Некоторые вопросы акустики пористых сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 9

Космодемьянский Дмитрий Александрович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АКУСТИКИ ПОРИСТЫХ СРЕД

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2007

003055638

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А С Шамаев

доктор физико-математических наук, профессор В В Власов, кандидат физико-математических наук А.Ю. Беляев

Физический институт имени П Н Лебедева РАН

Защита диссертации состоится "_13_"_апреля_2007 г в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501 001 85 в Московском государственном университете им. М.В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "_13_"_марта_2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, f^-t7^ ' 0/J/

доктор физико-математических Г\)| 1/ [AÎ//

наук, профессор X) У Т-П Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задачам, связанным с построением так называемых "эффективных" или "усредненных" характеристик сильнонеоднородных сред, посвящено очень большое количество работ как российских, так и зарубежных авторов Среди множества рассматриваемых моделей неоднородных сред можно выделить модели так называемых "комбинированных сред" , представляющих собой смесь из двух фаз с различными механическими свойствами, так, например, каркая из упругого материала и сжимаемая (или несжимаемая) вязкая жидкость Для построения "эффективных" или "усредненных" моделей часто используется предположение о периодичности структуры включений материала одной фазы в другую Под усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с постоянными (или относительно медленно меняющимися) "эффективными" характеристиками, что решения краевых задач для исходных двухфазных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для "усредненной" модели, когда период е рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю При этом в ряде случаев сходимости в классическом смысле (например, в пространстве Ь2) может и не быть Для упомянутой выше задачи о среде "упругий каркас - сжимаемая жидкость" сходимость решений будет сильной только на "упругой" фазе, на "жидкой" фазе сходимости в классическом смысле не будет1 Чтобы определить более точно характер поведения допредельных сред на "жидкой фазе" и установить связь допредельных решений с решением соответствующей задачи для усредненной модели, Г Нгуэтсенгом2 было введено понятие "двухмасштабной сходимости" Это понятие является развитием понятия слабой сходимости Его отличительной особенностью является то, что двухмасштабный предел

JR Р Gilbert, A Mikelic,"Homogenizing the acoustic properties of the seabed Part, I", // Nonlinear Analysis, 40, pp 185-212,2000

2G Nguetseng/'Asymtotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics",//SIAM J Math Anal Vol 21, No 6, pp 1396-1414,1990

последовательности функций есть функция от двух групп переменных от переменных, меняющихся внутри области, и переменных, меняющихся внутри ячейки периодичности Такая функция содержит существенно больше информации о поведении допредельной последовательности решений, чем слабый предел, а именно - она говорит о том, как именно "осциллирует" последовательность, а не только каково среднее значение, вокруг которого она "осциллирует"

Другой важной особенностью "усредненной" модели для упомянутой выше среды "упругий каркас - сжимаемая жидкость" является то обстоятельство, что она не описывается системой дифференциальных уравнений Искомой "усредненной" модели соответствует интегро-дифференциальная система уравнений, содержащая слагаемые вида свертки неизвестной функции с экспоненциально затухающим ядром свертки, зависящим только от временной переменной Другой способ описания "усредненной" модели3 состоит в выводе системы уравнений для двухмасштабного предела исходной последовательности решений, то есть некоторой системы уравнений на функции от "удвоенного" количества независимых переменных

Этот способ получил широкое распространение в последнее время Однако в ряде случаев представляется более целесообразным в прикладных целях выразить усредненную модель через интегро-диф-ференциальную систему уравнений для функций от исходного (а не "удвоенного") числа независимых переменных Кроме того, также представляется целесообразным сформулировать теорему о сходимости решений без использования понятия двухмасштабной сходимости, пользуясь только классическими терминами При этом, в случае отсутствия сильной сходимости утверждение о сходимости должно быть сформулировано не в терминах слабой сходимости и не в терминах двухмасштабной сходимости, а как утверждение о стремлении к нулю нормы ||гх£(:г,£) — и(х,х/е,Ь), где и£(х^) - последовательность решений допредельных задач для исходной двухфазной среды, е -

3В В Жиков, "Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости "//Математический сборник, Т. 191, №7, с 31-72, 2000

величина периода, и(хуу, £) - функция, которую можно представить явно из решения некоторых вспомагательных краевых задач на ячейке периодичности и через решение интегро-дифференциальной системы для "усредненной" модели, Л - область, занятая двухфазной средой Упомянутые особенности задач для "комбинированных сред" характерны не только для сред, составленных из фаз с существенно различными механическими свойствами, с различной "реологией" Они также имеют место и для сред, составленных из однотипных по "реологическим" свойствам материалов, но с механическими параметрами, существенно различными по величине Так, ранее рядом авторов была детально исследована так называемая задача о двойной пористости -о распространении (диффузии) жидкости в материале, составленном из двух фаз хорошо проводящей жидкость и плохо проводящей жидкость При этом предполагается, что коэффициенты проводимости соотносятся как 1 и е2 , где е — размер периода структуры В этой задаче также налицо упомянутые выше особенности усредненных моделей и утверждений о сходимости последовательности решений исходных задач к решению усредненной задачи Интересный пример представляет задача о распространении звуковых волн в суспензии (микстуре) из двух сжимаемых слабовязких жидкостей, когда при стремлении е (периода структуры) к нулю, вязкость обеих жидкостей "вырождается" как е2 В этом случае усредненная модель описывается так называемым "динамическим законом Дарси4" Это - система уравнений, которую можно свести к волновому уравнению на усредненное давление с интегро-дифференциальным слагаемым типа свертки по временной переменной вторых производных функции давления с некоторым ядром, представляющим собой сумму экспонент Там же изучена сходимость решений исходной системы к решению усредненной системы и даны соответствующие теоремы о сходимости в терминах слабой сходимости (Сильной сходимости смещений жидкостей и их скоростей тут не будет ни в одной из фаз, давление же будет сходиться сильно на обеих фазах, то есть в совокупной области)

4Э Санчес-Паленсия, "Неоднородные среды и теория колебаний",//Москва, "Мир", 1984, 472с

В В Жиковым5 показано, что спектр предельной задачи для проблемы двойной пористости, о которой упомянуто выше, представляет собой счетное число "серий", сходящихся к концам интервалов на вещественной оси, в которых точек спектра точно не может быть, они называются "лакунами" При этом, как границы лакун, так и точки спектра из различных серий являются нулями или полюсами некоторых мероморфных функций, которые могут быть представлены явно Естественно, в таком случае возникает вопрос - сохранится ли подобная картина для "динамического закона Дарси" и "закона Био" (то есть закона, описывающего распространение звуковых волн в среде "упругий каркас - вязкая жидкость")

Цель работы.

Целью работы является строгий вывод предельных уравнений в случае системы Био, доказательство сильной двухмасштабной сходимости допредельных функций к решению усредненной задачи, а также исследование спектров предельных ("усредненных") моделей для упомянутых выше случаев

Основные методы исследования.

В работе используются методы теории усреднения и ряд новейших результатов этой теории В первую очередь, это теория двухмасштабной сходимости В частности, большое значение имеют теоремы о связи сильной и слабой двухмасштабных сходимостей и сильной двухмасштабной сходимости и классической сходимости по норме Ьч При исследовании спектральных вопросов, делается существенное упрощение в рассматриваемых задачах, а именно - изучается спектр только одномерных движений, то есть спектр "стоячих волн" в "усредненной" среде, бегущих от одного края "стенки" к другому в перпендикулярном "стенке" направлении со скоростями и смещениями тоже только в перпендикулярном "стенке" направлении. Подобное упрощение дает качественную картину прохождения звуковых волн в подобных средах В работе также использованы методы комплексного анализа при ана-

5В В Жиков, "Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости "//Математический сборник, Т 191, №7, с 31-72, 2000

лизе свойств нулей и полюсов мероморфных функций, зависящих от малого параметра Широко применяется теория пространств Соболева в переменных пространствах, используются новейшие достижения в области спектральной теории усреднения Для выявления структуры спектров рассматриваемых задач первоначально применялись численные методы Далее полученную качественную структуру спектров удалось строго обосновать При моделировании задач для ЭВМ использовались научные результаты, основанные на физических опытах, проводившихся в ведущих НИИ как в нашей стране, так и зарубежом

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем

1 Строго выведена усредненная система (в интегро-дифференциальной форме) для материала "упругое вещество - вязкая сжимаемая жидкость"

2 Получено доказательство в терминах Ьг -сходимости о близости решений допредельных задач к решению усредненной

3 Проведен анализ спектральных вопросов для нескольких предельных (усредненных) задач в пористых средах Получены точные формулы для собственных частот и декрементов одномерных собственных колебаний в упругих средах

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический и практический характер Полученные результаты могут быть использованы в различных задачах акустики пористых сред Возможно, качественная картина спектров будет аналогична рассмотренным в этой работе случаям спектров одномерных движений Вероятно также, что может быть построена адекватная данным задачам абстрактная операторная схема Полученные результаты могут быть использованы в разрешении вопросов о сходимости как множеств спектров для допредельных моделей к спектрам, отвечающим "эффективным" или "усредненным" моделям Настоящая работа дает основания утвержать о возможности сравнения теории

эффективных сред типа Био с экспериментальными данными о колебании ограниченных объемов

Апробация диссертации.

Изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались на заседаниях кафедры дифференциальных уравнений в 2005 и 2006 годах, на международных конференциях "Nonlinear Partial Differential Equations", (Алушта, 17 - 23 09 2005) и "Differential and Functional Differential Equations", (Москва, 14 - 21 08 2005 ), на семинаре "Динамика управляемых систем"ИПМ РАН (2005 год, руководитель - академик РАН Ф JI Черноусько), на семинаре "Избранные задачи механики сплошной среды "ИМП РАН (2006 год, руководители д ф -м н JI Д Акуленко , д ф-м н С В Нестеров ), на семинаре "Асимптотические методы в математической физике "(2005, 2006 год, руководители проф В В Жиков, проф А С Шамаев, проф Т А Шапошникова), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика А Н Тихонова (Москва, 19 - 25 06 2006), а также на Международной конференции по динамическим системам (Суздаль, июль 2006)

Публикации

Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата, см [1-5]

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на параграфы, заключения, иллюстраций и списка литературы Полный объем диссертации - 88 страниц, библиография включает 55 наименований, иллюстрации находятся на 10 листах

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 приводится задача "двойной пористости", сообщаются результаты усреднения в этой задаче, а также проведен анализ спектров предельной задачи для случая "одномерных" движений

В главе 2 приводится задача о фильтрации жидкости в пористой среде Более полный анализ этой задачи и доказательство тео-

ремы 3 можно найти в монографии А Л Пятницкого, Г А Чечкина, А С Шамаева6

В главе 3 рассматривается задача о колебаниях "микстуры" (суспензии) двух вязких сжимаемых жидкостей в замкнутом сосуде Здесь при анализе спектра упрощенной предельной задачи выявляется основная особенность поведения предельного спектра В отличие от задачи "двойной пористости", спектр предельного оператора не будет вещественным, а, напротив, будет содержать две серии комплексно сопряженных точек, действительные части которых накапливаются к некоторой точке, а мнимые - стремятся к бесконечности (см фиг 1)

Фиг. 1.

Кроме того, возникают так называемые спектральные лакуны (spectral gaps), характерные для некоторых задач квантовой механики Вышеуказанные результаты отражены в Теоремах 4—5 (см фиг 2)

6 A J1 Пятницкий, Г А Чечкин, А С Шамаев, Усреднение Методы и некоторые приложения - Новосибирск, 2006 (в печати)

Фиг. 2.

На фиг 1 и фиг 2 Nt - нули некоторой мероморфной функции, тп, - ее полюса, а2 - спектр предельной задачи, Хо - точка "накопления" действительных частей комплексных серий спектра, Лг -"спектральные лакуны "

В главе 4 рассмотрен так называемый "Закон Био", то есть закон, описывающий распространение звуковых волн в среде "упругий каркас - вязкая жидкость" Приводится историческая справка, постановка задачи по Г Нгуетсенгу7, приведены предельные теоремы, необходимые для доказательства двухмасштабной сходимости Указано, что структура предельной задачи установлена в работах Я Френкеля8 и М Био9), которые, однако, не содержат строгих доказательств Строгое доказательство двухмасштабной сходимости решений допредель-

7G Nguetseng/'Asymtotic analysis for a stiff variational problem arising m mechanics",//SIAM J Math Anal Vol 21, No 6, pp 1396-1414, 1990

8J FYenkel, On the Theory of Seismic and Seismoelectric Phenomena in Moist Soils // J Phys U S S R. - V 8, - 230 - 1944

SM A Biot, "Mechanics of deformation and acoustic propagation m porous media",// J Appl Phys , 33, pp 1482-1498, 1962

ной системы уравнений к решениям усредненной задачи проведено в параграфах 4-7 главы 4.

Пусть (см, фиг. 3} В — периодическое с периодом 1 открытое множество в К3 с гладкой границей -ограниченная область в К3 так же с гладкой границей, П* = П еВ, = 0,\еВ. Вводится также обозначение 0> =]0,1[х]0,1[х)0,1[ - единичный куб в Ж3:

Фиг. Л.

Усредненная задача формулируется следующим образом: Найти пару функций (и(х, Ь), р(х, £)), и(х, ¿) = (и1 (.-г, I), и2(х. £). и3(х, Ь)), что

рйк + рф1к(1) * сГ(х,г) - рЧ^х^) -

др

дх{

др

д , ди1 , .. .и. . _

= дх~^т1дх1 ~ + / ъП>

I

( - +0)р{х>1) + (Иух{(11Ыт)&)*(Г(хлг)-р*ё{х,1)-

др

- ¿¿г(*>0)) + = 0 вЦ

u(x,0) = й{х,0) = ОвП

t

Здесь (/ * д) (t) = f f(t — т)д(т)<1т - обозначение для свертки функ-о

ций / и д, a D(t) - матричная (3x3) функция, коэффициенты которой - гладкие функции переменной t

(ЭД)ч = J(drUy,t)dy>

Q

а в.г определяются из задачи на ячейке периодичности (г = 1,2,3)

W(y) + ps^{y) - ^yyliv) = о, У е Q п В, divy «¿¡ = 0, у € Q П В i1)

dtldQns = 0, dt|i=o = е,,

Здесь е,, (г = 1, 2,3) - единичные орты

Решение (1) существует и единственно с точностью до аддитивной постоянной для давления, ац, (3, /Зу, П, ql3ki, а также р и // суть константы, определяемые физическими характеристиками среды

В параграфах 8-9 приведено спектральное исследование упрощенной предельной задачи Обнаружена аналогия в качественном поведении спектров рассматриваемой задачи с поведением спектров задачи о колебании суспензии двух вязких сжимаемых жидкостей в замкнутом сосуде (глава 3)

В действительности, при моделировании задачи на компьютере (пакет Mathematica 4 2) при помощи численных методов была получена качественная картина спектров предельной задачи Спектр состоял не только из серий действительных значений, накапливающихся к некоторым точкам Также спектр предельной задачи содержал серию комплексно-сопряженных собственных чисел, действительные части которых накапливались у фиксированной точки, а мнимые части по модулю стремились к бесконечности Здесь картина полностью соответствует фиг 1 для "микстуры"(суспензии двух жидкостей)

Это утверждение удалось строго доказать, используя методы теории функций комплексного переменного, в том числе анализ нулей и

полюсов мероморфных функций, разложение по малому параметру в окрестностях особых точек

Кроме того, возникают, как и в задаче о колебании суспензии двух вязких несжимаемых жидкостей, так называемые спектральные лакуны (spectral gaps) - интервалы числовой оси, в которые не попадает ни одно собственное значение, характерные для некоторых задач квантовой механики Здесь картина так же соответствует фиг 2 для "микстуры"(суспензии двух жидкостей)

Указанные выше результаты сведены в Теоремы 11-12

В главе 5 доказана основная Теорема 14

Имеют место следующие сходимости (определение областей см на фиг 3)

Х(Щ)р£(х)^ир(х), —* 2 —' —* йе(х) —► й(х) + U)(x, у),

еЧхйе{х) Л Vyw(x,y), X (П*) (vA{x)) ^ X (П П Q\B) (vj(x) + V^x.y)) ,

где знак —» обозначает сильную двухмасштабную сходимость, Х(Л) - характеристическая функция множества А, р(х, t) - предельное давление, u(x,t) - предельное смещение каркаса, й\(х,у), w(x,y) - функции, выражения для которых приводятся в явном виде, П -физический коэффициент пористости среды, v(x) - преобразование Лапласа по t от функции v(x,t) (параметр Лапласа Л для простоты опускается)

Замечание

В силу результатов, приведенных и доказанных в работе В В Жи-кова10, Теорема 14 может быть сформулирована в терминах классиче-

10В В Жиков, " Об одном расширении и применении метода дву хм ас-штабной сходимости "//Математический сборник, Т 191, №7, с 31-72, 2000

ской ¿2 -сходимости следующим образом

Im||pe(®,t) — р(х, i)|U2(fi|x(o,+oo)) = О, lim ||ue(x,t) - ■u(:r,i)||z,2(ilbx(o,+oo)) = О,

limllVsUeix.i) - Vxu(x,t) - Vvüi(z,f,t)||L2(fijx(oi+0o)) = 0, lim||u£(x,i) - u(x,t) -^(ar.f.iJUb^njxio.+oo)) = 0. lime||Vx'U£(a:,i) - Vxu(x,t) - V^aj.f.^lUjiii'xio.+oo)) = 0,

В заключении кратко сформулированы результаты, а также приведен список возможных направлений применения результатов работы

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук А С Шамаеву за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения и доценту, кандидату физико-математических наук А А Космодемьянскому за поддержку в трудные минуты

Автор также выражает искреннюю благодарность всему коллективу Механико-математического факультета МГУ за бесценные знания, преподанные на факультете

Список работ автора по теме диссертации

1 Космодемьянский Д А "Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред"// Вестн Моек Ун-та Сер 1 Математика Механика, 2007, №2 , с 17—21

2 Космодемьянский Д А , Шамаев А С "О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью"// "Современная математика Фундаментальные направления" - Т 17 — Москва - с 88-109 - 2006

В работе спектральные вопросы исследованы Д А Космодемьянским, задача о сходимости была поставлена и разработана А С Ша-маевым, нахождение эффективной модели и доказательство сильной двухмасштабной сходимости проведено Д А Космодемьянским

3 Космодемьянский Д А "Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред"// "Nonlinear boundary-value problems" -Т 16-Донецк-с 132-155-2006

4 Kosmodemiyanskiy D "Acoustics in porous media"// "Intl conf NPDE, Book of abstracts" - с 117-118 - Донецк, 2005

5 Космодемьянский Д А ,Шамаев А С "О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью", // "Abstracts of DFDE-2005" - Москва - с 10-11 - 2005

В работе спектральные вопросы исследованы Д А Космодемьянским, задача о сходимости была поставлена и разработана А С Ша-маевым, нахождение эффективной модели и доказательство сильной двухмасштабной сходимости проведено Д А Космодемьянским

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 07. ОЗ О?

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л О,

Тираж 100 экз Заказ

Введение

Глава 1. Проблема двойной пористости

1.1. Постановка задачи

1.2. Спектральный анализ

1.3. Результаты

Глава 2. Стационарная задача фильтрации в пористой среде

Глава 3. Проблема колебаний суспензии из двух жидкостей в ограниченном сосуде

3.1. Постановка задачи

3.2. Спектральный анализ

3.3. Результаты

Глава 4. Малые колебания комбинированной среды, состоящей из вязкой сжимаемой жидкости и упругого каркаса (Закон Био)

4.1. История вопроса

4.2. Постановка задачи

4.3. Предельные теоремы

4.4. Слабая двухмасштабная сходимость

4.5. Задача на ячейке периодичности

4.6. Предельная система уравнений

4.7. Исключение относительного перемещения из системы

4.8. Спектральный анализ

4.9. Результаты

Глава 5. Сильная двухмасштабная сходимость

5.1. Определение и основные свойства

5.2. Шаг

5.3. Шаг

5.4. Результаты

Задачам, связанным с построением так называемых "эффективных" или "усредненных" характеристик сильнонеоднородных сред, посвящено очень большое количество работ как российских, так и зарубежных авторов. В их числе представляют интерес работы как российских ([7], [37], монографии [28], [43] и ряд других), так и западных (например, [10], [13], [18], [21], [16]). Среди множества рассматриваемых моделей неоднородных сред можно выделить модели так называемых "комбинированных сред" , представляющих собой смесь из двух фаз с различными механическими свойствами, так, например, каркас из упругого материала и сжимаемая (или несжимаемая) вязкая жидкость. Для построения "эффективных" или "усредненных" моделей часто используется предположение о периодичности структуры включений материала одной фазы в другую. Такое предположение упрощает задачу о построении упомянутых "эффективных" или "усредненных" моделей. Под усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с постоянными (или относительно медленно меняющимися) "эффективными" характеристиками, что решения краевых задач для исходных двухфазных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для "усредненной" модели, когда период е рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю. При этом в ряде случаев сходимости в классическом смысле (например, в пространстве L2) может и не быть. Для упомянутой выше задачи о среде "упругий каркас - сжимаемая жидкость" сходимость решений будет сильной только на "упругой" фазе; на "жидкой" фазе сходимости в классическом смысле не будет. В делом, в совокупной области, представляющей собой объединение жидкой и упругой фаз, сходимость будет только слабой. Чтобы определить более точно характер поведения допредельных сред на "жидкой фазе" и установить связь допредельных решений с решением соответствующей задачи для усредненной модели, в [24] было введено и активно исследовалось (см., например, [34], [20], работы французских математиков [1], [22], [4]) понятие "двухмасштабной сходимости". Это понятие является развитием понятия слабой сходимости. Его отличительной особенностью является то, что двухмасштабный предел последовательности функций есть функция от двух групп переменных: от переменных, меняющихся внутри области, и переменных, меняющихся внутри ячейки периодичности. Такая функция содержит существенно больше информации о поведении допредельной последовательности решений, чем слабый предел; а именно - она говорит о том, как именно "осциллирует" последовательность, а не только каково среднее значение, вокруг которого она "осциллирует" .

Определение 1. Пусть и£(х) е L2(0) при любом г J. О , и для любых <р(х) € D(£l), ф(у) € D{Q) выполняется для некоторой функции щ(х, у). Тогда мы говорим, что и£{х) двух-масштабно сходится к функции и0(х,у) или

Часто такую сходимость называют еще слабой двухмасштабной сходимостью).

Другой важной особенностью "усредненной" модели для упомянутой выше среды "упругий каркас - сжимаемая жидкость" - по п fixQ и£(х,е) щ(х,у). этому пути идут [25], [46], [19] - является то обстоятельство, что она не описывается системой дифференциальных уравнений. Искомой "усредненной" модели соответствует интегро-дифференциальная система уравнений, содержащая слагаемые вида свертки неизвестной функции с экспоненциально затухающим ядром свертки, зависящим только от временной переменной. Другой способ описания "усредненной" модели, с успехом примененный в [35], состоит в выводе системы уравнений для двухмасштабного предела исходной последовательности решений, то есть некоторой системы уравнений на функции от "удвоенного" количества независимых переменных. Этот способ получил широкое распространение в последнее время. Однако в ряде случаев представляется более целесообразным в прикладных целях выразить усредненную модель через интегро-дифференциальную систему уравнений для функций от исходного (а не "удвоенного") числа независимых переменных. Кроме того, также представляется целесообразным сформулировать теорему о сходимости решений без использования понятия двухмасштабной сходимости, пользуясь только классическими терминами. При этом, в случае отсутствия сильной сходимости утверждение о сходимости должно быть сформулировано не в терминах слабой сходимости и не в терминах двухмасштабной сходимости, а как утверждение о стремлении к нулю нормы \\uE(x,t) — u(x,x/£,t)\\L3(a), где u£(x,t) - последовательность решений допредельных задач для исходной двухфазной среды, £ - величина периода, u(x,y,t) - функция, которую мы можем представить явно из решения некоторых всномагательных краевых задач на ячейке периодичности и через решение интегро-дифференциалыгой системы для "усредненной" модели, fl - область, занятая двухфазной средой.

Для этого в [35] введено понятие сильной двухмасштабной сходимости, и доказана эквивалентность с указанной сходимостью по норме:

Определение 2. Последовательность функций и£ сильно двух-масштабно сходится к функции и(х,у) € L2(Q х Q), если

Упомянутые особенности задач для "комбинированных сред" характерны не только для сред, составленных из фаз с существенно различными механическими свойствами, с различной "реологией" . Они также имеют место и для сред, составленных из однотипных по "реологическим" свойствам материалов, но с механическими параметрами, существенно различными по величине. Так, ранее была детально исследована так называемая задача о "двойной пористости" , к примеру в [5], [33], монографии [38]. Рассматривается задача о распространении (диффузии) жидкости в материале, составленном из двух фаз: хорошо проводящей жидкость и плохо проводящей жидкость. При этом предполагается, что коэффициенты проводимости соотносятся как 1 и е2, где е - размер периода структуры. В этой задаче также налицо упомянутые выше особенности усредненной модели и утверждений о сходимости последовательности решений исходных задач к решению усредненной задачи. Интересный пример представляет задача о распространении звуковых волн в суспензии (микстуре) из двух сжимаемых слабовязких жидкостей, когда при стремлении е (периода структуры) к нулю, вязкость обеих жидкостей "вырождается" как г2. В этом случае (см [46], [6], [12], [25]) усредненная модель описывается так называемым "динамическим законом Дарси" . Это - система уравнений,

1) lim е—О П п q которую можно свести к волновому уравнению на усредненное давление с интегро-дифференциальным слагаемым типа свертки по временной переменной вторых производных функции давления с некоторым ядром, представляющим собой сумму экспонент. В [46] изучена сходимость решений исходной системы к решению усредненной системы и даны соответствующие теоремы о сходимости в терминах слабой сходимости. (Сильной сходимости смещений жидкостей и их скоростей тут не будет ни в одной из фаз; давление же будет сходиться сильно на обеих фазах, то есть в совокупной области).

Целью настоящей работы является исследование спектров предельных ("усредненных") моделей для упомянутых выше случаев и доказательство сильной двухмасштабной сходимости решений допредельных задач к решению усредненной задачи. В работе [35] показано, что спектр предельной задачи для проблемы двойной пористости, о которой мы упомянули выше, представляет собой счетное число "серий", сходящихся к концам интервалов на вещественной оси, в которых точек спектра точно не может быть; они называются "лакунами" . При этом, как границы лакун, так и точки спектра из различных серий являются нулями или полюсами некоторых ме-роморфных функций, которые могут быть представлены "явно". Естественно, в таком случае возникают вопросы: 1) сохранится ли подобная картина для "динамического закона Дарси" и "закона Био" (то есть закона, описывающего распространение звуковых волн в среде "упругий каркас - вязкая жидкость"); 2) какое отношение имеет спектр предельной задачи к спектрам допредельных задач, то есть сходятся ли спектры допредельных задач как множества (например, в смысле сходимости множеств по Хаусдорфу) к спектру предельной задачи. Метод Елоховских операторов в применении к теории усреднения был также использован в [2] и [3].

Чтобы исследовать первый из поставленных вопросов, сделаем существенное упрощение в рассматриваемых нами задачах, а именно - будем изучать спектр только одномерных движений, то есть спектр "стоячих волн" в нашей "усредненной" среде, бегущих от одного края "стенки" к другому в перпендикулярном "стенке" направлении со скоростями и смещениями тоже только в перпендикулярном "стенке" направлении. В настоящей работе будет показано, что спектр таких "стоячих волн" для сред, описываемых "динамическим законом Дарси" и "законом Био", будет, вообще говоря, комплексным. На вещественной оси также появятся "лакуны" и серии вещественных точек спектра будут сходиться к краям лакун. Однако в этих случаях, в отличие от задачи о "двойной пористости" , появятся две комплексные серии точек спектра, уходящие на бесконечность, но так, что вещественные части имеют конечный предел. Здесь, как и для случая "двойной пористости" , все точки спектра и края "лакун" могут быть определены как нули и полюса некоторых мероморфных функций, которые могут быть найдены в явном виде. Второй из поставленных выше вопросов о спектре в настоящей работе не рассматривается. Следует отметить, что для случая "двойной пористости" этот вопрос частично решен в [35]. Там доказано, что если области с проводимостью е2 в периодической структуре не связаны между собой ("дисперсные включения"), то допредельные спектры сходятся к предельному в смысле сходимости множеств по Хаусдорфу. Для недисперсных включений вопрос до сих пор остается открытым.

Отметим еще, что аналогичные "лакуны" на вещественной оси появляются в задаче о спектре оператора Шредингера в периодической среде. Доказано, что при увеличении контрастности фаз среды, зонный спектр оператора Шрсдингера стремится но Хау-сдорфу к спектру из счетного числа интервалов, разделенных "лакунами" , края которых задаются с выражениями, совпадающими с полученными в [35]. Так, на основании оиисанного выше спектрального анализа можно установить общие черты задач, имеющих столь разную физическую и механическую природу.

Следует также отметить, что большое количество работ посвящено построению приближенных формул для "эффективных" или "усреденных" характеристик материалов вида "упругий каркас-сжимаемая жидкость"или суспензия из двух жидкостей, в которых указанные характеристики выражены через простые геометрические параметры ячейки периодичности рассматриваемой среды (см. [42]). Укажем на работу [26], в которой основные характеристики распространяющейся в среде плоской волны такие, как скорость распространения, декремент затухания и т.д. выражены приближенно через коэффициент пористости среды, так называемый "просвет" и, естественно, через характеристики исходных материалов: плотность, вязкость жидкости, модуль Юнга. Под "просветом" в заданном направлении распространения понимается доля освещенной площади на плоскости, ортогональной направлению распространения, если пучок света направлен по направлению распространения волны. Кроме того, в [27] приведены экспериментальные данные и описана технология проведения эксперимента по измерению характеристик собственных колебаний образцов из пористого материала, насыщенного вязкой жидкостью. Далее в настоящей работе будут приведены точные формулы для собственных частот и декрементов одномерных колебаний в упругих средах. Тем самым, вполне реальным становится исследование задачи о сравнении результатов расчета собственных колебаний и декрементов затухания с экспериментальными данными.

Перейдем к обзору содержания диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, введения и заключения.

В главе 1 приводится задача "двойной пористости" , сообщаются результаты усреднения в этой задаче, а также проведен анализ спектров предельной задачи для случая "одномерных" (описанных выше) движений.

В главе 2 приводится задача о фильтрации жидкости в пористой среде. Более полный анализ этой задачи и доказательство теоремы 3 можно найти в [44].

В главе 3 рассматривается задача о колебаниях "микстуры" (суспензии) двух вязких сжимаемых жидкостей в замкнутом сосуде. Постановка задачи дана по [24]. Здесь при анализе спектра упрощенной предельной задачи возникает интересная особенность поведения предельного спектра. В отличие от задачи "двойной пористости" , спектр предельного оператора не будет вещественным, а, напротив, будет содержать две серии комплексно сопряженных точек, действительные части которых накапливаются к некоторой точке, а мнимые - стремятся к бесконечности. Этот результат отражен в теоремах 4-5 (см. также фиг. 4 и фиг. 5) .

В главе 4 рассмотрен так называемый Закон Био то есть закон, описывающий распространение звуковых волн в среде "упругий каркас - вязкая жидкость". Сообщается историческая справка, постановка задачи но [24], приведены предельные теоремы, необходимые для доказательства двухмасштабной сходимости. Ранее ни один из авторов не получал при помощи двухмасштабной сходимости предельную задачу, известную из классических физических работ (таких как [14] или [8]). В параграфах 4-7 главы 4 проведено строгое доказательство двухмасштабной сходимости решений допредельной системы уравнений к решениям усредненной задачи.

11

В параграфах 8-9 приведено спектральное исследование упрощенной предельной задачи. Обнаружено интересное сходство поведений спектров рассматриваемой задаче с поведением спектров задачи о колебании суспензии двух вязких сжимаемых жидкостей в замкнутом сосуде (глава 3). Эти результаты сведены в теоремы 11-12 (см. также рисунки фиг. 8, 9, 10).

В главе 5 доказана основная теорема 14. Теорема. Имеют место следующие сходимости: х(П2)ре(х) Л np(ar), 2 й£(х) -* и(х) + й!(х, у), eVxue(x) Vvw{x,y), х (fi*) (vA(i)) д X (fi n Q\B) (Vxu{x) + Vyui{x,y)).

Замечание 1. В силу результатов, приведенных и доказанных в [35], теорема 14 может быть сформулирована в терминах сильной сходимости следующим образом:

Y\m\\pe(x,t) - p{x,t)\\L2{ni) = 0, lim||u£(:M) - u(x,t)\\L3^ = 0, lim \\ue(x,t) - u(x,0IUa(nf) = 0, lim \\Vxue(x,t) - Vxu(x,t) - Vyui(x, f)|U2(^) = 0, liin \\Vxii£(x,t) - Vxu{x,t) - ^уй^х^)^^) = 0,

YimJ\ue(x,t) - u(x,t) - w(x,z,t)\\L2{ni) = 0, lime||Vxu£(x,t) -Vxu(x,t) - Vxw(x,^,t)\\L2(QI) = 0, lim II u£(x,t) -u(x,t) -w(x,f,t) ||La(n«) =0, limellV^OM) - Vxu(x,t) - Vxw(x, f .Oll^n?) = 0.

В заключении приведен список возможных направлений применения результатов работы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук А. С. Ша-маеву за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения; своему отцу - доценту, кандидату физико-математических наук А. А. Космодемьянскому за поддержку в трудные минуты; кандидату физико-математических наук П. JL Гуревичу за советы в оформлении работы.

Заключение.

В данной работе рассматривается задача анализа спектра только одномерных движений для описанных выше моделей усредненных сред. Вопрос о построении спектров плоских и пространственных движений для моделей, рассмотренных в настоящей работе, не исследовался. Очевидно, это - интересная задача, требующая своего решения. Возможно, качественная картина спектров будет аналогична рассмотренным в этой работе случаям спектров одномерных движений. Вероятно также, что может быть построена адекватная данным задачам абстрактная операторная схема.

Интересно провести также анализ задачи о декременте затухания акустической волны, проходящей через "стенку" из материалов, эффективные модели которых приведены в данной работе.

Как уже отмечено во Введении, в настоящей работе не рассматривается вопрос о сходимости как множеств спектров для допредельных моделей к спектрам, отвечающим "эффективным" или "усредненным" моделям. В работе [35] этот вопрос рассмотрен для случая модели "двойной пористости". Обычно довольно просто доказывается утверждение, состоящее в том, что к каждой точке предельного спектра сходится некоторая последовательность из точек спектра допредельных задач. Доказательство обратного утверждения, состоящего в том, что каждая предельная точка подпоследовательности точек допредельных задач является точкой спектра предельной ("усредненной") модели, вызывает большие затруднения и требует дополнительных предположений. Это также интересная задача, требующая решения.

В рамках данной работы рассматриваются модели с периодической структурой. В последнее время рядом авторов были предприняты усилия по "стохастизации" задач усреднения для пористых сред (см [9]). Несомненный интерес представлял бы перенос различных результатов о спектрах на модели случайных сред, аналогичные рассмотренным выше.

В данной работе рассмотрен случай полного заполнения отверстия (или каналов) жидкостью. При моделировании реальных механических систем таких, как грунты, насыщенные жидкостью, необходимо учитывать, что заполнение отверстий или каналов здесь, как правило, не будет полным. Это обстоятельство должно привести к качественным отличиям в распространении волн. Математическое моделирование сред с неполным заполнением отверстий - еще одна интересная задача. Так, значительно большими здесь должны быть тепловые потери, поскольку при движении "каркаса" жидкость в норах будет вовлечена в движение не целиком а только в частях, примыкающих к каркасу, что приведет к большим градиентам скорости.

Интересную задачу представляет собой проблема построения эффективных характеристик среды, аналогичной рассмотренной в настоящей работе, с дополнительным условием малости объема упругой фазы (т.н. тонкие структуры). В таких задачах возникает еще один новый малый параметр - толщина упругих стенок или армирующих жидкость упругих прутьев. При такой постановке задачи возможно построение упругих характеристик в явном виде, без использования вспомогательных задач на ячейке. Поскольку само решение вспомогательной задачи на ячейке может быть с высокой степенью точности представлено в виде явной формулы.

Вполне возможно построить асимптотические разложения для серий вещественных и комплексных составляющих спектра рассматриваемых задач при стремлении номера собственного значения в данной серии к бесконечности. Для одномерного случая эта задача сводится к исследованию асимптотики нулей некоторых явно задаваемых аналитических функций. В общем случае, это - более сложный вопрос, но он представляет интерес и, с точки зрения автора, вполне доступен для дальнейшего исследования.

В связи с прикладными задачами акустики морского дна представляет интерес задача об отражении и преломлении акустической волны на границе раздела жидкости и среды, составленной из жидкости и упругих частиц, причем упругие частицы могут составлять как связный каркас, так и множество из отдельных, не связных между собой компонент. Предлагаемые в настоящей работе методы исследования могут быть применены к решению и этой задачи. Ранее аналогичные вопросы рассматривались для других дифференциальных уравнений и систем уравнений. Отличительной особенностью таких задач является наличие в рассматриваемой области двух частей: пористой или перфорированной части и однородной компоненты. Иногда такие области называют частично перфорированными. Большой интерес представляет построение в усредненных моделях граничных условий на границе контакта перфорированной и однородной частей. К построению такого усредненного граничного условия сведется, скорее всего, и упомянутая выше задача об акустике морского дна.

1. G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence // S1.M J. Math. Anal. - V. 23. - pp. 1482-1518. - 1992

2. G. Allaire, C. Conca, Bloch-wave homogenizatioii and spectral asymptotic analysis //J. Math. Pures Appl. V. 77. - pp. 153208. - 1998

3. G. Allaire, C. Conca, Bloch wave homogenization for a spectral problem influid-solid structures// Arch. Rational Mech. Anal. -135(3). pp. 197-257. - 1996

4. G. Allaire, A. Damlamian, U. Hornung, Two-scale convergence on periodic surfaces and applications // Mathematical Modelling of Flow through Porous Media. Editors: A. Bourgeat, C. Carasso, S. Luckhaus, A. Mikelid pp. 15-25. - Singapore. - 1995.

5. T. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung, Derivation of the double porousity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. V. 21., N 4 - pp. 823-836. - 1990.

6. A. Yu. Beliaev, Nonlinear Darcy Law in a Random Porous Medium// Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, HOMOGENIZATION In Memory of Serguei Kozlov -Vol. 50. 440pp. - 1999

7. A. Yu. Beliaev, S. M. Kozlov, Darcy equation for random porous media// Comm. Pure Appl. Math. V. 49. - pp. 1Ц34 - 1996

8. M.A. Biot, Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media,// J. Appl. Phys., 33, - pp. 1482-1498, - 1962

9. A. Bourgeat, A. Piatnitski, Approximations of effective coefficients in stochastic homogenization, //Ann. Inst. H. Poincare, Prob. Statistics 40, - N2, - pp. 153-165, - 2004.

10. D. Cioranescu, F. Murat, Un terme ёntrange venu d'ailleurs // Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications. -College de Prance Seminar Vols. II, III. - Pitman, Boston. - 1980

11. C. Conca, On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics// Publ. Lab. Anal. Numer. 83006. - pp. 1-63. - 1983

12. H. I. Ene, E. Sanchez-Palencia, Equations et phenomcnes de surface pour l'ecoulement dans une modele de milieu poreux // Jour. Мёсап. V. 14. - pp.73-108. - 1975

13. F. Fleury, Sёdimentation de particules solid dans un fluide visquex incompressible// Jour. Мёсап. V. 18. - pp.345-354. - 1979

14. J. Frenkel, On the Theory of Seismic and Seismoelectric Phenomena in Moist Soils // J. Phys. U.S.S.R. V. 8, - 230 -1944.

15. R.P. Gilbert, A. Mikelic, Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part I".// Nonlinear Analysis, - 40, - pp. 185-212, - 2000

16. U. Hornung, W. Jager, Diffusion, convection, adsorption and reaction of chemicals in porous media // J. Diff. Equat. V. 2 (92) - pp. 199-225 - 1991

17. Th. Levy, Acoustic phenomena in elastic porous media// Mech. Res. Comm. V. 4 (4) - pp. 253-257. - 1977

18. Th. Levy, Propagation of waves in a fluid-saturated porous elastic solid // Internat. J. Engin. Sci. V. 17. - pp. 1005-1014. - 1979

19. Th. Levy, E. Sanchez-Palencia, On boundary conditions for fluid flow in porous media// Internat. J. Engin. Sci. V. 13. - pp. 923940. - 1975

20. D. Lukassen, G. Nguetseng, P. Wall, Two-scale convergence// Intern. J. Pure and Appl. Math. V.20,N 1 - pp. 35-86. - 2002

21. A. Mikelic, Mathematical derivation of the Darcy-type law with memory effects, governing transient flow through porous media // Glasnik Mat. V. 29. - pp. 57-78. - 1994

22. M. Neuss-Radu, Some extension of two-scale convergence // C. R. Acad. Sciences Paris. V. 322, Seria I. - pp. 899-904. - 1996.

23. G. Nguetseng, A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. V. 20. - pp.608-623. - 1989.

24. G. Nguetseng, Asymtotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics,//SIAM J. Math. Anal. Vol. 21, - No. 6,-pp. 1396-1414, - 1990

25. J. Sanchez-Hubert, Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture// Math. Methods Appl. Sci. V. 2. - pp. 1-18. - 1980

26. JI. Д. Акуленко, С. В. Нестеров, Инерционные и диссииативные свойства пористой среды, заполненной вязкой жидкостью // Изв. РАН МТТ, N 1, - с. 109-120, - Москва, 2005

27. Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров, Исследование инерционных и упругих свойств пропитанных жидкостью гранулированных сред резонансным методом // Изв. РАН МТТ, N 5, - с. 145156, - Москва, 2002

28. Н. С. Бахвалов, Г. Н. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984

29. Gurtin M. E., Pipkin A. G., A general theory of heat conduction with finite wave speed, Arch. Rational Mech. Anal., 31, 113-126, 1968

30. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 3-е издание, М: Наука, 1977

31. Д. Б. Волков, Об осреднении некоторых краевых задач в областях с периодической структурой // ЖВМ и МФ,- т.22,-N1, с.112-122,- 1982.

32. Г. С. Горелик, Колебания и волны М.: ОГИЗ, 1950

33. В. В. Жиков, Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сборник. Т. 187, N 8. - с. 3-40. - 1996

34. В. В. Жиков, О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. Петровского. Вып. 23. М.: Изд-во Моск. Ун-та. - стр. 149-187. - 2003.

35. В. В. Жиков, Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Математический сборник, Т. 191,-N7,- с. 31-72,-2000

36. В. В. Жиков, Об усреднергии системы уравнений Стокса в перфорированной области //ДАН СССР,-т. 334,-N2,- с. 144-147,1994.

37. В. В. Жиков, Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах / / Изв. РАН. Серия мат. 2002 т. 66,N 2-е. 81-148. - 2002

38. В. В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник, Усреднение дифференциальных операторов, Наука, М. 1993.

39. К. Иосида, Функциональный Анализ М: Мир, 1967

40. J1. Ландау, Е. Лифшиц, Механика сплошных сред, том третий М.: ОГИЗ, 1944

41. Ж.-Л. Лионе, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972

42. В. С. Нестеров Вязко-инерционная дисперсия и затухание звука в суспензии высокой концентрации,// Акустический журнал РАН т. 5, - вып. 3, - с. 337-344, - Москва, 1956

43. О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, А. С. Шамаев, Математические задачи сильно неоднородных упругих сред, М.,: МГУ, 1990

44. А. Л. Пятницкий, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, Усреднение. Методы и некоторые приложения. Новосибирск, 2006 (в печати).

45. Г. В. Сандраков, Осреднение нестационарного потока Стокса в периодической перфорированной среде// ДАН,- т. 347,-N3,-с. 312-315,- 1996.

46. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний,- М.:, Мир, 1984

47. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике Ленинград: Изд-во Ленинградского Ун-та, 1950

48. С. Л. Соболев, Уравнения математической физики М.: ОГИЗ, 1947

49. А. С. Шамаев, В. А. Самарин, О распространении акустических волн в среде, состоящей из вязкой жидкости и упругого материала,// Москва, 2005 (в печати)

50. С. Б. Шульга, Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук- Владимир: Изд-во Владимирского Гос. Пед. Ун-та, 2004

51. Работы автора по теме диссертации.

52. Космодемьянский Д. А. "Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред"// Вестн. Моск. Унта. Сер. 1. Математика. Механика, 2007, N2, с. 17-21

53. Д. А. Космодемьянский, А. С. Шамаев, "О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью"// "Современная математика. Фундаментальные направления"- Т. 17 Москва - с.88-109 - 2006

54. Космодемьянский Д. А. "Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред"// "Nonlinear boundary-value problems" Т. 16 - Донецк - с. 132-155 - 2006

55. Kosmodemiyanskiy D. "Acoustics in porous media"// "Intl conf NPDE, Book of abstracts" c. 117-118 - Донецк, 2005

56. Д. А. Космодемьянский, А. С. Шамаев, "О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью", "Abstracts of DFDE-2005" с.10-11 - Москва, 2005вд------- ^2015