Простейшие задачи больших упругих деформаций композитов с периодической структурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ЕЩЦЕНИЕ

Глава I. МЕТОДИКА ОСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ О РАВНОВЕСИИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА РЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОЕаАЩЯХ. Т

§ I. Постановка задачи и описание методики осреднения.

§ 2. Слоистая композиционная среда

§ 3. Полулинейный материал Джона. 2Г.

§ 4. Теория эффективного модуля.

§ 5. Микронапряженш

Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ УПРУГОГО

ИЗОТРОПНОГО И ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОВЛАЦИЯХ. Зо

§ I. Задача о простом сдвиге .ЗГ

§ 2. Задача о всестороннем сжатии.

§ 3. Озесимметрическая деформация кругового полого цилиндра.

§ 4. Радиально симметричная деформация полого шара . 42.

§ 5. Задача о кручении сплошного кругового цилиндра.

ГЛАВА 3. СЖИМАЕМАЯ СРЕДА ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОШАЦИЯХ.

§ I. Об универсальных деформациях сжимаемого трансверсально изотропного тела

§ 2. Задача о кручении сжимаемого полого цилиндра

§ 3. Определение микронапряжений.

В современных конструкциях применяются материалы, обладающие некоторыми свойствами, которые не описываются с помощью классической (линейной) теории упругости. В частности такие материалы, как резины, пластмассы, органопластики, стеклопластики и др. допускают большие упругие деформации. Классическая теория упругости /75/ не обнаруживает такие явления, как эффект Пойнтинга: изотропный цилиндр изменяет свою.длину при кручении (1909) и при сдвиге (разяща двух нормальных компонент напряжений пропорциональна соответствующему сдвиговому напряжению); эффект Кельвина: при простом сдвиге изотропного кубика все нормальные напряжения (среднее нормальное напряжение) отличны от нуля; эффект самозатягивания (скручиваемого соединения): кручение сжимаемой среды сопровождается изменением радиусов материальных окружностей (возникает натяг) /42/; при повороте внутреннего контура сжимаемой среды одновременно распространяются цилиндрические волны двух типов: волна чистого расширения и совместного расширения - сдвига Д3/.

Поэтому в последнее время большой интерес проявлен исследователями к теории упругости при больших деформациях. Действительно этот раздел теории упругости бурно развивается сейчас под названием "нелинейная теория упругости" Д8,30,31,62,51,76,45/ или "теория конечных деформаций" Д4,17,25,63,66,46/ или "теория больших упругих деформаций /52,65/.

Основоположниками этой теории являются Коши 0., Кирхгофф Г., Альманзи И., Кельвин, Поинтинг, Муки М., Джон Г., Кутшшн Д.И. и др. Первое систематическое изложение этой теории принадлежит: Ку-тилину Д.И., Грину А.И. и Зерна В., Грин и Адкинс Е., Лурье А.И. В последнее время появляются новые и новые работы по этой тематике. К ним относятся работы Трусделл К., Эрикеена Д., Ривлина Р.,Мурнагана Ф., Зубова Л.М., Пальмова В.Л., Черных К.Ф., Толокон-яикова Л. А. и др.

Отметим, что нелинейность в теории упругости может быть обусловлена или физическими нелшейными соотношениями /21,22,31, Ы]. (Например, сюда можно отнести теории малых улруголластических деформаций А.Л.Ильюшина при активном нагружении /21,22/) или геометрическими нелинейными соотношениями /25,30,3£/ - когда соотношения между деформациями и перемещениями нелинейны. По-видимому, подобно кристаллографическому принципу Неймана /26,277, всякая геометрическая нелинейность влечет за собой и физическую нелинейность /30,57/.

В современных конструкциях при изготовлении деталей чаще и чаще появляется необход шлость использовать не только однородные и изотропные материалы, но и неоднородные и анизотропные /49,60,737. Возникает потребность и в их эффективном расчёте. Примерами таких сред являются кристаллы, горные породы, композиты, элементы разнородных конструкций и т.д. Конечно, анизотропия таких материалов может быть или естественной (когда различие упругих свойств зависит от внутреннего строения) или фиктивной - среда, различие упругих свойств в которой зависит от конструкции.

В последнее время в задачах естествознания и техники возрастает потребность в исследовании свойств сред с регулярной структурой или с периодической структурой. В их изучении применяется метод осреднения. /8-11,72,71/. Математически этот метод заключается в сведении дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые уже решаются гораздо проще. В задачах теории упругости этот метод заключается в том, чтобы привести задачу о неоднородных упругих телах (тела или среда,упругие характеристики которых меняются от точки к точке /28/ к задачеоб анизотропных телах (тела, упругие характеристики которых меняются по направлениям /£6,27/), но уже однородным /34-377.

Укажем, не вдаваясь в подробности, что существуют разные методы осреднения. Например: метод эффективного модуля Фойгта-Рей-са /60,73/; асимптотический метод /8-II, 72,71/; метод сатлосогласования /547; метод теории случайных функций /28,52/ и др.

Применяемый здесь метод осреднения "асимптотический метод" основан на работах Бахвалова Н.С. /8-11/ и Победры Б.Е. /34-37/.

Первыми работами по этому методу осреднения были работы Санчес-Паленсии Б. /71,72/. Б этих работах дано (лишь) формальное изучение асимптотических разложений. Систематическое изложение этого вопроса дано в работах Б.Лионса и Папаниколау /56,7£/ и Бахвалова /10,11/.

Преимущество этого метода заключается в том, что кроме того, что он дает возможность определить, эффективные характеристики (для теории эффективного модуля), он позволяет найти и микронапряжения в теле /З*^/. Более того, он позволяет вычислить характеристические данные разных или более высоких уровней: тем самым дает возможность улучшать решение задачи: т.е. этот метод позволяет решать задачи точнее, чем другие методы.

Однако, отметим один наблюдаемый дефект этого метода: он сопровождается громоздкими вычислениями. Это явление А.А.Ильюшин назвал "платой за точность".

Целью настоящей диссертационной работы является применение асимптотического метода осреднения. к композитам прибольших упругих деформациях.

Для этого необходимо уметь решать задачу анизотропной теории упругости /34,37/ при больших деформациях. До сегодняшнего дня тлеются лишь два систематических изложения этого направления /62,73/. Требуется также умение построить упругий потенциал для- 6 соответствующей приведенной анизотропной среды.

В связи с этим в диссертационной работе в главе I излагается методика осреднения при больших упругих деформациях для композита регулярной структуры (периодической структуры). Б частном случае слоистого композита приводятся точные соотношения "эффективных определяющих функционалов" и "локальных функционалов". Кроме того, строится теория нулевого приближения и находятся соотношения для определения микронапрякений. Более того, при конкретизации уравнения состояния используется полулинейный материал Джона /63, 297. Для этого материала проводится процедура осреднения: строится упругий потенциал приведенного трансверсально изотропного тела в случае слоистого композита; пригодятся соотношения для определения микронапряжений и даются выражения для их компонент при простом сдвиге.

Во второй главе решаются некоторые простейшие задачи. В третьей главе доказывается теорема об универсальных деформациях сжимаемого трансверсально-изотролного тела. Также решается и задача о сжимаемом цилиндрическом слое.

На основе построенной в главе I теории нулевого приближения находятся микронапряжения для простейших задач.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Задача упругих композитов регулярной структуры при конечных деформациях методом осреднения сведена к двум рекурентным последовательностям задач. Первая из этих последовательностей заключается в решении задач теории упругости для однородной среды с приведенными определяющими соотношениями. Вторая последовательность заключается в решении задач теории упругости на ячейке периодичности. Только первые задачи обеих последовательностей являются нелинейными. Остальные задачи - линейные.

2. Для слоистого упругого композита, компоненты которого описываются определяющими соотношениями тела Джона, получены явные выражения для упругого потенциала приведенной среды и локальных функций, ответственных за микронапряжения (напряжения в каждом компоненте композита).

3. Решены некоторые простейшие задачи по теории эффективного модуля для трансверсально изотропной нелинейной упругой среды и с помощью теории нулевого приближения определены мшсроналряжения.

4. Доказана теорема об универсальных деформациях снимаемого трансверсально изотропного тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акинола А.П., П о б е д р я Б.Е. Большие упругие деформации анизотропных тел. Тезисы докл. П Всесоюзная конференция по теории упругости. - Тбилиси, 1984.

2. Акинола А. Слоистый композит при больших упругих деформациях. Механика деформируемая сред. Изд. М1У, 1985, 70-73.

3. Акинола А. Простейшие задачи о равновесии упругого трансверсально изотропного тела при конечных деформациях. ВИНИТИ. Деп. № 5068-85.

4. Акинола А. Конечные деформации неоднородного упругого тела регулярной структуры. ВИНИТИ. Деп. $ 5068-85.

5. Акинола А.П. Простейшие задачи о конечных деформациях упругого трансверсального тела. Вестник МГУ. (В печати).

6. Акинола А. П. Об универсальных деформациях сжимаемого трансверсашьно изотропного тела. Вестник МГУ. (В печати).

7. А р н о л ь д В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1971.

8. Бах ва лов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными .с быстро осцилирующими коэффициентами.ДАН СССР, 1975, т. 225, №2, с. 249-252.

9. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравне.-, ний в частных производных с быстро осцилирующими коэффициентами. ДАН СССР, 1975, 221, $ 3, с. 516-519.

10. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осцилирующими коэффициентами. Проблемы математической физики и вычислительной математики, с. 34-51, Изд., Наука, 1977.

11. Бахвалов Н.С. ,Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М., Наука, 1984.

12. Бердичевский В. Л. Пространственное осреднение периодических структур. ДАН СССР, т.222, В 3, 1975,с.565-567.

13. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М., Наука, 1978.

14. Б о н д а р ь В. Д. О тензорных характеристиках конечных деформаций сплошной среды. ПММ, т. ЮСУ", вып. 3, 1961.

15. Г у р в и ч Е. А. Условие Адамара в нелинейной теории упругости. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № I, с. 45-51.

16. И к р а м о в X. Д. Численное решение матричных уравнений. М., Наука, 1984.

17. Ильюшин А. А. Пластичность. М.,Гостехиздат,1948.

18. Ильюшин А. А. Пластичность. (Основы общей математической теории), М., 1963.

19. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Изд. МГУ, 1978,

20. К о л м о г о р о в А. Н,, Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М., Наука, 1972.

21. К у.т и л и н Д. И. Теория конечных деформаций. ОГИЗ, М ,-Л., 1947.

22. Л е х н и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1950.

23. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977.

24. Л о м а к и н В.А. Теория упругости неоднородных тел. Изд. МГУ, 1976.

25. Л у р'ь е А.И. Теория упругости. Изд. Наука, М., 1970.

26. I у р ь е А. И. Нелинейная теория упругости. Из д. Наука, М., 1980.

27. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Гостехиздат. М.-Л., 1948.

28. П о б е д р я Б.Е. ,Акинола А. Конечные деформации неоднородного упругого тела. Тезисы докл. Совещания по теории упругости неоднородного тела. Кишинев, 1983.

29. П о б е д р я Б.Е. Лекции по тензорному анализу. Изд. МГУ, 1979.

30. П о б е д р я Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов. Вестник МГУ, Лэ 5, 1977.

31. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Изд. МГУ, 1981.

32. Победря Б.Е, Механика композиционных материалов. Изд. МГУ, 1984.

33. Победря Б.Е. О численном решении задач механики деформируемого твердого неоднородного тела. Вестник МГУ, сер.1 матем.-мех., $ 4, 1983.

34. Победря Б.Е., Акинола А. О конечных деформациях упругого композита. Вестник МГУ, сер.матем.-мех., $ 3, 1985.

35. Победря Б.Е., Акинола А. Большие упругие деформации неоднородных сред. Тезисы докл. П Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости. Фрунзе, 1985.

36. С е д о б Л.И. Механика сплошной среды. Изд. Наука, М.,1976.

37. С е д о в Л.И. Механика сплошной среды. Изд. Наука, т. П, М., 1979.

38. С у ю н ш к а л и е в Н.Х. Конечные деформации при кручении цилиндрического слоя. Изв. АН СССР, МТТ, В 2, 1982, с.179-182.

39. Суюншкалиев Н.Х. Конечные деформации при скручивающем ударе. ДАН Уз.ССР, В 4, 1985, с. 20-24.

40. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. Изд. Наука, М., 1972.

41. Толоконников I.A. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. ПМН, 21, № 6, 1957, с. 57-96.

42. Толоконников I.A. Конечные плоские деформации несжимаемого материала. ПУМ, 23, $ I, 1959, с. 146-158.

43. Т р у с д е л л К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. М., Мир, 1975.

44. Филиппов Л.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1979.

45. Фу д зин Т.,Дзако Механика разрушения композиционных материалов. М., Мир, 1982.

46. Ч е р н ы х К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. В сб.Механика эластомеров. Краснодар, 1977, т. I, с. 54-64.

47. Черных К.Ф. »Шубина И.М. Обобщение упругого потенциала Бартенева-Хазановича.В.сб. Актуальные проблемы нелинейной механики сплошной среды. Л., Изд.Л1У, 1977, с. 14-19.

48. Ш е р м е г о р Т.Д. Теория упругости микро-неоднородных сред. Наука, М., 1977.

49. Э р и к с е н Д. Исследование по механике сплошной среды. М., Мир, 1977.

50. Э ш е л б и Дж. Континуальная теория дислокации. М., ИЛ,1963.

51. A d е 1 е k е S.A. On the problem of eversión for incompressible elastic materials J.Elastisity 13 1983 p. 63-69.

52. В ensoussan A.,L i o n s J. L.,P apanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures North Holland Amsterdam 1978.

53. Bharatha S. Levinson M. On physically non-linear elasticity J. Elasticity vol.7,Hfi3,I977.

54. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations N.Y./a.o,J Wiley,Cop. IS65.

55. Blatz, P.J. Ко W.L. Applications of finite elasticity theory to deformation of rubbery materials Trans Soc.Rheol. 1962 v6 p223-25I

56. Christenson R.M. Mechanics of composite materials A.Wiley Inter -science Publication John Wiley & Sons IJew-Xork-Chichester--Brisbane-Toronto.1979.

57. Erickson J.L. Deformations possible in every compressible isotropic perfectly elastic material J.Math.Pys.1955 v34.

58. Green A.E. Adkins J.E. Large elastic deformation and nonlinear continuum mechanics Oxford at the Clarendon Press I960.

59. John P. Onfinite deformation of elastic isotropic material Inst. Math. Sci. N.Y. Univ. Report IMM-HYU 1958 N^50.

60. John P. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type Commun.Pure and Appl.Math.I960 13 ЦЯ2 p239-296.

61. Mooney M. A theory of large elastic deformations J.Appl.Phys. I94o vil p582-592.

62. Murriaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid N.Y.I967

63. Oden J.T. Reddy J.N. Variational methods in theoretical mecha -nics Springer-Verlag Berlin Heidelberg N.X.I976.

64. Rivlin R.S. Some restrictions on constitutive equations Proc. Int. Symp. on the foundations of continuum thermodynamics Bussaco 1973.

65. Rivlin S. Some reflection on stability of material. Mech.today v.5 Oxford e.a. 1980 p409^25.

66. Shield R.T. Deformations possible in every compressible isotro -pic perfectly elastic material J.Elasticity 1971 v.I N^I. 75.Sneddon J.N. Berry D.S. The classical theory of elasticity Springer-Verlag Berlin-GStingen-Heidelberg 1958.

67. Truesdell C. Noll W. The non-linear field theories of mechanics Encyclopedia of Physies III/3 Springer I965.

68. Wang C.C. Truesdell C. Introduction to rational elasticity Groningen Wol13ers-Noordhoff 1972.