Осреднение системы уравнений трехмерной теории упругости в тонком неоднородном стержне тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имен;! М. В. ЛОМОНОСОВА

НИВЦ МГУ

ш пратх рукописи УДК 517. 955. 8

Соловейчик Мария ВикторОЕна .

ОСРЕДНЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ТОНКОМ НЕОДНОРОДНОМ СТЕРЖНЕ

01. 01.07 - Вычислительная математика

Автореферат

диссертации па соискание учгяой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - .1993'г.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова :

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Г. П. Панасенко

Официальные оппоненты: • -

доктор технических наук Пшеничников Г. И., кандидат физико-математических наук Мольков В. Й

Ведущая организация: Московский Институт Нефти и Газа им. Губкина. '

^,3ашита состоится "_

- ¿¿/х//

в /э часов на заседании специализированного совета К. 053.05. 84

3- " МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, НИВЦ МГУ .в конференцзале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ 'МГУ.

Автореферат разослан "_" ___ 199 Г-

Учета) секретарь 5~----1 /

ср.сцтл'Ази^ов-'иш'озо совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной технике иироко используются стержневые системы. Это стержни, балки, рами, фермы сооружений,' решетчатые, сетчатые и другие конструкции. При их расчете применяются различные теории, основанные на гипотезах, таких как Кирхгофа- Лява, Кирхгофа-Клебша и других. Существуют и программные средства строительной механики, базирующиеся на методах сопротивления материалов. Еместе с тем возникает Еопрос о границах применимости этих гипотез и теорий и возможности их уточнения.

Напряженно-деформированное состояние тонкого неоднородного стержня описывается дифференциальными уравнениями в частных производных с быстро меняющимися коэффициентами (задача с малым параметром) .

Решение уравнений указанного вида численными методами мало эффективно или крайне затруднительно, даже при наличии современных ЭВМ, поскольку требуется строить густую сетку с числом узлов, много большим , которая "чувствовала" бы характерную изменяемость коэффициентов.

В качестве основного инструмента 'исследования используется метод осреднения уравнений в частных производных, нашедший довольно полное отражение ¿ монографии ЕС. Бахвалов, Г.IL Панасенко "Осреднение процессов в периодических средах".

В числе первых работ, посвященных асимптотическому анализу уравнений с быстро осцилирующими коэффициентами были работы Е. Sanchez-Paierie i a, J. L. Lions, A. Bensoussan, G. Papanicolaou,' I.Babuska, H. С. Бахвалов, О. Олейник, В. Бердичевский, З.Марченко,

Е. Хруслова. Методика, развитая в зтих работах позволяет получать "осредненные" уравнения с постоянными коэффициентами. В работах ЕердичсЕсгсого ча физическом уровне строгости предлагается методика осреднения вариационных задач в тонких областях. В работах Н. С. Вахвалова впервые встречается ряд, позволяющий построить полное асимптотическое разложение решения.

Задачи,'связанные с теорией погранслоя в неоднородных средах впервые рассмотрены в работах Г. Панасенко.

В работах М. Резцова метод осреднения применен для системы уравнений теории упругости, заданной в тонкой неоднородной пластине ТОЛЩИН! £ .

Данная работа посвящена асимптотическому анализу (в отсутствии упрощающих гипотез) стационарной трехмерной задачи теории упругости в стержне радиуса' £ с характерным размером неоднород-ностей так«.: £. Для поставленной задачи строится аналог ряда Н. Еахвалова. '

1. Исследование асимптотического поведения рекэния стационарной трехмерной • задачи теории упругости в тонкой неоднородной цилиндрической области (стержне), имеющей неоднородную структуру.

2: Исследование асимптотического поведения решения стационарной трехмерной задачи теории упругости с простейшими краевыми условиями в тонкой неоднородной цилиндрической области (стержне), имеющей неоднородную структуру, исследование пограничного слоя.

3. Получение оценок близости решений системы уравнений тео-

_ о „ о .

рии упругости, заданной в периодической среде и усеченных сумм асимптотического разложения.

Общая методика . В диссертации используг.тся методы и результаты функционального анализа, теории пространств С. Л. Соболева/ теории обобщенных решений уравнений в частных производных, математической теории линейной упругости. Осреднение уравнений производится с помощью методики осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллируюшими коэффициентами.

Научная новизна.

1. Методом осреднения исследовано асимптотическое поведение решений периодических стационарных с периодическими граничными условиями и простейшей краевой задач трехмерной теории упругости в тонком неоднородном стержне. Радиус стержня £ , б -малый параметр; определен вид асимптотических разложений для решений; описана процедура этих разложений, получены оценки близости точного и асимптотического решений.

Практическая ценность.

1. Получение асимптотические разложения и оср'чшонмые уравнения могут быть использованы в задачах оптималььзго про-.'кгиршания конструкций из композиционных стержней для предсказания некоторых 'свойств создаваемых композитов.

2. Приведенные ^ работе асимптотические решения дают возможность сравнивать и оценивать погрешности различных М'/годов построения приближенных теорий (опирающихся на априорны" упрощающие гипотезы), связанные с переходом от трехмерной задачи к двумерной.•

Лнпробацня работи. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались lia семинарах под руководством чл. корр. РАН Н. С. Бахва-лова, о. д. Олеиник, Г. Г, Панасенко. (МГУ, 1987). -математического семинара им. Петровского , МГУ, 1938 г -математического семинара математического отдела института хим. физики им. Ландау РАН под руководством проф. С. И. Худяева и проф. А. И. Еольперта, Черноголовка 1990 г.

-семинар под руководством д. ф.-м. н. С. М. Козлова , МИСИ, 1991 г. ■ -семинар под руководством йилейкина , 1991 г, ВЦ МГУ

, микропорист* '

-семинар каф. СРЩ П°Д РУК- Д- Ф. ~м. н. Ибрагимова А. И.,

МИНГи*Пда&1|ф93 г. ■ ■ •

Публикации. По теме диссертации-опубликовано три работы [1-3]. Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и дополнения. Библиография состоит из .37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуэдаются вопросы, связанные с возникновением и актуальностью задач, рассматриваемых в диссертации. Дан краткий обзор работ, посвященных осреднению уравнений с быстроосцилирую-щими "коэффициентами, а также исследованию асимптотического поведения трехмерной системы уравнений теории упроугости, заданной в тонкой области. Обращено внимание на работы, наиболее близкие по характеру рассматриваемых задач к данной диссертационной работе. В первой главе рассматривается стационарная задача теории

упругости

<ШЛ/%1 ¿М; л г (1)

Р -ограниченная область из/£, с кусочно-гладкей границей, с граничными условиями

■и условием Т-периодичности Еектора перемещений И по ^ (по пов-торяюшимся индексам ведется суммирование от 1 до 3), Т -число порядка 1, £ Т кратно £, Е- -малый параметр задачи, (з»з) матрица с элементами С?) ' УД°№'-ТБ°РЯ10;ЭДМ11 условиям

а^С?)

», Л«М =„„,ТрМНО» „а™ .

Я? -положительная константа

1-периодические по ^функции, бесконечно гладкие всюду вне совокупности -==¿7 гладких непересекающихся поверхностей (с цилиндром *пересекается лишь конечное число поверхностей ), вплоть до-5£Г , а на ^

коэффициенты терпят разрыв первого рода. На поверхности разрыв^'

коэффициентов системы (1) заданы естественные условия сопряжения:

гдЛ^Л^ Д}) ) - вектор нормали к поверхности разрыва.

-скачок функции на отой поверхности. Потребуем также выполнения условия

11 > —О , -V - ТМНСПОНиРй&АИЦБ

где ^ у*^^

^ >

(6)

б <£

Ф ■ -матрица жестких'смещений.

4 0 0 о 0 10 ) (?) о о *

а -нормирующий коэффициент, равный

Предполагается, чтоимеет следующую структуру

' я - *{?) т

^ 1 - периодичная по 2/ вектор функция,

Г: а'1. ! применение асимптотического метода осреднения демоне-

трируется на простом примере. Строится полнее •;ормгльно<? асимптотическое решение (аналог ряда Е Бахиз/овз) гаппчи (1)-(7) в тонком слоистом стеотле. Поперечное сечение стерлгя представляет собой п вложенных одна в другую окружностей с оо:и:м центром, радиус-наибольшей окружности & . В случае однородного тонкого круглого стержня, состоящего из одного слоя процедура оерзднения выглядит наиболее прозрачно. Получены аналитические формулы для эффективных коэффициентов и решений задач на ячейке периодичности. Показано, что осредненным уравнением нулевого порядка является система 4 обыкновенных дифференциальных уравнений с положительными коэффициентами второго и четвертого порядков соответственно. Полученный результат совпадает с известными из механики уравнениями для стержней.

(9)

Доказана теорема об оценке близости точного решения и частичных сумм асимптотического ряда.

(Ю)

В #1. 2 проводится построение полного асимптотического решения задачи (1)-(7) в неоднородном стержне. Решение ищется в виде ряда:

* ' С")

у/^ матрицы, 1-периодичные по , 1г -неизвестная вектор-функция , гъ,

Для определения используется рекуррентная цепочка задач:

<7 0 V &

- матрицы константы, определяемые из условия существования решении задач на ячейке периодичности.

4-тгг'^Щ

аз)

После нахождения всех осреденное уравнение бесконечного ¡ирядка точности выглядит следувдим образом

/ ~ г

Щ

(15)

Осредененное уравнение нулевого порядка (глагный член осред-ненного уравнения при £-*0 ) имеет вид:

В общем случае для определения коэффициентов оператора нужно решить следующие ячеечные задачи .2

(15)

(17)

где Л'х у ' 3-мерные '.-периодические Еектор-функции е (] ,0,0), решения этих уравнений определяется

продольная кесткость

/ < 4?т- А"'

С ¿Т*7* г "у 1 (13)

и крутильная жесткость

"еперь найдем 3-мерные, 1-периодические вектор-функции-

решения системы

ф ¡к М^ц ^-^УьН, (ю УЬ /ы(Лу Л®

У;'<п!0:;Г'.я „чооткоеть определяется по формуле

/ ГИ7ЫМ Г\атт^

Для конечных сумм ряда иС") * -

У </ '

с п р аве длив а о це н ка:

21 -точное решение поставленной задачи. 'л -'у >"/17

Во второй главе проводится постановка простейшей краевой задачи трехмерной теории упругости в стержне

Система уравнений (1) рассматривается при естественных условиях сопряжения и граничных условиях

к -о* я* - 4

С 23)

В # 2.2 описывается формальная процедура построения асимптотического разложения как суммы ф. а. р. для периордическсй . задачи, ' уже построенного в первой главе и добавки корректора типа пограничного слоя. и с*> - /у 1 1/.°

и^^ и*

¿'г

(24)

(£5)

* е

Ряд подставляется в уравнение и граничные условия. По аналогии с выкладками первой .главы мы получим цепочку рекурентш . задач для определения ^ ' ^^

^ ? - экспоненциально быстро стабилизируются к ну-

лю при £ со для г-0, ^ ДЛЯ Г=1;

Потребуем

¿гСъЮ -

с.

Ф

-расширенная матрица жестких смещений..'

¿00 о - £г - ъ I г 0 ^ о

р. о <1 ¿>

После вычисления всех получаем ссредненкое уравнение

бесконечного порядка точности для неизвестной вектор функции

¿-г

г

(28)

с осредненным граничным условием

v+ sr/!/

£

dZf

(29)

где символ (cut) означает, что Оерутся первые четыре' столбца

символ (oth)- оставшиеся два. i

\

Усредненное уравнение нулевого порядка с осредненными • граничными условиями запишется следующим образом. •

(30)

- 1Э

■Т*-¿Эк,

Доказана теорема об оценке близости точного решения и конечных сумм ряда.

В третьей главе исследуются свойства эффективных козффициен-Пусть - оператор симметричного отражения относительно

плоскости • ■= ¿) :""''

л г •/МКа-.П ' !Ж)

Введем в рассмотрение два условия..

Условие А: .

<-43 (33)

УЬловие В:

' не зависят от ^ .

Показано, что в предположении выполнения условия симметрии А: матрицы диагональны, при выполнении условий А и В все матрицы с нечетными номерами ( 1-нечетно) обращаются в нуль. Для краевой задачи при выполнении условия А

Л 0 0 0

( 0 1 0 . 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

У о 0 0 0

пятая и шестая строки равны (0,1,0,0) и (0,0,1,0) соот-ветстЕенно. \

В дополнении рассмотрены вопросы существования и единственности решений для эллиптических систем уравнений в некотором классе функций, получены априорные оценки решений через правые части с явным вхождением малого параметра , некоторые вопросы математической теории пограничного слоя.

Основные результаты диссетрации опубликованы в следующих работах автора:

1 Козлова М. В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в тонком неоднородном брусе. Моск. ун-т. М. , 1988. с. 40 Деп. рук. в ВИНИТИ N 2304-В88. 2. Козлова М. В. Панасенко Г. П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне. ЖЕМ, 1991, т. 30 с. 15921&95. '

3 Козлова и. В. Осреднение трехмерной задачи теории улруости для тонкого неоднородного бруса. Вестник МГУ сер. мат. и мех. 1989, N 5, с.6-10.