Гидродинамика неизотермической фильтрации в слоистых пластах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЛОХОТНИКОВ СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ

III

003166533

ГИДРОДИНАМИКА НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ

Специальность: 01 02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Казань, 2007

Работа выполнена на кафедре информатики и прикладной математики Казанского технологического университета

Научный консультант доктор технических наук,

профессор Скворцов Владимир Викторович, Казанский государственный технологический универсшсг, г. Казань

Официальные оппоненты* доктор технических наук,

профессор Сенюков Ремир Васильевич, Российский государственный университет нефти и газа им И М Губкина, г Москва

доктор технических наук, профессор Тазюков Фарук Хоснутдишвич, Казанский государственный технологический университет, г Казань

доктор физико-матшатических наук, профессор Голубев Георгий Викторович, Казанский государственный технический университет им А Н Туполева, г Казань

Ведущая организация Татарский научно-исследовательский и проектный институт (ТатНИПИнефть), г Бугульма

Защита состоится "31" октября 2007 г. в 10 часов на заседании диссертационно!о совета Д.212 07902 при Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева по адресу 420111, г Казань, ул К Маркса, 10

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного технического университета им А11 Туполева

Автореферат разослан " иР&Ас/' 2007 г

Ученый секре1арь диссертационного совет а. к I н . доиен I

А Г Каримова

Общая характеристика работы

Актуальность темы Многие нефтяные и нефтегазовые месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью абсолютной проницаемости пласта

При проведении многовариантных гидродинамических расчетов приходится рассматривать трёхмерные задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации, а при закачке в пласт водных растворов ПАВ - двухфазной трех-компонентной фильтрации Сделать это сложно из-за недостатка геологической информации о строении пласта Особенно при отсутствии достоверной информации о наличии глиняных перемычек между пропластками на всём протяжении пласта, а не только на отдельных его участках. По-прежнему существенны затраты машинного времени при расчетах, особенно при решении задач оптимальной разработки, в которых приходится проводить многовариантные гидродинамические расчёты. Следует отметить, что, несмотря на широкое использование в гидродинамических расчетах трехмерных моделей - программных комплекссов «ТРИАС», Oil Expert, «Техсхема» и др., приведенных в монографиях В П Майера, Э С Закирова и других авторов, вопрос понижения размерности задачи остается актуальным. Например, при объединении пластов в пачки на некоторых участках слоистого месторождения В практике гидродинамических расчетов при крупномасштабном описании процесса двухфазной фильтрации широкое распространение получила модель Баклея-Леверетта. Течение каждой фазы при этом подчиняется обобщенному закону Дарси Функции абсолютной проницаемости K(z) и относительных проницаемостей

Ke(S), KH(S) являются коэффициентами системы дифференциальных

уравнений в рамках этой математической модели. В расчетах применяются и модели фильтрации, в которых используются осреднённые по толщине пласта параметры Некоторые из этих моделей позволяют понизить размерность исходной задачи и эффективно провести численные гидродинамические расчеты в случае двухфазной изотермической фильтрации в рамках модели Баклея-Леверетта. Одной из таких моделей является модель, которую будем называть модель С (С означает «средняя модель»). В ней используются исходные лабораторные относительные проницаемостиKe(S), Кп(S), и средняя по

толщине пласта абсолютная проницаемость К*, определяемая по кернам Другой моделью является модель, предложенная в работах В.Я Булыгина, С М Зиновьева, А К Курбанова, Г А Атанова, К Хирна, которая основывается на струйном вытеснении. Ее будем называть моделью В ( в означает модель Булыгина В Я) В ней используется средняя К* и фиктивные (модифицированные) фазовые проницаемости К"(S) В этой модели были введены

физические понятия «фиктивный однородный пласт» и «фию ивные фазовые проницаемости» однородного пласта

Однако, при заданной средней абсолютной проницаемости ¡С и заданном вероятностном законе распределения абсолютной проницаемости при фиксированном коэффициенте вариации у пропластки слоистого пласта могут быть расположены различным образом относительно друг друга и быть между собой как изолированными, так и гидродинамически связанными Поэтому актуальной является задача исследования влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс двухфазной фильтрации и значения каждого из основных показателей разработки

Исследование точности численных расчетов по двум описанным осред-ненным моделям в одномерной постановке по сравнению с результатами численного решения двумерной профильной задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации является актуальной задачей, необходимой для определения возможности использования этих осредненных моделей

Создание новых методов расчета модифицированных фазовых прони-цаемостей представляется также важным и актуальным

Математическому моделированию процессов разработки месторождений углеводородов посвящены монографии К С.Басниева, В.Я.Булыгина, В.М.Максимова, Г И.Баренблатта, В.М.Ентова, В.Л Данилова, А.Ф.Задовско-го, А Н.Коновалова, Р Д Каневской, В М Рыжика, М И Швидлера, Б.И Леви идр авторов

В диссертации рассмотрена фильтрация в слоистых пластах в рамках каждой из четырех известных математических моделей фильтрации

1 Двухфазная изотермическая и неизотермическая фильтрации без учета капиллярных и гравитационных сил в модели Баклея-Леверетта,

2 Двухфазная трехкомпонентная фильтрация с учетом закачки в пласт водных растворов ПАВ,

3 Трехфазная фильтрация в модели Маскета-Мереса,

4 Двухфазная фильтрация в трещиновато-пористых средах в модели ГИБа-ренблатта.

Определение модифицированных проницаемостей для каждой из этих четырех математических моделей по единой методике для расчетов по осред-ненной модели В тоже является актуальной задачей.

Для всех названных моделей приведены формулы модифицированных фазовых проницаемостей, полученные на основе коррекции лабораторных относительных проницаемостей с помощью поправочных коэффициентов. Эти коэффициенты получены на основе известной схемы струйного течения

Актуальным остается и вопрос о применимости осреднённых моделей и их модифицированных проницаемостей в задачах площадного заводнения, например, при двухфазной фильтрации в пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. В работе рассмотрена и эта задача.

Цели работы.

1. Анализ влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс двухфазной изо- и неизотермической фильтрации и величину каждого из

основных показателей разработки при линейных и нелинейных функциях лабораторных проницаемостей К„(£>), Ки(5>), а также этот анализ для случая различных функций К„(5>), К„(8), для разных лропластков исходного слоистого пласта При решении этих задач были рассмотрены три вероятностных закона распределения функции К(г) по пропласткам

2 Исследование точности результатов численных расчетов по одномерным осредненным моделям в и с в сравнении с результатами расчетов по двумерной профильной модели двухфазной неизотермической фильтрации, а также при площадном заводнении, путем сравнения решения двумерной плоской задачи с решением квазитрехмерной задачи.

3. На основе анализа течения в слоистых пластах ставится задача о построении новых модифицированных проницаемостей для четырех названных выше гидродинамических моделей фильтрации, позволяющих по упрощенным осредненным одномерным моделям получить верхнюю и нижнюю границы для некоторых основных показателей разработки вне зависимости от характера слоистой неоднородности изучаемого слоистого пласта. Возникает задача и об исследовании погрешности результатов расчетов с этими модифицированными проницаемостями

Методика исследования. Анализ влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс фильтрации и величины основных показателей разработки осуществляется на основе вычислительного эксперимента (ВЭ) Этот ВЭ предполагал проведение серии численных гидродинамических расчетов в двумерной постановке при различном взаимном расположении про-пластков слоистого пласта [варианты а, (1=Ьп) ], анализ результатов и сравнение их между собой. Расчеты по А! принимались за эталонные значения

показателей разработки Расчеты проводились на основе известного вычислительного ал1 оритма, разработанного в Казанском университете Р А Александровым, Р Г Гайфуллиным, Г.А.Волковым под руководством В.Я.Булыгина. Этот алгоритм использует дивергентные полностью консервативные конечно-разносгные схемы и аналогичен попеременно-треугольному методу, приведенному в работах А.А Самарского. Конечно-разностные схемы алгоритма приведены в первой главе

Вычислительный эксперимент предполагал также проведение одномерных численных расчетов по моделям в и с, сравнение результатов показателей разработки с двумерными эталонами А) при неизотермической двухфазной фильтрации Эталоны различаются только взаимным расположением пропластков

Изучение возможности применимости новых К* (5) для расче-

тов фильтрации в слоистых пластах при площадном заводнении (пятиточеч

ная и девятиточечная системы заводнения) проведено с помощью сравнения результатов численных расчетов показателей разработки двумерной (х,у)-задачи с решением квазитрехмерной задачи двухфазного течения в слоистом пласте

Новые модифицированные фазовые проницаемости были построены математически для случая нелинейных лабораторных Кв(5), Кн(8), на основе

коррекции последних путем умножения их на определенные коэффициенты. Дискретные аналоги этих проыицаемостей построены по аналогии с непрерывным случаем задания функции плотности распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта, но с учетом дискретности задания функции К(г) и толщины Н по пропласгкам

Новые модифицированные фазовые проницаемости для случая различных функций Кв(8), Ки(&) для каждого пропластка исходного слоистого пласта были построены математически с помощью поправочных коэффициентов, полученных при струйном течении на основе допущения о струйности течения в слоистом пласте при линейных функциях Кв(£1), Ки(8) Но при

этом вводятся новые понятия «фиктивный слоистый пласт», его «фиктивные относительные проницаемости» и «поправочные коэффициенты».

Новые модифицированные фазовые проницаемости были получены также для трехфазной фильтрации в модели Маскета-Мереса на основе определенных физических допущений, а также для сред с двойной пористостью в модели Баренблатта.

Научная новизна. Проанализировано влияние характера слоистой неоднородности пласта на процесс вытеснения и величину каждого из основных показателей разработки для трех вероятностных законов распределения функции К(г) равномерного, Максвелла, экспоненциального

Исследована погрешность расчетов основных показателей разработки по двум осредненным моделям В и с, при изо- и неизотермической фильтрации по сравнению с эталонами А1 при линейных проницаемостях

Ке (8), Кн (5) Впервые получены границы изменения для эталонов А1, в

которых находится каждый технологический показатель разработки коэффициент нефтеотдачи, доля воды в потоке на выходе, суммарный отбор жидкости

Предложен метод построения новых модифицированных проницаемо-стей для случая нелинейных исходных Кв(5>), Кн(8) и оценены погрешности расчетов с ними по сравнению с эталонами А, в этом нелинейном случае Расчеты с новыми проницаемостями дали удовлетворительную погрешность.

Предложены два метода построения новых модифицированных прони-цаемостей для случая такого слоистого пласта, в котором исходные лабораторные функции Кн(8) различны для каждого из пропластков и проведены оценки погрешности расчетов с ними.

Смоделированы новые модифицированные проницаемости для трехфазной фильтрации и для фильтрации в средах с двойной пористостью, а также двухфазной трехкомпонентной фильтрации с учетом закачки в слоистый пласт водных растворов поверхностно-активных веществ

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается использованием известного численного алгоритма, достаточно хорошо апробированного и широко внедренного в практику гидродинамических расчетов при двухфазной неизотермической фильтрации Было проведено тестирование двумерного алгоритма по определению значений задаваемых погрешностей.

Потери тепла в окружающие пласт породы в одномерных моделях учитывались с помощью аналитических формул В А Локотунина, которые дали приемлемую погрешность в расчетах

Новые формулы для модифицированных проницаемостей полностью совпадают с известными при переходе от нелинейных К&($) , Кк(8) к линейным для всех четырех приведенных выше математических моделей фильтрации. Результаты расчетов с новыми ^(5), К™ (8) совпадают с результатами

лабораторного физического эксперимента А В Богова и С М Зиновьева, приведенными в работе «Об оценке погрешности одной из моделей двухфазной фильтрации» (в сб КГУ «Исследования по подземной гидромеханике», Казань, 1979, с 16-20) с погрешностью до пяти процентов для коэффициента нефтеотдачи

Практическая значимость Результаты работы могут быть использованы в специализированных НИИ и проектных организациях, занимающихся проектированием и анализом разработки нефтяных месторождений, а именно во ВНИИнефть (г Москва), ВНИИОЭНГ (г. Москва), ТагНИПИнефть (г Бугуль-ма), Краснодар НИПИнефть и др !

Согласно документам о внедрении часть работы уже передана в ТатНИ-ПИнефть Имеются три справки о внедрении и акт внедрения, они приведены в конце работы в приложении

Апробация работы Основные результаты докладывались автором'

• на международных семинарах «Математические модели и численные методы механики сплошных сред», Новосибирск, СО РАН, 1986 г. и 1996 г.; , ' ' "

• на международной конференции «Разработка газоконденсатных место-рождений», г Краснодар, 1990 г., " *

• на Всесоюзной конференции «Краевые задачи в теории фильтрации», - Казань, КГУ, КАИ, 1991 г,

• на международной конференции «Течение в пористых средах», - Москва, СО РАН, 1992 г,

• на международной конференции «Проблемы комплексного освоения трудно извлекаемых запасов нефти и природных битумов», - Казань, КГТУ (КХТИ), 1994 г.;

• на международных конференциях «Механика машиностроения», -Набережные Челны, 1995 г. и 1997 г.;

• на международной конференции «Модели механики сплошной среды», Казань, КГТУ, (КАИ), 1997 г.,

• на международной конференции «Методы кибернетики химико-^^ техно-логических процессов», Казань, КГТУ (КХТИ), 1999 г.,

• на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», Казань, КГТУ (КХТИ), 2005 г,

• на республиканской научно-практической конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии», Казань, КГТУ (КХТИ), 2001 г.;

• на итоговых конференциях КГТУ и семинарах кафедры ИПМ 1992 -2006 г г.,

• на региональных семинарах при КГУ «Численные методы решения задач подземной гидромеханики», 1990-1998 г.г. под руководством профессора В.Я. Булыгина. Все доклады, представленные на вышеуказанных конференциях и семинарах, опубликованы.

Новыми являются результаты, приведенные ниже Они и выносятся на защиту

1. Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения для каждого из основных показателей разработки слоистого пласта в зависимости от взаимного расположения его пропластков и их гидродинамической связи при заданных параметрах фиксированного вероятностного закона распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта при изотермической и неизо-^| термической двухфазной фильтрации для линейных и нелинейных функций лабораторных относительных фазовых проницаемостей

2 Новые модифицированные фазовые проницаемости и математический метод их вывода, полученные на основе коррекции исходных нелинейных проницаемостей Кв(5>), Ки(5) с помощью поправочных коэффициентов

Они основываются либо на непрерывном вероятностном законе распределения проницаемости к(г) по толщине пласта, либо на дискретном ряде распределения абсолютных проницаемостей К, и толщин Я, пропластков

0=М)

3. Новый гидродинамический результат, состоящий в том, что границы изменения каждого показателя разработки при двухфазной фильтрации всегда находятся между двумя осреднёнными решениями моделей В и С. Были рассмотрены три вероятностных закона распределения.

4 Новые модифицированные проницаемости и два математических метода их вывода при двухфазной фильтрации в модели Баклея-Леверетта в слоисгых пластах в случае, когда относительные проницаемости фаз имеют различные аналитические зависимости для различных пропластков Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки.

. 5 Результаты исследования с помощью ВЭ возможности применимости предложенных в пунктах 2, 4 новых модифицированных проницаемостей при площадном заводнении (рассмотрены пятиточечная и девятиточечная системы заводнения слоистых пластов).

6 Новые модифицированные проницаемости для двухфазной трех-компонентной фильтрации Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки, полученных на эталонной квазидвумерной модели А и осредненных моделях вис при закачке в слоистые по абсолютной проницаемости пласты водных растворов ПАВ.

7 Новые модифицированные проницаемости, полученные на основе поправочных коэффициентов аналогично пунктам 2, 4 для трехфазной фильтрации в модели Маскета-Мереса, а также для двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью в модели Г.И.Баренблатта.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения Изложена на 220 страницах машинописного текста, содержит 23 таблицы, 76 рисунков Список литературы состоит из 121 наименования. В приложении дается Акт внедрения и три справки об использовании результатов научных исследований, полученные в ТатНИПИнефть в 1985, 1989, 2000 и в 2005 г г Диссертация выполнена на кафедре информатики и прикладной математики КГТУ (КХТИ)

Краткое содержание работы

Во введении обсуждаются вопросы актуальности темы, цели работы, методики исследования, научной новизны и достоверности результатов, их практической значимости и апробации Дается обзор литературы, близкой к теме диссертации Осредненная модель С применялась в гидродинамических расчетах при двухфазной фильтрации многими авторами. В частности, в работах Р А Александрова, Ю В Волкова и других авторов в Казанском университете (КГУ) Осредненная модель В предложена в работах ряда авторов, указанных выше Её модифицированные проницаемости строятся на предположении, что распределение флюидов в пласте определяется в основном дейст-

вием гидродинамических сил, скорость продвижения фронта вытеснения в каждом пропластке тем выше, чем больше его абсолютная проницаемость. При этом принимается, что градиент давления в вертикальном направлении постоянен и незначителен в сравнении с горизонтальным, действие капиллярных и гравитационных сил не влияет на распределение жидкостей по вертикали

Этот же подход применяется во многих работах различными авторами при двухфазной и трехфазной фильтрации без учета капиллярных сил и сил тяжести, с учетом сил тяжести, а также при закачке в пласт водных растворов ПАВ (поверхностно активных веществ).

Кроме того, известен алгоритм построения фазовых проницаемостей на основе истории разработки или на основе использования результатов решения профильной задачи, как это было сделано в работах Я М.3айделя, Б.И. Леви др Р Д Каневская дата метод построения модифицированных фазовых проницаемостей на основе прослеживания координаты фронта воды при двухфазной фильтрации в каждом из изолированных пропластков.

При изучении же погрешностей осредненных моделей, как правило, за эталонное решение берутся численные расчеты двухфазной фильтрации в пласте с изолированными пропластками, т.е. рассматривается только один из эталонов А1, а не множество этих эталонов.

В данной работе с помощью ВЭ изучается погрешность расчетов по каждой из осредненных моделей л и с по сравнению с эталонными двумерными решениями Предлагается новый метод построения модифицированных проницаемостей на основе известной схемы струйного течения Показано, что этот метод применим и для случаев задания более сложных функций Кв(&),

Кн(5), полученных экспериментально в лабораторных условиях, предложено

развитие этого метода на двухфазное трехкомпонентное течете, на трехфазное течение в слоистых пластах, а также на течение в средах с двойной пористостью в слоистых пластах Рассмотрены четыре общепринятые в настоящее время модели подземной гидромеханики

ГЛАВА 1, Анализ процесса вытеснения и показателей разработки в слоистых пластах на различных моделях двухфазной неизотермической фильтрации при линейных фазовых проннцаемостях

Посвящена изучению процесса двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при линейных лабораторных проннцаемостях ВД). ВД вида

Ки(5)=(5) • [1 -5Я(5)], 0)

на основе двумерной и одномерных математических моделей.

В параграфе 1.1 дается описание физических параметров изучаемых слоистых пластов Приводится известная математическая постановка двумерной профильной задачи течения двухфазного неизотермического потока между двумя галереями в слоистом пласте при заданных давлениях на них и температуре закачиваемой жидкости Течение изучается в рамках модели Баклея-Леверетта При этом изменение температуры в окружающих породах учитывается благодаря уравнению'

5 - дТ

которое справедливо, если пренебрегать горизонтальной составляющей теплопроводности Я На границах пропластков, кровле и подошве заданы известные условия сопряжения Кроме того, учтены известные граничные условия Приводится ссылка на численный алгоритм решения профильной задачи, разработанный в публикациях Р А Александрова, Ю А.Волкова, Р Р Гайфул-лина в КГУ и конечно-разностные схемы этого алгоритма. Дано описание восьми характерных вариантов взаимного расположения пропластков для эталонов А, (,«П5) > и = 8. Им соответствует один и тот же дискретный ряд распределения. Этот ряд распределения абсолютных проницаемостей К, и толщин Н, по пропласткам является некоторой дискретной реализацией одного из трех непрерывных законов распределения либо равномерного, либо Максвелла, либо экспоненциального Приводятся функции плотности вероятности /(к) для этих трёх законов, а также функции распределения. Приводится алгоритм построения этих рядов по заданным параметрам веро-

ятностного закона распределения Даётся таблица значений К], (р1,5) -

абсолютных проницаемостей пропластков для трех законов при одинаковой толщине всех пропластков для случая пяти пропластков (и=5) при одинаковой К* и коэффициентах вариации г=0.55 для равномерного закона, V — 0.84 для закона Максвелла, у=0Я9 для экспоненциального закона распределения

В параграфе 1 2 воспроизведена известная одномерная постановка задачи двухфазной неизотермической фильтрации, используемая в осредненных моделях Приводится известная аналитическая зависимость для учета потерь тепла в окружающие породы. Делается предположение о возможности ис- л пользования модифицированных фазовых проницаемостей модели В при неизотермической фильтрации на основе допущения о постоянстве температуры Т в каждом вертикальном сечении пласта. Здесь же приводятся известные модифицированные проницаемости модели В , которые в данной работе были представлены в виде

= [ад] К-:(!>)=Кн0 (2)

В этой модели, основанной на допущении о струйности течения в каждом вертикальном сечении слоистого пласта, имеются пропластки, в которых вода уже полностью вытеснила нефть и пропластки, в которых в данный момент времени ещё нет воды Поэтому можно выделить зону воды и зону нефти.

Здесь: Кв($) - средняя проницаемость зоны воды в данном вертикальном сечении пласта, К„(8) - средняя проницаемость зоны нефти (см. ниже формулы (6) - (8))

Математический вывод этих формул приведен в работе в параграфе 2 1 при рассмотрении более сложного случая - нелинейных функций лаборатор- { ных относительных проницаемостей Кв($>), Кн(3)

В параграфе 1 3 на основе известного общего подхода построения функций К" (Б), К™ (Б) дается математический вывод этих проницаемостей для усеченного распределения функции Щ£) для вероятностного закона Максвелла при двух заданных параметрах распределения Предлагается численный алгоритм нахождения этих параметров в зависимости от заданных средней Л!'* и коэффициента вариации V слоистой неоднородности Исследованы границы изменения у при таком усеченном распределении Проведён сравнительный

анализ графиков построенных модифицированных проницаемостей с аналогичными графиками проницаемостей для равномерного закона, а также с графиками исходных линейных функций Кв{8), Кн(8).

В параграфе 1.4 в виде графиков приводятся результаты численных одномерных расчетов двухфазной неизотермической фильтрации по моделям В и С в сравнении с результатами двумерных расчетов на одном из эталонов - на А3. В нем все пропластки гидродинамически взаимосвязаны и абсолютная проницаемость К{г) изменяется сверху вниз постепенно от своего макси-^^ мального значения до минимального. Пласт, соответствующий этому эталону ну, был изучен в работе С.М. Зиновьева и Р.Г. Гайфуллина лишь на ранней стадии разработки при равномерном распределении и линейных Кв($), Кн(3) при изотермической фильтрации Здесь же рассмотрен процесс фильтрации и на поздних стадиях вплоть до момента, когда доля воды в потоке на эксплуатационной галерее достигла значения 98% Выполнено сравнение некоторых показателей разработки для одномерных и двумерных расчетов, а так же сравнение полей пластового давления и водонасыщенности, средних по вертикальному сечению, для эталона А3 с соответствующими полями, полученными по моделям В и С Графики основных показателей разработки, особенно коэффициента нефтеотдачи, количества добытой нефти, доли воды в потоке на эксплуатационной галерее практически вписываются между кривыми результатов моделей В и С Таким образом, результаты двух известных осредненных моделей являются ограничениями сверху и снизу для одного из эталонов при изо- и неизотермической фильтрации.

В параграфе 1.5 приводятся в виде таблиц и графиков результаты расчетов показателей разработки для всех эталонов А1, (1=1^8) в сравнении между

собой при изо-, а также неизотермической фильтрации, когда закачивается вода, холодная или горячая относительно начальной температуры пласта Для каждого показателя разрабогки получено семейство кривых по всем А1 Эти

кривые могут существенно отличаться друг от друга, вплоть до 30% при горячем заводнении

Проводится анализ двумерных течений с учетом наличия и отсутствия вертикальных перетоков между пропластками. Наиболее существенные перетоки наблюдаются в эталоне А1, в котором все пропластки гидродинамически связаны и лучший по абсолютной проницаемости пропласток находится рядом

с худшим, а лучший из оставшихся - рядом с худшим из них В эталоне А& в котором все пропласши изолированы, естественно, отсутствуют перетоки Наличие вертикальных перетоков приводит к лучшему вытеснению нефти и к весьма существенному различию в значениях для каждого из показателей разработки Граничными кривыми для каждого семейства кривых эталонов являются всюду на рисунках кривые эталонов Л7 и которые в свою очередь с погрешностью до нескольких процентов вписываются между кривыми моделей ВиС Кривые моделей в и С являются граничными кривыми для каждою из указанных выше в параграфе 1 4 показателей разработки

На основании анализа результатов расчетов даются соответствующие рекомендации по возможности применения осредненных моделей В и с в совокупности или отдельно для приближенных расчетов процесса фильтрации, тех или иных показателей разработки при изотермической двухфазной фильтрации, а также при холодном и горячем заводнении Две модели хорошо дополняют одна другую Были рассмотрены три закона распределения.

На рис 1 приведены графики исходных лабораторных линейных

Ки{5) и их модифицированных К'н(5>) проницаемостей для равно-

мерного закона распределения для различных значений коэффициента вариации V. При и-0 имеем две прямые линии, которые совпадают с исходными

линейными функциями Кд(8), К„(5!) вида (1). При V >0 кривые К£(8) выпуклые вверх относительно исходной прямой Кд(8), а кривые К'"($) вогнутые вниз относительно прямой Ки(5)

На рис.2 приведены графики коэффициентов нефтеотдачи для изотермической фильтрации для двумерных эталонов А„ (1=1^8), их граничные положения снизу и сверху - эталоны Ав и А?

На рис 3 приведены графики коэффициентов нефтеотдачи для неизотермической фильтрации при закачке в пласт горячей воды При горячем заводнении существенно расширяются границы эталонов А, по сравнению с изотермическим случаем

&

Рис. I Равномерный закон и закон Максвелла

Р.закон К = 0.55, Т = 30РС.

с

• / X ____■*' "в

0 Я* А

1/>

1 2 •С

Рзакон К =0.55, Т.. =100"С,

с

\

х в

* 1

у

Рис.2 Графики зависимости коэффициента 7](тк) ■

К , К -линейные

Рис.3 Графики зависимости коэффициента Т](Т,),

• К. К -линейные

н К

Эталонные кривые А1 на обоих графиках хорошо вписываются между двумя осредненными решениями в и С - это основной новый результат первой главы. Аналогичные графики были получены для двух других вероятностных законов распределения к(г) и приведены в работе Буквой В£ обозначена на последних двух рисунках кривая для модели В£- дискретного аналога модели В Эти решения совпадают с погрешностью до 2% Они совпадают и теоретически при предельном переходе от дискретного ряда распределения к непрерывному вероятностному распределению Математический вывод формул модели В£ приведен в главе 2 ^

ГЛАВА 2. Анализ процесса вытеснения в слоистых пластах при нелинейных относительных фазовых проницаемостях

Посвящена изучению процесса двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при нелинейных лабораторных проницаемостях Кв(5),Кн($) вида

= [1-5(5»Г (3)

(при а=0=2,3) на основе численных решений по двумерной и одномерным моделям и построению новых модифицированных фазовых проницаемостей

В параграфе 2.1. приводится подробное описание струйного вытеснения и алгоритм построения модифицированных проницаемостей при таком вытеснении. Впервые теоретически и с помощью ВЭ показано, что формулы (2) применимы только для случая линейных лабораторных функций Кв(5),Кн(5) Дается теоретическое обоснование нецелесообразности применения этих проницаемостей при нелинейных функциях Кй (6*), Кн (£) И при расчетах в этом случае получается большое отклонение в значениях по- " казаталей разработки по сравнению с эталонами А1. Этот вывод получен на

основе сравнения численных расчетов в двумерном и одномерном случаях при нелинейных проницаемостях вида (3). Поэтому ставится задача о построении новых ^(5), К™ О?), которые бы и в нелинейном случае давали

для значений основных показателей разработки ограничения снизу, аналогичные линейному случаю, полученному в первой главе Иными словами, необ-

ходимо получить для нелинейного случая результаты, аналогичные результатам, приведённым на рис.3 (линейный случай).

В параграфе 2 2 строятся эти новые модифицированные проницаемости. По аналогии с линейным случаем они получены коррекцией исходных лабораторных проницаемостей, подправленных с помощью определенных поправочных коэффициентов и имеют вид

к: (8) = Кв (5) ■ А(8), к: (5) = К „(8) ■ В(8), (4)

где поправочные коэффициенты такие

Д51) = Ке/К\ В(8) = Ки /К" (5)

При изменении Х(г) в пределах а < К(г) < Ъ имеем-ь

К' = \к/{к)с1к, (6)

а

_ Ь Ъ

К8 = J к • /(к)М / /(*)<# - (7)

к: СО *(.)

/(*)Л/ ]/(к)с}к - (8)

где /(*) - функция плотности распределения

При этом величину ЛГ(.у) находим в результате численного решения уравнения:

гм

1-^0) = 1/(*)<». (9)

а

Построенные кривые К%(8) имеют на рисунках графический

вид относительно исходных лабораторных Кд(8), Кн(8), полностью аналогичный виду линейного случая на рис 1 Кроме того, они совпадают с уже известными модифицированными проницаемостями (2) при переходе к линейным лабораторным функциям Кд($), Ки(8) для всех трех рассмотренных законов распределения.

В этом же параграфе приведены расчетные., формулы новых К™ (Б) для случая дискретного задания абсолютной проницаемости и толщины по пропласткам изучаемо! о слоистого пласта - для модели ВЕ

Формулы модифицированных проницаемостей для дискретного случая зависят от конкретного распределения К,, Н, по пропласткам слоистого пласта Формулы для непрерывного случая основаны на функции f(x), которая связана с тем или иным вероятностным законом распределения Поэтому приведенные в работе формулы модифицированных проницаемостей для дискретного случая можно рекомендовать для любого вероятностного закона распределения K{z) Они универсальны

В параграфе 2 3 приведены в виде графиков результаты численных расчетов двумерных эталонов А1, (1=1$), при двухфазной неизотермической фильтрации, а также осредненных одномерных моделей в и с при нелинейных проницаемостях вида (3) В последней используются новые K"(S) Проводится сравнительный анализ результатов численных расчетов Для основных показателей разработки результаты модели в являются ограничением снизу для эталонов Д Результаты модели с - ограничение сверху На рис. 5 приведены проницаемости для равномерного закона при v-055 для случая кубических зависимостей Ke(S),KH(S). По своему взаимному положению графики этого рисунка аналогичны графикам рис 1 А именно, K"(S) лежат ниже K„(S), a - выше К„($).

На рис. 4 приведены графики коэффициента нефтеотдачи Аналогично линейному случаю рис 2 и при данном нелинейном случае эталоны А: лежат между кривыми осредненных решений В и С Здесь буквой В, обозначены кривая модели В L, которая получена по известным ранее формулам (2) Эти формулы нельзя использовать при нелинейных функциях K£(S), K™(S), что хорошо видно на рис 5 Этот рисунок иллюстрирует основной результат второй главы Результаты модели в , полученные по формулам (4) , являются ограничением снизу для эталонов Результаты модели С являются для них ограничением сверху Итак, решена задача, поставленная в параграфе 2 1

Здесь же даются рекомендации о возможности использования этих моделей отдельно и в совокупности для приближенных гидродинамических расчетов Опять, как и в линейном случае, обе осредненные модели в и с хорошо дополняют одна другую Аналогичные результаты были получены и приведены для всех трех вероятностных законов распределения К(~), описанных

во введении - равномерном, Максвелла и экспоненциальном.

Р.закон V = 0.55, Т„=3(?С , Кн, К в - кубы

Р. Закон, ^0.55, Кй,Кн- кубы

Рис.5 Относительные и модифицированные проницаемости

Г.ЛАВА 3. Модифицированные фазовые проницаемости для пласта с различными лабораторными фазовыми прони-цаемостями по прогшасткам

Глава посвящена изучению двухфазной изотермической фильтрации в таком слоистом пласте, где функции Кв(Я), Кн(5) различны для разных про-

иластков. Математически построить общие для всего пласта модифицированные проницаемости - достаточно сложная задача. Она решена в этой главе.

В параграфе 3.1. дается физическое описание такой гидродинамической задачи и приведены известные рекомендации российских и иностранных специалистов по практическому заданию значений степеней для функций Кв($>), Кн{8) по пропласткам для реальных слоистых нефтяных пластов.

Эти функции заданы в виде (10).

В параграфе 3.2. рассмотрена и решена эта задача для случая, когда относительные фазовые проницаемости заданы в виде:

Кв(Я) = Кв0(Я)-К{8)Т, К,ХЯ) = К„0(8) (10)

где а ,, [} , - константы, зависящие от номера г пропластка а,, Д > 1.

При этом модифицированные фазовые проницаемости, математически полученные в этом параграфе с помощью определенных физических допуще-

Рис.4 Изотермический случай

ний и введения нового физического понятия «фиктивный слоистый пласт» и его «фиктивных проницаемостей», имеют вид

К(Я=Кь\Рп(Р)Т= -2Г(5) (11)

Здесь а — тахаг,, ¡3" =ттД, А* {8),В* (8) определяются на основании допущения о струйности течения отдельно в первом и втором фиктивных слоистых пластах соответственно и являются едиными для исходного слоистого пласта.

Дается физическое и математическое обоснование возможности такого вычислительного алгоритма

В параграфе 3.3. проведены численные гидродинамические двумерные и одномерные расчеты для нескольких характерных слоистых пластов с различными по пропласткам функциями Кв{8), Кн(8). Для модели в модифицированные проницаемости были заданы в виде (11).

Приведем один из примеров, в котором изучается слоистый пласт, состоящий из пяти пропластков одинаковой толщины, но с разными значениями исходных лабораторных проницаемостей. Далее данный пласт будем обозначать «пласт 1» В пласте I были заданы

ед^^-Ко?)]2 при/ = 1,2,3,4,5,

при 1=3 К„(8)-Кн0(8) • [ад]2 при г = 1,2,3,4,5,

ад=£„0(5)-[ад] при 1=3

Рассматривался равномерный закон распределения абсолютной проницаемости по толщине при коэффициенте вариации у=0.55 Расчеты проводились для следующих значений абсолютной проницаемости пропластков- АГ1==(Щг, К2 = 0,3Д , К, =0,5Д. К, =0,1 Д, АГ5=0,9Д-

По аналогии с предыдущими одномерными решениями первых двух глав в модели С использовались средние по толщине пласта значения проницаемостей в виде-

(Ш-

1

ш=

(12)

В данной работе предлагается еще один подход к построению модифицированных проницаемостей (обозначим ихК'д {8), когда.

Функции К[ (5), ^(5) получаются коррекцией средних по толщине пласта проницаемостей с помощью коэффициентов Д£), 5(5). Расчетные формулы этих коэффициентов получены математически и приведены во второй главе для исходного слоистого пласта при допущении о струйном характере вытеснения в нем для частного случая линейных функций Кв{Б), Кн(!$). Одномерную модель, использующую проницаемости (13) и среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость, назовем моделью ВС Полученное численное решение назовем решением ВС

На рис.6 даны графики лабораторных проницаемостей Кв($), Кн(£>) пласта 1, полученных по кернам, и модифицированных проницаемостей (13).

На рис 7 приведены графики средних проницаемостей (ЛГв(5')), (К^Б)) (12) и модифицированных проницаемостей К'^З), вычисленных по (13)

На рис. 8 приведены также кривые модифицированных проницаемостей К"(Я), построенных по формулам (11)

ЬР' к°{8)

Н и

5(5) (13)

Рис. 8 Пласт 1 Рис. 9 Пласт 1

На рис. 9 представлены зависимости коэфициента нефтеотдачи от времени разработки пласта в случае одномерного вытеснения (по формулам ((10), (12), (13)), а также в случае двумерного профильного течения (эталон А ).

Полученные результаты аналогичны результатам, приведенным в 1 и 2 главах. Из рисунка видно, что эталонное решение А лежит в диапазоне: одномерных решений в (или в С ) и с . Это характерно и для других показателей разработки. Например, всюду для коэффициента нефтеотдачи 7] кривая, соответствующая решению с находится выше, чем кривая, соответствующая эталонному решению А , а кривые В и ВС — ниже. Для доли воды в потоке р взаимное расположение кривых другое. Результат решения с занижает решение модели А , а решения в (или ВС) завышает. При этом решение в (или ВС) точнее приближается к эталонному решению гю сравнению с решением С для всех показателей разработки.

Этот рис. 9 иллюстрирует основной результат третьей главы. Решена поставленная в начале этой главы задача построения единых для всего пласта ЛГ'И(5) • Графики проницаемостей (11) и (13) близки до 3% и поэтому

численные расчеты по формулам (11) и (13) тоже достаточно близки, что хорошо видно на рис. 8 и рис. 9.

ГЛАВА 4. Модифицированные фазовые проницаемости при закачке в иласт водных растворов ПАВ

При разработке нефтяных месторождений широко используется закачка водных растворов поверхностно-активных веществ (ПАВ), Попробуем распространить описанный выше метод построения модифицированных прони-

цаемостеи для осредненной модели В , полученной во второй главе, на случай двухфазной трехкомпонентной фильтрации в слоистых по абсолютной проницаемости пластах при изотермической фильтрации с учетом закачки ПАВ.

Этому вопросу посвящена четвертая глава,

В параграфе 4 1 дается физическое описание задачи и её математическая постановка в одномерном и квазидвумерном случаях. Рассмотрено двухфазное течение несмешивающихся жидкостей без учета капиллярных и гравитационных сил при закачке в неоднородные по абсолютной проницаемости пласты водного раствора ПАВ заданной концентрации Допускаем, что примесь заданной концентрации С растворима только в воде, сорбция с пористым скелетом отсутствует и от концентрации примеси зависит только относительная проницаемость нефти. Течение происходит в полосообразном слоистом пласте, состоящем го пяти изолированных пропласгков (квазидвумерная задача) одинаковой толщины, между двумя галереями при заданном перепаде давления Нагнетательную галерею примем за контур питания (КП) Приводятся математическая постановка задачи при известных начальных и граничных условиях и известный численный алгоритм ее решения по конечно-разностным схемам А А Самарского, данные в работах А Н Чекалина, Ю А Волкова и др. Функции лабораторных проницаемостей воды и нефти Кв($,с) и Кн(8,с) взяты из работ БИЛеви Модифицированные проницаемости модели в получены по аналогии с формулой (4) главы 2, при дополнительном допущении о независимости концентрации с от г . Поправочные коэффициенты А{8), В(8) в случае равномерного и экспоненциального законов имеют аналитический вид, поэтому модифицированные проницаемости для равномерного закона получены в виде

[1 + гл/Г(1-ЗД))], К®С)=Ки(8,с)\\-У4З8п(8)} . (14)

Модифицированные проницаемости фаз в случае экспоненциального закона имеют вид (15) Подробный вывод этих формул даётся в Приложении.

МпЗД], ССЗД-ВДс)

(15)

В параграфе 4.2 приведены результаты численных расчетов по трем моделям

На рисунках 10 и 11 приведены графики функций Кя(5!,с) и Кн(8,с),

их модифицированных проницаемостей для этих двух законов при максимальном значении с=005 По взаимному расположению кривых лаборатор-

ных относительных проницаемостей и модифицированных проницаемостей эти графики аналогичны графикам рис. 1 и рис. 4.

На рис. 12 приведены графики коэффициента нефтеотдачи эталона А и осредненных моделей В и С при закачке в пласт ПАВ. Эталонное решение ограничено снизу и сверху осредненными решениями. Это основной результат первых двух параграфов четвертой главы.

0.2 0.4 0.6 О-в 5

Рис. 10. Закачка ПАВ при с=0,05, равномерный закон

О 0.2 0.4 0 6 О.в Д'

Рис. 11. Закачка ПА В при с=0,05, экспоненциальный закон

Рис. 12. К(х)=-\, а подчиняется экспоненциальному закону при ^ = 0,885, с = 0,05

Аналогичные графики получены в работе и для других, показателей разработки.

Здесь же был решен случай, когда нефтяные пласты неоднородны как по толщине, так и по простиранию. Абсолютная проницаемость пропластков слоистого пласта была задана в виде

К1 (х) - а, ■ К(х), (¡=Гп), (16)

24

ТГ

где К(х) - функция зональной неоднородности, которая представима в аналитическом непрерывном или кусочно-непрерывном виде. Параметр неоднородности по толщине пропластков подчиняется некоторому вероятностному закону распределения (экспоненциальному или равномерному).

На рис. 13 приведены графики для одного из таких случаев задания зональной и слоистой неоднородностей одновременно. Этот рисунок аналогичен рис. 12.

п

0.4 0,3 0.2 0 1 о

О 1000 2000 3000 4000 ^

Рис. 13. К(х)=(\0-9х)/5.5, а подчиняется экспоненциальному закону с у = 0,885, С — 0,05

Итак, здесь показана принципиальная возможность применения "струйного" подхода при моделировании течения и для случая закачки в пласт водных растворов ПАВ путем введения модифицированных проницашостей. Эта модификация осуществлена с помощью поправочных коэффициентов, полученных на основе допущений струйного течения. Показана возможность применения "струйного" подхода при рассмотрении слоистых пластов, неоднородных как по толщине, так и по простиранию, что позволило существенно расширить рамки применения данного подхода при гидродинамических расчетах.

В этой же главе рассмотрена возможность, применимости модифицированных проницаемостей глав 1 - 3 в задачах площадного заводнения слоистых пластов при двухфазной фильтрации, построенных на основе допущения о струйности течения в слоистом пласте.

В параграфе 4.3. исследуется погрешность двух известных осредненных по толщине слоистого пласта моделей двухфазной фильтрации. Рассматрива-

ется двухфазное изотермическое вытесение нефти водой в рамках модели Бак-лея-Леверетта при площадном заводнении в слоистом пласте при пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. На приведённом ниже рисунке 14 схематично показан симметричный элемент пятиточечной системы заводнения: одна нагнетательная скважина в центре квадрата, а вокруг четыре добывающих скважины. На рисунке 15 - то же для девятиточечной системы: есть одна, нагнетающая воду скважина в центре, а вокруг восемь добывающих скважин. Математическая постановка двумерной (х, у) -задачи двухфазной фильтрации с известными краевыми условиями дана в работах А.Н. Чека-лина. Там же приводится численный алгоритм решения, который был реализован в данной работе.

КГ]

Рис. 14. Пятиточечная система заводнения

Рис. 15. Девятиточечная система заводнения

Задача была решена с линейными, а также с квадратичными и кубическими исходными проницаемостями Кв (8), КИ (8) и средней К' в двумерной постановке (С — модель), а также в двумерной постановке с модифицированными К"(8), К"(8) (17) и средней К* {В - модель) для равномерного и экспоненциального законов распределения задания абсолютной проницаемости К(г) изучаемого слоистого пласта. В случае равномерного закона модифицированные проницаемости таковы:

(17)

В качестве эталонного численного решения (А — модель) взято квазитрёхмерное решение задачи для пятислойного пласта с изолированными про-

3$

пластками, абсолютная проницаемость которых подчиняется заданному распределению На рис. 16, 17 приведены графики коэффициента нефтеотдачи в зависимости от количества прокачанных поровых объёмов, полученного для линейных и кубических Кв{8), Кн(5>), единых для всех пяти пропластков По-прежнему, осредненные решения в я с ограничивают снизу и сверху эталонное решение А, как и в главах 1-3 Функции К(г), Ке(5!), Кн($) -

коэффициенты системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая определяет известную математическую модель Эти результаты аналогичны результатам, приведённым на графиках многочисленных примеров глав 1-3 для коэффициента нефтеотдачи т} и других показателей разработки Там было проведено сравнение х -задачи с (х,^)-задачей Таким образом, в данном параграфе получены аналогичные результаты в более сложном случае при площадном заводнении. Показана возможность применимости модифицированных проницаемостей (17)

Здесь же был рассмотрен ещё более сложный случай задания слоистой неоднородности. Пусть абсолютная проницаемость К(г) по пропласткам подчиняется равномерному закону распределения при у=0.55, а исходные лабораторные относительные фазовые проницаемости имеют в различных пропластах различный вид*

£-0,3 0,8-0,3

*„(<?) =0,7

0,8-5

0,8 - 0,3

А

(18)

где а, , ¡3 , - даны в таблице 1, в которой приведены исходные параметры дая одного из рассмотренных в этом параграфе примеров

Ниже приведены формулы для расчета относительных проницаемостей для простейшей осредненной модели С (см. главу З)-

(19)

•"/=1 п ,=1

Формулы модифицированных проницаемостей фаз (модель 5 ) для равномерного закона распределения К(г) имеют вид:

п+ул/З (1-^(5))],

0,8 — 0,3

о;

о,

о,

о,

о

о

о

2

3

О

2

3

Рис. 16. Линейные К3{8), К „(Б), Рис.17. Кубические Кн(8),

На рис, 18 даны графики результатов расчетов для этого случая.

Был рассмотрен неоднородный по толщине слоистый пласт с изолированными пропластками одинаковой толщины прямоугольной конфигурации В={0<х<а0<у<Ь}, вскрытый девятиточечной (или пятиточечной) системой заводнения для а = Ь = 800м, Н=5м, т-0,2, = 3 МПас, цв =1МПас, Н,=Н2=Нз=Н4=Н5=1м.

Давление на нагнетательной скважине и контуре питания 22 МПа, давление на добывающих скважинах 12.5 МПа. Расстояние от КП до ближайшего ряда скважин 200 м, между рядами скважин тоже 200 м.

Проведено тестирование двумерного алгоритма; получено, что сетка 33x33 узла удовлетворяет балансовым соотношениям с заданной погрешностью расчетов до 1%. В центре пласта - нагнетательная скважина, по периметру — эксллутационные скважины. Дается ссылка на используемый численный алгоритм.

На рис. 18 хорошо видно, что осредненные решения в и с ограничивают снизу и сверху эталонное решение А для коэффициента нефтеотдачи в зависимости от количества прокачанных поровых объёмов. Это говорит об обоснованности применения этих двух осреднённых моделей в совокупности при площадном заводнении в слоистых пластах при двухфазной фильтрации. Это основной результат параграфа и всей главы.

В первых трех главах с помощью ВЭ было проведено исследование возможности применимости схемы струйного течения для моделирования двух-

пятиточечная система

девятиточечная система

28

ТТ

фазного течения в слоистых пластах между двумя галереями. В этом параграфе получены аналогичные результы для площадного заводнения слоистых пластов с учетом работы нагнетательных и эксплуатационных скважин.

Ч

Таблица 1 Равномерный закон распределений К(г)

I 1 2 3 4 5

К, 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

щ 2 2 1,5 1 1

Д 2 2 1,5 1 1

0,6 0,5 0,4

0,3 0,2 0.1

сд. ______

/

(// у' •..........."В "

Г

/

|/

{

Рис. 18. Девятиточечная система заводнения

В параграфе 4.4. решается задача о минимуме срока разработки залежи в зависимости от размещения галерей. Дается постановка задачи оптимизации и метод её решения.

Рассматриваем полосообразные пласты: либо неоднородные по простиранию, т.е. с заданием зональной неоднородности, либо неоднородные по толщине, т.е. с заданием слоистой неоднородности. Зональная неоднородность задана аналитически, слоистая - или по Р. закону, или по усеченному М. закону. Пласт с двусторонним контуром питания (КП) разрабатывается двумя /-галереями, которые работают с каждой стороны по одной поочередно. Задан перепад давлений Ар, между КП и работающей галереей, прямо пропорциональный расстоянию между ними. Каждая галерея отключается при заданном проценте обводненности продукта с]. Рассматриваемый пласт обладает симметрией относительно /-той галереи как по расположению галерей, так и по абсолютной проницаемости. На обоих КП поддерживается

одинаковое давление Поэтому нет течения между двумя работающими i - ми галереями. Задачу оптимизации решаем для левой относительно /—той галереи части пласта. Ищем минимум t— суммарного времени работы /-галерей в зависимости от их положений а,, где а, - расстояния между (/—1)—ой и / - той галереями - лежат в заданных пределах а, < а, < a,, i = 1,1 Пусть t , - время работы i — той галереи Положение КП и последней I — той галереи фиксировано Расстояние между ними равно L. Одновременно находим соответствующие количества добытой нефти, попутной воды, суммарной закачки жидкостей, коэффициент нефтеотдачи пласта и др. / >-i

* = X t, • 0чевидно, что t, = t, (а,, ]Г aJ) •

Поэтому данная задача математически сводится к нахождению / i-i

min f=mm ^ X «у)

приусловиях X а, = L, а><а,<а,, i = !,£■

Эта задача является типичной задачей динамического программирования Ее решение дается известными рекуррентными функциональными уравнениями Р. Беллмана, которые приведены в работе.

Вычисление t ¡ - времени работы i - той галереи при решении дайной

задачи оптимизации сводится к численному решению по конечно-разностным схемам А.А Самарского известной системы дифференциальных уравнений, записанной для двухфазной изотермической фильтрации в модели Баклея-Леверетта Краевые условия берутся в известном виде. Система взята при условии, что фильтрация одномерная, поэтому используются модифицированные проницаемости В модели. В случае зонально-неоднородных пластов рассматриваем эту же систему, но вместо вберутся к(х), а вместо фиктивных K"(S) используются исходные Ke(S), KH(S) При работе г-той галереи эта система дифференциальных уравнений решается численно до того момента времени, когда выполнится условие: F1 < С ¡, где F, - доля

воды в потоке на галерее при работе i -той галереи Эта задача оптимизации позволяет проиллюстрировать эффективность одномерных численных расчетов с модифицированными проницаемостями при многовариантных расчетах

Полученные оптимальные решения хорошо согласуются с известными решениями аналогичной оптимизационной задачи, решённой в работах Ю.П.Борисова при однофазной фильтрации.

ГЛАВА 5. Модифицированные фазовые проницаемости в математических моделях многофазной фильтрации

В этой главе рассмотрены вопросы о возможности применения модифицированных проницаемостей, основанных на струйном течении, для математического моделирования фильтрации в осредненных слоистых пластах в средах с двойной пористостью в рамках модели Г.И. Баренблатта, а также для трехфазной фильтрации в слоистых пластах в рамках модели Маскета-Мереса

В параграфе 5 1. рассмотрена двухфазная фильтрация в трещиновато-пористых средах без учёта капиллярных сил Пусть течение жидкостей происходит в слоистых по абсолютной проницаемости пластах. Проницаемость в трещинах задана вероятностным распределением с плотностью вероятности

/м{к), а в блоках - с плотностью / 6 (к). В силу малости абсолютной проницаемости в блоках полагаем, что в них течение жидкостей отсутствует и = — 0. Также полагаем, что пористость в трещинах и*=0. При этих допущениях приведена известная двумерная система уравнений для нахождения давления Рм, водонасыщенности а также водонасыщенности 5 6 , при известных краевых условиях и известной аналитической зависимости перетока из блоков в трещины д(Т), где Т - безразмерное время эксплуатации

залежи, Р(8М) - доля воды в потоке Вместо исходной двумерной (х, г) -задачи была решена одномерная (х) -задача со средним значением абсолют-

ной проницаемости К " и модифицированными (исправленными) фазовыми проницаемостями, полученными по аналогии с формулами (4) второй главы, которые в данном случае имеют вид:

ь

к

а

к

к

а

н

Км' /*(к)с1к, <? = -—• \q(z)dz

а "О

Для определения значения к численно решаем уравнение -

1 - ----= [/м(к)с1к

М* _ S М

Модифицированные проницаемости получены следующим способом При записи уравнений одномерной задачи фильтрации используется известный закон Дарси

_ К(г) дР . _ к Щ2)дР

В силу того, что цвфн- заданные константы, запишем нефтепровоц-ность и гидропроводность в виде

<тв = Кв{8м)-К{2\ а. =*„($")•*(*)•

Осредняем <Ув,сГн по толщине слоистого пласта с учётом струйности течения в трещинах и затем эти осреднёнвые величины используем в одномерных уравнениях двухфазной фильтрации в рамках модели Баренблатта

Этот способ используем в случае линейных зависимостей ./^{У), В

нелинейных случаях корректируем исходные по формулам

(11) и получаем зависимости К^ (Я"), К^(8М) вида (21)

В параграфе 5.2 исследуем возможность понижения размерности задачи о трёхфазной фильтрации в слоистых пластах путём введения модифицированных фазовых проницаемостей вместо исходных относительных проницаемо-стей, являющихся коэффициентами системы дифференциальных уравнений в рамках модели Маскета-Мереса Рассмотрена трёхфазная фильтрация в указанной гидродинамической модели в слоистом по абсолютной проницаемости пласте Абсолютная проницаемость К(г) подчиняется одному из известных вероягностных распределений с плотностью вероятности./^ Исходные относительные фазовые проницаемости фаз обозначим Кв(8в), ^(5^,5^), К (5,)

Здесь индексы в, н, г означают соответственно воду, нефть и газ Полагаем, что эти зависимости те же самые, что и в известных работах, указанных в параграфе, либо идентичные и получены лабораторным способом

№

В рамках указанной модели запишем закон Дарси в общем виде для каждой фазы

= -К(г) —" , у„ = -К(г) —- •

/Л дх " Эх

д

= -К (г)

Мг дх

Полагаем, что ¡ле, ]ИИ, цг - заданные константы, запишем нефтепровод-ность, гидропроводность и газопроводность (проводимости фаз) в виде:

сгв ^кжл) вд, сгй а^шлут-

В случае линейных зависимостей функций относительных фазовых про-ницаемостей осредняем эти величины по толщине слоистого пласта с учётом струйности течения и допущения о независимости от г газонасыщекности После осреднения получим модифицированные проницаемости каждой из трёх фаз. Затем подставляем эти проницаемости в одномерные уравнения трёхфазной фильтрации

Итак, путём осреднения проводимости для каждой фазы получены осред-нённые по толщине пласта модели трёхфазной фильтрации и их модифицированные фазовые проницаемости. В работе рассмотрены способы получения некоторых из этих моделей при линейных относительных фазовых проницае-мостях при различных физических допущениях.

При нелинейных функциях Кд(Зв), Кн(Бг,5"в), Кг{Эг) проницаемости

К^(8в), К^(Зг,8в), ^(5.) получены на основе коррекции исходных относительных проницаемостей поправочными коэффициентами аналогично случаю двухфазной фильтрации с помощью формулы (4) главы 2 Математический вид этих коэффициентов приведен в работе

Предложенный в данной работе метод построения модифицрованных проницаемостей фаз, основанный на поправочных коэффициентах, полученных при струйном течении для линейной случая, можно применить и для более сложных моделей фильтрации. Например, при математическом моделировании переноса частиц различного размера двухфазным фильтрационным потоком в слоистых пластах в рамках известной модели, указанной в данном параграфе работы Д.П Никаньшина, или при фильтрации оторочки загустителя в слоистых пластах в рамках модели известной работа В.М Конюхова, А В.Костерина, А Н Чекалина При этом за основу можно взять физические и математические допущения четвертой и пятой глав данной работы

В случае различных по пропласткам исходного слоистого пласта лабораторных относительных проницаемостей фаз при трехфазном течении используем формулы и математический метод, подробно описанный в главе 3 Однако, приведенные там формулы нужно видоизменить и записать с учетом трехфазности потока.

Общие выводы

По результатам диссертации можно сделать следующие выводы

1 Процесс двухфазной неизотермической фильтрации и значения показателей разработки в слоистых пластах существенно зависят от температуры закачиваемой воды, взаимного расположения пропластков, их гидродинамической связи, а также вида исходных лабораторных Кв (5), Кн (5).

2 Численные расчеты, проведенные по простейшей осредненной модели С, дают завышенные значения количества добытой нефти и коэффициента нефтеотдачи по сравнению с двумерными решениями задачи - эталонными решениями.

3. Численные расчеты по осредненной модели в , использующей известные модифицированные фазовые проницаемости, только при линейном виде лабораторных Кв(5>), Ки(5) дают заниженные результаты показателей

разработки по сравнению с эталонными решениями, которые образуют семейство кривых в зависимости от взаимного расположения пропластков Эталонное семейство при этом находится в интервале между двумя приближенными решениями, полученными по моделям в и С, для каждого из указанных показателей разработки Поэтому можно рекомендовать для приближенных расчетов обе эти модели

4 Расчеты по модели в при нелинейных функциях Ке(8), Ки(5) яают

неудовлетворительные результаты, вследствие чего возникает задача пос грое-ния новых модифицированных фазовых проницаемостей

5 Предложены новые модифицированные проницаемости и метод их построения Они основываются на коррекции лабораторных относительных проницаемостей путем умножения последних на поправочные коэффициенты, которые получены математически на основе известного вида модифицированных проницаемостей Эти новые проницаемости совпадают с известными при линейных функциях Кв(5), Ки(&)

6. Расчеты двухфазной фильтрации при нелинейных функциях Ке($), Кн(5>) с новыми модифицированными проницаемостями дали положительные результаты, аналогичные результатам линейного случая лабораторных

Кв(8), Кн(8) (эталонное семейство находится между двумя приближенными значениями для указанных показателей разработки). Поэтому можно рекомендовать построенные модифицированные проницаемости, а также метод их построения в совокупности с моделью С, для использования в численных расчетах при любых лабораторных функциях Кд(£>), КЯ(Д) -линейных и нелинейных

7 Построены новые модифицированные проницаемости для случая задания по пропласткам исходного слоистого пласта различных аналитических зависимостей функций относительных фазовых проницаемостей для каждой фазы Предложены модифицированные проницаемости двух видов. Коррекция лабораторных относительных проницаемостей осуществляется с помощью поправочных коэффициентов, полученных математически на основе струйного течения. Численные расчеты дали допустимую погрешность, аналогичную погрешностям более простых случаев течения, указанных выше Это новый гидродинамический результат

8 Построенные новые модифицированные проницаемости дали положительные результаты в смысле погрешности и при рассмотрении задач площадного заводнения в слоистых пластах.

9. Основываясь на струйном течении, получены новые модифицированные проницаемости для двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в пласты водного раствора ПАВ. Численные расчеты фильтрации и в этом случае показали допустимость применимости полученных модифицированных проницаемостей

10 В работе предложены модифицированные проницаемости для трехфазной фильтрации в слоистых пластах, которые основываются на известной схеме струй, а также для фильтрации в слоистых пластах в средах с двойной пористостью.

Итак, в результате этой работы существенно расширились рамки применимости метода модифицированных фазовых проницаемостей при допущении о струйности течения в слоистых пластах. Были рассмотрены задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации, а также двухфазной трехкомпонентной фильтрации, двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью и трехфазной фильтрации, являющиеся основными моделями подземной гидромеханики Решена проблема построения осреднённых моделей на основе схемы струй На основе этих моделей решена проблема определения границ разброса для каждого из основных показателей разработки слоистого пласта с учетом недостатка информации о гидродинамической связи между пропластками слоистого пласта.

В Приложении к диссертации даётся подробный математический вывод модифицированных фазовых проницаемостей, используемых в первых четырёх главах для известных вероятностных распределений абсолютной проницаемости по толщине слоистого пласта В частности, были рассмотрены гамма-распределение и бета-распределение, которые широко применяются в практике гидродинамических расчетов в различных проектных организациях Здесь же приложены справки об использовании результатов научных исследований и акт внедрения, полученные в разные годы в ТатНИПИнефть г. Бугульма.

Список публикаций по теме диссертации:

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК |

1. Плохотников, С.П Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей / С.П Плохотников, В.В. Елисеенков // Прикладная механика и техническая физика. (ПМТФ).- Новосибирск: РАН СО, 2001.-Т 42, №5,2001 С 115-121.

2 Елисеенков, В.В. Использование модифицированных относительных проницаемостей при проведении гидродинамических расчетов в слоистых нефтяных пластах / В.В Елисеенков, С.П. Плохотников // Инженерно-физический журнал. - Минск, 2002 Т 75, №2. С. 81-84

3. Плохотников, С.П. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов /СП Плохотников, Д С Плохотников, Д.С Марвин, Р X Фатыхов // Вестник технологического университета- ж КГТУ. - Казань, 2005. Т.1. С 396-401.

4 Плохотников, С.П Математическое моделирование трёхфазной фильтрации в слоистых пластах с учётом схемы струй / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, В.В. Елисеенков, А.С Климова // Вестник технологического университета, ж. КГТУ. - Казань, 2005. Т 2 С. 173-178.

5. Плохотников, Е Р Схема струй и поправочные коэффициенты при двухфазной фильтрации / ЕР. Бадертдинова, С.П Плохотников, ДС Плохотников, В.А.Тарасов С.П. Бадертдинова // Ж. «Вестник технологического университета» - Казань, КГТУ, 2006 Т 1 С 83-94 |

6 Плохотников, С П Модифицированные фазовые проницаемое ги при' закачке в пласт водных растворов ПАВ / СП Плохотников, Д.С Плохотников, Р X Фатыхов, Е Р Бадертдинова // Вестник технологического университета ж КГТУ. - Казань, 2005. Т. 1.С.388-396.

Монография

1 Плохотников, С П Математическое моделирование фильтрации в слоистых пластах /СП Плохотников, Р X Фатыхов- Монография, Казань, КГУ, 2006 -192 С

Научные работы

1 Бадертдинова, ЕР Обобщенные модифицированные фазовые проницаемости двухфазной фильтрации / Е.Р Бадертдинова, В В Елисеенков, С П Плохотников // Молодая наука - новому тысячелетию Тезисы докладов. Набережные Челны, 1996 -С 12-13

2. Волков, Ю.А Расчёт показателей разработки слоистых пластов на моделях двухфазной неизотермической фильтрации / Ю А.Волков, С П Плохотников // Задачи рациональной разработки нефтяных месторождений и вопросы теории фильтрации 4 1.-Казань Казан физ-тех ин-т Казан, фил АН СССР, 1986 - С 39-47.

3. Волков, Ю.А. О применимости осреднённых моделей для расчёта показателей разработки неоднородного пласта/ Ю.А Волков, Ю В Масехно-

•вич, СП Плохотников // Динамика многофазных сред - Новосибирск. ИТПМ СО АН СССР, 1987 -С. 230-235

4. Елисеенков, В В Исследование погрешности осреднения при двухфазной фильтрации / В.В Елисеенков. С П Плохотников // Механика машиностроения Механика сплошной среды: тезисы докладов Межд. научно-технической конференции. - Набережные Челны, 1997. - С. 59, 60.

5 Елисеенков, В В Расчет двухфазного течения в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей / В Елисеенков, С П.Плохотников // Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа-машиностроении: докл. 1 Междунар. конф - Казань. КАИ, 1997 -С 123-125

6 Елисеенков, В В. Гидродинамические расчеты при двухфазной неизотермической фильтрации / В.В .Елисеенков, С П.Плохотников, ЕР Бадертдинова // Методы кибернетики химико-технологических процес-сов' тезисы докладов 5-ой междунар. научн. конф. - Казань, 1999. - С. 204.

7 Мухаметзянов, Ф М Построение осреднённых моделей двухфазной фигарации на основе схемы струй / Ф М Мухаметзянов, С П Плохотников // Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации разработки месторождений. - Казань КФАН СССР, ФТИ, 1989 - С. 63 - 71

8 Мухаметзянов, Ф.М. Решение некоторых задач фильтрации в трещиновато-пористых средах (в модели Баренблатта) / Ф.М Мухаметзянов,

^^Р.Ш Марданов, С П Плохотников, А Г. Фатыхов // Моделирование процессов фильтрации и разработки нефтяных месторождений - Казань- ИММ КНЦ РАН, 1992г С 42-51

9. Мухаметзянов, Ф М. Расчёт гидродинамических показателей разработки слоисто-неоднородных пластов в двухфазном потоке /Ф М. Мухаметзянов, С.П Плохотников, Казане физ -тех. инс-т КФ АН СССР // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи -Казань, 1985 42 -С 68-75.

10 Плохотников, С П Осредненные модели трехфазной фильтрации / С.П.Плохотников, Н.К.Нуриев //Разработка газоконденсатных месторождений Секция 6. Фундаментальные и поисковые научные иссле-дования* сб докл. Междунар. конф. -Краснодар, 1990 -С. 184-187

11 Плохотников, С.П. К вопросу о вычислении фиктивных фазовых прони-цаемостей в слоисто-неоднородных пластах /СП Плохотников, JI. А. Плохотни-кова, Н. К. Нуриев // Деп -во ВНИИОЭНГ, № 1664Н288.1988 г. - 32 С

12 Plohotnikov, S P. Method of modified permeability to phase construction / S.P. Plohotnikov, V.V. Skvortsov , L.A. Plohotnikova //Flow through porous media fundamentals and reservoir engineering applications. Proc/ of Intern Conf Moskow, 21-26 Sept. 1992. M • Inst of Problems of Mech, 1992. C. 107-108.

13 Плохотников, С.П Исследование погрешности осреднённых моделей при площадном заводнении слоистых пластов /СП Плохотников, Д.С.Плохотников, О.Б.Марвин // труды Международной конференции ММТП. - Казань КГТУ (КХТИ), 2005. С. 125-130

14. Плохотников, СП. Об осреднённых моделях трёхфазной фильтрации /СП Плохотников // Вопросы подземной гидромеханики, сб КГУ -Казань, 1990. С 56-61

15. Плохотников, С.П Обобщенные модифицированные проницаемости / С.П. Плохотников, В В. Елисеенков // Математические модели и численные методы механики сплошных сред- тезисы докладов ~ Новосибирск, 1996 С 140-141.

16 Плохотников, С.П Модифицированные проницаемости фаз/ С.П Плохотников, В.Д.Слабнов // Доклады Межд.конф. «Проблемы комплексного освоения трудноизвлекаемых запасов нефти и природных битумов», Т 6, С. 2004-2009 Казань, КГТУ (КХТИ), 1994

17 Плохотников, С П К вопросу об использовании осредненных моделей для расчета показателей разработки слоистого пласта / С.П.Плохотников, Казан, физ.-тех ин-т, Казан, фил АН СССР // «Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи» - Казань, 1985г 4.1 С. 115-125

18 Плохотников, С П К вопросу о вычислении фазовых проницаемостей в слоистых пластах / С.П. Плохотников; Казан, физ.-тех. Ин-т, Казан фил. АН СССР // Оптимизация нефтедобычи и вопросы подземной гидромеханики-Казань, 1987.- С. 74-86, С. 115-125.

19. Плохотников, С.П. Влияние неоднородности пласта по проницаемости на рациональное размещение галерей. / СП. Плохотников, Казан, физ.-тех. ин-т, Казан фил АН СССР // «Задачи рациональной разработки нефтяных месторождений»-Казань, 1986 ч 1 ,С 39-47.

Заказ 231

Офсетная лаборатория Казанского государственного технологического университета 420015, Казань, К Маркса, 68

Актуальность темы. Задачу повышения эффективности добычи нефти и газа можно частично решить за счет применения оптимальных систем разработки нефтяных месторождений, широкого внедрения современных методов увеличения нефтеотдачи пластов и применения прогрессивных технологических процессов - таких, например, как закачка в пласт горячей воды или водных растворов ПАВ (поверхностно-активных веществ).

Слоистая неоднородность горных пород-коллекторов нефти является одним из наиболее распространенных типов неоднородности. Она обусловлена самой природой осадкообразований, условия которых резко меняются под действием, например, таких факторов как тектоническое движение земли, колебания в климате, изменения скорости движения вод и ветров. В зависимости от проявления этих факторов мощности и проницаемости слоев изменяются в широких пределах. В некоторых случаях отдельные слои изолированы друг от друга глинистыми перемычками, в других случаях такие перемычки отсутствуют и пласт представляет собой гидродинамически связанную по мощности систему. На рисунке слева приведена заимствованная из [41] кернограмма продуктивных песчаников Д1 и Д2, построенная по данным исследования скважины №455 на Туймазин-ском месторождении.

Проницаемость мдарси Проницаемость мдарси

Туймазинского месторождения Абдрахмановской площади

Ромашкинского месторождения

Из анализа кернограммы следует, что продуктивные пласты на этом месторождении сложены из тонких пропластков, высоты которых не превышают 0.2 - 0.3 метра, а проницаемости находятся в пределах 150 - 1200 миллидарси. Подобные же выводы вытекают из анализа кернограмм других скважин. Показано, что слоистая неоднородность ярко выражена на Ромашкинском месторождении (на рис. справа) и многих других месторождениях.

При проведении многовариантных гидродинамических расчетов приходится рассматривать трёхмерные задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации, а при закачке в пласт водных растворов ПАВ -двухфазной трехкомпонентной фильтрации. Сделать это довольно сложно из-за недостатка геологической информации о строении пласта (особенно наличия или отсутствия глиняных перемычек между пропластками на всём протяжении пласта, а не только на отдельных его участках), а также существенных затрат машинного времени (особенно при решении задач оптимальной разработки, где приходится проводить многовариантные гидродинамические расчёты). Следует отметить, что, несмотря на широкое использование в гидродинамических расчетах трехмерных моделей - программные комплексы «ТРИАС», Oil Expert, «Техсхема» и др., вопрос понижения размерности задачи остается актуальным, особенно при объединении пластов в пачки на некоторых участках месторождений.

В работе используем общепринятые обозначения [16, 102]: S - водо-насыщенность пласта; K(z) - абсолютная проницаемость слоистого пласта, зависящая от его толщины z\ Ke(S),KH(S) - относительные фазовые проницаемости, полученные лабораторным способом по кернам; Цв,1лн - вязкости фаз; т - пористость пласта; Р-давление в пласте; Г-температура в пласте; x,y,z- координаты; t - время; K™(S), K™(S) - модифицированные проницаемости фаз; ¡С- средняя по мощности пласта абсолютная проницаемость. Остальные обозначения будут введены дальше по тексту.

В работе рассмотрены течения в слоистых пластах в рамках каждой из четырех известных математических моделей фильтрации:

1. Двухфазное изотермическое и неизотермическое течение без учета капиллярных и гравитационных сил в рамках модели Баклея-Леверетта (уравнения (1.1) - (1.3));

2. Двухфазное трехкомпонентное течение с учетом закачки в пласт водных растворов ПАВ (уравнения (4.2) - (4.4));

3. Трехфазное течение в рамках модели Маскета-Мереса (уравнения (5.7) - (5.9));

4. Двухфазное течение в трещиновато-пористых средах в рамках модели Г.И. Баренблатта (уравнения (5.1)- (5.3)).

Для всех названных моделей приведены формулы модифицированных фазовых проницаемостей, полученные на основе коррекции лабораторных относительных проницаемостей с помощью поправочных коэффициентов. Эти коэффициенты получены на основе известной схемы струйного течения.

Важнейшим элементом моделирования является построение трехмерной геометрической модели пласта на основе интерпретации сейсмических исследований с последующим насыщением этой модели информацией о распределении основных геологофизических характеристик пласта (пористости, проницаемости, насыщенности и др.) поданным геофизических и гидродинамических исследований скважин и изучения керна с использованием детерминистических или геолого-статистических методов. Объем пласта рассматривается как упорядоченная совокупность блоков, каждому из которых приписывается по одному значению каждого параметра. Ввод свойств породы и флюидов для каждого расчетного блока, площадь сечения которого в горизонтальной плоскости определяется сотнями квадратных метров при толщине в несколько метров, является очень сложной и трудоемкой задачей. Масштаб керна определяется сантиметрами. Геофизические измерения в скважинах, как правило, имеют радиус проникновения в пласт порядка нескольких метров. О строении и свойствах межскважинного пространства можно судить только по данным отраженных сейсмических волн и вертикального сейсмического профилирования, а также по результатам гидродинамических исследований пласта, в частности, пьезометрии (гидропрослушивании). Однако, по данным сейсмики не могут быть непосредственно определены свойства породы и пласта. Результаты закачки трассеров, гидропрослушивания и т.п. позволяют лишь косвенно оценивать осреднённые значения фильтрационно-ёмкостных параметров, но не могут дать детальной картины распределения свойств. Поэтому при заполнении массивов данных о свойствах породы и жидкостей необходимо, во-первых, решать проблему интерполяции и экстраполяции данных измерений по скважинам на межскважинное пространство, а во-вторых, проблему усреднения или масштабирования данных, полученных на масштабах керна и геофизических исследований, на масштаб расчетных блоков. Проблема усреднения проницаемости, и особенно относительных фазовых проницаемостей, является очень сложной и до сих пор остается областью активных научных исследований [45]. Эта проблема рассматривается в данной работе.

Одной из наиболее простых и достаточно распространённых схем неоднородного пласта является слоистый пласт.

Если слои не сообщаются, то каждый из них может моделироваться по отдельности. Слои необходимо моделировать совместно, даже если они отделены один от другого в следующих случаях: при совместной разработке, если слои сообщаются через скважины или если невозможно разделить продукцию и закачку скважин по слоям; если имеется общая законтурная область. Во всех этих ситуациях реализуются схемы послойного течения, а взаимодействие слоев учитывается через граничные условия. Попытка осреднить течение по вертикали и свести задачу к двумерной приводит к изменению вида исходных уравнений. В частности, оказывается, что эффективные фазовые проницаемости в такой системе являются нелокальными характеристиками и зависят не только от средней насыщенности, но и от граничных условий и времени.

Если слои сообщаются, то в общем случае необходимо использовать многомерное моделирование. Упрощенное допускается лишь в случае, когда толщина пласта намного меньше характерного продольного размера, а капиллярные и гравитационные силы, способствующие перераспределению флюидов по вертикали, несущественны по сравнению с действием внешнего перепада давления, обуславливающего течение между скважинами. Тогда трехмерное течение можно описывать при помощи осредненных по вертикали двумерных моделей с использованием осред-ненных или так называемых модифицированных (псевдофункций) относительных фазовых проницаемостей и капиллярного давления. Модифицированные фазовые проницаемости капиллярное давление учитываются в моделях пониженной размерности вместо исходных зависимостей. Основное предположение при введении модифицированных фазовых проницаемостей слоистого пласта состоит в постоянстве по вертикали продольной составляющей градиента давления. В этом случае обобщенный закон Дарси может быть записан для средней скорости фильтрации н и1 = ¡и^/Н с уЧетом осредненных по толщине абсолютной и относи0 тельных проницаемостей. Здесь Н-толщина пласта.

При осреднении исходных уравнений фильтрации по толщине пласта средняя насыщенность и модифицированные фазовые проницаемости вводятся следующим образом:

Н Н н кк|Ы2Г тс11 | Ыг о о

Это самый общий вид [15,4,116].

К = ±гг> 1=н,в м

Наиболее простой вид модифицированные фазовые проницаемости слоистого пласта имеют в случае поршневого вытеснения нефти водой в каждом слое. Это известная схема струйного течения. В работе получил дальнейшее развитие метод построения модифицированных фазовых проницаемостей на основе схем струй.

В работе рассматривается двухфазное течение в слоистых по абсолютной проницаемости пластах, однородных по простиранию. При этом абсолютная проницаемость К(г) по пропласткам задается вероятностным законом распределения с функцией плотности /(х) при фиксированных параметрах распределения Г - средней абсолютной проницаемости и V-коэффициента вариации слоистой неоднородности. В каждом вертикальном разрезе рассматриваемого слоистого пласта эти два параметра неизменны. В этом случае К(г) - случайная непрерывная величина в зависимости от высоты г. Осредненную модель при этом будем называть непрерывной.

Если же К(г) задана дискретно с помощью ряда распределения К1,

Н1 по пропласткам слоистого пласта, то имеется дискретное вероятностное распределение. Осредненную модель в этом случае называем дискретной.

В практике гидродинамических расчетов используются осредненные по толщине пласта модели двухфазной фильтрации, позволяющие понизить размерность исходной задачи и эффективно провести гидродинамические расчеты. Одной из таких моделей фильтрации является модель В.Я. Булыгина [16, 116], построенная на основе схемы струй для слоисто-неоднородных пластов, в которых абсолютная проницаемость задана непрерывным вероятностным распределением. Эта модель была предложена только при линейных лабораторных зависимостях от водонасыщенно-сти в относительных фазовых проницаемостей воды и нефти [78]. Модель схемы струй назовем В моделью. В ней используются модифицированные 9 проницаемости фаз и средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость. Позже этот подход был распространен на случай нелинейных относительных фазовых проницаемостей в работах автора диссертации [74, 77, 78]. А также на случай двухфазной трехкомпонентной фильтрации [35, 38, 76] и на трёхфазную фильтрацию [75, 79]. Наряду с этой моделью будем рассматривать простейшую осредненную модель, в которой используются исходные лабораторные фазовые проницаемости и средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость. Ее назовем С моделью. При рассмотрении течения между двумя галереями необходимо отметить, что модели В и С являются одномерной х-задачей. Эти модели приведены в различных работах [45, 49, 103, 116,120]. Исходная двумерная задача иногда решается при лабораторных фазовых проницаемостях в квазидвумерной постановке, когда рассматриваются несколько изолированных между собой пропластков. Чаще эта задача решается в двумерной постановке с учетом течения между пропластками по вертикали [103] (то есть (х,г) -задача). В работе рассматриваются варианты Д(1=1,п) этой (х,г) -задачи, различающиеся между собой положением по толщине слоев с различной проницаемостью. Результаты численных расчетов по моделям А; будем принимать за эталонные. Более подробное описание моделей Д , В и С дано ниже.

Модели С и В названы осредненными условно потому, что в них используются осредненные по толщине характеристики пласта и жидкостей. С точки зрения гидродинамики, обе эти модели являются одномерной постановкой модели Баклея-Леверетта, только относительные проницаемости фаз, используемые в них, различны. Однако для удобства и краткости изложения всего материала работы, условимся обозначать осредненные модели разными буквами. В частности, это удобно для того, чтобы обозначать на всех приведенных ниже рисунках результаты, полученные с теми или иными относительными фазовыми проницаемостями, исходными, полученными лабораторным путем, либо модифицированными, полученными на основе определенных допущений при осреднении нефте- и гидро-проводностей. При построении новых модифицированных проницаемостей будем вводить новые обозначения для одномерных осредненных моделей, использующих эти новые проницаемости.

Сопоставление результатов численных расчетов основных гидродинамических показателей разработки слоистых нефтяных пластов, полученных по трем описанным моделям, представляется актуальным с точки зрения выбора осредненной модели для приближенных гидродинамических расчетов. Осредненная модель В использовалась для расчетов некоторыми авторами при линейных исходных относительных проницаемостях Кв(8), Поэтому в работе приводится вывод расчетных формул для нелинейных исходных зависимостей Кв(5>), Кн(5), на основе подправле-ния исходных лабораторных проницаемостей. Последнее существенно расширяет возможности применения этой модели и этого подхода при осреднении и потому тоже актуально.

Известно [2, 4, 30, 45, 46, 47], что для различных пропластков относительные проницаемости часто задают различными функциями от водо-насыщенности. При этом построить единые для всего слоистого пласта модифицированные проницаемости достаточно сложно. Значительный практический и научный интерес представляет обоснование возможности использования единых модифицированных проницаемостей и вывод их расчетных формул в случае, когда относительные проницаемости каждой фазы представлены различными аналитическими зависимостями для отдельных пропластков. Дается вывод этих модифицированных проницаемостей. Наконец, расширение возможности применения этих моделей в случае трехкомпонентной фильтрации и в случае трёхфазной фильтрации, а также исследование точности расчетов по осредненным моделям в сравнении с эталонами Д тоже актуальная задача.

Целью данной работы является анализ влияния характера слоистой неоднородности пласта на процесс вытеснения нефти водой и на величину каждого из основных показателей разработки при изо- и неизотермической двухфазной фильтрации. Кроме того, проводится построение на основе допущения о струйности вытеснения новых модифицированных фазовых проницаемостей, позволяющих по упрощенным одномерным моделям двухфазной фильтрации получить верхнюю и нижнюю границы для некоторых показателей разработки вне зависимости от характера слоистой неоднородности для различных законов распределения абсолютной проницаемости К(г). В работе исследуется вопрос о применимости полученных модифицированных проницаемостей в задачах подземной гидромеханики. На основе струйного вытеснения строятся модифицированные проницаемости для трёхкомпонентной фильтрации, а также трёхфазной фильтрации в рамках модели Маскета-Мереса.

В данной работе предложены новые модифицированные фазовые проницаемости К™(£>), К* (К), основанные на схеме струй, для случая нелинейных исходных проницаемостей. Сделаны оценки численных расчетов показателей разработки, полученных по осредненным моделям с этими новыми проницаемостями. Построены модифицированные проницаемости для трех законов распределения абсолютной проницаемости по пропласт-кам. С полученными проницаемостями проведены гидродинамические расчеты основных показателей разработки при двухфазной изо- и неизотермической фильтрации. Проведено исследование применимости этих модифицированных проницаемостях при площадном заводнении в слоистых пластах.

Проведено исследование возможности применения модифицированных фазовых проницаемостей при проведении гидродинамических расчетов в случае, когда относительные фазовые проницаемости представлены различными аналитическими зависимостями для отдельных пропластков исходного слоистого пласта.

На основе струйного вытеснения предложены новые модифицированные фазовые проницаемости в случае двухфазной трехкомпонентной фильтрации (при закачке в слоистые пласты водного раствора ПАВ). Проведены численные расчеты и исследование применимости полученных формул.

Построены модифицированные проницаемости и для трёхфазной фильтрации.

Методика исследования. Изучение вопроса близости значений основных показателей разработки, полученных при численных расчетах по одномерным осредненным моделям, по сравнению со значениями этих же показателей, полученными на основе двумерных численных расчетов, для линейного и нелинейного случаев задания исходных Кв($), Кн(£>) осуществлялось способом вычислительного эксперимента (ВЭ). Первые упоминания о ВЭ мы нашли в статьях В.Я. Булыгина [15,17]. Более развитая идеология этого метода научно-технических исследований была представлена в монографии [88]. Этот ВЭ предполагал проведение численных гидродинамических расчетов для двумерной задачи - эталоны Д и х-задач В и С моделей, и последующего сравнения значений показателей разработки. При этом модели В и Сстроятся известным способом и используют физические параметры эталонов, в которых расположение пропластков задавалось некоторыми характерными способами, указанными дальше в параграфе 1.1 первой главы.

Численные расчеты проведены по известному вычислительному алгоритму, разработанному в Казанском государственном университете, использующему дивергентные, полностью консервативные конечно-разностные схемы, записанные на основе единого подхода в одномерном и двумерном случаях. Эти схемы аналогичны схемам, которые используются при применении попеременно-треугольного метода [85].

Новая осредненная модель использует модифицированные фазовые проницаемости, построенные для нелинейных проницаемостей АГв(5), Кн(8) путём их коррекции с помощью коэффициентов, полученных на основе схемы струй, предложенной в работах В.Я Булыгина, С.М. Зиновьева, А.К. Курбанова и Г.А. Атанова [15-18, 31, 38, 41, 50] для случая линейных исходных проницаемостей Кв(15), КН(Б). Аналогичный этим работам метод применялся и в работе [116].

Дискретные аналоги для этой новой модели строились по аналогии со случаем для непрерывного закона распределения, но ее модифицированные проницаемости получены с учетом дискретности задания К(г) по пропласткам исходного слоистого пласта.

Численные расчеты для случая двухфазной трехкомпонентной фильтрации проведены по известным консервативным разностным схемам А.А. Самарского [85], полученным интегро-интерполяционым методом.

Обоснованность и достоверность результатов численных расчетов подтверждается использованием известного численного алгоритма [3, 19, 23, 24, 29, 30] достаточно хорошо апробированного и широко внедренного в практику гидродинамических расчетов двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в мощных слоистых пластах с учетом гидродинамической связи между пропластками в двумерном и одномерном случаях.

Расчетные формулы модифицированных проницаемостей для ос-редненных моделей, полученные для нелинейного случая задания исходных проницаемостей Кв($), совпадают в частном линейном случае с формулами модели В для линейного случая. Эти формулы для дискретных моделей полностью совпадают с формулами моделей для случая непрерывных законов при переходе от дискретного способа задания неоднородности пропластков по толщине пласта к непрерывному вероятностному закону распределения. При расчетах были взяты пять пропластков в слоистом пласте и результаты получились очень близкими для дискретных и непрерывных моделей и в линейном, и нелинейном случаях задания исходных

Известно, что многие нефтяные месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью [15, 16, 41, 45-48, 95, 116]. Провести при этом эффективно численные многовариантные гидродинамические трехмерные или хотя бы двумерные расчеты с учетом двухфазности и не-изотермичности потока крайне сложно из-за недостатка геологической информации о пласте и существенных затрат машинного времени. К тому же нефтяники стремятся оперировать сравнительно простыми расчетными моделями [2, 31, 46, 57, 95, 97, 102]. Поэтому в расчетах применяются ос-редненные по толщине пласта модели, позволяющие понизить размерность исходной задачи на тех или иных участках слоистого месторождения и тем самым значительно упростить численные расчеты.

В некоторых работах [3, 22 и др.] при расчетах используются средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и исходные проницаемости фаз Кв(5>),Кн(5>), полученные лабораторным путем, т.е. модель С.

Расчеты по этой модели дают удовлетворительные результаты только при малых значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности пласта.

Более перспективным оказался подход, основанный на схеме струй, впервые примененный в условиях двухфазной фильтрации В.Я. Булыгиным [16, 17], - модель В. В нем используется средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и модифицированные проницаемости фаз. Эта модель дает удовлетворительные результаты и при больших (вплоть до максимальных) значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности, но только при линейных зависимостях Ке(^,Кн(8) (подробное описание модели приведено в главе 1). Этот же подход применяется во многих работах различными авторами при двухфазной и трехфазной изотермической фильтрации, и даже с учетом сил тяжести, а также при закачке в пласт водных растворов ПАВ [5, 16, 18, 31, 41, 50, 53, 90-93, 108, 109, 116].

Однако, в общем случае исходные проницаемости, полученные лабораторным способом, являются нелинейными функциями от 5 и возникает задача о построении осредненных моделей при нелинейных исходных относительных проницаемостях. Подробнее этот вопрос рассмотрим во второй главе.

В работах [6, 40 ] и др. изучаются модели, в которых модифицированные проницаемости строятся на основании истории разработки. При отсутствии банка данных по истории разработки ( в частности, на стадии предпроектных расчетов) такие модели применять невозможно.

В работах [91, 92] и др. предлагаются осредненные модели, в которых модифицированные проницаемости строятся на основе допущения о прямо пропорциональной зависимости водонасыщенностей пропластков и их абсолютных проницаемостей в каждом вертикальном сечении пласта с изолированными пропластками. Погрешность построенных моделей изучается на ранних стадиях разработки при малых различиях вязкостей при изотермической фильтрации, а также при закачке в пласт ПАВ. В работе [ 43] путем прослеживания координаты фронта воды при двухфазном вытеснении в каждом из изолированных между собой пропластков получены модифицированные проницаемости для системы изолированных пропластков. Они зависят не только от средней по толщине пласта водонасыщен-ности, но и от времени разработки, вязкостей фаз, их начального распределения в пропластках, закона распределения абсолютной проницаемости, перепада давлений. Полученные при этом проницаемости не базируются на исходных лабораторных проницаемостях полученных при двухфазной фильтрации. Однако, при отношении вязкостей (лв1 ¡лн-1 полученные модифицированные проницаемости совпадают с проницаемостями, полученными в работах [18, 50] при Ке(8 )=KH(S*)=^, из-за чего, вероятно, расчеты использующие эти проницаемости, дают удовлетворительные результаты при двухфазной фильтрации в слоистых пластах только при линейных зависимостях Кв($), АГН(5).

Аналогичный схеме струй метод построения модифицированных фазовых проницаемостей применяется в гидродинамической части современной автоматизированной системы проектирования «Техсхема», подробно описанной в работе [60], а также при решении трехмерных многофазных задач прогнозирования, анализа и разработки месторождений нефти и газа в монографии [38]. В них проводится построение модифицированных проницаемостей при объединении пластов в "пачки" на тех или иных участках месторождений.

В работе [44] получены аналитические зависимости модифицированных фазовых проницаемостей слоистого пласта с сообщающимися слоями с учетом двухфазности потока в каждом слое. Полученные фазовые проницаемости зависят от средней водонасыщенности, закона распределения проницаемости по слоям и базируются на исходных лабораторных фазовых проницаемостях. Однако, для нефтяной фазы получен совершенно иной графический вид относительно Кн(5>), по сравнению с видом, предложенным в работах [6, 40, 41], а также в работах автора диссертации [72, 74, 75, 76, 79, 80]. Из-за этого численные расчеты с такими проницаемостями для показателей количества добытой нефти или коэффициента нефтеотдачи не дают оценку снизу (нижнюю границу), аналогичную оценке, которая получается в указанных работах по отношению к эталонам Д и приведена в данной работе. В данной работе построенные модифицированные проницаемости также опираются на исходные лабораторные и закон распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта, но основываются на поршневом вытеснении в каждом слое, т.е. на схеме струй. В некоторых из перечисленных работ, например в работах [31, 30, 50, 91, 92], изучается с помощью ВЭ (вычислительного эксперимента) точность численных расчетов гидродинамических показателей разработки и самого процесса изотермической двухфазной фильтрации в слоистых пластах, полученных на основе осредненных моделей. Причем, за эталонное решение, как правило, берутся численные расчеты процесса двухфазной фильтрации в пласте с изолированными пропластками, т.е. рассматривается только один из эталонов Д , описанных выше. Единственной статьей, в которой в качестве эталонного решения рассмотрено двухфазное течение в пласте, состоящем из системы гидродинамически связанных пропластков, расположенных только одним определенным образом, является [42]. Однако, и в ней рассмотрен лишь один образец из ряда Д для малого различия вязкостей {¡лв1 ¡лН-Ъ) и только на начальной стадии процесса разработки пласта.

Обзор методов осреднения можно найти в работах [2,31,41,45,69, 95].

В отличие от перечисленных работ, в публикациях [8,9,10, 25, 26, 3538, 66-68, 71-84], на основе которых написана данная работа, изучены слоистые пласты, в которых пропласткм располагаются различными способами и некоторые из них могут быть гидродинамически связанными, а некоторые -изолированными. Исходные относительные проницаемости могут быть и нелинейными функциями водонасыщенности. В этом случае на основе допущения течения по схеме струй строятся аналоги модели В для этого нелинейного случая. Назовем их моделями типа В. Рассмотрены случаи не только изотермической и неизотермической двухфазной фильтрации на ранних и поздних стадиях разработки при больших значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности, но и фильтрация при закачке в слоистые пласты водных растворов поверхностно-активных веществ. Полученные модифицированные проницаемости совпадают по своему графическому виду с модифицированными проницаемостями работ [6, 40] и др., полученными на основе данных по истории разработки или путем решения профильной (х,2) -задачи. Полученные осредненные модели двухфазной фильтрации используются при решении некоторых задач разработки при площадном заводнении слоистых месторождений. Решать эти задачи на основе эталонов при двухфазной фильтрации даже на современных ЭВМ затруднительно из-за нехватки геологической информации о пласте, особенно, на стадии предпроектных расчетов, а также существенных затрат машинного времени. Использование осредненных моделей делает такие задачи практически решаемыми [57, 65, 87, 90].

В настоящее время в различных областях науки и техники накоплен большой опыт построения и использования математических моделей для постановки и описания физического или математического эксперимента. Разработаны общие взгляды на вопросы построения моделей, приемы моделирования, методы оценок пригодности моделей для целей исследования [21]. Решением естественно-научных проблем средствами вычислительной математики занимались многие авторы, в частности, Г.И. Марчук

60], Н.Н. Моисеев [62], Самарский [85], Л.Н. Тихонов [96], Н.Н. Яненко [110], и др. [22, 32, 34, 40, 86, 99, 112, 114].

Современный уровень математического моделирования и высокопроизводительные ЭВМ позволяют наряду с лабораторными и промышленными экспериментами проводить при проектировании, анализе и управлении разработкой нефтяных месторождений ВЭ. Выявлению путей эффективного использования ЭВМ при гидродинамических исследованиях, а также при создании и совершенствовании математических моделей фильтрации и методов расчета на ЭВМ посвящены работы В.Я. Булыгина [15-19], .С.Басниева [14], .Г. Вахитова [21,22], .В.Голубева[28], В.Д. Лысенко [57], М.М. Максимова и Л.П. Рыбицкой [58], В.М. Ентова [34], В.В. Скворцова [88], Э.В. Скворцова [89], М.Х. Хайруллина [101], Р.Д. Каневской А.Н. [44], Чекалина [103, 104], М.И. Швидлера [108], В.П.Майера

61], Э.С.Закирова [39], и др. [1, 2, 3, 18, 46, 54, 87, 93, 97, 107, 111, 113, 116].

Физика процесса вытеснения нефти водой в пористых средах и математические модели теории фильтрации подробно описывались и изучались в работах [4, 6-10, 12-15, 18, 22, 27, 29, 43, 61, 70, 102, 105, 120, 121].

Теория разностных схем как метод решения задач математической физики в настоящее время хорошо развита [19, 20, 60, 85, 99, 103, 104, 110].

Опыт же применения этого метода для решения практических задач фильтрации отражен в работах [23, 30, 46, 53, 54, 55, 63, 64, 90, 91, 92, 94, 95, 97, 100, 103, 113, 114, 115], в материалах семинаров и конференций. Построение численных алгоритмов решения задач двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах дано в работах [3,15, 18, 19, 23, 29, 30,31, 83, 104, 106]. Работа выполнена при поддержке гранта АН РТ №08-8.3-34/2006 Ф(Г) «Математическое регулирование нефтедобычи с учетом КВС в неоднородных пластах при различных граничных условиях для элемента заводнения и различных вероятностных законов.»

В настоящей работе предлагаются: Результаты расчетов на эталонах А1 (1=1, п) двухфазной фильтрации и гидродинамических показателей разработки при изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при линейных исходных проницаемостях Кв(^,Кн(5) при распределении абсолютной проницаемости по толщине пласта для законов: равномерного, экспоненциального и Максвелла. Анализ полученных результатов.

1. Результаты расчетов процесса фильтрации этих же показателей разра ботки на осредненных моделях В и С и сравнение с эталонными пункта 1.

2. Новые модифицированные проницаемости построенные для нелинейных исходных проницаемостей Кв(3),Кн(8), а также для случая, когда исходные проницаемости Кв($),Кн(5) представлены различными аналитическими зависимостями для отдельных пропластков. При этом абсолютная проницаемость по толщине пласта - К(г) задавалась непрерывным вероятностным распределением или дискретно, при помощи рядов распределения проницаемостей ^ и толщин Н] пропластков слоисто го пласта 0 -\т).

3. Результаты расчетов на эталонах Л (1=1,п) гидродинамических показа телей разработки при нелинейных исходных проницаемостях Кв(8), Кн(8), заданных в виде квадратичных и кубических зависимостей, и различных для отдельных пропластков.

4. Результаты расчетов на осредненных моделях этих же показателей и сравнение их с эталонными пункта 4 для двухфазной фильтрации.

5. Новые модифицированные проницаемости Кд($),К*(!5) и результаты расчетов фильтрации на эталонах А1 и осредненных моделях В и С при нелинейных исходных проницаемостях ^„С^) в случае двухфазной трехкомпонентной фильтрации.

6. Исследование с помощью ВЭ погрешности полученных осредненных мо делей при площадном заводнении в слоистых пластах.

7. Новые модифицированные проницаемости для трёхфазной фильтрации в рамках модели Маскета-Мереса, а также для сред с двойной пористостью (модель Баренблатта).

В первой главе изучается двухфазная неизотермическая фильтрация в слоистых пластах, с учетом и без учета гидродинамической связи между пропластками при линейных исходных проницаемостях ад.

В параграфе 1.1 дается физическое описание изучаемых слоистых пластов, приводится известная [23, 41, 103, 104] математическая постановка - задачи течения двухфазной жидкости между двумя галереями в слоистых пластах при заданном перепаде давлений в рамках модели Бак-лея-Леверетта [102, 112]. Рассмотрены случаи, когда абсолютная проницаемость К(г) подчиняется равномерному закону распределения, экспоненциальному закону, либо усеченному распределению Максвелла.

Описаны 8 характерных эталонов Д (1=1,п), соответствующих определенному расположению пропластков слоистого пласта. Здесь же рассмотрен случай, когда все пропластки гидродинамически изолированы.

В параграфе 1.2 дается математическое описание известных осред-ненных моделей С и В. Делается предположение о возможности использования В модели при неизотермической фильтрации.

В параграфе 1.3 строится численный алгоритм для расчета модифицированных проницаемостей В модели, по которому находим два параметра распределения при задании К(г) вероятностным законом Максвелла. Эти параметры вычисляются аналитически в зависимости от средней по толщине абсолютной проницаемости К* и коэффициента вариации слоистой неоднородности V. Далее по уже известному численному алгоритму [15, 18, 41, 116] определяются модифицированные фазовые проницаемости К™ (51), К™ (5).

В параграфе 1.4 в виде графиков приведены результаты расчетов по моделям В и С при линейных исходных Кв(5>),Кн(£>) в сравнении с результатами расчетов на эталонах Л 3 . Пласт, соответствующий этому эталону, был подробно изучен при равномерном законе и линейных проницаемостях Кв(/5), Кн(5) при изотермической фильтрации в работе [42], но только на ранних стадиях разработки. В данной работе рассмотрен процесс разработки и на поздних стадиях вплоть до момента времени, когда доля воды в потоке на эксплуатационной галерее равна 0.98. Проведено сравнение некоторых показателей разработки, а также полей пластового давления и водонасыщенности, средних по разрезу, для эталона Аъ с результатами расчетов по моделям В и С.

В параграфе 1.5 предложены результаты расчетов эталонов Д (1 = 1,п) , в сравнении между собой при изо- и неизотермической фильтрации, а также в сравнении с расчетами по моделям В и С. На основании этого даются рекомендации по использованию моделей В и С отдельно и в совокупности, для приближенных гидродинамических расчетов.

Во второй главе изучается двухфазная неизотермическая фильтрация в слоистых пластах при нелинейных лабораторных проницаемостях ад, ад.

В параграфах 2.1 - 2.3 предлагаются новые модифицированные проницаемости для расчетов двухфазной изо- и неизотермической фильтрации в слоистых пластах при нелинейных исходных проницаемостях

АГв(5), АГК(5). Изучается двухфазная фильтрация на эталонах Д (/ = 1,8), и на осредненных моделях, использующих новые проницаемости. Делаются соответствующие выводы о близости численных значений показателей осредненных моделей по сравнению с эталонами.

В параграфе 2.1 дается подробное описание схемы струй и ее модифицированных проницаемостей при двухфазной фильтрации. Анализируются результаты численных расчетов значений некоторых показателей разработки по эталонам и осредненным моделям В и С, и обосновывается необходимость построения новых модифицированных проницаемостей. Причем, модели, использующие эти модифицированные проницаемости, должны давать при расчете некоторых показателей разработки такие же положительные результаты в смысле близости в сравнении с эталонами, которые были получены при линейных исходных проницаемостях к„(5).

В параграфе 2.2 строятся эти новые проницаемости на основе схемы струй.

В параграфе 2.3 приведены результаты расчетов на эталонах А; , а также построенных новых осредненных моделях, одного из их дискретных аналогов - модели и модели С для случаев, когда исходные проницаемости Кв($),Кн(>- квадратичные или кубические зависимости при тех же двух вероятностных законах распределения К(г). Проводится сравнение результатов, полученных на разных моделях. Даются рекомендации о возможности использования некоторых из этих моделей отдельно и в совокупности с моделью С при приближенных гидродинамических расчетах. Результаты первых двух глав опубликованы в работах [8, 9, 25, 26, 35, 36, 38, 68, 72, 77, 78].

В третьей главе строятся новые модифицированные проницаемости для расчетов двухфазной изотермической фильтрации в слоистых пластах для случая, когда относительные фазовые проницаемости Кн(8) представлены различными аналитическими зависимостями для различных пропластков. Изучается двухфазная фильтрация на эталонах Д(1=1,п) и на осредненных моделях В и С. Формулы модели В получены путём введения понятия "фиктивный слоистый пласт". Рассмотрены равномерный и экспоненциальный законы распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта. Анализируются результаты численных расчетов значений некоторых показателей разработки по эталонам и осредненным моделям В и С. Делаются соответствующие выводы о близости численных значений показателей разработки осредненных моделей по сравнению с эталонами.

В третьей главе предложен также альтернативный способ построения модифицированных проницаемостей воды и нефти, с помощью поправки средних по толщине пласта относительных проницаемостей. Проведены численные гидродинамические расчеты по осредненной модели ВС, использующей эти новые модифицированные проницаемости. Приведены результаты расчетов эталонов Д , а также построенных осредненных моделей, и модели С для случаев, когда исходные проницаемости Кв($),Кн($) - квадратичные или кубические зависимости от 5 при равномерном законе распределения К(г). Даются рекомендации о возможности использования некоторых из этих моделей отдельно и в совокупности с моделью С при приближенных гидродинамических расчетах. Результаты третьей главы опубликованы в работах [36, 37, 68, 73, 77, 78, 82, 83, 84].

В четвёртой главе рассмотрена возможность применимости предложенных модифицированных проницаемостей в случае двухфазной трех-компонентной фильтрации при закачке водного раствора ПАВ. Рассмотрена квазидвумерная задача течения двухфазной жидкости между двумя галереями в слоистых пластах при заданном перепаде давлений [6, 13, 53, 54, 102]. В параграфе 4.1 приводятся известные формулировка и математическая постановка задачи двухфазной трехкомпонентной фильтрации. В параграфе 4.2 приведены результаты численных гидродинамических расчетов для равномерного закона распределения К{г). Рассмотрены слоисто-неоднородные и зонально-неоднородные пласты при изотермической фильтрации. Дано построение модифицированных проницаемостей. Проведено сравнение результатов, полученных на эталонных моделях, с результатами на осредненных моделях В и С. В параграфе 4.3 рассмотрены задачи площадного заводнения (пятиточечная и девятиточечная системы заводнения) в слоистых пластах. Проведено сравнение результатов численных расчётов двумерной (х,у) -задачи с квазитрёхмерной задачей двухфазного течения в слоистых пластах . В параграфе 4.4 рассмотрена задача оптимального размещения галерей в слоистом пласте при двухфазной неизотермической фильтрации. Результаты четвёртой главы опубликованы в работах [9, 73, 72, 74, 76, 78, 80, 81, 82, 83, 84].

В пятой главе рассмотрены возможности применимости схемы струй при трёхфазной фильтрации, а также в средах с двойной пористостью. В параграфе 5.1 даётся вывод формул в рамках модели Баренблатта. В параграфе 5.2 даётся вывод формул модифицированных проницаемостей в рамках модели Маскета-Мереса. Результаты пятой главы опубликованы в работах [67, 68, 71, 72, 75, 79, 84].

В заключение приведены основные результаты работы и сделанные по ним выводы и рекомендации по практическому использованию.

В Приложении даётся более подробный математический вывод модифицированных фазовых проницаемостей для некоторых известных вероятностных законов распределения абсолютной проницаемости по толщине изучаемого слоистого пласта.

В Приложении даются также акт овнедрении и справки об использовании модифицированных проницаемостей в предпроектных исследованиях при проведении многовариантных гидродинамических расчетов. Документы получены в ТатНИПИнефть в 1987, 1992 и 2000 годах.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы и были частично использованы в специализированных исследовательских и проектных организациях, занимающихся проектированием и анализом разработки нефтяных месторождений, а именно: во ВНИИнефть (г. Москва), ВНИИОЭНГ (г. Москва). ТатНИПИнефть (г. Бугульма), БашНИ-ПИнефть (г. Уфа), Гипровостокнефть (г. Куйбышев), КраснодарНИПИ-нефть, АзНИПИнефть (г. Баку). Приведенные ниже результаты являются новыми и выносятся на защиту.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования с помощью ВЭ границ разброса для каждого из основных показателей разработки слоистого пласта в зависимости от взаимного расположения его пропластков и их гидродинамической связи при заданных параметрах фиксированного вероятностного закона распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта при изотермической и неизотермической двухфазной фильтрации для линейных и нелинейных функциях лабораторных относительных фазовых проницаемостей.

2. Новые модифицированные фазовые проницаемости и математический метод их вывода, полученные на основе коррекции исходных нелинейных проницаем остей Кв($), Кн(5) с помощью поправочных коэффициентов. Они основываются либо на непрерывный вероятностный закон распределения проницаемости К(г) по толщине пласта, либо на дискретный ряд распределения абсолютных проницаемостей и толщин Щ пропластков 0=1,п) .

3. Новый гидродинамический результат, состоящий в том, что границы разброса каждого показателя разработки при двухфазной фильтрации всегда находятся между двумя осреднёнными решениями моделей В и С. Были рассмотрены три вероятностных закона распределения.

4. Новые модифицированные относительные проницаемости и два математических метода их вывода при двухфазной фильтрации в рамках модели Баклея-Леверетта в слоистых пластах в случае, когда относительные проницаемости фаз имеют различные аналитические зависимости для различных пропластков. Результаты исследований с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки.

5. Результаты исследования с помощью ВЭ возможности применимости предложенных в пунктах 2.4 новых модифицированных проницаемостей при площадном заводнении (рассмотрены пятиточечная и девятиточечная системы заводнения слоистых пластов).

6. Новые модифицированные проницаемости для двухфазной трех-компонентной фильтрации. Результаты исследования с помощью ВЭ границ изменения каждого показателя разработки, полученных на эталонной квазидвумерной модели А и осредненных моделях В и С при закачке в слоистые по абсолютной проницаемости пласты водных растворов ПАВ.

7. Новые модифицированные проницаемости, полученные на основе поправочных коэффициентов аналогично пунктам 2,4 для трехфазной фильтрации в рамках модели Маскета-Мереса, а также для двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью в рамках модели Г .И. Барен-блатта.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором:

- на международных семинарах «Матеем. модели и численные методы механики сплошных сред»,Новосибирск, СОРАН,1986г. и 1996г.;

- на международной конференции «Разработка газоконденсатных месторождений», г.Краснодар, 1990г.;

- на Всесоюзной конференции «Краевые задачи в теории фильтрации», - Казань, КГУ, КАИ, 1991 г.;

- на международной конференции «Течение в пористых средах», - Москва, СО РАН, 1992г.;

- на международной конференции «Проблемы комплексного освоения трудно извлекаемых запасов нефти и природных битумов», - Казань, КГТУ (КХТИ), 1994г.;

- на международных конференциях «Механика машиностроения», -Набережные Челны, 1995г. и 1997 г.;

- на международной конференции «Модели механики сплошной среды», Казань, КГТУ, (КАИ), 1997г.;

- на международной конференции «Методы кибернетики химико-технологических процессов», Казань, КГТУ(КХТИ), 1999г.;

- на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», - Казань, КГТУ (КХТИ) 2005г.;

- на республиканской научно-практической конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии», Казань, КГТУ (КХТИ), 2001г.;

- на итоговых конференциях КГТУ и семинарах кафедры ИПМ 1992 -2006гг.

Все доклады, представленные на вышеуказанных конференциях и семинарах, опубликованы.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 26 работ.

Основные работы:

1. Плохотников С.П. Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей / С.П. Плохотников, В.В. Елисеенков // Прикладная механика и техническая физика. (ПМТФ). - Новосибирск: РАН СО,2001. -Т.42, №5, 2001, с. 115-121;

2. Елисеенков В.В. Использование модифицированных относительных проницаемостей при проведении гидродинамических расчетов в слоистых нефтяных пластах / В.В. Елисеенков, С.П. Плохотников // Инженерно-физический журнал.- Минск, 2002, т. 75, №2. - С. 81-84;

3. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости при закачке в пласт водных растворов ПАВ / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, Р.Х. Фатыхов, Е.Р. Бадертдинова // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. - Казань, 2005, Т. 1, С.388-396;

4. Плохотников С.П. Математическое моделирование трёхфазной фильтрации в слоистых пластах с учётом схемы струй / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, В.В. Елисеенков, A.C. Климова // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. - Казань, 2005г., т.2 с. 173-178;

5. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, Д.С. Марвин, Р.Х. Фатыхов // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. - Казань, 2005г., Т.2 , С.396-400;

6. Плохотников С.П. Математическое моделирование фильтрации в слоистых пластах / С.П. Плохотников, Р.Х. Фатыхов: Монография, Казань, КГУ,2006г.-192 С.

Диссертация написана на основе работ [8, 9,10, 24, 25, 34-37, 66-68, 71-84]. Их количество 26. Всего у автора диссертации более 70 публикаций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Изложена на 220 страницах машинописного текста, содержит 23 таблицы, 76 рисунков. Спи

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам данной работы можно сделать следующие выводы:

1. Процесс двухфазной неизотермической фильтрации и значения показателей разработки в слоистых пластах существенно зависят от температуры закачиваемой воды, взаимного расположения пропластков, их гидродинамической связи, а также вида исходных лабораторных

2. Численные расчеты, проведенные по простейшей осредненной модели С, дают завышенные результаты при рассмотрении показателей количества добытой нефти и коэффициента нефтеотдачи по сравнению с двумерными решениями задачи - эталонными решениями.

3. Численные расчеты по осредненной модели В, использующей известные модифицированные фазовые проницаемости, только при линейном виде лабораторных Кв($!),Кн($) дают заниженные результаты показателей разработки по сравнению с эталонными решениями, которые образуют целое семейство кривых в зависимости от взаимного расположения пропластков пласта. Эталонное семейство при этом находится в интервале между двумя приближенными решениями, полученными по моделям В и С , для каждого из указанных показателей разработки, поэтому можно рекомендовать для приближенных расчетов обе эти модели.

4. Расчеты по модели В при нелинейных функциях Кв(8),Кп($) дают неудовлетворительные результаты, из-за чего возникает задача построения новых модифицированных фазовых проницаемостей.

5. Предложены новые модифицированные проницаемости и метод их построения, которые основываются на коррекции лабораторных относительных проницаемостей путем домножения последних на поправочные коэффициенты, которые можно выделить на основе известного вида модифицированных проницаемостей (эти новые проницаемости совпадают с известными при линейных функциях Кн($)).

6. Расчеты при нелинейных функциях с новыми модифицированными проницаемостями дали положительные результаты, аналогичные результатам линейного случая лабораторных Кв($>)1Кн(5>) - эталонное семейство находится между двумя приближенными значениями для указанных показателей разработки, - поэтому можно рекомендовать построенные модифицированные проницаемости, а также метод их построения, в совокупности с моделью С для использования в численных расчетах при любых лабораторных функциях Кн($) -линейных и нелинейных.

7. Построены новые модифицированные проницаемости для случая задания по пропласткам исходного слоистого пласта различных аналитических зависимостей функций относительных фазовых проницаемостей для каждой фазы. Предложены модифицированные проницаемости двух видов. Коррекция лабораторных относительных проницаемостей осуществляется с помощью поправочных коэффициентов, выделенных на основе струйного течения. Численные расчеты дали хорошие результаты, аналогичные результатам более простых случаев течения, указанных выше.

8. Построенные новые модифицированные проницаемости дали хоро шие результаты и при рассмотрении задач площадного заводнения в слоистых пластах.

9. Основываясь на струйном течении, получены новые модифицированные проницаемости для двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в пласты водного раствора ПАВ. Численные расчеты фильтрации и в этом случае показали хорошую применимость полученных модифицированных проницаемостей.

10. В работе предложены модифицированные проницаемости для трёхфазной фильтрации в слоистых пластах, которые основываются на известной схеме струй, а также для фильтрации в слоистых пластах в средах с двойной пористостью.

Таким образом, в результате этой работы существенно расширились рамки применимости метода модифицированных фазовых проницаемо-стей при допущении о струйности течения в слоистых пластах. Были рассмотрены задачи двухфазной изо- и неизотермической фильтрации, а также двухфазной трехкомпонентной фильтрации, двухфазной фильтрации в средах с двойной пористостью и трехфазной фильтрации, являющиеся основными моделями подземной гидромеханики.

В работе [90] проведён вычислительный эксперимент по сравнению гидродинамических показателей разработки при двухфазной фильтрации в двумерной постановке с модифицированными фазовыми проницаемо-стями и в трёхмерной постановке с лабораторными относительными про-ницаемостями. Сделаны выводы о преимуществе двумерного решения. Особенно на ранних стадиях разработки слоистого пласта, когда имеет место недостаток геологической информации о строении пласта и гидродинамической связи между пропластками. Выводы этой работы ещё раз подтверждают основные результаты данной диссертации.

1. Абуталиев Ф.Б. Методы решения задач подземной гидромеханики на ЭВМ/ Ф.Б. Абуталиев, Э.Б. Абуталиев. - Ташкент: ФАН, 1968,- 196с.

2. Азиз X. Математическое моделирование пластовых систем / X. Азиз,

3. Сеттари. М.: Недра, 1982.-407 с.

4. Александров P.A. Численное решение на ВМ некоторых задач подземной гидромеханики: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ P.A. Александров. -Казань: КГУ, 1973,- 18 с.

5. Амикс Д. Физика нефтяного пласта / Д. Амикс, Д.Басе, Р.Уайтинг М.: Гостоптехиздат, 1962,-657с.

6. Аминов М.Ф. Расчёт обобщенных функций фазовых проницаемостей с учётом неоднородности пласта / М.Ф. Аминов // Разработка нефтяных месторождений Татарской АССР и повышение нефтеотдачи: Тр. ТатНИПИ-нефть. Бугульма, 1981. - Вып. 46,- С. 45-48.

7. Бабалян Г.А. Разработка нефтяных месторождений с применением поверхностно-активных веществ/ Г.А. Бабалян, Б.И. Леви и др., -М.: Недра, 1983,-216 с.

8. Баренблатт Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт , В.М. Ентов, В.М. Рыжик-М.: Недра, 1984. 211 с.

9. Бадертдинова Е.Р. Обобщенные модифицированные фазовые проницаемости двухфазной фильтрации / Е.Р. Бадертдинова, В.В. Елисеенков , С.П. Плохотников // Молодая наука новому тысячелетию. Тезисы докладов. Набережные Челны, 1996. - С. 12-13.

10. Бадертдинова Е.Р. Схема струй и поправочные коэффициенты при двухфазной фильтрации / Е.Р. Бадертдинова , С.П. Плохотников , Д.С.Плохотников, В.А.Тарасов // Ж. «Вестник технологического университета», Казань, КГТУ, 2006г., т.1, с. 83-94.

11. Бадертдинова Е.Р. Модифицированные фазовые проницаемости при закачке в пласт химреагентов / Е.Р. Бадертдинова, В.В. Елисеенков , С.П. Плохотников // Молодая наука новому тысячелетию. Тезисы докладов. Набережные Челны, 1996. - С. 14.

12. Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. -М.: ИЛ, i960. 400 с.

13. Борисов Ю.П. Особенности проектирования разработки нефтяных месторождений с учётом их неоднородности / Ю.П. Борисов , З.К. Рябинина, В.В. Воинов. -М.: Недра, 1976.-288 с.

14. Басниев К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, И.Н. Кочина ,

15. B.М. Максимов,- М.: Недра, 1993.-416 с.

16. Булыгин В.Я. Движение двухжидкостных систем в неоднородных пластах/ В.Я. Булыгин //Теоретические и экспериментальные вопросы рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, унта, 1969,- с.76-85.

17. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин -М.:Недра, 1974.-232 с.

18. Булыгин Д.В. Геология и имитация разработки залежей нефти / Д.В. Булыгин, В.Я. Булыгин.- М.: Недра, 1996. -382 с.

19. Булыгин В.Я. Двухфазная фильтрация по схеме струй / В.Я. Булыгин,

20. C.М. Зиновьев // Численное решение задач фильтрации многоф. несж. жидкости. Труды III Всес. семинара. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.- С.37-43.

21. Булыгин В.Я. Численное исследование неизотермической нефтеотдачи пластов сложного строения / В.Я. Булыгин, Ю.А. Волков , В.А. Локотунин //

22. Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.-С.47-52.

23. Буйкис A.A. Экономичные разностные схемы для расчёта полей многослойных и трещиноватых нефтяных пластов / A.A. Буйкис, М.З. Шмите // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.-C.I05-I09.

24. Вахитов Г. Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей / Г.Г.Вахитов М.: Гостоптехиздат, 1963.- 216 с.

25. Вахитов Г. Г. Методика определения технологических показателей разработки нефтяных и нефтегазовых залежей (ВНИИ) / Г.Г. Вахитов , М.Л.Сургучёв и др. -М., Всес. нефтегаз. науч.-исслед. Ин-т, 1977г.

26. Волков Ю.А. Исследование двухфазной неизотермической фильтрации в неоднородных пластах способом вычислительного эксперимента / Ю.А.Волков: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. Казань, КГУ, 1984.- 17с.

27. Волков Ю.А. Численное моделирование процессов вытеснения нефти водой из слоистого неоднородного пласта / Ю.А. Волков, Ю.В. Плохова К Вычислительные методы и матем. обеспечение ЭВМ. Вып. 3. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1981.- С.16-33.

28. Волков Ю.А. О применимости осреднённых моделей для расчёта показателей разработки неоднородного пласта/ Ю.А. Волков, Ю.В. Масехнович, С.П. Плохотников //Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1987, -С.230-235.

29. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель М.: Наука, 1964.-С.576.

30. Голубев Г.В. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде / Г. В. Голубев, Г. Г. Тумашев Казань, 1972, - 196с.

31. Гайфуллин P.P. О численном решении задачи двухфазной фильтрации в мощном нефтяном пласте в поле силы тяжести / P.P. Гайфуллин // Выч. методы и матем. обеспечение ЭВМ. Вып. 3. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1981,- С.39-53.

32. Гайфуллин P.P. Исследование двухфазной фильтрации в слоистых пластах с учётом гравитационных эффектов: автореф. дис. . канд. физ,-мат. наук / P.P. Гайфуллин. -Казань, 1984,- 16 с.

33. Гиматудинов Ш.К. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Проектирование разработки I Ш.К. Гиматудинов, Ю.П. Борисов, М.Д. Розенберг и др.-М.: Недра, 1983.-463с.

34. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения / П.Г. Данилаев Казань: Изд-во Казан. математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. - 127 с.

35. Данилов В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах / В.Л. Данилов. -М.:Наука, 1996.-С.248.

36. Ентов В.М. «Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи» / В.М. Ентов, А.Ф. Зазовский М., «Недра», 1989.-233с.

37. Елисеенков В.В. Использование модифицированных относительных проницаемостей при проведении гидродинамических расчетов в слоистых нефтяных пластах / В.В. Елисеенков, С.П. Плохотников // Инженерно-физический журнал.- Минск, 2002, т. 75, №2. С. 81-84.

38. Закиров Э.С. Трехмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа / Э.С. Закиров. М.: Издательство «Грааль», 2001.-303с.

39. Зайдель Я.М. Об использовании метода осреднения для решения пространственных задач двухфазной фильтрации / Я.М. Зайдель, Б.И.Леви // Известия АН СССР, Сер. Механика жидкости и газа.- № 3, 1977. C.7I-75.

40. Зиновьев С.М. Фильтрация двухфазной жидкости в слоистых пластах: Дисс. . канд. физ. мат. наук/С.М. Зиновьев - Казань: КГУ, 1978.

41. Зиновьев С.М. Двумерная модель фильтрации двухфазной жидкости в слоистых пластах / С.М. Зиновьев, P.P. Гайфуллин // Прикладная математика в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976.-С.67-73.

42. Каневская Р.Д. К вопросу о расчете процесса вытеснения нефти водой из системы изолированных пропластков / Р.Д. Каневская //СНТ ВНИИ нефть и газ. Вып.95,- М., 1986,- С.31-42.

43. Каневская Р.Д. Методы модифицированных фазовых проницаемостей при моделировании месторождений нефти и газа: автореферат дисс. . канд. техн. наук / Р.Д. Каневская; СНТ ВНИИ нефть и газ. М., 1988.-18 с.

44. Каневская Р.Д. Математическое моделирование процессов разработки месторождений углеводородов / Р.Д. Каневская; Институт компьютерных исследований. М.; Ижевск, 2003. - 206с.

45. Крейг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении / Ф.Ф.Крейг. М.: Недра, 1974,- 192с.

46. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений проблемы моделирования / Г.Б. Кричлоу. - М.: Недра, 1979.- 303 с.

47. Корнильцев Ю.А. Изучение на физических моделях особенностей неф-тевытеснения с моделированием характерных ситуаций для трещинновых коллекторов / Ю.А. Корнильцев: отчет о НИР по договору №166/96 -с. 1.2.ТОО ЦСМРнефть, Казань, 1997, 33с.

48. Крылов А.П. Проектирование разработки нефтяных месторождений /

49. A.П.Крылов, П.Н.Белаш, Ю.П.Борисов, А.Н.Бучин, В.В.Воинов, М.М.Глоговский, М.И.Максимов, Н.М.Николаевский, М.Д.Розенберг. М.: Гостоптехиздат, 1962.-430 с.

50. Курбанов А.К. К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородного пласта / А.К. Курбанов, Г.А. Атанов // Нефть и газ Тюмени: НТС. № 13. -Тюмень: 1972. -С.36 -38.

51. Конюхов В.Н. Исследование нестационарного заводнения в пластах слоистого строения с помощью физического и численного моделирования /

52. B.Н. Конюхов, А.Н. Чекалин, Ю.А. Корнильцев, В.Н. Федоров // Новые идеи поиска и разработки нефтяных месторождений: тр. научн. практ. конф., -Казань, 2000. - т.2, С 493 - 501.

53. Конюхов В.Н. Образование и фильтрация оторочки загустителя в слоистых неоднородных пластах / В.Н.Конюхов, А.В.Костерин, А.Н. Чекалин // Изв. РАЕН серия МММИУ. 1997, т.1, №1 - с.84-109.

54. Леви Б.И. Методика расчета технологических показателей заводнения неоднородных пластов водными растворами ПАВ и карбонизированной водой / Б.И. Леви, Ю.В. Сурков, А.Б. Тумасян; БашНИПИнефть, ОНТИ. -Уфа, 1974.-С.39.

55. Леви Б.И. Численное моделирование неизотермического заводнения залежей аномальных нефтей при применении физико химических методов увеличения нефтедобычи / Б.И. Леви, В.М. Санкин // ОНТИ БашНИПИнефть. -Уфа, 1978. -30 с.

56. Локотунин В.А. Численное решение задач неизотермической двухфазной фильтрации: автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / В.А. Локотунин. -Казань: КГУ, 1977.- 15 с.

57. Локотунин В.А. О методах расчёта температуры нефтяного пласта в задачах тепломассопереноса / В.А. Локотунин // Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1981, -Вып. 3.- С.62-67.

58. Лысенко В.Д. Разработка нефтяных месторождений / В.Д. Лысенко. -М. Недра, 2003.-640 с.

59. Максимов М.М. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений / М.М. Максимов, Л.П. Рыбицкая. М.: Недра, 1976.-264с.

60. Моррис Маскет Физические основы технологии добычи нефти / Моррис Маскет. М.: Гостоптех издат, 1953, - 606 с.

61. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. -М.:Наука. 1980-536с.

62. Майер В.П. Гидродинамическая модель фильтрации нефти, газа и воды в пористой среде / В.П. Майер. Екатеринбург, Издательство «Пути-ведъ», 2000,- 206с.

63. Мирзаджанзаде А.Х. Математическая теория эксперимента в добыче нефти и газа / А.Х. Мирзаджанзаде, Г.С. Степанова. М.: Недра, 1977.

64. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа / H.H. Моисеев- М.: Наука, 1981.- 488 с.

65. Молокович Ю.М. К вопросу приложения разностных методов для решения задач подземной гидромеханики /Ю.М. Молокович // Учен, записки Казан, ун-та. Казань, 1961. -Т.121. Кн.5. - С.118-128.

66. Мусин М.М. Численное исследование эффективности закачки теплоносителей в нефтяные пласты / М.М. Мусин, A.C. Лисин // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.- С.241-247.

67. Мухаметзянов Ф.М. Применение линейного программирования к решению некоторых задач рациональной разработки нефтяных месторождений / Ф.М. Мухаметзянов, Г.С. Салехов, В.Д. Чугунов // Известия вузов. Нефть и газ. -№ 9, i960. -С.73-80.

68. Мухарский Э.Д. Проектирование разработки нефтяных месторождений платформенного типа / Э.Д. Мухарский, В.Д. Лысенко. М.: Недра, 1972. -С.239.

69. Никаньшин Д.П. Моделирование переноса частиц различного размера двухфазным фильтрационным потоком / Д.П.Никаньшин, А.И.Никифоров // Инженерно физический журнал. Минск, 2000, Т.73, №3. - С.497-500.

70. Плохотников С.П. Осредненные модели трехфазной фильтрации / С.П. Плохотников, Н.К. Нуриев // Разработка газоконденсатных месторождений.

71. Секция 6. Фундаментальные и поисковые научные исследования: сб. докл. Междунар. конф. Краснодар, 1990, - С.184-187.

72. Плохотников С.П. Исследование погрешности осреднённых моделей при площадном заводнении слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, О.Б.Марвин // труды Международной конференции ММТП. -Казань: КГТУ (КХТИ), 2005г., с. 125-130.

73. Плохотников С.П. Об осреднённых моделях трёхфазной фильтрации / С.П. Плохотников // Вопросы подземной гидромеханики: сб. КГУ. Казань, 1990, С.56-61.

74. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости при закачке в пласт водных растворов ПАВ / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, Р.Х. Фатыхов, Е.Р. Бадертдинова // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. Казань, 2005, Т. 1, С.388-396.

75. Плохотников С.П. Обобщенные модифицированные проницаемости / С.П. Плохотников, В.В. Елисеенков// Математические модели и численные методы механики сплошных сред: тезисы докладов. Новосибирск, 1996, с.140-141.

76. Плохотников С. П. К вопросу о вычислении фазовых проницаемостей в слоистых пластах / С.П. Плохотников; Казан, физ.-тех. Ин-т; Казан, фил. АН СССР // Оптимизация нефтедобычи и вопросы подземной гидромеханики,-Казань, 1987,-С. 74-86.

77. Плохотников С.П. Модифицированные проницаемости фаз / С.П. Плохотников, В.Д. Слабнов // Проблемы комплексного освоения трудноизвле-каемых запасов нефти и природных битумов; докл. Междунар. конф. Казань: КГТУ (КХТИ), 1994г., -Т.6, - С.2004-2009.

78. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, Д.С. Марвин, Р.Х. Фатыхов // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. Казань, 2005г., Т.2 , С.396-400.

79. Плохотников С.П. К вопросу об использовании осреднённых моделей для расчета показателей разработки слоистого пласта / С.П. Плохотников; КФТИ; КНЦ АН СССР // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Казань, 1985г., ч.1 с.115-125.

80. Плохотников С.П. Математическое моделирование фильтрации в слоистых пластах / С.П. Плохотников, Р.Х. Фатыхов: Монография, Казань, КГУ,2006г.-173 С.

81. Самарский A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. М.: Наука, 1977.-656 с.

82. Саттаров М.М. Оценка точности средней проницаемости пласта методами математической статистики /М.М. Саттаров // тр. ВНИИнефть. М.: Гостоптехиздат, 1960г. - Вып. XXIX, - с. 313-323.

83. Саттаров М.М. Проектирование разработки крупных нефтяных месторождений / М.М. Саттаров, B.C. Андреев, Р.К. Ключарёв и др. М.: Недра, 1969.-237 с.

84. Скворцов В.В. Математический эксперимент в теории разработки нефтяных месторождений / В.В. Скворцов. М.: Наука, 1970,- 234 с.

85. Скворцов Э.В. Методы теории струй и годографа скорости в исследовании фильтрации жидкостей с проявлением начального градиента давления: дисс. . д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Э.В. Скворцов. Казань: КГУ, 1982.-376 с.

86. Северов А.Я. Сравнение гидродинамических показателей двухмерного с трехмерным моделированием пласта / А.Я.Северов // Научные труды Оренбургской акционерной компании «ОНАКО»,- Оренбург , 2001, №3, с. 165-169.

87. Слабнов В.Д. Влияние некоторых факторов регулирования на основные показатели нефтедобычи из неоднородного пласта / В.Д. Слабнов, Ю.А. Волков, В.В. Скворцов // ж. Математическое моделирование, РАН, М.:т.14 №1/2002г., с.3-15.

88. Теплов Ю.А. Решение одномерной задачи фильтрации двухфазной жидкости при учёте капиллярных сил на неравномерной подвижной сетке / Ю.А. Теплов; Казанский физ. тех. институт; Казанский филиал АН СССР //

89. Задачи подземной гидромеханики и рациональной разработки нефтяных месторождений.- Казань, 1981,- С. 141-149.

90. Халимов Э.М. Технология повышения нефтеотдачи пластов /Э.М. Ха-лимов, Б.И.Леви, В.И.Дзюба, С.А.Пономарёв.-М.: Недра, 1984.-271 с.

91. Тихонов А.Н. Вычислительная математика и научно-технический прогресс / А.Н. Тихонов // Вычисл. матем. и кибернетика, 1979.- Вестник МГУ, Сер. 15, № 14.-С.5-13.

92. Берщанский Я.М. Управление разработкой нефтяных месторождений / Я.М. Берщанский, В.Н. Кулибанов, М.В. Мееров, О.Ю. Першин. М.: Недра, 1983,-309 с.

93. Федоренко Р.П. Решение задачи максимизации нефтеотдачи в условиях двухфазной фильтрации / Р.П. Федоренко, P.M. Юсупов //ЖВМ и МФ, 1985. Т.25, №6,- С.860-872.

94. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж.Форсайт, М. Мадькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980,- 279 с.

95. Фатыхов А.Г. Решение задач теории фильтрации и оптимизации нефтедобычи для однопластовых и многопластовых месторождений: автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук/А.Г. Фатыхов . - Казань: КГУ, 1974.- 19 с.

96. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: автореф. дисс. . докт. техн. наук/ М.Х. Хайруллин М: Гос. академия нефти и газа им. И.М. Губкина,1993. -20 с.

97. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика / ИАЧарный -М:Гостоптехиздат,1963.- 396 с.

98. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах / А.Н .Чекалин. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982,- 208 с.

99. Чекалин А.Н. Исследование двух- и трехкомпонентной фильтрации внефтяных пластах / А.Н.Чекалин, Г.В. Кудрявцев, В.В.Михайлов Казань, Издательство Казанск. Гос. университета, 1990. -147с.

100. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта / Э.Б. Чекалюк. М. .Недра, 1965.-238 с.

101. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости // Сборник научных трудов Всес. семинара. Ин-ттеор. и прикл. механики СО АН СССР. Новосибирск, 1987. - 295 с.

102. Щелкачёв В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации / Щелкачёв В.Н.- М.: Нефть и газ, 2 части, 1995г. 586 е.,493 с.

103. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред / М.И. Швидлер. М.: Недра. 1985.-288 с.

104. Швидлер М.И. Метод построения модели нефтяного пласта / М.И. Швидлер, М.Я. Вайнберг, Т.Г. Сизова II Сборник научных трудов ВНИИ -нефть. Вып. 52.-М.: Недра, 1975.- C.I48-I57.

105. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики/ Н.Н. Яненко. Новосибирск: Недра, 1967,- 196 с.

106. Breitenbach Е.А. Solution of the Immiscible Fluid Plow Simulation Equations / E.A. Breitenbach, D.H.Thuran, H.K. Van Poolen //Soc.Pet, End. J.- June 1969.-P. 155-169.

107. Buckley S.E. Mechanism of Fluid Displacement Sands / S.E. Buckley S.E. and M.C. Leverett //AJME.- v. 146. -1941.- 146 p.

108. Chaudhari N.M. An Improved Numerical Technique for Solving Multidimensional Miscible Displacement Equations I N.M. Chaudhari //Soc. Pet. Eng. J. -1971.-P. 277-284.

109. Peacemen D.W. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations / D.W. Peacemen, H.H. Rachford // J. Soc. Industr. Appl. Math.- 1955.-vol. 3, N1.-P. 28-42.

110. Peacemen D. W. A nonlinear stability analysis for difference equations using semi-implicit mobility / D.W. Peacemen //Soc. of Pot. Eng. J.- 1977,- v. 17, N 1.-P. 79-91.

111. Hearn C.L. Simulation of Stratified Water-Flooding by Pseudo Relative Permeability Curves / C.L. Hearn //J. of Pet. Tech.-1971.-July.- P. 805-813.

112. Kristiansen G.K. Zero of Arbitrary Function / G.K. Kristiansen // B.J.T., vol. 3,- 1963.-P. 205-206.

113. Demond A.H. Estimation of Two-Phase Relative Permeability Relationships for Organic Liguid Contaminants / A.H. Demond H Water Resour. Res., vol.29, NO .4, P.1081-1090. April 1993.

114. Fischer U. Prediction of relative and absolute permeabilities for gas and water from soil water retention curves using a pure scale network model / U. Fischer, M.A.Celia// Water.Resour.Res.Vol.35, N0.4,P.1089-1100, APRIL 1999.

115. Chih-Ying Chen. Steam-Water Relative Permeability in Fractures / Chih-Ying Chen, Gracel P.Diomampo, Kewen Li and Roland N.Horne //Geothermal Resources Council Transactions, Vol.26,pp 87-94,Sept., 2002.

116. Chih-Ying Chen. Difference Between Steam-Water and Air-Water Relative Permeabilities in Fractures / Chih-Ying Chen, Gracel P.Diomampo, Kewen Li and Roland N.Horne // Geothermal Resources Council Transactions, Vol.27,Oct., 2003.