Динамика волн давления в насыщенных пористых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Лукин, Сергей Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ЛУКИН СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
ДИНАМИКА ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
насыщенных пористых средах изучается в связи с разнообразными задачами сейсмоакустики, акустического зондирования, интенсификации разработки нефтегазовых месторождений В этой связи представляется важной задачей изучение распространения импульса давления в пористой среде насыщенной флюидом Начало теоретических исследований волновых процессов в пористых средах было заложено в работах Я И Френкеля В дальнейшем теоретические исследования в области распространения волн в насыщенных пористых средах базировались Fia основных положениях механики многофазных сред
Задача определения динамических нагрузок, производимых ударными волнами на жесткие поверхности, экранированные пористыми материалами необходима для решения вопросов повышения взрывобезопасности производственных установок и окружающей среды При этом необходим учет нелинейных эффектов, диссипативных и дисперсионных свойств пористой среды и флюида Экспериментальное изучение быстропротекающих неравновесных волновых процессов в гетерогенных дисперсных средах связано со значительными трудностями анализа данных и их интерпретации В связи с этим требуется создание адекватных математических моделей для
Уфа 2007
003070366
Работа выполнена в Институте механики Уфимского научного центра Российской академии наук
Научный руководитель доктор физико-математических наук
Урманчеев Сайд Федорович
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор Донцов Владимир Егорович
кандидат физико-математических наук, доцент Галеева Гульшат Явдатовна
Ведущая организация Тюменский государственный
университет
Защита состоится « 25 » мая 2007 г в 12 — час на заседании диссертационного совета Д 212 013 09 при Башкирском государственном университете по
описания особенностей динамического поведения насыщенных пористых сред
Волновые процессы в гетерогенных средах характеризуются прежде всего скоростной и температурной неравновестностью фаз Эти эффекты требуют тщательного изучения для прогнозирования характера и дальности распространения волн Подавляющее большинство известных в литературе работ по моделированию распространения импульсов давления в насыщенных пористых средах посвящено течениям при постоянной пористости При работе с водо- или газонасыщенными грунтами часто приходится иметь дело с неоднородным пространственным содержанием твердых частиц в пласте Поэтому становится важным выявление закономерностей ударно-волновых процессов в таких средах с детальным анализом влияния всех видов межфазных взаимодействий
Таким образом, настоящая работа актуальна как с точки зрения углубления представлений о волновых процессах в многофазных средах, так и с точки зрения указанных выше приложений
Целью работы является аналитическое и численное исследование волновых течений в пористых средах насыщенных жидкостью, газом или газожидкостной смесью с учетом нестационарных сил межфазного взаимодействия, анализ особенностей распространения и затухания гармонических волн, волн конечной длительности, исследование процессов прохождения гармонических волн через границу однородной и пористой сред, выявление закономерностей прохождения волн давления в пористых средах с неоднородным объемным содержанием флюида, исследование и определение закономерностей отражения волн давления от жестких поверхностей, покрытых пористым веществом, сопоставление результатов с экспериментальными данными других авторов
В соответствии с поставленной целью решались следующие основные задачи
- исследование прохождения, эволюции и сгруктуры импульса давления в пористой среде, насыщенной жидкостью, газом или газожидкостной смесью,
- исследование влияния нестационарных сил (Бассэ-Буссинеска) на эволюцию импульса давления в насыщенной пористой среде, определение границ и характера влияния наследственной силы,
- определение закономерностей ударно-волновых процессов в пористых средах с неоднородным содержанием твердых частиц, изучение структуры и механизма затухания волн давления,
- изучение особенностей влияния параметров многофазной среды на распространение и отражение сигнала от преград, покрытых пористым веществом,
- исследование возможностей матемагических моделей для качественного и количественного описания экспериментальных данных других авторов,
- аналитическое исследование соотношений между фазовыми скоростями, декрементом затухания волны давления и частотой в пористых средах, частично или полностью насыщенных флюидом
Научная новизна. В работе получены следующие новые положения, выносимые на защиту
1 На основе линейного анализа систем уравнений, описывающих волновые течения в насыщенных пористых средах, выявлен характер влияния нестационарной силы Бассэ-Буссинеска на распространение волн
2 Построены численные решения распространения импульса давления в консолидированных пористых средах с учетом нестационарной силы Бассэ-Бусинеска
3 Установлены основные закономерности влияния пространственного содержания твердых частиц в плотноупакованных пористых средах на эволюцию импульсов давления
4 При помощи численных экспериментов установлены основные параметры фаз, которые определяют усиление или демпфирование пористым материалом воздействия импульса давления на жесткую поверхность
5 Получены аналитические выражения для асимптотических значений фазовых скоростей волн в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа в низкочастотном и высокочастотном пределах
Достоверность полученных результатов основана на использовании фундаментальных уравнений механики многофазных сред и обусловлена согласованием в предельных случаях новых уравнений с ранее известными, сравнении с экспериментальными результатами других исследователей в некоторых частных случаях
Практическая ценность работы заключается в установлении новых закономерностей распространения, затухания и отражения ударных волн в пористых средах, разработке методики учета неоднородного водо- или газосодержания Представленные в работе математическая модель и компьютерный код, с помощью которого проведены численные исследования, могут применяться для расчета и оптимизации пористых экранов для защиты поверхностей технических устройств от воздействия ударных волн, для анализа процессов в насыщенных пористых средах при использовании волновых технологий воздействия на призабойную зону пласта, могут служить в качестве математического обеспечения приборов, предназначенных для акустического зондирования призабойной зоны пласта Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Институт механики УНЦ РАН № ГР 01 200 211711 инв № 02 2 006 07716 за 2002-2006 годы
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов АН РБ и УНЦ РАН (Уфа, 2004 т), на школе-семинаре по механике многофазных систем под руководством академика РАН Р И Нигматулина (Уфа, 2005 г), на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Санкт-Петербург, 2005 г), на Ш-й школе - конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Украина, Алушта, 2005 г), на международной Уфимской зимней школе-конференции по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых уче-
ных (Уфа, 2005 г), на российской научно-технической конференции «Мав-лготовские чтения» (Уфа, 2006 г), на двенадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Новосибирск, 2006 г), на IX семинаре СНГ «Акустика неоднородных сред» (Новосибирск, 2006 г), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г), на III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А Ф Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006 г), на всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика», посвященной 30-летию Челябинского государственного университета (Челябинск, 2006 г), на VI региональной школе конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по магематикс, физике и химии (Уфа, 2006 г)
Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах Института механики УНЦ РАН под руководством доктора физико-магматических наук С Ф Урманчеева, Бирской государственной социально-нсдагогичсской академии под руководством профессора В Ш Шагапова и Уфимском государственном авиационном технологическом университете под руководством профессора В А Байкова и профессора Р К Газизова
Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях и 8 тезисах
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, основных выводов и списка использованной лшературы, содержащего 131 наименование Работа изложена на 156 страницах, содержит 58 рисунков
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи исследовании, отмечена научная новизна и практическая ценность полученных результатов
В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных
работ по исследованию волновых процессов в насыщенных пористых средах
Приведены основные предположения механики многофазных сред, в рамках
которых проводятся исследования
Во второй главе рассматривается распространение импульса давления
в консолидированной пористои среде, насыщенной жидкостью Система
дифференциальных уравнений для рассматриваемой системы имеет вид
дР, , дРРI = q др2 | др2и2 = Q
dt дх dt дх
dt ох dt дх дх
d2a2, „ d^. 1, . d2c2. ди2 d д Зч
Здесь, рп ц, а, - приведенная плотность, массовая скорость и объемное содержание 1-й фазы,/?, - давление жидкости, <т2., е2, приведенные напряжение и деформация скелета пористой среды, Ef. = plsp)., /■-,. - р20Д3., Dp, De. - скорости звука в скелете, соответствующие mi новенному и длительному модулям упругости Нижний индекс г-1,2 относится к параметрам флюида и ске-лэта Второй нижний индекс «О» относится к начальному состоянию параметра Межфазная сила 1'ц представляется в виде суммы силы трения Стокса F^ , силы присоединенных масс Fm и силы Бассэ-Буссинеска FB Для указанных сил можно записать следующие соотношения
С -2 1 \ „ I о Г d.U. d2u, Л
Fa = 6г7яи,а2а2'^щЛ
о ^
dp, d2u2 | dz дт дт
Здесь а2 - радиус частиц скелета, р° - истинная плотность жидкости, //, - динамическая вязкость жидкости, г)т и т]в - эмпирические коэффициенты Замыкают систему дополнительные соотношения, связанные с модельными представлениями
а,+а2=1, р,=ог,р,°, р,~ р0 + С; - р°а), рг=р!+р1./а2, р2.^-уа,., где рт — уст2* - приведенное давление, С, ^ - скорость звука в мате-
риале / — ой фазы, Д - ее сжимаемость, V - коэффициент Пуассона
С>(2)Мс Ьа>, м' Ь('>, м'
Рис 1 Зависимость фазовой скорости С и декремент затухания б для быстрой (сплошные линии) и медленной (штриховые линии) составляющих волны давления от частоты для системы «кварц-вода» (£>/»■ 1750 м/с,а?а -■-■ 0,25 мм, а10=0,45, т^г 3000, //„= 0,8) Линии 1 - 0, линии 2 - г/ц - 100, линии 3 - т]в - 200
Проводится исследование полученной системы на основе линейного
анализа На рис 1 проиллюстрировано влияние нестационарной силы Бассэ-Буссинеска на фазовую скорость С и декремент затухания 8 волны первого (сплошные линии) и второго (штриховые линии) типа в системе «вода-кварц»
При прохождении импульса давления в насыщенную пористую среду исходное возмущение распадается на две волны - быструю (волну первого типа) и медленную (волну второго типа) Такой эффект обусловлен различными сжимаемостями скелета и насыщающего его флюида В быстрой волне частица скелета и флюида находятся в сжатом состоянии, поэтому межфазные силы на распространении волны почти не сказываются В медленной волне частицы жидкости еще находятся в сжатом состоянии, в то время как частицы скелета успевают разжаться При лом значения скоростей фаз на-
правлены я разные стороны Поэтому волна второго рода быстро затухает, так как сила межфазного взаимодействия пропорциональна абсолютной величине скорости фаз
Рис 2 Зависимости фазовой скорости С и декремента затухания д для быстрой (сплошные линии) и медленной (штриховые линии) волн от частоты со (£>/•= 1750 м/с, аа= 0,35,
Г]/г- 3000, т]„ 0,8, т/в- 150) Линии 1 - а?о= 0,5 мм, линия 2 - а2о= 0,25 мм, линия 3 — а^гг' 0,05 мм
Из графиков видно, что с уменьшением т/в скорость медленной волны быстрее приближается к «замороженной» скорости звука в скелете На фазовую скорость быстрой волны сила Бассэ оказывает слабое влияние Наиболее сильное воздействие силы Бассэ-Буссинеска проявляется на высоких частотах Затухание быстрой волны носит более сложный характер Для частот от 103 Гц до 3 104 Гц превалирующее значение имеет сила с меньшим коэффициентом rj/j Декременты затухания отличаются в 2 раза Для частот более 3 104 Гц увеличение т?я влечет за собой увеличение S
На рис 2 проведено исследование влияния радиуса частиц, составляющих скелет пористой среды на скорости и затухание волн давления За счет большей проницаемости медленная волна затухает слабее в среде с более крупными частицами Фазовая скорость при этом уменьшается Затухание быстрой волны носит более сложный характер В среде с крупными частицами волна затухает медленнее, но при частотах больше 105 Гц затухание становится сильнее в среде с более мелкими частицами При этом фазовая скорость меняется незначительно
V/, м/с
Рис 3 Эшоры давления, приведённого напряжения, скоростей жидкости и твердых частиц при прохождении импульса давления из жидкости в насыщенную пористую среду при постоянной (сплошные линии), возрастающей от 0,55 до 0,8 (пунктирные линии) и убывающей от 0,55 до 0,3 (точечные линии) пористости, 500 мке, аг= 0,25 мм, £>с-= 1000 м/с, 0/>= 1750 м/с, г\ - 3000, т]т = 0,9, = 34 Числовые указатели у кривых соответствуют времени в мс
Данный эффект обусловлен увеличением ширины вязкой области вокруг твердых частиц, составляющих скелет пористой среды
Рассмотрим волновое течение в насыщенной пористой среде при переменной пористости (рис 3) Пусть начальное объемное содержание твердых час [иц изменяется по следующему закону а10 = К х2 \ М и N Пористость изменяется за счет переупаковки зерен На рис 3 огибающие линии по-
P/Po
Vi, м/с p/p0
i;,,m/C
3
10
15
0
5
1
0
0
0,5
1
0 0,25 0,5 0,75 x, м
0
0,25
0,5
x, м
Рис 4 Изменение максимального значения безразмерною давления и скорости жидкости в «медленной» (левые графики) и «быстрой» (правые графики) волн Линии 1 - пористость постоянна, линии 2 — убывает, линии 3 - возрастает, Значения параметров а/= 0,5 мм, £>,.= 1000 м/с, /у = 1750 м/с, Ьо = 690 мкс, ^ = 600, Т]т = 0,75, г/„ = 7
казывают изменение амплитуды импульса по пространству
На рис 4 представлены кривые изменения амплитуды давления в жидкости, скорости жидкости и твердых частиц в волнах первого и второго типа В случае постоянной начальной пористости амплитуда быстрой волны давления практически не изменяются Неоднородность начального содержания твердых частиц вносит нелинейность в систему При возрастании пористости происходит уменьшение амплитуд «быстрой» и «медленной» волн в упругом скелете Амплитуда «медленной» волны убывает менее интенсивно, поскольку быстро затухает При наличии вязкоупругих свойств затухание более выражено При увеличении пористости, амплитуда «быстрой» и в «медленной» составляющих ударной водны уменьшается (за время от 0,6 мс до 0,9 мс амплитуда быстрой волны уменьшается в 2 раза) В случае с убывающей пористостью происходит уменьшение амплитуд скорости твердых частиц и приведенного напряжения Суммарное напряжение в смеси также убывает Таким образом, неоднородное начальное содержание твердой фазы наиболее эффективно влияет на волну первого типа
2,0 20
1,5 ■ ...... / КА 1,5 -
О. ^ 10 > 1 а. « »о 1,0 -
05 Вч \ 05 я
0,0 4 0,0 С!
1
-0,5 0,0
1,5 мс
-0,5 0,0
05
1,0
1,5 1, мс
Рис 5 Сопоставление расчетных данных настоящей работы (штриховые линии) с экспериментальными осциллограммами БМ) БтеиШеЬ (1992) давления жидкости (сплошные линии) при отражении волны сжатия в жидкости от пористой среды Точечными линиями показаны расчеты по модели М Л Био
В соответствии с экспериментами БМ 1 ЗтеиЫеге были проведены численные расчета, результаты сравнения изображены на рис 5 Правый график изображает изменение давления в чистой жидкости (датчик находится над верхней границей пористого образца), левый — изменение давления в пористой среде (датчики находятся на расстоянии 10 см друг от друга) Сравнение расчетных и экспериментальных данных демонстрирует полное качественное их согласование Совпадение взаимного расположения фронтов волн на всех рисунках говорит как об адекватности модели, так и о правильно подобранных численных значениях параметров Расчсшые и экспериментальные амплитуды волн также близки по своим значениям в соответствующих точках Количественные отличия могут быть связаны с недостаточно точным описанием совокупности процессов межфазного взаимодействия и скорости в пористой среде
Проведенное исследование показало, что использование пористых сред в качестве защитных экранов сопряжено с необходимостью установления характера волнового воздействия Параметры пористых слоев насыщенных жидкостью несущественно влияют на отражение волны давления Наиболее ярко эффекты проявляются лишь в средах с различной акустической жесткостью Полученные результаты могут применяться для оптимизации пористых экранов для защиты поверхностей технических устройств от воздействия ударных волн
В третьей 1.1 две представлены результаты исследования распространения одномерных волн в пористои среде, насыщенной газом Проведено исследование процесса отражения волны давления от преграды, покрытой пористым веществом
Для плоского одномерного движения двухфазной среды при отсутствии фазовых переходов в данном случае дополним уравнения представленные во 2й главе уравнениями притока тепла
от р, ш ,
а,и2 _а2р, <12р\ , , с!ге2.
Рг -г---5"--~ + +
Ш рг т М
где р°, и, — истинная плотность и внутренняя энергия г-й фазы Система уравнений замыкается соотношениями, основанными на модельных представлениях
Р\ = =Си,(Т,-Г0), и2т = с2(т2-т„)
Здесь Т - температура г-й фазы, игт - внутренняя энергия, Л — газовая постоянная
Выражения для сил записываются аналогично случаю, когда пористая среда насыщена жидкостью Поскольку волновые процессы в газонасыщенных средах сопровождаются значительными величинами чисел Рейнольса, для определения коэффициента силы сопротивления г^ используем форму-
3 2а2р?Ъ. —, ,
ЛУ 7« =— С, Кс12, где Ке12 -—-- Коэффициент аэродинамического со-
16
противления Ср вычисляется следующим образом
24 4 4
С. „ =-+ + 0,42, при а2 < 0,08,
* Ке,, Ле?; И 2
С.. =
сг„ = -—I 1,75 + —[, при а2 > 0,45,
За, { а, Яе12 ^((а2 - 0,08)С2/1 + (0,45 - а2 )С,„) при 0,08 < а2 < 0,45
Выражение для интенсивности межфазного теплообмена записывается следующим образом (),1 = з12а1'Л.{т1 ~Т2), где Л --Я1 К'и, А, - коэффициент теплопроводности газа, 5|2 - удельная межфазная поверхность, а2 радиус твердой частицы, Т - температура г-й фазы
Рис 6 Сопоставление расчетных данных настоящей работы (пунктирные линии) с экспериментальными осциллограммами С J Wisst (1999) давления газа (сплошные линии) при отражении волны сжатия от пористой среды и от твердой сгенки покрытой пористым веществом Точками показаны линии, полученные из расчетов по линейной одномерной модели Био Линия 1 — давление в чистом газе, линия 2 - давление на дне пористого образца
При падении ударной волны па поверхность пористой среды она отражается почти также как от жесткой преграды Причина этого явления заключается как в значительно большей акустической жесткости пористой среды по сравнению с газом, так и в горможении потока газа в порах, возникающего в результате действия сил аэродинамического сопротивления частиц пористой среды
В соответствии с экспериментами С J Wisse были проведены численные расчеты, результаты сравнения изображены на рис. 6 В порисюй среде, насыщенной газом также происходит разделение исходного импульса на две волны Медленная волна в этой задаче характеризует фильтрационный процесс прохождения газа с избыточным давлением в пористую среду Скорость ее распространения равна 140 м/с Напряжения сжатия в скелете, возникшие после прохождения фронта быстрой волны, в медленной волне разгружаются Массовая скорость частиц газа в медленной волне достаточно ве-
лика, а скорость частиц скелста близка по значению скорости в быстрой волне При отражении ударной волны от пористой среды возникает поток газа через ее поверхность, обеспечивающий существование фильтрационного
процесса Давление в чистом газе и на дне пористого образца с течением времени выравниваются
Сравнение расчетных и экспериментальных данных демонстрирует полное качественное их согласование Совпадение взаимного расположения фронтов волн на всех рисунках говорит как об адекватности модели, так и о правильно подобранных численных значениях параметров Расчетные и экспериментальные амплитуды волн также близки по своим значениям в соответствующих точках Количественные отличия могут быть связаны с недостаточно точным описанием процессов межфазного взаимодействия и скорости в пористой среде
На основе параметров полученных из сопоставления с экспериментальными данными исследовалось влияние параметров пористой среды на процесс отражения импульса давления треугольной формы от жестких поверхностей покрытых пористым материалом Поскольку в пористой среде, насыщенной газом скорость быстрой волны много больше скорости медленной, то наиболее информативными являются графики показывающие изменение полного напряжения а На рис 7 показаны осциллограммы полного напряжения на поверхности, покрытой пористым материалом, состоящим га шариков полистирола Амплитуда импульса 3 атм, длина сопоставима с шириной пористого экрана Исследование проводится для разных значений начальной пористости При прохождении через «мягкую» пористую среду происходит сглаживание фронта волны Уменьшение пористости
Рис 7 Полное напряжение на жесткой поверхности в среде «воздух-полистирол» Линия 1 - пористый экран отсутствует, линия 2 - а,0=0,65, линия 3 - а,„=0,5, линия 4 -а)О-~0,35
газопасыщенной пористой среды вызывает уменьшение полного напряжения на стенке За импульсом движется волна разрежения
Представленная в работе математическая модель может применяться для расчета и оптимизации пористых экранов для защиты поверхностей технических устройств от воздействия ударных волн, а также для анализа процессов в насыщенных пористых средах при использовании волновых технологий воздействия на призабойную зону пласта.
В четвертой главе представлены результаты исследования распространения волн в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа Исследования проводились на основе системы уравнений 2 главы Вместо плопю-сти жидкости использовалась плотность газожидкостной смеси />, -ри + ри, где рп, р]2- приведенные плотности жидкости, газа и материала твердых частиц Система уравнений дополнялась соотношениями, описывающими поведение пузырьков газа в насыщенной жидкостью порисюй среде
Здесь ри - давление жидкости вдали от пузырька, /;,, - давление жидкости внутри пузырька, Ь, и>1|4 - радиус и радиальная скорость пузырька, п - количество пузырьков в единице объема смеси, к — коэффициент проницаемости Первый индекс г= 1, 2 относится к газожидкост ной смеси или к твердой фазе, второй индекс ¡=1,2 относится к жидкости или к газу, Межфазная сила представлялась в виде суммы силы Стокса, присоединенных масс и силы Бассэ-Буссинеска
Изучалось влияние межфазпых сил и параметров пористой среды на фазовые скорости и декремент затухания волн первою и второго типа В результате аналитического исследования параметров волн при насыщении по-
с1ф Ш
" = «О, р12 = «,т°. Р,, = (! - у)Ри •
ристои среды жидкостью с пузырьками газа получены выражения для асимптотических значений фазовых скоростей волн в низкочастотном пределе
с.
О У--2 О
Р\\Рю 2
Ао^-г^г'1 '"Т^Г ко (1-1Со)+«.о |(А1о-А^о + Зт2„) +
+1 - №,«I ^ -1 к + ,0[ 1 +
3Уо
(Ао+АоГх
р20С3б?|0 у
*+ -ГЛрпо - Рп0 + Зт20) + 3П«1) + -^а-11
\чА|оЧ| Рх«"1) V Ргч'-1а\и))
При другом предельном переходе ™ •-> м получим частный случай дисперсионного соотношения для определения «замороженной» скорости звука
С,С) + £,С) + Л, =0,
где А, = а,20/?20Л2.,
B, = -(«,оР2о + В)аю - (Ас + + - V» К-»). + + (а»«20 + - 1 ^ ~ V»Ко*
C, = (р,0р2а +(Ао +
При отсуютвии контакта между частицами одна пара решений будет тривиальнои С/= 0, а другая даст значение для квадрата «замороженной» скорости звука в гомогенной смеси
("10Р20 + ^Ко + (Ао";О + ^Х1 -ГоКо.
С2 =
(АоЛо+(Ао + + " П)
\ А1Ю11 РгоСг)
Полагая межфазное взаимодействие малым, для абсолютно твердых частиц получаем следующее выражение для скорости звука
1
1
^АвОмО-Со) Ра№ат, По теореме Виета из уравнения будет справедливым следующее равенство
,2 =_«10Р20Д/-___
(АоЛо + (я. + л. )в(^сТ+~~ )
где С/, С? скорости быстрой и медленной волн соответственно Положим, что материал твердой фазы несжимаем, малы силы присоединенных масс и плотей т, м/с Ьт'т,м1
Рис 8 Воздействие межфазных сил на скорости и декремент затухания волны первого типа (пунктирные линии) и волны второго типа (сплошные линии) 1 - = , 2 -
= ^ + Рт > ^ ' ^12 = ^ + Р* + Рц (шо " частота Миннаэрта) ность смеси определяется только объемным содержанием пузырьков газа
£> С
( Р°о = 0 -Уо)/>°о)> тогда С,С2 = ——-' Очевидно, что мы приходим к следующей
1-Со
£> .С
оценке для произведения скоростей волн С,С2 < ——- Таким образом, можно
1-Го
сделать вывод о том, что в высокочастотном диапазоне объемная концентрация пузырьков играет важную роль Наиболее сильное затухание импульса давления в пористой среде наблюдается при частотах близких к резонансной частоте пузырька
На Рис 8 показаны графики, описывающие влияние межфазных сил на фазовые скорости и декремент затухания быстрой и медленной волн Из графиков видно, что наиболее интенсивно влияние силы Бассэ-Буссинеска проявляется при высоких частотах на волну первого типа При низких частотах
нестационарная сила влияет на волну второго типа При высоких частотах на скорость распространения волны первого типа оказывает влияние сила присоединенных масс Таким образом, заполнив насыщенную пористую среду пузырьками газа разных размеров можно существенно ослабить исходный импульс
В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1 При распространении импульса давления в насыщенной пористой среде влияние силы Бассэ-Буссинеска наиболее сильно проявляется в характере затухания волн первого и второго типов в высокочастотной области спектра При этом скорость распространения медленной волны также значительно уменьшается, а влияние на скорость быстрой волны несущественно Численный анализ показал, что влияние нестационарной силы увеличивается при уменьшении разности плотностей твердой и жидкой фаз В низкочастотном диапазоне мелкие частицы вызывают более сильное затухание быстрой волны, чем крупные При высоких частотах затухание сильнее в среде с большим радиусом частиц
2 Установлено, что зависимость начальной пористости от пространственной координаты значительно влияет на характер волнового течения при распространении импульса давления В уплотняющейся (разрыхляющейся) среде давление жидкости в быстрой волне может возрастать (убывать), а напряжения в скелете при этом - убывать (возрастать) Массовые скорости частиц жидкости и скелета изменяются аналогично и синфазно друг другу
а) Медленная волна при учете сил межфазного взаимодействия во всех случаях интенсивно затухает независимо от характера изменения начальной пористости Скорости частиц жидкости и скелета имеют противоположный знак, обусловливая интенсивную диссипацию кинетической энергии медленной волны
б) Распространение волны в идеализированной насыщенной пористой среде с незначительным влиянием сил межфазного взаимодействия приводит к перетоку жидкости из области течения, охватываемой быстрой волной в область медленной волны Скорость частиц скелета при этом направлена в сторону распространения волнового импульса
в) Эффект повышения (понижения) интенсивности амплитуд импульса давления и приведенного напряжения в пористой среде с уменьшением (увеличением) пористости усиливается при увеличении отношения плотностей фаз
3 В случае воздушных ударных волн, характерная длина которых сопоставима с толщиной пористого слоя эффективная защита может быть обеспечена только с помощью экранов из «мягких фунтов» губчатой структуры при пористости свыше 0,5 В иных случаях пористый слой дополнительно увеличивает пиковую динамическую нагрузку на твердую поверхность
4 Наличие пузырьков газа в насыщенной пористой среде вносит существенную поправку в дисперсионные зависимости, обусловленную влиянием собственной частоты колебаний пузырьков (частота Мшшаэрта) В резонансной зоне происходит перестройка ветвей волн первого и второго типов В этой же обтасти частот происходит интенсивное затухание сигнала Анализ сил межфазного взаимодействия привел к выводу о незначительном добавочном влиянии сил присоединенной массы и Бассэ-Буссинеска на зависимость скоростей распространения волн первого и
второго типа от частоты Но влияние силы Бассэ-Буссинеска на декре-*
мент затухания волны первого типа в высокочастотной области весьма значительно
5 Численные расчеты позволили продемонстрировать полное качественное и удовлетворительное количественное соответствие экспериментальным данным во всем многообразии факторов, связанных с отражением волн от границ раздела фаз
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ
1 Закономерности отражения волн давления от твердых поверхностей, покрытых пористым слоем / Лукин С В , Губайдуллин Л Л , Урманчеев С Ф //Нефтегазовое дело -2006, №4 - С 35-40
2 Численное моделирование распространения импульса давления в уплотняющейся пористой среде / Лукин С В , Урманчеев С Ф // Вестник Башкирского университета - 2005, № 4 - С 8-16
3 Воздействие волны давления на жесткую стенку, покрытую пористым слоем / Лукин С В // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН - Уфа -2006, Вып 4 - С 156-165
4 Влияние переменной пористости на характер распространения волн давления / Лукин С В Урманчеев С Ф // Обозрение прикладной и промышленной математики -Москва — 2005, Т 12, Вып 2 - С 427-428
5 Динамика распространения волн давления в насыщенной пористой среде с неоднородной концентрацией частиц / Лукин С В Урманчеев С Ф // Акустика неоднородных сред -Новосибирск -2007, №124 —5с
6 К задаче о влиянии нестационарных эффектов на эволюцию импульса давления в насыщенной пористой среде / Лукин С В // Акустика неоднородных сред -Новосибирск -2007, №124 -4 с
7 Исследование волн ступенчатого вида в пористой среде при изменении концентрации твердых частиц / Лукин С В Урманчеев С Ф // Труды международной уфимской зимнеи школы-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых - Уфа - 2005 - С 178186
8 Численное исследование влияния силы Бассэ на распространение ударных волн в уплотняющейся пористой среде / Лукин С В Урманчеев С Ф // Труды российской научно-технической конференции «Мавлютовские чтения» -Уфа -2006, Т 4 - С 63-78
9 К задаче о влиянии межфазных сил на эволюцию ударных волн в насыщенной пористой среде / Лукин С В Урманчеев С Ф // Тезисы междуна-
родной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых - Уфа - 2005 - С 40
10 Задача об эволюции волн давления в насыщенных пористых средах с переменной пористостью / Лукин С В Урманчеев С Ф // Тезисы Зй научной школы-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» - Алушта -2005 - С 61-66
11 Численное исследование влияния межфазных сил в насыщенной пористой среде / Лукин С В // Тезисы 12й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых - Новосибирск - 2006 - С 669-670
12 Исследование волн давления в пузырьковых и насыщенных пористых средах / Лукин С В Галимзянов М Н // Тезисы IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике - Нижний Новгород - 2006 С 54
13 Динамика акустических волн в двухфазной среде при наличии завесы с изменяемой концентрацией частиц / Лукин С В , Галимзянов М Н // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика», - Челябинск - 2006 - С 82
14 Задача об эволюции волн давления в пузырьковых и насыщенных пористых средах / Лукин С В , Галимзянов М Н // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А Ф Сидорова - Абрау-Дюрсо -2006 С 28-29
15 К задаче о распространении ударных волн в насыщенных газом пористых средах / Лукин С В // Тезисы VI региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии -Уфа -2006 - С 120
16 Динамика волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа / Лукин С В // Тезисы 1 Зй Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых - Ростов-на-Дону - 2007 -С 596-597
Лукин Сергей Владимирович
ДИНАМИКА ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г
Подписано в печать 23 04 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,38 Уч-изд л 1,08 Тираж 100 зкз Заказ 221
Редакциоино-издательский ifeump Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32
Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РАБОТ ПО АКУСТИКЕ НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД.
1.1. Волны в насыщенных жидкостью пористых средах.
1.2. Динамика волн давления в газонасыщенных пористых средах.
1.3. Исследования импульсов давления в пористых средах насыщенных жидкостью с пузырьками газа.
1.4. Основные допущения.
ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ.
2.1. Математическая модель.
2.2. Линейный анализ.
2.3. Конечно-разностная аппроксимация системы уравнений насыщенных пористых сред и алгоритм решения задачи.
2.4. Волновые течения при прохождении импульса давления из жидкости в насыщенную жидкостью пористую среду.
2.5. Влияние переменной пористости на характер волнового течения.
2.6. Задача о прохождении стационарной волны давления из жидкости в насыщенную пористую среду.
2.7. Динамика воздействия импульса давления на поверхность, покрытую пористым веществом.
ГЛАВА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ ДАВЛЕНИЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ГАЗОМ.
3.1. Математическая модель.
3.2. Численный метод.
3.3. Задача об отражении волны давления от поверхности, покрытой газонасыщенной пористой средой.
3.4. Отражение импульса от поверхности, покрытой пористой средой.
ГЛАВА 4 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ С ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА.
4.1. Математическая модель.
4.2. Линейный анализ.
4.3. Аналитическое решение в предельных случаях.
4.4. Динамика малых возмущений с пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа.
Исследования волновых течений в гетерогенных системах представляют значительный научный и практический интерес. Обоснование и развитие методов механики многофазных сред позволяет описать разнообразные процессы в сплошных средах со сложной структурой, содержащих поверхности раздела фаз. Одними из наиболее распространённых видов многофазных систем являются насыщенные пористые среды.
Актуальность темы. Интерес к исследованию динамики пористых сред обусловлен широким распространением таких сред в природе и их интенсивным использованием в современной промышленности. В частности, пористые материалы используются в авиационной, аэрокосмической и архитектурной акустике для поглощения вредных шумов. Распространение волн в насыщенных пористых средах изучается в связи с разнообразными задачами сейсмоаку-стики, акустического зондирования, интенсификации разработки нефтегазовых месторождений. В этой связи представляется важной задачей изучение распространения импульса давления в пористой среде насыщенной флюидом. Начало теоретических исследований волновых процессов в пористых средах было заложено в работах Я.И. Френкеля. В дальнейшем теоретические исследования в области распространения волн в насыщенных пористых средах базировались на основных положениях механики многофазных сред.
Задача определения динамических нагрузок, производимых ударными волнами на жёсткие поверхности, экранированные пористыми материалами необходима для решения вопросов повышения взрывобезопасности производственных установок и окружающей среды. При этом необходим учёт нелинейных эффектов, диссипативных и дисперсионных свойств пористой среды и флюида. Экспериментальное изучение быстропротекающих неравновесных волновых процессов в гетерогенных дисперсных средах связано со значительными трудностями анализа данных и их интерпретации. В связи с этим требуется создание адекватных математических моделей для описания особенностей динамического поведения насыщенных пористых сред.
Волновые процессы в гетерогенных средах характеризуются, прежде всего, скоростной и температурной неравновестностью фаз. Эти эффекты требуют тщательного изучения для прогнозирования характера и дальности распространения волн. Подавляющее большинство известных в литературе работ по моделированию распространения импульсов давления в насыщенных пористых средах посвящено течениям при постоянной пористости. При работе с во до- или газонасыщенными грунтами часто приходится иметь дело с неоднородным пространственным содержанием твёрдых частиц в пласте. Поэтому становится важным выявление закономерностей ударно-волновых процессов в таких средах с детальным анализом влияния всех видов межфазных взаимодействий.
Таким образом, настоящая работа актуальна как с точки зрения углубления представлений о волновых процессах в многофазных средах, так и с точки зрения указанных выше приложений.
Целью работы является аналитическое и численное исследование волновых течений в пористых средах насыщенных жидкостью, газом или газожидкостной смесью с учётом нестационарных сил межфазного взаимодействия; анализ особенностей распространения и затухания гармонических волн, волн конечной длительности; исследование процессов прохождения гармонических волн через границу однородной и пористой сред; выявление закономерностей прохождения волн давления в пористых средах с неоднородным объёмным содержанием флюида; исследование и определение закономерностей отражения волн давления от жёстких поверхностей, покрытых пористым веществом; сопоставление результатов с экспериментальными данными других авторов.
В соответствии с поставленной целью решались следующие основные задачи:
- исследование прохождения, эволюции и структуры импульса давления в пористой среде, насыщенной жидкостью, газом или газожидкостной смесью;
- исследование влияния нестационарных сил (Бассэ-Буссинеска) на эволюцию импульса давления в насыщенной пористой среде; определение границ и характера влияния наследственной силы;
- определение закономерностей ударно-волновых процессов в пористых средах с неоднородным содержанием твёрдых частиц; изучение структуры и механизма затухания волн давления;
- изучение особенностей влияния параметров многофазной среды на распространение и отражение сигнала от преград, покрытых пористым веществом;
- исследование возможностей математических моделей для качественного и количественного описания экспериментальных данных других авторов;
- аналитическое исследование соотношений между фазовыми скоростями, декрементом затухания волны давления и частотой в пористых средах, частично или полностью насыщенных флюидом.
Научная новизна. В работе получены следующие новые положения, выносимые на защиту:
1. На основе линейного анализа систем уравнений, описывающих волновые течения в насыщенных пористых средах, выявлен характер влияния нестационарной силы Бассэ-Буссинеска на распространение волн.
2. Построены численные решения распространения импульса давления в консолидированных пористых средах с учётом нестационарной силы Бассэ-Бусинеска.
3. Установлены основные закономерности влияния пространственного содержания твёрдых частиц в плотноупакованных пористых средах на эволюцию импульсов давления.
4. При помощи численных экспериментов установлены основные параметры фаз, которые определяют усиление или демпфирование пористым материалом воздействия импульса давления на жесткую поверхность.
5. Получены аналитические выражения для асимптотических значений фазовых скоростей волн в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа в низкочастотном и высокочастотном пределах. Достоверность полученных результатов основана на использовании фундаментальных уравнений механики многофазных сред и обусловлена согласованием в предельных случаях новых уравнений с ранее известными, сравнении с экспериментальными результатами других исследователей в некоторых частных случаях.
Практическая ценность работы заключается в установлении новых закономерностей распространения, затухания и отражения ударных волн в пористых средах, разработке методики учёта неоднородного водо- или газосодержания. Представленные в работе математическая модель и компьютерный код, с помощью которого проведены численные исследования, могут применяться для расчёта и оптимизации пористых экранов для защиты поверхностей технических устройств от воздействия ударных волн, для анализа процессов в насыщенных пористых средах при использовании волновых технологий воздействия на призабойную зону пласта; могут служить в качестве математического обеспечения приборов, предназначенных для акустического зондирования приза-бойной зоны пласта. Результаты работы использовались при составлении отчёта о НИР Институт механики УНЦ РАН № ГР 01.200.211711 инв. № 02.2.006 07716 за 2002-2006 годы.
Структура работы. Диссертация состоит из четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных работ по исследованию волновых процессов в насыщенных пористых средах. Приведены принятые при составлении математической модели основные допущения механики многофазных сред.
Во второй главе представлены результаты исследования распространения одномерных волн в пористой среде, насыщенной жидкостью при неоднородном начальной концентрации твёрдой фазы. Исследовано влияние нестационарных сил межфазного взаимодействия на распространение «быстрой» и «медленной» волн в пористой среде. Исследованы защитные свойства пористой среды, насыщенной жидкостью.
В третьей главе представлены результаты исследования распространения одномерных волн в пористой среде, насыщенной газом. Исследовано влияние нестационарных сил межфазного взаимодействия (силы Бассэ-Буссинеска) на распространение «быстрой» и «медленной» волн в пористой среде. Проведено исследование процесса отражения волны давления от преграды, покрытой пористым веществом.
В четвёртой главе представлены результаты исследования распространения одномерных волн в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа. Приведены принятые при составлении теоретической модели основные допущения. Исследован эффект трансформации волн первого и второго рода при наличии пузырьков газа. Найдены аналитические выражения для асимптотических значений фазовых скоростей волн в низкочастотном и высокочастотном пределе.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах:
- Школа-семинар по механике многофазных систем под руководством академика РАН Р.И. Нигматулина, Уфа, 2005 г.
- Ш-я школа - конференция «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Украина, Алушта, 2005 г.
- Международная уфимская зимняя школа-конференцию по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 2005 г.
- Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», Уфа, 2006 г.
- Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Новосибирск, 2006 г.
- IX семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», Новосибирск 29 мая-2 июня, Новосибирск.
- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.
- III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.
- Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», посвященная 30-летию Челябинского государственного университета, Челябинск, 2006 г.
- VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии, Уфа, 2006 г.
- Тринадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Ростов-на-Дону, 2007 г.
Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах Института механики УНЦ РАН под руководством доктора физико-математических наук С.Ф. Урманчеева, Бирской государственной социально-педагогической академии под руководством профессора В.Ш. Шагапова и Уфимском государственном авиационном технологическом университете под руководством профессора В.А. Байкова и профессора Р.К. Газизова. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах. Автор выражает глубокую признательность своему учителю доктору физико-математических наук Урманчееву С.Ф.
Большое значение для автора имели ценные замечания и советы доктора физико-математических наук В.Е. Донцова, за что автор благодарен ему.
Автор признателен доктору физико-математических наук A.A. Губайдул-лина за постоянное внимание, помощь и поддержку в работе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. При распространении импульса давления в насыщенной пористой среде влияние силы Бассэ-Буссинеска наиболее сильно проявляется в характере затухания волн первого и второго типов в высокочастотной области спектра. При этом скорость распространения медленной волны также значительно уменьшается, а влияние на скорость быстрой волны несущественно. Численный анализ показал, что влияние нестационарной силы увеличивается при уменьшении разности плотностей твёрдой и жидкой фаз. В низкочастотном диапазоне мелкие частицы вызывают более сильное затухание быстрой волны, чем крупные. При высоких частотах затухание сильнее в среде с большим радиусом частиц. Для «мягких» сред (скорость звука в скелете в 34 раза меньше скорости звука в жидкости) медленная волна практически не наблюдается.
2. Влияние нестационарных («наследственных») эффектов существенно усиливает затухание «медленной» составляющей импульса давления. При учёте силы Бассэ затухание фильтрационной волны происходит интенсивнее и амплитуда уменьшается в 2 раза. Стоит заметить, что, при воздействии силы присоединенных масс и силы Бассэ, время, за которое ударная волна приобретает двухволновую конфигурацию, уменьшается. Увеличение радиуса частиц скелета вызывает усиление нестационарных («наследственных») эффектов. Увеличение радиуса частиц скелета вызывает рост амплитуды отражённой волны и усиление «наследственных» эффектов.
3. Установлено, что зависимость начальной пористости от пространственной координаты значительно влияет на характер волнового течения при распространении импульса давления. В уплотняющейся (разрыхляющейся) среде давление жидкости в быстрой волне может возрастать (убывать), а напряжения в скелете при этом - убывать (возрастать). Уменьшение времени релаксации материала составляющего скелет приводит к затуханию «быстрой» волны и в уплотняющейся смеси. Массовые скорости частиц жидкости и скелета изменяются аналогично и синфазно друг другу. а) Медленная волна при учёте сил межфазного взаимодействия во всех случаях интенсивно затухает независимо от характера изменения начальной пористости. Скорости частиц жидкости и скелета имеют противоположный знак, обусловливая интенсивную диссипацию кинетической энергии медленной волны. б) Распространение волны в идеализированной насыщенной пористой среде с незначительным влиянием сил межфазного взаимодействия приводит к перетоку жидкости из области течения, охватываемой быстрой волной в область медленной волны. Скорость частиц скелета при этом направлена в сторону распространения волнового импульса. Такой эффект обусловлен отрицательным значением суммы эффективных напряжений в быстрой и медленной волнах давления. в) Эффект повышения (понижения) интенсивности амплитуд импульса давления и приведённого напряжения в пористой среде с уменьшением (увеличением) пористости усиливается при увеличении отношения плотностей фаз.
4. В случае воздушных ударных волн, характерная длина которых сопоставима с толщиной пористого слоя эффективная защита может быть обеспечена только с помощью экранов из «мягких грунтов» губчатой структуры при пористости свыше 0,5. В иных случаях пористый слой дополнительно увеличивает пиковую динамическую нагрузку на твёрдую поверхность. В пористых средах состоящих из «мягких грунтов» влияние теплообмена между фазами существенно.
5. Наличие пузырьков газа в насыщенной пористой среде вносит существенную поправку в дисперсионные зависимости, обусловленную влиянием собственной частоты колебаний пузырьков (частота Миннаэрта). В резонансной зоне происходит перестройка ветвей волн первого и второго типов. В этой же области частот происходит интенсивное затухание сигнала. Анализ сил межфазного взаимодействия привёл к выводу о незначительном добавочном влиянии сил присоединенной массы и Бассэ-Буссинеска на зависимость скоростей распространения волн первого и второго типа от частоты. Но влияние силы Бассэ-Буссинеска на декремент затухания волны первого типа в высокочастотной области весьма значительно.
6. Получены аналитические выражения для асимптотических значений фазовых скоростей волн в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа в низкочастотном и высокочастотном пределах.
7. Численные расчёты позволили продемонстрировать полное качественное и удовлетворительное количественное соответствие экспериментальным данным во всём многообразии факторов, связанных с отражением волн от границ раздела фаз. При этом было достигнуто вполне удовлетворительное качественное соответствие, причём без привлечения нефизичных подгоночных параметров. Представленные в работе математическая модель и компьютерный код, с помощью которого проведены численные исследования, могут применяться для расчёта и оптимизации пористых экранов для защиты поверхностей технических устройств от воздействия ударных волн, а также для анализа процессов в насыщенных пористых средах при использовании волновых технологий воздействия на призабойную зону пласта.
1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Исследование инерционных и упругих свойств пропитанных жидкостью гранулированных сред резонансным методом. // МТТ - 2002. - № 5. - С. 145-156.
2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Динамическая модель пористой среды, заполненной вязкой жидкостью. // ДАН, сер. Механика 2005. - Т. 401, № 5. -С. 630-633.
3. Ахатов И.Ш., Вайнштейн П.Б. Нестационарные режимы горения пористых порохов // ФГВ. 1983. - Т.18, №3. - С. 53-61.
4. Барзам В.А. Расчёт динамических характеристик сейсмических волн в слоистых пористых насыщенных средах // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли.-1984.-№ Ю, С. 182-189.
5. Болдырева О.Ю., Губайдуллин A.A., Дудко Д.Н., Кутушев А.Г. Численное исследование передачи ударно-волновой нагрузки экранируемой плоской стенке через слой порошкообразной среда и разделяющий их воздушный зазор // ФГВ. 2007, Т.43, №1. - С.132-142.
6. Ганиев O.P. Влияние периодического воздействия на осреднённое течение в неоднородной пористой среде, насыщенной жидкостью // МЖГ. 2006, №2.-С. 98-104.
7. Гельфанд Б.Е., Медведев С.П., Поленов А.Н., Фролов С.М. Передача ударно-волновой нагрузки насыпными средами // ПМТФ. 1988. - №2. - С. 115121.
8. Горбачёв П.Ю., Гуревич Б.Я., Лопатников С.Л. Распространение упругих волн в пористой среде со случайно-неоднородным распределением газа // Известия АН СССР. Физика Земли. 1990. - №6. - С.28-32.
9. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. -1960, Т. 24, вып. 6 С.654-658.
10. Григорян С.С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения горных пород // ПММ. 1967, Т. 31, вып. 4 - С.154-158.
11. Григорян С.С., Ляхов В.М., Мельников В.В., Рыков Г.В. Взрывные волны в лессовидном грунте // ПМТФ. 1963. - №4. - С.145-150.
12. Губайдуллин A.A., Дудко Д.Н., Урманчеев С.Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном. // ФГВ 2000, Т. 36, №4 - С.87-95.
13. Губайдуллин A.A., Кутушев А.Г., Дудко Д.Н., Болдырева О.Ю. Особенности ударно-волнового воздействия на твёрдую стенку через экранирующий слой насыпной среды со свободными границами // Акустика неоднородных сред. 2005. Вып. 123. - С. 85-89.
14. Губайдуллин A.A., Кучугурина О.Ю. Сферические и цилиндрические линейные волны в насыщенных жидкостью пористых средах. // Теплофизика высоких температур. 1995, Т. 33, №1 - С.108-115.
15. Губайдуллин A.A., Лукин C.B., Урманчеев С.Ф. Закономерности отражения волн давления от твёрдых поверхностей, покрытых пористым слоем // Нефтегазовое дело. Уфа: УГНТУ, №4,2006 г. С. 320-326.
16. Губайдуллин A.A., Мусаев Н.Д., Якубов С.Х. Линейная теория плоских одномерных волн в насыщенных пористых средах // Итоги исследований. -Тюмень: ИММС СО РАН, №1. Новосибирск. 1990. - С. 33-35.
17. Губайдуллин A.A., Урманчеев С.Ф. Исследование прохождения волны сжатия из жидкости или газа в насыщенную пористую среду и отражение их от преград // Динамика сплошных сред. Акустика неоднородных сред. Новосибирск. -1992.
18. Губайдуллин A.A., Урманчеев С.Ф. Численное исследование прохождения воздушной ударной волны в насыщенную среду и отражения от жёсткой стенки // Итоги исследований. Тюмень: ИММС СО РАН, 1992. - Вып. 3. -С. 12-15.
19. Губайдуллин A.A., Якубов С.Х. Исследование распространения слабых импульсных возмущений в насыщенной пористой среде // Отчёт о НИР № 22 ТОММС ИТ СО АН СССР. № ГР 01.90.0055072, инв. № 02.90.0015766. -Тюмень.-1991.44 с.
20. Донцов В.Е. Структура и динамика возмущения давления конечной амплитуды в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Известия АН СССР. МЖГ. 1992. - №1. - С. 80-85.
21. Донцов В.Е. Экспериментальное исследование распространения волн давления в многофазных средах. Дисс. на соискание учёной степени канд. физ.-мат.наук. - Новосибирск. - 1986. - 153 с.
22. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Волны давления в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // Известия АН СССР. МЖГ. 1987. - №4. - С. 85-92.
23. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью // ПМТФ. 1988. - №1 (167). -С. 120-130.
24. Донцов В.Е., Маслов В.А. Структура и динамика «медленной» волны в пористой среде, насыщенной жидкостью с пузырьками газа // ПМТФ. 1994. -№1.-С. 95-98.
25. Донцов В. Е., Накоряков В. Е. Распространение ударных волн в пористой среде насыщенной жидкостью с пузырьками растворимого газа. // ПМТФ. -2000.-№5.-С. 230-239.
26. Донцов В.Е., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Отражение волн давления на границе жидкость-трехфазная среда // Акустический журнал. 1996, Т. 42, №6.-С. 783-788.
27. Донцов В.Е., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны давления в суспензии жидкости с твёрдыми частицами и газовыми пузырьками // ПМТФ 1995. -Т.36, N 1. - С.32-40.
28. Дудин С.З. Затухание волн конечной амплитуды в зернистых средах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №2. С.106-110.
29. Дунин С.З., Михайлов Д.Н., Николаевский В.Н. Продольные волны в частично насыщенных пористых средах. Влияние газовых пузырьков // ПММ. -2006. Т.6. - С.282-294.
30. Егоров А.Г., Зайцев А.Н., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Акустические волны в насыщенной пористой среде. В кн. Численные методы решениязадач многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. 1987. С. 115120.
31. Егоров А.Г., Костерин A.B., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: КГУ. 1990. - 102 с.
32. Заславский Ю.М. Об эффективности возбуждения быстрой и медленной волн Био в водо- и газонасыщенных средах // Техническая акустика. 2002. №2. С.1-12.
33. Ивандаев А.И. Об одном способе введения "псевдовязкости" и его применении к уточнению разностных уравнений газодинамики // ЖВМ и МФ. -1975.-Т. 15, №2.-С. 523-527.
34. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Нигматулин Р.И. Численное исследование разлёта облака диспергированных частиц или капель под действием взрыва // Известия АН СССР. МЖГ 1982, №1. - С.82-90.
35. Иорданский C.B. Об уравнения движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ЖПМТФ. 1960, №3. - С. 102-110.
36. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1983. - 496 с.
37. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Доклады АН СССР. 1961, Т. 137, №6. - С.1331-1333.
38. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах. //ПММ. 1959. Т. 23, № 6. - С. 1115-1123.
39. Крайко А.Н. К двухжидкостной модели течений газа и диспергированных в нём частиц // ПММ. 1982. - Т.46, вып.1. - С.96-106.
40. Крайко А.Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течения смеси газа с частицами // ПММ. 1982. - Т.46, вып.З. - С.420-428.
41. Крайко А.Н. Стернин Л.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твёрдыми или жидкими частицами // ПММ. 1965. - Т.29, вып.З. -С.418-429.
42. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. Механика многофазных сред // Итоги науки. Гидромеханика. М.:Винити. - 1972, Т.6. -С.93-174.
43. Кузнецов H.H. О применении метода сглаживания к некоторым системам гиперболических квазилинейных уравнений // ЖВМ и МФ. -1973. Т. 13, № 1. - С. 92-102.
44. Куропатенко В.Ф. Неустановившиеся течения многокомпонентных сред // Мат. моделирование. 1989. Т.1, №2. - С. 118-136.
45. Куропатенко В.Ф. Обмен импульсом и энергией в неравновесных многокомпонентных средах // ПМТФ. 2005. Т.46, №1. - С.7-15.
46. Кутушев А.Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. Санкт-Петербург: Недра, 2003. -284 с.
47. Кутушев А.Г., Рудаков Д.А. Численное исследование воздействия ударной волны на преграду, экранируемую слоем пористой порошкообразной среды // ПМТФ. 1993. Т. 34, №5. - С.25-31.
48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.
49. Лопатников С.Л., Горбачёв П.Ю. Распространение и затухание продольных волн в частично газонасыщенной пористой среде // Известия АН СССР. Физика Земли. 1987. - №8. - С.78-86.
50. Лопатников С.Л., Гуревич Б.Я. Трансформационный механизм затухания упругих волн в насыщенных пористых средах // Известия АН СССР. Физика Земли. 1988. - №2. - С.85-89.
51. Лукин C.B. Воздействие волны давления на жёсткую стенку, покрытую пористым слоем // Труды Института механики УНЦ РАН. Уфа: Имех УНЦ РАН, Т.4,2006 г, С.156-167.
52. Лукин C.B. К задаче о влиянии нестационарных эффектов на эволюцию импульса давления в насыщенной пористой среде // «Акустика неоднородных сред». Новосибирск. 2007, №129.
53. Лукин C.B. Численное исследование влияния межфазных сил в насыщенной пористой среде // Тезисы 12й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных. Новосибирск. - 2006. - С.62.
54. Лукин C.B., Урманчеев С.Ф. Динамика распространения волн давления в насыщенной пористой среде с неоднородной концентрацией частиц.// «Акустика неоднородных сред». Новосибирск. - 2007. №129.
55. Лукин C.B., Урманчеев С.Ф. Задача об эволюции волн давления в насыщенных пористых средах с переменной пористостью // Тезисы Зй школы-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». Алушта. 2005 г. С. 16-21.
56. Лукин C.B., Урманчеев С.Ф. Численное исследование влияния силы Бассэ на распространение ударных волн в уплотняющейся пористой среде // Труды российской научно-технической конференции «Мавлютовские чтения». -Уфа,-2006-С.87-92.
57. Лукин C.B., Урманчеев С.Ф. Численное моделирование распространения импульса давления в уплотняющейся пористой среде // Вестник БГУ, 2005, №4, С. 8-16.
58. Любарский С.Д., Иванов А.С. Движение сжатой двухфазной среды насыпной плотности при внезапном расширении // ФГВ. 1989. - Т.25, №3. -С.78-81.
59. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. -Москва. 1982. - 288 с.
60. Ляхов Г.М. Определение динамической сжимаемости грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1966, №3 - С. 48-60.
61. Ляхов Г.М. Основы динамики взрыва в грунтах и жидких средах. Москва. - 1964. - 248 с.
62. Ляхов Г.М. Основы динамики взрыва в грунтах и горных породах. Москва. -1974. - 298 с.
63. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Известия АН СССР, Механика и машиностроение. 1959, №1. - С. 239-248.
64. Максимов A.M. О влиянии дисперсионных факторов на режимы затухания коротких волн в газонасыщенной пористой среде // Инженерно-физический журнал. 1997, Т.70, №3. - С. 368-374.
65. Марков М.Г. Влияние межфазного скольжения на кинематический и динамический параметры упругих волн в насыщенной пористой среде // Акустический журнал, 2007, Т.53, №2. - С.249-253.
66. Марков М.Г., Юматов А.Ю. Акустические свойства слоистой пористой среды // Изв. АН СССР. Сер. Геофизика. 1987, №. - С. 115-119.
67. Масленников A.M., Фетисов B.C. Точечный взрыв в сжимаемой многокомпонентной среде // ПМТФ. 1978, №2. - С. 126-132.
68. Медведев С.П., Поленов А.Н., Гельфанд Б.Е., Цыганов С.А. Воздушные УВ при внезапном расширении сжатой двухфазной среды насыпной плотности // ФГВ. 1987. - Т.23, №3. - С. 135-139.
69. Мусаев Н.Д. К двухскоростной механике зернистых пористых сред // ПММ. 1985. Т. 49. №2. - С.334-336.
70. Мусаев Н.Д. К линейной теории распространения продольных волн в пористом теле, насыщенном жидкостью или газом // ДАН СССР. 1989. Т. 309. №2. - С.297-300.
71. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо-и парожидкостных средах. Новосибирск: Ин-т теплофизики. - 1983.
72. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Москва. - 1987. - 4.1. -464 с.
73. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Москва. - 1987. - 4.2. -360 с.
74. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. Москва. - 1978. -336 с.
75. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра. 1984.-232 с.
76. Николаевский В.Н. Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. - 336 с.
77. Остапенко Н.А., Осипцов А.Н. Исследование взаимодействия многофазных потоков с твёрдыми границами // Отчёт о НИР № 4789 НИИМ МГУ. -№ ГР 01.20.0012926. Москва. -2005.45 с.
78. Паркин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пу-зырьками газа. В кн: Подводные и подземные взрывы. - 1974. - С. 152-258.
79. Рахматуллин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих дви-жений сжимаемых сред // ПММ. 1956 - Т.20, вып. 27. - С. 356-368.
80. Рахматуллин Х.А. О распространении волн в многокомпонентных средах // ПММ. 1969 - Т.ЗЗ, вып. 4. - С. 160-181.
81. Рахматуллин Х.А., Сагомонян А .Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов М.: Изд-во МГУ, 1964. 124 с.
82. Роменский Е.И. Релаксационная модель для описания деформирования пористых материалов // ПМТФ. 1988. - № 5. - С. 145-149.
83. Урманчеев С.Ф. Численное исследование ударно-волновых течений двухфазных сред. Дисс. на соискание учёной степени канд. физ.-мат.наук. -Тюмень. - 1992. - 177 с.
84. Урманчеев С.Ф., Лукин С.В. Влияние переменной пористости на характер распространения волн давления в насыщенных пористых средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. Санкт-Петербург, 2005г., С. 427-428.
85. Федотовский B.C., Верещагина Т.Н. Колебания гидродинамически связанных систем и волны в неоднородных средах // Материалы конференции. Снежинск. 2003. - С. 1-13.
86. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических яв-лений во влажной почве // Известия Академии наук СССР. 1944. - Т.8, № 4. - С. 133150.
87. Цвиккер К., Костен К. Звукопоглощающие материалы. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 160 с.
88. Чудновский А.Ф. Теплообмен в дисперсных средах. М.: Гостехиздат, 1954.-441 с.
89. Шагапов В.Ш., Султанов А.Ш., Урманчеев С.Ф. К решению задачи об отражении линейных волн в флюиде от насыщенного этим флюидом пористого полупространства // ПМТФ. 2006. Т. 47, №5. - С. 16-26.
90. Шагапов В.Ш., Хусаинов И.Г., Дмитриев В.Л. Распространение линейных волн в насыщенных газом пористых средах с учётом межфазного теплообмена // ПМТФ. 2004. Т. 45, №4. - С.114-120.
91. Bedford A., Stern M. A model for a wave propagation in gassy sediments // J. Acoust. Soc. America. 1983. - V.73, №2. - P.409-417.
92. Berryman J.G. Elastic wave propagation in filled-saturated porous media // J. Acoust. Soc. America. 1981. - V.69, №2. - P.416-424.
93. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. 1941. - V. 12. - P. 155-164.
94. Biot M.A. Theory of stress strain relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomena // Journal of Applied Physics. 1954. - V. 25. - P. 13851391.
95. Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid Saturated Porous Solid. 1. Low Frequency Range // The Journal of the Acoustical Society of America. -1956. V. 28. -P.168-178.
96. Biot M.A. Theory of Propagation of elastic Waves in a Fluid Saturated Porous Solid. II. Higher Frequency Range // The Journal of the Acoustical Society of America. 1956. - V. 28, N 2. - P. 179-191.
97. Biot M.A. Mechanics of Deformation, and acoustic propagation in porous media // Journal of Applied Physics. 1962. - V.33, N 4. - P. 1482-1498.
98. Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // The Journal of the Acoustical Society of America. 1962. - V.34, N 9. - P. 1254-1264.
99. Chao G.E. Dispersive surface acoustic waves in poroelastic media. PhD Thesis, Universidad de Buenos Aires geboren te Buenos Aires, Argentinie, 2005. 143 pp.
100. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: I. Reflection of plane waves at a free plane boundary (non-dissipative case). // Bull. Seismol. Soc. Am. 1960. V. 50, № 4. - P. 599-607.
101. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: IV. Surface waves in a half-space. // Bull. Seismol. Soc. Am. -1962. V. 52, № 3. P. 627-638.
102. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: VII. Surface waves in a half-space in the presence of a liquid layer. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1964. V. 54, № 1. - P. 425^130.
103. Deresiewicz H., Rice J.T. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: III. Reflection of plane waves at a free plane boundary (general case). // Bull. Seismol. Soc. Am. 1962. V. 52, № 2. - P. 595-625.
104. Deresiewicz H., Rice J.T. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: V. Transmission across plane interface. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1964. V. 54, № 1. - P. 409^116.
105. Deresiewicz H., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity // Bull. Seismol. Soc. Am. 1963. - V. 53, № 4. - P. 783-788.
106. Diallo M.S., Appel E. Acoustic wave propagation in saturated porous media: reformulation of the Biot/Squirt flow theory // J. Appl. Geophys. 2000. - V. 44. -P. 313-325.
107. Dodemand E., Prud'homme R., Kuenzmann P. Influence of unsteady forces acting on a particle in a suspension application to the sound propagation // Int. J. Multiphase Flow 1995. - Vol. 21, №1. - P.27-51.
108. Edelman I. Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at a vacuum/porous medium and liquid/porous medium interfaces. // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. - P. 25^14.
109. Ergun S. Fluid flow through packed colums // Chem. Eng. Progress. 1952. -V.48, №2. - P.89-94.
110. Hovem J.M., Ingrem G.D. Viscous attenuation of sound in saturated sand // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. - V.66, №6 -P.1807-1812.
111. Johnson D.L., Plona T.J. Acoustical flow waves and the consolidation transition // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. - V.72, №2 - P.556-565.
112. Kelder O., Smeulders D.M.J. Measurement of ultrasonic bulk properties of water-saturated porous media. // EAGE Amsterdam'96 Extendend abstracts boo. -1996.-Paper C 025.
113. Kelder 0., Smeulders D.MJ. Observation of the Biot slow wave in water-saturated Nivelsteiner sandstone. // Geophysics 1997. - V. 62, № 6. - P. 1794— 1796.
114. Kutushev A.G. Non-stationary shock waves in two-phase gas-particle or gas-droplet mixtures. Saint-Petersburg: Nedra, 2003.118 pp.
115. Lawrence C.J., Mei R. Long-time behavior of the drag on a body in impulsive motion // J. Fluid Mech. 1995. - Vol.283. - P.307-327.
116. Linde R.K., Scmidt D.N. Shock propagation in nonreactive porous solids // J. of Appl. Phys. 1966. - V.37, №8. -P.3259-3271.
117. Linde R.K., Seaman L., Schmidt D.N. Shock responde of porous copper, iron, tungsten and polyurethane // J. of Appl. Phys. 1972. - V.43, №8. - P.3367-3375.
118. McLeroy E.G., De Loach A. Sound speed and attenuation from 15 to 1500 kHz, measured in Natural Sea-floor Sadiments // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. - V.44. -P.l 148-1150.
119. Michaelides E.E. A novel way of computing the Basset term in unsteady multiphase flow computations // Physics of Fluids A 1992. - Vol.4, №7. - P. 15791582.
120. Plona T.J. Observation of a second bulk compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Applied Physics letters 1980. - V.36, №4. -P.259-261.
121. Reeks M.W., McKee S. The dispersive affects of Basset history forces on particle motion in a turbulent flow // Physics of Fluids. 1984. - Vol.27, №7. -P.1573-1582.
122. Smeulders D.M.J. On wave propagation in saturated and partly saturated porous media. PhD Thesis, Technical University Eindhoven, 1992. 130 pp.
123. Smeulders D.M.J., van Dongen M.E.H. Wave propagation in porous media containing a dilute gas-liquid mixture: theory and experiments // J. Fluid Mech.-1997. V.343. - P.351-373.
124. Stoll R.D. Theoretical aspects of Sound Transmission in Sediments // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. - V.68, №5. - P.1341-1350.
125. Stoll R.D. Bryan G.M. Wave attenuation in Saturated Sediments // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. - V.47, №5 (part 2). - P.1440-1447.
126. Wisse CJ. On frequency dependence of acoustic waves in porous cylinders. PhD Thesis, Delphi University of Technology, 1999.130 pp.
