Асимптотический анализ трехмерной задачи теории упругости для тонкостенных стержней закрытого профиля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

~ Г' Я

ПО ^

1 1 ноп

На правах рукописи

КАРПОВ Дмитрий Анатольевич

Асимптотический анализ трехмерной задачи теория упругости для тонкостенных стержней закрытого профиля

01.02.04 ~ Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ- ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена на кафедре "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского технического университета.

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор В. В. ЕЛИСЕЕВ

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор В. Р. СКВОРЦОВ

кандидат физика- математических наук, ассистент! 'Т.Е.Власова

Ведущая оргяишацна - Военно-морское инженерное училище им. Дзержинского

Защита состоит» 1«>96 г. .часов на заседа-

нии диссертационного Совета К.063.38.20 при Санкт-Петербургском государственном техническом университете по адресу: 195251, С.Петербург, ул. Полнтехническаа, 29, Т^Г-

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке СШГГУ

Автореферат разослан Г.

Ученый секретарь днссертоцноинлго Совета

кяхдкдат фмзнко- математических иаук В. Н. НОСОВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современное развитие техники и применение новых технологий обуславливает широкое применение тонкопенных конструкций в самых различных областях. Но даже при очень высоком уровне развития вычислительной техники численный расчет трехмерных задач теории упругости, а особенно таких "вырожденных" случаев как длинное вытянутое деформируемое тело или тонкая деформируемая поверхность, остается весьма трудоемким процессом* зачастую связанным с большими вычислительными трудностями. Поэтому механики используют для расчетов в таких случаях более простые уравнения теорий стержней и оболочек. Тонкостенные стержни при этом выделяются как особые объекты , для описания которых таких степеней свободы как трансляция и поворот сечения становится недостаточным, и для которых нужно вводить дополнительные степени свободы. При этом высказываются различные предположения о характере распределения напряжений или перемещений по сечению стержня, позволяющие перейти с помощью метода гипотез или вариационного метода от трехмерной или двумерной модели к одномерной. Но задание аппроксимаций является весьма ответственной операцией и требует серьезного математического обоснования. И если для тонкостенных стержней открытого профиля разработана стройная бимоментная теория, достоверность Которой подтверждена асимптотическим анализом трехмерной задачи, то для закрытого профиля предлагаются различные варианты. Представляется, что результат асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости позволит внести ясность в этот вопрос и будет существеиным шагом к созданию такой теории.

Цель работы.

{.Исследование напряженно- деформированного состояния призматического стержня сплошного сечения и тонкостенных стержней закрытого профиля; призматических и. произвольной геометрии, как протяженных трехмерных тел при произвольных объемных нагрузках.

о- '

2. Построение асимптотически точных систем уравнений, описывающих эти объекты.

3. Рассмотрение различных видов натр ужения и изучение вопросов об интегральной характеристике "угла закручивания" при деформации сечения в своей плоскости при кручении и о центре изгиба для призматических тонкостенных стержней закрытого профиля.

4. Изучение перекрестных эффектов и влияния избыточного внутреннего давления на податливость криволинейных тонкостенных стержней, расчет коэффициентов гибкости для некоторых конкретных сечений.

Метод исследования. Все задачи исследуются с помощью методики асимптотического анализа, предложенной В. В. Елисеевым. Трехмерная задача ставится в напряжениях, вводится малый параметр, учитывающий топхосгенность и протяженность стержня, и производится асимптотическое расщепление оператора задачи. Искомые величины разлагаются в ряды по малому параметру, и главные члены определяются из условий разрешимости для последующих членов. Для призматического тонкостенного стержня закрытого профиля также применяется вариационный метод перехода от трехмерной модели к одномерной. Расчет конкретных примеров проводится путем разложения неизвестных периодических функций в ряды Фурье и решение» алгебраических систем.

Научная новизна. В работе современная методика асимптотического анализа трехмерной задачи применяется к проблеме построения одномерных моделей тонкостенных стержней закрытого профиля. Исследованы задачи для призматических стержней сплошного и тонкостенного замкнутого сечения и для криволинейных тонкостенных стержней при произвольных объемных нагрузках. Получены асимптототически точные системы уравнений, описывающие главные члены разложений.

Основные результаты и защищаемые положению.

1. С помощью вариационного метода получена система уравнений для призматических тонкостенных стержней, учитывающая депланацию и деформацию сечения в своей плоскости.

2. Асимптотическим методом решения двумерных краевых задач получены функции напряжений при кручении и депланации для тонкостенных даусвязанных сечений. Вычислена геометрическая жесткость на кручение.

3. Проведен асимптотический анализ для призматического стержня сплошного сечения . Главный член дал уравнения изгиба теории Киргофа -Клебша для нерастяжимых стержней . Уравнения для кручения • растяжения проявились в первом поправочном члене.

4. Асимптотика для призматического тонкостенного стержня в главном члене дала такое же уравнение изгиба, как и для обычного стержня. При равенстве нулю главного вектора сил в сечении анализ дает обычное уравнение для кручения и интегрируемое соотношение для поперечного изгибающего момента, отвечающее за деформацию сечения в своей плоскости, а депланация сечения проявляется только в поправочных членах. Характерно ,что каждое из этих уравнений решается отдельно от другого.

5. Для призматических тонкостенных стержней закрытого профита также изучен вопрос о том, какой интеграл от распределения перемещений по сечению взять как характеристику "угла закручивания" при наложении деформации сечения в своей плоскости на кручение, и вопрос о центре изгиба

6. Асимптотически проинтегрирована трехмерная задача для тонкостенного стержня закрытого профиля произвольной геометрии. Из анализа главных членов видно существование перекрестных связей между изгибом, кручением и деформацией контура, и такие стержни будут отличаться от обычных криволинейных стержней и при изгибе. Получена система уравнений, позволяющая определить все главные величины. Произведен учет избыточного внутреннего давления на стенки стержня.

Практическая ценность. Полученные асимптотически точные системы уравнений для призматических и криволинейных тонкостенных стержней закрытого профиля являются значительно более простыми чем уравнения трехмерной теории упругости или

двумерной теории ободочек и могут быть использованы как для теоретических расчетов так и для создания различного рода численных алгоритмов решения задач на их основе.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три научных работы. Часть результатов работы докладывалась на 1-ой международной конференции "Научно - технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения", проходившей в СПбГТУ, совместно с В. В. Елисеевым.

Стуктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет (53 страницы, 5 рисунков, список литературы включает 83 наименования.

Краткое содержание лдесер гацнн

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приводится обзор основных методов, применяющихся для расчета тонкостенных стержней. На примере линейной системы алгебраических уравнений излагается суть асимптотического метода расщепления задач с линейным оператором. Рассмотрена история вопроса.

Глава 1. А снчптотическнй анализ трехмерной задачи для призматического стержня сплошного сечения. Ставится задача статики линейной теории упругости в напряжениях. Рассмотривается призматический стержень с произвольным поперечным сечением и с заданными объемными силами из однородного и изотропного материала Радиус - вектор представляется в виде: Я-х+Г'г* д-де & - «рт, направленный по образующей стержня. Тогда оператор Гамильтона выглядит т«*-

г, Г, г, ,3 - Я - малый параметр, характеризующий:

У^ + АЫ,; У1 *<г?„ + ./<?,.. ~ протяЖенносгь стержня________<«.

Представим тензор напряжений в виде: Тч^ + тк+кгкг^к, (2)

Запишем уравнения равновесия для ношей задачи.

у.74£=а в-Т^-а (3)

Для задачи в напряжение для изотропного материала можно испоьзовать зависимости Бельтрами - Митчелла:

Л7+—Wtт+гvк*+rZ-v•KE=o, где (4)

- 1+ У — 1- V 11

Уравнения (3),(4) образуют оператор задачи с малым параметром, поэтому ее решение будем искать в виде ряда по степеням Л: Г=Д-,Г"' + Л-'Г"'+....

В результате проведения асимптотических процедур для напряжений и перемещений (асимптотическое интегрирование закона Гука) получается система уравнений для главных членов разложений, которая подтверждает теорию Кирхгофа-Клебша для нерастяжимых стержней. Важно отметить, что в ней присутсвуют только распределенные внешние силы, внешний распределенный крутящий момент появится только в уравнениях для первых членов, и появляется также перекрестная связь между изгибом и кручением.

Глава 2. Применение вариационного метода перехода от трехмерной модели к одномерной для тонкостенных стержней закрытого профиля.

Будем рассматривать простейший случай призматического стержня с тонким даусвязным сечением И . Боковую поверхность будем считать свободной, действуют только объемные силы К; ограничимся только выводом уравнений, граничные условия рассматривать не будем. Записывается вариационное уравнение Лагранжа для трехмерного тела:

(5)

Перемещение я аппроксимируется следующим выражением:

*)=* (б) гдеа^.Д*)- обобщенные координаты в сечении, отвечающие за деформацию и депланацию контура поперечного сечения, к(ж)-решение некоторой плоской задачи в сечении, IV - функция депланации из задачи Сен-Венана.

Принимается = что означает отсутствие поперечного сдвига, В качестве функции У(х) дня тонкой замкнутой полоски предлагается взять решение какой-нибудь задачи об изгибе стержня в плоскости,

Бели записать радиус-вектор в плоскости сечения в виде: ## »

х= г(»)+»1/1(1) г = {,< г=-кп, п =к[.,

(Аф) - кривизна полоски, 5 - дуговая координата), то

)={/1(*)+4и)м, 0,' = -3,п. (7)

После подстановки (7) в (5) и проведения вариационной процедуры получаем дифференциальные уравнения и соотношения упругости:

й.+я,=0. О. = Е/У,. йх+= 0. М1+* » С^+Й1 = МА - 3.* х 1-{йх - да) ЛГ1+«,= 0, ^ =

Е^*?-й.1I + Ж,-ф- 4)+6=0, ^ - /ЕД]-V*«* 0

где я - т * х к<№, ь - /лг.и'а5-, у -• > г г г ■ г

= = Лг = | И7'«^, с = /(УФр^Г = 2/ф^. (8)

~ г ~ г ■ ' г .г

,1

У, == /я • да«:-, ^ ^ ■'к = /Ы = 2

г 12 * г

Как видно из (8), наряду с обычными силами и моментами в этих формулах присутствуют и новые силовые факторы: распределенный бимомент - Ь и распределенный фактор, отвечающий за деформацию

1-V

контура -у/, модуль ^+^ * Я, изгиб связан с кручением

через вектор Особенности тонкостенной модели проявляются в том, что вместо пропорциональной зависимости между М, и 4 как в случае стержня со сплошным сечением, имеем сложную систему уравнений для с перекрестными связями. Систему можно

упростить, если принять />* эг .

Глава 3. А сымптотпическнй шиглю краевых задач для функций напряжений и деплшшции для задачи Сея-Вепана для замкнутых тонкостенных профилей.

В плоскости ставятся следующие краевые задачи для функций Ф

Ф: ДФ = -2,ф|Г( = 0, ф|Г( = С„ И':Д»' = а><?|1»К|г> =вхх.*, где Г» - контура.

ограничивающие сечение, 2 - радиус-вектор в плоскости сечения.

Рассматривается двусвязное сечение в виде тонкой замкнутой полоски постояшой толщины А. Радиус - вектор задается в ввдс: *{*")= ■*л5(5)> 8 - дуговая координата осевой линии полоски,

«М-

II I

С =Ы = 5 =Аг/, где к(з) - кривизна полоски, А. - малый параметр, отвечающий за малость толщины. Операторы Гамильтона и Лапласа имеют вид:

V = X1<>0, + (I + Щ'щ, Д = Хг#щ + ХЦ\ + Лкп)'^ + («+ Элемент площади: <№=Л(1+. Отсюда имеем:

[д-'З++ль,)-'*.+(1+щ1^=«и.=* 4.-}=^.

+хЦг+ль,)1*.+(I+ш)-'^=о, .г'¿.В'Ц = г ■ (9)

Функции Ф будем искать в виде: ф = ,

Ж*>И|^+Л1У|+....Кромс того константа с; также должна быть представлена рядом: с, = Для определения этой

хонстанты будем использовать теорему о циркуляции касательных на[фяжсний: на г,: п=-{, <й=(1-^льа)^.

Х^а.Ф&ч-Щ, ^Ф,-$АЛ<?„Ф,)Л = 0 ( все функции берутся при и=-|).

Подставим все разложения в (3.7), и учитывая периодичность всех фуйкций по дуговой координате получим

Ф=*{*)—\r-nb. (10)

в«(/). Величина а(г) называется сасгориальнаф площадью. Как видно из равенства г-пЬ= к-г*Ат=-Аа>, -со - это удвоенная площадь, заметаемая радиус • вектором при возрастании 8. Итак, все функции определены. Вычислим теперь геометрическую жесткость на кручение:

' (П)

Глава 4. Асимптотический анализ трехмерной задачи для призматического тонкостенного стержня закрытого профиля.

Рассматривается задача (3),(4) для призматического стержня с даусвязанным сечением в вводе тонкой криволинейной замкнутой полоски постоянной толщины к. Радиус-вектор представим в ъиде:к(л,»,2)= {(*)+ ЛннМ+Х'гк, "! = *'.

7ц, А:^-кривизна оси полоски, Л - малый параметр, характеризующий тоикостенность и протяженность стенки.

Операторы Гамильтона и Лапласа: V = X1п9. + (1 + + ЛЛ31, Д = + +»кп)~*ка. + (1 + +

Тензор напряжений представляем в виде: 7" = а,кк* + Iй *„(+ г.,® Т ■ &,и +0,22+1**12'•

Так как ссчсние двусвязное, в постановку задачи также необходимо включить условия однозначности перемещений • условия отсутствия дислокаций и дисклинациЙ:

Боковую поверхность стержня будем считать свободной: г. = сг.- ^о, в объеме действуют произвольные нагрузки. Граничные условия на торцах *,,х, рассматривать не будем, огршшчемся лишь выводом дифференциальных уравнений. Ранение будем искать в виде: Т = Л"гг(,) + Д"|Г(,,+....

В результате первого шагь асимптотической процедуры получаем: ^ = = ¿.о1?, = = = = а (12)

Используя условия разрешимости вида: |иУл - и)*|, п учитывая

I

условия при получим:

о?' = # г<'! , а * + па?', V - 5« + «гГ. # - «1«- «о». (13) функшш а}4.....г?^ зависят ОТ 8 и г.

Второй шаг асимптотической процедуры дает:

^ --• 0, =.- 0, ко? = О,

И." = i^i - *»)«£»=4 = - *)

= г» . «7»" - -jVt^.SL4 = 5« = lf>(z) Для третьего шага получаем:

= 0, 4(5» - £»»)+ + ¿tf» = о, (15)

^ <?J3f > + - З^ J = О. Последние два равенства можно представить

в следующем виде:

= ((...)'■&). где Отвода

следует и=-*!ч'г+&(*)• Рассмотрим $У.<Ь = Этот интеграл

равен нулю как интеграл по периоду от периодической функции. Отсюда г1,1' = с,- const.

Условия совместности для первого шага дают:

= (16)

Подставляя, получим ' = о, Зр = о v=о о}' = о. Обеспечив условия разрешимости, получаем

- - кС,.тТ - «?»(хЫ" = + н5? - . 4Ч - + пф * l-'A'q

¿¡фЦз"1» - vwi4)=o, -4(3»- «?</>)- fa?.^»=0.

Последние два уравнения равносильны: = о, где

Отсюда У = t/,(x)-> ^ =а0./й^ = ».-м^), of= f/,.5. Теперь можно проинтегрировать первое уравнение в (15). Получаем

отсчета дуговой координаты. Из условия периодичности V вытекает ¿,1+0,/=0, S~jr<b,lmfdt. (17)

Четвертый шаг асимптотической процедуры дает следующие условия разрешимости; + = О,

-it-

где»: = (ог?> - »-г;1')/+^д^п, {/)»|Г/л. иг - периодическая по «

-х

функция, поэтому используя: = о, получаем

(18)

где/в

Уравнения (17), (18) образуют систему для неизвестных функций Теперь необходимо провести анализ для

перемещений.

Расписывая тензорное соотношение = в

компонентах, подставляя главные члены для напряжений и разыскивая ц в виде: и=а4§/ч+Л",«/ч+... , в итоге получаем, что главные члены асимптотических разложений выглядят так:

Перемещения: ^ = = Д-'^-У-г^+С^Д-1).

Напряжения: Т = р(х1). (19)

Имеем уравнение для я^/.у^ .-я ^ ■ • обычное уравнение

изгиба балки. *

Рассмотрим теперь случай: ^4^ = 0, Р - площадь поперечного

сечения. В этом случае первый поправочный член для общего случая становится главным, и разложение для Г начнется с А"1. Проделав асимптотические процедуры для напряжений и перемещений получим: Шшамшш-

- * + «М* «г+- ^-гЙ Ф"') (20)

Напряжения .--

-м-

<Я(г)-«»(-у

/}(г15))л+— ^ехь , § = r.ri■[нJne,-l,+^ £кл)- я»,-'¡5 - К

. V

Отметим, что с^ полностью определяется распределением внешних нагрузок по сечению стержня.

Остался неявным вопрос о связи функции с^4^ перемещениями. Пока что представляется некоторая сложная операторная зависимость. Введем новую переменную: /9(1) ■ «Г*^«!? •<<« =в>,4

Подставляя «¡ч легко показать, что »^«^-йй^»)»—^¡"'^А, или

4,

(^к = Теперь можно записать уравнения.

= = = (22)

Как видно из (22) растяжение стержня описывается классическим уравнением из теории балки и добавляется изгиб, вызванный распределенным изгибающим моментом. Отметим также, что если определять угол закручивания сечения как величину энергетически сопряженную с крутящим моментом в сечении стержня в задаче Сен -Веиана, то Д*) оказывается первым приближением для тонкостенной трубки. Если рассматривать вопрос о центре изгиба, то мы должны будем определить влияние изгиба для общего случая нагружения на кручение в частном случае. При этом получайся уравнение с перекрестной связью;

где шт <»-10,1 - обобщенная сехториалыгая площадь.

Подводя таким образом итоги, мы можем сказать, что кинематическая гипотеза о недеформкруемости контура поперечного ссчения, и как следствие - необходимость учета дешанацни сечения, принимаемая некоторыми авторами, для сгсржнсй такого вида асимптотическим ашивоом не подтвердилась. Особенность

■

тонкостенной модели выразилась в том, что наряду с растяжением, изгибом и кручением присутствует еще и значительная деформация контура поперечного сечения, которую при расчете на напряженное состояние необходимо учитывать.

Глава 5. Асимптотический анализ для тонкостенного стержня замкнутого сечения произвольной геометрия.

Рассматривается стержень произвольной геометрии с сечением в виде тонкой замкнутой полоски. Радиус-вектор представляется в виде: г(/,л)+ АЛД*). / - дуговая координата по оси

полоски, п - координата изменения по толщине полоски,

о* з - дуговая кооодината по оси'стержня, X - малый параметр задачи. Запишем производные векторов, определяющих радиус-вектор.

д,1 = О* ь д. И = 0 * а ¿,1 - 0 * I А с -1АI = ~к2> % 5=¿Л, - (• к=к{1) - кривизна полоски в плоскости сечения, @=0(*) - вектор кривизны - кручения. Введем базис:

Оператор Гамильтона имеет вид:

V » Я* — = УА + п4Д, - ар), VI шА'{'л?. * (I + Лкп)~%&„ £>Ш/.* X

Задачу теории упругости будем решать в напряжениях. Считаем ,чго в объеме действуют объемные силы К , боковая поверхность свободна. Тензор напряжений представим в виде:

+ « + аг,1/, +Т,!, ^ я<г.т+<г,//+г-(и/+ /и). Тогда

уравнения равновесия запишутся так:

ч1-т1+п^т-арг+(Охт1-а,1*д-тха11)*кх=:0, (24)

V, • г+п^а, - ора, + II О * г)+ К, =• й

Граничные условия: л -Т -^&ян-1)$г, = 0,п-т-м0,гхл-!1г,\г-а (25) (Р- боковая поверхность стержня). В постановку задачи также войдут

I , у

зависимости Бсльтрами - Митчелла: ДГ+-—УУ<т+2УК +-—У-КЕ=О,

- 1+У 1-У

и (так как сечение - неодносвязное) условия отсутствия дислокаций и дисклинаций:

ч/Л = <Ц $[£+Лх(7Х£)].,/Л = 0. (2$)

г " г

где г - произвольный контур, охватывающий внутреннию полость.

Мы имеем оператор задачи с малым параметром X поэтому будем искать решение в виде ряда по степеням X: + + Проведя четыре шага асимптотической

процедуры мы получим, что главный член тензора напряжений Т(е> определятся тремя величинами:

= ^ = = + (27)

для которых получена следующая система:

е(,г+«=0к м(,г+«хс(,1=«1 ~ 2. (28)

(/). (<т,)(1) - («»{?+Л"^4}=г»'+ ^г«.

+ ?{"*/+Оах ©<*> = о. <?,»: = (1 - ¿^о}"0, (29)

где В>45»/+(8?>-Ц»(>- ^йф^эр)-20,^'Чг-о)»-

Умножим первое уравнение (29) скалярно на п1, а второе на 1хд1. Получим:

У,''1*01'^^»о. Из этого следует:

у+т<,>%=1;,(л)о1+с/(5./)гхо1, + (30) .

причем <?,£/ = = и1)г<,>, 0-10,1.

Спроецируем первое выражение (30) на п, а второе на /. Получим:

' * " , /5"—/—--,, Гш0.. (31)

С"-о^=и;о„ 12(1—V») _ - ■ ' • ' .

Чтобы решить систему (31), для нее необходимо поставить граничные условия. Таковыми будут: и, IV - дотаиы быть периодическими по / , что позволяет автоматически удовлетворить условиям и - 0. Кроме того должны выполняться:

условие совместности - и условие Отсюда

следует: о, §и-кИ={х. (32)

Система (31) и граничные условия (32) позволяют определить главный член тензора напряжений, но остается пока неясным вопрос о связи главных функций с перемещениями стержня. Для этого необходимо провести анализ для перемещений.

Будем искать и в виде: «=Подставляя разложение для к в закон Гука и проводя асимптотическую процедуру, после трех шагов имеем:

#>'+91 «{/;>•{=о. </•>'.. •?<'>*/

х а-э^г-пш+га^г-ш^ (33)

(31) и (33) замыкают систему соотношений для напряжений и перемещений.

Эти соотношения похожи на соотношения упругости для обычных криволинейных стержней, если считать, что величина ¿И, фигурирующая в них является функцией, зависящей только я. Факт, что д'0 = з^Ця) является существенным для тонкостенного стержня и характеризует деформацию контура поперечного сечения. Итак, в результате асимптотического анализа мы получили: Напряжения:

Т = Х-'Щ^М+у&КфУ <ф 0{Л1) (34)

Перемещения:

». = ч - х*и}*\,)+ я '[с^ Ч')^ ^'Ч') - с• ф ¿Кл1) (35)

Уравнения:

+ ? =, * +,жС« = 01 где --1*¡¿м (36)

+ = (37)

(/"-ЕаД^Е^р-п,

м

¡(¿Р +1« Ох ■ Й4)?-«» + - Р'^Х (38)

Все функции, зависящие от 7 должны быть периодическими, и также должны быть выполнены условия: £ з?' _ < * а/'*1 .

Каковы же главные результаты асимптотического анализа. Как видно из (35), в главном члене поперечные сечения таких объектов при деформации остаются плоскими, что подгверждаст гипотезу Кармана, но в отличие от обычных криволинейных стержней, тонкостенность дает существенную деформацию сечения в своей плоскости, хоторая в силу перекрестного эффекта, обусловленного крнволинейностью, даст добавочные изгибающие моменты. Кроме того, если для обычного криволинейного стержня главные напряжения имеют структуру: <т, = а,(з)+Ь,(з)г, г=тгде все функции определяются полностью главными векторами сил и моментов в сечении через довольно простые соотношения, то для тонкостенных объектов главный член тензора напряжений имеет более сложную структуру (34), для полного определения которой приходится решать довольно сложную задачу в сечении (33), хотя здесь также главные векторы сил и моментов позволяют полностью определить главные напряжения.

Анализ главного члена также показывает, что давление на стенки стержня не оказывает существенного влияния на жесткость при изгибе. Между тем известно, что такое влияние присутствует -например, для эллиптических трубок связь между внутренним давлением и углом поворота концевых сечений является весьма существенным и наиболее интересующим фактором и на его основе работают различного рода приборы, измеряющие давление. Чтобы учесть это влияние мы будем считать, что давление, действующее на стенки стержня, - "избыточное" - X~'р, т.е. на порядок больше чем объемные силы, и введем в оператор задачи вместо первого условия (25) условие:

а.ф-^.О* X г+...)о((г./)г.|;? * 3Г ^ 4 (ЗУ)

В результате этого в (37) появится дополнительное слагаемое, позволяющее учесть давление:

о4'>\о//»с/А+^^-^-.О-^М- (40)

Рассмотрим теперь применение системы (36),(37) для расчета некоторых конкретных примеров. В этих примерах мы будем считать образующую линию стержня как дугу окружности постоянного радиуса л = О"'=сопи и раскладывать неизвестные периодические функции в ряды Фурье. Введем в рассмотрение "коэффициент гибкости" - <5= у^ - величину, которая характеризует степень влияния деформации сечения на податливость стержня. / - момент, инерции призматического стержня, ^ - момент инерции криволинейного стержня. Для простоты возьмем только по одному члену из рядов Фурье.

ту

Для кругового сетеши получаем: ^=1+———. (41)

Изгиб эллиптического тонкостенного стержня мы будем рассматривать с учетом давления, действующего на стенки стержня. Для эллиптического сечения имеем:

1) •

О, = 0£ г=-вйп^+6со»г/ к = 1-^ . Л будем считать достаточно малым. Вычислим х,- изменение кривизны стержня под действием внутреннего давления: 2, = —-— Изгибающий момент гфи этом равен

(42)

коэффициент гибкости (при р-0):

?=«-£- (43)

Для прямоугольного сечения получаем: А^Я-Ш'^Ь+чв], (44)

-м-

где »=■'------'—-з ---1 4у«а—( . так называемый

)а М)а I г\п2уал 2^сЛ2/о к:о«2?а) и

"коэффициент использования стенки", характеризующий влияние деформации контура поперечного сечения па гогнбную жесткость стержня (для призматического стержня т] =1). Полученные результаты хорошо согласуются с имеющимися в литературе.

В ириложетт г:ри»еден список литературы. В заклктешш перечислены основные результаты работы.

Основные реулыапа опубликованы в работах Елисеев В. В., Карпов Д. А , Напряженное состояние тонких упругих стержней с неоднородностью и анизотропией// Доклады 1-ой Международной конференции "Научно - технические проблемы прогнозировании надежности и долговечности металлоконструкции и методы их решения". С.Пб,, 1995, С. 52 - 54.

Карпов Д. А. Асимптотическое интегрирование уравнений трехмерной задачи теории упругости для тонкостенных стержней закрытого профиля. С.Пб., 1996. 30с. Деп. В ВИНИТИ - № 504-В96. Карпов Д. А. Асимптотический анализ трехмерной задачи теории упругости доя призматических тонкостенных стержней закрытого профиля//Труды С116ГГУ. 1994. №448. С. 140 - 143.

Подписано • печать Тираж/« . № Ш.

(952М, Санкт-Петербург, Попитсныческая ул . 2')