Применение метода осреднения к материалам с физически нелинейными свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИМ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 539.3

САВЕНКОВА МАРГАРИТА ИВАНОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ К МАТЕРИАЛАМ С ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 ПАП ¿013

МОСКВА 2013 г.

005058727

005058727

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Шешенин Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Димитриенко Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Лурье Сергей Альбертович доктор технических наук, профессор

Ведущая организация:

Институт механики сплошных средУрО РАН

Защита состоится 17 мая 2013 года в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 апреля 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.91, доктор физико-математических наук, профессор

С.В. Шешенин

Общая характеристика работы

Перспективное развитие моделирования в механике композитов связано с необходимостью в эффективном описании нелинейных свойств композиционных материалов на уровне структуры материала. Среди нелинейных свойств можно выделить пластические свойства, а также нелинейные свойства, вызванные повре-жденностью. Наиболее строгим, с математической точки зрения, и широко используемым подходом для анализа деформирования на уровне структуры композита является асимптотический метод осреднения, основанный на комбинировании решения локальных задач, определенных на уровне структурной неоднородности материала, с решением глобальной (осредненной) задачи для эквивалентной однородной среды. Главной целью данной работы является разработка эффективного подхода для решения нелинейных квазистатических задач и задач для макроскопически однородных непериодических сред на основе асимптотического метода осреднения.

Ввиду особенности представления искомого решения наибольшее распространение метод осреднения получил для линейных задач, описывающих периодически неоднородную среду. Представительной областью такой среды служит ячейка периодичности, а условия на ее границе определяются условиями периодичности структуры. В этом случае эффективность метода основывается на том, что локальные задачи достаточно решать только на одной ячейке.

Однако линейность физических свойств, как и периодичность структуры, является всего лишь частным случаем, далеко не всегда выполняющимся на практике. В случае нелинейной задачи средние по представительным областям свойства материала зависят от глобального решения как от параметра, что при численной реализации влечет за собой сложности практической реализации. Для случая непериодической среды к тому же возникает вопрос о формулировке условий на границе представительной области.

Поэтому актуальность исследования, проведенного в данной работе, обу-

словлена потребностью в развитии и эффективном применении асимптотического метода осреднения для нахождения напряженно-деформированного состояния композитов с непериодической структурой и физической нелинейностью материальных свойств.

Цели работы

1. Развитие варианта асимптотического метода осреднения, удобного для численной реализации на случай композиционных материалов с физически нелинейными свойствами, в том числе для случая поперечного упругопластического изгиба композиционных пластин, периодических в плане.

2. Создание численной реализации предложенной методики осреднения с использованием технологии параллельного программирования MPI.

3. Представление варианта метода осреднения для неоднородных сред с непериодической структурой.

4. Исследование эффективности разработанной численной реализации метода осреднения на примере ее применения для исследования упругих эффективных модулей сплава и решения краевой задачи упругопластического изгиба неоднородных по толщине пластин.

Научная новизна

1. Обоснован новый вариант асимптотического метода осреднения для решения нелинейных задач и эффективный численный алгоритм его реализации. Предложенный вариант асимптотического метода осреднения развит на случай пластин из композиционных материалов, периодических в плане и обладающих физически нелинейными свойствами.

2. Разработана эффективная численная реализация предложенной методики осреднения с использованием технологии параллельного программирования MPI.

3. Предложен вариант асимптотического метода осреднения на случай неоднородных непериодических структур на основе метода перехлеста областей.

4

Достоверность полученных результатов

Все результаты представленной диссертационной работы получены с использованием строго обоснованных математических и численных методов, а также методов механики твердого деформируемого тела. Достоверность результатов определяется кроме того физической и математической корректностью постановок задач, а также математической строгостью асимптотического метода осреднения. Достоверность полученных результатов обосновывается, в том числе сравнением с результатами других вычислительных программ.

Теоретическая и практическая значимость работы

Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Разработанные методы имеют важное прикладное значение для отраслей науки и техники, использующих композиционные материалы, так как позволяют быстро и точно определять их напряженно-деформированное состояние.

Созданные автором алгоритм и программная реализация метода осреднения могут самостоятельно применяться для расчета свойств пластин из композиционных материалов, в частности, обладающих свойством пластичности или наличием поврежденности. Алгоритм и его программная реализация могут служить моделью для разработки аналогичных параллельных программных реализаций методики осреднения, представленной в диссертации, для ряда других задач.

Апробация результатов Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях:

• Вторая международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», МГСУ, г. Москва, 2009 г.

• Научная конференция «Ломоносовские чтения» МГУ им. М.В. Ломоносова, секция механики, г. Москва, 2009-2012 гг.

• Семинар Технического Университета Берлина TU Berlin «Mechanik-Seminar» под

5

руководством проф. Müller W.H., 16 июня 2010 г.

• Научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством доктора физ.-мат. наук, проф. Победри Б.Е.

• Научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН, доктора физ.-мат. наук, проф. Ломакина Е.В.

• Научно-исследовательский семинар им. A.A. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством доктора физ.-мат. наук, проф. Кийко И.А.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Первая глава включает 3 параграфа, вторая глава - 4 параграфа и третья глава - 4 параграфа. Общий объем работы составляет 131 страницу, включает 63 рисунка, 10 таблиц, 234 библиографические ссылки в списке использованной литературы.

Содержание работы Введение

Введение работы посвящено описанию предметной области диссертации, обзору развития и применения асимптотического метода осреднения для описания свойств композиционных материалов. Также во введении сформулированы основная цель диссертации и ее актуальность. Дополнительные ссылки на другие работы в этой области даны в главах по ходу изложения материала.

1. Эффективные свойства сплавов

Глава 1 посвящена изучению упругих эффективных свойств сплавов, использующихся в процессе монтажа печатных плат.

1.1. Процесс диффузии в двухфазных сплавах

Параграф является вводным и описывает процессы, происходящие в двухфазном

сплаве после его затвердевания и приводящие к изменению его структуры. Для их исследования профессором Müller W.H. и его коллегами из Технического университета Берлина TU Berlin была разработана численная модель, основанная на уравнении диффузии. На рисунках ниже представлены примеры смоделированных процессов изменения структуры сплава: Рис. 1.1(a) и Рис. 1.1(6) - для оловянно свинцового, Рис. 1.1(b)-для сплава меди и серебра.

(б)

(в)

Рис. 1.1 Модельный процесс изменения микроструктуры в сплавах

Указанные рисунки иллюстрируют представительные области сплава, характерный размер которых составляет 1.5 микрона, а размер всего образца - 0.5 см (1 микрон составляет 0.0001 см).

1.2. Зависимость эффективных модулей сплава от изменения микроструктуры

В данном параграфе описывается схема нахождения упругих эффективных модулей сплава, основанная на методе осреднения (в нулевом приближении) и лежащая в основе авторской вычислительной программы.

Для получения эффективных модулей в представительной области сплава Уку решалась стандартная задача

(Ст(х)ик„)ч = 0,

(1)

где дУКУ - граница представительной области Уну, - компоненты симметрично-

го тензора-константы, причем (s)„ = s°. Задача (1) может быть сформулирована в любой другой области материала, превышающей VRr.

Тогда эффективные модули сплава Cejr находятся из

(2)

Полученные численные результаты для оловянно свинцового сплава (Рис. 1.1(а)) сравнивались с результатами аналитических формул модели слоистого композита, исходя из очевидной схожести их структур. Исследование показало слабую зависимость эффективных модулей от процесса изменения структуры сплава, а также близость численных и аналитических результатов. В работе приведены многочисленные графики, подтверждающие приведенные выводы.

1.3. Зависимость эффективных модулей от типа микроструктуры

Для дальнейшего исследования эффективных модулей в зависимости от структуры автором была написана программа моделирования представительной области двухфазного композита с различными типами структуры: регулярной и нерегулярной (Рис. 1.2(1)). Здесь под регулярными понимаются такие структуры, где центры включений (непересекающихся кругов белого цвета) расположены в узлах квадратной (Рис. 1.2(1а)) и треугольной сеток (Рис. 1.2(16)). Под нерегулярными -структуры, где центры включений случайным образом отклонялись от узлов квадратной сетки (Рис. 1.2(1в)). В качестве компонентов композита рассматривались линейно упругие материалы, свойства которых отличались в 10 раз.

Идея моделирования процесса изменения структуры была такова, что одному и тому же значению концентрации материала включений соответствовали различные типы сеток и размеры включений. Например, в каждом столбце на Рис. 1.2(1) концентрация и размер включений одинаков, но структура материала различна, а 8 каждой строке - структура одинакова, но отличны концентрация и размер включений. Для каждого полученного таким образом набора образцов композита определялись эффективные модули.

В результате проведенного исследования, получено, что эффективные модули материала слабо зависят от рассматриваемых изменений структуры, но сильно зависят от изменения концентрации материала включений. Типичный график такой зависимости представлен на Рис. 1.2(2).

* Тр

® П5

схЮ2 (%)

Рис. 1.2 (1) Структура модельных материалов; (2) Зависимость эффективных жест-костей композита от концентрации материала включения

В том числе было произведено сравнение полученных численных результатов с результатами аналитических формул, в качестве которых рассматривались формулы для волокнистых композитов. В результате получена их близость (около 5%) при концентрации материала включений не превышающей 20%.

Также произведено исследование, целью которого являлось изучение зависимости размера представительной области материала от его структуры. Получено, что область материала сохраняет свои представительные свойства в случае нерегулярной структуры при почти любом количестве включений. Для квадратной сетки это количество равно 4, а для треугольной - точного вывода сделать нельзя, но, зачастую, количество включений должно быть не меньше 4. В работе представлены графики, иллюстрирующие полученные результаты.

2. Вариант асимптотического метода осреднения для нелинейных задач

Глава 2 посвящена изложению варианта асимптотического метода осреднения для случая сред с физически нелинейными свойствами.

2.1. Постановка задачи

Рассматривался материал с определяющими соотношениями вида

где точка обозначает дифференцирование по параметру нагружения. Тогда смешанная краевая нелинейная задача в области материала V с границей

дУ = дУ1 и дУ2 имеет вид

(сик, (е)щ„ ),,+/;= о,

Подобная постановка возможна для теории течения, к ней также можно свести соотношения деформационной теории пластичности

? = (5)

дифференцированием их по времени

дсг,.

о,

_ ""У // —

(6)

, - дсг,, (е)

оьа

С помощью процедуры дискретизации по параметру нагружения задачу (4) можно свести к линейной относительно скоростей на каждом шаге нагружения. В этом случае для ее решения применим асимптотически метод осреднения.

2.2. Линеаризация и дискретизация по параметру нагружения

Для решения нелинейной задачи (4) использовался метод дискретизации по параметру нагружения, для чего перемещения й на шаге п определялись как

й« (*) = «(*, О' (7)

тогда из (3)

С,М=С,;Н(£„(ЙМ)). (8)

Дискретизация процесса деформирования является фактически основным применяемым подходом при решении нелинейных задач в настоящее время.

В качестве примера в данной работе рассматривалась деформационная теория пластичности, определяющие соотношения которой имеют тип (5), но могут быть сведены к виду (6).

В этом случае для процесса активного нагружения на каждом шаге и верны соотношения

U^Hn^ïîL M

M» и

О)

a для разгрузки

Cm = ЧА: + G {Sa5j, + S,Sjk ) = const, (10)

где

A« = G(l - ЗЛМ = К - 2//"\ є? = ,

>)_>)_ ІдW дМ_-(») ij ~ и з — " '

G-касательный модуль материала, К - модуль упругого расширения-сжатия, а>-

функция малых упругопластических деформаций.

В результате после дискретизации по параметру нагружения на каждом шаге в

области V, занимаемой материалом, имеем линейную относительно приращений

вектора перемещений Дм задачу типа {дискретизация по явному методу Эйлера)

I , (11)

lac, J ' ' 1 Іщ

или (дискретизация по неявному методу Эйлера)

Л«Г Ц = Ди,0("+1), (12)

где А означает приращение соответствующей величины.

Структура задач (11) или (12) такова, что на каждом шаге п может применяться метод осреднения, развитый для случая квазипериодических структур.

2.3. Развитие метода осреднения для квазипериодических структур

Краевая задача (4), решаемая, например, явным методом Эйлера (11), фактически сформулирована на ячейке периодичности У^ для фиктивной среды с определяющими соотношениями вида

(13)

где известные функции быстрых и медленных координат. Поэтому она

может быть переписана в виде

, , (14)

диГЦ

что влечет за собой возможность применения асимптотического метода осреднения для ее решения.

Согласно методу осреднения решение (14) представляется в виде

д„Г > (*, I)=дГ>(*)+(г, I) ДуМ(х), (15)

1

где -функции, описывающие локальные флуктуации на уровне структуры

*?0 — Чт

материала и подчиняющиеся условиям периодичности на границе области

(16)

Главным отличием (14) и (15) от линейной задачи является зависимость функций С^] и от глобальных координат как от параметра. Средние свойства компо-

зита при этом, очевидно, также зависят от х.

Подстановкой (15) в (14) получены локальные задачи для нахождения Л^™^' на ячейке периодичности для любого приближения метода т

р(т+г)(л) , р(м+1)(л) _1-0»+1)(») М7\

где приняты обозначения

«(*) = (« )„,(*).

Граничными условиями в (17) являются условия периодичности (16). Локальные задачи также зависят от х как от параметра, поэтому рассчитываются независимо друг от друга, что открывает возможность создания параллельного алгоритма их решения.

Получены глобальные уравнения равновесия для всех приближений метода НЛ V (*)=5У Ю! (*)'(*))>, +

(18)

+2У («. (х))ч (*) = 0.

т= 1

В представленном виде метод осреднения позволяет удовлетворить глобальным граничным условиям только в нулевом приближении (как и 8 стандартном варианте)

АуГ'ООЦ =дк,0(я+,)(*)>

(19)

В итоге, предлагаемая в работе методика осреднения для решения нелинейных задач, описывающих композиты с физически нелинейными свойствами, состоит в использовании линеаризации и дискретизации исходной задачи по параметру нагружения и применении к полученной задаче описанной процедуры асимптотического осреднения.

2.4. Вариант метода осреднения для макроскопически однородных непериодических структур

В работе предлагается также вариант метода осреднения в случае макроскопически однородного материала с непериодической структурой, удобный для численной реализации. Этот подход рассматривается в связи с проблемой постановки граничных условий для представительной области. В случае периодической структуры граничными условиями являются условия периодичности (16), для непериодической структуры они не имеют места.

Метод базируется на методе перехлеста областей и заключается в расширении представительной области У^ с границей дУ^ до области К' с границей дУ^ (Рис.

2.1). При этом необходимая разница в размерах между ЗУи дУ; зависит от структуры и должна определяться в расчетах. Для типа материала, рассмотренного на Рис. 2.1 она составляет несколько включений.

В этой области проводится осреднение

ек;

(а) ' (б)

перехлест

(В)

Рис. 2.1 (а) Представительная область материала, (б) ее расширенная область и (в) перехлест областей

Рассматривается только нулевое приближение метода осреднения

ДиГЧ*, #) = ДгГЧЮ + гЛСЧ*, (*).

На «удаленной» границе дУ; полагается, что

(20)

при этом отбрасывается член порядка е, что эквивалентно условию

Разница в граничных условиях порядка е, она убывает вглубь области и на расстояниях порядка нескольких е исчезает. При этом локальные задачи решаются в расширенной области V-, но осреднение проводится без учета областей перехлеста в области .

Безусловно, такой подход увеличивает количество вычислений. Однако, использование современных вычислительных мощностей позволяет значительно ускорить процесс решения задач при реализации параллельного решения локальных задач.

3. Упруго пластический изгиб пластин из композиционных материалов

Далее предложенная методика осреднения нелинейных задач развивается на случай упругопластического изгиба пластин, периодических в плане. Примерами таких пластин могут быть слоистые или гофрированные пластины.

3.1. Уравнения теории пластин

Рассмотрим пластину из композиционных материалов, обладающих свойством пластичности. Пусть на ее верхнюю поверхность действует сила Р(х). Пластина может быть закреплена, например, жестко или шарнирно.

Полагается, что процесс линеаризации задачи и ее дискретизации по параметру нагружения, описанный в §2 предыдущей главы, проведен вплоть до шага п. Тогда на шаге п +1 имеем уравнения равновесия для усилий и моментов в пластине в приращениях

А7Г\Л*) = 0.

где ДГу+1' и - приращения усилий и моментов в пластине, а др(,+|> - при-

ращение силы, действующей на верхнюю плоскость пластины. Усилия и моменты

получаются осреднением напряжений по ячейке периодичности. Для слоистой

15

пластины - это вертикальный отрезок, и определения усилий и моментов совпадают с классическими.

3.2. Осреднение уравнений теории пластин, периодических в плане

Изложенный в предыдущей главе подход для решения нелинейных задач, основанный на асимптотическом методе осреднения, позволяет получить для задачи упругопластического изгиба пластины эффективные определяющие соотношения и глобальные уравнения равновесия (22) нулевого приближения. В работе показано, что в последующих приближениях метода осреднения быстрые и медленные координаты не разделяются в граничных условиях на верхней и нижней поверхностях пластины. В этом проявляется главное отличие от случая бесконечной среды.

В результате получены эффективные определяющие соотношения для пластины, которые имеют вид

(г)=(*) - <г (я),

ДМ(*) = (х)- О™(х)А^\г& (х),

и глобальные уравнения равновесия (при использовании явного метода Эйлера), вид которых

(ф-КГ Оф=о,

(24)

«1(П) (*)(*)),„(х)А^\Р& (х)),ц = др(-)(х), здесь /^"^"'-эффективные жесткости пластины на растяжение, ^^-эффективные жесткости пластины на изгиб, а и - эффективные жесткости взаимного влияния. В отличие от случая линейной задачи они зависят от глобальных координат как от параметра. В работе также получены разрешающие уравнения для неявного метода Эйлера и представлен алгоритм их решения.

3.3. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба многослойной пластины

В качестве иллюстрации применения изложенной методики осреднения для

пластин рассмотрим задачу об упругопластическом цилиндрическом изгибе многослойной симметричной пластины под воздействием поперечной нагрузки Р(х). Полагается, что до некоторого момента пластина подвергается активному нагруже-нию, за которым следует разгрузка.

Здесь, как и везде, полагается также, что сцепление слоев идеально. Пусть пластина описывается в декартовой системе координат, начало которой находится в ее срединной плоскости (Рис. 3.1). Пусть безразмерная высота пластины А = 1, а ее длина - /. В силу принятых условий напряженно-деформированное состояние пластины описывается двумя координатами где х - координата по горизонтальной оси, а £-по вертикальной. Пусть также пластина шарнирно закреплена, а на ее верхнюю плоскость действует сила Р(х).

Рис. 3.1 схематичное изображение пластины бесконечной длины В работе вычисления проведены для двух случаев: для трехслойной пластины длины / = 10, и для пятислойной пластины длины / = 50 (Рис. 3.2). Таким образом, в случае трехслойной пластины имеем для малого параметра е = ^ = 0Л, а для

пятислойной - е = Ь/ = 0.02.

(а) (б)

Рис. 3.2 (а) трехслойная пластина и (б) - пятислойная Полагается, что слои пластины состоят из абсолютно упругого материала (например, керамики) и пластического (например, металла). При этом, металл полагается

17

линейно упрочняющимся материалом. В случае трехслойной пластины слой керамики является центральным и его высота 0.2 (Рис. 3.2(a)). В случае пятислойной пластины материалы в слоях чередуются, как указано на Рис. 3.2(6). Высота каждого слоя при этом равна 0.2.

Пусть трехслойная пластина изгибается под воздействием силы, равномерно распределенной по ее верхней поверхности, а пятислойная - под воздействием нагрузки, равномерно распределенной на центральном отрезке х = [10,15].

Осредненные определяющие соотношения в приращениях и уравнения равновесия на шаге нагружения п имеют вид

= (25)

(и«, (дг) Д^0,,, (х)),п = (х), (26)

При этом глобальные граничные и начальные условия записываются в виде

AW("+1)(0)| = Ли>М)(10)| =0,

^«Ц.оГ0- (28)

Для краткости мы не приводим здесь похожие соотношения, возникающие при использовании неявного метода Эйлера.

Для поставленной задачи был разработан параллельный алгоритм решения, использующий идею перехлеста областей. Для его численной реализации использовался программный стандарт параллельного обмена данными MPI. Полученная программа запускалась на кластере СКИФ МГУ «Чебышев», суперкомпьютерного комплекса Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

В данной работе эффективность алгоритма измерялась соотношением

(29)

где Tt -время, затрачиваемое для исполнения последовательной программы на

18

одном процессоре, Тг - время исполнения программы на Р процессорах. В идеальном случае, при отсутствии накладных расходов на организацию параллелизма, эффективность алгоритма должна составлять БР=Р. В качестве Р рассматривалось до 64 процессоров кластера. На Рис. 3.3 представлены графики, соответствующие результатам явного и неявного методов Эйлера. При практически полном совпадении численных результатов, неявный метод проявляет большую эффективность распараллеливания, нежели явный.

(а) (б)

Рис. 33 Ускорение работы явного (а) и неявного (б) методов Эйлера Таким образом, тесты показали хорошую эффективность распараллеливания развиваемого метода решения задач (Рис. 3.3).

На Рис. 3.4 приведены некоторые примеры полученных зависимостей продольного напряжения в процессе разгрузки пластины (горизонтальная ось) от вертикальной координаты в разных сечениях. Графики 1, 2, 3 соответствуют продольному напряжению в трехслойной пластине, а 4, 5, 6 - в пятислойной. Графики 1, 4 соответствуют сечению, близкому к точке закрепления пластины, а графики 3, б - ее центральному сечению. Сечение, соответствующее графикам 2,5, находится между двумя обозначенными.

Полученные результаты, обозначенные на графиках как AHM (Asymptotic Но-mogenization Method), сравнивались с результатами двумерного конечно-элементного анализа, обозначенными на графиках как FEM (Finite Element Method). Точки соответствующие результатам FEM обозначены треугольниками.

11 * лнм

»тем

1

11 * лнм

г-ш

/

V 1

1 - 1 30 1

1

1 ....................................................

о-,

11 »АНМ

КЕМ

Ч

Рис. 3.4 Графики продольного напряжения в пластинах: 1,2,3 - в трехслойной пластине, а 4, 5,6 - в пятислойной

Из графиков видно, что расхождение значений напряжений в трехслойной пластине в сечении, близком к закреплению, довольно велико. Такое различие возникает ввиду краевого эффекта. При удалении от границы пластины влияние краевого эффекта исчезает. В центральном сечении пластины напряжения практически совпадают. В случае пятислойной пластины при малом соотношении сторон

£ = 0.02 «с 1 совпадение напряжений существенно лучше. Таким образом, расхождение в результатах уменьшается вместе со значением е = у 1.

0 .10 ?0 .30 А() 50

* АНМ - РЕМ

1 2 Рис. 3.5 График прогиба для 1 — трехслойной пластины, 2 - пятислойной

Материал слоя-----

высота каждого слоя 0.2

Рис. 3.6 Развитие зон пластичности в слоях пластины

На Рис. 3.6 представлено последовательное развитие зон пластичности (черный цвет) в слоях металла пластины (слои пластины обозначены контуром). Это рисунки строятся программой параллельно с вычислительным процессом и полностью соответствуют состоянию пластических зон на выбранных шагах нагружения.

В итоге, можно сделать вывод, что разработанный алгоритм решения нелинейных задач с помощью асимптотического метода осреднения в случае многослойных пластин дает достоверные результаты для тонких пластин. С увеличением значения малого параметра £ = ^ точность ухудшается, а влияние краевого эффекта усиливается.

Эффективность разработанного алгоритма не зависит от количества слоев в пла-

стине. В дальнейшем он может быть использован в качестве основы для разработки алгоритмов решения более сложных задач, например, задач об изгибе гофрированных пластин. В данной работе он распространен также на случай пластин из функционально градиентного материала.

3.4. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба пластины из функционально градиентного материала

В текущем параграфе дается описание свойств функционально градиентных материалов (ФГМ) и проводится обзор используемых методов для получения их эффективных свойств.

ФГМ - это металлокерамический композит, структура которого представляет взаимное проникновение одного материала в другой. Пример такой структуры изображен на Рис. 3.7(а).

(а) (б)

Рис. 3.7 Функционально градиентный материал (а) и его модель (б) Представленная на Рис. 3.7(а) структура создана с помощью программы моделирования, разработанной автором, и учитывающей особенности строения материала. Черным цветом здесь обозначены зоны металла, белым- керамики.

Главным преимуществом ФГМ, в первую очередь перед слоистыми композитами, является непрерывное изменение свойств вдоль направления градиента по оси £ Рис. 3.7(а). Этот градиент в большинстве случаев создается непрерывным изменением концентрации волокон или включений в матрице. Изменение концентрации при этом описывается соотношением

40' (зо)

где «-материальный параметр. Такая структура позволяет избежать разрывов напряжений, свойственных слоистым структурам, при переходе от одного компонента композита к другому. Однако она требует и особого подхода к определению эффективных свойств.

В большинстве современных работ методы, использующиеся для этого, базируются на правиле смесей, которое неточно при сравнительно одинаковых концентрациях компонентов композита. Обойти эту проблему позволяет описанный в главе способ вычисления эффективных свойств, позволяющий непосредственно решать локальные задачи в представительной области.

Рассмотрим шарнирно закрепленную металлокерамическую пластину с градиентной структурой (Рис. 3.8). Предположим, что пластина цилиндрически изгибается под воздействием равномерно распределенной по ее верхней поверхности силы Р . Предположим также, что длина пластины / =10, а ее высота к = 1, тогда е =0.1.

Рис. 3.8 Пластина из функционально градиентного материала

В качестве модели, описывающей структуру пластины, выбрана общепринятая модель слоистого композита (Рис. 3.7(6)). Идея такой модели заключается в рассмотрении очень большого количества тонких слоев, расположенных перпендикулярно направлению градиента £ и обладающих свойствами, изменяющимися в соответствии с ним. Такой подход позволяет довольно точно дискретизировать градиент свойств, избежав детального рассмотрения сложной микроструктуры материала. При численной реализации такой модели высота каждого слоя может рав-

няться нескольким диаметрам включений. Однако, очевидно, количество слоев при этом может достигать нескольких тысяч.

В данной работе количество слоев полагалось равным 1000. На Рис. 3.9 представлены некоторые полученные результаты для продольного напряжения в центральном сечении пластины. Они соответствуют разным значениям материального параметра «, отвечающего за гладкость изменения свойств вдоль градиента.

Рис. 3.9 Изменение микронапражений при (а) п = 0.5 и (б) п = 5 В отличие от многих работ, использующих правило смесей или экспоненциальную зависимость материальных свойств от координаты вдоль градиента, здесь эффективные модули каждого слоя получены с помощью вычислительной программы, определяющей эффективные свойства двухфазных материалов. Результат этой программы не зависит от соотношения концентраций компонентов композита. Такой подход применялся в главе 1.

В результате показано, что разработанная методика осреднения применима и к функционально-градиентным материалам.

Основные результаты и выводы В заключении сформулированы основные результаты представленной диссертационной работы:

1. Предложен новый вариант асимптотического метода осреднения для нелинейных задач и эффективный параллельный алгоритм его реализации. Предложенный вариант асимптотического метода осреднения развит для случая пери-

одических в плане пластин из физически нелинейных композиционных материалов и проиллюстрирован на примере упругопластического изгиба многослойных пластин и пластин из функционально градиентных материалов.

2. На примере численной реализации предложенного метода показана его хорошая степень параллелизма.

3. Предложенный вариант асимптотического метода осреднения обобщен на случай макроскопически неоднородных непериодических материалов. Обобщение основано на методе перехлеста областей.

4. При содействии профессора Технического Университета Берлина Müller W.H. и его коллег проведено практическое исследование упругих модулей сплавов. В результате проведенной работы сделан вывод о слабой зависимости свойств сплавов от диффузии их компонентов.

5. Для модельных материалов исследована зависимость размера их представительной области от структуры.

Результаты работы частично были использованы при выполнении работ по ГК № 07.524.11.4019 Министерства образовании и науки РФ.

Публикации по теме диссертации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ [1], [2], [3], 3 тезисов докладов на научных конференциях [4], [5], [6], 1 публикация в сборнике научных трудов международной конференции [7], 1 публикация в сборнике материалов международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел [8], 1 публикация в зарубежном издании [9].

1. Шешенин C.B., Савенкова M.И. Вычисление эффективных модулей сплавов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2011. — №1. — С. 68-70.

2. Савенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М. Применение метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ. — 2012. - №9. - С. 156-164.

3. Шешенин C.B., Савенкова М.И. Осреднение нелинейных задач в механике композитов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2012. - №5. - С. 58-61.

4. Савенкова М.И., Шешенин C.B. Эффективные модули сплавов // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. — Москва : Издательство Московского университета, 2009. — С. 137.

5. Савенкова М.И., Шешенин C.B. Вычисление эффективных модулей сплавов // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. — Москва : Издательство Московского университета, 2010. — С. 156.

6. Савенкова М.И., Шешенин C.B. Параллельная реализация метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. — Москва : Издательство Московского университета, 2012. — С. 143.

7. Шешенин C.B., Савенкова М.И., Boehme Т. Вычисление эффективных модулей сплавов И Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Сборник трудов международной научно-практической конференции. — Москва : МГСУ, 2009. — С. 372-379.

8. Шешенин C.B., Савенкова М.И. Об осреднении композитов при наличии нелинейности // Упругость и неупругость: дополнительные материалы Международного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. — Москва : Издательство Московского университета, 2012. — С. 260-269.

9. Brandmair A., Müller W., Savenkova M., Sheshenin S. A multi-scale homogenlzation technique applied to the elastic properties of solders // Technische Mechanik. — 2011. — Vol. 31, №2. — P. 156-170.

Подписано в печать: 15.04.2013 Объем 1,0 п.л Тираж 100 экз. Заказ № 67 Отпечатано в типографии «Реглет» 119606, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

04201355931 УДК 539.3

САВЕНКОВА МАРГАРИТА ИВАНОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ К МАТЕРИАЛАМ С ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Шешенин C.B.

МОСКВА 2013 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................3

1. ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАВОВ..................................................................................11

1.1. Процесс диффузии в двухфазных сплавах...............................................................................................11

1.2. Зависимость эффективных модулей сплава от изменения микроструктуры........................................15

1.3. Зависимость эффективных модулей от типа микроструктуры..............................................................25

2. ВАРИАНТ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ.....36

2.1. Постановка задачи...................................................................................................................................36

2.2. Линеаризация и дискретизация по параметру нагружения....................................................................39

2.3. Развитие метода осреднения для квазипериодических структур...........................................................46

2.4. Вариант метода осреднения для макроскопически однородных непериодических структур..............54

3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ........57

3.1. Уравнения теории пластин.......................................................................................................................57

3.2. Осреднение уравнений теории пластин, периодических в плане...........................................................60

3.3. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба многослойной пластины..........................................................................................................................................................70

3.4. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба пластины из функционально градиентного материала...................................................................................................103

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................................................................118

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................................................119

Введение

На сегодняшний день композиционные материалы используются повсеместно во всех областях человеческой деятельности: в машиностроении, строительстве, авиа- и космической технике, электронике, медицине, бытовой технике, производстве одежды и обуви, спорте, искусстве и многих других. Композитами могут быть и товары широкого потребления, например, лодки из стеклопластика и весла, автомобильные покрышки, лыжное оборудование, хоккейные клюшки, коньки и пр. Композиты используются в авиации и космонавтике для создания силовых конструкций летательных аппаратов, искусственных спутников, космических зондов, теплоизолирующих покрытий шаттлов, а также в военной технике при производстве бронежилетов. Особое место занимают декоративные композиционные материалы, служащие решением архитектурных и дизайнерских задач, например, искусственный мрамор, активно использующийся при производстве сантехнических изделий, облицовочных плит для отделки офисных и административных помещений и т.д. Композиционные материалы на основе полимеров и всевозможные пластмассы все чаще в повседневной жизни заменяют металл. Низкая теплопроводность, высокая коррозионная и химическая стойкость, хорошие электроизоляционные свойства позволяют композитам занимать прочное положение в ряду разнообразных конструкционных материалов.

Однако экспериментальное определение всех, в особенности нелинейных, свойств композитов с различными схемами армирования требует достаточно сложных экспериментов. Поэтому наряду с экспериментальными исследованиями важны также вычислительные методы нахождения средних (эффективных) нелинейных свойств композиционных материалов. Также существует потребность развития нелинейных математических моделей и методов, которые позволили бы определять не только общие (глобальные или осредненные) характеристики таких материалов, но и локально (на уровне компонентов) описывать происходящие в них процессы деформирования. В данной работе описание с помощью осредненных характери-

стик будем называть описанием на макроуровне, а локальное описание на уровне компонентов композита - описанием на мезо уровне1.

Моделирование локальных свойств деформирования ведет к возникновению дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных конструкционных компонентов материала. Решение таких уравнений приводит к настолько большому объему вычислений, что их проведение на обычных компьютерах вызывает затруднение. В связи с этим существует проблема разработки эффективного метода решения таких уравнений на параллельных компьютерах (кластерах). Эта задача на сегодняшний день является актуальной в механике твердого тела.

Наиболее строгим, с математической точки зрения, подходом для этого является асимптотический метод осреднения или метод двух (многих) масштабов, представленный прежде всего работами Бахвалова Н.С. [1], а в механике деформируемого твердого тела - работами Победри Б.Е. [2], [3], [4]. Среди иностранных авторов следует отметить Sanchez-Palencia Е. [5], который одним из первых в Европе наряду с теоретическими основами рассмотрел метод осреднения применительно к решению проблем теории упругости и гидродинамики в перфорированных средах, а также Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., которые в 1978 году опубликовали книгу [6], посвященную основам асимптотического метода осреднения.

В дальнейшем этот метод развивался очень многими авторами, как отечественными, так и зарубежными. Отметим здесь работы, непосредственно связанные с механико-математическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Это работы Эглит М.Э. [7], [8], посвященные осреднению уравнений теории пластического течения, или [9], [10], где получены осредненные свойства различных сред, Панасен-ко Г.П. [11], [12], где на основе метода осреднения были рассмотрены математические модели задач теории упругости, теплопередачи, переноса энергии излучением и распространения волн в микронеоднородных материалах, диффузии и фильтра-

1 Полагается, что микро уровень описания свойств материала соответствует описанию на уровне атомов и молекул

4

ции в пористых средах, а также Горбачева В.И. [13], где метод применяется для построения функционалов концентраций напряжений, и [14], [15], [16], где метод развит для непериодических структур. Также это работы Молькова В.А. (см., например, [17]), где метод эффективно применяется для однонаправленных волокнистых композитов; Шешенина C.B. [18], [19], в которых метод развивается для осреднения пластин, и [20], где вычислены эффективные модули упругости композита в виде шахматной доски. Кроме того, Каралюнасом Р.И. [21] исследованы нелинейные свойства упругопластического поведения композитов.

Развитием метода осреднения в совместном применении с вариационными принципами механики жидкости и газа, а также твердого деформируемого тела с периодической и случайно микронеоднородной структурой занимался Бердичев-ский В .Л. [22], [23].

Также близкие к осреднению процессов в композитах вопросы асимптотического исследования уравнений в областях с мелкозернистой границы изучались Марченко В.А. и Хрусловым Е.Я. в [24].

Еще до развития метода осреднения метод многомасштабных разложений применялся для решения нелинейных задач колебаний в прикладной математике или механике и не был широко распространен. В качестве примера можно привести метод усреднения в теории нелинейных колебаний Крылова-Боголюбова, предложенный в 1943 году [25], и развитый в монографии Боголюбова H.H. и Митропольско-го Ю.А. [26] 1963 года.

В целом, асимптотический метод осреднения активно развивался благодаря большому количеству работ со всего мира. Для изучения поведения упругих пластин он применялся Резцовым М.В. [27], [28], [29], LewinskiT. [30] и LewihskiT. совместно с Telega J.J. [31], Димитриенко Ю.И. [32], а также Болотиным В.В. для многослойных конструкций [33]. С его помощью решением разнообразных задач теории упругости занимались Григорян С.С. [34], Маневич Л.И., Павленко A.B. [35], [36], [37], Каламка-ровА.Л., Кудрявцев Б.А., Партон В.З. [38], Образцов И.Ф. [39], Большаков В.И., Ан-

дрианов И.В., Данишевский В.В. [40], а так же Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Таш-кинов A.A. [41] для сред со случайной структурой (метод статистического осреднения). Некоторым современным приложениям метода осреднения посвящены работы Kalamkarov A.L. [42] совместно с Meguid S.A. [43] и Kolpakov A.G. [44], [45], где, как и в [46] авторами Димитриенко Ю.И., Морозовым А.Н., Соколовым А.П. и Ничегов-ским Е.С., рассмотрено моделирование пьезоэлектроупругих композитов, а также Guinovart-Díaz R., Rodríguez-Ramos R., Sabina F.J., Bravo-Castillero J. [47], Manevitch L.I., Andrianov I.V., Oshmyan V.G. [48], Miehe C., Schröder J., Bayreuther C. [49], Andrianov I.V., Bolshakov V.l., Danishevs'kyy V.V., Weichert D. [50], где с помощью метода осреднения изучается распространение волн в периодических композитах, [51] - поведение материалов с включениями квадратной формы, [52], [53] - свойства трехфазных композитов, [54] - рассматривается неидеальный контакт компонентов композита, Вои-tin С. [55], [56]; Шешенина С.В. и Демидовича П.Н. [57], Шешенина С.В. и ХодосО.А. [58], где вычислены эффективные свойства гофрированных пластин, а также Муравлевой Л.В. [59], [60] совместно с Шешениным С.В. [61], где с помощью метода осреднения изучаются эффективные свойства физически нелинейных материалов.

Разработкой автоматизированной системы вычисления эффективных модулей композитов с различной структурой на основе асимптотического метода осреднения занимается Димитриенко Ю.И. совместно с Кашкаровым А.И. и Макашовым A.A. [62], а также Соколовым А.П. [63], [64], [65], кроме того авторами Димитриенко Ю.И., Дубровина А.Ю. и Соколов А.П. в [66] предложен метод расчета усталостных характеристик композитов, основанный на методе осреднения и методе конечных элементов.

Приведенное короткое обозрение истории развития метода осреднения не претендует на полноту. Основные концепции этого подхода подробно изложены в [67], [38], [68], [69].

Однако в большинстве работ метод осреднения используется только для определения эффективных свойств материалов. Исследование распределения напряжений

и деформаций в компонентах их структуры проводится крайне редко. Для случая упругих композитов с периодической структурой асимптотические решения более высокого порядка рассматривались в [2], [13], причем в последней работе рассмотрен также вариант упругопластической среды. А также в работах Gambin В., Kröner Е. [70], Boutin С. [71], Шамровского А.Д. [72], Маневича Л.И. и Павленко A.B. [36] совместно с Кобликом С.Г. [35]. В последних трех работах показано, что в случае изотропного материала ошибка нулевого приближения метода осреднения мала. Ше-шенинымС.В. в [18] и Димитриенко Ю.И. в [32] метод применялся для линейно упругих слоистых пластин.

Математическому обоснованию метода осреднения, его сходимости и точности посвящены работы Бахвалова Н.С. и Панасенко Г.П. [11], [12], где в последней статье также рассматривается метод осреднения с двумя малыми параметрами, Kamotski V., Matthies К., Smyshlyaev V.P. [73], Митропольского Ю.А. и Мосеенкого Б.И. [74], Zhikov V.V., KozlovS.M., OleTnik O.A. [75], а также Smyshlyaev V.Р. и Cherednichenko K.D. [76], [77]. В них приближения высших порядков найдены в терминах осреднения эллиптических операторов типа дивергенции второго порядка с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. В [29] также получена оценка точности для композитных пластин, армированных волокнами.

Таким образом, асимптотический метод осреднения является строгим и широко используемым эффективным математическим подходом для описания задач деформирования конструкций из композиционных материалов, он дает асимптотически правильное представление их решения. Сложность этого метода оправдывается возможностью получения более точного приближения искомого решения по сравнению с теорией, использующей только эффективные свойства (теория эффективного модуля [2]) [38].

Идея асимптотического метода осреднения основывается на комбинировании решения локальных задач, определенных на уровне структурной неоднородности материала (мезо уровень), с решением глобальной (осредненной) задачи (макро

уровень) для эквивалентной однородной среды, что делает возможным его применение в случае сложных форм мезо структуры.

Наибольшее распространение он получил для линейных задач, описывающих периодически неоднородную среду [11], [б], [5]. Представительной областью2 такой среды служит ячейка периодичности. Условия на ее границе в локальных задачах определяются условиями периодичности структуры. В этом случае эффективность метода основывается на том, что локальные задачи достаточно решать только на одной ячейке [78]. В [79] этот факт отмечается как ограничение метода осреднения. В [40] авторы приводят приближенные аналитические решения задач на ячейке с помощью некоторых упрощений.

Однако периодичность присуща далеко не каждому материалу. В [2] метод осреднения развивался для нахождения свойств составной трубы с круглым сечением, площадь которого непостоянна, в [16] - для нахождения эффективных свойств слоистых композитов. В [14] - совместно с функцией Грина на примере гармонических колебаний в стержне, а в [15] тот же подход использовался для изучения произвольных процессов в материале. В данной работе представлен другой вариант асимптотического метода осреднения в случае непериодической среды, основанный на метод перехлеста областей типа Дирихле-Дирихле [80].

В случае нелинейной задачи средние по представительным областям свойства зависят от глобального решения и, следовательно, от глобальных координат [11], [77], [81]. Однако, если напряженно-деформированное состояние в глобальной задаче является однородным, локальные задачи не зависят от медленных координат и, как в линейном случае, достаточно решить их для одной представительной области [61], [59]. Так можно вычислить осредненные нелинейные свойства. В общем же случае локальные задачи зависят от глобального решения как от параметра [2], [21], [13], [77], [76], [82]. При численной реализации это влечет за собой значительные сложности.

2 Определение понятия представительной области материала можно найти в [68], [234], [103], [2], [170], [225].

8

В [11] в пределах теории эффективного модуля обсуждалась возможность развития асимптотического метода осреднения для решения нелинейных задач. В [77] получены все приближения асимптотического решения нелинейной системы уравнений типа дивергенции в ¿/-мерном пространстве. В [2] и [13] формально выписаны все приближения метода осреднения для физически нелинейных сред на примере теории пластичности. Однако в этих работах сложность осреднения состоит в зависимости осредненных свойств композита от неизвестных значений осредненного тензора деформаций как от параметра, что значительно усложняет применение метода осреднения на практике, особенно при численной реализации.

Таким образом, основной целью данной работы является разработка эффективного подхода для решения нелинейных квазистатических задач и задач для макроскопически однородных непериодических сред на основе асимптотического метода осреднения и линеаризации по параметру нагружения при использовании распараллеливания вычислений. Бурное развитие параллельных, в том числе кластерных, вычислительных систем делает этот подход реалистичным. Также целесообразно отметить, что развиваемый здесь метод является частным случаем более общего физически много масштабного (многоуровневого) подхода, в котором используются три масштаба: макро, мезо (уровень компонентов) и микро масштаб, на котором рассматривается молекулярная структура. Такой подход формулируется, например, в [83], [84], [85] для изучения термомеханических свойств твердых тел. Естественно, что на микро уровне уже не используются уравнения механики сплошной среды. В нашем же случае, двух масштабный метод является асимптотическим методом решения нелинейных уравнений механики деформируемого твердого тела для дифференциально-линейных определяющих соотношений.

Структура представленной работы включает введение, три главы, заключение и список используемой литературы. Глава 1 посвящена применению метода осреднения для изучения процесса диффузии в сплавах. Этот процесс обсуждается в §1. В §2 исследуется его влияние на поведение эффективных свойств сплавов. В §3 на при-

мере модельных материалов изучается зависимость эффективных модулей и размера представительной области от типа микроструктуры, ее регулярности и концентрации конструкционных материалов. Здесь везде подразумевается, что рассматриваемые материалы являются статистически однородными, но не обладают периодической структуро