К акустической теории взаимодействия ударной волны с пористой средой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

СУЛТАНОВ АЙДАР ШАКУРОВИЧ

К АКУСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ПОРИСТОЙ СРЕДОЙ

01.02 05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2007

003069812

Работа выполнена в лаборатории "Моделирование технологических процессов" Института механики Уфимского научного центра Российской Академии Наук

Научный руководитель

Научный консультант Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Шагапов Владислав Шайхулагзамович

кандидат физико-математических наук, Галимзянов Марат Назипович

доктор физико-математических наук, профессор Житников Владимир Павлович

кандидат физико-математических наук, Шагиев Рустам Гиндуллович

Тюменский филиал Института теоретической и прикладной механики им С.А. Христиановича СО РАН

Защита состоится » 2007 года ъЩ. С-^часов на за-

седании диссертационного совета Д 212 013 09 в Башкирском государственном университете по адресу 450074, г Уфа, ул Фрунзе, 32. в аудитории 216 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

Автореферат разослан

«IV ныЫмУгтч года

Ученый секретарь диссертационного д т н , профессор

Л А Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы волновой динамики насыщенных пористых сред порождают постоянный интерес исследователей, связанный не только с получением новых знаний, а также с точки зрения широкого применения пористых сред в современных технологических процессах В последнее время особо большое внимание уделяют акустике пористых сред применительно к проблемам геоакустики и анализа механизмов интенсификации добычи нефти

Несмотря на обилие работ, теоретические исследования в основном сводятся к дисперсионному анализу или же к численному приближенному решению полной системы уравнений насыщенных пористых сред Но для детального и более глубокого понимания явлений, связанных с распространением волн в насыщенных пористых средах, необходимо получить точные аналитические решения уравнений насыщенных пористых сред

Полученные аналитические решения могут быть использованы также при тестировании результатов численных расчетов волн давления в насыщенных пористых средах

Цели работы. Диссертационная работа посвящена изучению взаимодействия ударной волны со стороны чистого флюида типа "ступенька" с пористой средой, насыщенной тем же флюидом, бесконечной и конечной толщины для предельной ситуации, а именно, для случая несжимаемого скелета пористой среды Такая же задача в случае пористой среды бесконечной толщины рассмотрена для волны давления конечной длительности в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация"

Научная новизна заключается в следующем

— получены аналитические решения задачи об отражении волны давления типа "ступенька" в линеино сжимаемом флюиде от плоской границы пористой среды бесконечной протяженности, насыщенной тем же флюидом, а также получены аналитические решения для волн давления и поля скоростей в этой пористой среде,

— на основе аналитических решений выполнен численный анализ с целью выявления особенностей отраженной и проникающей волн давления в зависимости от пористости и проницаемости пористого полупространства,

— получены решения для волны давления конечной длительности в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация",

— получены аналитические решения, описывающие взаимодействие волны типа "ступенька" с пористой средой конечной толщины и проведен численный анализ этих решений в зависимости от пористости, проницаемости пористой среды и от ее протяженности

Достоверность результатов диссертации основана на использовании фундаментальных уравнений распространения волн в области чистого флюида и в пористой среде, корректной постановке задач и получении аналитических решений строгими математическими методами, непротиворечивости этих решений общим гидродинамическим представлениям

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при разработке теоретических основ различных технологий, связанных с эволюцией волн давления со стороны чистого флюида с пористой средой, насыщенной тем же флюидом

Апробации работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и научных школах

— на Международной научной конференции по спектральной теории дифференциальных операторов и родственным проблемам (г Стерлитамак, США, 2003 г),

— на XI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (г Москва, РУДН, 2004 г),

— на III Всероссийской научной конференции по проблемам современного математического образования в вузах и школах России (г Киров, ВятГГУ, 2004 г),

— на 35 Региональной молодежной конференции (г Екатеринбург, Институт математики и механики УрО РАН, 2004 г),

— на V Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г Уфа, БашГУ, 2005 г),

— на XIV школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (г Сочи, МГУ, 2006 г),

— на III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (г Уфа, 2005 г),

— на Российской научно-технической конференции "Мавлютов-ские чтения" (г Уфа, УГАТУ, 2006 г),

— на XII Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (г Новосибирск, НГУ, 2006 г)

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четрырех глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации составляет 107 страниц, в том числе 22 рисунков Список литературы состоит из 108 наименований

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследований Сформулированы цели и кратко изложена структура диссертации, показана научная новизна и практическая значимость работы

В первой главе приведен обзор работ, посвященных исследованию волновой динамики насыщенных пористых сред применительно к проблемам геоакустики

Во второй главе рассмотрен процесс отражения плоскоодномерной волны давления в линейно-сжимаемом флюиде от плоской границы с пористой и проницаемой средой, насыщенной тем же флюидом

В §2.1 приводятся основные уравнения движения в области чистого флюида (х < 0) и в пористой среде (х > 0)

1 др ди ди др „ ,

(1)

т др ди „ ди др та . .

= Рот+тд^ = ~Т" (т>0)

Здесь и — скорость флюида (в области пористой среды скорость фильтрации), р - возмущения давления, р0 - невозмущенная плотность газа, тик- пористость и проницаемость пористой среды, С и /(, - скорость звука и динамическая вязкость флюида Примем, что в

исходном состоянии в пористой среде флюид неподвижен и давление однородно

и = О, р = 0 (х >(М < 0).

В момент времени / = 0 йа поверхность пористой сред|>1 со стороны чистого флюида (х < 0} падает волна давления. Пусть /У"' (¿) > 0)-текущий закон изменения возмущения давления для падающей волны на поверхности стенки = 0). Тогда для скорости движения флюида, обусловленной этой пол мой в рамках линейной теории, имеет место

«р» -'щ

РоС

чистый флюид

Рис. 1: волнОвая картина, реализующаяся при отражении ударной волны типа "ступенька" от проницаемой перегородки бесконечной толщины

При достижении (в момент времени I -= 0) фронта волны поверхности х = 0и зоне чистого флюида (х < 0) формируется отраженная волна

Р1г) = р{г)(* + ж/С), иМ = -р<г>(4 -I- х/С)/роС. (3)

Прэтому суммарные возмущения давления и скорости в этой зоне (х < 0) при I > 0 могут быть записаны в виде

р = р(°)(г - х/С) + р<г)(1 + х/С),

u= (p<°>(t-i/C) - v{r\t + xlC))lp0C (4)

В области пористой среды, как это нетрудно получить из второй группы уравнений (х > 0) в (1), возмущение давления и скорости vS9^ связаны соотношением

и(0)М = рок

Р0 J дх m/i

о

В процессе взаимодействия волны давления с границей возмущения давления и скорости флюида со стороны чистого флюида (левой границы) и со стороны флюида, находящегося в пористой среде (правой границы), должны быть равны Тогда на границе х = 0 при t > 0 можем записать следующие соотношения

p(t) = pC°)(t) bp(r)(t) = P(s)(M) U(t) =- u^{t) + u^(t) = «<»>(<), i),

где P(f) и U(t) - суммарные возмущения давления и скорости на границе х = 0 Отсюда, с учетом (2)-(5), можем получить

2р<°> - P{t) = poCUit), U(t) = Щ^Пе^Ы^ (6)

о

Из второй группы уравнений (1) для jf '1^ следует

+ = (7)

at2 tv dt дх2 1 j

Решение этого уравнения описывает распространение возмущения давления в пористой среде и должно удовлетворять начальным и граничному условиям

I Л di>(9) ! Л

Р ' ^Г"0 (x>0'i = °)' Р(э) = Р(0 (ж = 0,t > 0) (8)

В §2.2 получено аналитическое решение для суммарного возмущения давления P{t) на границе "флюид-пористая среда" в случае,

когда падающая волна типа "ступенька" p^(t) = — const Для этого сначала методом преобразования Лапласа находится p^(t,x)~ решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным и граничному условиям (8) Затем, исходя из формул (б) для P{t), получаем следующее интегральное уравнение Вольтерра вторго рода типа свертки

2p(0)(i) -(l + m)P(i) =

t

e-(t-t')/2t„ It

h

t~t' 2 ty

Io

t-t'

P{t')dt' (9)

Решение этого уравнения находим методом преобразования Лапласа в следующем виде

Р( А) =

2р<°)(А)

1 + ггир{ А)'

(10)

где <р(А) = yi+\tl;, PWtP^W ~ преобразования Лапласа функций

P(t),piaHt) соответственно

В случае, когда падающая волна типа "ступенька" p^°\t) = р^ —const, из (Ю), переходя к обратному преобразованию Лапласа, находим решение уравнения (9)

P{t)

п<°>

ст+гоо

/

extd\

[1 +m<p(A)]A

(11)

Этот интеграл удается свести к интегралу по вещественной переменной интегрирования и получить для P(t) выражение

P{t) = 2р(°)

1 +

те

+

?п3е

(1 - т?У

1 — т2 t/t„

mc-t/4t„ ft

l ш: 1 +

/ ab^Vo©

dr

(12)

_ 1 7 ~ 1-ТП?'

На основе решения (12) находим ассимнтотические поведения решения P{t)

2в(0) / mí \

1 + m \ (1 + m)2tv J

(13)

í -> oo (t»i„)

Выражение (12) не пригодно для численного анализа решения P(í) Поэтому, пользуясь интегральным представлением функции Бесселя

^ vi — у

несложными преобразованиями формулы (12), находим окончательное представление P(t) удобное для численного анализа

При численных расчетах пользуемся квадратурной формулой

¡ ТЕЕу!Шу = -ÜL¿sm= (^) f fcos JÍM +

Jyi+у 2n + l^ \2n+l) J\ 2/1 + 1/

(15)

В §2.3 приведен численный анализ решения P(i)-<:y мм ар u о i х> возмущения полны давления на границе "флюид-пористая среда" (т = 0)

Рис 2 эволюция давления на границе

На рис 2 представлены графики зависимости P(f) Видно, что при отражении волны давления типа "ступенька" возмущение давления на границе пористого пространства (а; = 0) от значения Р(0) = 2//°'/(1 +т) асимптотически повышается (релаксирует) до Р(оо) = 2//"' согласно закону, определяемого формулой (13) Таким образом, амплитуда переднего скачка отраженной волны и вместе с ней величина недосжатия

ДРо = Р(оо) - Р(0) = (16)

определяется лишь величиной пористости перегородки (значение т), а характерное время выхода отношения P(í)/p(°' к "двойке" при известном значении пористости т, вязкости /г и плотности ро флюида Сжимаемостью флюида, определяемой величиной скорости звука, согласно формуле для tv из (5), будет определяться лишь значением проницаемое ги пористой среды Определим характерное время релаксации £* как промежуток, в течении которого недосжатие

ДР* - Р(оо) - P(tt)

(17)

составляет величину ДР» = еДРо (е С 1) от начального недосжа-тия Д/о Тогда, используя для /'(£) асимптотическую формулу (13), получим следующее выражение для времени релаксации

В частности, если в качестве флюида брать воздух и воду при температуре То = 300 К и давлении Ро = 0 1 МПа, то для пористой среды с характерной пористостью т = Ю-1 и проницаемостью к = 10""12 м2 для горных пород соответственно будем иметь 1Ъ, « 10_в и 10~5 с Пусть в течении времени релаксации величина нсдосжатия уменьшается в десять раз (е = Ю-1) тогда для воздуха и воды соответственно £„ и 3 х Ю-5 и 3 х 10"~4 с Кроме того, характерные линейные масштабы ж» = 67* зон релаксаций в отраженной от пористой среды волне для воздуха (С = 340 м/с) и воды (С — 1520 м/с) будут равны ж» = Ю-2 и 0 5 м Если использовать менее вязкие жидкости (как ацетон, бензол, этиловый эфир, например), то характерное время и расстояние ж, будут еще выше Следовательно, приведенные численные оценки обнадеживают, что эти результаты могут быть использованы при создании методов экспресс-анализа по определению пористости и проницаемости твердых пористых материалов с помощью волн давления

В §2.4 получены выражения для описываю-

щие динамику волн в пористой среде и приводен численный анализ этих функций

Решение уравнения (7) для соответствующее падающей

волне типа "ступенька", находим методом преобразования Лапласа в виде

[1 + ш¥>(А)1А'

e\t-k(\)xdX

к( А) =

у/А^(1 + AfJ Ctv

(19)

Применяя метод контурного интегрирования к этому интегралу, по-

лучаем окончательное выражение для р'а'! (х, /)

COS

Х ((т2-3)т/ + та2 + 1)

1 ffl~y\ sm(y/l^x/2 CtJe-V+vMUdy \ nj^l+y) ((т2 - 1)у + ш2 + 1) J 1 ;

Подставляя (20) в (5), после несложных преобразований получим решение для скорости u^(x,t) в пористой среде

Рис 3 возмущение давления и скорости в пористой среде

На рис 3 показана эволюция волн давления и поля скоростей в пористой среде согласно решениям (19) и (20) для то = 0,5 Числа на кривых соответствуют безразмерным промежуткам времени I/£„ - - 1, 5 и 10 При численных расчетах пользовались квадратурной формулой (15) Из рисунков видно, что передний скачок волны давления, распространяющейся со скоростью С за время порядка

I рз 104г,, полностью затухает Для больших времен (I 3> 10 Л) поля давления и скорости приобретают вид, описываемые уравнением пьезопроводности, полученного в рамках закона Дарси

В третьей главе построены аналитические решения задачи об отражении модулированного импульса давления в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация" в флюиде от плоской границы пористой среды бесконечной протяженности насыщенной тем же флюидом На основе полученных аналитических решений произведен численный анализ по выявлению особенностей отраженной и прошедшей волн в зависимости от пористости и проницаемости пористой среды, а также протяженности импульсного сигнала

В §3.1 решена задача об отражении волны давления, падающей со стороны чистого флюида, передний фронт которой представляет ударный скачок и за этим скачком возмущение давления релаксиру-ет по экспоненциальному закону с характерным временем Кроме того, используя результаты §2 4 главы I, получено решение для проникающей волны давления в пористую среду в виде

Р^{Х,т) 1 Г еЛт-х^л(лЩаА

~ тгг / (1+1р(Л)тп)(А +-Л»)' ( ]

у—гоо

р«»(0=Р(ао)е-^>, 7 = <г*„>0 г = Л=А<„, Х = х/СЧь, Л* =<„/£* В §3.2 проведено преобразование решения (21) методом контурного интегрирования к удобному для численных расчетов виду

рР = я(т - х) (—ГГ^—+

(ет(2Л.-1-у)/2 _ еХ(2Л.-1-у)/2) ^(Х y/Г^у*/2)dy

(2Л* — 1 — г/)(1 + т2 -t- у(т2 — 1)) +

2е~тА*т [ ÍT- у

+ 2/

-i

(ет(2Л.-1-„)/2 _ еАЧ2Л.-1^)/2)(1 +у) соа (ХуТ^2/2)dy

х (2Л* — 1 — j/)(l + тп2 + у(т2 — 1))

' (22)

Полагая X = 0, из (22) получаем закон изменения давления на границе пористой среды в виде

р(т) _ 2е-гЛ* pW ~ 1 + т +

+ тг У V 1 + У (2Л, - 1 - 2/)(1 + т2 + у{т2 - 1))' ( } -г

Подставляя (22) в (5), после некоторых преобразований получим решение для скорости в пористой среде

В §3.3 приведены результаты численного анализа полученных решений При численных расчетах пользуемся квадратурной формулой (15)

На рис 4 представлены графики закона изменения безразмерного давления при í > 0 на границе пористой среды при х — 0 Цифрам 1,2 и 3 соответствуют значения пористости т = 0,1,0, 5 и 0,9 Сплошные и штриховые линии соответствуют значениям параметра т* = НГ1 и 10 (г, = £*/£,,,), определяемого соотношением между характерным временем , связанным со свойством насыщенной флюидом пористой среды и протяженностью £* падающего импульса

На рис 5 и 6 представлена эволюция полей безразмерного давления и скоростей в пористой среде (х > 0) и в зоне чист ого флюида (.х < 0) Графики получены для значений пористости тп = 0,1,0,5 и 0,9 Сплошные и пунктирные линии соотвествуют "короткому"

с амплитудой р(а\{) = р^е

(г* = Ю-1) и "длинному" (т* = 10) сигналам Числа на линиях со-отвествуют значениям безразмерного времени г = 1,5,10 Видно, что эволюция полей давления и скоростей не только в зоне пористой среды, но также в зоне чистого флюида сильно зависит от величины пористости т и безразмерного параметра т* =

В §3 4 дан анализ осцилограмм давления и скорости зафиксированных датчиками Из (22), вводя новые безразмерные неременные X = х/а+, г — получаем

**.';*• *> - щ*-Л*- (+ I /,ЯЕ» *

I 1 + т тг У V 1 + У

2Л„-1-у)/2Л. _ еЛ-(2Л.-1-у)/2Л, ^

Х (2Л,-1-у)(1 + ггР + у(т2-!)) Х (24)

\ I I » I \\

I._L., 111

Рис 5 эволюции давления в чистом флюиде и в пористой среде

}"-:---------

И- 'Vr? у

Рис 6 эволюции скорости в чистом флюиде и в пористой среде

(yi-7/sm (Х^Т^у*/2А.) + т( 1 + у) cos (Xy/U^j*dy\ Х (2Л. - 1 - у){ 1 + m! + г/(т2 - 1)) )

Эта формула верна для всех X > 0, то есть она описывает кривую изменения возмущения давления, которую зафиксирует датчик, помещенный в пористую среду, а при X — О датчик соответственно будет находиться на границе раздела системы "флюид-пористая среда" Датчик, находящийся до границы раздела (в чистом флюиде) будет показывать изменение возмущения давления, описываемое формулой

ll+m тг J \ 1+у

(2Л* - 1 - ?/)(! + т2 + у(т* - 1))^ ^

стой среды

На рис 7 представлены расчетные осцилограммы датчика давления с безразмерной координатой X - ■ —5 О (А' — х/С1,), помещенного в зоне чистого флюида На левой половине рисунка (£ < 0) изображен исходный падающий импульсный сигнал, на правой (£ > 0) — отражение ("эхо") этого сигнала

На рис 8 приведены огибающие линии безразмерных амплитуд для отраженных сигналов р(т) (р(т) от безразмерного

времени г* Линии 1,2 и 3 соответствуют значениям то = 0,1,0,5,0,9 Таким образом, по месту расположения максимума в осцилограмме отраженного сигнала и его величине можно судить о величине 1„ Если к тому же свойства насыщающего флюида, определяемые значениями ц и С, известны, а о по положению максимума определяется значение проницаемости скелета

Рис 8 огибающие максимумов амплитуд давления отраженных волн от пористой среды (то = 0,1, 0, 5 и 0, 9 )

В четвертой главе решена задача об отражении ударной волны типа "ступенька" от пористой среды конечной протяженности В этом случае возможны две предельные ситуации, а именно, задняя граница перегородки (х = I) закрытая и скорость фильтрации на пей равна нулю (и ---■ 0) или она будет открыта В этом случае примем условие р'4' = 0 при х — I Эти два предельных условия могут быть записаны в виде

= д. р{я) =0, х = 1

их

В §4.1 приводятся два предельных случая на задней границе пористой перегородки

Решения уравнения (7) можно записать в виде

ст-Ноо = ± /

ст—гоо

оо /

р( О

-А Ь'

М'

Х15Цк(Х)(1-х)) Б Цк(Х)1)

(26)

в случае открытой границы и

Р'

= ~ J Jp(t')e-M'dt'

е

(j—zoo LO

в случае закрытой границы

В §4.2 получены интегральные уравнения Вольтерра второго рода типа свертки для суммарного возмущения давления Р{€) аналогичные уравнению (9)

Решения этих уравнений, аналогичные (11) и полученные методом преобразования Лапласа, соответственно имеют вид

В §4 3 эти решения преобразованы к виду удобному для численного анализа Они выражаются через функциональные ряды Для численного анализа подробно вычислены первые три слагаемые рядов, сумма которых задает P(t) при 0 < t < 61 /С Кроме тою, найдены ассимптотические выражения для суммарного возмущения давления при tv —> оо

а—гоо

ст—too

= - ^»¿(^i )•„(,. ад

1 + 777 1 — т2 ' VI + т J

п—1 v

в случае открытой границы и

П—1

в случае закрытой границы

В §4.4 проведен численный анализ полученных решений для суммарною возмущения давления при отражении от пористой перегородки конечной протяженности

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Получено аналитическое решение, описывающее эволюцию волны давления типа "ступенька" в системе "флюид-пористая среда" Выявлены соотношения, характеризующие изменение давления на границе с пористым полупространством а также распределения давления и скорости в пористой среде в безразмерные моменты времени

2 Установлено, что отражение волны давления от пористой стенки и выход к удвоению происходит с некоторым запаздыванием, нежели в случае отражения от непроницаемой стенки Данное запаздывание зависит от пористости и проницаемости перегородки, а также вязкости флюида Поэтому величина этого запаздывания, а также величина прироста давления сразу после падения волны на стенку позволяет судить о пористости и проницаемости материала перегородки

3 Построено аналитическое решение задачи об отражении модулированного импульса давления в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация" в флюиде от плоской границы пористой среды бесконечной протяженное ли, насыщенной тем же флюидом Получены аналитические решения для эволюции волн давления и поля скоростей в пористой среде

4 Установлено, что характер кривой Р(т) (23) при известном зна-

(о) *

чении амплитуды рка и протяженности £* падающего сигнала дает информацию, как о величине пористости т, так и о характерном времени tv, определяемом проницаемостью и пористостью скелета и свойствами насыщающей пористую среду флюида Если свойства насыщающею флюида (вязкость, скорость звука) известны, то величина определяется пористостью и проницаемостью пористой

среды Следовательно, по характеру кривой Р(т) можно судить о величине пористости и проницаемости пористой среды

5 Решена задача об отражении ударной волны типа "ступенька" от пористой среды конечной протяженности Получены аналитические решения для суммарного возмущения давления при отражении от пористой перегородки в случаях, когда задняя стенка перегородки открыта и закрыта

6 Установлено, что из-за волн давления, отраженных от задней стенки пористой перегородки, образующих скачки давления на границе, давление на границе может повышаться более чем в два раза

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Султанов А. III., Урманчесв С. Ф., Шагапов В Ш. К

акустической теории отражения ударных волн от пористой и проницаемой перегородки // Труды международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" - Стерлитамак, Т 3, 2003 - С 177-181

2 Султанов А. III. Об отражении ударных волн от пористой ипроницаемой перегородки // Тезисы докладов XI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - Москва, 2004 - С 124-126

3 Султанов А. Н1. Об отражении полны давления от пористой и проницаемой перегородки конечной толщины / / XXXV региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" - Екатеринбург, 2004 -С 187-191

4 Султанов А. III , Урманчеев С. Ф. О возмущении давления при отражении ударной волны от порисгои проницаемой перегородки // III Всеросийская научная конференция "Проблемы современного математического образования в вузах и школах России" - Киров, 2004 - С 159-160

5 Султанов A. III. Об отражении волны давления от пористой и проницаемой перегородки // Сборник научных трудов Сур-ГУ "физико-математические и технические науки" - Сургут, Выпуск 19, 2004 - С 122-126

6 Султанов А. III. К акустической теории отражения ударных волн от пористой и проницаемой перегородки // Материалы III конкурса научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ - Уфа, 2005 - С 19-20

7 Султанов А. III. О прохождении экспоненциальной волной границы раздела "газ-пористая среда"// Тезисы докладов V Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике БашГУ - Уфа, 2005 - С 105

8 Шагапов В. III., Галимзянов М. Н., Султанов А. III.

О прохождении экспоненциальной волной границы раздела "газ-пористая среда"//Сборник трудов Российской научно-технической конференции "Мавлютовские чтения" (Механика жидкости и газа) - Уфа, Т 4, 2006 - С 155-160

9 Султанов А. III., Галимзянов М. Н. Акустическая теория взаимодействия ударной волны с пористой средой //Тезисы докладов 12 Всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых - Новосибирск, 2006 - С 687-688

10 Султанов А. III. О прохождении экспоненциальной волной границы раздела "газ-пористая среда"//Научные труды аспирантов и соискателей НГГУ - Нижневартовск, Выпуск 3, 2006 - С 138-144

11 Султанов А. III., Урманчсев С. Ф., Шагапов В. III.

К решению задачи об отражении линейных волн в флюиде от насыщенного этим флюидом пористого полупространства // Прикладная математика и техническая физика - Новосибирск, Т 47, №5, 2006 - С 16-26

12. Султанов А. Ш., Галимзянов М. Н. К акустической теории взаимодействия ударной волны, имеющей экспоненциальную зону релаксации, с пористой средой //Тезисы доклада XIV школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики" - Сочи,2006 - С 80-81

Султанов Айдар Шакурович

К АКУСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ПОРИСТОЙ СРЕДОЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 18 04 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,39 Уч-изд л 1,58 Тираж 100 экз Заказ 186

Редакционно-издате тьский центр Башкирского государственного университета 450074 РБ, г Уфа ул Фрунзе 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074 РБ, г Уфа, уп Фрунзе 32

Введение

Глава 1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РАБОТ ПО АКУСТИКЕ КАНАЛОВ И НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД

1.1. Волны в каналах.

1.2. Волны в насыщенных пористых средах.

Глава 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ТИПА "СТУПЕНЬКА" С ПОРИСТЫМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ

2.1. Введение

2.2. Основные уравнения движения волны давления.

2.3. Аналитическое решение для суммарного возмущения давления на границе "флюид-пористая среда".

2.4. Численный анализ аналитического решения суммарного возмущения давления на границе "флюид-пористая среда".

2.5. Эволюция волн давления и распределения скорости в пористой среде.

Актуальность темы. Проблемы волновой динамики насыщенных пористых сред порождают постоянный интерес исследователей, связанный не только с получением новых знаний, а также с точки зрения широкого применения пористых сред в современных технологических процессах. В последнее время особо большое внимание уделяют акустике пористых сред приминительно к проблемам геоакустики и анализа механизмов интенсификации добычи нефти.

Несмотря на обилие работ, теоретические исследования в основном сводятся к дисперсионному анализу или же к численному приближенному решению полной системы уравнений насыщенных пористых сред. Но для детального и более точного и глубокого понимания явлений, связанных с распределением воли в насыщенных пористых средах, необходимо получить точные аналитические решения уравнений насыщенных пористых сред.

Полученнпые аналитические решения могут быть использованы также при тестировании результатов численных расчетов волн давления в насыщенных пористых средах.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению для предельной ситуации, а именно, для случая несжимаемого скелета пористой среды, взаимодействия ударной волны со стороны чистого флюида типа "сту-пенька"с пористой средой, насыщенной тем же флюидом, бесконечной и конечной толщины. Такая же задача в случае пористой среды бесконечной толщины рассмотрена для ударной волны давления конечной длительности в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация".

Научная новизна заключается в следующем: получены точные аналитические решения задачи об отражении ступенчатой волны давления в линейно сжимаемом флюиде от плоской границы пористой среды бесконечной протяженности, насыщенной тем же флюидом, также получены аналитические решения для волн давления и поля скоростей в этой пористой среде. на основе аналитических решений выполнен численный анализ с целью выявления особенностей отраженной и проникающей волн в зависимости от пористости и проницаемости пористого полупространства. такие же результаты получены для волны конечной длительности в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация". получены аналитические решения, описывающие взаимодействие волны типа "стуненька"с пористой средой конечной толщины и проведен численный анализ этих решений в зависимости от пористости, проницаемости пористой среды и от её протяженности.

Достоверность результатов диссертации основана на использовании фундаментальных уравнений движения волн в области чистого флюида и в пористой среде, корректной постановке задач и получении аналитических решений точными математическими методами, непротиворечивости этих решений общим гидродинамическим представлениям.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при разработке теоретических основ различных технологий, связанных с взаимодействием ударных волн давления со стороны чистого флюида с пористой средой, насыщенной тем же флюидом.

Апробации работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и научных школах: в Международной научной конференции по спектральной теории дифференциальных операторов и родственным проблемам, (г. Стерлитамак, СГПА 2003г.). в XL Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. (Москва, РУДН, 2004г.) в III Всероссийской научной конференции но проблемам современного математического образования в вузах и школах России (г. Киров, Вят.ГГУ

2004г.) в 35 Региональной молодежной конференции (г. Екатеринбург, Институт математики и механики УрО РАН. 2004г.) в V Региональной школе —конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г. Уфа, БашГУ, 2005 г.) в XIV школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики":1. Сочи 2006 г. в III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (г. Уфа, 2005 г.) в Российской научно-технической конференции "Мавлютовские чтения"^. Уфа, УГАТУ, 2006 г.) в XII Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученных г. Новосибирск НГУ 2006 г.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю чл.-корр. АН РБ, д.ф.-м.н., профессору Шагапову В.Ш., а также научному консультанту к.ф.-м.н. Галимзянову М.Н.

Заключение

1. Получено аналитическое решение, описывающее эволюцию волны давления типа "ступенька" в системе "флюид-иористая среда". Выявлены соотношения, характеризующие изменение давления на границе с пористым полупространством, а также распределения давления и скорости в пористой среде в безразмерные моменты времени.

2. Установлено, что отражение волны давления от пористой стенки и выход к удвоению происходит с некоторым запаздыванием, нежели в случае отражения от непроницаемой стенки. Данное запаздывание зависит от пористости и проницаемости перегородки, а также вязкости флюида. Поэтому величина этого запаздывания, а также величина прироста давления сразу после падения волны на стенку позволяет судить о пористости и проницаемости материала перегородки.

3. Построено аналитическое решение задачи об отражении модулированного импульса давления в форме "мгновенный скачок и экспоненциальная релаксация" в флюиде от плоской границы пористой среды бесконечной протяженности, насыщенной тем же флюидом. Получены аналитические решения для эволюции волн давления и поля скоростей в пористой среде.

4. Установлено, что характер кривой Р(т) при известном значении амплитуды ри протяженности £* падающего сигнала дает информацию, как о величине пористости ш, так и о характерном времени tv, определяемом проницаемостью и пористостью скелета и свойствами насыщающей пористую среду флюида. Если свойства насыщающего флюида (вязкость, скорость звука) известны, то величина tv определяется пористостью и проницаемостью пористой среды. Следовательно, по характеру кривой Р{т) можно судить о величине пористости и проницаемости пористой среды.

5. Решена задача об отражении ударной волны типа "ступенька" от пористой среды конечной протяженности. Получены аналитические решения для суммарного возмущении давления при отражении от пористой перегородки в случаях, когда задняя стенка перегородки открыта и закрыта.

6. Установлено, что из-за волн давления, отраженных от задней стенки пористой перегородки, образующих скачки давления на границе, давление на границе может повышаться более чем в два раза.

1. Абрашкин А.А., Авербах B.C., Власов С.Н., Заславский Ю.М., Соустова И.А., Судариков Р.А., Троицкая Ю.И. О возможном механизме акустического воздействия на частично насыщенные пористые среды // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 6-19.

2. Барентблат Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в пористых пластах. М.: Недра, 1984.

3. Вураго Н.А., Ибатов А.С., Крауклис П.В., Крауклис JI.A. Дисперсия трубной и лэмбовской волн, используемых при АК. Записки научного семинара ЛОМИ, т. 99, 1980.

4. Быков В.Г., Николаевский В.Н. Нелинейные геоакустические волны в морских осадках. // Акустический журнал, 1990. -вып.4. -т.36. -С.606-610.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

6. Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Урманчеев С. Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // Физика горения и взрыва. 2000. Т. 36, № 4. С. 87-96.

7. Губайдуллин А.А., Кучугурина О.Ю. Сферические и цилиндрические линейные волны в насыщенных жидкостью пористых средах. // Теплофизика высоких температур, 1995. -т.ЗЗ. -№1.

8. Губайдуллин А.А., Мусаев Н.Д., Якубов С.Х. Исследование линейных волн в насыщенных пористых и проницаемых средах // Отчет о НИР №9 ТОММС ИТ АН СССР. № ГР 01.90.0055072. инв. № 02.90.004.3814. -Тюмень. -1990.-47с.

9. Губайдуллин А.А., Мусаев Н.Д., Якубов С.Х. Линейная теория плоских одномерных волн в насыщенных пористых средах. // Итоги исследований ТОММС ИТ АН СССР, № 1. Новосибирск. -1990.-c.33-35.

10. Губайдуллин А.А., Урманчеев С.Ф. Исследование прохождения волнысжатия из жидкости или газа в насыщенную пористую среду и отражение их от преград // Динамика сплошных сред. Акустика неоднородных сред. Новосибирск. -1992.

11. Губайдуллин А.А., Урманчеев С.Ф. Численное моделирование прохождения волны сжатия из жидкости в насыщенную пористую среду // Труды ИММС. Вып.З. -Тюмень. -1992.

12. Губайдуллин А.А., Якубов С.Х. Динамика слабых импульсных возмущений в насыщенной пористой среде // Итоги исследований ИММС СО АН СССР. Тюмень. -1990. -№2.-с. 45-48.

13. Губайдуллин А.А., Якубов С.Х. Исследование распространения слабых импульсных возмущений в насыщенной пористой среде // Отчет о НИР №22 ТОММС ИТ СО АН СССР. № ГР 01.90.0055072, инв. ДО 02.91.0015766.- Тюмень. -1991.- 44с.

14. Губайдуллин А.А., Кучугурина О.Ю. Распространение слабых возмущений в трещиновато-пористых средах // ПММ. 1999. Т.63. Вып. 5. С. 816-825.

15. Динариев О.Ю., Леонтьев И.А. Волны в насыщенных пористых средах с внутренними релаксационными процессами // Акустический журнал. -1991.- т.37, вып.1,- с.84-90.

16. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Распространение волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью // ПМТФ. -1988. -№1.

17. Донцов В.Е. Экспериментальное исследование распространения волн давления в многофазных средах. Дисс. на соискание уч. степени канд. тех-нич. наук. - Новосибирск. -1986.-153с.

18. Дудип С.З. Затухание волн конечной амплитуды в зернистых средах. // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1989. -№2.-с.106-110.

19. Дудин З.С., Николевский В.Н. Нелинейные волны в пористых средах, насыщенных ,,живой"нефтью // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 74-80.

20. Егоров А.Г., Зайцев А.Н., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Акустическиеволны в насыщенной пористой среде. В кн. Численные методы решения задач многофазной несжимаемой жидкости. - Новосибирск. -1987.-С.115-120.

21. Егоров А.Г., Костерин В.В., Скворцов Э.В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах Казань: КГУ. - 1990. -102с.

22. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. -"Бюллетени Политехнического общества".- 1899. -№5.

23. Ионов A.M., Сироткин В.К., Сумин Е.В. Распространение нелинейных продольных волн в пористых насыщенных средах // ПМТФ. -1988. -№6. -с.138-144.

24. Исаков И.И. Исследование регистрации волны Лэмба в скважине. При-кл. геофизика, вын.98, М.: Недра. -1979.

25. Исаков И.И. Применение волны Лэмба при акустическом каротаже. Нефтегаз. геол. и геофизика. -1979. -ЖЗ.

26. Калимуллин P.P., Шалашов Г.М. Нелинейное деформирование насыщенных пористых сред в модели Френкеля-Био // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1990. -№3. -с.41-46.

27. Карслоу X., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: ГИИЛ, 1948.

28. Карус Е.В., Кузнецов О.Л и др. Критерии выявления зон повышенной трещиноватости с помощью широкополосного АК. // Изв. вузов. Геология и разведка.-1977. -Ш.

29. Крауклис П.В., Бураго Н.А. Амплитуды и скорости гидроволн в обсаженных скважинах. В кн. Изучение горных пород акустическим методом. М. -1978.

30. Крауклис П.В., Ибатов А.С. О влиянии поглощения в среде на затухание гидроволн в скважине. Записки науч. семинаров ЛОМИ, т.99 -1980.

31. Крауклис П.В., Крауклис JI.A. Кинематика и динамика гидроволн, распространяющихся в обсаженной зацементированной скважине. В кн. Вопр. дин. теор. распр. сейсм. волн., вып.19. -1979.

32. Крауклис П.В., Крауклис JI.A. Нормальные волны в кольцевом зазоре между каротажным прибором и стенкой скважины. Скважинная геоакустика, вып.24, М.;Труды ВНИИЯГГ. -1975.

33. Крауклис П.В., Щербакова Т.В., Исаков И.И. Исследование свойств нормальных волн при АК нефтяных и газовых скважин. // Прикл. геофизика. -1982. -№102.

34. Крутин В.Н., Марков М.Г., Юматов А.Ю. Скорость и затухание волн Лэмба-Стоунли в скважине, окруженной насыщенной пористой средой // Изв. АН СССР. Сер. "Физика Земли". М.: Наука. -1987. -М. -с.33-38.

35. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966.

36. Кутушев А. Г., Радионов С. П. Численное исследование влияния параметров слоя насыщенной среды и падающей ударной волны на давление на экранируемой плоской стенке // Физика горения и взрыва. 1999. Т. 35, № 2. С. 105-113.

37. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

38. Лайтхилл Джеймс. Волны в жидкостях (перевод). М.: Мир. -1981.

39. Лапин А.Д. Затухание нулевой моды в волноводе с произвольным сечением вследствии поглощения на стенках. // Акустический журнал. -1991. -т.37. -вып.З. -с.581-582.

40. Лапин А.Д. Затухание звука в канале с неоднородными поглощающими стенками. // Акустический журнал. 1992. -т. 38. вып.6. -с.1114-1115.

41. Лэмб Г. Динамическая теория звука. М.: ИЛ 1960.

42. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. -М.: Наука, 1982. -288с.

43. Максимов Г.А., Радченко А.В. Моделирование интенсификации нефтедобычи при акустическом воздействии на пласт из скважины // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 118-132.

44. Марков М.Г., Юматов А.Ю. Акустические свойства слоистой пористой среды // ПМТФ. -1988. -№7.

45. Марков М.Г. Распротраиение упругих продольных волн в насыщенной пористой среде со сферическими неоднородностями // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 132-140.

46. Мостков М.А. Основы теории гидроэнергетического проектирования. М.: Госэперго, 1948.

47. Мостков М.А. Современное состояние и реальные задачи исследований гидроудара. Изв. АН СССР, ОТН -1954. -№3.

48. Морз Ф. Колебания и звук. М.-Л.:ГИТТЛ. -1949. -496 с.

49. Мусаев Н.Д. К линейной теории распространения продольных волн в пористом теле, насыщенном жидкостью или газом // ДАН СССР. -1989. -т.309, т. -с.297-300.

50. Мусаев Н.Д. К двухскоростной механике зернистых пористых сред // ПММ. -1985. -т.49, №2. -с.334-336.

51. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -М.: Наука. -1978.-336с.

52. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред ч.1. -М.: Наука. -1987. -464с.

53. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред ч.2. -М.: Наука-1987. -360с.

54. Николаевский В.Н., Степанова Г.С. Нелинейная сейсмика и акустическое воздействие на нефтеотдачу пласта // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 150-160.

55. Пергамент А.Х., Петренко Ф.А., Плющенков Б.Д., Турчанинов В.И. Численное моделирование акустического каротажа скважин. М.: Препринт. -1997. -№70. -28с.

56. Уайт Дж.Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. -М.: Недра. -1986. -262с.

57. Урманчеев С.Ф. Численное исследование ударно-волновых течений двухфазных сред. Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. -Тюмень. -1992.-177с.

58. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР, сер. геогр. и геоф. 1944. Т. 8. № 4. С. 133-149.

59. Шагапов В.Ш., Хлесткина Н.М. Некоторые особенности распространения возмущений в каналах с пористыми и проницаемыми стенками. В кн. Физико-математические проблемы и моделирование процессов нефтедобычи и переработки нефти. -Уфа. -1992. -с. 152-163.

60. Шагапов В.Ш., Хлесткина Н.М. Линейные волны в каналах с пористыми и проницаемыми стенками // Итоги исследований ИММС СО РАН. -Тюмень. -1993. -№4.

61. Шагапов В.Ш., Хлесткина Н.М., Гимранова Г.А. Линейные волны в слоисто-неоднородных пластах // Итоги исследований ИММС СО РАН. -Тюмень. -1995. -вып.6. -с. 133-140.

62. Шагапов В. Ш., Хусаинов И. Г., Дмитриев В. Л. Распространение линейных волн в насыщенных газом пористых средах с учетом межфазного теплообмена // ПМТФ. 2004. № 4, С. 114-120.

63. Зайцев В.Ю., Гусев В.Э., Назаров В.Е., Кастаньеде Б. Взаимодейтвие акустических волн с трещинами: упругие и неупругие механизмы нелинейности с различными временными масштабами // Акустический журнал. 2005. Т. 51, С. 80-92.

64. Юматов А. Ю., Марков М. Г. Распространение упругой продольной волны в иористо-трещиноватой среде // Геология и геофизика. 1987. № 3. С. 98-104

65. Якубов С.Х. Исследование распространения акустических волн в двухфазных системах. -Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук. -Тюмень. -1992. -160с.

66. Akbar Nabil, Kim Jung J. Permeability extraction: A sonic log inversion. SEG Int. Expos, and 64th Ahn. Meet., Los Angeles, Oct.23-28. -1994.

67. Allivieli L. Teoria genarale del moto perturbato dell' acqua nei tubi in pressione. Milan 1903. Translated into English by E.E.Halrnos. The Teoryof Waterhammer. Am. Soc. Civil English, 1925.

68. Albert Donald G. A comparison between wave propogation in water -saturated and air saturated porous materials. // J. Appl. Phys. -1993. -v.73. M. -P.28-36.

69. Barez F., Goldsmith W., Sackman J.L. Longitudinal waves in liquid-filled tubes. -Int. J.Mech. Sei. 1979. v.21. P.213.

70. Berryman J.G. Elastic wave propagation in filled-saturated porous media // The Jornal of the acoustical Society of America. -1981. -v.69. 2. -P.416-424.

71. Biot M.A. Propogation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid. J. Appl. Phys. v.23. -№. -1952.

72. Biot M.A. Theory of stress-frain relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomena // The Journal of Applied Phisics. 1954. -v.25. -P.1385-1391.

73. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range // The Journal of the Acoustical Society of America. -1956. -v.28. -№2. -P.168-178.

74. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Highter-frequency range // The Journal of the Acoustical Society of America. -1956. -v.28. -№2. -P. 179-191.

75. Biot M.A. Mechanics of Deformation and acoustic propogation in porous media // The Journal of Applied Physics. -1962. -v.33. №4. -P.1482-1498.

76. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // The Journal of the Acoustical Society of America. -1962. -v.34. -№9. -P.1251-1264.

77. Borje Nilson, Ollc Brander. The propagation of sound in cylindrical ductswith mean flow unol bulk-reacting lining. III. Step discontinuites. // IMA J. Appl. Math. -1981. -v.27. -№1. -P.105-131.

78. Bourbie Т., Coussy 0., Zinszner B. Acoustics of porous media. Paris. Technip. -1987. -334p.

79. Gronwall H. Longitudinal vibrations of a liquid contained in a tube with elastic walls. Phys.Rev. -1927. -v.30. -№71.

80. Gubaidullin A. A., Kuchugurina 0. Ju. One-dimensional linear waves with axial and central symmetries in saturated porous media. // Transport in Porous Media, -vol.22. -№1. -1996. -P.73-90.

81. Gubaidullin A. A., Kuchugurina 0. Yu. The peculiarities of linear wave propagation in double porous media // Transport in Porous Media. 1999. V. 34. P. 29-45.

82. Gurevich В., Lopatnilov S. Velocity and attenuation of elastic aves in finely layered porous rocks // Geoph. J. Int. 1995. V.121. P. 933-947.

83. Hersh A.S., Walker В., Dong S.B. Analytical and experimental investigation of the propagation and attenuation of sound in extended reaction lined ducts. // AIAA Pap. -1981. -№2014. -29p.

84. Hovem J.M., Ingrem G.D. Viscous attenuation of sound in saturated sand // J. Acoust. Soc. Am. -1979. -v.66. №6. -P.1807-1812.

85. Hudson J. A., Liu E., Crainpin S. The mechanical properties of materials with interconnected cracks and pores // Geoph. J. Int. 1996. V. 124. P. 105-112.

86. Kozyar V.F., Glebotcheva N.K., Medvedev N.Y. Permeable Reservoir Rock Determination by Stoneley Wave Parameters (Rezults of Industrial Tests) // Trans. SPWLA, 39th Annual Symposium. -1998.

87. Lamb H. On the velosity of sound in a tube as affected by the elasticity of the walls. Manchester Memoris. -1898. -v.62. -№9.

88. Lamb H. Tremors over the surface of an elastic solid. Trans. Roy. Soc. London. A 203. -1904.

89. McLeroy E.G., De Loach A. Sound Speed and Attenuation from 15 to1500 kHz, measured in Natural Sea-floor Sadiments // Journal of the Acoustical Society of America. -1968. -v.44, P.1148-1150.

90. Molloy C.T., Honigman E. Attenuation of sound in lined circular ducts. // J. Acoustic Soc. Amer. -1945. -v.16. -Ш. -P.267-272.

91. Morse P.M. The transmission of sound inside pipes. // J. Acoust. Soc. Amer. -1939. -v.ll. -№2. -P.205-210.

92. Nigmatulin R.I., Gubaidullin A. A. Linear Waves in saturated porous media. // Transport in Porous Media, -vol.9. -№122. -1992. -P.135-142.

93. Plona T.J. Observation of a second bulk corripressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Applied. Physics letters, -1980.-v.36. №4. -P.259-261.

94. Plyushchenkov B.D., Turchaninov V.I. Acoustic logging modeling by refined Biot's equations // (World Scientific Publishing Company) International Journal of Modern Physics C. -2000. -V.ll. №.2. -P.365-396.

95. Sniekers R.W.M., Smoulders D.M.J., van Dongen M.E.H., van der Kodel H. Pressure wave propagation in a partially water-saturated porous medium // Journal of Applied Physics. -1989. -v.66. №9. -P.4522-4524.

96. Summers G.S., Broading R.A. Continuous velosity logging. Geophysics. -1952. -v.17. -№.

97. Tang X.M., Cheng C.H. A dynamic model for fluid flow in open borehole fractures. // J.Geophys. Res.B. -1989. -M. -P.7567-7576.

98. Tuncay K., Corapcioglu M. Y. Wave propagation in fractured porous media 11 Transport in Porous Media. 1996. V. 23. № 3. P. 237-258.

99. Tuncay K., Corapcioglu M. Y. Body waves in fractured porous media saturated by two immiscible Newtonian fluids // Transport in Porous Media. 1996. V. 23. № 3. P. 259-273.

100. Johnson D.L., Plona T.J. Acoustical flow waves and the consolidation transition // The Journal of the Acoustical Society of Ainerica.-1982.-v.72. -№2. -P.556-565.

101. Stoll R.D., Bryan G.M. Wave Attenuation in Suturated Sediments // The Journal of Acoustical Society of America. -1970. -v.47, №5 (part 2). -P.1440-1447.

102. Stoll R.D. Theoretical aspects of Sound Transmission in Sediments // The Journal of the Acoustical Society of America. -1980. -v.68, №5. -P.1341-1350.

103. Shagapov V.Sh., Khlestkina N.M., Gimranova G.A. Linear waves in laminated inhoinogeneous formations // Transactions of TIMMS. - Tyumen. -M. -P.136-140.

104. Shagapov V. Sh., Khlestkina N. M., Lhuillier D. Acoustic waves in channels with porous and permeable walls // Transport in Porous Media. 1999. V. 35. № 3. P. 327-344.

105. Van der Grinter J.G.M. An experimental study of shock-induced wave propagation in gry, water-saturated, and partially saturated porous media. Tech. Univ. Eindheven. - Netherlands. -1987. -lip.

106. Van der Grinter J.G.M., van Dongen M.E.H., van der Kogel H. Strain and pore pressure propagation in a water-saturated porous medium // Journal of Applied Physics. -1987. -v.G2. -№12. -P.4682-4687.

107. Wassilieff G. Experimental verification of duct attenuation models with bulk reacting linings. // J. Sound and Vibr. -1987. -v.114. -Ш -P.239-251.

108. Wilson R.K., Ainfantis E.C. A double porosity model for acoustic wave propagation in fractured porous rock. // Int. J. Eng. Sci. -1984. -v.22. -K°-8.