Осреднение стационарного уравнения теплопроводности в неоднородных средах с несколькими малыми параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Научно-исследовательский вычислительный центр

р— од

На правах рукописи

Э 1\<-я Ь; )

ДУБИНСКАЯ Вера Юльевна

Осреднение стационарного уравнения теплопроводности в неоднородных средах с несколькими малыми параметрами

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН Н.С .Бахвалов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Жиков; кандидат физико-математических наук, Г.А.Чечкин

Ведущая организация:

Вычислительный центр РАН.

Защита состоится л-1994 г. в 45 часов на за-

седании диссертационного Совета К.053.05.84 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ.

Автореферат разослан " " 1994 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В течение нескольких последних десятилетий в различных областях науки и техники вс г более широкое распространение получают так называемые композиционные материалы или композиты, то есть неоднородные материалы, состоящие из чередующихся (в т.ч. и периодически повторяющихся) фрагментов определенной структуры. Исследование процессов в такого рода средах приводит к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. И поскольку размеры ячейки периодичности, как правило, существенно меньше глобальных размеров исследуемого объекта, то численное решение подобных уравнение требует большого количества вычислений и становится практически невозможным.

Развитый в последнее время метод осреднения, основанный на идее разделения быстрых и медленных составляющих решения позволяет получать уравнения с т.н. эффективными коэффициентами, которые либо постоянны, либо меняются слабо. Численное решение осредненных задач существенно менее трудоемко, нежели исходных.

К настоящему времени накопилось огромное количество работ, связанных с исследованием дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами с помощью метода осреднения. Сюда относятся труды Е.Бе Сюгдо, Б.БапсЬег-Ра1епс)а, Л.Ь.Ьюпз, Н.С.Бахвалова, В.В.Жикова, О.А.Олейник и других.

Особый случай представляют ситуации, когда хотя бы один из размеров тела сопоставим по порядку с характерным разме-

ром ячейки периодичности. В работе Б.СаШепе [6] рассмотрена система уравнений теории упругости в тонком неоднородном цилиндре, когда период неоднородностей и высота цилиндра одного порядка. В работах Г.П.Панасенко [2], М.В.Резцова [4] исследуются задачи теории упругости в неоднородной пластине толщины е с характерным периодом неоднородностей также е.

Наконец, с начала 80-х годов стали появляться работы, в которых рассматриваются композиты с двумя малыми параметрами, характеризующими ячейку периодичности (см., например, работы Г.И.Пшеничнова [3], М.В.Резцова [5]). Такая структура среды, естественно, влечет за собой необходимость асимптотического исследования решений соответствующих задач в зависимости от двух малых параметров. Эта проблема и является предметом изучения в данной диссертации.

Цель работы и общие методы исследования. Целью работы является построение полного асимптотического разложения решения стационарной задачи теплопроводности в композитах с несколькими малыми параметрами. Формальное построение ведется с помощью метода осреднения, предложенного Н.С.Бахва-ловым ([1]). Доказательство эллиптичности осредненного уравнения и оценки близости точного и приближенного решений проводятся с использованием методов вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) На основе метода осреднения разработан н обоснован метод построения приближенного решения любого порядка для случая композита с несколькими малыми параметрами;

с

<

2) Изложена процедура построения формального асимпто-, тического решения стационарного уравнения теплопроводности, заданного в различных композиционных средах с

двумя и с тремя малыми параметрами; ]

3) Для каждой задачи доказаны симметрия и положительная определенность системы коэффициентов главной части осредненного уравнения;

4) В интегральных нормах доказаны оценки близости точного и приближенного решений.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанный метод дает возможность в случае гладких и ряда разрывных коэффициентов получить осредненное уравнение желаемого порядка точности и построить асимптотическое решение задачи, минуя операции с малыми параметрами и не прибегая к численному решению трехмерного эллиптического уравнения на ячейке периодичности. Более того, в случае трех параметров все Ячеечные задачи решаются аналитически, что позволяет отыскать осредненные коэффициенты уравнения и нулевое приближение,

не вычисляя компоненты ряда, зависящие от быстрых пёремен-

I

ных. Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении спецкурсов по численно-асимптотическим методам в различных высших учебных заведениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- конференции молодых ученых МФТИ (ноябрь 1992г.);

- научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством д.ф.-м.н. Жилейкина Я.М. (февраль 1994г.);

- научно-исследовательском семинаре под руководством . д.ф.-м.н. Пшеничнова Г.И. в Вычислительном центре РАН (февраль 1994г.);

- научно-исследовательском семинаре кафедры спецкурсов высшей математики Московского Энергетического Института (март 1994г.);

- научно-исследовательском семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института (апрель 1994г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7]-[9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 29 наименований, включая работы автора. Объем работы составляет 142 машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, посвященных исследованию дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами, и формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава носит отчасти вспомогательный характер. В §1 приведены утверждения, касающиеся вопросов разрешимости эллиптических уравнений и априорных оценок решений через правую часть.

В §2 на примере изотропного композита демонстрируется суть предлагаемого метода. Рассматривается периодическая по

трем направлениям среда, в которой характерные размеры не-однородностен равны с, 6 и А соответственно, причем Л « с? « е. Проводится осреднение стационарного теплового поля в указанной среде, получены оценки близости точного решения и первых приближений в интегральных нормах.

Вторая глава посвящена исследованию стационарной задачи теплопроводности в неоднородной среде с двумя малыми параметрами. В §1 строится, а затем решается осредненное уравнение бесконечного порядка для следующей задачи:

ы е {а™ (Т'Т'ТГ) ё) = х 6 П; (1)

/XI Х2 ®3\ ди

ЧТ'Т'Т)^0' Жз = ±,1/2'' (2)

<«>0 = 0; (3)

где И — {х £ К3 : 0 < хих2 < Г, |г3| < Л/2} - область трехмёр-ного пространства; атп({) - 1-периодические по £2 бесконечно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям симметрии и эллиптичности. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование; латинские индексы принимают значения 1,2,3, греческие -1,2. Поскольку в данном случае имеются два различных по порядку размера ячейки периодичности е и Л (Л << е << Т ~ 1), то и формальное асимптотическое решение ищется в виде ряда по степеням двух малых параметров, но не собственно с и Л, а по степеням е и Л/е, поскольку Л/е также много меньше единицы. Таким образом:

~ £ е" (£ ЛГЯООЧхь (4)

м>0 \ ' |«'|=?

где € г, С = (Сьб.6) = (х1/е,х2/е,®3/Л). * = (»1,-,»,.) -мультииндекс длины р, г* 6 {1,2}, Б1* = 9* *

Подставив ряд (4) в уравнение (1), в краевое условие (2) и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях е, Л/е и производных /)*«(ж1,гз), получим цепочку задач для определения

то--

ЬиЩ + {ьч. + ^г1 + = Е! - £ е <?;

033 % = = " = ±1/2;

где

^=щ-а '- щ-а •

жо = 4 КлгЛ) + ^ +

<Э - единичный куб.

Как ухе отмечалось, отыскание компонент Л^(^) проводится в два этапа. На первом функция как решение обыкно-

венного дифференциального уравнения по с параметрической зависимостью от представляется в виде:

= ьб),

где составляющая уже известна. Второе же слагаемое

находится из условия разрешимости аналогичного

обыкновенного дифференциального уравнения для функции

Это условие представляет из себя осредненное по £3 эллиптическое уравнение относительно

В результате, получено осредненное уравнение:

Lu(oo) ~

- Е ^ (7)* 2 Е Щ&у(хих2) ~ /(«!,«,),

p,q> J Vе/

(«1,ва)€(0;Г)х(0,Г);

где Я/ - константы. Решение этого уравнения вновь отыскивается в виде ряда по степеням е и Л/е:

и(хьх2)~ Е^т)

Vе/ >

Компоненты у1к являются решениями цепочки эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами

= На0 = (ааР + + .

В §2 доказывается, что коэффициенты а\р удовлетворяют условиям симметрии и эллиптичности.

В §3 через невязку правой части уравнения выведены оценки близости точного и приближенного решений. Обозначим

Т^оТ, Vе/ |»|=р «=о.<3

£ Л^У^хьх,).

Т^оЖ \е/

1=0,0

ТЕОРЕМА

Для частичной суммы ряда (6), (8) верны оценки

В §§4-6 аналогичные исследования проведены для стационарной задачи теплопроводности в среде с двумя малыми параметрами, периодической по всем трем направлениям.

Таким образом, в случае двух параметров ячеечная задача об отыскании компонент асимптотического ряда расщепляется на две составляющие: первая фактически является обыкновенным дифференциальным уравнением по одной из переменных (две другие - параметры) и решается аналитически; вторая же представляет собой двумерное уравнение с оставшимися переменными. В результате, вместо трехмерной эллиптической задачи численно приходится решать лишь двумерную.

Третья глава посвящена исследованию композита, имеющего три характерных периода неоднородностей е, 6 и Л. В §1 строится и решается осредненное уравнение бесконечного порядка для следующей задачи:

<«>о = 0.

где П = {х 6 R3 : 0 < xi < Гь 0 < x3 < T2, |x3| < Л/2} - область трехмерного пространства; атп(£) - 1-периодические по 6 и 6 бесконечно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям симметрии и эллиптичности, Т\ ~ Т2 ~ 1. На этот раз формальное асимптотическое решение задачи представляется в виде ряда по степеням трех малых величин:

«(")- Y. ^(^ЧТУЕ^ЧООЧпъ**),

Т,Ч,т> о Vе/ \°/ |»|=р

где С = (6.6.6) = (а^х/е,х2/<5,ж3//г). В данном случае функции N?'r(0 отыскиваются в три этапа, каждый из которых представляет собой решение обыкновенного дифференциального уравнения. В результате, решение каждой ячеечной задачи сводится к совокупности алгебраических операций, численного дифференцирования и интегрирования, а эффективные коэффициенты в отличие от случаев с одним или двумя малыми параметрами выражаются непосредственно через коэффициенты amn(£):

-¡у./ь

'ь \/i 1 \ап/б

где

р \ ап /£l \ /ii \«ii /л \вц /

\ «22 ¡ъ Х '(я \а2 2/fr \а22/£3

/ aa3a3ß \ aaß = (aaß----) .

\ Озз /

Функция v(xi,x3) вновь отыскивается в виде ряда по степеням е, 6/е и h/e:

Таким образом, нулевое приближение Уд'°(х1,хз), являющееся решением уравнения

= /(«!.*»), (*!.*») € (0;Г,) X (0;Га),

можно отыскивать, не прибегая к вычислению функций соответствующих следующим компонентам асимптотического ряда.

В §2 выведены оценки разности точного и приближенного решений. Обозначим

Е ('У (*)' £ \е/ \°/ |.|-р

1 »=0.0. ^($)>(....*

1.Щ,

Имеет место следующая ТЕОРЕМА

Для частичной суммы асимптотического ряда и^^ верны оценки

В §§3,4 подобные исследования проведены для среды, периодической по трем направлениям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М: Наука, 1984

2. Панасенко Г.П. Осреднение системы уравнений теории упругости для неоднородной пластины. - УМН, 1985, т.40,

в.5 (245), с. 218-219

3. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. - М: Наука, 1982

4. Резцов М.В. Асимптотическое разложение решения трехмерной системы уравнений теории упругости, заданной в ортотропной пластине.- Тр. II Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов", т.Ш, Ереван, изд-во ЕГУ, 1984, с. 81-84

5. Резцов М.В. Осреднение системы уравнений теории упругости в тонком слое толщины h с периодом неоднороднос-тей £. - ЖВМ и МФ, 1989, т. 29, №• 9, с. 1413-1414

6. Caillerie D. Plaques élastiques minces à structure périodique de période et d'épaisseur comparables C.R.A.S., 294-11, 1982, p. 159-162

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

7. Осреднение стационарной задачи теплопроводности в тонкой

неоднородной пластине. - ЖВМ и МФ, 1990, т. 30, ММ, с. 632-634

8. Асимптотическое разложение решения стационарной задачи теплопроводности в тонкой пластине с двумя периодами неоднородностей. - Доклады РАН, 1993, т. 333, №5, с. 571-574

9. Осреднение стационарного теплового поля в неоднородной среде с тремя малыми параметрами. - Доклады РАН, 1994, т. 334, N-3, с. 272-274