Нелинейная динамика среды коссера и упругие ферромагнетики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

У

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СРЕДЫ КОССЕРА И УПРУГИЕ ФЕРРОМАГНЕТИКИ

(01.02.04 — механика деформируемого твердого тела)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

доктор физико-математических наук, профессор П. А. ЖиЛин

На правах рукописи

Грекова Елена Фёдоровна

' Научный руководитель:

Санкт-Петербург — 1999

Оглавление

Введение......................................................5

1 Литературный обзор и постановка задачи 8

2 Основные уравнения среды Кельвина 16

2.1 Кинематика среды Кельвина..................................16

2.1.1 Трансляционные характеристики....................17

2.1.2 Тензор поворота. Угловая скорость..................17

2.1.3 Деформации среды Кельвина...............19

2.2 Динамика среды Кельвина..............................21

2.2.1 Динамические характеристики тел-точек............21

2.2.2 Тензоры напряжений. Законы динамики Эйлера . . 22

2.3 Нелинейные определяющие уравнения среды

Коссера..........................................................24

2.4 Нелинейные определяющие уравнения среды

Кельвина........................................................26

2.4.1 Полные системы мер деформации, содержащие зависимые функции. Определяющие уравнения. ... 28

2.4.2 Полные системы независимых мер деформации. Определяющие уравнения..............................32

2.4.3 О гипотезе натурального состояния и выборе системы мер деформаций.........•................34

2.4.4 Ограничения на тензоры напряжений в среде Кельвина ......................................................37

2.5 Линейные уравнения среды Кельвина ......................39

2.5.1 Линейные определяющие уравнения..................39

2.5.2 Линейные уравнения динамики ......................44

2.6 Сводка основных уравнений среды Кельвина ..............44

3 Аналогия между средой Кельвина, оболочками и ферромагнетиками 46

3.1 Упругие оболочки и среда Кельвина ........................46

3.2 Ферромагнетики и среда Кельвина.....................51

3.2.1 Некоторые сведения о упругих непроводящих ферромагнетиках в состоянии магнитного насыщения 51

3.2.2 Аналогия закона баланса энергии для ферромагнетиков и среды Кельвина ..............................53

3.2.3 Меры деформации и определяющие уравнения ферромагнетиков. Сравнение со средой Кельвина ... 55

3.2.4 Соответствие характеристик среды Кельвина и упругой непроводящей ферромагнитной сплошной среды в состоянии магнитного насыщения..........61

3.2.5 Линейные уравнения ..................................61

4 Волновые процессы 65

4.1 Спиновые волны в среде Кельвина ..........................65

4.2 Магнитоакустический резонанс в анизотропном материале 67

5 Микроструктурный подход 76

5.1 Потенциальная энергия взаимодействия двух

удаленных тел..................................................78

5.1.1 Конкретный вид пяти первых членов потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух твердых тел при R = const............................81

5.1.2 Гравитационный момент..............................82

5.2 Ортотропный континуум вращающихся частиц............85

5.2.1 Дискретная модель. Гравитационный момент, действующий на частицу . .■.......................85

5.2.2 Линеаризация уравнения движения частицы относительно стационарного вращения..............87

5.2.3 Переход к континуальным уравнениям..............88

5.3 Заключение......................................................90

Выводы......................................................91

Литература 93

А К построению полного набора интегралов системы (2.42) 102

А.1 Система 2li............■.......................103

А.2 Система 512......................................................104

А.З Система 05......................................................104

В Компоненты матрицы S (4.19) 105

Введение

Исходным объектом механики Ньютона является материальная точка. Однако для описания целого ряда явлений, видимо, необходим учет вращательных степеней свободы частиц, составляющих тела. В настоящий момент хорошо разработана теория, описывающая малые повороты частиц, в то время как во многих случаях представляется важным учет конечных поворотов, а точнее, динамических спинов частиц. В связи с этим представляется необходимым построить теорию нелинейной полярной среды, частицы которой могут вращаться с большими угловыми скоростями, не вызывая напряжений. Идея рассмотрения таких сред выдвигалась многими выдающимися учеными, начиная еще с прошлого века. Дюгем (1894), Э. и Ф. Коссера (1909) рассматривали континуум, частицы которого имели поворотные степени свободы. Однако в этих средах свободное вращение частиц не допускалось. Лорд Кельвин выдвигал концепцию среды, состоящей из гиростатов, которая сопротивлялась бы только угловым деформациям, но математически эта идея не была реализована.

В настоящее время разработана нелинейная теория двумерной полярной среды (П.А. Жилин [21], теория неклассических простых оболочек). Методы, используемые в этой теории, возможно применить для построения трехмерной теории полярной среды. Существенным отличием данной работы, однако, является рассмотрение среды, скорость вращения тел-точек которой весьма велика.

Существуют феноменологические теории трехмерных сплошных сред, частицы которых обладают не малым кинетическим моментом. Такие теории применяются для описания магнетиков (см., например, монографию Ж. Можена [33]). Кажется необходимым провести построение подобной теории шаг за шагом исходя из фундаментальных принципов механики. Проблема является актуальной прежде всего с точки зрения развития теории, но также может иметь и практические приложения, как все задачи механики электромагнитных сплошных сред.

В магнитных материалах намагниченность связана через гиромагнитное соотношение с кинетическим моментом материального объема среды. Магнитная индукция создает объемный момент, действующий на материальный объем. Таким образом, магнитный материал является полярной средой. Это дает возможность установить аналогию между нелинейной средой Коссера, частицы которой обладают большой скоростью собственного вращения, и упругими ферромагнетиками в состоянии магнитного насыщения. В рамках предложенной аналогии описывается наиболее общим образом взаимодействие угловых и трансляционных перемещений, что соответствует магнитоакустйческим явлениям в ферромагнетиках. Магнитоакустический резонанс весьма интересен не только с теоретической точки зрения, но и широко используется в технике. Кажется необходимым подробное исследование этого явления.

Феноменологический подход обладает тем преимуществом, что носит наиболее общий характер. Он не опирается на какие-либо предположения о конкретном типе взаимодействия частиц материала. Однако представляется интересным получить уравнения движения какой-либо конкретной, пусть и гипотетической среды, тела-точки которой обладают динамическим спином.

Сказанное выше позволяет сформулировать цели работы :

• построение нелинейной теории среды Коссера, частицы которой обладают динамическим спином (среды Кельвина)

• построение точной аналогии между основными уравнениями упругих непроводящих ферромагнетиков в состоянии магнитного насыщения и уравнениями среды Кельвина

• описание магнитоакустического резонанса и его аналога для среды Кельвина

• построение простейших микроструктурных моделей упругой полярной среды

В работе используются методы механики сплошных сред. Применяются как феноменологический, так и микроструктурный подходы. Все используемые методы опираются на законы баланса сил, баланса моментов и баланса энергии. Принцип материальной объективности удовлетворяется автоматически. Для получения конкретного вида тензоров упругих модулей среды применяется принцип Кюри-Неймана [34]. При записи законов механики и описании характеристик среды используется аппарат прямого тензорного исчисления.

Научная новизна работы состоит в построении теории полярной среды, частицы которой обладают не малым кинетическим моментом, в установлении аналогии между основными уравнениями непроводящих ферромагнетиков в состоянии насыщения и уравнениями нелинейной среды Коссера специального вида и в предложенном новом подходе к описанию магнитоакустического резонанса.

Автор глубоко благодарна научному руководителю проф. П. А. Жилину за неоценимую помощь на всех этапах работы над диссертацией, а также проф. Д.А. Индейцеву за постоянное внимание к работе.

Глава 1

Литературный обзор и постановка задачи

Первые работы, посвященные полярным средам, относятся к концу прошлого века и к началу нынешнего (Дюгем, 1894; Э. и Ф. Коссера [43], 1909). Коссера вводят в рассмотрение упругий континуум, тела-точки представляют собой малые абсолютно твердые тела, способные совершать независимые повороты и перемещения. Теория среды построена исходя из постулируемого вариационного принципа.

В дальнейшем на многие годы теория полярных сред была забыта. Ее новое рождение началось со статьи К. Трусделла и Дж. Эриксена [51], посвященной 50-летию работы Э. и Ф. Коссера. После этого интерес к полярным средам вновь возрос, и появилось множество работ, посвященных различным вариантам линейной теории моментной упругости [36, 1, 25, 35, 69, 83, 42, 70, 80, 89, 53, 63, 64, 59, 58, 60, 62, 52, 61, 65, 50]. Теориями трехмерной среды Коссера занимались Э.Л. Аэро и Е.В. Кув-шинский [1, 25], В.А. Пальмов [36]. В работе В.А. Пальмова рассмотрено распространение волн в линейной упругой изотропной полярной среде. В. Новацкий [35] построил линейную моментную теорию термоупругости.

Некоторые авторы (см., например, [69, 80]) рассматривали псевдоконтинуум Коссера, тела-точки которого не могут совершать независимые повороты; микровращения моделировались при помощи ротора перемещений.

Работы, посвященные теории среды Коссера и ее приложениям, публикуются и в настоящее время: [48, 49, 47, 44, 45, 81, 74, 76, 82, 72, 14, 55, 37]. Так, модель трехмерного континуума Коссера может быть использована, например, при описании порошков и других сыпучих сред [86, 90, 75]. Свойства таких сред существенно зависят от способности частиц совершать повороты. Существуют и другие области приложений теории полярных сред. В работе [46] обсуждается вопрос об использовании модели Коссера для описания поворотов зерен в металлах.

Существует множество работ, посвященных одномерным и двумерным средам Коссера, при помощи которых моделируются стержни и оболочки: [51, 60, 84, 85, 74].

В работах по теории упругих простых неклассических оболочек П.А. Жилиным [91, 17, 18, 21] получены уравнения полярной двумерной среды.. Данная работа отличается от цитированных выше тем, что в ней построена полная нелинейная теория двумерной полярной среды. Предложенный в этой работе метод получения основных уравнений опирается на фундаментальные принципы механики, и вид определяющих уравнений с необходимостью вытекает из закона баланса энергии.

Представлялось интересным обобщить данный метод на трехмерный случай, а также рассмотреть особо случай быстро вращающихся частиц. Действительно, в большинстве упомянутых работ учитываются малые перемещения и повороты. В работах П.А. Жилина по теории оболочек рассматриваются произвольные нелинейные повороты и перемещения, однако не рассматривается случай быстрого вращения тел-точек. Идея рассмотрения сред с большой угловой скоростью вращения

частиц выдвигалась еще в начале века, однако математический аппарат не позволял ее формализовать.

Примером среды с частицами, обладающими динамическим спином, может служить нелинейная упругая среда Коссера, состоящая из вращающихся частиц с осевой симметрией (рис. 1.1). Частицы могут совершать повороты и перемещения общего вида. Тела-точки рассматриваемой среды, в отличие от частиц традиционно рассматриваемой среды Коссера, могут вращаться с большой угловой скоростью; перемещения и повороты могут быть конечными. Будем называть такую среду средой Кельвина, так как именно ему, по-видимому, принадлежит идея ее рассмотрения : "Кельвин представил себе модель квази-жесткого эфира, построенную из гиростатов. Эта проблема очень сложна. Дело сводилось к отысканию системы, оказывающей сопротивление только деформациям, которые связаны с вращениями ..." [30]. Рассматриваемая среда, строго говоря, является обобщенной средой Кельвина, так как в ней присутствует и сопротивление трансляционным деформациям.

Рис. 1.1: Среда Кельвина

Уравнения среды Кельвина для случая малых перемещений и малых углов нутации частиц, но при условии большой скорости собственного вращения были получены в работах П.А. Жилина [20] и С.Н. Га-врилова [6]. В работе [6] применяется весьма интересный метод построения линейной (по углам нутации и перемещениям) теории. Закон баланса энергии разлагается в ряд по малым трансляционным и угловым перемещениям, и затем ставится требование независимости энергии деформации среды от угловой скорости собственного вращения тел-точек. Это требование для членов различного порядка малости в разложении налагает ограничения на линейные тензоры напряжений и линейный аналог уравнения баланса энергии. Это дает возможность получить линейные определяющие уравнения среды Кельвина. Такой путь представляется наиболее общим: единственное предположение — то, что тензоры напряжений можно линеаризовать. Если оно несправедливо, то линейная теория не имеет права на существование. Кроме того, в [6] рассматривается движение среды определенного типа симметрии при условии тождественного равенства нулю трансляционных перемещений. Показано влияние гироскопического члена в сравнении с волновыми процессами в безграничной линейной среде Коссера, исследованными В.А. Пальмовым [36]. Гироскопия приводит к "раздвоению" дисперсионнои ветви угловых колебании, так как она вносит в систему асимметрию. Появляется две различные частоты отсечки.

Естественным продолжением кажется построение нелинейной теории подобной среды. Будем полагать, что внутренние усилия в среде Кельвина не зависят ни от угла собственного вращения частиц, ни от угловой скорости их собственного вращения. В диссертации получены [66, 67] нелинейные определяющие уравнения данной среды на основе закона баланса энергии методом, предложенным в [18]. Другое направление продолжения исследований — изучение волновых процессов с учетом

перевязанности трансляционных и угловых перемещений. В анизотропных средах такая взаимосвязь может проявляться особенно ярко.

В природе существуют различные примеры сред, запасающих энергию путем вращения. Так, в работах [56, 39, 24] исследуются парафины, в которых с ростом температуры цепочки атомов начинают вращаться все с большей скоростью. Вначале повороты носят колебательный характер, а затем, начиная с определенной температуры, угловая скорость собственного вращения не меняет знака и возрастает по величине. При этом для наблюдателя, живущего в относительно "медленном" времени, цепочки кажутся осесимметричными.

Механика электромагнитных сплошных сред — одно из наиболее активно развивающихся направлений механики деформируемого твердого тела. В монографиях Ж. Можена [33] и К. Эрингена и Ж. Мо-жена [54] построена при помощи феноменологических методов механики сплошных сред теория ферромагнетиков. В диссертационной работе показано существование аналогии между ферромагнетиками и средой Кельвина. Это позволяет применить используемый метод построения определяющих уравнений полярной среды к ферромагнетикам и получить более общую теорию, чем в [33]. Такой подход предоставляет больше принципиальных возможностей для описания магнитоакустического резонанса — явления возбуждения волн трансляционных перемещений при помощи спиновых волн и наоборот.

Отметим, что в данной работе ставится• задача рассмотреть ферромагнетики именно с позиций механики, используя фундаментальные механические принципы. Разумеется, при этом необходимо учитывать природу рассматриваемых взаимодействий. Однако феноменологический подход обладает тем преимуществом, что при его использовании делается минимум предположений о том, каков конкретный вид этих взаимодействий. Материал рассматривается как "черный ящик", и его

уравнения строятся исходя из нескольких фундаментальных принципов и соображений симметрии. Такой подход- обладает, как представляется, максимальной общностью.

Феноменологическая теория деформируемых ферромагнетиков была предложена Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем [28] и развита в работах [41, 78, 77, 87, 88] и др. Обзор развития теории можно найти в [33]. Из работ, изданных в последние годы, можно упомянуть [57, 54].

В работе показывается, что определяющие уравнения среды Кельвина аналогичны определяющим уравнениям упругих непроводящих ферромагнетиков в состоянии насыщения (см. [33]) и определяющим уравнениям неклассической теории упругих оболочек. Показано существование точной аналогии между уравнениями динамики ферромагнетиков и среды Кельвина [68, 11, 12, 67]. Это влечет сходство волновых процессов в обеих средах. В диссертации используется наиболее общий способ учета перевязанности трансляционных и угловых деформаций в функции внутренней энергии. Это позволяет описать эфф�