., Buttazzo G., Seppecher P. Energies with respect to a measure and applications to low dimensional structures \\ Calc. Var. 1997. - V. 15. - P. 3172.

72. Bouchitte G., Valadier M. Integral representation of convex functionals on a space of measure \\ Ann. Scuola Nor. Sup. Pisa CI. Sci. 1993. - V. 20. - P. -483-533.

73. Buttazzo G. Semicontinuity, relaxations and integral representation in the Calculus of Variations. Pitman. London. - 1989.

74. Chechkin G.A., Jikov V.V., Lukkassen D., Piatnitski A.L. On Homogenization of Networks and Juncions // Asymptotic Analysis. 2001. - No 5. - C. 320341.

75. Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A. Homogenization of differentional operators and integral functionals. Springer-Verlag. 1994.

76. Fragala I., Mantegazza C. On some notions of tangent space to a measure \\ Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1999. - V. 129. - P. 331-342.

77. Mosco U. Composite media and asimptotic dirichlet forms \\ J. Funct. Anal. -1994.-V. 123. P. 368-421.

78. Nazarov S.A. Korn's inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods \\ Math. Methods Appl. Sci. -1997. V.20, No 3. - P. 219-243.

79. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization. SIAM J. Math. Anal. - 1989. - V. 20. - P. 608623.

80. Saint Jean Paulin J., Cioranescu D. Homogenization of Reticulated Structures // Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag , Berlin-New York. - 1999. -V. 136.

81. Neuss-Radu M. Some extensions of two-scale convergense // C. R. Acad. Sciences Paris. 1996. - V. 322, Seria I. - P. 899-904.