Матричный подход к проблеме осреднения слоистых структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ОСРЕДНЕНИЯ СЛОИСТЫХ

СТРУКТУР.

§1.1. Осреднение периодических сред

§1.2. Осреднение регулярных сред.

§1.3. Осреднение неоднородных сред с быстро осциллирующими параметрами

§1.4. Осреднение однородных упругих систем с контактом проскальзывания на границах

§1.5. Осреднение упруго-жидких однородных систем

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СРЕЩ ДЛЯ

ВДЕАЛЬНО УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ СТРУКТУР

§2.1. Характеристическая матрица анизотропной упругой среды.

§2.2. Построение эффективной среды для системы с анизотропией общего вида

§2.3. Эффективные среды для систем с частными видами анизотропии

Глава 3. ОСРЕДНЕНИЕ УПРУГО-ЖИДКИХ СИСТЕМ И

СИСТЕМ С КОНТАКТОМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СРЕД.

§3.1. Осреднение периодических изотропных упругих систем с контактом проскальзывания между периодами и упруго-жидких систем

§3,2. Осреднение периодических анизотропных систем с контактом проскальзывания между периодами и упруго-жидких систем.

§3.3. Исследование волновых процессов в некоторых эффективных средах

§3.4. Построение и исследование многофазной эффективной среды

§3.5. Осреднение периодических систем с неидеальным контактом .ПО

Глава 4. ЭФФЕКТИВНЫЕ СРЕДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕ

ЙДЕАЛЬНОУПРУГИХ СИСТЕМ . ПЗ

§4.1. Осреднение вязко-упругих сред с упругим последействием. ПЗ

§4.2. Влияние неидеальности контакта на вид определяющих уравнений эффективной среды

§4.3. Осреднение термоупругих и теплопроводящих сред.

Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ ЧАСТОТ

§5.1. Получение замкнутых выражений для главных членов погрешности допускаемой при осреднении . 129'

§5.2. Некоторые количественные результаты

ЗАКШЕНИЕ.

История изучения волновых процессов в слоистых средах насчитывает много десятилетий, однако наибольшее значение данная проблема приобрела в последнее время в связи с прикладными задачами геофизики, акустики, строительной механики и механики композитов. Среди всех слоистых структур важное место занимают широко распространенные среды, физические свойства которых немонотонно изменяются в направлении перпендикулярном слоистости. Такие среды могут иметь как естественное (осадочные породы), так и искусственное (слоистые композиты) происхождение.

При исследовании распространения волн в слоистых средах естественно подразделять слои, входящие в эти среды на толстые и тонкие. Критерием такого разделения служит отношение толщины слоя к длине распространяющейся волны. Системы, состоящие из толстых слоев, могут успешно изучаться на базе весьма полно разработанных лучевых представлений / 4-6 /. Для тонкослоистых же систем, вследствие интерференции большого числа волн, задача существенно усложняется. Вместе с тем тот факт, что при падении достаточно длинных волн многие слои тонкослоистой системы деформируются совместно (т.е. волновые процессы в отдельном слое оказываются несущественными), позволяет рассчитывать, что тонкослоистую среду хотя бы в первом приближении можно характеризовать некоторыми интегральными осредневными параметрами и тем самым существенно упростить исходную задачу.

Переход от тонкослоистой среды с быстро осциллирующими

- 6 параметрами к эквивалентной ей в длинноволновом приближении среде с медленно меняющимися характеристиками будем называть осреднением, а полученную при этом среду - осредненной или эффективной.

Перше работы, в которых было установлено, что длинные волны в периодической слоистой изотропной среде распространяются так же, как в некоторой однородной анизотропной среде, появились в конце ПХ-начале XX века. В этой связи следует упомянуть работу Н.П.Кастерина / 25 /, в которой на основании изучения дисперсионного соотношения вычислялись скорости длинных волн в периодической среде.

Значительно позднее, в работах Ю.В.Ризниченко, Р.Постмы и С.М.Рытова / 61-64, 99 / на основании некоторых гипотез о характере волнового поля в тонкослоистой среде была сделана попытка определения эффективных упругих параметров для среды, состоящей из двух чередующихся между собой слоев. К сожалению, в упомянутых работах удалось определить не все упругие параметры осредненной среды.

Впервые правильные выражения для всех пяти эффективных упругих параметров периодической изотропной среды, каждый период которой состоит из нескольких однородных слоев, были получены Г.Бейкусом в работе / 78 / (1962 г.). Затем, в 1967 году Э.Беренс / 79 , 80 / на основании несколько иного подхода смог записать формулы для определения эффективных параметров в случае, когда каждый период цредставляет собой неоднородный слой.

Вообще же вопросу осреднения периодических сред было посвящено в последние несколько десятков лет довольно боль

- 7 шое количество работ. В большинстве из них задача определения эффективных параметров для упругой и электромагнитной периодических сред решалась на основании более или менее физически оправданных предположений о волновом поле либо о способах усреднения скоростей распространения волн. В работах / 67, 73 / приведены значения эффективных упругих постоянных не только для изотропных, но и для анизотропных периодических сред.

Несколько особняком стоит работа Л.Бриллюэна и М.Пароди / 20 /, в которой для исследования периодических структур использовалось так называемое борновское приближение решения волнового уравнения в периодической среде. Идея этого приближения состоит в разложении волнового поля в ряд по малому параметру, которым является относительное колебание скоростей. Недостаток упомянутого метода заключается в его неэффективности в наиболее интересном случае не малых колебаний скоростей.

В середине 70-х годов Н.С.Бахваловым был предложен новый весьма плодотворный подход к проблеме осреднения, названный асимптотическим анализом. Основные идеи этого метода, использующего в качестве малого параметра период неоднородноо-ти исходной среды / , изложены в работах / 7-II /. Общая схема асимптотического метода состоит в следующем.

Предполагается, что искомые решения и характеристики исходной среды зависят от двух групп аргументов - медленных г и быстрых z// , а также от параметра / . Производя разложение по малому параметру / можно свести рассматриваемую задачу к двум отдельным задачам, первая из которых зависит уже только от медленного аргумента г и является осреднен

- 8 ной задачей, а вторая называется задачей на ячейке периодичности.

Асимптотический анализ может быть применен для осреднения весьма широкого класса сред, в том числе и нелинейных.

В монографии Б.Е.Победри / 57 / методом асимптотического анализа получены выражения для эффективных параметров периодических и регулярных (т.е. периодических по быстрой переменной) сред, обладающих анизотропией как общего, так и некоторых частных видов.

Обоснованию метода асимптотического анализа посвящено довольно большое количество работ (например, /22, 51, 52, 81, 100 / ), в которых для многих задач доказывается сходимость по определенной норме точного решения к решению осред-ненной задачи при стремлении периода структуры к нулю.

Примерно в одно время с работами Н.С.Бахвалова появились работы В.Л.Бердичевекого / 12-16 /, в которых цроблемы осреднения решались на основании некоторых общих вариационных принципов.

Однако, несмотря на то, что решения осреднеиной задачи при достаточно малых значениях А могут быть как угодно близки к решениям исходной задачи, однородная эффективная среда обладает некоторыми качественными отличиями от периодической среды. Главным из этих отличий является отсутствие в однородной среде геометрической дисперсии, присущей неоднородной среде.

Это обстоятельство вызвало появление целого ряда теорий перехода от периодических сред к некоторым континуальным моделям, учитывающим геометрическую дисперсию исходной

- 9 средн. Все эти теории можно разделить на теории конструктивного типа и аксиоматические теории.

К теориям конструктивного типа относятся, в частности, теория эффективных жесткостей и дискретно-континуальная теория. Теория эффективных жесткостей, базирующаяся на работах / 3, 65, 85, 101 / предполагает, что смещение в каждом слое линейно зависит от нормальной координаты. Получающиеся в результате этого предположения определяющие уравнения эффективной модели содержат величины порядка Л2. При выводе же определяющих уравнений дискретно-континуальной теории каждый слой исходной среды описывается уравнениями теории оболочек, которые затем усредняются / 17, 18, 24, 93 /.

К теориям аксиоматического типа принадлежит прежде всего теория смесей. Согласно этой теории, основы которой изложены в работах / 72, 95 /, в каждой точке среды находятся частицы всех исходных компонентов и эффективная среда моделируется при помощи теории смесей. Силы взаимодействия между различными компонентами смеси вводятся при этом аксиоматически.

Теориями аксиоматического типа являются также микрополярная теория / 90 /, микроструктурная теория / 95 / и некоторые другие.

До сих пор речь шла о средах с идеальным контактом между компонентами, когда на всех границах раздела выполняются условия непрерывности смещений и напряжений. Однако существует ряд работ, например, /I, 23, 82 /, в которых рассматривались вопросы осреднения слоистых структур с неидеальным контактом между слоями.

- 10

Настоящая работа посвящена матричному подходу к проблеме осреднения слоистых сред, поэтому следует сказать вначале несколько слов о самом матричном методе.

Впервые этот метод был предложен в 1950 г. В.Томсоном / 102 /ив 1953 г. Н.Хаскеллом / 92 / для слоисто-однородных упругих сред с плоскопараллельными границами. С этими же авторами связан и матричный формализм, согласно которому каждый упругий слой описывается определенной матрицей С размера 4x4, а вся система характеризуется матрицей, получающейся при перемножении в определенном порядке матриц всех слоев. Упомянутая матрица однородного изотропного упругого слоя толщиной Н имеет вид

JCa-2 С«) 'Js* Сы- £ л sA-2°<s«) Хзи-гс*) ^-с* ызсе/з^, /'(fo-bb) /.(ubrfo) и) ^Yfs^JX^-I^JX^'^l ч. где —, и связывает образы смещений Mt, и напряжений , на границах слоя. В свою очередь матрица с связана при помощи уравнения

Гзес с характеристической матрицей , не зависящей от волнового числа К и толщины слоя И . Наряду с матрицей слоя С , характеристическая матрица Р? занимает центральное место в пг матричном методе.

Подход Томсона-Хаскелла позволил рассчитывать для сложных слоистых упругих сред интерференционные коэффициенты отражения и преломления и дисперсионные характеристики интерференционных волн. Однако область применения этого подхода принципиально ограничена и он не свободен от недостатков.

В связи с этим очень важным для развития матричного метода стал другой подход, использующий матрицы шестого и пятого порядков и имеющий более широкую область применимости. Этот подход, развитый в работах Л.А.Молоткова / 30-38 /, Л.Кнопо-ва / 94 /, И.Данкина / 89 /, Е.Трауэра / 103 / и Т.Ватсона / 104 /, основан на замене матрицы четвертого порядка С так называемой ассоциированной матрицей шестого порядка С*, элементы которой представляют собой миноры второго порядка исходной матрицы слоя € . При такой замене сохраняются все соотношения матричного формализма и в то же время снимаются ограничения на область применимости расчетной схемы матричного метода. От ассоциированных матриц шестого порядка можно, как показано в работах / 31, 104 / перейти к матрицам пятого порядка, применение которых для расчета интерференционных волновых полей позволяет сократить объем вычислений.

Развитие матричного метода идет также по линии расширения области его использования. Матричный формализм был обобщен на жидкие, упруго-жидкие и упругие системы с возможным проскальзыванием на границах / 32 , 34 , 36 , 38 /. Матрицы, описывающие эти системы цредставляются произведениями, в которые входят не только матрицы слоев, но и матрицы некоторых границ. Жидкие среды характеризуются матрицами 2x2, а

- 12 упругие среды - матрицами 6x6 или 5x5, Кроме того, упруго-жидкие границы характеризуются матрицами 2x6 и 6x2 или 2x5 и 5x2. (Матрицы границ раздела упругих сред с жестким контактом, а также жидких сред в упомянутое произведение не включаются, поскольку эти матрицы единичные). Подход Томсона-Хас-келла в случае такого рода систем не сохраняет матричного формализма и оказывается вообще неприменимым для систем сложного строения.

Другой областью обобщения матричного метода являются упругие и жидкие слои, неоднородные в направлении, перпендикулярном границам. В результате исследований / 33,91,38 / были установлены матрицы, описывающие неоднородные слои совершенно так же, как соответствующие матрицы в случае однородных слоев. Отличие состоит в том, что матрицы неоднородных слоев представляются в виде регулярно сходящихся рядов, в то время как в случае однородных слоев матрицы имеют конечные выражения.

Матричный метод был использован С.Крэмпином / 86 / и для анизотропных сред общего вида. Упомянутые среды в трехмерном случае описывались при этом с помощью матриц 6x6. (Такой подход в двумерном случае приводит к матрицам 4x4, аналогичным матрицам Томсона-Хаскелла).

Матричный метод был также обобщен и на ряд других сред, например, термоупругих и тешюпроводящих / 40 /. Нет сомнения, что он с успехом может применяться и для исследования весьма большого числа других процессов, описываемых линейными уравнениями.

Таким образом, в настоящее время матричный метод позволяет при едином подходе рассматривать распространение возмущений в весьма широком классе систем. Другое достоинство этого метода состоит в том, что выражения, полученные с его помощью, имеют весьма компактную форму, которая оказывается удобной как при аналитических исследованиях, так и для численных расчетов. При этом в ряде задач теории распространения волн удается получить важные качественные результаты с помощью одного матричного метода, без использования вычислений.

Таким образом, естественно попытаться использовать матричный подход для решения проблемы осреднения неоднородных вдоль одной из координат сред. Как выясняется, этот подход является не только естественным, но и плодотворным.

Основная идея предлагаемого в настоящей работе метода осреднения слоистых структур состоит в представлении матрицы периодического или регулярного вдоль координаты в слоя О ^ г ^ И в виде степенного ряда по произведению волнового числа на период

С = С ч- Jr (кАУ С >(*//)

Это соотношение при стремлении к нулю либо безразмерного произведения к А , либо отношения //// переходит в равенство € в с . Следовательно, беря в приведенном выше ряде достаточное число членов, можно с любой степенью точности аппроксимировать матрицу исходного слоя С . В частности, полагая С - С , мы получаем теорию нулевого приближения, в рамках которого периодическая среда эквивалентна некоторой однородной анизотропной среде с эффективными параметра

- 14 ми. Первый же ненулевой член ряда определяет главную часть погрешности, связанной с заменой исходной среды эффективной средой нулевого приближения. (В дальнейшем эффективную среду нулевого приближения будем называть просто эффективной средой) . Полагая далее € = С + С , можно получить эффективную среду первого приближения, причем главная часть погрешности будет определяться уже вторым членом ряда. И так далее. Естественно, что сложность определения матриц € (tJ быстро возрастает с ростом номера / , поэтому в данной работе рассматриваются теории только нулевого и первого приближений, хотя матричный подход и позволяет строить, в цринципе, теории любого приближения. Следует подчеркнуть, что использование теорий более высоких приближений позволяет не только расширить область частот, в которой исходная среда с заданной точностью может быть заменена эффективной, но и учесть геометрическую дисперсию, присущую исходной среде.

Матричный подход позволяет осреднять не только периодические и регулярные среды, но и широкий класс неоднородных сред с быстро осциллирующими характеристиками. В этом случае вновь можно представить матрицу исходного слоя в виде ряда по степеням к А , однако теперь малый (по сравнению с толщиной слоя И ) параметр / уже не является периодом, а характеризует быстроту осцилляций свойств осредняемой среды.

Таким образом можно сделать вывод, что матричный подход к осреднению слоистых сред обладает следующими основными преимуществами. Во-первых, этот подход является универсальным и позволяет единым образом осреднять весьма широкий класс слоистых структур, в том числе таких, которые до сих пор другими методами не осреднялись, например, упруго-жидкие системы и системы с контактом проскальзывания. Во-вторых, матричный подход дает возможность осреднения не только периодических и регулярных сред, но и гораздо более широко распространенных неоднородных сред достаточно общего вида. В-третьих, матричный подход позволяет строить осредненные среды с любой точностью и давать оценку погрешности, вызываемой заменой исходной среды эффективной, что в свою очередь указывает область частот, в которой такая замена рациональна. Следует особо подчеркнуть то обстоятельство, что использование матричного подхода позволяет обойти главную трудность, возникающую при построении осредненных моделей, учитывающих геометрическую дисперсию, а именно, нахождение определяющих уравнений для эффективной среды. Это связано с тем, что в рамках матричного формализма для решения любой задачи достаточно задания только матрицы слоя € и не возникает необходимость использования определяющих уравнений.

Настоящая работа включает в себя пять глав и построена следующим образом.

В первой главе рассматриваются общие вопросы осреднения периодических, регулярных и неоднородных сред на основе матричного подхода. При этом формулируются необходимые и достаточные условия возможности осреднения произвольной неоднородной среды с быстро осциллирующими характеристиками. Кроме того, в данной главе строятся эффективные среды для систем, моделирующих однородные упругие массивы с непериодически расположенными трещинами (заполненными либо не заполненными жидкостью).

- 16

Вторая глава посвящена построению эффективных сред для анизотропных структур, обладающих анизотропией как общего, так и некоторых наиболее распространенных частных видов. Анализ соответствия между видами анизотропии исходной и эффективной сред позволяет, в частности, указать, как усредняются анизотропные характеристики при переходе от одного кристалла к структуре упорядоченных кристаллов. При осреднении анизотропных сред используется трехмерный вариант матричного метода, оперирующий с матрицами шестого порядка.

В третьей главе матричный подход применяется к осреднению периодических упруго-жидких систем и упругих систем с контактом проскальзывания между слоями. Для осреднения изотропных систем при этом используются ассоциированные матрицы шестого порядка, а для осреднения анизотропных систем в трехмерном случае - ассоциированные матрицы размера 20 х 20. Эффективными средами для упругих систем с контактом проскальзывания между периодами являются анизотропные однородные среды специального вида, имеющие вырожденную матрицу упругих постоянных. Эффективной средой для упруго-жидкой системы является двухфазная среда, а для упругой системы с контактом проскальзывания как между периодами, так и внутри периода - многофазная среда. Упомянутые двух- и многофазные -среды отличаются от ранее известных / 84 /. Исследование на основе метода контурных интегралов / 54-56 / волновых полей в полученных эффективных средах позволяет выявить ряд характерных особенностей распространения волн в этих средах.

- 17

В третьей главе рассматривается также осреднение периодической упругой системы в случае, когда между периодами имеет место неидеальный линейный контакт достаточно общего вида.

Универсальность матричного подхода к осреднению слоистых сред проиллюстрирована в четвертой главе на примере построения эффективных сред для термоупругих, вязко-упругих с упругим последействием и теплопроводящих структур, осреднение которых представляет и самостоятельный интерес. Как показывают исследования, проведенные в этой главе, уравнения, описывающие эффективную среду, могут существенно отличаться от уравнений, описывающих исходную среду. Так, например, при осреднении упруго-вязкой среды получается упруго-вязкая среда с упругим последействием, описываемая уже не дифференциальными, а интегро-дифференциальными уравнениями.

Наконец, пятая глава посвящена исследованию области допустимых частот (длин волн), в которой возможно с заданной точностью заменить исходную периодическую среду эффективной средой нулевого или первого приближений. Эти исследования проводятся в случае распространения плоских волн перпендикулярно слоям. Однако, несмотря на простоту такой задачи, ее анализ позволяет сделать важные выводы о зависимости погрешности, допускаемой при осреднении, от частоты, числа периодов в исходной системе и строения периода.

Все основные результаты диссертации опубликованы в работах / 41-44 / и доложены на X Всесоюзной Акустической конференции / 45 / (Москва, 1983), I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур / 46 / (Львов, 1983), совещании "Методика изучения сейсмической анизотропии литосферы

- 18

Земли" (Ялта, 1984) и на Международном семинаре "Решение прямых и обратных задач нестационарных полей и выбор оптимальных программ" (Новосибирск, 1984).

- 144 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Разработан матричный подход к осреднению слоистых структур, позволяющий единым образом осреднять периодические, регулярные и неоднородные среды с быстро осциллирующими характеристиками.

2. Матричный подход применен к осреднению анизотропных упругих сред. При этом рассмотрены среды, обладающие анизотропией как общего, так и частных видов и сделаны выводы о соответствии видов анизотропии исходной и эффективной сред.

3. Матричный подход обобщен на случай анизотропных упруго-жидких систем и упругих систем с контактом проскальзывания между слоями.

4. Исследованы волновые поля в однофазных и многофазных средах специального вида, получающихся при осреднении упругих систем с контактом проскальзывания и упруго-жидких систем.

Это исследование позволило сделать вывод о качественном своеобразии протекания волновых процессов в упомянутых средах.

5. На основе матричного подхода построены эффективные среды для вязко-упругих сред с упругим последействием, термоупругих и теплопроводящих сред.

Показано, что эффективная среда может описываться уравнениями существенно иного вида, чем исходная.

6. Рассмотрено влияние условий неидеального контакта, имеющего место в исходной системе, на вид определяющих уравнений эффективной среды.

- 145

7. Получены выражения для главных членов погрешности, допускаемой при замене исходной среды эффективной.

8. Проанализировано как качественно, так и количествен но влияние на область допустимых частот физических характеристик осредняемой среды.

- 146

1. Айзенберг A.M., Клем-ВДусатов К.Д., Ланда Е.И. Модель анизотропной сейсмической среды. - В кн.: Сейсмические волныв сложнопостроенных средах. Новосибирск, Наука, 1974, с.64-110.

2. Ахенбах Дж. Колебания и волны в направленно армированных композитах. В кн.: Механика композиционных материалов, т.2 - М.: Мир, 1978. - 564 с.

3. Ахенбах Дж., Сан С., Геррман Дж. О колебаниях слоистого тела. Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Прикл. механика, 1968, № 4, с.71-79.

4. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в упругой неоднородной анизотропной среде. -- В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1961, сб.5, с. 36-46.

5. Бабич В.М., Болдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

6. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1974. - 124 с.

7. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с микроструктурой. ДАН СССР, 1974, т.218, № 5, с.1046-1048.

8. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 1975, т.221, £ 3, с.516-519.

9. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами.- 147 - ДАН СССР, 1975, т.225, № 2, с.249-252.

10. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. В сб.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с.34-51.

11. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик.- ДАН СССР, 1983, т.268, № 4, с.836-840.

12. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы в проблеме осреднения случайных структур. ДАН СССР, 1981, т.261, 2, с.301-304.

13. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек. ПНЯ, 1979, т.43, вып.4, с.664--687.

14. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур. ДАН СССР, 1975, т.222, В 3, с.565-567.

15. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур. ПШ, 1977, т.41, вып.6, с.993-1006.

16. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

17. Болотин В.В. К теории слоистых плит. Изв.АН СССР. Мех. и маш., 1963, $ 3, с.66-72.

18. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. Изв. АН СССР, 1964, $ I, с.61-66.

19. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

20. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. - 452 с.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.- 576 с.

22. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан.- Усреднение и О- -сходимость дифференциальных операторов. - УМН, 1979, т.34, В 5, с.65-133.

23. Зволинский Н.В., Шхинек К.Н. Континуальная модель слоистой упругой среды. Ин-т проблем механики АН СССР. Препринт, 1980, № 165. - 56 с.

24. Ильюшина Е.А. Вариант моментной теории упругости для одномерной сплошной среды неоднородной периодической структуры. ПММ, 1972, т.36, вып.6, C.I086-I093.

25. Кастерин Н.П. О распространении волн в неоднородной среде. М.: Унив. тип., 1903. - 151 с.

26. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 304 с.

27. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. -М.: Наука, 1975. 415 с.

28. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977. 416 с.

29. Ляв I. Математическая теория упругости. М.: Изд-во ОНТИ, 1935. - 674 с.

30. Молотков Л.А. 0 распространении упругих волн в средах, содержащих тонкие плоскопараллельные слои. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1961, сб.5, с.240-280.

31. Молотков Л.А. О матричных представлениях дисперсионного уравнения для слоистых упругих сред. Зап. научн. се- 149 мин. ЛОМИ, 1972, т.25, с.116-131.

32. Молотков Л.А. О дисперсионных уравнениях для слоистых сред с нежестким контактом на некоторых границах раздела.- Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1973, т.34, с.ЮЗ-Пб.

33. Молотков Л.А. Об интерференционных волнах в свободном неоднородном упругом слое. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1973,т.34, с.117-141.

34. Молотков Л.А. О дисперсионных уравнениях слоисто-неоднородных упругих и жидких систем. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1974, т.42, с.189-211.

35. Молотков Л.А. Об отражении и преломлении волн неоднородным слоем. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград ун.-та, 1975, вып. 15, с.28-46.

36. Молотков Л.А. О коэффициентах отражения и преломления в случае упруго-жидких слоистых систем. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 1976, т.62, с.154-167.

37. Молотков Л.А. Об эквивалентности слоисто-периодических и трансверсально-изотропных сред. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1979, т.89, с.219-233.

38. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. - 202 с.

39. Молотков Л.А., Баймагамбетов У. Об исследовании распространения волн в слоистых трансверсально-изотропных упругих средах. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1978, т.78, с.149-173.

40. Молотков Л.А., Лопатьев А.А. Об исследовании распространения волн в слоистых термоупругих средах матричным методом.- 150 - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград ун-та, 1981, вып.20, с.22-37.

41. Молотков Л.А., Хило А.Е. Исследование распространения трехмерных волн в уцругих и упруго-жидких слоистых системах.- Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.128, с.116-129.

42. Молотков Л.А., Хило А.Е. Эффективные среды для периодических анизотропных систем. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.128, с.130-138.

43. Молотков Л.А., Хило А.Е. Исследование однофазных и многофазных эффективных моделей, описывающих периодические среды. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1984, т.140, с.105-122.

44. Молотков Л.А., Хило А.Е. Осреднение периодических не-идеальноупругих сред. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1984, т.140, с.123-131.

45. Молотков Л.А., Хило А.Е. Эффективные среды для периодических систем. В кн.: X Всесоюзная Акустическая конференция. Докладн. Секция А, М., 1983, с.41-44.

46. Молотков Л.А., Хило А.Е. Нахождение и исследование эффективных сред для периодических систем. В кн.: I Всесоюзная конференция по механике неоднородных структур. Тезисы докладов, Львов, 1983, с.148-149.

47. Невский М.В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн. М.: Наука, 1974. - 180 с.

48. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред.- М.: Наука, 1978. 336 с.

49. Новацкий В. Динамические задачи термоупрутости. М.: Мир, 1970. - 256 с.

50. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.- 872 с.

51. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Панаеенко Г.Л. Асимптотическое разложение решений системы уравнений теории упругостив перфорированных областях. Мат. сб., 1983, т.120, № I, с. 22-41.

52. Панаеенко Г.П. Некоторые задачи осреднения. УМН,1981, т.36, № 4, с.224-249.

53. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. - 280 с.

54. Петрашень Г.И. О рациональном методе решения задач динамической теории упругости. Учен. зап. ЛГУ, 1956, № 208, с.5-57.

55. Петрашень Г.И. Элементы динамической теории распространения сейсмических волн. В кн.: Вопросы динамической теории расцространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград ун-та, 1959, сб.З, с.П-106.

56. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Л.: Наука,1982. 288 с.

57. Победря Б.Е. Механика композитных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

58. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976, 310 с.

59. Подъяпольский Г.С. Отражение и преломление на границах двух сред в случае нежесткого контакта. Изв. АН COOP, сер. геофиз., 1963, №4, с.525-531.

60. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1981. - 608 с.- 152

61. Ризниченко Ю.В. О распространении сейсмических.волн в дискретных и гетерогенных средах. Изв. АН СССР, сер. географ. и геофиз., 1949, т.13, № 2, с.115-128.

62. Ризниченко Ю.В. О сейсмической квазианизотропии.- Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз., 1949, т.13, В 6, с.518-544.

63. Рытов С.М. Акустические свойства мелкослоистой среды.- Акуст. журнал, 1953, т.2, вып.1, с.71-83.

64. Рытов С.М. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды. Ж ЭТФ, 1955, т.29, Jfe 5, с.605-616.

65. Сан С., Ахенбах Дж., Геррман Дж. Континуальная теория слоистой среды. Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Дрикл. механика, 1968, Л 3, с.86-89.

66. Седов Л.И. Механика сплошной среды.: В 2-х т. М.: Наука, 1973, т.1. - 536 е., т.2. - 582 с.

67. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. В кн.: Композиционные материалы. М.: Мир, 1978, т.2, с.61-101.

68. Сибиряков Б.П., Татарников М.А., Максимов Л.А. Распространение упругих волн в микронеоднородных средах, содержащих флюиды (обзор). Новосибирск: Изд-во ин-та геологии и геофизики, 1978. - 84 с.

69. Сибиряков Б.Д., Максимов Л.А., Татарников М.А. Анизотропия и дисперсия упругих волн в слоистых периодических структурах. Новосибирск: Наука, 1980. - 72 с.

70. Тлеукенов С.К. О поглощении энергии и разрыве смещений на границах с нежестким контактом. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.128, с.166-171.

71. Успенский И.Н., Огурцов К.И. Сосредоточенные источ- 153 ники в трансверсально-изотропной упругой среде. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во Ленинград.ун-та, 1962, сб.6, с.75-83.

72. Филиппов Й.Г. Динамическая теория относительного течения многокомпонентных сред. Прикл. механика, 1971, т.7, № 10, с.92-99.

73. Хорошун Л.П. Зависимость между напряжениями и деформациями в слоистых средах. Прикл. механика, 1966, т.2, & 2,с.14-19.

74. Шермергор Т.Д. Теория микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. - 400 с.

75. Щульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова думка, 1981. - 198 с.

76. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М»: Наука, 1972. - 720 с.

77. Achenhach J.D. Wave propagation in lamellar composite materials. J.Aconst.Soc.Amer., 1968, v.43» U" 6, p. 1451-1462.

78. Backus G.E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering. J.Geophys.Res., 1962, v.67, Ж 11, p.4427--4440.

79. Behrens E. Elastic constants of filamentary composites with rectangular symmetry. * J.Acowst.Soc.Amer., 1967, v.42,1. 2, p. 367-377.

80. Behrens E. Sound propagation in lamellar composite materials and averaged elastic constants. J.Acoiist.Soc.Amer., 1967, v.42, IT 2, p.378-383.

81. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structure. Amsterdam: North-Holland1. Publ.Co., 1978. 301 p.

82. Benveniste Y., Aboudi J. A mixture theory for wave propagation in a laminated medium with debonding. J.Sound and Vibr., 1976, v.46, U 4, p.473-482.

83. Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics. J.Appl.Phys., 1956, v. 27, U 3, p.240-261.

84. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluidsaturated porous solid. J.Acoiist.Soc.Amer., 1956, v.28, U 2, p.168-191.

85. Christensen R.M. Wave propagation in layered elastic media. J.App.Mech., ser.E, 1975, v.42, И 1, p.153-158.

86. Crampin S. The dispersion of surface waves in multi-layered anisotropic media. Geophys.J.Roy.Astron.Soc., 1970, v.21, N 2, p.387-402.

87. Crampin S. A review of wave motion in anisotropic and craced elastic media. Wave motion, 1981, N 3, p.343-391.

88. Crampin S., Kirkwood S.C. Velocity variations in systems of anisotropic symmetry. J.Geophys., 1981, N 49, p.35-42.

89. Dunkin J.W. Computation of modal solutions in la ered elastic media at high frequencies. Bull.Seismol.Soc.Amer., 1965, v. 55, H 2, p.335-358.

90. Eringen A.C. Linear theory of mieropolar elasticity. -J.Math.Mech., 1966, v.15, И 6, p.909-923.

91. Gilbert P., BackMs G.E. Propagator matricies in elastic wave and vibration problems. Geophysics, 1966, v.31, IT 2,p.326-332.

92. Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems. -Bul.Seismol.Soc.Amer., 1964, v.42, U 1, p.431-438.

93. McUiven D. Hygh, Mengi Yalin A mixture theory for elastic laminated composites. Int.J.Solids and Struct., 1979, v.15, Л 4, p.281-302.

94. Mindlin R.D. Microstructure in linear elasticity. -Arch.Rat.Mech.Anal., 1964, v.16, N 1, p.51-65.

95. Murty G.S. Reflection, transmission and attenuation of elastic waves at a loosely hounded interface of two half spaces. Geophys.J.Roy.Astron.Soc., 1976, v.44, N 2, p.389-404.

96. Mbfsgrave M.J.P. Crystal acoustics. San Francisco, 1970. - 288 p.

97. Postma G.M. Wave propogation in a stratified medium. -Geophys., 1955, v.20, N 4, p.780-806.

98. Sanchez-Paleuaia E. Uon-homogeneous media and vibration theory. In: Lecture Uotes in Phys., v.127- Berlin: Springer-Ver., 1980. - 398 p.

99. Sun C.T., Achenbach J.D., Herrman G. Continuum theory for a laminated mediam. J.Appl.Mech., 1968, v.35, p.467-475.

100. Thomson W.T. Transmission of elastic waves trough a stratified solid material. J.Appl.Phys., 1950, v.21, IT 1, p.89-93.103» Thrower E.1T. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media. J.Sound Vibr., 1965, v.2, IT 3, p.210-226.

101. Watson Т.Н. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered halfspace. Bul.Seismol.Soc.Amer.,- 156 -.1970, у.60, Ш I, р.161-166.