Исследование динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Егорова Алела Андреевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА-ФОЙГХТА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

И НОЯ 2010

Якутск - 2010

004612597

Работа выполнена в Федеральном государственном научном учреждении «Научно-исследовательский институт при Якутском гос. университете им. М. К. Аммосова».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шамаев Алексей Станиславович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович,

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), кандидат физико-математических наук Пятницкий Андрей Львович, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН (г. Москва)

Ведущая организация:

Владимирский государственный гуманитарный университет, г.Владимир

Защита состоится 12 ноября 2010 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при ФГАОУ ВПО «СевероВосточный федеральный университет имени М. К. Аммосова» по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероВосточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан "_" октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Федоров В. Е.

I. Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена асимптотическому усреднению трехмерной задачи теории линейной вязкоупругости в тонком периодически неоднородном стержне.

Актуальность темы. Принятый в механике подход к выводу уравнений для неоднородных стержней связан с использованием гипотезы о возможности замены неоднородного стержня однородным. В ряде случаев дополнительно предполагаются выполненными те или иные гипотезы, накладывающие ограничения на структуру тензоров напряжений и деформаций. При этом , цели и методика исследований не подразумевают строгого математического обоснования указанного предельного перехода. Явное вхождение малого параметра в задачи о стержнях, пластинах и оболочках сделало их привлекательными для математиков, и к настоящему времени опубликовано большое количество работ российских и зарубежных авторов, посвященных асимптотическому анализу задач теории упругости.

В настоящей работе мы изучаем динамику топкого неоднородного вязкоупругого стержня из материала Кельвина-Фойгхта. Важное отличие случая тонкого стержня, рассматриваемого нами, состоит в том, что усредненное поведение зависит от двух малых параметров, в нашем случае одного порядка: периода структуры стержня и его диаметра. В результате этого усредненные уравнения для продольного колебания стержня отличаются от уравнений колебаний в поперечном направлении, которые удовлетворяют классическим уравнениям колебаний однородного упругого стержня.

Вторым важным отличием является то, что материал стержня является вязкоупругим. Вследствие этого в эффективной модели возникают интегральные члены типа свертки, и колебания в продольном направлении и закручивание стержня описываются интегро-дифференциальиыми уравнениями с долговременной памятью.

Целью работы являются построение и строгое обоснование асимптотического разложения по степеням малого параметра г, характеризующего толхцину стержня и период неоднородности, решения трехмерной задачи линейной вязкоупругости в случае материала Ксльвииа-Фойгхта.

Основные результаты. Построено асимптотическое решение трехмерной задачи линейной вязкоупругости в случае материала

Кельвипа-Фойгхта, Доказана лемма существования и единственности решения вспомогательной задачи типа Соболева па ячейке периодичности. Исследованы коэффициенты усредненной системы уравнений. Рассмотрено явление пограничного слоя при наличии сосредоточенных и распределенных сил и моментов на торцах стержня. Доказаны теоремы оценки разности между решениями исходной и усредненной задач.

Методы исследований. В работе использованы методы асимптотического усреднения и теории уравнений в частных производных.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты являются новыми. Они носят теоретический характер. Построенные асимптотические решения и системы усредненных уравнений могут быть использованы для дальнейшего изучения динамики тонких вязкоупругих стержней. Полученные формулы для коэффициентов усредненных уравнений могут быть полезны для численных вычислений эффективных характеристик для стержней из материала Кельвипа-Фойгхта.

Апробация работы. Результаты работы докладывались:

— на семинаре «Асимптотические методы для уравнений математической физики» кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров Жикова В.В., Шамаева A.C., Шапошниковой Т. А., г. Москва, 2006 г.

— па семинаре «Дифференциалпые уравнения в частных производных» сектора математической физики ФГНУ «НИИ математики при ЯГУ»;

— па Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому, 22 сессия, г. Москва 2007 г.

— на V Международной конференции по математическому моделированию, посвященной 75-летию со дня рождения академика В. Н. Монахова, г. Якутск, 2007 г.

— на научной конференции «Лаврентьевские чтения PC (Я)», г. Якутск, 2007 г.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [1]—[6]. Из них 1 работа - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Структура диссертации. Диссертация изложена па 79 страницах и состоит из трех глав, где первая глава является вводной. Каждая глава разбита на пункты. Библиография содержит 48 наименований.

II. Краткое изложение содержания диссертации

В первой главе, являющейся вводной, дается постановка задачи и излагаются необходимые предварительные сведения. В частности, мы напоминаем, что такое усредненная модель и эффективные характеристики, и как формально строится асимптотическое решение рассматриваемой задачи.

Во второй главе мы рассматриваем трехмерную систему уравнений движения неоднородной линейной вязкоупругой среды

1 4 ' + ± «

где х е ие = {х = (а;1,а;2,х'з)|а;1 6 Ш,х'/е = (х2,х3)/£ € /б}, (3 — двумерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей 3/3, удовлетворяющей условию Липшица. На боковой поверхности цилиндра заданы нулевые граничные условия:

Считаем, что u(t,x) — Т-псриодичиая по вектор-функция, которая удовлетворяет следующим начальным данным

4=0 = 0, — и = о. (3)

В (1)-(3) вектор u(t,x) — трехмерный, Т — число порядка 1, е = Т/к, к — натуральное число, {п\,П2,щ) — внешняя нормаль к 0Uс. Almi{£) — матрицы порядка 3 х 3 с элементами а'т/'(£)> удовлетворяющими условиям

«'п/'Ю = а%-т,(0 = i = 0,1; (4)

для каждого г = 0,1 существует число к,; > 0 такое, что для любой симметричной матрицы |[еАп/[| выполнено неравенство

«VWA > K¿efcmefcni; (5)

a*mjfc'(í)> PÍO сУть 1-периодические по функции, бесконечно-дифферепцируемью всюду вне совокупности Ü гладких непересекающихся

поверхностей Ег, Е О 9/3 = 0; агт*1{£,), р € С30 вплоть до Е, а на Е коэффициенты терпят разрыв I рода. На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы естественные условия сопряжения

■О,

Y, пт ( д и

.m,j—1

dtdxj

= 0,

(С)

где (щ,П2,щ) — вектор нормали к поверхности разрыва.

Пусть С} = (0,1) X /3. Предположим, что продолженные нулем вне области Ц тензоры и а^'(^) удовлетворяют следующим условиям

симметрии

</'(ЯаО = (-1)

/'(£), ¿ = 0,1; р(5а£) = />(£) (7) - символы Кропекера, и считаем,

где = 6т

что 5а((0,1) х /3) = (0,1) х /?.

Правую часть задачи (1) запишем в форме:

где Ф(£') — матрица жестких перемещений = (£г,£з)) :

(8)

1 0 0 0

Ф(0 = 0 i 0

0 0 1 2

-1/2

J0

¡0 тез/З '

фг(в,х 1) = 0 при достаточно малых в, фг(в,Х1) — достаточно гладкие функции, '-/'-периодические по Х\.

Решение задачи (1) - (С) ищется в классе Т- периодических по Х\ вектор-функций. А(^к1 (А},,*1) — тензор модулей упругости (соотв. вязкости),/? — плотность(как функция точки).

Формальное асимптотическое решение задачи (1) - (С) ищем в виде ряда Бахвалова:

л»)

ГС / ffl+l.. \

^х^-^щ + г^хг^ , (9)

где N,¡1 — матрицы размера 3x4, 1-периодичсские по £1, V есть 4-мерпая вектор-функция

00

V ~ ^^

3=0

уНв,х 1) от £ пс зависят, г,,; — 3-мерные вектор-функции.

(10)

Здесь и в дальнейшем применим обозначения

L0 - — (А0 —) 1} - — (А1 —)

dÎn

Матрицы-функции Nql(£)l д, I > 0 являются решениями рекуррентной цепочки задач линейной упругости, соответствующих тензору упругости А^р па ячейке периодичности <2:

Nm = Ф,

rVnA» Д (Л,/) = (6, &) e ^

[i\y] k = 0, + ^JVxK,] |E = 0

_ (4>TNqi)^ = 0,

где через обозначен интеграл по Q, умноженный на (mes /З)-1,

(И)

^ = -ЗД - Кг = (Ф%> .

Лемма 1 из работы М.Козловой и Г.Паиасснко1 утверждает, что существует единственное решение из И^ЧФ) задачи (11). Здесь И^*?) — пополнение по норме Ж} (<3) множества 1 - периодических по £1 матриц-функций из С^Е х /3).

Тогда при условии выполнения свойства (7) по лемме 2 из вышеупомянутого источника матрицы НЧ1 диагональпы; /гоо = 'кн —

'Козлова М. В., Панасенко Г.П., Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журнал вычнел. математики и мат. физики. 1991. Т. 31, К* 10. С. 1592-1596.

Ни = 0, Лад = {-рФтФ) < 0;

&

Ыю =

(Ъ

Им =

Е,/ /С3

\

Лю =

-■/з

С2)

(12)

С а)

где Ьь-Ь'г, ¿2, к > 0, С^Сг,^,^ — постоянные числа. Положим, 2оо = 0 и для д + / > О

2,1

где матрицы размера Зх 4 являются 1-лериодическими по^ решениями рекуррентной цепочки задач:

' ¿%г + ь1!^, = О + Се

пг„ ^ + + (Л«,г +

(фт2„) =0, V« >0,

= 0,

(13)

с начальным условием = Ztl/(0,^)t удовлетворяющим следующей

задаче упругости:

I = + фд.,1, € е <?\Е,

= + + Г е а/3,

+л'ф+¿эд^+ад

= о,

— 1-нериодичная по

= 0,

(14)

Здесь мы использовали обозначения:

pql(t,o = -Rql(t,o - ¿((^1

ад с) = К-+¿Ь^щ;2'"-1 + (Л?г+A{lit)Z(i^2 ~ pz"-2h

Til = - + ¿l^NqJ-i +

sh = + + + ); j

матрицы kqi(t),gq[ no зависят от переменной и находятся из условий разрешимости соответствующих задач по формулам:

kql(t) = (<t>TRql(t,0)Q, gql = <ФГ5,,(£))«.

(15)

Задачи (14) аналогичны задачам упругости (11). Доказател1.ство их разрешимости можно найти в работе Г. Панассиксг. Существование решения задач (13) дает следующая

Лемма 1. Пусть непрерывно дифференцируемые по £ вектор-

функции со значениями, в (Ь2(<3))3, е (Ь2(<3))3, т = 0,1,2,3,

их компоненты являются 1-периодическими по & и удовлетворяют условиям = /у*, = Щп. Пусть функция <?(£) непрерывно дифференцируема и равномерно ограничена в К. Тогда следующая задача

dU

t>0,£e(Mx /3)\Е, (nmFmg(t) + n^Rr,, * g(t)), (6,6) € д(3

(16)

di>£ ди

hHlieE = [nniFm]\^g{t) + [nmRm}y-s *g(t)

U\t=o = 0

имеет решение U в классе непрерывно дифференцируемых по t вектор-функций со значениями eW^Q), если, и только если, выполнены условия

(4>TF0)Q = о, (ФTRn(t))Q = 0, V t > 0 (17)

2Pauasenko С,. P. Asymptotic analysis of bar systems II,// Russ. J. Math. Phys. 1996. V. 4, N 1. P. 87-116.

Если решение II ортогонально пространству жестких перемещений (т.е. {ФТи)с} — 0), то оно единственно.

Здесь и далее * означает свертку двух функций по переменной t. Напомним, что по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3.

Лемма 2. Если выполнены условия сижметрии (7), то матрицы 9ф, — диагопальны,

9оо = 901 = Аио = кп = 0, = Мх > 0= М4 > О,

„('-.' ) _ „М _ ь(г,г) _ , (г,г) _ 0 2 , ^

9О2 ~ 9оз — "та ~~ "та — и>' —

Подставим (9),(10) в (1) - (С), и, применяя формулу дифференцирования сложной функции, сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях е. Приравняем к нулю множители при каждой степени е. Учитывая лемму 2 из упомянутой выше работы М. Козловой и Г. Панасенко и лемму 2, получим следующую рекуррентную цепочку задач дляТ-периодических по Х\ первой и четвертой компонент вектора^ (при дополнительных условиях V} |(=о = = 0):

дЧ) d2v) дЧ] П11 cPv)

~+ + ^ЖЩ + &

dvj

d2vf d2vf &>VÎ

dvi

= vj\t=t) = = 0; (19)

где a = {p)q,oh — (ap(Ç\ + Ç|))q, Mi,Mi положительные

постоянные, а функции f!j(t,xi) зависят от vj^ji < j и их производных. Заметим, что /,} = ipl(t,x{), $ = i).

Уравнения для второй и третьей компонент вектора Vj выглядят иным образом. Так как они зависят от et, то сделаем переход на новую переменную т — et, и так же как в предыдущем случае приравняем к

пулю множители при степенях е. В результате получим

ЭЧ

~ а^Т - = ЯМО.

от ох1 ^20)

V] |т=0 = -^-|т=0 = 0, т = еЬ,г = 2,3:

где функции /¿(т,х 1) зависят только от ^,.71 < и их производных, прячем /5 = фг(т,х{), г = 2,3. _

Далее вводим пространство Ь2{Се) всех '-/'-периодичных по вектор-функций из (Ь'2(Се))3, где Сс = исГ\ {хг € (0,Г)}. Пусть А' — банахово пространство с нормой ||-||х-- Обозначим

Щ0,к;Х) = : [0,4!] ~ Х\ 11/(0'' < оо,рф ос}

= {г ~ т : [0,£х] ~ Х\ шах ||/(4)||х < «>}

Пусть

К+1 к

и(А'> = 2 (д^я/е)/?«'« + г^х/е) * Б^у) , г/Л"> = ^

«7+/=0, 1],Ы) >=О

(21)

гдс цФ = .

Теорема 1. Предположим, что

а&^ЧМ.^С.».

Тогда существует обобщенное решение задачи (1)-(С) такое, что

«е, е 0, «1; И*{Се)), -у- € £м(0, Ь: 1\Се)) П Ь2(0, к: И^(Се)). Я для любого К = 1,2,... справедливы оценки

1 Ч-мН ^О^'-1).

^/тев Д

Л частности,

1

£ 11и'21 ((ол)х сЕ)

11

\Zmes Д.

«о+ (-!)'

<5-1 '' 1 г

•*а—г»о ~~ и\

И'гЧйеОхС«

= 0(е), г = 2,3.

где тевре = 0(£2), функции — Т-периодичные по х\ в (0, ос) решения соответствующих задач из (19)-(20).

Структура Главы 2 следующая: в п. 2.1 мы делаем постановку задачи вязкоупругости, в п. 2.2 определяем формальный асимптотический ряд, в п. 2.3 определяем задачи для матриц Л^, в п. 2.4 определяем слагаемые асимптотического ряда и доказываем лемму 1 о разрешимости соответствующих задач, в и. 2.5 доказываем лемму 2 про значения прибавочных матриц, участвующих в определение усредненных уравнений, в п. 2.6 выводим усредненные уравнения, в п. 2.7 доказываем теорему 1.

В третьей главе рассматривается уравнение (1) при /Е = 0в стержне Сс. На боковой поверхности стержня заданы граничные условия (2), на одном торце XI = 0 стержень жестко закреплен

«к=о = 0, (22)

на другом Х\ — Т — стержень испытывает действие распределенных сил:

д'2и

^ = Пт (л^х/е)^ + А1тз(х/е)

дtдxj

к=г = /г(М)к=т, (23)

Тензоры модулей упругости Л" ■ и вязкости А]и- те же, что и во второй главе. На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы тс же условия сопряжения (0). Предполагается, что трехмерная вектор-функция /е имеет вид

где Ф(£) — расширенная

£

матрица

10 0 О 0 1 0 0 0 1 <2 0

жестких перемещении

-6 0

6

1) = (ф1(Ь,Х1).£2-ф2(£1,Х1),£211>3(£1,Х1),'ф*Ц,Х1),

^'(¿'¡Хх) = 0 при достаточно малых в, 1р1{в,х{) — достаточно гладкие функции.

Формальный асимптотический ряд для данной задачи ищется в виде (9),(10), где матрицы-функции равны:

я* = + - т/+ ^,(6),

а вектор-функции 2,;/,<7 + I > 0 имеют вид:

'М^О = ^Л) + - Г/+

здесь — 1-нериодические по 6 матрицы, а ЛГ1,,^, соответствуют

пограничным слоям вблизи торцов стержня £1 = !Г, и —

соответствуют пограничным слоям в окрестности торца Х\ = 0.

Матрицы-функции Лг('' определяем как 1-пернодические по 6 решения рекуррентной цепочки задач (11). Матрицы^' являются решениями задач (13) с начальными условиями Z^l\t~^) = удовлетворяющим цепочке

задач (14). Обозначим

4 = КщЮ^) + ~ РЩ-2,1

Ч = - ¿(^Л-г),* = 1,2,

где N^1 с отрицательными q или I считаются равными нулю.

Тогда матрицы-функции полагаем равными решениям

рекуррентных последовательностей задач при д + I > 0:

' К - 0,

ПгЛп^ = -КлЩ^т, (6,6) е эр

= -пЖгКл_ г + А^Му, + |ь=0 + Ф|6=0А1

. № = 0. [(Лг,,^^) + Л^^КЬ = 0,

(25

К> = о,

= -К,(6,6) € д/з адг2,

№ = 0, + Ат^КЬ = О

где <5_ = (—оо, 0) х р, <5+ = (0, +оо) х /?, /г^, /г2, — матрицы размера 6 х 4 с постоянными элементами, выбранные так, чтобы выполнялись неравенства

/

(26)

/(ст,ст+г)х /г

при а —> —оо, г = 1, а —► +ос, г = 2. Здесь С1 и положительные константы, не зависящие от а.

Из теорем 2 и 3 работы Г. Панасспко'* следует существование решений задач (25), (24) таких, что выполнены условия (20). Оттуда же, если выполнены условия симметрии (7), из лемм 6-8 следует, что матрицы/г^, имеют общий вид

/ * 0 0 0 \

0*00

0 0*0

о о о * 0*00

V о о * о /

а именно, = 0,

Й01 =

/ Е1 0 0 0 \

0 0 0 0

0 0 0 0

о о о ^

0 0 0 0

V о оо о /

3Гаиаяецко С. Р. А$} шрюпс апЫ.км оГ Ьаг зуяешз I // Кияв. X \fatli. РЬуа. 1994. V. 2, N 3. Р. 325-332.

ю ~

> (27)

/ кх О О о \

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 Кг

0 .у2/<Й> о О \ о о о /

(Кб о о о \

О-ЛО о О О О

\ О О О К\)

где через Е^Е^ обозначены те же положительные постоянные, как и во второй главе, /и, К->. А'.!, Л\ — постоянные числа, это матрица

размера 4x4, полученная из к1^ вычеркиванием последних двух строк. И наконец,

/ 1 0 0 0 \ 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 V 0 0 0 0 )

пятая п шестая строки матрицы Ь%п равны (0,1,0,0) и (0,0,1,0) соответственно.

Далее определяем задачи для матриц-функций Обозначим

Лоо — —

д1

РШ) = -

Кч1 = + ад + + ад

^ = -ш) - ®+Л^ЛГ;:,-!+л1,,1^3-1)-

Тогда полагаем, что матрицы q + I > 0 являются решениями цепочки

задач:

,дг},

+ ь1-^ = а t>o,te ддЕ

^ = -пт(А°т1 + А^)^, С е д(5

щ

ди^

д,

~ -К+л^х^ + - ^ + ФДф(0, 6 = о (28)

д21

дц

где —- решение рекуррентной последовательности задач:

- Рф

= 0

(29)

т] ^ - + А^«^ + 2^)), Г € 5/3,

Я7Ю с)

- + г^ + + + Ф<4 6 = 0

пш + Щ) + АиК,1-1 + ^./-1)) = 0

Задачи (29) аналогичны задачам (24). Дополнительные прибавки-матрицы д}[ задаются формулой:

£ = (^(о.О^о.О)"1 {^¡^-^«М«*

+ (фЦо, £') + 2«?) + А},«^ + } ). (30)

Лемма 3. Пусть для тензоров Л®,- и А^ выполнены условия симметричности (7). Матрицы коэффициентов д}}1 имеют такую о/се общую форму как и

5оо = 0, <?«'' = <?£, г = 1,2,3,4, д1г+3'г = 0, г = 2,3, 5,УТ = = 0, г = 2,3

Рассмотрим теперь задачи (28). На практике обычно хорошо известны экспериментальные значения компонент тензора упругости, чего нельзя сказать про значения тензора вязкости. Поэтому для численных вычислений применяют так называемый упрощающий подход «сЫк», когда предполагается, что тензор вязкости пропорционален тензору упругости.

Пусть существует к > 0 такое, что

Аа

кА.

т] >

т,} = 1,2,3.

(31)

В этом случае цепочка задач (28) превращается в задачи упругости аналогичные (24) для матриц-функций У^ = кЕ^ + Из условия существования экспоненциально стабилизирующихся к пулю решений этих задач находятся дополнительные прибавки-матрицы /с^(£) размера 6x4. По теореме 3 из вышеупомянутой работы Г.Панасеико матрицы задаются формулами:

1

тсз{3

«/(—оо.)

.О)х0 \ ' аЯ ,

+

ФГ(0ЛШг + А^К^ + А»^)) J (32)

Лемма 4

симметричности (7) и рекуррентной цепочки соотношениям:

Если для тензоров А®• и А1

ш) "ш; выполнены условия пропорциональности, (31), то решения задач (28) удовлетворяют следующими

Матрица коэффициентов кимеет общий вид

/ * о о о \ 0*00

и _ 0 0*0

~ о о о * 0*00

\о о * о/

а = 2,3.

а также /сщ"" = г = 1,2,3,4,

г,1г .

N13

■ 0, г = 2,3.

Пусть решены задачи для Уф тогда матрицы Zф(t,£l) мы можем найти из задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

^ + = 13,^=0 = 3?. (зз)

Замечание. В случае пропорциональности тензоров упругости и вязкости коэффициенты кф будут равны нулю, а также кдЯ1 — Н^, где к — коэффициент пропорциональности тензоров А^ и Аф

Дополнительные прибавки '¿фЦ + I > 0, отвечающие за граничное условие на торце Х\ = 0, положим равным решениям рекуррентной цепочки задач составного типа со смешанным граничным условием:

ЬЪ2

+ = р^, а ^ д+\Е, t > о

дь

дХ'1 г>

= -пт(А1л + А^-)^, С € др

дЯ2 г)

№ = О, + пт(А1а + ;

•20/

(34)

где 1-периодическая по ^ матрица-функция ^ является решением задачи, аналогичной (25):

= -"»(^-о/ + + ад), £ € а/з,

(35)

пт ( + Ю + +

= 0

При условии пропорциональности (31) для тензора вязкости мы получим вместо задач (34) цепочку краевых задач упругости для У ^ г

+ аналогичных задачам (25). Сделаем подстановку рядов (9), (10) в уравнения и краевые условия задачи (1),(2),(6),(22),(23), далее соберем слагаемые при одинаковых

степенях £ и приравняем их к нулю. Тогда, учитывая значения матриц К,1> 9ф> г — 1,2, получим следующие рекуррентные цепочки 7-периодических по Х\ уравнений для первой и четвертой компонент вектора при условии пропорциональности тензоров вязкости и упругости:

' -а^р + Е,^ + = * >

+ №шк\*1=т = ф), = (36)

/ = 1,4, 7=0,1,2,...,

где функции д1р /], Ц зависят от г^- , при < ] и их производных, «1 = (р)а, «1 - (ар(£2 + 1з))о> постоянные Е1 > 0. Заметим, что §1 = д-

о, т = ф\1), = ь<) - 63 = о-

Поело подстановки рядов (9), (10) в задачу (1),(2),(С),(22),(23) сделаем переход на новую переменную т = Так же как в предыдущем случае сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями е и приравняем их к нулю. В результате получим уравнения для второй и третьей компонент вектора уу.

(Т2 г1 1Г г'

~(р)даЧ7",^) - ^^(г,.^) = д](т, £1), г > 0, XI е (0,'Л, = /](г), <|>§к=т = = &<(т)^Ди=0 = г<(т), (3?)

^(г,а;1)|т=о = -^(т,а;1)|т=о = 0, / = 2,3, 3 =0,1,2,... г =

где функции ^(г,хг), /](т), <^(т), ^(т), (г) зависят от г^, при л < ] и их производных, причем $ = дЦ = 0, /02(г) = ^2(т), /03(т) = фг{г), д$(т) = ^5(г), д3(т) = ф\т), Щ = Ь3 = 4 = г3 = 0.

При сравнении задач (30),(37) с аналогичными задачами в случае нестационарной линейной упругости обнаруживаем, что вид уравнения в (36) отличается добавлением дополнительного слагаемого с производной по времени, тогда как вид уравнения (37) остается таким же как и в случае без вязкости. А коэффициенты вязкости участвуют только в правой части.

Далее доказываем теорему оценки разности между асимптотическим и настоящим решениями рассматриваемой задачи.

Теорема 2. Пусть для тензоров упругости и вязкости А^

выполнены условия симметричности (4) и пропорциональности (31). Пусть ис — обобщенное решение задачи (1)-(7), и fe{t),fe{t) как функции от х принадлежат пространству L2(Ce П {^i = Т1}). Тогда

\/mes ße

В частности,,

~ IR ^Iltt'ifiu.tOxf'l ~

^¿Щ Н + ^ - ^1и((0А,х е., -

где тез/Зс = 0(е2), Сс — IIе П {а?! € (0,2')}; функции Ж1), — решения задач (36), (37) при 3 = 0.

Структура. Главы 3 следующая: в п. 3.1 мы делаем постановку задачи вязкоупругости, со смешанным граничным условием па торцах стержня в п. 3.2 определяем формальный асимптотический ряд, в п. 3.3 определяем задачи для матриц в п. 3.4 определяем задачи для

матриц Ъ)р 712ь вычисляем значения прибавочных матриц фч1, к^ при условии пропорциональности тензора упругости и вязкости и выводим соответствующие усредненные уравнения, в п. 3.5 доказываем теорему 2.

Благодарность. Автор искренне благодарит и выражает признательность научному руководителю профессору A.C. Шамаеву за постоянное внимание, цепные советы и поддержку.

III. Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Егорова A.A. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта // Вестник Московского университета. Серия: математика, механика. 2008. Т. 63, № 2. С. 10-23.

[2| Егорова A.A. Построение приближенного решения для задачи вязкоуиругости в топком неоднородном стержне из материала Кельвина-Фойгхта // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, Л'' 1. С. 21-44.

13J Егорова А. А. Об одной задаче поведения тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта при наличии сосредоточенных и распределенных сил и моментов: Препринт ФГНУ «НИИ математики при ЯГУ> №23. Якутск: ЯГУ, 2010. 20 с.

[4] Егорова A.A. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: тез. докл. Межд. коиф., посвященной И. Г. Петровскому. Москва, 2007. С. 87-88.

[5] Егорова A.A. Построение приближенного решения для задачи вязкоуиругости в тонком неоднородном стержне из материала Кельвина-Фойгхта // XI Лаврентьевские чтения: тез. докл. научн. коиф. студентов и молодых ученых [отв. ред. И.Е. Егоров]. Якутск, 2007. С. 91-97.

[6] Егорова A.A. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта // V Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.Н. Монахова: тез. докл. Якутск, 2007. С. 20-21.

Егорова Алена Андреевна

О задаче поведения тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Подписало в печать 07.10.2010 г. Формат 00x8-1/16. Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 2-1

Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 490833

1. Clebsh А. Theorie der Elastizität der festen Körper. Leipzig, 1862.

2. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

3. Лурье Ю.Н., Джанелидзе Г. Ю. Задача Сен-Венана для естественно скрученных стержней // ДАН СССР. 1939. Т.24, №1. С. 23-26; №3. С. 225-229; №4. С. 325-326.

4. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова Думка, 1979.

5. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982.

6. Светлицкий В. А. Механика стержней. Т. 1,2. М.: Высшая школа, 1987.

7. Бердичевский В. Л. Об энергии упругого стержня // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 40, №4. С. 704-718.

8. Елисеев В.В. К нелинейной динамике упругого стержня // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52, №. 4. С. 635-642.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

10. Олейник O.A., Иосифьян Г. А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

11. Санчес-Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

12. Панасенко Г. П.,Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине // ДАН СССР. 1987. Т. 294, Ж^ 5. С. 1061-1065.

13. Шойхет Б. А. Об аимптотически точных уравнениях тоникх плит сложной структуры // Прикладная математика и механика. 1973. Т. 37, № 5. С. 914-924.

14. Ciarlet P.C., Destuynder P.A. Justification of two-dimensional linear plate model // J. Mecanique. 1979. V.18, N 1. P. 315-344.

15. Lukkassen D., Meidell A., Piatnitski A., Shamaev A. Twisting a thin perforated elastic rod// Applicable Analysis. 2009. V.88, N 10. P. 1563-1577.

16. Lukkassen D., Meidell A., Piatnitski A., Shamaev A. Symmatry-relations for elastically deformed periodic rod-structures// Math. Models and Methods in Appl. Sc. 2008. V.19, N 4, P. 501-525.

17. Назаров С. А.,Слуцкий А. С. Одномерные деформации тонких слабоискривленных стержней. Асимптотический анализ и обоснование // Известия РАН. Серия математическая. 2000. Т. 64, №3. С. 97-130.

18. Bermudez A.,Viano J.,M. Une justification des équations de la thermoélasticité des poutres à section variable par des méthodes asymptotiques // RAIRO Analyce Numérique. 1984. V. 18, P. 347-376.

19. Tutek Z., Aganovich I. A justification of the one-dimensional model of an elastic beam // Math. Methods in Appl. Sci. 1986. V. 8, N 1. P. 1-14.

20. Trabucho de Campos L., Viano J. M. Existence and characterization of higher order terms in an asymptotic expansion method for linearized elastic beams // Asymptotic Analysis. 1989. V. 2, P. 223-255.

21. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 68, P. 365-397.

22. Le Dret H. Problemes variationnels dans les multi-domans modelization des jonctions et applications. Paris: Masson, 1991.

23. Veiga M. F. Asymptotic method applied to beam with a variable cross section // Asymptotic methods for elastic Structures. Berlin ; New York: Walter de Gruyter, 1995.

24. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems I // Russ. J. Math. Phys. 1994. V. 2, N 3. P. 325-352.

25. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems II // Russ. J. Math. Phys. 1996. V. 4, N 1. P. 87-116.

26. Назаров С. А. Структура решения эллиптических краевых задач в тонких областях // Вести. ЛГУ. 1982. №. С. 65-68.

27. Козлова М.В., Панасенко Г.П., Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т. 31, № 10. С. 1592-1596.

28. Козлова М. В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости для тонкого неоднородного бруса // Вестн. МГУ. Серия: математика, механика. 1989. №5. С. 6-10.

29. Oleinik О. A., Iosif'yan G.A. On the asymptotic behaviorat infminty of a solution of linear elasticity // Arch.Rat. Mech. and Anal. 1982. V. 78, N 1. P. 20-53.

30. Bensoussan A.,Lions J. L.,Papanicolaou G. Asymptotic Analysyis for Periodic Structures. Amsterdam: North Holland, 1978.

31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

32. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости. М.: Изд-во МГУ, 1981.

33. Самарский JI. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

34. Стрэнг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

35. Abdessamad Z., Kostin I., Panasenko G., Smyshlyaev V. P. Homogenization of thermo-viscoelastic Kelvin-Voight model // C.R. Mecanique 2007. V. 335, N 1. P. 423-429.

36. Бахвалов H. С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Проблемы математической физики и вычислительной математики: Сб. статей / М.: Наука, 1977. С. 34-51. (Сборник).

37. Бахвалов Н. С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Современные проблемы математической физики и вычислительной математики / Под ред.А. Н. Тихонова. М.: Наука, 1982. С. 38-47.

38. Lions J. L. Remarks on non local phenomena in composite materials and in perforated materials // Proc. of the Jutam symposium Nothwestern Univ. Ed. Nemat. Nasser, North Holland. 1979.

39. Lions J.L. Homogénéisation non local // Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non Linear Analysis. // Ed. De Georgi,Magenes,Mosco,Pitagora. Bologne. 1979. P. 189-203.

40. Sanchez-Palencia E., Sanchez-Hubert J. Sur certans problèmes physiques d'homogénéisation donnant lieu â des phénomènes de relaxion // C.R.Acad.Sci. Paris. sér.A. 1978. V. 286, P. 903-906.

41. Кожанов А. И. К теории уравнений составного типа: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Новосибирск, 1993.

42. Дюво Г.,Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.Работы автора по теме диссертации

43. Егорова A.A. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта // Вестник Московского университета. Серия: математика, механика. 2008. Т. 63, № 2. С. 10-23.

44. Егорова A.A. Построение приближенного решения для задачи вязкоупругости в тонком неоднородном стержне из материала Кельвина-Фойгхта // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, № 1. С. 21-44.

45. Егорова A.A. Об одной задаче поведения тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта при наличии сосредоточенных и распределенных сил и моментов: Препринт ФГНУ «НИИ математики при ЯГУ» №23. Якутск: ЯГУ, 2010. 20 с.

46. Егорова А. А. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта / / Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: тез. докл. Межд. конф., посвященной И. Г. Петровскому. Москва, 2007. С. 87-88.