Асимптотический анализ и осреднение на сочленениях сингулярно вырождающихся областей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Слуцкий Андрей Семенович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОСРЕДНЕНИЕ НА СОЧЛЕНЕНИЯХ СИНГУЛЯРНО ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ

ОБЛАСТЕЙ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Институте Проблем Машиноведения Российской Академии наук

Научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор Назаров С.А. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бабич В.М. доктор физико-математических наук, профессор Бригадное И.А. доктор физико-математических наук, профессор Жиков В.В.

Ведущая организация

Башкирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится «25» 2005 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стек-лова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стекло-ва РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При решении многих практических вопросов, прежде всего при расчете упругих конструкций, необходимо математическое исследование задач о сочленении сингулярно вырождающихся областей, т.е. областей, одно или несколько измерений которых существенно меньше остальных. Такое исследование подразумевает асимптотический анализ решений краевых задач в областях, зависящих от малого параметра £ и стягивающихся при к предельному множеству («скелету»), предста-вимому в виде объединения множеств различных размерностей.

Явное вхождение естественного малого параметра делает задачи о сингулярно вырождающихся областях (деформация стержней, пластин, оболочек, течение жидкости в тонких каналах, и т.д.) весьма привлекательными для математического анализа. Однако, хотя история решения задач о тонких телах как об объектах меньшей размерности насчитывает более двух веков, математическая теория, описывающая сочленение таких областей, стала планомерно разрабатываться лишь в два последних десятилетия. Изучение краевых задач для уравнений теории упругости на сочленении сингулярно вырождающихся областей (упругих мультиструктурах) в строгой математической постановке было начато в работах Г.П. Черепанова, P.G. Ciarlet, H. Le Dret, О.А. Олейник, С.А. Назарова, В.Г. Мазья, В.А. Козлова и др. Задачи связанные с математическим описанием полей деформаций на сочленениях упругих тел рассматривались также в теории осреднения. В работах Н.С. Ба-хвалова, Г.А. Панасенко, В.В. Жикова, СЕ. Пастуховой, А. Л. Пятницкого, D. Cioranescu, J.S. Jean Paulin методы теории осреднения применялись к описанию деформации решетчатых и рамных конструкций. Развитие асимптотических методов для анализа сочленения сингулярно вырождающихся областей находится в общем русле исследований краевых задач при сингулярном возмущении области, опубликованных в работах В.М. Бабича, М.В. Федорю-ка, A.M. Ильина, В.Г. Мазья, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, P.P. Гадыльшина, Е. Sanchez-Palencia и др. Несмотря на то, что

вопросы, связанные с математическим описанием сочленений сингулярно вырождающихся областей в последнее время стали привлекать повышенное внимание, многие задачи все еще остаются либо не изученными в надлежащей общности, либо вовсе не рассмотренными.

Целями работы являются: изучение краевых задач теории упругости и гидромеханики на сочленении областей различных предельных размерностей, а также задач теории осреднения в ситуации, когда исходный оператор и оператор предельной задачи действуют в пространстве функций различного числа измерений или когда исходная краевая задача имеет особенности коэффициентов или границы.

Основные положения выносимые на защиту:

♦ Построение и обоснование асимптотики решения задачи об изгибе тонкого анизотропного слабоискривленного стержня.

♦ Вывод асимптотически точных весовых неравенств Корна для произвольной системы тонких анизотропных стержней.

♦ Построение и обоснование асимптотики решения задачи о деформации стержневой конструкции имеющей произвольное расположение стержней.

♦ Построение асимптотического решения задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в области с несколькими тонкими каналами.

♦ Осреднение эллиптического уравнения с коэффициентами обладающими свойством разветвляющейся периодичности.

♦ Построение асимптотики решения эллиптических уравнений в перфорированной области при сгущающейся перфорации.

♦ Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке.

• Осреднение разностных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.

♦ Осреднение вырождающихся на границе эллиптических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.

♦ Построение асимптотики решения уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами в области с малой полостью.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе впервые проведено строгое математическое исследование системы анизотропных тонких слабоискривленных стержней в полной общности: изучена деформация стержневой конструкции при произвольном расположении стержней и при максимально ослабленных требованиях к нагрузкам. Выведены весовые неравенства Корна, позволившие разработать классификацию элементов конструкции, не известную ранее ни в механике, ни в математике. Структура весовых норм, фигурирующих в неравенствах Корна, дала возможность предугадать асимптотические анза-цы, в том числе и отличающиеся от используемых ранее в теории стержней. Полученные в работе весовые неравенства Корна для стержней и классификация элементов произвольных стержневых систем позволяют разрабатывать строго математически обоснованные методы расчета стержневых конструкций, а также применять методы асимптотического моделирования к задачам строительной механики.

В диссертации сформулированы и решены новые задачи теории осреднения в областях с анизотропной фрактальной структурой: рассмотрены краевые задачи с коэффициентами обладающими свойством «ветвления» по одному направлению и краевые задачи в перфорированных областях при сгущающейся перфорации. Подобные структуры возникают в задачах математического моделирования биологических систем, а также в задачах механики разрушения. Кроме того, в диссертации исследовано осреднение обыкновенных дифференциальных операторов, заданных на мелкой сетке кривых, и для таких объектов выведен критерий эллиптичности предельного осредненного оператора. Решены задачи осреднения

разностных уравнений, позволившие (впервые в терминах теории осреднения) описать дискретные модели сплошной среды. Изучены актуальные для механики композитных материалов краевые задачи для уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами в области с малой полостью.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на семинарах Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стек-лова РАН, Института Проблем Машиноведения РАН, Математического департамента университета г. Линчепинг (Швеция) и др. Результаты диссертации были представлены автором на международных конференциях «Асимптотический анализ структурированных и гетерогенных сред» г. Санкт-Петербург 2000 г., «Дифференциальные уравнения и динамические системы» г. Суздаль, 2000 г., 2004 г., «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (конференция посвященная памяти им. И.Г. Петровского), г. Москва, 2004 г.,«Дни дифракции» г. Санкт-Петербург, 2004 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шестнадцать работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Работа изложена на 315 страницах текста (включая 18 страниц списка литературы), подготовленного в издательской системе Ш^Х, и иллюстрирована 19 рисунками. Список литературы насчитывает 180 наименований.

Содержание работы

Во введении представлен обзор исследований, к которым примыкает тема диссертации, и кратко изложены полученные результаты.

Первая глава работы посвящена асимптотической теории стержней. В первых двух параграфах главы 1 исследуется задача об изгибе тонкого слабоискривленного стержня б(Ь), где Н е (0,/го] — малый параметр, имеющий порядок отношения длины стержня к

диаметру его поперечного сечения. Строится главный член асимптотики решения и доказывается асимптотически точная оценка остатка. В §1 в матричной (дивергентной) форме записи формулируется задача теории упругости для тонкого анизотропного слабо-искривленного стержня и выводится асимптотически точное неравенство Корна для поля смещений и € Й"Х(С7(Л.))3, обращающегося в нуль на торцах стержня:

\u\g{h)\0^c£{u-g{h)).

(1)

Здесь с — постоянная, не зависящая ни от и — («1, иг, из), ни от Н € (0, /го], а весовая анизотропная норма в пространстве Соболева определяется по формуле

При этом ось z = хз координатной с и с т e(sii^Ky, a-j) р а в л е -на вдоль оси стержня, а весовая функция p/,(z) — h + 1/2 — |г| принимает значения 0(h) в непосредственной близости от торцов стержня Q(h), но на удалении от них становится величиной 0(1).

В §2 главы 1 приводятся используемые асимптотические конструкции. Процедура их построения следует обычной схеме, но включает модификации, связанные с вариацией сечения стержня. Начальные слагаемые асимптотического решения имеют вид

где «быстрые» коор-

динаты в плоскости, перпендикулярной оси стержня. Функции и ги2 отвечают осредненным поперечным смещениям (прогибам) стержня, и>з — продольному смещению, а функция 1^4 описывает закручивание стержня в плоскостях его сечений.

Благодаря матричной форме записи дифференциальных операторов выкладки, формирующие результирующую задачу для вектора ио2, г^з, г^), сведены к необходимому минимуму; кроме того, они допускают произвольные форму сечения, а также анизотропию и неоднородность материала. Установленное в §1 весовое неравенство Корна (1) дает возможность в §2 обосновать главный член 1Л асимптотики решения и задачи об изгибе тонкого слабо-искривленного стержня б^)- Именно, в теореме 2.9 содержится такая оценка:

|и-М; ^(Л) |0 < Ог^Мо. (4)

Особенно важным является то, что указанная в §1 величина вбирает в себя всю зависимость мажоранты в оценке (4) от правых частей, т.е. постоянная с зависит от формы стержня и упругих свойств материала, но не меняется при допустимом варьировании нагрузок. Тем самым, неравенство (4) указывает требования к структуре правых частей и к дифференциальным свойствам их элементов, достаточные для справедливости неулучшаемой (по показателю степени малого параметра /1) оценки разности истинного и асимптотического решений и обеспечивающие редукцию размерности в задаче о стержне.

В §3-§5 главы 1 рассматривается задача теории упругости для произвольного соединения тонких неоднородных слабоискривлен-ных анизотропных стержней. Стержневые конструкции являются одними из наиболее часто встречающихся в инженерной практике. Вместе с тем, до сих пор не было проведено математического исследования таких конструкций в надлежащей общности и результаты второй части главы 1 ликвидируют этот пробел. Для рассматриваемой стержневой конструкции ограничений на геометрию не накладывается. Требования к асимптотическому строению и дифференциальным свойствам правых частей максимально ослаблены.

Основной целью являются вывод одномерной модели конструкции (результирующей задачи) и оценка точности приближения одномерным решением трехмерного напряженно-деформированного состояния упругого тела.

В общем случае поведение взаимодействующих элементов не является одинаковым всюду в конструкции и принципиальным моментом приведенного в §3-§5 анализа стержневых конструкций является классификация стержней и узлов, выделяющая среди них подвижные элементы, которые обладают дополнительными степенями свободы. Наличие подвижных элементов изменяет асимптотические анзацы, искажает весовые множители в неравенстве Корна и меняет существо одномерной модели соединения стержней. Результирующая задача перестает быть дифференциальной — в ней появляются алгебраические неизвестные и нелокальные условия сопряжения, а часть дифференциальных уравнений проецируется на подпространство функций с нулевым средним.

В §3 определяется конструкция стягивающаяся при /г —>

+0 к связному одномерному множеству <5, называемому скелетом конструкции. Скелет & состоит из прямолинейных замкнутых отрезков Е1,...^", соединяющих пары точек из набора ф = {-Р1, ... , Рм}. Отрезки Еп с длинами 1п являются «осями» слабоис-кривленных стержней Яп{Н), п = 1,..., N, а точки Рт — «центрами» узлов На основе асимптотически точных весовых неравенств Корна в §3 производится классификация элементов конструкции составленной из стержней <7™ (/г) и узлов О.™, состоящих из одного и того же анизотропно упругого материала. Каждой категории отвечает своя весовая норма |*;(7п(/1)| для стержней 0п{К) и |||»; С2™|||... для узлов <2™. Такие нормы, содержащие весовые множители — степени параметра к и расстояний до жестко защемленных участков границы — учитывают различие эффективных свойств стержней в продольных и поперечных направлениях, а также взаимное расположение элементов конструкции, и поэтому оказываются наиболее приспособленными к отслеживанию зависимостей упругих полей от геометрических параметров.

Для стержней введены три категории: подвижные, малоподвиж-

ные или защемленные. Подвижным стержням соответствует весовая норма

|«;а(Л)|:= ( [ {Е

V*)

+Ь2\щ\2

защемленным — норма (2), а малоподвижным — норма £/(Л) |х, определяемая по формуле (2) при р/1 = 1. Приводится набор лемм, позволяющих передавать «индивидуальные» анизотропные весовые неравенства Корна с одного элемента конструкции (узла или стержня) на другой и попутно присваивать или повышать их категории. Для стержней шкала категорий по нисходящей такова:

защемленные \ малоподвижные \ подвижные . (5)

Она вполне согласуется с неравенствами, вытекающими непосредственно из определений норм, \щ9{Ь)\0 ^ > \ ■ Для узлов список (5) расширяется до пяти наименований: третью и четвертую позицию занимают соответственно узлы «подвижные лишь в одном направлении» и «малоподвижные в одном направлении». Предлагается процедура, позволяющая за конечное число шагов произвести полную классификацию элементов и установить асимптотически точное весовое анизотропное неравенство Корна

Е!"^"^)!2.+ £111«;ели?. < с£{щпш (6)

в котором обозначает запасенную телом упругую

энергию, постоянная с не зависит от геометрического параметра к € (0,Ло] и от поля и е а под |и;0п(Л)|... и Щи;

подразумеваются введенные ранее нормы, которые отвечают категориям стержня С/П(Л) и узла <2™, установленным при классификации элементов конструкции $!(/г).

Четвертый параграф начинается с обсуждения асимптотических анзацев на стержнях. Если стержень малоподвижен или защемлен, то, как и в случае одиночного стержня, первые члены анзаца определяются по формуле (3). Для подвижного стержня разрешаются продольные смещения как жесткого целого, поэтому в асимптотическую сумму (3) вводятся дополнительные слагаемые с постоянными и начальные члены асимпто-

тического анзаца на подвижном стержне принимают вид

Индекс « п » здесь указывает на то, что соответствующие величины отнесены к стержню

Модификация анзаца (3) порождает существенные последствия: в результирующей задаче появляются алгебраические неизвестные оз и некоторые из уравнений проецируются на подпространство 1/2(£п)± функций с нулевым средним. Кроме того, на подвижных узлах возникают нелокальные условия сопряжения, которые проистекают от пар постоянных сопоставленных подвижным стержням. В §4 выводятся системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезках Еп, описывающих деформацию тонких упругих тел 0п{Н). Асимптотические анзацы на узлах, также зависящие от их категорий, предоставляют в точках граничные условия и условия сопряжения, связывающие найденные системы уравнений. При учете всех особенностей, привносимых подвижными стержнями, формируется результирующая задача на скелете для которой доказывается теорема 4.2 об однозначной разрешимости.

В заключительной части §4 строится глобальное асимптотическое приближение и к решению и исходной задачи и формулируется основная теорема 4.5 об асимптотике, оценивающая погрешность разности по энергетической норме и весовой анизотропной норме, предоставленной неравенством Корна (6). Доказа-

тельство этой теоремы, сопровождающееся громоздкими выкладками, составляет пятый параграф. Принципиальная трудность при оценивании возникающих невязок связана с тем, что конкретное положение подвижных элементов неизвестно, и поэтому для взаимного уничтожения главных членов невязок приходится сооружать специальные пробные функции в интегральном тождестве, обслуживающем результирующую задачу. Поскольку используемое глобальное асимптотическое приближение содержит ряд вспомогательных членов, введенных лишь для облегчения вычислений, а также разбиение единицы, выбираемое достаточно произвольно, полученные асимптотические формулы «вычищаются». В лемме 4.6 проверяется, что точность асимптотического приближения не зависит от выбора срезающих функций, а в следствиях 4.8-4.10 приводятся наиболее компактные представления упругих полей на элементах конструкций с различными категориями.

Подчеркнем особо, что все установленные оценки являются асимптотически точными, а в возникающих мажорантах выделена явная зависимость от правых частей задачи, причем требования, предъявляемые к их гладкости, минимальны.

Во второй главе методы асимптотического анализа применяются к исследованию системы уравнений Навье-Стокса, описывающей течение вязкой несжимаемой жидкости. Как и в предыдущей главе, краевая задача рассматривается в области П£, зависящей от малого параметра е и имеющей сингулярно вырождающиеся части — каналы малой ширины. Область П£ содержит сочленение тонких каналов с не зависящей от параметра е областью fio. имеющей компактное замыкание и границу состоящую из нескольких гладких замкнутых дуг. В малой окрестности концевых точек эти дуги являются отрезками прямых. С каждой угловой точкой А области Qo связан тонкий канал С^ содержащий точку А внутри

себя (см. рис. 1).

В области Г2е рассматривается краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса

Здесь v — вязкость жидкости, р — ее плотность, vE — вектор скорости, а рЕ — давление.

Вектор скорости ve удовлетворяет условию Дирихле: вектор-функция v£ равна заданному значению на торцах Bf = (е6_, е6+| (см. рис. 1) и нулю на остальной части границы области dfl£. Предполагается, что величины Т^ потоков вектор-функции v£ на торцах Bç удовлетворяют соотношению = 0. Давление ре

подчиняется условию р^ = 0, где / — среднее значение функции / по области fi£.

Асимптотическое решение системы (7), (8) конструируется при

<2

пв

К 0 у

Рис. 2. «Модельная» область Пв.

помощи решений системы Навье-Стокса в трех модельных областях: не зависящей от е области По. полубесконечном канале (см. рис. 2) и диффузоре Лд, переходящем в полубесконечный канал (см. рис. 3).

В §1 приводится предварительное описание задач в модельных областях, указывается вид асимптотического решения задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в области и назначается

разбиение единицы, при помощи которого асимптотическое решение (V£,Ре) задачи Дирихле для системы (7), (8) в «склеивается» из решений трех упомянутых модельных задач.

В области пара СУе,Р£) удовлетворяет асимптотическому соотношению

Здесь (у0,ро) — решение системы (7), (8) в предельной области с заданным в каждой угловой точке А потоком Тд. На остальной границе По вектор-функция уо удовлетворяет однородному граничному условию Дирихле. В п.1 §2 строится пара (уо,ро) с точностью до слагаемых с конечным интегралом Дирихле равная в окрестности угловых точек А хорошо известному точному решению системы Навье-Стокса, полученному Г. Джеффри (1915) и Г. Гамелем (1916). Это решение (Л , (2А), описывающее течение вязкой несжимаемой жидкости от источника (или стока) между двумя наклоненными друг к другу под углом плоскими стенками, имеет следующий вид в полярных координатах (г, 9) с началом в А

В малой окрестности точки А е {Л} асимптотическое решение (У£,Р£) задачи определяется при помощи решения (чА,рл) системы Навье-Стокса в области Лл, изображенной на рис. 3. На границе дАу[ задается однородное условие Дирихле, а на двух выходах

о

Рис. 3. «Модельная» область Лд.

на бесконечность вектор скорости имеет заданный поток Та- Поведение решения {чА,рА) такой задачи при \у\ —> оо, у2 > 0, описывается с точностью до членов с конечным интегралом Дирихле, решением Джеффри-Гамеля (9), а при |у| —> оо, г/2 < 0 известным точным решением Пуазейля Ра) системы Навье-Стокса в бесконечной полосе

Около истока ВА канала СА пара Р£) определяется из решения (Vя,рв) системы Навье-Сгокса (7), (8) в полуполосе Пв. На основании полуполосы Пв вектор скорости равен заданному значению, а на боковых сторонах Пв удовлетворяет однородному условию Дирихле; поведение (лгв,рв) при ¿2 оо описывается решением Пуазейля (10).

В §3 производится сращивание решений предельных задач и доказывается основной результат главы 2, теорема о существовании решения системы (7), (8), определяемого по формуле

че(х) = 4£{х)+™е(х), р£(х) = Ре(х) + (И)

где удовлетворяют условию

Представление (11) позволяет получить явные формулы для интегральных характеристик течения вязкой несжимаемой жидкости в области Г2£: кинетической энергии и интеграла Дирихле. В частности кинетическая энергия

допускает асимптотическое представление

где Ьа — \АВ\ и Ъа — Ь+ + 6_, т.е. Ьа и еЬа — длина и ширина канала а суммирование производится по всем каналам.

В первых двух главах рассматривались задачи теории упругости и гидродинамики в тонких областях, стягивающихся к одномерному отрезку при стремлении к нулю малого параметра (толщины стержня Н или ширины канала е). В §1 и §2 главы 3 математический аппарат, используемый обычно для построения асимптотики решения краевых задач в тонких областях, применяется к задачам теории осреднения. В первом параграфе главы 3 приводится процедура осреднения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в случае, когда зависимость матрицы коэффициентов от малого параметра характеризуется измельчением ячеек периодичности в одном направлении (см. рис. 4). Введем определения, необходимые для описания краевой задачи, рассматриваемой в §1.

11

Рис. 4. «Разветвляющаяся» периодичность. Случай д = 2.

Непрерывная функция Ф, заданная на прямоугольнике 5 = (О, Ь\) х (0, Ьг) называется периодической с д-ветвлением в направлении т/2> 9 € {2, 3,...}, если выполнены соотношения

Для таких Ф в прямоугольнике Г2 = (0, ах) х (0, аг) определяется функция фИ по правилу

Здесь наряду с «медленными» х = (х 1,2:2) использованы «быстрые» переменные Т]^ — Л-1^), определенные в полосках {а; : 0 < х\ < а\,0 > Х2 — зЪъЪ, > — Ьг/г}. Предполагается,

что аг = ЬгкМг, к — малый параметр, а — целые числа. В §1 рассматривается краевая задача для эллиптической системы

Здесь А — симметричная и положительно определенная матрица размером пхп, элементами которой служат функции переменных х € Г2, у € 5, являющиеся ах-периодическими по переменной х и периодическими относительно у с ^-ветвлением в направлении У2. Т — знак транспонирования, а £>(\7Х) — матрица размером составленная из однородных дифференциальных операторов и имеющая максимальный ранг. Правая часть (13) определена по формуле /Л = ПР1 = (Р®,^., е ЯХ(П -» £00(^))к. На двух

сторонах прямоугольника параллельных оси заданы условия Дирихле, а на двух других — условия периодичности. Асимптотика по параметру решения этой краевой задачи для эллиптиче-

ской системы (13) отыскивается в §1 по формулам:

где I — единичная ть х п-матрица; V — вектор-функция и ю, V/

переменных подлежа-

щие определению. Соотношения (14) представляют собой комбинацию двух асимптотическх анзацев, первый из которых обычно используется в теории осреднения, а второй — для нахождения асимптотики краевых задач в тонких областях.

В §1 приводится процедура определения слагаемых асимптотических сумм (14), при этом матрица А осредненного оператора Ь = Л>(—Ух)т А(х).0(Ух), используемого для нахождения функции V, вычисляется явно в два этапа по формулам А = Л(А1; 2),

+ (лАР^А]"1). (\DjADi]-1). 1 (у^АИ^-^А),,

где £>1 -£»(1,0), /?2 = 1>(0,1).

В заключительной части параграфа формальная процедура построения асимптотики обосновывается и, в частности, доказывается оценка

- у; ¿2(П)|| + ||УЯ«Л - - УИ^У*)»; £2(П)|| ^

(15)

в которой УУ = + (0, а постоянная с не зависит от

функции F и параметра к е (0, ко].

В §2 система (13) рассматривается в перфорированной области со сгущающейся перфорацией (см. рис. 5). На границах отверстий

I! I1 к 1! 1 ^ II II 1 1 11 (1 1 1 11 II 11 II

сэ о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о 0000 0000

о о оН о о 1 о 00

о о

Рис. 5. Сгущающаяся перфорация. Случай <7 = 2.

назначаются однородные условия Неймана. Формальные асимптотические конструкции применяемые в §2 сходны с анзацами (14), используемыми в §1. В §2 по сравнению с §1 приходится преодолевать дополнительную трудность: формальная асимптотика не позволяет соорудить непрерывное глобальное приближение. Именно,

на линиях, разделяющих ряды отверстий с различными размерами, построенные асимптотические корректоры приобретают скачки, для устранения которых конструируются пограничные слои, являющиеся решениями предельной задачи в перфорированной бесконечной полосе. Построенная асимптотика обосновывается при помощи обобщений методов и оценок, использованных в §1 и приспособленных к случаю перфорированной области. В §2, в отличие от задачи, исследуемой в §1, асимптотическое решение оставляет невязки в краевых условиях на границах отверстий. Однако эти невязки в соответствующем интегральном тождестве всегда удается компенсировать используя подходящее интегрирование по частям. Как и в §1, главный член невязки, оставленной асимптотическим приближением в исходной системе, составляет Величина является малым параметром только при больших номерах ] и неограниченно возрастает при И —> +0 и фиксированном 3. Обосновать асимптотику и доказать неравенство (15) удается благодаря различным вариантам неравенства Харди при учете соотношений в которых точка ряда ячеек.

В §3 главы 3 рассматривается задача об осреднении дифференциального оператора на е-периодической сетке крив ёр<х в пространстве К", £ —> 0. Моделью для рассматриваемых уравнений явилась задача о распространении тепла в мелкой проволочной сетке. На отрезках кривых заданы обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, в узлах сетки сумма «потоков» равна нулю, а в граничных точках предписано условие Дирихле. Оператор исходной задачи определен на функциях одной переменной определяющей положение точки на сетке однако осреднен-ным оказывается оператор в частных производных действующий на функции п переменных. Таким образом, рассматриваемая ситуация в некотором смысле противоположна изученной ранее в главе 1: если в первой главе предложена процедура, позволяющая построить одномерное асимптотическое приближение к решению исходной трехмерной задачи, то в §3 главы 3 одномерной является исходная задача, а старший член Ы асимптотики ее решения и находится из решения осредненной эллиптической краевой задачи

для уравнения в частных производных, определенного в подобласти О пространства К". Функция и отыскивается в виде суммы

где N — быстро осциллирующий корректор, заданный на <Зе с П. Для остатка

Предложен способ вычисления коэффициентов осредненного оператора использующий начальные понятия теории графов и сводящийся к построению и решению некоторой алгебраической системы. Показано, что осредненный оператор является эллиптическим в том и только в том случае, если упомянутая система имеет максимальный ранг.

С §3 по сути и методически связан §4, в котором описывается осреднение разностных уравнений на мелкой периодической дискретной решетке Я£. Такие уравнения, в частности, являются средством описания дискретных моделей сплошной среды. Вопрос о соотношении непрерывных и дискретных моделей в теории упругости имеет давнюю историю. Еще в XIX веке при обсуждении переходов от дискретных моделей сплошной среды к непрерывным использовалась идея осреднения. В дальнейшем при изучении закономерностей деформирования твердых тел основное внимание уделялось непрерывным моделям. Однако, с развитием теории упругости выяснилось невозможность объяснения некоторых эффектов в рамках непрерывной теории. В последнее время появился ряд публикаций, в которых на физическом уровне строгости кристаллическая решетка описывалась методом осреднения. В §4 приводится математическая формулировка применения метода осреднения к дискретной периодической системе разностных уравнений. Основное внимание уделяется способу вычисления осред-ненных характеристик системы.

В п.1 §4 приводится определение решетки Ое в пространстве К", постановка разностной краевой задачи, а также рассматривается формальная процедура осреднения. Асимптотика решения

разностной задачи на решетке отыскивается в обычном для теории осреднения виде

Здесь х — точка в М", параметр 5 определяет точку дискретной решетки, а матрицы ЛГ(*) являются решениями разностных уравнения на ячейке периодичности решетки Хотя исходная краевая задача относится не к дифференциальному, а к разностному оператору, осредненным является оператор в частных производных действующий на функции ыо- В п. 2 §4 исследуется система уравнений для определения приводится способ вычисления коэффициентов осредненного оператора и выводится критерий его эллиптичности, подобный аналогичному критерию, приведенному в §3 для осредненного оператора системы уравнений на мелкой сетке. В п.З §4 полученные выше результаты применяются к модели кристаллической решетки: доказывается, что если коэффициенты исходной системы разностных уравнений обладают инвариантностью относительно поворота и сдвига, то коэффициенты осред-ненной системы уравнений в частных производных удовлетворяют соотношениям симметрии, которая соответствует уравнениям теории упругости. В качестве примера процедуры построения коэффициентов осредненного оператора рассматривается определение коэффициентов Ламе в случае гексагональной решетки.

Четвертая глава работы в основном посвящена исследованию краевых задач для уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В этой главе рассматриваются задачи теории осреднения, в которых используются методы, применяемые при исследовании сингулярно возмущенных краевых задач.

В первых двух параграфах главы 4 изучаются сингулярные возмущения вырождающихся эллиптических уравнений. В п.1 §1 рассматривается уравнение Ьи = / для самосопряженного вырождающегося эллиптического оператора Ь,

Це, £ (16)

1 -> = 1 1

в области fi с К" с компактным замыканием и гладкой границей. В (16) 1 > а > 0, д(х) > 0, v — положительная в ÍÍ функция, эквивалентная расстоянию до границы dfl, е — малый положительный параметр. В случае 0 < а < 1/2 существует единственное решение и € C(íl) уравнения (16), удовлетворяющее на dfl условию Дирихле, при 1/2 < а < 1 граничных условий не задается.

Для построения асимптотики решения применяется модификация метода М.И. Вишика - Л.А. Люстерника построения асимптотики решения краевых задач для уравнений с малым параметром при старших производных. Асимптотика отыскивается в виде двухмасштабного ряда

и(е,х) - jr £m{vm{x) +x{yn)Wm{e,y\e'^yn)}. (17)

Здесь vm — функции, определяющие асимптотику внутри Q, (у', уп)

— локальные координаты в окрестности границы ЭИ (ось уп направлена по внутренней нормали к Г2), Wm — функции типа пограничного слоя, 7 = (1 — а)-1, х — срезающая функция, равная 1 в малой окрестности 9Í2. В отличие от случая невырождаю-щихся уравнений, на некотором шаге итерационного процесса по определению коэффициентов ряда (17) у слагаемых vm появляется особенность около díl, увеличивающаяся при последующих шагах на и2а~2. Поэтому в §1 для построения асимптотики применяется предложенная В Г. Мазья, С.А. Назаровым, Б.А. Пламеневским процедура перераспределения невязок между предельными задачами: для помещения каждой асимптотической составляющей в определенный для нее функциональный класс, производится обмен сингулярными членами между правыми частями предельных задач.

В п.2 §1 вводится зависящая от е область = íl\ Dz, где De

— полоса шириной eh(s) у границы BVl. Находится асимптотика при е —* 0 решения вырождающегося эллиптического уравнения L(0, х, -^)и(х) = f(x) в области fle. Метод построения асимптотики решения возмущенной задачи существенно зависит от величины а. При а < 1/2 возмущение носит регулярный характер, коэффициенты асимптотического разложения отыскиваются в виде

решения задачи Дирихле для исходного уравнения в невозмущенной области. В случае а > 1/2 в асимптотику входят слагаемые типа пограничного слоя. При а > 1 пограничный слой имеет экспоненциальное убывание, а при 1/2 < а < 1 — степенное. В случае 1/2 < а < 1 для построения полной асимптотики также применяется метод перераспределения невязок между предельными задачами.

Второй параграф главы 4 посвящен теории осреднения: в нем строится полное асимптотическое разложение решения вырождающегося эллиптического уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами в прямоугольнике == (0,1) х (—а, о). Рассматривается самосопряженный вырождающийся эллиптический оператор

Показатель вырождения а принадлежит интервалу (0,1/2), г — положительная в ф функция, эквивалентная вблизи сторон Г± = {х : х\ € (0,1),Х2 = ±а} расстоянию до них. Кроме того, 1гз и ¿о — гладкие в х Т функции, 1-периодические относительно «медленной» х\ и «быстрых» у\ = е~хх\, у2 — е~1х-2 переменных; Т — [0,1] х [0,1] — ячейка периодичности, а е — малый параметр.

В прямоугольнике рассматривается уравнение

С(е, х, д/дх)и(е, х) = /(е, х), х € С},

снабженное на сторонах Г± условиями Дирихле, а на двух других сторонах условиями периодичности. Асимптотика решения краевой задачи отыскивается в виде ряда по степеням е7, 7 = р + <7(1 — 2а); р, <7 = 0,1, 2,..., с коэффициентами, состоящими из слагаемых трех типов и Функции^ависят от медленных переменных х и находятся при решении задачи Дирихле для осредненного уравнения

Здесь {Т) — среднее значение функции Т по ячейке Т, рк, (к — 1,2) — решения дифференциального уравнения с параметром х € <2,

которые подчинены соотношению (рг)(х) — 0. Слагаемые и>7 зависят от быстрых переменных у — е~1х и определяются из дифференциального уравнения на ячейке Т с параметром х,

(19)

Уравнение (19) решается в классе периодических по у\ и у2 функций, а его решение нормируется равенством (го7) = 0. Пограничные слои х^ возникают вблизи каждой из сторон Г± прямоугольника ф и существенно отличаются от нуля лишь в их малых окрестностях. Функции переменных х и I = £2) = (е-1а:1, е-1 (а жг)) являются решениями краевых задач в полуполосе

При этом г* и ку подчинены условиям периодичности по

Решение задачи (20) обладает на удалении от Г± лишь степенным затуханием на бесконечности (в невырожденном случае это убывание — экспоненциальное). Такое поведение пограничных слоев полностью согласуется с поведением решений осредненного уравнения (18) около линий вырождения. Более того, сингулярные составляющие правой части уравнения (18) вызывающие нежелательный рост решения при оказываются после перезаписи в быстрых координатах пригодными для правой части уравнения (20)1 в полуполосе и наоборот. Это свойство позволяет применить

упомянутую ранее процедуру перераспределения невязок Уравнение (19) на ячейке периодичности Т само по себе не производит каких-либо сингулярных решений. Однако параметрическая зависимость от медленных переменных хеГ требует внимательного обращения и вовлечения в процедуру перераспределения невязок также и этой предельной задачи.

В §3 главы 4 строится асимптотика эллиптического уравнения в области 12(е) € Кп представляющей собой параллелепипед О с малой полостью ш£. Изучается краевая задача для оператора с быстро осциллирующими коэффициентами

Функции {х, у) I—> I (х, у) являются периодическими с периодами 2о, и 1 относительно х1 и уг, г — 1 ,...,п. На границе полости ше задается условие Дирихле, на сторонах параллелепипеда О — условия периодичности.

Асимптотика решения этой задачи ищется в виде суммы функций, являющихся решениями задач трех типов. Во-первых, это решения уравнения на ячейке периодичности § = [0,1]",

параметрически зависящие от х € и рассматриваемые в классе у-периодических функций. Во-вторых, удовлетворяющие на сторонах параллелепипеда О. условиям периодичности, решения осредненно-го уравнения в

Здесь У3(х,у) — функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Ь0(х,у, щ)У](х,у) = Е ¿т^О^у)- Наконец, в-тре-

тьих, функции пограничного слоя вблизи полости которые описываются при помощи решений уравнения

снабженного краевыми условиями ги(у) = С(у), соответствующими условию Дирихле на границе полости.

Как и в двух предыдущих параграфах главы, в §3 для построения асимптотики систематически применяется метод перераспределения невязок между правыми частями предельных задач. Вкупе с процедурой перераспределения невязок применяется метод построения полных асимптотических рядов для решений задач с быстро осциллирующими коэффициентами. Тем не менее, простое совмещение двух подходов не приводит к успеху — требуются новые соображения, что вызвано, в основном, следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, при реализации итерационных процессов происходит «потеря гладкости», т.е. определение асимптотического члена 11к гладкого типа зависимо от старших производных предыдущих членов С/й_1, ..., 17о, которые в рассматриваемой ситуации могут даже терять непрерывность в точке Во-вторых, как и в §2, разложения на бесконечности решений типа пограничного слоя отягощены двойной, степенной и периодической, зависимостью от

Все это требует модификации названных алгорифмов, хотя по виду асимптотический ряд

практически не отличается от привычных: в (22) — решения осредненной задачи в области без полости, два следующих члена представляют собой быстро осциллирующие корректоры, а последний является функцией типа пограничного слоя около границы малой полости шЕ.

Сначала в §3 при условии 10 > О строится и обосновывается главный член асимптотики решения задачи Дирихле для оператора

С в трехмерной области Затем рассматривается оператор (21)

с нулевым свободным членом ¿о; в отличие от предыдущего случая, для которого в формуле (22) ß = О, здесь из-за неоднозначной разрешимости предельной задачи для Uk появляется «растущее» слагаемое £_1со, т.е. оказывается, что в (22) р = —1.

Заканчивается §3 изучением двумерной задачи Дирихле, для которой при ¿о ф 0 асимптотические конструкции усложняются ввиду рациональной зависимости всех членов ряда (22) от параметра löge. Если ж/о е= &, о по-прежнему слагаемые из (22) — полиномы от logs; кроме того, в обеих ситуациях ß = 0.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Слуцкий А.С. Об асимптотике решений вырождающихся эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных // Вестник ЛГУ. 1981. №3. С. 59-64.

2. Слуцкий А.С. Об асимптотике вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка при малом возмущении границы области // Матем. заметки. 1985. Т. 37. №1. С. 63-71.

3. Слуцкий А.С. Степенной пограничный слой в задаче осреднения вырождающегося эллиптического уравнения // Сибирский матем. журнал. 1987. Т. 28. №5. С. 221. Деп. в ВИНИТИ 11 мая 1986 за №3358-В86.

4. Мазья В.Г., Слуцкий А.С. Осреднение дифференциальных уравнений на мелкой сетке // Доклады АН СССР. 1987. Т. 293. №4. С. 792-796.

5. Мазья В.Г., Слуцкий А.С. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке // Mathematische Nachrichten. 1987. Bd. 133. S. 107-133.

6. Мазья В.Г., Слуцкий А.С. Осреднение разностных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Seminar Analysis 1986/1987, Akad. Wiss. DDR, Inst. Math. Berlin. 1987. S. 63-92.

7. Мазья В.Г., Слуцкий А.С. Об осреднении дискретных моделей сплошной среды // Ленинградский филиал института машиноведения им. А.А. Благонравова АН СССР. Препринт 7. 1989.

8. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Асимптотика решений краевых задач для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами

в области с малой полостью // Матем сборник. 1998. Т. 189. №9. С. 107-142.

9. Maz'ya V.G., Slutskij A.S. Asymptotic analysis of the Navier-Stokes system in a plane domain with thin channels // Asymptotic Analysis. 2000. V. 23. №1 P. 59-89.

10. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Одномерные уравнения деформации тонких слабоискривленных стержней. Асимптотический анализ и обоснование // Известия РАН, сер. матем. 2000. Т. 64. №3. С. 97-131.

11. Назаров С.А , Слуцкий А.С. Степенные пограничные слои в задаче осреднения скалярного уравнения, вырождающегося на границе // Проблемы матем. анализа. 2001. №23. С. 94-146.

12. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Асимптотика частот собственных колебаний упругих балок, соединенных в форме буквы П // Доклады РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 23-26.

13. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Произвольные плоские системы анизотропных балок // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 234-261.

14. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Неравенство Корна для произвольной системы тонких искривленных стержней // Сибирский матем. журнал. 2002. Т. 43. №6. С. 1319-1331.

15. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней // Труды Санкт-Петербург, матем. о-ва. 2004. Т. 10. С. 63-117.

16. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Разветвляющаяся периодичность: осреднение задачи для эллиптической системы // Доклады РАН. 2004. Т. 397. №6. С. 743-747.

Подписано в печать 2005 г Формат бумаги 60X84 1/16 Бумаiа офсетная

Печать ризографическая Объем 2 уст п л Тираж 120 экз Заказ 3461 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СП6ГУ с оритинал-макета заказчика 198504, Санкт Петербург Старый Пе1ергоф, Университетский ир , 26

ош-

П MAP 7005

ВВЕДЕНИЕ.

§1. Актуальность темы и научная новизна полученных результатов.

§2. Основное содержание работы

ГЛАВА 1. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких искривленных стержней

§1. Тонкий слабоискривленный стержень. Неравенство Корна

§2. Тонкий слабоискривленный стержень. Асимптотика решения

§3. Система тонких искривленных стержней. Неравенство Корна.

§4. Система тонких искривленных стержней. Формальная асимптотика

§5. Система тонких искривленных стержней. Обоснование асимптотики

ГЛАВА 2. Асимптотический анализ системы уравнений Навье-Стокса в области с тонкими каналами

§1. Течение вязкой несжимаемой жидкости в области с тонкими каналами.

Постановка задачи и описание результатов.

§2. Система уравнений Навье-Стокса в модельных областях.

§3. Теорема существования и интегральные характеристики решения системы уравнений Навье-Стокса в области с тонкими каналами

ГЛАВА 3. Осреднение дифференциальных операторов в периодических областях различных предельных размерностей

§1. Разветвляющаяся периодичность: осреднение задачи Дирихле для эллиптического уравнения

§2. Осреднение эллиптических уравнений при сгущающейся перфорации

§3. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке.

§4. Построение дискретных моделей сплошной среды методом осреднения дифференциальных операторов.

ГЛАВА 4. Сингулярно возмущенные задачи с особенностями

§1. Асимптотика решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении коэффициентов или границы

§2. Осреднение вырождающегося эллиптического уравнения

§3. Асимптотическое разложение решения уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами в области с малой полостью

§1 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

При решении многих практических вопросов, и прежде всего при расчете упругих конструкций, необходимо математическое исследование задач о сочленении сингулярно вырождающихся областей, т.е. областей, одно или несколько измерений которых существенно меньше остальных. Такое исследование подразумевает асимптотический анализ решений краевых задач в областях, зависящих от малого параметра е и стягивающихся при ечОк предельному множеству («скелету»), представимому в виде объединения множеств различных размерностей.

Явное вхождение естественного малого параметра делает задачи о сингулярно вырождающихся областях (деформация стержней, пластин, оболочек, течение жидкости в тонких каналах, и т.д.) весьма привлекательными для математического исследования. Однако, хотя история решения задач о тонких телах как об объектах меньшей размерности насчитывает более двух веков, математическая теория описывающая сочленение таких областей стала разрабатываться лишь сравнительно недавно. Основное развитие получило направление, связанное с изучением упругих тел. Математическому описанию упругих полей на сочленениях тел с различными предельными размерностями (multi-structures) посвящены монографии [135], [157], [153], статьи [137], [152], [140], [165], [154], [147] и др. Упомянем также работы, в которых исследуются задачи осреднения решетчатых и рамных конструкций [5], [105], [170], [139], [23] и др. Несмотря на то, что задачи о сочленении сингулярно вырождающихся областей стали привлекать повышенное внимание исследователей многие задачи все еще остаются либо не изученными в надлежащей общности либо вовсе не рассмотренными.

В диссертационной работе приводятся результаты исследований задач теории упругости и гидромеханики на сочленении областей различных предельных размерностей, а также задач теории осреднения в ситуации, когда исходный оператор и оператор предельной задачи действуют в пространстве функций различного числа измерений, либо в случае, когда исходная краевая задача имеет особенности коэффициентов или границы. Две первые главы посвящены построению асимптотики решения краевых задач для систем уравнений теории упругости и гидромеханики. В главе 1 изучаются сочленения упругих тел: произвольная система слабоискрив-ленных анизотропных тонких стержней исследуется в не рассматриваемой ранее в математических работах общности: изучается деформация стержневой конструкции при произвольном расположении стержней и максимально ослабленных требованиях к свойствам внешних сил, в частности, впервые рассматривается деформирование конструкции за счет нагрузок, приложенных к узлам. Выводятся весовые неравенства Корна, позволяющие составить классификацию элементов конструкции не известную ранее ни в механике, ни в математике. Полученные неравенства Корна дают возможность предугадывать асимптотические анзацы, в том числе и отличающиеся от используемых ранее в теории стержней. Во второй главе методы асимптотического анализа применяются к задаче о течении вязкой несжимаемой жидкости: исследуется краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса в области с несколькими тонкими каналами. В частности, доказывается, что вблизи устья канала течение жидкости в области с конечными размерами описывается известным точным решением Джеффри-Гамеля системы уравнений Навье-Стокса в плоском диффузоре. Третья и четвертая главы посвящены задачам теории осреднения. В главе 3 сформулированы и решены новые задачи в областях с анизотропной фрактальной структурой: рассматриваются краевые задачи с коэффициентами обладающими свойством «ветвления» по одному направлению и краевые задачи в перфорированных областях при сгущающейся перфорации. В третьей главе исследуется также осреднение обыкновенных дифференциальных операторов заданных на сетке кривых (в частности выводится алгебраическая система для вычисления коэффициентов осредненного оператора), а также, впервые в терминах теории осреднения, описывается построение дискретных моделей сплошной среды (рассматривается осреднение разностных уравнений на решетке). В последней, четвертой главе диссертации рассматриваются задачи теории осреднения при наличии сингулярности коэффициентов или границы области: глава посвящена краевым задачам для вырождающихся на границе области эллиптических уравнений и краевым задачам для эллиптических уравнений в областях с малой полостью. В главе 4 задачи этих классов впервые изучаются в случае, когда коэффициенты исходных уравнений являются быстро осциллирующими.

1. Агранович Ш.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. Т. 19. №3. С. 53-160.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Иностранная литература, 1962.

3. Анзорге Р., Гроткопф У., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Задача о встрече плоских волн в вершине трещины // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1987. №1. С. 46-54.

4. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с быстроосциллиру-ющими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221. №3. С. 516-519.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.А. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

6. Беляев НМ. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965.

7. Бердичевский В.Л. Об энергии упругого стержня // Прикладная матем. и мех. 1981. Т. 40. вып. 4. С. 704-718.

8. Бернштейн С.А. Очерк третий: из истории расчета ферм. В кн. Избранные труды по строительной механике. М.: Госсройиздат, 1961.

9. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1968.

10. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднение // Алгебра и анализ. Т. 15. 2003, вып. 5.

11. Боговский М. Е. Решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды // Доклады АН СССР. 1979. Т. 248, №5. С. 10371040.

12. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкости. М., 1967.

13. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области// Матем. сборник. 1954. Т.35, №3. С. 513-568.

14. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений высших парядков. Матем. сборник. 1969. Т. 79, №1. С. 3-36.

15. Вишик М.И., Грушин ВВ. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков// Матем. сборник. 1969. Т. 80, №4. С. 455-490.

16. Вишик М.И. Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, №5. С. 3-122.

17. Галактионов Е.В., Тропп Э.А. Асимптотический метод расчета термоупругих напряжений в тонком стержне // Известия АН СССР, Сер. физич. 1976. Т. 40, №7. С. 1399-1406.

18. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1985. С. 125-218.

19. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М:. Мир. 1980.

20. Елисеев В.В. К нелинейной динамике упругого стержня // Прикладная матем. и мех. 1988. Т. 52. вып. 4. С. 635-642.

21. Елисеев В.В., Орлов С.Г. Асимптотическое расщепление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой //'Прикладная матем. и мех. 1999. Т. 63. вып. 1. С. 93-101.

22. Жаков B.B. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сборник. 1996. Т. 186. №8. С. 3-40.

23. Жаков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных объектах // Известия РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. №2. С. 81-148.

24. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., Ха Тьен Нгоан Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов // Успехи матем. наук. 1979. Т. 34, №5. С. 65-155.

25. Жиков В.В., Козлов С.М. Олейник O.A. G-сходимость параболлических операторов // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. №1. С. 11-58.

26. Жиков В.В., Козлов С.М, Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

27. Зыков A.A. Теория конечных графов, т. 1, Новосибирск: Наука. 1969.

28. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев.: Наукова думка, 1979.

29. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в области с щелью. 1. Двумерный случай // Матем. сборник. 1976. Т. 99. №4. С. 514-537.

30. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка в области с щелью. 2. Область с малым отверстием // Матем. сборник. 1977. Т. 103. №2. С. 265-284.

31. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1981. Т. 6. С. 57-82.

32. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

33. Келдыш M.B. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. №2. С. 181-183.

34. Козлова М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости для тонкого неоднородного бруса // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1989. №5. С. 6-10.

35. Козлова М.В., Панасенко Г.П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1991. Т. 31. №10. С. 1592-1596.

36. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского матем. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-298.

37. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Об асимптотике на бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1987. Т. 12. С. 149-163.

38. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // Успехи матем. наук.1988. Т. 43. №5. С. 55-98.

39. Кондратьев В.А., Олейник O.A. О зависимости констант в неравенстве Корна от параметра, характеризующего геометрию области // Успехи матем. наук.1989. Т. 44. №6. С. 157-158.

40. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов Киев: Наукова думка. 1981.

41. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. 2, М.: Физматгиз, 1963.

42. Кучмент П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, №4. С. 3-52.

43. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

44. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

45. Ладыженская O.A., Солонников В.А. О нахождении решений краевых задач для стационарных уравнений Стокса и Навье-Стокса, имеющих неограниченный интеграл Дирихле // Записки научных семинаров ЛОМИ, 1980. Т. 96. С. 117-160.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика Т. 6, Гидродинамика, М.: Наука, 1988.

47. Ландис Е.М., Панасенко Г.П. Теорема об асимптотике решений эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Доклады АН СССР. 1977. Т. 235. №6. С. 1253-1255.

48. Ланскоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

49. Лейбфилд Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. М.-Л.: ГИФМЛ. 1963.

50. Леора С.Н., Назаров С.А., Проскура A.B. Вывод предельных уравнений для эллиптических задач в тонких областях при помощи ЭВМ // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1986. Т. 26. №7. С. 1032-1048.

51. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.

52. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

53. Лурье А.И., Джанелидзе Г.Ю. Задача Сан-Венана для естественно-скрученных стержней // Доклады АН СССР. Т. 24. №1. С. 23-26, №3. С. 225-229, №4. С. 325-326.

54. Мазья В.Г., Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды Московского матем. о-ва. 1987. Т. 50. С. 79-129.

55. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: изд-во ТГУ, 1980.

56. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений эллиптических краевых задач при нерегулярном возмущении области // Проблемы матем. анализа. 1981. вып. 8. JL: изд-во ЛГУ, С. 72-153.

57. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Известия АН СССР. Серия матем. 1984. Т. 48. №2. С. 347-371.

58. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. Bd 76. S. 29-60.

59. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1978. Bd 81. S.25 82.

60. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.А. Первая краевая задача для классических уравнений математической физики в областях с кусочно-гладкой границей. I // Z. Anal. Anwendungen, 2, №4. 1983. С. 335-359.

61. Мазъя В.Г., Слуцкий A.C. Осреднение дифференциальных уравнений на мелкой сетке // Доклады АН СССР. 1987. Т. 293. №4. С. 792-796.

62. Мазъя В.Г., Слуцкий A.C. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке //Mathematische Nachrichten. 1987. Bd. 133. S. 107-133.

63. Мазъя В.Г., Слуцкий A.C. Осреднение разностных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Seminar Analisis 1986/1987, Akad.Wiss.DDR, Inst.Math. Berlin. 1987. S. 63-92.

64. Мазъя В.Г., Слуцкий A.C. Об осреднении дискретных моделей сплошной среды // Ленинградский филиал института машиноведения им. A.A. Благонраво-ва, АН СССР. Препринт 7. 1989.

65. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

66. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука. 1973.

67. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения. Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1954. №8. С. 69 -77.

68. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1977.

69. Мовчан A.B., Назаров С.А. Трещины в композитных материалах. 1 // Механика композитных материалов. 1990. №5. С. 842-851; 2 // ibid. 1990. №6. С. 1038-1046.

70. Могилевич H.JI. Асимптотическое поведении решений общей эллиптической краевой задачи в цилиндре / Ленингр. электр. ин-т. связи, Л. 1985. Деп. в ВИНИТИ 19.07.85. №5268-85.

71. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984.

72. Назаров СЛ. Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре // Известия АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45. №1. С. 101-112.

73. Назаров СЛ. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1985. №15. С. 16-22.

74. Назаров СЛ. Задача Дирихле для эллиптических системы с периодическими коэффициентами в угловой области // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1990. №1. С. 32-35.

75. Назаров СЛ. Асимптотика решения задачи Навье-Стокса о течении тонкого слоя жидкости // Сибирский матем. журнал. 1990. Т. 31, №2. С. 131-144.

76. Назаров СЛ. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей // Вестник СПбГУ. Сер. матем., мех., астр. 1992. №8. С. 19-24.

77. Назаров СЛ. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. №5. С. 1-92.

78. Назаров СЛ. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиноминальное свойство и формально положительные операторы // Пробл. матем. анализа. СПб: изд-во СПбГУ. 1997. Вып. 16. С. 167-192.

79. Назаров СЛ. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Пробл. матем. анализа. СПб: изд-во СПбГУ. 1997. Вып. 17. С. 101-152.

80. Назаров СЛ. Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность // Записки научн. семинаров Петербург, отделения матем. института РАН. 1997. Т. 249. С. 212-231.

81. Назаров СЛ. Минимальные требования гладкости данных, сохраняющие точность одномерной модели стержней // Пробл. матем. анализа. Новосибирск: Научн. книга. 1999. Вып. 19. С. 164-181.

82. Назаров СЛ. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. №5. С. 77-142.

83. Назаров СЛ. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2002.

84. Назаров СЛ., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ. 1984.

85. Назаров СЛ., Пилецкас К.И. Рейнольдсово течение жидкости в тонком трехмерном канале // Литовский матем. сборник. 1990. Т. 30. №4. С. 772-783.

86. Назаров СЛ., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в кусочногладких областях. М.: Наука, 1991.

87. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотика решений краевых задач для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами в области с малой полостью // Математический сборник, 1998. Т. 189. N 9. С. 107-142.

88. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Степенные пограничные слои в задаче осреднения скалярного уравнения, вырождающегося на границе // Проблемы математического анализа. 2001. №23. С. 94-146.

89. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Одномерные уравнения деформации тонких сла-боискривленных стержней. Асимптотический анализ и обоснование // Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. №3. С. 97-131.

90. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотика частот собственных колебаний упругих балок, соединенных в форме буквы П // Доклады РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 23-26.

91. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Произвольные плоские системы анизотропных балок // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 234-261.

92. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Неравенство Корна для произвольной системы тонких искривленных стержней // Сибирский матем. журнал. 2002, Т. 43. №6. С. 1321-1331.

93. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней // Труды Санкт-Петербургского матем. о-ва. 2004. Т. 10. С. 63-117.

94. Назаров СЛ., Слуцкий A.C. Разветвляющаяся периодичность: осреднение задачи для эллиптической системы // Доклады РАН, 2004. Т. 397, №6, 743-747.

95. Никишкин ВЛ. Особенности решений задачи Дирихле для уравнения второго порядка в окрестности ребра// Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1979. №2. С. 51-62.

96. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Матем. сборник. 1966. Т. 69. №3. С. 111-140.

97. Олейник O.A., Иосифъян Г.А. О поведении на бесконечности решений уравнений второго порядка в области с некомпактной границей// Матем. сборник. 1980. Т. 112. №4. С. 586-610.

98. Олейник O.A. Иосифъян Г.А. Об условиях затухания и предельном поведении решений системы уравнений теории упругости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. №3. С. 550-553.

99. Олейник O.A. Иосифъян ГЛ., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях // Матем. сборник. 1983. Т. 120. №1. С. 22-41.

100. Олейник O.A., Иосифъян ГЛ., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: изд-во МГУ, 1990.

101. Олейник O.A., Радкевич E.B. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1969. С. 7-252.

102. Панасенко Г.П. Асимптотики высших порядков решений задач о контакте периодических структур // Матем. сборник. 1979. Т. 110. №4. С. 505-538.

103. Панасенко Г.П. Асимптотические решения системы теории упругости для стержневых и каркасных структур // Матем. сборник. 1992. Т. 183. №1. С. 89-113.

104. Пламеневский Б.А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в банаховом пространстве// Известия АН СССР. Сер. мат. 1972. Т. 36. №5. С. 1343-1401.

105. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

106. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1978.

107. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982.

108. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

109. Светлицкий В.А. Механика стержней. Т.1, 2. М.: Высшая школа, 1987.

110. Слепян Л.И. Динамика трещины в решетке // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. №3. С. 261-264.

111. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

112. Слуцкий A.C. Об асимптотике решений вырождающихся эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных // Вестник ЛГУ. 1981. №3. С. 59-64.

113. Слуцкий A.C. Об асимптотике вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка при малом возмущении границы области // Математические заметки. 1985. Т. 37. №1. С. 63-71.

114. Слуцкий A.C. Степенной пограничный слой в задаче осреднения вырождающегося эллиптического уравнения / Деп. в ВИНИТИ №3358-В86, 1986.

115. Слуцкий A.C. Построение дискретных моделей сплошных сред методом осреднения дифференциальных операторов // Сб. тезисов докладов конференции «Научные проблемы современного машиноведения», ЛФИМАШ, Л., 1987. С. 10.

116. Слуцкий A.C. Asymptotical analysis of arbitrary plane systems of anisotropic beams 11 Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир. 2000. С. 85-87.

117. Слуцкий A.C. Branching periodicity: homogenization of the Dirichlet problem for an elliptic system // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва. 2004. С. 216.

118. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974.

119. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М: Наука, 1967.

120. Треногий В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика // Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. №4. С. 123-156.

121. Харди Г.Г., Литтлеуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М: Иностранная литература, 1948.

122. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // Прикладная матем. и мех. 1973. Т.37. вып. 5. С. 914-924.

123. Щипачев B.C. Эллиптические уравнения с малым параметром, вырождающиеся на границе области // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1970. №6. С. 58-66.

124. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions. 2 // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, N1. P. 35-92.

125. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space// Comm. Pure Appl. Math. 1963. V. 16. №2. P. 121-239.

126. Allmen M.J., Eagles P.M. Stability of divergent channel flows a numerical approach 11 Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1984. V. 392. P. 359-372.

127. Bakhvalov N.S. Homogenization and perturbation problems 11 Comput. Meth. Appl. Sci. and Eng. Proc. 4th. Int. Symp., Versailles, 1979, Amsterdam e.a. 1980. P. 645-658.

128. Banks W.H.H., Drazin P.G., Zaturska M.B. On perturbations of Jeffery-Hamel flow, // J. Fluid Mech. 1988. V. 186. P. 559-581.

129. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North Holland, 1978.

130. Bermudez A., Viano J.M. Une justification des équations de la thermoélasticité des poutres à section variable par des méthodes asymptotiques // RAIRO Analyce Numérique. 1984. V. 18. P. 347-376.

131. Bourgeat A., Marusic-Paloka E. Loi d'écoulement non linéaire entre deux plaques ondulées // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1. 1995. T. 321. P. 1115-1120.

132. Bourgeat A., Marusic-Paloka E. Nonlinear effects for flow in periodically constricted channel caused by high injection rate 11 Math. Models Methods Appl. Sci. 1998. V. 8. P. 379-405.

133. Ciarlet P.G. Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis. Paris: Masson. 1988.

134. Ciarlet P.C., Destuynder P.A. Justification of the two-dimensional linear plate model // J. Mecanique. 1979. V. 18. P. 315-344.

135. Ciariet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Modélisation de la jonction entre un corps elastique tridimensionnel et une plaque // C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. 1. 1987. T. 305. P. 55-58.

136. Cioranescu D., J.S. Jean Paulin. Structures très minces en élasticité linéarisée: tours et grillages // C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. 1. 1989. T. 308. P. 41-46.

137. Cioranescu D., J.S. Jean Paulin. Homogenization of reticulated structures. Applied Mathematical Sciences. V. 136. Berlin — New York: Springer Verlag. 1999.

138. Cioranecu D., Oleinik O.A., Tronel G. Korn's inequalitites for frame type structures and junctions with sharp estimates for the constants 11 Asymptotic analysis. 1994. V. 8. P. 1-14.

139. Clebsch A. Theorie der Elastizität der festen Körper. Leipzig, 1862.

140. Duffy B.R. Shear lagers in converging flow of fluid of non-uniform density and viscosity, // J. Fluid Mech. 1983. V. 129. P. 109-121.

141. Fraenkel L.E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls.

142. On the Jeffery-Hamel solutions for flow between plane walls // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1962. V. 267. P. 119-138.

143. Fraenkel L.E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls.1.. An asymptotic series for the stream function // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1963. V. 272. P. 406-428.

144. Fraenkel L.E. On a theory of laminar flow in channels of a certain class. I 11 Proc. Cambridge Philos. Soc. 1973. V. 73. P. 361-390.

145. Fraenkel L.E., Eagles P.M. On a theory of laminar flow in channels of a certain class. II 11 Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V. 77. P. 199-224.

146. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. On the junction of elastic plates and beams 11 C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. 1. 2002. T. 335. P. 717-722.

147. Georgiou G.A., Eagles P.M. The stability of flow in channels with small wall curvature // J. Fluid Mech. 1985. V.159. P. 259-287.

148. Hooper A., Duffy B.R., Moffatt H.K. Flow of fluid of non-uniform viscosity in converging and diverging channels, // J. Fluid Mech. 1982. V. 117. P. 283-304.

149. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Hardy's and Korn's type inequalities and their applications // Rendiconti di Matematica. ser.VII. 1990. V. 10. P. 641-666.

150. Kozlov S.M. Harmonization and homogenization on fractals // Commun. Math. Phys. 1993. V. 153. P. 339-357.

151. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of a mixed boundary value problem in a multistructure // Asymptotic Analysis. 1994. V. 8. P. 105-143.

152. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of fields in multi-structures. Oxford : Clarendon Press, 1999.

153. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Movchan A.B. Fields in non-degenerate 1D-3D elastic multi-structures // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2001. V. 54. P. 177-212.

154. Ladyzenskaja O.A., Solonnikov V.A. Determination of the solution of stationary boundary value problems in unbounded domains for Navier-Stokes equations having infinite dissipation // Soviet Phys. Dokl. 1979. V. 24, N 12. P. 967-969.

155. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 68. P. 365-397.

156. Le Dret H. Problèmes variationnels dans les multi-domains modélisation des jonctions et applications. Paris: Masson. 1991.

157. Lions J.-L. Some Methods in the mathematical Analysis of Systems and their Control. Beijing, China: Science Press, 1981.

158. Marusic-Paloka E. The effects of flexion and torsion on a fluid flow through a curved pipe // Appl. Math. Optim. 2001. V. 44. P. 245-272.

159. Mayer S. Zur Theorie der enterteten Gleichungen mit kleinem Parameter leiden höchsten Abladungen// Wiss. z. Techn. Nachsch. Karl-Marx Stadt. 1979. Bd. 21. №7. S. 865-871.

160. Maz'ya V.G., Slutskij A.S. Asymptotic analysis of the Navier-Stokes system in a plane domain with thin channels // Asymptotic Analysis. 2000. V. 23. №1. P. 59-89.

161. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions 11 Math, modelling and numerical analysis. 1993. V. 27. №6. P. 777-799.

162. Nazarov S.A. Asymptotics at infinity of the solution to the Dirichlet problem for a system of equations with periodic coefficients in an angular domain // Russian J. of Mathematical Physics. 1995. V. 3. №3. P. 297-325.

163. Nazarov S.A. Korn's inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods // Math. Methods in Appl. Sei. 1997. V. 20. №3. P. 219-243.

164. Nazarov S. A., Slutskij A.S. Arbitrary plane systems of anisotropic rods 11 Abstracts of the International Workshop "Asymptotic and numerical analysis of structures and of heterogeneous media", M. 2000. P. 110.

165. Necas J. Les méthods direct en théorie des équations elliptiques. Paris: Masson, 1967.

166. Oleinik OA., Panasenko G.P., Yosifian G.A. On the asymptotic expansion for solution of a homogenization problem in elasticity // Applicable Analysis. 1983. V. 15. №1-4. P. 15-32.

167. Oleinik OA., Yosifian G.A. On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1982. V. 78. №1. P. 29-53.

168. Panasenko GP. Asymptotic analysis of bar systems 1. 11 Russian J. of Math. Physics. 1994. V. 2. №3. P. 325-352; 2. // ibid. 1996. V. 4. №1. P. 87-116.

169. Panassenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems 1. // Russian J. of Math. Physics. 1994. V. 2. №3. P. 325-352; 2. // ibid. 1996. V. 4. №1. P. 87-116.

170. Pazy A. Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 24. P. 193-218.

171. Rosenhead L. The steady two-dimensional radial flow of viscous fluid between two inclined plane walls 11 Proc. Roy. Soc. Sen, A. 1940. V. 175. P. 436-467.

172. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. 1991. T.312. P. 337-344.

173. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Coques élastiques mines. Propriétés asymptotiques. Paris: Masson. 1997.

174. Slutskij A.S. Asymptotical analysis of arbitrary plane systems of anisotropic beams 11 Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир. 2000. С. 85-87.

175. Sobey I.J., Drazin P.G. Bifurcations of two-dimensional channel flow // J. Fluid Mech. 1986. V. 171. P. 263-287.

176. Trabucho de Campos L., Viano J.M. Existence and characterization of higher order terms in an asymptotic expansion method for linearized elastic beams // Asymptotic Analysis. 1989. V.2. P. 223-255.