Осреднение процессов в периодических средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОСРЕДНЕНИЕ НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА . . Г

§ I. Формальное осреднение неполной системы уравнений

Максвелла с гладкими коэффициентами

§ 2. Конечность скорости распространения возмущении для осредненной системы Максвелла.

§ 3. Обоснование осреднения системы уравнений

Максвелла с гладкими коэффициентами

§ 4. Постановка задачи в случае негладких коэффициентов

§ 5. Формальное осреднение системы уравнений

Максвелла с негладкими коэффициентами

§ 6. 0 дифференцируемости решений осредненной системы

§ 7. Обоснование осреднения системы уравнений

Максвелла с негладкими коэффициентами.

Глава П. ФОРМ/УШНОЕ ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Некоторые вспомогательные предложения . 6Г

§ 3. Построение асимптотик.

Глава Ш. ОБОСНОВАНИЕ ОСРЕДНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА.

§ I. Об одной оценке решения уравнения переноса

§ 2. Обоснование осреднения для периодической задачи

§ 3. Обоснование осреднения для краевой задачи

§ 4. Сравнение численных расчетов с теоретическими результатами .».•••.•. TI

Во многих областях современной техники широко применяются материалы, имеющие периодическую структуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как правило, описываются уравнениями с быстроосщшлирующими коэффициентами. Всвязи с этим численное решение возникающих задач чрезвычайно трудоемко; возникает необходимость выбирать сетку с мелким шагом, чтобы на каждую ячейку периодичности (размера порядка £ «I ) попало хотя бы несколько узлов. Это приводит к системам уравнений с крайне большим числом неизвестных, решение которых на ЭВМ часто бывает практически невозможным.

Развитая в последнее время методика осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллируищими коэффициентами (см., например, [1-4 , 23-25] ) позволяет получать осредненные уравнения с постоянными или слабо меняющимися коэффициентами. Однако в ряде случаев вопрос о близости решений исходной и осредненной задач остается открытым.

В диссертации выведены оценки близости указанных решений для уравнений Максвелла; также получены уравнения, которым удовлетворяют главные члены асимптотических разложений по малому параметру £ решений односкоростного стационарного уравнения переноса частиц. В случае периодической и краевой задач для уравнения переноса доказаны оценки близости найденной асимптотики и решения исходной задачи.

Полученные асимптотики дают возможность качественного исследования решений уравнения переноса в тех или иных случаях. Оценки близости, доказанные в работе, позволяют получить численное решение данной задачи электродинамики или задачи теории переноса частиц с быстроосциллирующими коэффициентами с требуемой степенью точности. При этом решаемая на ЭВМ задача существенно проще исходной (например, можно брать крупную сетку, в ряде случаев происходит изменение типа уравнения и т.д.).

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассмотрены различные вопросы, связанные с гомогенизацией (осреднением) неполной системы уравнений Максвелла, а также с обоснованием полученных осредненных уравнений для задачи Коши. Пусть Е и Н - трехмерные векторы напряженности электрического и магнитного поля. Рассмотрим следующие соотношения, связывающие указанные векторы:

Написанные уравнения дополняются обычно условием

ЛУ/чН =0. <2)

Считая (2) выполненным в некоторый начальный момент времени ~Ь0 , из второго уравнения (I) следует, что указанное соотношение справедливо при всех ~Ь>~Ь0 , т.е. оно имеет характер начального условия. Всюду далее рассматриваются лишь уравнения (I), которые для кратности будем называть системой Максвелла. Предполагается, что коэффициенты ^ э I4 » & есть 1-периодические функции "быстрых" переменных ^ : £ » » & » где — ОС1 /£. (I . В начальный момент времени

О считаем выполненными условия

Е (О^) = е(х-) , О, ^ = ¿(х-) р причем функции £ и /С- от переменных у не зависят и обладают достаточной гладкостью (например, принадлежат соболевскому пространству ). Делая замену переменных = Е -е., Н = И запишем получившуюся систему уравнений (черточку над и Н опускаем):

3) здесь

Будет рассматриваться задача (3),(4) с правыми частями /-" , ¿г , не зависящими от переменных ^ что связано лишь с большей компактностью изложения. Все рассуждения переносятся на случай т,

Г = Г^, г, = 2 Ы-Ь,*)^ ($),

I* —1 = б-с^^у) = £ % (ж), 7 где , - [[-периодические функции

Осредненная система уравнений для (3), (4) в случае достаточно гладких коэффициентов £ , , б при & — О была получена в [25] , при б' -ф О - в [26] . Ее особенностью (при ФО ) является наличие интегрального члена, характеризующего "память" материала. Разрешимость полученной системы ин-тегродифференциальных уравнений доказана в [27] . В [26] также доказано, что Е Р Н ^оУР(НоУ (обозначим так решение ос-редненной системы) при - слабо в пространстве и^СРЛ" э ' Более сильных результатов относительно близости решений исходной и осредненной систем Максвелла автору диссертации известно не было.

Следуя методике осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами, представим векторы Е и /7 асимптотическими рядами по степеням малого параметра £ , причем, как обычно принято, члены разложения нулевого порядка считаем не зависящими от переменных ^ :

Е(-Ь,х) ~ Ее (Ь, X) + £ Е1 (Ъ, х, 5 ; 4- а Х^)+.,

5)

Н Х)~ Но (6, + £ И, (^Х, £) + £ ^ (¿, X, ;

1-периодичны по 5" . Подставляя (5) в (3) и приравнивая коэффициенты при 8° нулю, получаем, что

ТЯГ + - Ъ^Но ~ = г, гг>и (б) чЦ> + хоЬхЕ0

Значок ОС или 5 указывает по каким переменным действует соответствующий оператор. Применив к (6) операцию взятия "среднего по У У = // /

О О О имеем соотношения

2> ^ + <?>Е0 -Ъ>£Н0= Г,

7)

В общем случае было бы неверным, однако, считать уравнения (7) искомым осреднением системы (3). Действительно, применяемая методика осреднения предполагает возможным получение всех членов разложений (5). В данном случае, зная векторы Е0 » Но »не удается решить уравнений (7) относительно Еу , Н^ . Чтобы проверить это, вычтем соотношения (7) из (6): ъъ

Система уравнений (8) в общем случае неразрешима, поскольку, например, ¿¿иГ^Го^Е^О , но = что не обязано равняться нулю (по повторяющимся индексам здесь и далее предполагается суммирование в пределах ■/ 4 I ^ 3 ). Таким образом, недопустимо в разложениях (5) не учитывать зависимость Е0 и И0 от 5 •

Параграфы 1-3 главы I диссертации служат для наглядности последующего изложения (в случае измеримых функций £ , Д/ , & ). В § I приведены основные моменты осреднения системы уравнений (3) с гладкими коэффициентами ^ , /и , & . Для полученной осредненной системы

-Ь о и\ (9) установлена симметрия матриц (Цу) » (У^О » ) и положительность соответствующих им квадратичных форм.

В § 2 для осредненной системы (9) доказывается конечность скорости распространения возмущений.

Параграф 3 логически завершает два предшествующих. Основным его результатом является теорема 2, устанавливающая близость решений задачи Коши дня уравнений (3) с гладкими быстроосциллиру-ющими коэффициентами и оередненных уравнений (9). Справедливо неравенство

Е-Е0\\1 +\\Н-Н0\\^ ^ с(-Ь)&, (10) где а3

Р^СЧ^) » (Ж) » " Решения некоторых "задач на ячейке периодичности".

В параграфах 4-7 результаты §§ 1-3 переносятся на случай измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов , , & . В § 7, завершающем главу, доказывается теорема 2» , аналогичная теореме 2 из § 3: в случае измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов £ , /Ч , справедлива оценка (10).

В главе П проводится формальное осреднение односкоростного стационарного уравнения переноса частиц, записываемого в виде

Функции £ , 21 , ^ являются 1-периодическими по переменным , длина свободного пробега частиц X £ ^ (здесь и далее значок означает, что величины одного порядка). , 21 являются величинами порядка I, В случае /С = ■/ , ф & осреднение (II) с помощью теоретико-вероятностного подхода было проведено в [28^ . В [5] осреднение для случая, рассмотренного в £283 , проведено с помощью методики [ I ] ; получено также математически обоснованное осредненное уравнение для (II) при К - О

В § I главы П диссертации определяется класс рассматриваемых задач. Предполагается, что е ->о. &

Асимптотики решения уравнения (II) строятся при следующих величинах Ь : п. и х £4/ь

Ш. X £ - О р Ф ^ £< (множитель £ ^ у правой части выбирается из тех соображений, чтобы получающиеся главные члены асимптотических разложений решений по малому параметру £ имели неотрицательный порядок);

1У. ¿ ^ (1С =¥1), ; у. (К- 4 X/.

Случай I (при ¡С —О )9 как уже было сказано, исследован Н.С.Бахваловым в работе [5] ; там же получены осредненные уравнения в случае Ш,С (см. ниже).

Для уравнения переноса (II), записанного для случаев П-У, разбираются следующие три возможности, различающиеся соотношением величин <о1 и где Л

СО ОО и—о ь—о

A. 6; -¡Гос1(Г>0 ; л

B. во =0, -Jz.dcт>0 ;

Л Л л л л

В § 2 доказана разрешимость некоторых встречающихся в § 3 типов уравнений. Здесь и далее ^ и 2 - измеримые ограниченные сверху и снизу функции

В § 3 строятся асимптотики решения уравнения (II) в случаях П-У. Получены следующие главные члены разложений:

П, А. у7 ^ (я, . . I где является решением уравнения <бо>% ;

Ш, А. Л л

Ш'Вв Ыист) = №сг)<Ьг *№)'<); л.

Ш, с.

-Г* = >

1У, А. л

ХУ, В. f-ejî&jr l (К.*/,1,3); Л

Л. С. ^^jMsïL- ;

I <ь ~Jz^>

JL v J2. y, в. у „

7, С.

JL

-Q.

-h^dir^ -ai (ic л

Глава Ш посвящена обоснованию полученных асимптотик, причем асимптотики Ш,С, 17,В, 7,С обоснованы лишь в случае линейно-анизотропного рассеяния, т.е. при

Для уравнения (II) рассматривались две задачи: . задача с периодическими по ос условиями; jb . краевая задача с условиями на границе Т~ выпуклой области ¡1 : flr - О при . Если обозначить

II и Ц = ( JJ ^ )

SI п г4 где /7 - либо область из £ , либо область периодичности (из задачи с>С ) ,то справедливы оценки:

П, А.

Ш, А. ^сг2 (^се^ для краевой задачи); ш, в. Цу-г^И ¿се*-,

Ш, С. ||у- %\\ 4 СВ-,

1у, А.

1у, В. \\Y-mW ¿се*",

IV, с. Иу-уЛ у, а.

V, В. {¿СЕ2'^ для краевой задачи); У, С.

Ооновнне результаты диссертации опубликованы в работах [20-22] .

1. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, ДА.Н СССР, 1975, т.221, № 3, 516-519.

2. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 1975; т.225, № 2, 249-252.

3. Бердичевский В.Л;. Пространственное осреднение периодических структур. ДА.Н СССР, 1975, т. 222, № 3, 565-567.

4. Олейник О.А'. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов. УМН, т. 30, вып. 4(184), 1975, 257-258.

5. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнения переноса для периодической среды. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн.4, 1981, № I, 14-20.

6. Быховский Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы. Вестн. Л1У,й 13(1957) , 50-66.

7. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производнымис быстро осциллирующими коэффициентами;' В кн. : Проблемы мате-матич. физики и выч. математики. М.: Наука, 1977, 34-51.

8. Курант Р.' Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.

11. Бахвалов Н.С. ,' Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

12. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды МИ/Ш СССР, т. 61, I96I.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

14. Плешкевич В.Ю. Решение кинетических уравнений в периодических решетках. Ч. I. Препринт ИА.Э им. И.В.Курчатова. M., 1974.

15. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

16. Вишик М.И. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих дивергентную форму', при периодических граничных условиях. ЛАН СССР, 1961, т. 137, № 3, 502-505.

17. Ладыженская О.А., Уральцева Н.П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

18. Гермогенова Т.А. Принцип максимума для уравнения переноса. IBM и МФ , 1962, т. 2, & I, 169-174.

19. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат," 1981.

20. Мозолин C.B. Об обосновании осреднения задач линейной вязко-упругости и электродинамики. УМН, т. 38, вып. 5 (233), 1983, 143.

21. Мозолин C.B. Гомогенизация уравнения переноса для периодической среды. Препринт ОВМ АН СССР, В 50, M., 1983.