Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Пастухова Светлана Евгеньевна

Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурах

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского инстит} та радиотехники, электроники и автоматики (технический \ ниверситет).

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

на\ к, профессор С.А. Назаров,

доктор физико-математических на>к, профессор Г.А. Серёгин,

доктор физико-математических наук, профессор A.C. Шамаев.

Ведущая организация - Московский »нергетический институт

Зашита диссертации состоится 2005 г. в № на заседании

диссертационного совета Д.002.20201 в VСанкт-Петербургском отделении Математического инстит} та им В А. Стеклова РАН по адрес): 191023, Санкт-Петерб)рг, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петерб\ргского отделения Математического инстит\та им В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " /*_•• сЛусгк

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.202.01 доктор физико-математических на\к.

А.Ю. Зайцев

TJfJr

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая работа находится на стыке двух направлений - теории усреднения и теории тонких структур. В теории усреднения изучаются периодические микронеоднородные среды, характеристики которых быстро меняются с измельчением периода. Задача теории усреднения - найти постоянные эффективные характеристики и доказать, что среда с эффективными характеристиками в некотором смысле близка исходной. За 30 лет существования теории усреднения появилось огромное количество работ, в том числе много монографий [1-8]. Разработаны различные методы: метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова, метод компенсированной компактности (L.Tartar -F.Murât), р-связности B.B. Жикова, метод двухмасштабной сходимости.

С другой стороны, в классической теории упругости рассматривается возникающая из приложений задача об отыскании поля перемещений, которое вызывается внешним воздействием в балке, пластине или сочленении плит и стержней. Все чти физические объекты - примеры простейших тонких структур, у которых неоднородность выражается прежде всего в том, что размеры в различных направлениях являются величинами разного порядка, при этом выделяется малый параметр толщины h --» 0.

Еще в XIX в. механиками (Г.Р.Кирхгоф, С. Жермен) замечено, что при h —> 0 тонкие объекты можно описывать особыми уравнениями (уравнениями балки, пластины, мембраны), которые получаются редукцией размерности при переходе к пределу при h ~¥ 0 из общей системы уравнений Ламе. При этом происходит переход от тонкой структуры к сингулярной, размерность которой меньше размерности объемлющего пространства. Понижение размерности в задаче сопровождается повышением ее порядка: из системы уравнений Ламе возникают уравнения четвертого порядка. Подобные результаты вошли во все классические учебники по теории упругости.

В последние 30 лет появилось большое количество работ с математическим обоснованием этого подхода (Назаров С. A., Ciarlet P.G., Destuyn-der Р., Панасенко Г.П., Слуцкий A.C. и многие другие авторы). Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях [9-11].

В данной работе изучаются задачи, лежащие на стыке двух изложенных выше направлений. Для решения их требуются наряду со старыми методами качественно новые подходы, разработке которых и посвящена диссертация.

1. Дадим определение тонкой периодической структуры. Пусть Fh -1-периодическая структура, которая характеризуется "толщиной"h > 0 и при h —у 0 переходит в некоторую upe "нулевой

толщиной". Гомотетическое сжатие ^ = еРн, где Н(е) —> 0 при е —► О, задает е-периодическую структуру толщины ек{е). Тонкие структуры Рн удобно описывать как носители 1-периодических борелевых мер /л'1, слабо сходящихся при /г —> 0 к мере ¿х, задающей предельную или сингулярную структуру Р.

Перечислим модельные примеры.

]. Сетки. Пусть ^ - связный периодический граф (сетка) на плоскости, /1 - нормированная мера, сосредоточенная на ^ и пропорциональная там линейной мере Лебега. Тогда Рн - объединение всех полос ширины 2/г > 0, симметричных относительно соответствующих звеньев из Р, (лк - нормированная мера, сосредоточенная на Рн и пропорциональная там плоской мере Лебега. Аналогично определяются стержневые структуры в И3.

2. Ящичные структуры. Пусть Р - периодическая ящичная структура в Ж3, состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, ¡1 периодическая нормированная мера, сосредоточенная на?и пропорциональная там плоской мере Лебега. Тогда Р!г - объединение бесконечных плит толщиной 2/г > 0, симметричных относительно соответствующих плоскостей из структуры Р1, - периодическая нормированная мера, сосредоточенная на Fл и пропорциональная там пространственной мере Лебега.

3. Плоские составные структуры. Здесь мера ц равна полусумме плоской меры Лебега и описанной выше естественной меры на сингулярной сетке Р1, а ^ - полусумма плоской меры Лебега и естественной меры на тонкой сетке Рн. Таким образом, мы имеем плоскость, "армированную " сеткой.

4. Составные структуры в пространстве. Здесь мера ц равна полусумме пространственной меры Лебега и естественной меры на сиш у-лярной ящичной структура Р, а - полусумма пространственной меры Лебега и естественной меры на тонкой ящичной структуре Рн.

Обычно мера цк абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в объемлющем пространстве, — рп(х)с1х. Если йц11 = <1ц — г!,х есть мера Лебега, имеем классическое усреднение. Случай, когда йцк = (1ц = рйх, где р - характеристическая функция некоторого открытого периодического множества, соответствует усреднению в перфорированной области.

Впервые усреднение на тонких периодических структурах было рассмотрено Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко более 20 лет назад. Для задачи о стационарном распределении тепла на плоском прямоугольном каркасе [1,глава 8] был установлен следующий результат: для любой /г(е) -» 0 предельное при е —> 0 распределение тепла одно и то же и находится из классического типа усредненного уравнения, рассматри-

ваемого в сплошной области, на которую натянут каркас.

В аналогичных задачах теории упругости полная картина усреднения прояснилась лишь в последнее время. В 2001-2002 гг. В.В. Жико-вым [12,13] обнаружен масштабный эффект, который не наблюдается в скалярных задачах. Этот эффект заключается в том, что усреднение зависит от величины

lim h(e)fe = в, 0е[О,оо].

При этом усредненное уравнение теряет классический характер и становится "двухмасштабным". В.В. Жиковым [13] получен принцип усреднения для достаточно тонких и достаточно толстых упругих структур, когда в = 0 или в = оо соответственно, а усреднение в наиболее сложном случае, когда структуры имеют критическую толщину, то есть в = const > 0, осталось неизученным.

К тонким структурам, представляющим собой каркас в пустоте, примыкают составные структуры, к которым мы относим сочления тонких структур с однородной средой. Например, это может быть плоскость или пространство с встроенными в них тонкой сеткой или тонким ящичным каркасом.

Настоящая работа посвящена выводу предельных уравнений и анализу предельного оператора для задачи теории упругости на тонких структурах — cFh с критическим параметром толщины h{e) ~ е, а также в составных средах с армированием в виде топкой структуры F£ft, параметр толщины которой h(e) —»• 0 произвольно. Для получения предельных уравнений используется метод двухмасштабиой сходимости в наиболее общем варианте с переменной 1-периодической мерой слабо сходящейся к мере ц. Заметим, что в нашем случае предельная мера ц является сингулярной. Это означает, что соответствующее ей соболев-ское пространство может иметь такие необычные свойства, как множественность градиента или нетривиальность множества жестких периодических перемещений. Последнее свойство особенно важно, поскольку приводит к неклассическому характеру принципа усреднения.

Основные теоремы о двухмасштабной сходимости с переменной мерой ¡jLh удается доказать лишь в том случае, когда для меры цн выполнены особого рода условия, которые мы называем аппроксимативными. Эти условия связывают между собой соболевские пространства с мерой ¡ih и ц в терминах специальных полей, среди которых - соленоидальные векторы и матрицы. Для модельных тонких структур аппроксимативные условия выполнены.

Изучение упругих струтур опирается на различного рода неравенства Корна, в которых оцениваются нормы вектора и его полного градиента через норму симметрического градиента. Известно, что константа

в правой части неравенства Корна зависит от геометрических характеристик области весьма сложным образом. Для правильной постановки задач и адекватного асимптотического описания решения необходимо получить эту зависимость "в точном виде". Хотя первые работы, посвященные точным неравенствам Корна на тонких и на тонких периодических структурах, появились лет 30 назад, до сих пор тематика не исчерпана. Результаты для тонких структур достаточно полно изложены в монографии С А.Назарова [9].

2. Дадим точную постановку задачи на тонкой структуре. Через А = {<1г]ар} обозначим тензор упругости, подчиненный обычным условиям симметрии и положительной определенности: а1]Яр ~ аарг] ~ а^гер, А£ ■ £ > со£ • ^ со > 0. Действие тензора А на матрицу £ есть матрица А£ = Скалярное произведение симметрических матриц £ =

{£гЛ> = {щ) определено равенством £-77 = £гзг]г], где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Для изотропного тензора имеем

А£ = к(; + кхЕ\х$, к > 0, кг > 0, (1)

где Е - единичная матрица, £ след матрицы

В пересечении ограниченной липшицевой области П с тонкой структурой Р'} = еРн (являющейся сжагием в е-1 раз 1-периодической структуры Рк) получаем перфорированную область П П Р^ сложной геометрии. Свяжем с этой областью пространство - замыкание множества по норме

Рассмотрим задачу: найти вектор-функцию и£'н £ для кото-

рой выполнено интегральное тождество

I Ае{ие'к)-е{у)йх= J /-цнЬ; Ур <Е /еС00^. (2)

Это - обобщенная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области П П когда на дП П дР* задается условие закрепления, т.е. условие Дирихле ие,1г = 0, а на остальной части границы области П П ^ условие отсутствия напряжений: Ае(ие'к)п = 0, п - нормаль к границе.

Для широкого класса тонких структур доказано равномерное по е.

И неравенство Корна

J \у\2йх<с J \е(1р)\2<1х, <р&С%0{П)". (3)

Ппг* ПпРгл

Из него след>гет, что решение и£,1г ограничено вместе с тензором деформации е(гг,л), т.е. справедлива оценка

I {\ие,н\2 + \е(ие'ь)\2)(1х < С, (4)

£ пп^

в которой константа С не зависит от е, к. Эту оценку следует рассматривать как стартовую для последующего усреднения.

Цель усреднения состоит в том, чтобы изучить поведение решения и£,н при е —> 0 и найти уравнение, которому удовлетворяет предельная функция. Случай, когда толщина Ь, > 0 - фиксирована, охватывается классической теорией усреднения в перфорированных областях, см. [1], [4], [6]. Вудем считать, что толщина структуры стремится к нулю вместе с е, т.е. к = /г(е) —> 0 при е —> 0. Для скалярной задачи на тонкой сетке в книге Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко [1] доказана "сильная" сходимость

опрь

где ие,н{х) - решение задачи вида (2), и°{х) - решение усредненной задачи

и0 е Н1 (П), -<ЦуАЬот V«0 = /.

При этом усредненная матрица /4Ьот определяется с помощью некоторой периодической задачи на сингулярной сетке Р. Важно, что предел решений иеМ не зависит от способа стремления Н к нулю.

Особенностью задачи теории упругости является то, что решение ис'Н "осциллирует"и для него, вообще говоря, не может быть сильной сходимости (5). Более точно, в нулевом приближении решение ие'ь(х) имеет вид и(х, где и(х,у) функция двух перемент,тх, периодическая по аргументу у. Функция и(х.у) служит "двухмасштабным пределом "последовательности ие'к. При этом структура функции и(х,у) и уравнение, которому она удовлетворяет, существенно различаются в указанных вытпе трех случаях (в = 0, в — оо, в > 0), хотя всегда и{х, у), как функция аргумента у, есть "периодическое жесткое перемещение на сингулярной структуре

Поясним это ключевое понятие. Скажем, что заданный на сингулярной структуре F вектор и е L2(Y, cl/j,)d, Y = [—1/2, l/2)d - ячейка периодичности, есть периодическое жесткое перемещение, если найдется последовательность € C^r(Y)d, такая что ips —> и, e('fis) -4 0 в L2(Y,dpb). Множество периодических жестких перемещений будем обозначать через 31.

Основную роль в теории усреднения играет возможность единственного представления периодического жесткого перемещения

и(у) =с + х{у), (б)

в котором с - постоянный вектор, а х ~ поперечное перемещение. Последнее означает, что на каждом составляющем структуры F (звене сетки или грани ящичного каркаса) вектор х ортогонален этому составляющему п.в. Таким образом, справедливо (неортогональное) разложение 1R. = IRd + , где CR-i множество всех поперечных перемещений. Это свойство меры ¡1 (или самой структуры) аналогично так называемой 2-связности меры в скалярной теории и в дальнейшем называется просто связностью.

Рис. 1

Представление (6) имеет место для модельной сетки (см. рис.1) и ящичной структуры. Для сеток общего вида и стержневых структур в пространстве мы вводим специальное геометрическое условие, обеспечивающее связность структуры. Оно заключается в том. что узлам можно приписать целочисленную метку или уровень, так что каждый узел связан двумя неколлинеарными (в трехмерном случае - тремя некомпланарными) ребрами с узлами меньшего уровня.

В соответствии с (6) нулевое приближение для и£,1г (или двухмас-штабный предел) имеет структуру

и(х,у) =и°(х)+х(х,у),

Компонента и0 принадлежит соболевскому пространству Щ (Г2, dx)d и является решением обычного типа усредненного уравнения

-divAhome{u°) = / в П. (7)

Это верно для структур как критической толщины, так и для достаточно толстых. В последнем случае компонента х = 0, выполнено соотношение (5) и на этом усреднение задачи заканчивается. Для структур критической толщины ответ выглядит сложнее.

Например, для сеток компонента х(х, у) определяется как решение некоторой хорошо поставленной периодической задачи та сингулярной сетке. Эта задача включает в себя уравнения балки на каждом звене и условия закрепления и сопряжения в узлах. Вместо сходимости (5) возникает сходимость

J (8)

iiniy*

являющаяся частным случаем "сильной двухмасштабной"сходимости.

Если область Ü неограничена (или она ограничена, но неравенство Корна (3) не имеет места) мы рассматриваем "резольвентное"уравпе1ше

У [Ae(ue'h)-e(ip) + u£'h-v]dx= j f -<рdxVip € (Sl)d, f t С°°(Tl)d. QnF* QnF*

0)

В этом случае оценка (4) выполняется автоматически.

3. Многие задачи усреднения имеют вид операторных уравнений

Аеис + А щ = /, (10)

где А > 0, Ае неохрицательный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н типа /^-пространства. Сам принцип усреднения формулируется в виде сильной сходимости решений и£ —> и, Ли + \и = /, где Л также неотрицательный самосопряженный оператор в том же пространстве ff, называемый усредненным или предельным. Полученные соотношения означают сильную сходимость

(Л + АГ^-КЛ + А)"1/, (П)

для любого f Е Н и любого А > 0 (достаточно для А = 1).

Из резольвентной сходимости (11) вытекаю i далеко идущие следствия для эволюционных и спектральных задач, связанных с уравнением (10).

В качестве примера, когда справедлив классический принцип усреднения (11), рассмотрим задачу Дирихле

и € #¿(0) : -йг?;(о(£-1х)Уи) +« = /б12((!) в О,

где П - ограниченная область в а (у) - измеримая 1-периодическая симметрическая матрица, удовлетворяющая условию эллиптичности и ограниченности. Предельная задача имеет вид

и £ Но (П) : -бль акотЧи + и = / в П,

где аНот некоторая постоянная матрица, называемая усредненной. Из резольвентной сходимости (11) с помощью теоремы Троттера-Като выводим усреднение для соответствующих параболической и гиперболической задач, а с помощью теоремы Реллиха заключаем о сходимости по Хаусдорфу спектра исходной задачи к спектру предельной задачи.

Однако, в задачах усреднения на тонких структурах изложенную схему, связанную с сильной резольвентной сходимостью, нельзя применить, хотя сама запись исходной задачи в операторном виде (10) сохраняется. Дело в том, что оператор Л£ действует в переменном пространстве типа Ь2($1е), где - переменная область. Известно понятие компактности в переменном пространстве типа Т?{0.е), но в данном случае последовательность решений уравнения (10) не является компактной в этом смысле. Выяснилось, что целесообразно оперировать не с сильной сходимостью, а с так называемой сильной двухмасштабной сходимостью и в соответствии с этим изменить понятие резольвентной сходимости. Перечислим используемые далее основные виды сходимости. 1°. Сходимость в переменном пространстве Ь'2. Пусть меры цЕ, ц - меры Радона в Л, такие что це —/л. т.е. [ 1рйце —> / <рйц У^1 е

п п

Скажем, что ограниченная в £2(Г2,е?/|с) последовательность и, слабо сходится к функции и 6 £2(П, с1[л), и£(х) и(х), если

J ие(рйце У и^йц Мф е С£°(Я), п п

и сходится сильно, ие(х) —>• и(х), если

Jуе{х)ие(х)йцЕ ->• у у(х)и(х)г2/1 как только уе —х;(х). п п

Аналогично определяется сходимость в переменном пространстве периодических функций Ь2(У, (1[1Н).

2°. Двухмасштпабная сходимость с переменной мерой. Пусть 1-пе-риодическая нормированная борслева мера зависит от параметра Н 0, при этом имеет место слабая сходимость ее к мере ц: ц11 л т.е. / -> / (pd.fi V(/5 £ Срег(^)- Определим е-периодическую меру

у у

равенством

/^(2?) — для любого борелева множества Вс!11 (12)

и свяжем параметры е, Н, положив Л = Л(е) при е 0. Легко понять, что имеет место слабая сходимость мер цЕ --- к мере Лебега: dfiE —dx.

Для ограниченной в 12(Й, ¿¡лЕ) последовательности ие(х) имеем слабую двухмаштабную сходимость иЕ(х) и{х,у) £ Ь2(0, х У,<& х , если

JuE(x)^p(x)b(^)d|J,c ^ J Ju(x,y)^p(x)b{y)dxdfJ,(y) (13) 9 п у

для любых € Со°(0), &(?/) е С™Г(У), где ¡лЕ = /х*^. Скажем, что «Е(х) £ /у2(П.¿¡1,,) сильно двухмаспгтабно сходится к функции и(х,у) £ Ь2(П х У, dxx dfJ,)J иг(х) и(х,у), если

J ve{x)u£{x)dцE —> J J v(x,y)u(x,y)dxdf^ как только г>е(а;) —1 у(х,у). о п у

(14)

Двухмаснгтабная сходимость с мерой, в том числе переменной, введена и изучена В.В. Жиковым [13-15] и рассматривалась также С.ВоисЫйе и [16]. Эта сходимость играет основную роль при усреднении

задач теории упругости на тонких структурах, и ее свойства для каждого типа тонких структур определяют саму форму принципа усреднения. В случае dfJ,h = dfl — dy имеем классическую двухмасштабную сходимость с мерой Лебега, которую предложил С. [17] и развил в. А1Ыгс [18].

3°. Резольвентная сходимость. В терминах мер "резольвентное"ура-внение (9) записывается в виде

ие'к £ (Ае(Ф>1)-е{<р)+Ф'1-<р№'ге = ^Г'*1-^ V*» € СИП)",

п п

(15)

Здесь правая часть взята зависящей от е, /г, £

Аналогично, уравнение (2) (статическая постановка) принимает вид

иЕ'н £ У Ае(Фн) - е(<р)<1ц* = ^ • ^ V? £ (16)

Квадратичной форме / Ае{и£'к) ■ е(ие'к)с1^, заданной на ЪУе^, отвечаем

ет неотрицательный самосопряженный оператор А£' в гильбертовом пространстве 12(П, Ш/*, й^) - Ь'^ПА^у.

Предельному уравнению будет соответствовать самосопряженный оператор А в пространстве Ь2(П,91,с1х) = £2(П, 51), которое рассматривается как подпространство в Х2(П х У, йх х ё,ц)л = 12(П х Сам принцип усреднения выглядит как "сильная"сходимость резольвент

УЛ>0 (Л^+А)-1/, Л (Л + Л)-1^/, если /е'к(х) А- /(х,у), (17)

где Р : £2(П х —► X2 (О, Л) - ортогональный проектор.

В том случае, когда операторы {А )равномерно ограничены (например, при выполнении неравенства Корна (3)) принцип усреднения имеет вид

(.Ае'Н)~1/£ А А~1Р/ как только х) А /(яг, у).

Стоит отметить, что в скалярных задачах не только исходный оператор действует в пространстве но и усредненный оператор в аналогичном "предельном"пространстве Ь2(П,<1х). В этом случае имеется резольвентная сходимость

С/Г")-1/^ -> А' V в Ь2(П,с1цЬ), если /£'Л / в Ь2{П,<1^). (18)

Такого же рода резольвентная сходимость будет наблюдаться и для составных структур.

Для приложений резольвентной сходимости (17) или (18) к усреднению эволюционных задач требуется получить соответствующие аналоги теоремы Троттера - Като для переменных пространств о сходимости параболических и гиперболических полугрупп, а для изучения сходимости спектра - соответствующие аналоги теоремы Реллиха о сходимости спектральных проекторов.

Цель работы. Настоящая работа посвящена усреднению задач теории упругости на тонких и составных структурах, зависящих от двух малых геометрических параметров периодичности и толщины:

теории двухмасштабной сходимости на указанных структурах и адаптации метода двухмасштабной сходимости к усреднению изучаемых задач;

получению предельных уравнений для тонких структур критической толщины и составных структур с любым типом армирования;

изучению спектра предельного оператора;

модификаций классического метода асимптотических разложений для задач на двупараметрических структурах и построению с его помощью различного вида корректоров;

доказательству асимптотически точных неравенств Корна на тонких и составных структурах;

выводу теорем Троттера-Като в переменных пространствах и их приложению к усреднению эволюционных задач теории упругости; изучению сходимости спектра исходной задачи при усреднении; получению формул для явного вычисления усредненного тензора. Научная новизна. Перечислим основные результаты диссертации.

1) Дан вывод предельного уравнения для задачи теории упругости на тонких периодических структурах критической толщины. Изучен сложно устроенный спектр предельного оператора, не имеющего компактной резольвенты.

2) Дан вывод предельного уравнения для задачи теории упругости на периодических составных структурах. При этом соотношение между малыми геометрическими параметрами произвольно (отсутствие "масштабного эффекта"). Доказана сходимость по Хаус-дорфу спектра исходной задачи на составной структуре к спектру предельной задачи.

3) Для всех модельных примеров тонких периодических структур доказаны асимптотически точные неравенства Корна в пространстве финитных и периодических функций.

4) Установлены такие свойства двухмасштабной сходимости на тонких структурах критической толщины, которые определяют особый характер усреднения задачи теории упругости в этом случае. Доказано, что если последовательность вектор-функций ограничена вместе с тензором деформации, то ее двухмасштабный предел принадлежит энергетическому пространству предельной задачи, в частности, удовлетворяет необходимым условиям закрепления, сопряжения и повышенной гладкости. Выяснено также, что в неравенстве полунепрерывности для функционалов упругой энергии появляется дополнительное слагаемое, отсутствующее в общей теории и характерное только для критического случая.

Выяснено также, что в случае составных структур (и это отличает их от тонких) свойства указанного выше двухмасштабного предела аналогичны свойствам двухмасштабного предела для последовательности скалярных функций, ограниченных вместе с градиентом. Этим определяется единая классическая форма принципа

усреднения в скалярных задачах и задачах теории упругости на составных структурах, в частности, отсутствие масштабного эффекта.

5) Дано построение различного рода корректоров для задач усреднения на тонких и составных структурах с помощью модифицированного метода асимптотических разложений.

6) Для модельных примеров тонких структур проверены так называемые аппроксимативные условия, связывающие (в терминах соболевских пространств) тонкие структуры с сингулярными.

7) Найдено такое обобщение теоремы Троттера-Като для переменных пространств, которое позволило вывести усреднение эволюционных задач из результатов, полученных для соответствующих стационарных задач. Установлены общие свойства (и следствия) резольвентной сходимости операторов в переменном пространстве, например, сходимость спектральных проекторов.

8) На основе полученной формулы "релаксации"введен класс оптимальных сеток, для которых усредненный тензор вычисляется явно.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического анализа и уравнений в частных производных, метод двухмас-штабной сходимости, метод асимптотических разложений, теория меры, теория полугрупп операторов, элементы выпуклого анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации, а также разработанные в ней методы могут найти применение при усреднении различных сильно контрастных сред, пористых и армированных в том числе. Они могут быть использованы в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИРАН им. В.А. Стеклова, Санкт-Петербургском, Башкирском, Ворнежском, Саратовском университетах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва-

лись на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"им. И.Г. Петровского (Москва, 2004 г.), "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2002, 2004 гг.), "Нелинейные уравнения в частных производных"(Киев, 2001 г.; Алушта, 2003), "Понтрягинские чтения"(Воронеж, 2002, 2003 гг.), а также на международных научных конференциях по усреднению (Обер-вольфах, Германия, 2003 г.; Нарвик, Норвегия, 2004 г.) Кроме того, результаты диссертации докладывались на научных семинарах в ряде университетов Италии, Норвегии, Швеции, а также на различных научных

семинарах в МИРАНе, ПО МИРАНе, МГУ (на механико-математическом факультете и факультете ВМиК), МЭИ, Владимирском государственном педагогическом университете.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 19 публикациях автора; 5 статей [15-19] написаны в соавторстве с В.В. Жико-вым; список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

шести глав, разбитых на 44 параграфа и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 206 страниц, библиография содержит 97 наименований.

Обзор содержания диссертации.

Глава 1. Задача теории упругости на тонкой периодической структуре записывается в виде интегрального тождества на структуре Усредненная задача получается предельным переходом в этом тождестве на специально подобранных пробных функциях с помощью двух-масштабной сходимости, адаптированной к переменной периодической мере цн на структуре F'г. Для того, чтобы двухмасштабная сходимость обладала необходимыми для техники усреднения свойствами, требуется выполнение так называемых аппроксимативных условий, связывающих переменную меру /1Л с ее слабым пределом - мерой /л на предельной структуре Р1 = Iго.

Пусть //', /7 - произвольные 1-периодические борелевы меры, для которых предполагается лишь слабая сходимость ц'1 —к /х. Для вектора а и симметрической матрицы Ь из Ь2 (У, (1ц) пишем

а = с!1уЬ (по мере /г), (19)

если J а-ф<1ц = - Jь■ е(^)с1/и £ С£т{¥)л.

у у

Введем аппроксимативные условия, связывающие меры ц и (¡) для любых а, Ь, удовлетворяющих условию (19), найдутся вектор ан и симметрическая матрица б'1 из ¿2 (У, такие что ак = (по мере цн) и ан -> а, Ьн Ь в 12(У, (и) если в (}) а = 0, то и а'1 = 0 (сильная аппроксимируемость соле-ноидальных матриц).

Теорема 1. Аппроксимативные условия выполнены для естественных мер па тонких структурах следующего типа: плоские и пространственные стержневые структуры, ящичная структура, плоские и пространственные составные структуры с армированием в виде сетки или ящичной структуры соответственно.

Проверка аппроксимативных условий проводится отдельно для каждого типа тонких структур с учетом геометрии структуры. Существует три основных метода проверки этих условий.

Первый из них основан на том, что для некоторых структур естественная мера /гЛ близка к мере, полученной из предельной меры специальным сглаживанием и тогда можно применить общий результат В.В. Жикова для мер, полученных сглаживанием. Этот метод применим для ящичных структур, квадратной сетки, а также для составной среды с армированием в виде указанных тонких структур.

Другой метод применяется в случае плоских и пространственных стержневых каркасов произвольной геометрии. Он основан на специальном склеивании соленоидальных матриц на тонком каркасе в окрестности узлов, при этом учитывается структура соленоидальных матриц на сингулярном каркасе. Последнее обстоятельство затрудняет применение этого метода в случае составных стуктур, где соленоидальные матрицы устроены весьма сложно.

Третий метод основан на определенной эквивалентности аппроксимативных свойств и возможности предельного перехода в переменных соболевских пространствах периодических фупктщй.

Определим пространство ¡Крег(У, йц) как замыкание множества пар

{(Ч>,е(ф)), V € в произведении 1?{У,<1цУ х

Элементами этого замыкания служат пары (и,у), и - вектор, V - симметрическая матрица, которую называем (симметрическим) градиентом вектора и и обозначаем е(и). По определению

е с~г(г)<*, I \и - ^Чц о, 11«-е(^п)|2ф -»• 0.

у у

Первую компоненту и привычнее называть функцией из соболевского пространства. Тогда эта функция может иметь много градиентов. Неединственность градиента в предельном пространстве 3~Срег(У. ¿¡г) делает неочевидным предельный переход в Жре1(У,й(1Н).

Скажем, что в пространстве !Крег(1г, <1цн) возможен предельный переход, если как только

то

(и,у) € 5Срег(У,й/и), т.е. у = е(и).

Теорема 2. Из аппроксимативного условия (г) следует возможность предельного перехода в !Крег(У, йц11).

При определенных предположениях (см. §2 главы 1) верно обратное утверждение: из возможности предельного перехода в !КрЙГ(У, ф^) следует выполнение аппроксимативных условий (г), (и).

Это последнее свойство используется при проверке аппроксимативных условий для составных структур.

Глава 2 посвящена неравенствам Корна на тонких структурах. Для модельных примеров тонких структур доказаны неравенства

I \и\2йх<С1{1+{^)^ J |е(и)|2 ¿х,

(20)

рь /ГЬ

х е "

е2 I\Vu\2dx<C2 I [(1)2\Ф)\2 + \и\'<

¿х, и е (21)

где константы С\, С-2 не зависят от геометрических параметров е, Н. но могут зависеть от диаметра носителя функции и и от геометрии структуры

Эти два неравенства различны по своей природе. Неравенство (21) выполняется "покусочно"на определенного типа фрагментах структуры тогда как неравенство (20) такого "распадения"не допускает и требует от периодической структуры особых свойств связности или прочности.

Неравенство (21) доказано для произвольной сетки Р, а перавенство (20) - для так называемых жестких сеток (см. §2). Оба эти неравенства доказаны также для ящичной структуры (см. §3).

Для структур критической толщины из неравенства (20) следует ранее уже упоминавшееся неравенство (3), позволяющее рассматривать задачу теории упругости в статической постановке.

Для достаточно тонких сеток константа С\ + из (20) стре-

мится к бесконечности при е —у 0. Покажем на примере, что в этом случае точная копстанта в неравенстве Корна действительно имеет порядок (|) .

Пример. Пусть Рк - квадратная сетка, Р1'1 П У = и , где

= Н>1) х (-14). 72 = х Н>§)- Возьмем гладкую 1-

периодическую функцию а(£), равную нулю в окрестности точек 0 и а 7* 0. Зададим в ячейке периодичности вектор-функцию V равенством

,,/,Л _ / (-2/2а'Ы, а(т))> У € - \ (-а(у2), а'ЫУ1\ У е II

и периодически продолжим ее на Положим и(х) — и(|) в У =

(—1,|)2, где е — п - натуральное число. Тогда и\&у = 0 и выполнены соотношения

J \и\2 dx = 0(h), J |е(«)|2 dx = О (jpj ,

YHF* Yr\F*

из которых следует искомое свойство.

В ряде вопросов (например, при изучении задач на ячейке периодичности) важны неравенства Корна для периодических функций. Для некоторого класса сеток (см. §2) имеем:

h2 J(M2+|Vu|2) dfih <C'oJ \e{u)\2d^h, J \и-т\2 dfih < C0 J \e{u)\2dßh.

Y Y Ih Y

(22)

Здесь и € C™r(Y)2, f udx — 0, Co = const(F), I - произвольное зве-в*

но сетки F с продольным ортом г, lh полоса ширины 2h со средней линией /, Bh - круг радиуса h с центром в определенном узле сетки F. Неравенство (22)i верно и с более привычным условием нормировки по всей ячейке Y, а именно f и dßh = 0, причем для произвольной сегки F.

Y

Глава 3 посвящена исследованию двухмасштабной сходимости на тонких структурах критической толщины.

В §1 приводятся необходимые для дальнейшего свойства слабой и сильной сходимости в пространстве L2(ü,dß^), а также общие свойства слабой и сильной двухмасштабной сходимости в L2(Q,dß^), мера ¡i^ определена в (12), где цн - произвольная периодическая борелева мера. Некоторые из свойств ранее не были отмечены в литературе.

В §2 рассматриваются свойства двухмасштабной сходимости в пространстве теории упругости на тонких структурах fJ*^ , когда h (e) - > 0 произвольно. При усреднении задач теории упругости имеем дело с вектор-функциями u£'h, ограниченными в L2(i1,dp^) вместе с их градиентами e(u6'h), т.е.

lim sup f (|i/'f + \e{ue-h)\2)dßhe < oo. (23)

£->0 J

О

В предположении (23) слабые двухмастптабные пределы последовательностей ue'h и e(ue,h) связаны между собой и обладают важными для теории усреднения дополнительными свойствами.

Наиболее общий результат о структуре двухмаеттабного предела вектор-функций в переменных пространствах состоит в следующем [13,§12]:

если меры ¡ih, /i связаны аппроксимативными услвиями, h(e) > 0 произвольно и выполнены соотношения u£,h(x) и{х,у), se(ue'h) —> О, то и(х,у) €

В главе 3 мы исследуем двухмасштабную сходимость на тонких структурах, взяв в качестве примера ящичные каркасы. Аналогичные результаты для стержневых каркасов получаются по той же схеме, и часть из них, касающаяся сеток, сформулирована в §4 введения. •> Введем задачу на ячейке периодичности

M-)£Vpot, J A{£ + vti-))-(pdf* = О € Vpot, (24)

где Vp0t есть замыкание {e{ip) : <р £ С~Г(У)3} в L2(Y,dfj,)6. Усредненный тензор определяется формулой

Г Ai£ + 4(.)W. (25)

JY

Теорема 3. Пусть h(e) -* 0 произвольно и для последовательности функций ue'h(x) £ W£jft выполнено условие (23). Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности)

Фк{х) А и{х,у) =и°(х)+х(х,у), и°(х) £ Hl(Üf,x(x,y) € 12(ПДх);

(26)

e(uE'h(x)) А р(х,у), р(х,у) = e(u°(x))+v(x,y), v(x,y) е L2(Sl,Vpot);

(27)

limmf j Ae{u£'h) ■ e(ue-h)drf >

n (28)

J j Ap(x,y)-p{x,y)diJ,dx> J Abome{u°) ■ e(u°)dx.

OY П

Если дополнительно выполнено соотношение

lim I Ae(ue'h) • е>фм*6* = 0 V^ € Vto 6 C£r(Y)d,

а

то

Ae(uE,h) Ahome(u°), Ae(u^h) -- A[e{u°{x)) + в L2(Ü,drf),

(29)

где v(x,y) = ^(y)|i=e(uo), v^(y) - решение задачи (24).

§3 посвящен изучению двухмасштабной сходимости в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины, для чего требуется более детальное представление о геометрии этой структуры.

Ящичная структура Е состоит из квадратных граней 7Г, пересекающихся по ребрам 7. Рассматривая грань 7г в окрестности ребра 7, выбираем правую тройку ортов т, п,у, т - продольный орт для 7, г/ -нормаль к ж, п - внутренняя нормаль к 7 в плоскости 7Г.

Для векторов д б на ящичной структуре введем условия:

(а) 5-И. £Я2(тг); (Ь) <?|7 = 0;

(с) для сходящихся по ребру 7 граней 7Г, 7г выполнено равенство:

По определению, - это множество всех периодических поперечных перемещений, удовлетворяющих условиям (а), (Ь), (с) на каждой грани и на каждом ребре.

Теорема 4. В критическом случае в предположении (23) для поперечной компоненты х из (26) выполняется соотношение

x{x,y)eL\nX)- (30)

Еще одно свойство из общей теории двухмасштабной сходимости можно уточнить в критическом случае, а именно свойство полунепрерывности снизу выпуклых функционалов от упругих градиентов, см (27),(28). Сформулируем его в случае изотропного тензора А.

Теорема 5. Пусть выполнены соотношения (26), (27). Тогда lim inf

J Ae(uc'h) ■ e(ue'h)drf > J J Ap ■ pdfidx + ^j-fc J j |Ayx\2dßdx.

fi Q Y Q Y

Здесь и далее k = Ay - "поверхностный"лапласиан на

гранях куба [0,1)3. Например, на грани Пз = {0 < yi < 1,0 < у2 < 1,у3 = 0} имеем АуХ = +

В главе 4 дан вывод принципа усреднения для задачи теории упругости на тонких структурах критической толщины и изучен оператор предельной задачи. Предельное уравнение получается в результате перехода к пределу в исходном интегральном тождестве на специальных пробных функциях, которые строятся с помощью особых продолжений на тонкую структуру поперечных векторов g G Üli. Мы проделываем

это на примере ящичных структур в §2. В §1 разработана необходимая техника продолжения.

Введем энергетическое пространство предельной задачи

W = {u{x,v)=4°{x) + x{x,y), и°ен¿(ft)3. хсьЧпХП- (31)

Скажем, что и £ W есть решение предельной (или усредненной) задачи, если интегральное тождество

J Ahome{u°)-e(<p°)dx + jk J J AyX • dxdp = J J f-ipdxdp, (32)

Q а У Q Y

где f £ L2(Qx Y)3, выполнено для любой вектор-функции if +ф £ W.

Полагая в (32) ip = <р°, выводим уравнение для компоненты и 6 Я$(П)3, -divAh™e(u0) = J f(x, y)dß{y).

Y

Рассмотрим случай / = f(x). Благодаря симметрии куба, условие (с) из определения влечет за собой равенство = 0 на каждом ребре. Поэтому задача для компоненты \ распадается на отдельные задачи для х|п, на каждой грани Пг куба [О, I)3. Например, на грани Щ = {0 < 2/1 < 1,0 < J/2 < 1,2/3 = 0} для х|п3 = Х{У, 0) У = (2/1,2/г), выполнено бигармоническое уравнение

в2 -

= /з(ж) (х - параметр),

с краевыми условиями Дирихле х1ап3 = 0, §^|эп3 = 0- Эта задача описывает изгиб пластины Пз под действием нормальной нагрузки (0,0, /з)-

Теорема 6. Пусть ue,h -решение задачи (16), причем п о сл сдое а т. ел ь -н ость правых частей fF'h слабо двухмасштабно сходится: fe'h(x) f(x,y). Тогда ue'h(x) и(х,у) и предельная функция и(х,у) есть решение задачи (32).

Если сходимость правых частей является сильной двухмасштаб-ной, т.е. fe'h(x) f(x,y), то сходимость решений становится также сильной двухмасштабной. При этом имеет место сходимость упругих энергий

lim J Ae(ue'h)-e(u£>h)dßhe = J Ahome(u°)-e(u°) dx+jk J J \&yX\2 dxdß.

fi Q П Y

Если в задаче (16) fs'h(x) = f(x) £ С°°(П)3, - область с гладкой границей, то сходимость решений можно сформулировать в виде соотношения (8).

В §3, §4, §5 вопросы, связанные с усреднением на тонких структурах, рассмотрены на примере сеток. Сформулируем соответствующий принцип усреднения, для чего введем необходимые понятия и соглашения.

Сетка Р составлена из звеньев (отрезков), имеющих общие точки в узлах. На каждом звене I выбираем правую двойку взаимно ортогональных ортов т,и, где г - продольный орт. Продольную производную функции а, заданной на звене I, обозначаем через а' = . Пусть Н2(1) = {а е Ь\1) : а',а" е Ь2(1)}.

В случае сеток пространство есть множество поперечных векторов д е , удовлетворяющих на каждом звене I ив каждом узле О сетки F условиям: (а) д-р\1 £ Н2(1)\ (Ь) д\о = 0; (с) для любых сходящихся в узле О звеньев 1,1, выполнено равенство: -^{д\1 ■ у)\о = ¿ы/ '

Для сеток справедливы аналоги теорем 3-6, при этом аналогично определяется и энергетическое пространство Ш предельной задачи. Сформулируем только предельную задачу и сам принцип усреднения.

Скажем, что и £ есть решение предельной задачи, если тождество

I Аъ™е(и°) ■ е((р°) ^ + ^ У У р(у)х" ■ ф" йхйц+ и о у

+ У Ju■<pdxdц = J Jf■vdxd(^, / 6 ¿2(П х У)2,

п У п у

выполнено для любой вектор-функции <р + ф б ]¥. Здесь

р(у) = (А-1 г) ■ г))'1, г] = тхт. (34)

Теорема 7. Пусть ие'Н(х) - решение задачи (15), причем /£,1>(х) --> /(х,у). Тогда

(33)

(х) А и(х, у) = и°(х) + Х(х, у) € (35)

где и{х, у) - решение усредненной задачи (33). Сходятся также упругие энергии

\irnj Ае(иь<н)-е(ие'н№ = I Ahome{u0)■e(u0)dx+~ ^ Iр\Х"\2 dxdц.

V I Л / Г- И \ / Г (1Л 1 п. I / ||\ Г 11\ 1 ^

ш

е—>0 _

Ь п и у

Результат теоремы 7 означает1 сильную двухмасштабную резольвентную сходимость (17). В тех случаях, когда выполнено неравенство Корна (3), сформулированный выше принцип усреднения справедлив и для задачи в статической постановке.

Наконец, заметим, что при дополнительном условии fe,h = f(x) € С(П)2, сильную двухмасштабную сходимость (35) можно записать в более простой форме (8), где взято естественное продолжение на тонкую сетку Fh вектора xix> •)> определенного лишь на сингулярной сетке F.

В §3 изучен спектр оператора А предельной задачи (33). В отличие от оператора A?'h исходной задачи (16), имеющего (при фиксированном е) компактную резольвенту, оператор Л этим свойством не обладает. Его спектр оказывается чисто точечным, имеет бесконечное число точек накопления, а также бесконечное число особого рода лакун, не зависящих от области П. Для более точного описания лакун (жирно выделенных па рис. 2) введем два самосопряженных оператора, имеющих дискретный спектр. Оператор А\ отвечает заданной на квадратичной форме q(v,v) = у J pv" ■ v"d[i и действует в гильбертовом

y

пространстве Разложение (неортогоналытое) ¡R = IR2 — позволяет продолжить форму q(v, v) на Ж2 -f и получить оператор Q в гильбертовом пространстве Л.

Лакунами в спектре оператора А являются интервалы (wl; иг), г = 1,2,..., где и>г - собственные значения оператора для которых существует собственная функция с ненулевым средним, vt - собственные значения оператора Q, не попадающие в спектр SpAi- Точки т/г оказываются пулями некоторой мероморфной функции /?(А) (см. рис. 2).

к,-----i

К

/ :

-i-;--- f

-/i,

j,

О1

-Ч /Ч rjJi ;v' /'И 5

Рис. 2

Бесконечные серии конечнократных собственных значений оператора А, сходящихся слева к точкам шг, г — 1,2,..., определяются как решения уравнения /3(А) = кг, где = БрАо, До классический

усредненный оператор в Ь2(П)2, отвечающий форме / АНоте(<р)-е{<р)(1х,

п

заданной на Щ(И)2.

Ранее сходная картина спектра была обнаружена и в других задачах с сингулярным вырождением (см., например, [19]).

В §3 дано также построение ортонормированного в £2(П, 31) базиса, составленного из собственных векторов оператора А.

В §4 изучена проблема корректора для задачи (2) па плоскости, т.е. на сетке Р^, в предположении, что область П имеет гладкую границу, а сетка Р такова, что выполнены неравенства Корна (20), (22) (например, Р - модельная сетка, см. рис.1). Тогда для решения ис'к имеет место сходимость (8) и ее можно трактовать как сильную сходимость к нулю разности ие'к(х) — и(х,е^1 х) в переменном пространстве Ь2(С1,(1ц^). В этом смысле функция и(х, £_1а;) есть £2-аппроксимация точного решения ие'н(х). Встает вопрос о построении такого приближения и(х, е~гх), чтобы одновременно

ие'н - и(х,е~1х) 0, е(ие- и(х,е~1х)) ->0в

Приближение V строится как двухмасштабное разложение

и{х,у) = и°(х) -I- еи%(х,у) + е2и\(х,у) + еги\{х,у), у = е~гх,

где функции и0(ж), и{1(х,у), I - 1,2,3, - гладкие по х е П и 1-перио-дические по у £ Рп. Функция и0 (а;) была введена ранее как решение обычной усредненной задачи (7), а функции и^(х,-), г = 1,2,3, являются решениями вполне определенных задач на ячейке периодичности, которые возникают по схеме метода асимптотических разложений [1].

Заметим, что никакое разложение для и, более короткое, чем приведенное выше, не дает сильной аппроксимации в Ь2(С1, ¿ц^) одновременно решения и его (симметрического) градиента. В то же время некоторые укороченные разложения дают аппроксимации в определенном смысле (сильном или слабом) отдельно для решения или для его градиента.

Например, для и^х, §) = щ(х) + еи\(ж, |) можно показать (это связано с соотношением вида (29)г), что е(ие'н — II\) 0 в £2(П,но ие,н — 11-1 не сходится к нулю в £2(П, йц^) ни сильно, ни слабо двухмас-штабно.

Представляет также интерес построить корректор типа приведенного выше корректора II, определяя его через решения не зависящих от к задач. Это можно сделать, используя специальные продолжения для

решений периодических задач на сингулярной сетке. Точные утверждения о различного рода корректорах приводятся в §4 главы 4 в теоремах 4.1 и 4.9, а также в замечаниях 1 и 2.

§5 посвящен изучению усредненного тензора на сетках. Тензор ЛЬот, заданный равенством типа (25), в случае постоянного тензора А можно определить по формуле релаксации

Здесь г} и р(у) - введены ранее (см.(34)), = (£ • 77)77, Г> - пространство кусочнопостоянных потенциальных матриц вида сг], где с - константа на каждом звене.

Сингулярные сетки Р, удовлетворяющие условию ЛЬот£ • £ = = / р{у)Мь\2 йц для любого называются оптимальными. Для них

усредненный тензор /|Ьош явно вычисляется. Дано геометрическое описание этого класса сеток. В частности, к нему относятся простейшие сетки, составленные из прямых. Формула релаксации приводит к точным вычислениям для некоторых неоптимальных сеток и позволяет исследовать невырожденность тензора Ahom.

Глава 5 посвящена изучению составных структур. Для определенности рассмотрены плоские составные структуры, усреднение пространственных составных структур формулируется аналогично.

В §1 даны постановки рассматриваемых задач. В §2 и §3 исследованы задачи на простейших составных структурах - плите с бесконечно тонким стержнем и с тонким стержнем, показано, что первая из этих задач получается как предельная для второй, когда параметр толщины стремится к нулю.

В §6 изучена двухмасштабная сходимость на составных структурах. В сравнении со случаем тонких структур она оказывается проще. Свойства ее не зависят от того, как толщина h(e) стремится к нулю.

В §7 методом двухмасштабной сходимости доказан принцип усреднения для задачи теории упругости в составной среде с сингулярным и тонким армированием. Сформулируем этот результат точно.

Пусть F = F0 и Fh - произвольная си hi улярная и соответствующая ей тонкая сетки и пусть ц = f/P, fih - сосредоточенные на них естественные меры, fih (h > 0) - составная мера, т.е. dfih = \{dx 4 dp.h). Рассмотрим задачу Дирихле: найти вектор-функцию иЕ'" £ Яд (О)2, для которой выполнено тождество

у

Y

V^ 6 С0°°(П)2, (36)

где А - постоянный изотропный тензор, / £ С°° (П)2, мера /л? определена равенством вида (12).

Это - обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области $7, армированной периодической сеткой Рк. В терминах обычной меры Лебега задача (36) при К > О имеет аналогичную формулировку, но с разрывным сильно контрастным тензором, принимающим постоянные значения в областях О П Рк и Соответствующая краевая задача содержит условия сопряже-

ния на границе раздела этих областей и условие закрепления на внешней границе дП. При /1 = 0 классическая постановка задачи (36) содержит краевые условия типа Вентцеля на каждом звене сетки ^ = Р£ = еР (см. §4).

Решение поставленной задачи существует, единственно и удовлетворяет условию ограниченности вида (23). Это следует из доказанного в §8 равномерного (по в и Л > 0) неравенства Корна

I Н2^ < С^ |е(и)|2^, иеС0°°(П)2, С = сопяЦП,Р). (37)

п и

Введем задачу на отыскание

и £ Я(№)2> У АЬотпе(и) ■ е(<р) йх = У / -^¿х Ур £ С0°°(А)2, (38) а о

где тензор определен формулой

• е = М [ А(£ + еН) • (£ + е{юШ- (39) у

Теорема 8. При любой Н(е) --> 0 для задач (36) и (38) имеет, место сходимость

У \ие'н(х)-и{х)\2<1х -» 0, У Ае(и£-'1)-е(и£'Л)^ -»• У Акоте{и)-е{и)<1х. и пи

Видим, что принцип усреднения задачи теории упругости на составной структуре с тонкой или сингулярной армирующей сеткой имеет классический вид: есть сильная ¿2-сходимость решений, предельная функция не содержит осциллирующей компоненты и предельная задача одна и та же для любой Ь,{е) —> 0. В этом основное отличие составных структур от тонких структур. Для последних усреднение не является классическим: предельная задача двухмаснттабна, вид ее зависит от К(е) ->0и нет сильной Х2-сходимости решений исходной задачи.

Отметим еще одну особенность составных структур, касающуюся задачи на ячейке (39): классическая формулировка ее уравнения Эйлера содержит краевые условия типа Вентцеля на каждом звене сетки Р.

В §8 доказан принцип компактности: если последовательность вектор-функций ие'к € Со°(П)2 ограничена в вместе с тензором

е(и€'Н), то она компактна в смысле сильной сходимости в £2(П,с?Д^).

Заметим, что на тонких структурах аналогичный принцип компактности заведомо не выполняется. Из принципа компатности и резольвентной сходимости вида (18) получаем (см. §9) сходимость спектра БрАе'Н оператора к спектру ЗрА оператора А.

Теорема 9. Имеет место сходимость по Хаусдорфу ЯрА£,к —> ЗрА:

(Нх)У\ € ЯрА ЭА^/г £ БрА6' , такое что Хе^ —»■ А;

(.Н-2) если € —> А, А < оо, то А £ БрА.

Справедлива также и более точная теорема о сходимости собственных значений (занумерованных по принципу минимакса) и соответствующих собственных подпространств.

В §5 изучены диаграммы предельных переходов на составных структурах с независимыми малыми параметрами е, к. В этом случае в задачах теории упругости можно переходить к пределу по параметрам в любом порядке, в чем проявляется еще одно отличие составных структур от тонких.

Глава 6 посвящена нестационарной задаче теории упругости.

На периодической сетке ^ критической толщины рассмотрим эволюционную задачу теории упругости

^гие'н - (ИиАе(и£'к) = /(х, ¿)вПП ^ при Ь > О, Фн = 0 на дП П Ае(ие'к)п = 0 на П П дР? при г > 0, (40)

ие-н = 0, = 0 при г = О,

где /(я,I) € С°°(П х Щ)2, тг - нормаль к границе дРк, и изучим ее с точки зрения теории полугрупп. Запишем эту задачу в виде операторного уравнения в пространстве ¿2(П,

(а? + Ле,л)ие,л(*) = /(г), и6-л(о) = о, дгие'н(о) = о. (41)

Для перехода к пределу в уравнении (41) нельзя воспользоваться классической теоремой Троттера Като по следующим причинам: оператор действует в переменном пространстве, резольвентная сходимость (18) имеет необычный вид, так как резольвенты (Ае' + А)-1

сходятся к псевдорезольвенте (А + \)~1Р, причем в терминах сильной двухмасштабной сходимости. Тем не менее, справедливы утверждения, аналогичные тем, что имеются в классической теории, о сходимости гиперболических полугрупп в абстрактном переменном гильбертовом пространстве. При этом сходимость полугрупп можно рассматривать в терминах различных сходимостей, среди которых слабая сходимость в среднем по времени, поточечная (по времени) сильная сходимость и поточечная (но времени) слабая сходимость (см. §§5-7). Абстрактная гиперболическая полугруппа введена в §3, а связанные с ней переменные гильбертовы пространства - в §4. Вывод поточечных сходимостей для гиперболической полугруппы в переменном гильбертовом пространстве (см. §7) опирается на доказанные в §1,§2 аналоги теоремы Троттера Като для полугрупп сжатий в переменных банаховом и гильбертовом пространствах.

Сформулируем принцип усреднения для задачи (41) (см. §9,§10). Для этого введем операторное уравнение в "предельном"пространстве

(9t2 + A)u(t) = f(t), u{ 0) = 0, &и(0) = 0. (42)

Теорема 10. Решения задач (41), (4Ю связаны между собой сходимостью

Ue'h(x,t) A u(x,y,t), dtue>h(x,t) -24 dtu(x,y,t) Vt > 0. (43)

Для любого t > 0 решение задачи (42) принадлежит введенному ранее пространству W, и, значит, допускает разложение

u(x,y,t)=u°(x,t)+x(x,y,t), U°(;t) etf0W, *(-, t) € L\nXl)-

Можно указать отдельное уравнение для компоненты и0, а также формулу, выражающую х через и(). Эти соотношения окажутся интегродиф-ференциальными, что свиде1ельствует о наличии долшвременной памяти.

Обптую эволюционную задачу вида (40) с переменными правой частью и данными Коши рассматриваем в операторной постановке

{df + A£'h)ue-h(t) = fh-F(t), г/'» = vE'h, dtuE'h{ 0) = wF-h.

Изучены условия (см. §7,§9), при которых возможен предельный переход в этой общей задаче в терминах различных сходимостей, в частности поточечной сходимости вида (43).

В §8 представлены другие наши абстрактные результаты, связанные с резольвентной сходимостью в переменном гильбертовом пространстве, например, о сходимости спектров.

Список цитированной литературы

1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.

2. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: Noth Holland, 1978.

3. Санчес-Паленсия E. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

4. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: МГУ, 1990.

5. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова Думка, 1974.

6. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.

7. Cioranescu D., Donato P. Introduction to Homogenization. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 17 // Oxford University Press, 1999.

8. Cioranescu D., Saint-Jean-Paulin J. Homogenization of reticulated structures, Appl. Math. Sci., vol. 136, Springer-Verlag, Berlin-New York 1999.

9. Назаров С.А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Т. 1. Понижение размерности и интегральные оценки. - Новосибирск: Научная книга, 2002. - 408 с.

10. Panassenko G.P. Multi-scale Modelling for Structures and Composites. Kluwer: Dordrecht, 2004.

11. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. II. Theory of plates, Studies in Math, and Applications, 1997, v.27, Elsevier, Amsterdam.

12. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Докл. РАН., 2001, т.380, N6, с.741-745.

13. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Изв. РАН. Серия мат., 2002, т.66, N2. с.81-148.

14 Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двух-масштабной сходимости // Матем. сб., 2000, т.191, N7, с.31-72.

15. Жиков В.В. О двухмасштаблой сходимости // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 2003, вып.23, с.149-186.

16. Bouchitte G., Fragaia I. Homogenization of thin structures by two-scale method with respect to measure // SIAM J. Math. Anal., 2001, v.32, N6, p.1198-1226.

17. Nguetseng G. A general convergence result for a functional ielated to the theory of homogenizaion // SIAM J. Math. Anal., 1989, v.20, p.608-623.

18. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence, SIAM J. Math. Anal., 23 (1992), pp. 1482-1518.

19. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа "густого гребешка"// Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1996, вып. 19, с. 138-173.

Основные результаты диссертации изложены в работах

1. Пастухова С.Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на сингулярных периодических структурах // Докл. РАН, 2002, т.382, N1, с.7-10.

2. Пастухова С.Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на тонких периодических структурах // Докл. РАН, 2002, т.383, N5. с.596-600.

3. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных структурах критической толщины // Докл. РАН, 2002, т.387, N4, с.447-451.

4. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических стержневых каркасах критической толщины // Докл. РАН, 2004, т.394, N1, с.26-31.

5. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодической составной структуре // Докл. РАН, 2004, т.395, N3, с.316-321.

6. Пастухова С.Е. Об аппроксимативных свойствах соболевских пространств теории упругости на тонких стержневых структурах // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.99-106.

7. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных и стержневых каркасах критической толщины // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.51-98.

8. Пастухова С.Е. Об усреднении задач теории упругости на составных структурах // Записки научных семинаров ПОМИ, 2004, т.310, с.1-30.

9. Пастухова С.Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном гильбертовом пространстве // Труды семинара имени И.Г. Петровского, 2004, вып.24, с.216-241.

10. Пастухова С.Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном пространстве// Докл. РАН, 2004, т.397, N5, с.596-601.

11. Пастухова С.К. Аппроксимативные условия и предельный переход в соболевских пространствах на тонких и составных струкгурах // Современная математика и ее приложения, 2004, т.16, с.47-63.

12. Пастухова С.Е. Усреднение нестационарных задач теории упругости на тонких периодических структурах с точки зрения сходимости гиперболических полугрупп в переменном гильбертовом пространстве // Современная математика и ее приложения, 2004, т.16, с.64-97.

13. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на тонких структурах: проблема корректора // Докл. РАН, 2005, т.401, N1, с.21-26.

14. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодической составной структуре // Матем. сб., 2005, т. 196, N7^ (.

15. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Докл. РАН, 2002, т.385, N5, с.590-595.

16. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Матем. сб., 2003, т. 194, N5. с.61-95.

17. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об усреднении на периодических сетках // Докл. РАН., 2003, т.391, N4, с.443-447.

18. Жиков В.В., Пастухова С.Е. О неравенствах Корна на тонких периодических структурах // Докл. РАН, 2003, т.388, N54, с.588-592.

19. Жиков В.В., Пастухова С.Е. О неравенствах Корна на тонких периодических каркасах // Современная математика и ее приложения, 2003, т.8, с.241-265.

1

5И*

РНБ Русский фонд

2006-4 12825

Подписано в печать 30.05.2005 Формат 84x108 1/32

Усл. п.л. - 1,86 Уч. изд.л. — 2

Заказ Ь О - 0 5~ Тираж 100 экз.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии ВГПУ 600024, г.Владимир, >л. Университетская, 2, тел. 33-87-40

Введение

1. Периодические тонкие и составные структуры.

2. Операторная форма принципа усреднения.

3. Краткий обзор результатов

4. Усреднение на тонких сетках

5. Усреднение на тонком ящичном каркасе.

6. Усреднение составных структур

7. О неравенствах Корна.

8. Аппроксимативные условия.

9. Нестационарная задача теории упругости.

1. Аппроксимативные условия для переменных мер

1. Пространства периодических вектор-функций с мерой.

2. Пространства периодических функций с переменной мерой

3. Соболевские пространства на тонких и составных структурах

4. Проверка аппроксимативных условий для структур с особой геометрией.

2. О неравенствах Корна на тонких периодических структурах

1. Особенности неравенств Корна на тонких периодических структурах

2. Тонкие периодические сетки.

3. Ящичные структуры.

3. Двухмасштабная сходимость на тонких структурах критической толщины

1. Предварительные сведения о двухмасштабной сходимости

2. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на тонких структурах

3. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины.

4. О тензоре релаксации.

4. Вывод предельного оператора для задач теории упругости на тонких структурах и изучение его спектра

1. Леммы о продолжении

2. Вывод усредненного уравнения.

3. Спектр предельного оператора задачи теории упругости на периодической сетке критической толщины

4. Проблема корректора.

5. Об усредненном тензоре на сетках.

5. Усреднение задач теории упругости на составных структурах

1. Постановка задач на составных структурах.

2. Задача на плите с бесконечно тонким стержнем.

3. Задача на плите с тонким стержнем.

4. Задача на плите с сингулярной сеткой

5. Коммутативные диаграммы предельных переходов

6. Двухмасштабная сходимость с переменной составной мерой

7. Усреднение на составной структуре.

8. Неравенства Пуанкаре и Корна для составной меры. Принцип компактности.

9. О сходимости спектра в задачах теории упругости на периодических составных структурах.

6. Сходимость гиперболических полугрупп в переменном пространстве и её применение к усреднению эволюционных задач теории упругости на тонких периодических структурах

1. Теорема Троттера - Като в переменном пространстве.

2. Резольвентная сходимость в переменном гильбертовом пространстве

3. Абстрактная гиперболическая полугруппа.

4. Связанные с гиперболической полугруппой переменные гильбертовы пространства

5. Слабая сходимость гиперболической полугруппы в среднем по времени.

6. Сильная сходимость в связанных с гиперболической полугруппой переменных пространствах

7. Поточечная сходимость гиперболической полугруппы в переменном пространстве

8. О сходимости спектра при резольвентной сходимости.

9. Операторная форма принципа усреднения для эволюционных задач на периодических структурах критической толщины

10. Эффект долговременной памяти.

1. Периодические тонкие и составные структуры

Настоящая работа находится на стыке двух направлений - теории усреднения и теории тонких структур. В теории усреднения изучаются периодические микронеоднородные среды, характеристики которых быстро меняются с измельчением периода. Задача теории усреднения - найти постоянные эффективные характеристики и доказать, что среда с эффективными характеристиками в некотором смысле близка исходной. За 30 лет существования теории усреднения появилось огромное количество работ, в том числе много монографий [1-8]. Разработаны различные методы: метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова [9,1], метод компенсированной компактности L.Tartar - F.Murat[10], метод р-связности В.В. Жикова [11,12], метод двухмасштабной сходимости (Nguetseng - Allaire Жиков) [13-17].

С другой стороны, в классической теории упругости рассматривается возникающая из приложений задача об отыскании поля перемещений, которое вызывается внешним воздействием в балке (плоской или пространственной), пластине или сочленении плит и стержней. Все эти физические объекты примеры простейших тонких структур, у которых неоднородность выражается прежде всего в том, что размеры в различных направлениях являются величинами разного порядка, при этом выделяется малый параметр толщины h —» 0.

Еще в XIX в. механиками (Г.Р.Кирхгоф, С. Жермен) замечено, что при h —> 0 тонкие объекты можно описывать особыми уравнениями (уравнениями балки, пластины, мембраны), которые получаются редукцией размерности при переходе к пределу при h —► 0 из общей системы уравнений Ламе. При этом происходит переход от тонкой структуры к сингулярной, размерность которой меньше размерности объемлющего пространства. Понижение размерности в задаче сопровождается повышением ее порядка: из системы уравнений Ламе возникают уравнения четвертого порядка. Подобные результаты вошли во все классические учебники по теории упругости (см., например, [18-22]).

В последние 30 лет появилось большое количество работ с математическим обоснованием этого подхода (Назаров С.А., Слуцкий А.С., Панасенко

Г.П., Ciarlet P.G., Destuynder Р и многие другие авторы.). Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях [23,24]. Ключевую роль в этих работах играет неравенство Корна, с помощью которого можно оценить поле перемещений и его полный градиент через поле напряжений в нормах лебеговых пространств. Вид неравенства Корна и вхождение в него параметра h сильно зависят от геометрии тонкой структуры. Отыскание "точного вида" неравенства Корна - необходимое условие для обоснования предельного перехода.

В данной работе изучаются задачи, лежащие на стыке двух изложенных выше направлений. Для решения их требуются наряду со старыми методами качественно новые подходы, разработке которых и посвящена диссертация.

1. Дадим определение тонкой периодической структуры. Пусть Fh -1-периодическая структура, которая характеризуется "толщиной" h > 0 и при h —> 0 переходит в некоторую предельную структуру F с "нулевой толщиной". Гомотетическое сжатие где h(e) —> 0 при е —» О, задает ^-периодическую структуру толщины eh(e). Тонкие структуры Fh удобно описывать как носители 1-периодических борелевых мер слабо сходящихся при h —> 0 к мере //, задающей предельную или сингулярную структуру F.

Перечислим модельные примеры.

1. Сетки. Пусть F - периодический граф (сетка) на плоскости, ц -нормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там линейной мере Лебега. Тогда Fh - объединение всех полос ширины 2h > О, симметричных относительно соответствующих звеньев из F, fih - нормированная мера, сосредоточенная на Fh и пропорциональная там плоской мере Лебега. Аналогично определяются периодические стержневые структуры в Ж3.

2. Ящичные структуры. Пусть F - периодическая ящичная структура в Ш3, состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, // периодическая нормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там плоской мере Лебега. Тогда Fh - объединение бесконечных плит толщиной 2h > 0, симметричных относительно соответствующих плоскостей из структуры F, fih - периодическая нормированная мера, сосредоточенная на Fh и пропорциональная там пространственоой мере Лебега.

3. Составные структуры на плоскости. Здесь мера ц, равна полусумме плоской меры Лебега и описанной выше естественной меры на сингулярной сетке F, a fih - полусумма плоской меры Лебега и естественной меры на тонкой сетке Fh. Таким образом, мы имеем плоскость, "армированную" сеткой Fh.

4. Составные структуры в пространстве. Здесь мера /1 равна полусумме пространственной меры Лебега и естественной меры на сингулярной ящичной структуре F, a ph полусумма пространственной меры Лебега и естественной меры на тонкой ящичной структуре Fh.

Обычно мера р, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в объемлющем пространстве, dph = ph(x)dx. Если dph = dp = dx есть мера Лебега, имеем классическое усреднение. Случай, когда dp,h = dp, = pdx, где р - характеристическая функция некоторого открытого периодического множества, соответствует усреднению в перфорированной области.

Впервые усреднение на тонких периодических структурах было рассмотрено Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко более 20 лет назад. Для задачи о стационарном распределении тепла на плоском прямоугольном каркасе [1,глава 8] был установлен следующий результат: для любой h{с) —> 0 предельное при е —> 0 распределение тепла одно и то же и находится из классического типа усредненного уравнения, рассматриваемого в сплошной области, на которую натянут каркас.

В аналогичных задачах теории упругости полная картина усреднения прояснилась лишь в последнее время. В 2001-2002 гг. В.В. Жиковым [25,16] обнаружен масштабный эффект для задач теории упругости на периодических тонких структурах, который не наблюдается в скалярных задачах. Этот эффект заключается в том, что усреднение зависит от величины lim h(e)/£ = в, 0е[О,оо]. 0

При этом усредненное уравнение теряет классический характер и становится "двухмасштабным". В.В. Жиковым [16] получен принцип усреднения для достаточно тонких и достаточно толстых упругих структур, когда 0 = 0 или в = оо соответственно. Усреднение в наиболее сложном случае, когда структуры имеют критическую толщину, то есть в = const > 0, изучено в совместных работах В.В.Жикова и С.Е.Пастуховой [26,27], а также в работах С.Е.Пастуховой [87, 88, 91]. Следует отмстить основанные на другой технике работы Г.П. Панасенко [63-65].

Тонкая структура представляет собой каркас в пустоте. Сочленение тонкой структуры с однородной средой дает составную структуру. Например, это может быть плоскость или пространство с встроенными в них тонкой сеткой или тонким ящичным каркасом. Составной структуре соответствует составная мера, равная полусумме меры Лебега в объемлющем пространстве и естественной меры на тонкой структуре, dp*1 = , Видим, что dph = ph(x)dx с плотностью ph(x), сильно контрастной при h 0: ph(x) = 0(1) и ph{x) = 0(h~l) соответственно вне тонкой структуры Fh и на ней. В этом смысле составная структура моделирует армированную среду определенного вида.

На составных структурах (и это сильно отличает их от тонких) усреднение скалярных задач и задач теории упругости однотипно [89, 92]: нет масштабного эффекта и усредненное уравнение имеет классический характер. Различие между тонкими и составными структурами проявляется также в неравестве Корна и в структуре так называемых периодических жестких перемещений для предельной меры.

2. Дадим точную постановку задачи на тонкой структуре. Через А = {aijSp} обозначим тензор упругости, подчиненный обычным условиям симметрии: dijsp = aspij = <ijisp. Скалярное произведение симметрических матриц £ = {^ij}, т] = {Vij} определим как £ • i] = Cijlij- Действие тензора А на матрицу £ есть матрица = {афрбр}- Тогда А£ ■ £ = aijsp^ij(sp -плотность упругой энергии. Предполагаем, что тензор А положительно определен, • £ > со£2, со > 0.

Для изотропного тензора имеем + £tr£, к > 0, к\ > 0, (0.1) где Е единичная матрица, tr £ - след матрицы

В пересечении ограниченной липшицевой области Q с тонкой структурой Fj1 = eFh (являющейся сжатием в е-1 раз 1-периодической структуры Fh) получаем перфорированную область ГI П Ff сложной геометрии (см. рис. 20). Свяжем с этой областью пространство Wejг - замыкание множества Co°(Q)d по норме 1 2 if d(pi dp ■ Л p-p + e(p)-e(p)]dx J , e(ip) = - < + ^ - тензор деформации. nr\Feh

Рассмотрим задачу: найти вектор-функцию u£'h G We h, для которой выполнено интегральное тождество j Ae{u£'h)-e(ip)dx = ilnFp J f.tpdx V^J € Со00^, / e C°°(Q)d.

UnF'1

0.2)

Это обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области fi П Fe/l, когда на сШ П dF}el задается условие закрепления, т.е. условие Дирихле u£'h = 0, а на остальной части границы области QnF^1 - условие отсутствия напряжений: Ae(u£'h)n = 0, п - нормаль к границе.

Для широкого класса тонких структур доказано равномерное по е, h неравенство Корна (см. гл. 2)

J И2dx < с J \e((p)\2dx, р € CS°(Q)d. (0.3)

Из него следует, что решение u£,h ограничено вместе с тензором деформации e(u£'h), т.е. справедлива оценка

1 f (\u£'hf + \e(u£'h)\2)dx<C\ (0.4) J

QnFch в которой константа С не зависит от е, h. Эту оценку следует рассматривать как стартовую для дальнейшего исследования.

Цель усреднения состоит в том, чтобы изучить поведение решения u£'h при е —> 0 и найти уравнение, которому удовлетворяет предельная функция. Случай, когда толщина h > 0 - фиксирована, охватывается классической теорией усреднения в перфорированных областях, см. [1], [4], [6]. Будем считать, что толщина структуры стремится к нулю вместе с £, т.е. h = h{e) —> 0 при е —> 0. Для скалярной задачи на тонкой сетке в книге Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко [1] доказана "сильная" сходимость

UnFpгде u£'h(x) - решение задачи вида (0.2), - решение усредненной задачи

Дирихле и0 енЦп), -diwihornVu0 = /.

При этом усредненная матрица Ahom определяется с помощью некоторой периодической задачи на сингулярной сетке F. Важно, что предел решений и e,h не зависит от способа стремления h к нулю, [1, гл. 8].

Особенностью задачи теории упругости является то, что решение ue'h "осциллирует" и для него, вообще говоря, не может быть сильной сходимости (0.5). Более точно, в нулевом приближении решение v£,h(x) имеет вид и(х, j), где и(х,у) - функция двух переменных, периодическая по аргументу у. Функция и(х,у) служит "двухмасштабным пределом" последовательности u£'h. При этом структура функции и(х,у) и уравнение, которому она удовлетворяет, существенно различаются в указанных выше трех случаях (в = 0, в = оо, в > 0), хотя всегда и(х,у), как функция аргумента ;</, есть "периодическое жесткое перемещение на сингулярной структуре F".

Поясним это ключевое понятие. Скажем, что заданный на сингулярной структуре F вектор и G d/i)(i есть периодическое жесткое перемещение, если найдется последовательность гладких периодических векторов <рь £ такая, что tpb -» и, е(р6-) 0 в L2(Y,dfi). Множество периодических жестких перемещений будем обозначать через

Я.

Основную роль в теории усреднения играет возможность единственного представления периодического жесткого перемещения и(у) = с + х(у), (0-6) в котором с - постоянный вектор, а х ~ поперечное перемещение. Последнее означает, что на каждом составляющем структуры F (звене сетки или грани ящичного каркаса) вектор х ортогонален этому составляющему п.в. Таким образом, справедливо (неортогональное) разложение "Л = IR^ + где - множество всех поперечных перемещений. Это свойство меры fi (или самой структуры) аналогично так называемой 2-связности меры в скалярной теории и в дальнейшем называется просто связностью.

Представление (0.6) доказано для модельных сеток и ящичной структуры. Для сеток общего вида мы вводим специальное геометрическое условие, обеспечивающее связность структуры. Оно заключается в том, что узлам можно приписать целочисленную метку или уровень, так что каждый узел связан двумя неколлинеарными (в трехмерном случае - тремя некомпланарными) ребрами с узлами меньшего уровня.

В соответствии с (0.6) нулевое приближение для u£'h (или двухмасштаб-ный предел) имеет структуру и(х, у) = uQ(x) + х{х, у), х(х, •) е

Компонента и0 принадлежит соболевскому пространству и является решением обычного типа усредненного уравнения

- divAhome(u°) = f в П. (0.7)

Это верно как в критическом случае 9 > 0, так и для достаточно толстых структур. В последнем случае компонента х — 0? выполнено соотношение (0.5) и на этом усреднение задачи заканчивается. Для структур критической толщины ответ выглядит сложнее.

Например, для сеток компонента х{х-,У) определяется как решение некоторой хорошо поставленной периодической задачи на сингулярной сетке. Эта задача включает в себя уравнения балки на каждом звене и условия закрепления и сопряжения в узлах. Вместо сходимости (0.5) возникает сходимость j \u^h{x)-u\x)-x{x^-lx)\2dx-,^ (0.8)

Qn Fsh что является частным случаем "сильной двухмасштабной" сходимости.

Можно сказать, что компонента и°(х) описывает (при малых е) перемещение системы узлов как целого, а компонента x(xi у) - поперечное отклонение каждого стержня.

Если область неограничена (или она ограничена, но неравенство Корна (0.3) не имеет места) мы рассматриваем "резольвентное" уравнение

J [Ae(u£'h) ■ е(<р) + u£'h • ip\dx = Qn F/1

0.9) J f-ipdx Vp e cnny*, fec°°(ti)d. finFj1

1. G. Nguetseng, A general convergence result for a functional related to the theory of homogcnizaion // SIAM J. Math. Anal., 1989, v.20, p.608-623.

2. G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal., 1992, v.23, p.1482-1518.

3. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Матем. сб., 2000, т.191, N7, с.31-72.

4. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярный структурах // Изв. РАН. Серия мат., 2002, т.66, N2. с.81-148.

5. Жиков В.В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 2003, вып.23, с.149-186.

6. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М. Мир, 1974.

7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

8. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

9. Партон В.З., Перлин В.И. Методы математической теории упругости. М. Физматгиз, 1981.

10. Назаров С.А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ, 1995, т.7, N5. с.1-92.

11. Назаров С.А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Т. 1. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002. - 408 с.

12. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. II. Theory of plates, Studies in Math, and Applications, 1997, v.27, Elsevier, Amsterdam.

13. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Докл. РАН, 2001, т.380, N6, с.741-745.

14. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Докл. РАН, 2002, т.385, N5, с.590-595.

15. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Математический сборник, 2003. т. 194, N5. с.61-95.

16. Пастухова С.Е. О характере распределения поля температур в перфорированном теле с заданным его значением на внешней границе в условиях теплообмена на границе полостей по закону Ньютона // Мат. сб., 1996, т.186, N6, с.110-120.

17. Пастухова С.Е. О характере затухания перемещений в упругом периодически перфорированном теле с заданной деформацией внешней границы при упругих связях на границе полостей // Диф. уравн., 1996, т.32, N10, с.1401-1409.

18. Пастухова С.Е. Об одной задаче теории упругости для периодически перфорированного тела // УМН, 1996, т.51, вып.5, с.208.

19. Пастухова С.Е. Обоснование асимптотики решения смешанной задачи для стационарной теплопроводности в перфорированной области // Труды Моск. Мат. общества, 1997, т.58, с.88-101.

20. Пастухова С.Е. Обоснование закона Дарси для пористой среды с условием неполного прилипания // Мат. сб., 1998, т.188, N12, с.135-153.

21. Пастухова С.Е. Усреднение системы уравнений Стокса в перфорированной области с условием неполного прилипания // УМН, 1998, т.53, вып.4, с.149-150.

22. Пастухова С.Е. Усреднение стационарной системы Стокса в перфорированной области со смешанным условием на границе полостей // Диф. ургшн., 2000, т.36, вып.5, с.679-688.

23. Пастухова С.Е. Об усреднении одного вариационного неравенства для упругого тела с периодически расположенными трещинами //Мат. сборник, 2000, т.191, вып.2, с.149-165.

24. Пастухова С.Е. Усреднение смешанной задачи с условием Синьорини для эллиптического оператора в перфорированной области // Мат. сборник, 2001, т.192, вып.2, с.140-156.

25. Пастухова С.Е. Спектральные асимптотики для одной стационарной задачи теплопроводности в перфорированной области // Мат. заметки, 2001, т.69, вып.4, с.600-612.

26. Пастухова С.Е. Эффект осциллирующей границы при усреднении одной задачи климатизации // Диф. уравн., 2001, т.37, вып.10, с.1-7.

27. Pastukhova S.E. Homogenization for some problems with inequality type boundary condition in elasticity theory // International conference "Differential Equations and Related Topics" (Moscow, May 22-27, 2001), p.322.

28. Pastukhova S.E. Homogenization of mixed problem with Signorini condition for nonlinear elliptic operator in perforated domains // International conference "Nonlinear Patial Differential Equations" (Kyiv, August 22-28, 2001), p.93-94.

29. Пастухова C.E. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на сингулярных периодических структурах // Доклады РАН, 2002, т.382, N1, с.7-10.

30. Пастухова С.Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на тонких периодических структурах // Доклады РАН, 2002, т.383, N5. с.596-600.

31. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных структурах критической толщины // Доклады РАН, 2002, т.387, N4, с.447-451.

32. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических стержневых каркасах критической толщины // Доклады РАН, 2004, т.394, N1, с.26-31.

33. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодической составной структуре // Доклады РАН, 2004, т.395, N3, с.316-321.

34. Пастухова С.Е. Об аппроксимативных свойствах соболевских пространств теории упругости на тонких стержневых структурах // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.89-106.

35. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных и стержневых каркасах критической толщины // Современная математика и ее приложения, 2003, т.12, с.51-98.

36. Пастухова С.Е. Об усреднении задач теории упругости на составных структурах // Записки научных семинаров ПОМИ, 2004, т.310, с.1-30.

37. Пастухова С.Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном гильбертовом пространстве // Труды семинара имени И.Г. Петровского, 2004, вып.24, с.216-241.

38. Пастухова С.Е. О сходимости гиперболических полугрупп в переменном пространстве// Доклады РАН, 2004, т.397, N5, с.596-601.

39. Пастухова С.Е. Аппроксимативные условия и предельный переход в соболевских пространствах на тонких и составных структурах // Современная математика и ее приложения, 2004, т.16, с.47-63.

40. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на тонких структурах: проблема корректора // Доклады РАН, 2005, т.401, N1, с.1-6.РисункиРис. 1Л f JA4гРис. 2