Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек и стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

§ I. Постановка задач.

§ 2. Вариационно-асимптотический метод . .II

§ 3. Статика оболочек.

§ Динамика оболочек

§ 5. Теория стержней.

§ 6. Задачи.

§ 7. Основные результаты

Глава I. Теория оболочек.

§ I. Статика изотропных однородных оболочек.

Классическое приближение.

§ 2, 0 других формах уравнений классической теории оболочек.

§ 3. Основная уточненная теория.

§ Ч, Теория с учетом геометрической поправки и поперечного сдвига.

§ 5. Динамика оболочек. Низкочастотные длинноволновые колебания.

§ 6. Высокочастотные длинноволновые колебания пластин.

§ 7. Анизотропные неоднородные оболочки.

§ 8. Линейное и квадратичное приближения

Глава П. Теория стержней.

§ I. Эвристическая теория стержней

§ 2. Асимптотический анализ функционала энергии трехмерного упругого тела

§ 3. Исследование задачи на сечении.

§ 4. Энергия стержня из физически линейного материала.

Глава Ш. Некоторые задачи.

§ I, Краевой эффект в цилиндрической оболочке

§ 2. Определение ширины погранслоя из условия минимума энергии

§ 3, Дисперсия волн в пластине.

§ Дисперсия волн в цилиндрической оболочке

§ 5. Дисперсия нелинейных волн в стержне.

§ I. Постановка задачи

В диссертации рассматриваются в основном два вопроса - проблема построения двумерной теории оболочек и проблема построения одномерной теории стержней. Они заключаются в следующем. Проблема построения теории оболочек. Рассмотрим в трехмерном пространстве поверхность .Оо и восставим в каждой точке -О.о направленный по нормали отрезок длины к с центром, лежащим на . Отрезки заметают некоторую область . Предполагается, что отношение 1-ъ к минимальному радиусу кривизны^ Я г.о поверхности По и характерному размеру поверхности гораздо меньше I. Упругое тело, занимающее в начальном состоянии область , (оболочка) деформируется некоторыми поверхностными силами, приложенными на границе тела. На краю оболочки или на части края могут быть заданы перемещения; в динамических задачах заданы также начальные значения перемещений и скоростей!.

Требуется, если это возможно, заменить задачу приближенной "двумерной", в которую входят функции только двух поверхностных координат и времени.

Проблема построения теории стержней. Пусть - область в трехмерном пространстве, образованная движением вдоль пространственной кривой Р плоской фигуры ¿э , в каждой точке перпендикулярной к оси Г , - диаметр фигуры /£ , | Пэ | ~ длина Г , - минимальный радиус кривизны-кручения Г о о Точное определение и других характерных масштабов дано ниже при систематическом изложении. и 1 . Упругое тело, занимающее в начальном состоянии область , (стержень) деформируется некоторыми поверхностными силами, приложенными на границе тела. На торцах стержня заданы либо поверхностные силы, либо перемещения; в динамических задачах заданы также начальные условия для перемещений и скоростей.

Требуется приближенно заменить сформулированную задачу "одномерной", в которую входят функции только продольной координаты и времени (в тех случаях, когда это возможно). Дополнительные ограничения. Сформулированные задачи будем рассматривать при следующих предположениях.

Упругое тело будем считать физически-линейным. Это означает, что плотность внутренней энергии единицы начального объема 17 имеет вид где £ - компоненты тензора деформаций аЛ

X "^^¿"Ь)- закон движения тела, Х*" - декартовы координаты системы отсчета наблюдателя, - лагранжевы координаты, малые латинские индексы пробегают значения I, 2, 3, при этом индексы V , j ,к соответствуют проекциям на оси наблюдателя, а индексы а, , & » С. - проекциям на сопутствующие оси, запятой о в индексах обозначается дифференцирование, ^ ^ - компоненты метрического тензора в недеформированном состоянии. Деформация предполагается либо адиабатической, либо изотермической. В последнем случае под 17 в (1.1) следует понимать свободную энергию.

Никаких условий на свойства упругой симметрии не налагается. Допускается также неоднородность упругих свойств. Однако считается, что модули упругости не могут быть аномально малы (это условие выражено равенствами (1>?.б), (1Д53) и

2.2.20')1).

Внешние поверхностные силы предполагаются мертвыми.

Кроме того, предполагается, что амплитуда вызываемой ими деформации гораздо меньше I.

Считается, что оболочка имеет постоянную толщину, а стер

2) жень - постоянное поперечное сечение .

Основным условием для возможности замены трехмерной задачи одномерной или двумерной является малость параметра ~ , где - характерный масштаб изменения напряженного состояния в продольном направлении. Требование малости принимается дальше в качестве основного допущения. Отметим, что оно накладывает на внешние силы, упругие модули, геометрию 12о и Г неявно ряд ограничений.

Проблема построения теории стержней и оболочйк как проблема асимптотичеекая. Ясно, что приближения трехмерной теории одномерными или двумерными бесконечно разнообразны. Будем, например, в каком-нибудь из "хороших" приближенных уравнений мало изменять один из коэффициентов. Уравнение меняется, однако степень удовлетворительности приближенного описания остается той же. Существенно сужает круг возможностей идея, восходящая, по

Первая цифра - номер главы, вторая - номер параграфа, третья-номер формулы. Внутри главы при ссылке на формулы этой же главы номер главы не ставится.

2) Почти все результаты справедливы и без этого ограничения; изменяются лишь отдельные оценки. водимому, к Сен-Венану 1284J, рассматривать теорию стержней и оболочек как асимптотическую теорию, соответствующую предельному переходу О • Реализовать эту идею удалось сравнительно недавно в последние два-три десятилетия. Основные результаты принадлежат здесь А.Л.Гольденвейзеру [ 49] , развившему метод асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости. Подход, основанный на комбинации асимптотических соображений и метода однородных решений, развит И.И.Воровичем и его школой [ 41 ] . Построению теории пластин и оболочек на основе асимптотического анализа уравнений трехмерной теории упругости посвящены работы §рвдрихса [ 189 ] , Г.И.Петрашеня [l23], Г.И.Петра-шеня и Я.А.Молоткова [ 124, 125] , Джонсона и Рейсснера [217] , Джонсона и Ввдера [218 ] , Нейра и Рейсснера [261, 262] , Грина [l93, 194] , О.К.Аксентян и Ю.А.Устинова [7] , А.В.Колос [7б] , Н.Н.Рогачевой [l38^] , Рейсснера и Саймовдса [279] , Ввдера [299 - 303 ] , Л.А.Агаловяна [IJ и др.,обзоры исследований по этому вопросу имеются в работах И.И.Воровича [4l] , Э.И.Григолю-ка и Й.Т.Селезова [ 53 ], Л.Я.Айнола и У.К.Нигула [б], А.К.Га-линыпа [473 •

Асимптотический подход приводит в первом приближении к классической теории оболочек, построение которой было начато Лявом [89, 242] , и завершено в работах В.В.Новожилова [112 -115, 117] , Л.И.Балабуха [15] , А.Л.Гольденвейзера [48, 49j , Койтера [229 - 235] , Сандерса [285 3 , Муштари и Галимова [lOO], Будянского и Савдерса [ 177] ; изложению классической теории оболочек посвящены монографии В.В.Новожилова ÎXI5] . А.Л.Гольденвейзера [49] , Х.М.Муштари и К.З.Галимова [44, 100] , С.П. Тимошенко и С.Войновского-Кригера [153 ] , Флюгге [188] , К.§. Черных [l59] , Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [55] ?С.А.Амбарцумяна [ю] , Нахди [255, 25б] .

Асимптотический подход позволяет строить и следующие при-ближения-уточненные теории оболочек. Потребность в уточненных теориях связана с несколькими причинами. Во-первых, уточнение классической теории требуется для более полного понимания самой классической теории оболочек - существует мнение, что настоящее понимание теории возникает после того, как становятся ввдны ее обобщения. Уточненные теории оболочек позволяют более явным образом охарактеризовать погрешность классической теории. Кроме того, в приложениях возникает потребность в расчете оболочек средней толщиныСс не малым значением параметра ~ ) и быстро

1С меняющейся нагрузкой. В этих случаях классическая теория оболочек может иметь погрешность в 20-30$ и более и переход к уточненной теории становится необходим*

Построение уточненных теорий является более сложным вопросом, чем построение классического приближения. Классическая теория учитывает "грубые" эффекты, и для того чтобы разобраться в них зачастую достаточно физической интуиции. В уточненных теориях включаются в рассмотрение малые эффекты, и построение теорий, последовательных в том смысле, что учитываются все малые одного порядка, руководствуясь только физической интуицией и не располагая регулярными методами, крайне трудно.

Интерес к уточненным теориям оболочек можно характеризовать числом публикаций: в наиболее обстоятельном обзоре Э.И.Григолю-ка и И.Т.Селезова [53] процитировано около 750 работ.

Уточненная теория оболочек, учитывающая поправки порядка по сравнению с I, построена А.Л.Гольденвейзером [49] при помощи асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости в линейной статике изотропных оболочек.

Проблемы вывода соответствующей геометрически нелинейной теории, а также уточненной линейной и нелинейной динамики оболочек из трехмерной теории упругости по существу оставались открытыми. Им посвящена первая глава диссертации.

Асимптотический анализ уравнений трехмерной теории упругости в связи с выводом уравнений теории стержней проводился В.В. Понятовским [130, 131 ] , В.В.Елисеевым [60] , Рижоле £283] , Нариболи ^264^ . Общий случай анизотропных неоднородных стержней оставался неисследованным даже в классическом приближении, и ему посвящена вторая глава диссертации.

О вариационном подходе. Проблема построения теории стершей и оболочек интересовала автора в основном не сама по себе, а в связи с желанием разобраться в несколько более общем вопросе. Как известно (Л.И.Седов [140, 141 ] ), любая модель сплошной среды определяется заданием её кинетической энергии, внутренней энергии и диссипации. По этим трем величинам, зная внешние воздействия (функционал работы внешних сил), можно полностью восстановить замкнутую систему уравнений и естественных краевых условий. Кинетическая и внутренняя энергии, диссипация и работа внешних сил содержит всю информацию о системе. Хотелось бы научиться понимать энергетический язык непосредственно, без предварительного перевода на язык уравнений.

В частности, проблему построения теории упругих стержней и оболочек можно поставить следующим образом: как по кинетической и внутренней энергии и работе внешних сил трехмерного упругого тела восстановить соответствующие " одномерные" выражения для стержней и "двумерные" выражения для оболочек.

Формально эта задача заключается в асимптотическом исследовании функционала I (и,; £) , зависящего от малого параметра £ . Можно было бы исследовать систему уравнений Эйлера этого функционала, метода!»®, развитыми в математической физике. Однако непосредственный анализ функционалов в асимптотических задачах связан с определенными выгодами. Во-первых, вместо исследования систем уравнений, которые в геометрически нелинейной теории упругости весьма сложны, а при учете анизотропии к тому же крайне громоздки, придется подвергнуть асимптотическому анализу всего одну функцию-лагранжиан. Во-вторых, при асимптотическом анализе уравнений свойство уравнений быть уравнениями Эйлера вариационной задачи может теряться. Приведем простой пример. Рассмотрим систему 2 линейных уравнений, содержащих малый параметр £ , X -А- , ^ - ЭС-) = О . Они выражают условие равновесия двух связанных слабой связью пружинок, из которых к одной приложена внешняя сила. "Упростим" систему так, чтобы можно было гарантировать правильное вычисление X и х^ с точностью до членов порядка I и Ь включительно. Поскольку X , , в уравнениях можно выбросить слагаемое ь ^ , которое имеет порядок ¿^ . Получим уравнения £ + £ X =1 ; ^ - £ Л = О Исходные уравнения являются уравнениями вариационногоЛтипа - их левые части представляют производные функции ^ (х1+&Е0с~Ц) , а цриближенные уравнения этим свойством не обладают. Подобная ситуация типична в теории дифференциальных уравнении с малым параметром. Приближенные системы уравнений, которые получаются при асимптотическом анализе функционалов автоматически всегда имеют вариационную структуру. Это обстоятельство существенно для применения численных методов решения задач.

Соображения асимптотического характера в интуитивной форме нередко используются в энергетических подходах. В физике, например, широко применяется отбрасывание малых членов в энергии. Однако явная формулировка приемов асимптотического анализа функционалов в литературе, по-видимому, отсутствовала. Попытка представить интуитивно ощущаемые закономерности в виде формальной схемы и некоторых рецептов и правил предпринята в работах автора [ 14,22,29,31-£Ч] # Основные вдеи предложенной схемы (вариационно-асимптотического метода) изложены в следующем параграфе.

1. Агаловян Л.А. Применение метода асимптотического интегрированияк построению приближенной теории анизотропных оболочек.-ШМ, 1966, т.30, в.2.

2. Айнола Д.Я. Вариационные методы для нелинейных уравнений движения оболочек.- ПММ, 1968, т.32, вып.1, 154-158.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругихоболочек, Изв.АН Эст.СССР, Сер.физ.-мат.и техн.н., 1965, т.14, £ 3, с.337-344.

4. Айнола Л.Я. О геометрически нелинейной теории динамики упругих пластин.- Прикл.мех., 1965, т.1, вып.8, 7-16.

5. Айнола Л.Я. Асимптотическая теория динамики упругих пластинпри больших перемещениях.- Изв.АН Эст.СССР, сер.физ.мат. техн., 1966, т.15, Я с.369-376.

6. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругихплит и оболочек,- Изв.АН Эст.СССР, Сер.физ.-мат. и техн.н., 1965, т.14, А» I, с.3-63.

7. Аксентян O.K., Устинов Ю.А. Построение уточненных краевыхтеорий для плиты на основе уравнений теории упругоети.-М4, 1972, т.32, вып.2.

8. Алумяэ H.A. Равновесие тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии.- ШМ, 1949, т. 13, вып.1.

9. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.- М.: Наука,1967, 266 с.

10. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.:Наука, 1974, 446 с.

11. Арнольд В.И. Математические метода классической механики.М., "Наука", 1974.

12. Арутюнян Н.Х., Абрамян БД. Кручение упругих тел.- М.: Физмштгиз, 1963, 686 с.

13. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций.М.: Наука, 1970.

14. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Асимтотическое поведениерешения задачи теории упругости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине,- ШМ, 1965, т.29, вып.*

15. Балабух Л.И. Изгиб и кручение конических оболочек. Тр.ЦАГИ, 1946, №577.

16. Бердичевский В.Л. Вариационные методы построения моделейоболочек.- ШМ, 1972, т.36, вып.5, 788-804.

17. Бердичевский В.Л. Об уравнениях, описывающих поперечныеколебания тонких упругих пластин.- МТТ, 1972, № 6, 152-155.

18. Бердичевский В.Л. К динамической теории тонких упругихпластин.- МТТ, 1973, £ 6, 99-109.

19. Бердичевский В.Л. Одно энергетическое неравенство в теорииизгиба пластин.- ШУМ, 1973, т.37, вып.5, 940-944.

20. Бердичевский В.Л. Об одном вариационном принципе.- ДАНСССР, 1974, т.215, № 6, 1329-1332.

21. Бердичевский Вд. к доказательству принципа Сен-Венана длятел произвольной формы.- ШМ, 1974, т.38, вып.5, 851-864.

22. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодическихструктур.- ДАН СССР, 1975, т.222, & 3, 565-567.

23. Бердичевский В.Л. Динамические уравнения теории анизотропных пластин. ДАН СССР, 1975, т.224, № I, 54-57.

24. Бердичевский В.Л. Об уравнениях теории анизотропных неоднородных стержней. ДАН СССР, 1976, т.228, гё 3, 558-561.

25. Бердичевский В.Л. Функции напряжений и некоторые априорныеоценки в теории изгиба пластин. ПММ, 1976, т.40, вып.З, 528-535.

26. Бердичевский В.Л. 0 скорости затухания напряжений в цилиндрических упругих телах. ДАН СССР, 1976, т.230, № 3, 549-552.

27. Бердичевский В.Л. О некоторых формах уравнений теории оболочек. ДАН СССР, 1977, т.233, № 5, 820-823.

28. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур.ПММ, 1977, т.41, вып.6, 993-1006.

29. Бердичевский В.Л. Высокочастотные длинноволновые колебанияпластин. ДАН СССР, 1977, т.236, 1319-1322.

30. Бердичевский В.Л. К обоснованию безмоментной теории оболочек. МТТ, 1977, В 6, 170-174.

31. Бердичевский В.Л. Энергетические методы в некоторых задачахо затухании решений. ПММ, 1978, т.42, вып.1, 136-151.

32. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод.в сб.: "Некоторые вопросы механики сплошной среды (к 70-летию акад. Л.И.Седова)", М., 1978, 271-289.

33. Бердичевский В.Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек. ПММ, 1979, вып.4, 664-687.

34. Бердичевский В.Л. Об энергии упругого стержня. ПММ, 1981,т.45, вып.4, 704-718.

35. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы в проблеме осредненияслучайных структур. ДАН СССР, 1981, т.261, Л2, 301-304.

36. Бердичевский В.Л. Основные соотношения теории анизотропныхнеоднородных оболочек. Линейное и квадратичное приближения. в сб. "Современные проблемы механики и авиации (к 60-летию акад. И.Ф.Образцова)", М.: Машиностроение, 1982, 74-88.

37. Бердичевский B.JL, Коц Л.Я. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания упругих анизотропных пластин. В сб.: "Избранные проблемы прикладной механики (к 60-летию акад. В.Н.Челомея)", М., 1974, I03-III.

38. Бердичевский В.Л., Квашнина С.С. Об уравнениях, описывающихпоперечные колебания упругих стержней. ПММ, 1976, т.40, вып.X, 120-135.

39. Бердичевский В.Л., Старосельский Л.А. К теории естественнозакрученных криволинейных стержней. МТТ, 1979, J5 6.

40. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980, 375с,

41. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотическойтеории пластин и оболочек. Материалы I Всес. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин, Тбилиси: изд-во Тбилисского ун-та, 1975, 51-150.

42. Ворович И.И. Неединственность и устойчивость в нелинейноймеханике сплошной среды. Некоторые математические проблемы. Нерешенные задачи механики и прикладной математики, М.: изд-во МГУ, 1977, 10-50.

43. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений тонкой пластинки, ПММ, 1974, т.38, вып. 6; Асимптотический анализ граничных и начальных условий в динамике тонких пластин. - ПММ, 1978, т.42, вып.5.

44. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.Казань : Изд-во КГУ, 1975, 325 с.

45. Галимов К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига,гл.1-Ш.- Казань : Изд-во КГУ, 1977, с.5-131.

46. Галимов К.З. Нелинейная теория тонких оболочек типа ТимошенкоИсследования по теории пластин и оболичек, всШ.П, Казань : Изд-во КГУ , 1975, с.92-126.

47. Галиньш АД. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям.Мсследования по теории пластин и оболочек", вып.6-7, Казань : Изд-во КГУ, 1970, с.23-64,

48. Гольденвейзер А.Л. Уравнения теории оболочек. ИМ, 1940,т.4, & 2.

49. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболояек.- М.,Наука", 1976, 512 с. ьО. Гольденвейзер А.Л. Математическая жесткость поверхностей и физическая жесткость оболочек.- МТТ, 1979, вып.6, 65-77.

50. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободныеколебания тонких упругих оболочек.- М., "Наука", 1979, 384 с.

51. Гребень E.G. К теории тонких стержней.- МТТ, 1967, JS 5, с.67-72.

52. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебанийстержней, пластин и оболочек.- М.:ВИНИТИ, 1973, 272 с.

53. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Об одном варианте уравнений теорииконечных реремещений непологих оболочек.- Прккл.мех., 1974, т.10, В 2, с.3-13.

54. Григолюк Э.М., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: "Наука", 1978, 360 с.

55. Дараган В.И., Саченков A.B. Об одном подходе к теории пластин средней толщины. Исследования по теории пластин и оболочек, Казань, 1972, 96-108.

56. Даревский В.М, Об основных соотношениях теории тонких оболочек. ПММ, 1961, т.25, № 3, 519-595.

57. Джанелидзе Г.Ю. Обобщенные зависимости теории тонких стержней. ДАН СССР, 1949, т.66, № 4, 597-600.

58. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой. Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № I, 163-166.

59. Елисеев В.В. Применение асимптотического метода в задаче о равновесии криволинейного стержня. Изв. АН СССР, МТ^, 1977, № 3, 145-150.

60. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей, УМН, 3, вып. 2(24), 1948, 47-158.

61. Зубов Л.М. Теория малых деформаций предварительно напряженных тонких оболочек. ПММ, т.40, 1976, 85-95.

62. Зубов Л.М. Уравнения упругих оболочек в эйлеровых координатах. ДАН СССР, 1977, т.237, № 5, 1044-1047.

63. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: "Наукова думка", 1979, 215.

64. Илюхин A.A. Определение параметров упругого анизотропного стержня и связи между ними. Механика твердого тела, -Киев, 1972, вып.4, 156-160.

65. Ильюшин A.A. Пластичность. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

66. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: "Наука", 197 *

67. Квашнина С.С. Одномерная модель динамического изгиба тонкого упругого стержня кругового поперечного сечения. Научн. труды Ин-та механики МГУ, 1974, № 31, 178-183.

68. Квашнина С.С. К задаче об изгибе толстой плиты,- Вестн.МГУ,мат., мех., 1978, J& 3, с.83-88.

69. Квашнина С.С., Высокочастотные длинноволновые колебанияупругих стержней.- ПММ, 1979, т.43, вып.2.

70. Кильчевский H.A. Обобщение современной теории оболочек.ПММ, 1939, т.2, J& 4, с.427-438.

71. Кильчевский H.A. Анализ различных методов приведениятрехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек.- Теория пластин и оболочек, Киев : АН УССР, 1962, с.58-69.

72. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек,т.1.- Киев : АН УССР, 1969.

73. Клоснер Д., Левайн Г. Дальнейшее сравнение решений теорииупругости и теории оболочек.- Ракетная техника и космо^., 1966, & 3, II0-I24. 76. Кирхгоф Г. Механика.- М.: Изд-во АН СССР, 1962.

74. Колос A.B. Метода уточнения классической теории изгиба ирастяжений плит.- ШМ, 1965, т.29, вып. 4 , с.771-781.

75. Коа-Фоссен С.Э., Изгибаемость поверхностей в целом.- УМН,вып.1, 1936, с.33-76.

76. Кон-Фоссен С.э. Нежесткие замкнутые поверхности.- УМН, 9,вып.1 (59), 1954, 63-81.

77. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задачи о колебаниях упругогополуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки операторов.- Функ. анализ и его прилож., 1975, т.9, № Ч, 28-Ю.

78. Ле Хань Чау, Бердичевский В.Л. Высокочастотные длинноволновыеколебания оболочек.- ИМ, 1980, вып.4.

79. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.- М.-Л.: Гостехиздат,1957.

80. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней.М.:Наука, 1971, 240 с.

81. Либресну Л.И. К теории анизотропных упругих оболочек ипластинок.- Инж.ж., 1964, т.1У, вып.З, с.475-485.

82. Лиотко Л.И. Оценка погрешности приближенной формулы длякручения срединной поверхности оболочки, предложенной Треффтцем.- Мех.тв.тела, Киев, 1970, № 2, 96-98.

83. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел.- М.:Изд-воМГУ, 1976, 367 с.

84. Лурье А.И. Общая теория тонких упругих оболочек.- 1Ш, 1940,т.4, №

85. Лурье А.й. Пространственные задачи теории упругости.- М.; Гостехиздат, 1955.

86. Лурье А.И. Теория упругости.- à,: Наука, 1970, с.939.

87. Ляв А. Математическая теория упругости.- М.:Гостехиздат,1935.

88. ГЛО/К^ В. Об одной теории тонких упругих плоскихпластин без гипотез Лява Кирхгофа.- Месап. (Хру^у**,Rev. Rouwuun. des ЬсДп. т.%

89. Мисюра В.А., Бердичевский B.JI. Определение перемещений втеории длинных цилиндрических оболочек.- Тезисы докл. Всес.конф.по теории оболочвк, Ереван, 1980.

90. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике,изд.второе.- М., "Наука", 1970.

91. Мовчан A.A. Об устойчивости движения сплошных сред. ТеоремаЛагранжа и ее обобщения.- Инж.сб., i960.

92. Мовчан A.A. Об устойчивости процессов.- ГШ, i960, т.23.

93. Мосолов П.П. Асимптотическая теория тонких прямолинейныхпанелей.- ДАН СССР, 1972, т.206, & 2.

94. Мосолов П.П., Мясников В.П., Вариационные метода в теориитечений жестко-вязко-пластических сред.- М., изд.МГУ, 1971.

95. Мосолов П.П., Мясников В.П. Асимптотическая теория жесткопластических оболочек.- ГШ, 1977, т.41, вып.З.

96. Мусхелишвшш H.H. Некоторые основные задачи математическойтеории упругости.- М^:Наука, 1966, с.707.

97. Мусхелишвшш Н.И. К задаче кручения и изгиба упругихбрусьев, составленных из различных материалов.- Изв.АН СССР, 1932, вып.7, с.907-945.

98. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек,- Казань: Таткнигоиздат, 1957, с.431.

99. Муштари Х.М., Качественное исследование напряженного состояний упругой оболочки при малых деформациях и произвольных смещениях.- ШМ, т. 13, 1949, вып.2.

100. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек