Осреднение процессов в периодических средах с периодами разных порядков в различных направлениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

61- 39 -1/ /016 ~ /

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи

ЯКУБЕНКО Татьяна Андреевна

ОСРЕДНЕНИЕ ПРОЦЕССОВ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СРЕДАХ С ПЕРИОДАМИ РАЗНЫХ ПОРЯДКОВ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ

01.01.07 - Вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — академик РАН, профессор Н.С. Бахвалов

МОСКВА — 1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................ 4

ГЛАВА 1. ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОРИСТЫХ СРЕД С ПЕРИОДАМИ РАЗНЫХ ПОРЯДКОВ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ............ 20

1.1. Эффективные коэффициенты двумерной пористой среды.................................... 20

1.1.1. Постановка задачи и описание структуры. 20

1.1.2. Приближение к решению первой задачи

на ячейке............................... 23

1.1.3. Приближение к решению второй задачи

на ячейке............................... 28

1.1.4. Явные формулы для эффективных коэффициентов и оценка погрешности........ 31

1.2. Теорема о близости решений.................. 36

1.3. Эффективные коэффициенты трехмерной структуры.................................... 51

1.3.1. Постановка задачи и описание структуры. 51

1.3.2. Приближение к решению первой задачи

на ячейке............................... 54

1.3.3. Приближение к решению второй задачи

на ячейке............................... 64

1.3.4. Приближение к решению третьей задачи

на ячейке............................... 70

1.3.5. Вывод формул для эффективных коэффициентов и оценка погрешности........... 71

1.4. Численное исследование........................ 78

1.4.1. Описание численного метода решения задач на ячейке........................... 78

1.4.2. Расчет эффективных коэффициентов теплопроводности пористой среды......... 83

1.4.3. Расчет эффективных коэффициентов для процессов, описываемых системой уравнений................................... 83

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СГЛАЖИВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ С НЕГЛАДКИМИ ДАННЫМИ......................................... 87

2.1. Эффективные коэффициенты двумерной среды

с негладкими данными. Изотропный случай. ... 87

2.1.1. Постановка задачи...................... 87

2.1.2. Решение первой задачи на ячейке........ 93

2.1.3. Решение второй задачи на ячейке........ 97

2.1.4. Вычисление приближенных эффективных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул. 99

2.2. Эффективные коэффициенты двумерной среды с негладкими данными. Анизотропный векторный случай.................................... 103

2.2.1. Решение первой задачи на ячейке........ 103

2.2.2. Решение второй задачи на ячейке........ 108

2.2.3. Вычисление приближенных эффективных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул. 112

2.3. Теорема о близости решений.................. 121

2.4. Оценка погрешности численного решения краевой задачи с пограничным слоем............... 134

2.4.1. Постановка задачи...................... 134

2.4.2. Оценки

2.4.3. Оценка

2.4.4. Оценка

и - и\\н и ||щ - ик\\к........... 136

а....................... 138

л....................... 143

и-щ и — щ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................... 144

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ....... 145

ВВЕДЕНИЕ

В современной технике и науке широко применяются материалы, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с различными свойствами. Такие среды можно назвать микронеоднородными, имея в виду, что характерный размер не-однородностей много меньше линейного размера тела, но при этом гораздо больше размеров молекул. Примером микронеоднородных сред могут служить композиционные и пористые материалы. Композиты проявляют существенно новые свойства по сравнению со свойствами компонент.

Наличие периодической структуры существенно облегчает математическое исследование процессов в таких средах.

Как правило, физические процессы,, протекающие в микронеоднородных средах, могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных [24,37]. В связи с тем, что коэффициенты этих уравнений являются быстро осциллирующими, непосредственное численное решение задач практически невозможно или существенно затруднено, так как требуется слишком малый размер сетки и непомерно большой обьем вычислений. Это обстоятельство приводит к необходимости использования осредненного описания, при котором неоднородная среда замяняется некоторой эффективной однородной средой. Для вывода уравнений эффективной среды могут использоваться разные подходы. Иногда они постулируются на основе экспериментальных данных и физических гипотез о поведении среды (см. [13, 14, 16, 34]).

Наличие малого параметра е, представляющего собой отношение характерного размера неоднородности к линейному масштабу задачи позволяет применить для исследования асимптотические методы [27]. Этому посвящена созданная и широко развитая за последние десятилетия теория осреднения уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами (см., например, книги [3, 12, 31, 49, 51, 52, 53]). Согласно

этой теории, исходные уравнения могут быть заменены "осред-ненными" уравнениями с постоянными, либо медленно меняющимися эффективными коэффициентами. Решения исходной и осредненной задач оказываются близкими в некоторой норме.

В основе теории осреднения лежит метод введения двух масштабов и асимптотических разложений. Обычно полагается 1 = 1. На первом этапе такого алгоритма вводятся наряду с медленными переменными Х{ быстрые переменные эд = х^/е. Решение и задачи для исходных уравнений рассматривается как функция независимых переменных £ и ищется в виде асимптотического ряда

оо

и « £ £гщ(х,у,г) i=О

с коэффициентами, периодическими по уЭтот ряд подставляется в исходную систему уравнений и граничных условий. Из требования равенства нулю коэффициентов при степенях е получаются задачи для определения функций щ. Исследование и решение этих задач приводит к осредненному уравнению и формулам для его коэффициентов. Часто первый член разложения не зависит от быстрых переменных и является решением осредненного уравнения. Использование нескольких членов асимптотического разложения дает более полное представление о процессах, протекающих в микронеоднородных средах с периодической структурой. Для многих моделей метод осреднения строго обоснован, доказаны теоремы о существовании предельной функции и оценки близости решений исходных и осреднен-ных уравнений [1 - 3, 11, 25, 30, 32, 50, 53, и др.]

Определение эффективных коэффициентов, как правило, связано с численным решением так называемых задач на ячейке периодичности. В некоторых случаях удается получить точные или приближенные явные формулы для осредненных характеристик. В работах [6 - 9, 17, 18, 33, 36, 41 - 48, 54] существенным моментом при выводе формул оказывается наличие дополнительных малых параметров, кроме малого периода среды е. Многие биологические материалы , а также материалы,

используемые в технике, в частности, в строительстве, имеют вытянутую структуру [35]. Для периодического материала это означает, что период в одном направлении много больше, чем в других. Наличие большого параметра а;, равного отношению периодов среды, для ряда задач позволяет получить приближенные формулы для эффективных коэффициентов в явном виде. Это может оказаться существенно важным при конструировании материала с заданными свойствами и при решении задачи оптимизации свойств композиционного материала по каким-либо характеристикам, так как они помогают не только определить характеристики материала, но и понять их зависимость от других параметров.

Задачи осреднения процессов в средах с периодами разного порядка в различных направлениях рассматривались ранее в работах [47], [19]. Случай неоднородной среды с быстро осциллирующими бесконечно гладкими коэффициентами был рассмотрен в статье В.Ю.Дубинской [19]. В работе Н.С. Бахвалова и St. Jean Paulin [47] дан вывод явных формул для эффективных модулей для задачи теплопроводности в двумерной изотропной пористой среде с симметричными порами.

Настоящая работа посвящена выводу и строгому математическому обоснованию явных приближенных формул для эффективных коэффициентов трех типов сред вытянутой структуры: 1) двумерной анизотропной среды с вытянутыми (в отличие от [47]), не обязательно симметричными порами; 2) трехмерной структуры, состоящей из пластинок, соединенных сетью перемычек произвольного поперечного сечения; 3) произвольной периодической неоднородной среды с негладкими коэффициентами. Данные результаты, так же, как и результаты [47], [19], получены для процессов, описывающихся эллиптическим уравнением или эллиптической системой.

Для каждого случая в работе доказаны также оценки близости между решением исследуемой исходной задачи и решением осредненной задачи с эффективными коэффициентами, вычисленными по предлагаемым формулам. Эти оценки получены в

норме пространства £2(Се), где - область, в которой рассматривается задача.

В работе приводятся также результаты расчетов эффективных коэффициентов, определенных через численное решение задач на ячейке. Расчеты проводились для двумерной пористой среды с различными по форме порами и с различной "вытяну-тостью", то есть с различными величинами отношений периодов. Полученные результаты соответствуют значениям эффективных коэффициентов, найденным с помощью формул, выведенных в работе.

Было проведено также численное решение задач на ячейке для нахождения эффективных упругих модулей изотропной пористой среды. Полученные результаты указывают на применимость, выведенных в работе формул, хотя метод их получения для данного случая не является обоснованным.

Во второй главе диссертации при рассмотрении задач с негладкими данными существенно используется метод сглаживания. Переход к задаче с гладкими коэффициентами явился важным моментом при выводе явных формул для эффективных коэффициентов неоднородных периодических сред и их обосновании в случае, когда коэффициенты исходного уравнения были измеримыми функциями.

Метод сглаживания применен также при исследовании краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Наличие пограничных слоев делает неэффективными традиционные сеточные методы решения с постоянным шагом интегрирования. В [4, 20] были предложены нетрадиционные методы решения таких задач. При этом оценка погрешности 0(А^-2) была получена в работе [4] при использовании неравномерной сетки, меняющейся от точки к точке. Позднее был предложен более простой метод [40] с оценкой погрешности 0(Л^~21п2Л^), где шаг интегрирования в отличие от [4] менялся только два раза вблизи от концов отрезка интегрирования. В данной работе получена равномерная по параметру оценка погрешности численного решения

задачи при малых требованиях на гладкость коэффициентов. В основе лежит метод, предложенный Н.С. Бахваловым в [4], и идея перехода к задаче с гладкими коэффициентами [5].

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения; всего содержит 150 страниц, включая 3 рисунка и 3 таблицы.

Основное содержание работы.

Первая глава посвящена развитию асимптотических методов исследования процессов в микронеоднородных средах. Рассматриваются задачи для двумерной анизотропной среды, содержащей периодическую систему не обязательно симметричных пор, а также трехмерной среды специальной структуры. Для простоты изложения описывается скалярный случай. Однако, порядок сомножителей в различных произведениях берется таким, что результаты переносятся автоматически на векторный случай, если применить формализм, введенный в п.2.2 второй главы. При получении явных приближенных формул для эффективных коэффициентов таких сред используется методика, сходная с применяемой при исследовании задач для композиционных материалов с высокомодульной арматурой [3]. Выводятся и строго обосновываются явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов данного материала в предположении, что период среды Е\ в направлении оси х\ много больше - периода среды в направлении оси £2^2 << £1 << 1- Доказываются оценки близости решений исходной и осредненной (с вычисленными по данным формулам коэффициентами) задач. Приводятся результаты численного исследования эффективных коэффициентов.

В п. 1.1 дается общая постановка задачи. Ячейка периодичности разбивается на подобласти единичного квадрата К\

К\ = {(2/1,2/2) : 0 < 2/1 < аь 0 < 2/2 < 1},

= {(2/1,2/2) '■ а1 < 2/1 < «2, 9-{у\) < 2/2 < 9+Ы)}, Къ = {(2/1,2/2) : а2 < 2/1 < 1 , 0 < 2/2 < 1}, Ко = иТСи

где 0 < аг < а2 < 1, функции д-(у{), д+{у\) <Е \УЦаиа2] и удовлетворяют соотношениям

О < д-Ы < 9+Ы) <

^-(ах) = д-{а 2) = 0, £+(а1) = = 1-

Предполагается, что Ко - Липшицева область. Вводятся обозначения

а2 г

р2 = / [(р!)2 + (д'+У) ¿к < оо, (в.1)

аг

П0 = {(2/1,2/2) : 3(пьп2) € Z2 такие,что (у1-пиу2-п2) Е

По = {(хих2) : {х1/еих2/е2) € П0}. Предполагается, что - ограниченная Липшицева область,

0£ = в ПП£0, 8£ = дв£\дО, Г е = дО\Б£

и что - также Липшицева.

Рассматривается краевая задача

Lu£ =

д

/

дхг

г \

А

%3 дх

/(*) в Ge

j.

(■и£ - Ф) |Ге = 0 ,

ди£

(В.2)

на Sf

Коэффициенты удовлетворяют условиям

Aij = Ат1г = const, 0 < Д <

г

{^з'Пу'Пг) (Vj^j

<(32<оо (В.З)

для векторов 771 и rj2 таких, что (777, rjj) > 0.

Для перехода к квадратной ячейке периодичности со стороной £i используется преобразование координат. Проводится осреднение уравнений согласно известной методике [3, 53]. При этом формально считается, что параметр lj — £\/s2 = const.

Выводятся задачи на ячейке и формулы для коэффициентов осредненного уравнения через их точные решения . Затем параметр оо "размораживается" и исследуется асимптотика решения задач на ячейке.

Приближение к решению первой задачи ищется в виде

М? «

1

Ml = Nu + -N:

Lü

12

Функции Иц и N12 находятся из следующих условий: 1) М\ удовлетворяет уравнению в каждой области К{ и граничному условию на границе поры с точностью до членов порядка о;0; 2) М\ — у\ является 1-периодичной функцией по каждой переменной; 3) выполняется условие непрерывности главных членов потока вдоль оси у\ и функции Иц на границах областей К\ и К2, К2 и В работе найден явный вид функций _ЛГц,

А^С*У1 + Ьг

Nu =

«1

g(t 1)

+ A71lC*a1 + bi в К2t

lAn1^!-1)4-1 + 6!

Г 0

N12 =

А-^А dNn

У2

где А

Ii

Ап - A12A221A2I, д = д+

9-

С* -

а2

Апа + А/ J "

а 1

dyi

д(у 1),

вК3, в КгиКз,

в К2,

а = 1 + ai

-1

«2,

Поскольку ТУ12 разрывна, то в дальнейшем проводится ее сглаживание, и рассматривается функция

M{ = Nn+X6

N-

12

Lü

Выбор константы Ь\ фиксируется условием — у\ < • > - обозначение среднего по периоду К.

Для Д1 = М( — М" доказывается неравенство

— 11 —

= 0, где

Л(ДЬ до = / ш^А^^у < Ст\ г =

к ОУ1 дуг

\

6 +

1

оАГ (В.4)

где С - константа, не зависящая от и и 6.

Приближение к решению второй задачи на ячейке ищется в виде

М2Ш « М2 = ^N20 + N21 . Построена функция

Мк

(У2 + ?ШУ1+Ь2 в Къ

^ (N11 + Хб— \ Вх + В2и; + 2/2(1 - Хб) + в К2, + - 1) + Ь2 в

Константа 62 выбирается из условия ^М— у2) = О,

Г = -А^А^ + ^(ГБь Вх = А^А^а, £2 = -А^А^ь Для Д2 = — получена оценка

Л(Д2,Д2) < Си2г2 . (В.5)

Си и

использованием вместо точных решении задач на ячейке М^ функций = 1,2) в формулах

4 =

найдены коэффициенты:

Ап = С*, А12 = СМП1 Л12 а, А21 = А^А^/С* а, (В.6)

Л22 = (А21 А^С*А^А12 а - А2\ А^ А12 + А22) а . Доказана следующая теорема

Теорема 1.1. Приближенные формулы для эффективных коэффициентов двумерной анизотропной периодической пористой среды при выполнении условий (В.З), (ВЛ) = —Ь оо имеют вид

Ац ~ Ац,

где Ац определяются формулами (В. 6).

Оценка погрешности формулы (В. 7) :

\Ац ~ Агэ| < (В.8)

В п. 1.2 получена оценка близости решений исходной и осредненной задач, которая дается следующей теоремой

Теорема 1.2. Пусть и6 - решение задачи (В.2), V -решение осредненной задачи

£ А ^

¡¿=г 13 дх1&х^

Е о., =f Чдо = Ф,

где коэффициенты А^ определены формулами (В.6). Пусть V е С3(С).

Тогда для разности решений этих задач выполнена оценка

где - константа, не зависящая от Е\ и е2.

В п. 1.3 рассматривается аналогичная задача для трехмерной периодической пористой среды в предположении, что структура среды представляет собой набор пластин, соединенных сетью перемычек. При некоторых условиях на функции, задающие форму перемычек, по аналогии с предыдущим параграфом

— 13 —

проводится асимптотическое построение приближенных решений задач на ячейке. Получены следующие явные приближенные формулы для эффективных модулей среды:

Ап=С\ Аи = С*А^А12а, А13 = С*А^А13 а,

Л21 = А21Ап}С* а, А31= А31А^С* а, (В.9)

Л22 = (А21 А12 а - А2\А^А\2 + А22) а,

Л32 = (А31А^С*А^А12 а - А31А^А12 + А32) а, Л23 = (А21 А1г а - А21А^А1Ъ + Мъ) а,

А33 = (А31А^С*А^А13 а - А31 А^Агг + А33) а,

где

/ «2 \-1 С*= А^а + Ай1/ , Ап=Аи+А12Р2 + А13Рг,

V «1 8{у1))

р2 = — [а22 — а23а3%а32) (а.2 1 — а23а33а3^ ,

■Рз = - (¿зз - А32А22\А23)~1 (А31 - А32А221А21),

а = 1 -f ai — а2 - ширина пластинки, S(y\) - площадь сечения перемычки плоскостью у\ — const. Доказывается следующая теорема

Теорема 1.3. Приближенные формулы для эффективных коэффициентов трехмерной пористой среды данной структуры при си — е\/£2 —> оо имеют вид

AijttAij, (В. 10)

где Aij определяются формулами (В.9).

Оценка погрешности формулы (В.10) :

IА^ - Aij| < С/у/ш. (B.ll)

П. 1.4 посвящен сравнению эффективных коэффициентов, определенных через численное решение задач на ячейке, с вычисленными с помощью формул, выведенных в работе. Приводится описание численного метода, используемого при решении задач на ячейке, и полученных результатов.

Вторая глава посвящена задачам, при решен�